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第二章 统计量与抽样分布
§ 2.1 基本概念
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数理统计的特点是应用面广，分支
较多, 社会的发展不断向统计提出新的
问题,
计算机的诞生与发展，为数据处理
提供了强有力的技术支持，数理统计与
计算机的结合是必然的发展趋势,
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由于学时有限，课程的的这部分内
容重点在于介绍数理统计的一些重要概
念和典型的统计方法，它们是实际中最
常用的知识,
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学习统计无须把过多时间化在计算
上，可以更有效地把时间用在基本概
念、方法原理的正确理解上, 国内外
著名的统计软件包,SAS,SPSS，
STAT等，都可以让你快速、简便地进
行数据处理和分析,
配合教学编制的教学软件,数理统
计教学系统,，可使你根据自己的进度，
在计算机上进行学习,
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从历史的典籍中，人们不难发现许
多关于钱粮、户口、地震、水灾等等的
记载，说明人们很早就开始了统计的工
作, 但是当时的统计，只是对有关事实
的简单记录和整理，而没有在一定理论
的指导下，作出超越这些数据范围之外
的推断,
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到了十九世纪末二十世纪初，随
着近代数学和概率论的发展，才真正
诞生了数理统计学这门学科,
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数理统计学是一门应用性很强的学
科, 它是研究怎样以 有效的方式 收集、
整理和分析 带有随机性的数据,以便对
所考察的问题作出推断和预测，直至为
采取一定的决策和行动提供依据和建议,
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数理统计不同于一般的资料统计，它
更侧重于应用随机现象本身的规律性进行
资料的收集、整理和分析,
由于大量随机现象必然呈现出它的规
律性，因而从理论上讲，只要对随机现象
进行足够多次观察，被研究的随机现象的
规律性一定能清楚地呈现出来,
只允许我们对随机现象进行次数不多的观
察试验，也就是说,我们获得的只是局部
观察资料,
但客观上
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数理统计的任务就是研究怎样有效
地收集、整理、分析所获得的 有限 的资
料，对所研究的问题,尽可能地作出精
确而可靠的结论,
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由于推断是基于抽样数据，抽样数
据又不能包括研究对象的全部信息, 因
而由此获得的结论必然包含不肯定性,
在数理统计中，不是对所研究的对
象全体 (称为 总体 )进行观察，而是抽取
其中的部分 (称为 样本 )进行观察获得数
据（ 抽样 ），并通过这些数据对总体进
行推断,
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下面我们以一例进行说明：
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某种子公司 A，栽种了几种类别的
鲜花，收获了大量的花籽,并把每 25粒
花籽扎成一小包出售, 一个零售商批发
了若干包，并向顾客保证：在每包 25粒
花籽中至少有 22粒将能发芽，否则的话
可免费调换另一包,
每包要是有 3粒不
发芽，马上免费退换！
每包 25粒
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每包 25粒中
至少有 22粒将
发芽
所有的包都
如此吗？？
这种类型的不肯定性, 即不知道种
子公司出售的小包中可接受的比例, 它
是由于对总体的真实状态 （ 天然状态 ）
无知所引起的不肯定性,
零售商面临如下两种类型的不肯定性：
(1) 他对种子公司出售的小包中可接受 （ 即至
少有 22粒花籽将发芽 ） 的包数所占比例 是
不清楚的,
AP
这是第一类不肯定性,
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(2)由于种子公司出售的花籽的货单上，这类
花籽共有一百万包，而零售商只购买了 200包，
那些包是可
接受的呢？？
这就是尽管他知道了一百
万包可接受的比例,
但对他所购买的 200包，
其中可接受的比例仍旧没
有“把握”,
AP
从中购买
200包 共 100万包
因此他又面临着另一类不肯定性；
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零售商购买的 200包仍有可能“碰巧”
是从不可接受的一万包中选取的,
那些包是可
接受的呢？？
即使 是 0.99，即种子
公司出售的一百万包中
有 99万包是可接受的，
AP
这样他就要损失一笔资金,
从中购买
200包 共 100万包
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这一类不肯定性是由于, 随机性, 所
引起的,
在已知 的条件下，这种不肯定性
的程度已在概率论部分作过讨论,
AP
下面我们回到第一类不肯定性：
零售商对种子公司出售的小包中可接
受 （ 即至少有 22粒花籽将发芽 ） 的包数所
占比例 是多少没有把握,
AP
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零售商能够根据试验的方法（请公司进
行发芽试验）来改善他的处境,
根据试验他能作出天然
状况 是多少的决策,
AP
这就是抽取部分种籽进行发芽试验，通过这
部分中发芽数所占比例（频率 )来对 的真
值进行推断,
AP
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(1)怎样设计试验，决定观察的数目；
(2)怎样利用试验观察的结果作出一个“好
”的推断等,
这都是数理统计所要研究的问题,
虽然他不能精确地和肯定地确定,
但可以期望获得一个 （ 在某种意义下 ） 比
较好的推断,
AP
这就涉及到
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第一个问题是怎样进行抽样，使抽得的
样本更合理,并有更好的代表性？这是抽样
方法和试验设计问题：最简单易行的是进行
随机抽样,
第二个问题是怎样从取得的样本去推断
总体？这种推断具有多大的可靠性？
这是 统计推断 问题,
本课程着重讨论第二个问题,即最常用统
计推断方法,
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概率论是数理统计的基础，而数理统
计是概率论的重要应用, 但它们是并列的
两个学科，并无从属关系,
可见，在数理统计中必然要用到概率论
的理论和方法, 因为随机抽样的结果带有随
机性，不能不把它当作随机现象来处理,
由此也可以说，
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统计方法具有“部分推断整体”的特征,
在结束本节之前，我们需要强调说明一点：
因为我们是从一小部分样本观察值去
推断该全体对象（总体）情况，即由部分
推断全体, 这里使用的推理方法是,归纳
推理,,
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这种 归纳推理 不同于数学中的“演绎推理”，
它在作出结论时，是根据所观察到的
大量个别情况，,归纳,起来所得，而不
是从一些假设、命题、已知的事实等出发，
按一定的逻辑推理去得出来的,
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例如，在几何学中要证明,等腰三角
形底角相等,只须从,等腰,这个前提出
发，运用几何公理，一步一步推出这个结
论,
而一个习惯于统计思想的人，就可能
想出这样的方法：做很多大小形状不一的
等腰三角形，实地测量其底角，看差距如
何，根据所得资料看看可否作出“底角相
等”的结论, 这样做就是归纳式的方法,
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现在要问：从局部观察要对总体下结论
有没有片面性呢？结论是否可靠？
显然这里不仅依赖于进行局部观察的
“样本”是否具有总体的代表性，也依赖
于对从这些样本得到数据的合理加工、分
析并得出论断,
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我们说, 如果这一切都建立在可靠的
科学基础上, 则对总体下结论是可能的也
是可靠的, 因为这里存在着样品 （ 随机抽
取的一个个体 ） 个性 (特殊性 ) 和总体共性
(普遍性 )之间的一种内在的, 对立统一的
辩证关系,
“每一事物内部不但包括了矛盾的特
殊性，而且包含了矛盾的普遍性，普遍
性即存在于特殊性之中,,
,矛盾论,毛泽东
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我们对每个经过合理手续选取的一个
样品也应看到它所具有的两重性：
一方面它具有特殊性，因为它毕竟是
个别观察值，不能反映总体的全面性质，
有片面性,
因而统计上往往不采用由一次抽取
的样品来下结论,
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在这个基础上再加上科学的推断方法，
对总体下的结论同样也是可靠的,
另一方面也要看到“普遍性即存在于特
殊性之中”，即每个样品的情况又必然反映
总体的一些普遍性,
当样品有一定数量时总体的普遍性是可
以得到比较真实的反映的,
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但此时还应记住毕竟是由,局部,推
断,整体,，因而仍可能犯错误，结论往往
又是在某个,可靠性水平,之下得出的,
这种矛盾的特殊性与普遍性的辩证统一
在统计学中贯穿始终，是我们应该记住的基
本思想,
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一 个统计问题总有它明确的研究对象,
1.总体
…
研究某批灯泡的质量
研究对象的全体称为 总体 (母体 )，
总体中每个成员称为 个体,
总体
一、总体和样本
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然而在统计研究中，人们关心总体仅仅
是关心其每个个体的一项 (或几项 )数量指标
和该数量指标在总体中的分布情况, 这时，
每个个体具有的数量指标的全体就是总体,
某批
灯泡的寿命
该批灯泡寿命的
全体就是总体
国产轿车每公里
的耗油量
国产轿车每公里耗油
量的全体就是总体
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由于每个个体的出现是随机的，所以相
应的数量指标的出现也带有随机性, 从而可
以把这种数量指标看作一个随机变量，因此
随机变量的分布就是该数量指标在总体中的
分布,
这样,总体就可以用一个随机变量
及其分布来描述,
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而 概率分布 正是刻划这种集体性质
的适当工具, 因此在理论上可以把总体
与概率分布等同起来,
从另一方面看
统计的任务,是根据从总体中抽取的
样本, 去推断总体的性质,
由于我们关心的是总体中的个体的某
项指标 (如人的身高、体重，灯泡的寿命,
汽车的耗油量 … ), 所谓总体的性质,
无非就是这些指标值的集体的性质,
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例如,研究某批灯泡的寿命时，关心的数
量指标就是寿命，那么，此总体就可以用随
机变量 X表示，或用其分布函数 F(x)表示,
某批
灯泡的寿命
总体
寿命 X可用一概
率分布来刻划
鉴于此，常用随机变量的记号
或用其分布函数表示总体, 如
说总体 X或总体 F(x),
F(x)
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类似地，在研究某地区中学生的营养状
况时，若关心的数量指标是身高和体重，我
们用 X和 Y分别表示身高和体重，那么此总体
就可用二维随机变量 (X,Y)或其联合分布函数
F(x,y)来表示,
统计中，总体这个概念
的要旨是,总体就是一个
概率分布,
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为推断总体分布及各种特征，按一定
规则从总体中抽取若干个体进行观察试验，
以获得有关总体的信息，这一抽取过程称
为, 抽样,，所抽取的部分个体称为 样本,
样本中所包含的个体数目称为样本容量,
2,样本
从国产轿车中抽 5辆
进行耗油量试验
样本容量为 5
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但是，一旦取定一组样本，得到的是
n个具体的数 (X1,X2,…,Xn)，称为样本的
一次观察值，简称样本值,
样本是随机变量,
抽到哪 5辆是随机的
容量为 n的样本可以看作 n维随机变量,
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2,独立性, X1,X2,…,Xn是相互独立的随机
变量,
由于抽样的目的是为了对总体进行
统计推断，为了使抽取的样本能很好地反
映总体的信息，必须考虑抽样方法,
最常用的一种抽样方法叫作,简单随
机抽样,，它要求抽取的样本满足下面
两点,
1,代表性, X1,X2,…,Xn中每一个与所考察
的总体有相同的分布,
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由简单随机抽样得到的样本称为 简单
随机样本,它可以用与总体独立同分布的
n个相互独立的随机变量 X1,X2,…,Xn表示,
简单随机样本是应用中最常见的情
形，今后，当说到,X1,X2,…,Xn是取自某
总体的样本”时，若不特别说明，就指简
单随机样本,
若总体的分布函数为 F(x)，则其简单随机
样本的联合分布函数为
F(x1) F(x2) … F(xn)
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事实上我们抽样后得到的资料都是具
体的、确定的值, 如我们从某班大学生中
抽取 10人测量身高，得到 10个数，它们是
样本取到的值而不是样本, 我们只能观察
到随机变量取的值而见不到随机变量,
3,总体、样本、样本值的关系
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总体（理论分布）
？
样本 样本值
统计是从手中已有的资料 --样本值，去
推断总体的情况 ---总体分布 F(x)的性质,
总体分布决定了样本取值的概率规律，
也就是样本取到样本值的规律，因而可以由
样本值去推断总体,
样本是联系二者的桥梁
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由样本值去推断总体情况, 需要对样本
值进行, 加工,, 这就要构造一些样本的
函数, 它把样本中所含的 （ 某一方面 ） 的
信息集中起来,
二、统计量和样本矩
1,统计量
这种 不含任何未知参数的样本的函数
称为统计量, 它是完全由样本决定的量,
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几个常见统计量
样本均值
样本方差
?
?
?
n
i
iXnX
1
1
?
?
?
?
?
n
i
i XXnS
1
22 )(
1
1
它反映了总体均值
的信息
它反映了总体方差
的信息
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样本 k阶原点矩
样本 k阶中心矩
?
?
?
n
i
k
ik XnA
1
1
?
?
??
n
i
k
ik XXnB
1
)(1
k=1,2,…
它反映了总体 k 阶矩
的信息
它反映了总体 k 阶
中心矩的信息
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2,经验分布函数
设总体 X 的分布函数 F ( x ) 未知，
12,,,nx x xK
为总体 X 的一个样本观察值，将它们按大小
排列为：
? ? ? ? ? ?12 nx x x? ? ?K
,令
? ?
( 1 )
( ) ( 1 )
()
0,,
,,1,2,...,1,
1,.
n k k
n
xx
k
F x x x x k n
n
xx
?
??
?
?
? ? ? ? ??
?
??
?
如 果
如 果
如 果
称 ? ?nFx 为 12,,,nx x xK的 经验分布函数,
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对任意实数 x,? ?
n
Fx 就是事件 ? ?Xx ?
出现的频率，而该事件出现的概率就是总体
X 的分布函数 F ( x ),由频率和概率的关系
知,? ?
n
Fx 可以作为未知分布函数 F ( x ) 的一
个近似，且当 n 越大时，这种近似的精确程
度越高,
第二章 统计量与抽样分布
§ 2.1 基本概念
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数理统计的特点是应用面广，分支
较多, 社会的发展不断向统计提出新的
问题,
计算机的诞生与发展，为数据处理
提供了强有力的技术支持，数理统计与
计算机的结合是必然的发展趋势,
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由于学时有限，课程的的这部分内
容重点在于介绍数理统计的一些重要概
念和典型的统计方法，它们是实际中最
常用的知识,
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学习统计无须把过多时间化在计算
上，可以更有效地把时间用在基本概
念、方法原理的正确理解上, 国内外
著名的统计软件包,SAS,SPSS，
STAT等，都可以让你快速、简便地进
行数据处理和分析,
配合教学编制的教学软件,数理统
计教学系统,，可使你根据自己的进度，
在计算机上进行学习,
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从历史的典籍中，人们不难发现许
多关于钱粮、户口、地震、水灾等等的
记载，说明人们很早就开始了统计的工
作, 但是当时的统计，只是对有关事实
的简单记录和整理，而没有在一定理论
的指导下，作出超越这些数据范围之外
的推断,
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到了十九世纪末二十世纪初，随
着近代数学和概率论的发展，才真正
诞生了数理统计学这门学科,
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数理统计学是一门应用性很强的学
科, 它是研究怎样以 有效的方式 收集、
整理和分析 带有随机性的数据,以便对
所考察的问题作出推断和预测，直至为
采取一定的决策和行动提供依据和建议,
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数理统计不同于一般的资料统计，它
更侧重于应用随机现象本身的规律性进行
资料的收集、整理和分析,
由于大量随机现象必然呈现出它的规
律性，因而从理论上讲，只要对随机现象
进行足够多次观察，被研究的随机现象的
规律性一定能清楚地呈现出来,
只允许我们对随机现象进行次数不多的观
察试验，也就是说,我们获得的只是局部
观察资料,
但客观上
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 9
数理统计的任务就是研究怎样有效
地收集、整理、分析所获得的 有限 的资
料，对所研究的问题,尽可能地作出精
确而可靠的结论,
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 10
由于推断是基于抽样数据，抽样数
据又不能包括研究对象的全部信息, 因
而由此获得的结论必然包含不肯定性,
在数理统计中，不是对所研究的对
象全体 (称为 总体 )进行观察，而是抽取
其中的部分 (称为 样本 )进行观察获得数
据（ 抽样 ），并通过这些数据对总体进
行推断,
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下面我们以一例进行说明：
上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 12
某种子公司 A，栽种了几种类别的
鲜花，收获了大量的花籽,并把每 25粒
花籽扎成一小包出售, 一个零售商批发
了若干包，并向顾客保证：在每包 25粒
花籽中至少有 22粒将能发芽，否则的话
可免费调换另一包,
每包要是有 3粒不
发芽，马上免费退换！
每包 25粒
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每包 25粒中
至少有 22粒将
发芽
所有的包都
如此吗？？
这种类型的不肯定性, 即不知道种
子公司出售的小包中可接受的比例, 它
是由于对总体的真实状态 （ 天然状态 ）
无知所引起的不肯定性,
零售商面临如下两种类型的不肯定性：
(1) 他对种子公司出售的小包中可接受 （ 即至
少有 22粒花籽将发芽 ） 的包数所占比例 是
不清楚的,
AP
这是第一类不肯定性,
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(2)由于种子公司出售的花籽的货单上，这类
花籽共有一百万包，而零售商只购买了 200包，
那些包是可
接受的呢？？
这就是尽管他知道了一百
万包可接受的比例,
但对他所购买的 200包，
其中可接受的比例仍旧没
有“把握”,
AP
从中购买
200包 共 100万包
因此他又面临着另一类不肯定性；
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零售商购买的 200包仍有可能“碰巧”
是从不可接受的一万包中选取的,
那些包是可
接受的呢？？
即使 是 0.99，即种子
公司出售的一百万包中
有 99万包是可接受的，
AP
这样他就要损失一笔资金,
从中购买
200包 共 100万包
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这一类不肯定性是由于, 随机性, 所
引起的,
在已知 的条件下，这种不肯定性
的程度已在概率论部分作过讨论,
AP
下面我们回到第一类不肯定性：
零售商对种子公司出售的小包中可接
受 （ 即至少有 22粒花籽将发芽 ） 的包数所
占比例 是多少没有把握,
AP
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零售商能够根据试验的方法（请公司进
行发芽试验）来改善他的处境,
根据试验他能作出天然
状况 是多少的决策,
AP
这就是抽取部分种籽进行发芽试验，通过这
部分中发芽数所占比例（频率 )来对 的真
值进行推断,
AP
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(1)怎样设计试验，决定观察的数目；
(2)怎样利用试验观察的结果作出一个“好
”的推断等,
这都是数理统计所要研究的问题,
虽然他不能精确地和肯定地确定,
但可以期望获得一个 （ 在某种意义下 ） 比
较好的推断,
AP
这就涉及到
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第一个问题是怎样进行抽样，使抽得的
样本更合理,并有更好的代表性？这是抽样
方法和试验设计问题：最简单易行的是进行
随机抽样,
第二个问题是怎样从取得的样本去推断
总体？这种推断具有多大的可靠性？
这是 统计推断 问题,
本课程着重讨论第二个问题,即最常用统
计推断方法,
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概率论是数理统计的基础，而数理统
计是概率论的重要应用, 但它们是并列的
两个学科，并无从属关系,
可见，在数理统计中必然要用到概率论
的理论和方法, 因为随机抽样的结果带有随
机性，不能不把它当作随机现象来处理,
由此也可以说，
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统计方法具有“部分推断整体”的特征,
在结束本节之前，我们需要强调说明一点：
因为我们是从一小部分样本观察值去
推断该全体对象（总体）情况，即由部分
推断全体, 这里使用的推理方法是,归纳
推理,,
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这种 归纳推理 不同于数学中的“演绎推理”，
它在作出结论时，是根据所观察到的
大量个别情况，,归纳,起来所得，而不
是从一些假设、命题、已知的事实等出发，
按一定的逻辑推理去得出来的,
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例如，在几何学中要证明,等腰三角
形底角相等,只须从,等腰,这个前提出
发，运用几何公理，一步一步推出这个结
论,
而一个习惯于统计思想的人，就可能
想出这样的方法：做很多大小形状不一的
等腰三角形，实地测量其底角，看差距如
何，根据所得资料看看可否作出“底角相
等”的结论, 这样做就是归纳式的方法,
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现在要问：从局部观察要对总体下结论
有没有片面性呢？结论是否可靠？
显然这里不仅依赖于进行局部观察的
“样本”是否具有总体的代表性，也依赖
于对从这些样本得到数据的合理加工、分
析并得出论断,
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我们说, 如果这一切都建立在可靠的
科学基础上, 则对总体下结论是可能的也
是可靠的, 因为这里存在着样品 （ 随机抽
取的一个个体 ） 个性 (特殊性 ) 和总体共性
(普遍性 )之间的一种内在的, 对立统一的
辩证关系,
“每一事物内部不但包括了矛盾的特
殊性，而且包含了矛盾的普遍性，普遍
性即存在于特殊性之中,,
,矛盾论,毛泽东
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我们对每个经过合理手续选取的一个
样品也应看到它所具有的两重性：
一方面它具有特殊性，因为它毕竟是
个别观察值，不能反映总体的全面性质，
有片面性,
因而统计上往往不采用由一次抽取
的样品来下结论,
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在这个基础上再加上科学的推断方法，
对总体下的结论同样也是可靠的,
另一方面也要看到“普遍性即存在于特
殊性之中”，即每个样品的情况又必然反映
总体的一些普遍性,
当样品有一定数量时总体的普遍性是可
以得到比较真实的反映的,
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但此时还应记住毕竟是由,局部,推
断,整体,，因而仍可能犯错误，结论往往
又是在某个,可靠性水平,之下得出的,
这种矛盾的特殊性与普遍性的辩证统一
在统计学中贯穿始终，是我们应该记住的基
本思想,
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一 个统计问题总有它明确的研究对象,
1.总体
…
研究某批灯泡的质量
研究对象的全体称为 总体 (母体 )，
总体中每个成员称为 个体,
总体
一、总体和样本
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然而在统计研究中，人们关心总体仅仅
是关心其每个个体的一项 (或几项 )数量指标
和该数量指标在总体中的分布情况, 这时，
每个个体具有的数量指标的全体就是总体,
某批
灯泡的寿命
该批灯泡寿命的
全体就是总体
国产轿车每公里
的耗油量
国产轿车每公里耗油
量的全体就是总体
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由于每个个体的出现是随机的，所以相
应的数量指标的出现也带有随机性, 从而可
以把这种数量指标看作一个随机变量，因此
随机变量的分布就是该数量指标在总体中的
分布,
这样,总体就可以用一个随机变量
及其分布来描述,
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而 概率分布 正是刻划这种集体性质
的适当工具, 因此在理论上可以把总体
与概率分布等同起来,
从另一方面看
统计的任务,是根据从总体中抽取的
样本, 去推断总体的性质,
由于我们关心的是总体中的个体的某
项指标 (如人的身高、体重，灯泡的寿命,
汽车的耗油量 … ), 所谓总体的性质,
无非就是这些指标值的集体的性质,
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例如,研究某批灯泡的寿命时，关心的数
量指标就是寿命，那么，此总体就可以用随
机变量 X表示，或用其分布函数 F(x)表示,
某批
灯泡的寿命
总体
寿命 X可用一概
率分布来刻划
鉴于此，常用随机变量的记号
或用其分布函数表示总体, 如
说总体 X或总体 F(x),
F(x)
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类似地，在研究某地区中学生的营养状
况时，若关心的数量指标是身高和体重，我
们用 X和 Y分别表示身高和体重，那么此总体
就可用二维随机变量 (X,Y)或其联合分布函数
F(x,y)来表示,
统计中，总体这个概念
的要旨是,总体就是一个
概率分布,
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为推断总体分布及各种特征，按一定
规则从总体中抽取若干个体进行观察试验，
以获得有关总体的信息，这一抽取过程称
为, 抽样,，所抽取的部分个体称为 样本,
样本中所包含的个体数目称为样本容量,
2,样本
从国产轿车中抽 5辆
进行耗油量试验
样本容量为 5
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但是，一旦取定一组样本，得到的是
n个具体的数 (X1,X2,…,Xn)，称为样本的
一次观察值，简称样本值,
样本是随机变量,
抽到哪 5辆是随机的
容量为 n的样本可以看作 n维随机变量,
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2,独立性, X1,X2,…,Xn是相互独立的随机
变量,
由于抽样的目的是为了对总体进行
统计推断，为了使抽取的样本能很好地反
映总体的信息，必须考虑抽样方法,
最常用的一种抽样方法叫作,简单随
机抽样,，它要求抽取的样本满足下面
两点,
1,代表性, X1,X2,…,Xn中每一个与所考察
的总体有相同的分布,
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由简单随机抽样得到的样本称为 简单
随机样本,它可以用与总体独立同分布的
n个相互独立的随机变量 X1,X2,…,Xn表示,
简单随机样本是应用中最常见的情
形，今后，当说到,X1,X2,…,Xn是取自某
总体的样本”时，若不特别说明，就指简
单随机样本,
若总体的分布函数为 F(x)，则其简单随机
样本的联合分布函数为
F(x1) F(x2) … F(xn)
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事实上我们抽样后得到的资料都是具
体的、确定的值, 如我们从某班大学生中
抽取 10人测量身高，得到 10个数，它们是
样本取到的值而不是样本, 我们只能观察
到随机变量取的值而见不到随机变量,
3,总体、样本、样本值的关系
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总体（理论分布）
？
样本 样本值
统计是从手中已有的资料 --样本值，去
推断总体的情况 ---总体分布 F(x)的性质,
总体分布决定了样本取值的概率规律，
也就是样本取到样本值的规律，因而可以由
样本值去推断总体,
样本是联系二者的桥梁
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由样本值去推断总体情况, 需要对样本
值进行, 加工,, 这就要构造一些样本的
函数, 它把样本中所含的 （ 某一方面 ） 的
信息集中起来,
二、统计量和样本矩
1,统计量
这种 不含任何未知参数的样本的函数
称为统计量, 它是完全由样本决定的量,
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几个常见统计量
样本均值
样本方差
?
?
?
n
i
iXnX
1
1
?
?
?
?
?
n
i
i XXnS
1
22 )(
1
1
它反映了总体均值
的信息
它反映了总体方差
的信息
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样本 k阶原点矩
样本 k阶中心矩
?
?
?
n
i
k
ik XnA
1
1
?
?
??
n
i
k
ik XXnB
1
)(1
k=1,2,…
它反映了总体 k 阶矩
的信息
它反映了总体 k 阶
中心矩的信息
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2,经验分布函数
设总体 X 的分布函数 F ( x ) 未知，
12,,,nx x xK
为总体 X 的一个样本观察值，将它们按大小
排列为：
? ? ? ? ? ?12 nx x x? ? ?K
,令
? ?
( 1 )
( ) ( 1 )
()
0,,
,,1,2,...,1,
1,.
n k k
n
xx
k
F x x x x k n
n
xx
?
??
?
?
? ? ? ? ??
?
??
?
如 果
如 果
如 果
称 ? ?nFx 为 12,,,nx x xK的 经验分布函数,
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对任意实数 x,? ?
n
Fx 就是事件 ? ?Xx ?
出现的频率，而该事件出现的概率就是总体
X 的分布函数 F ( x ),由频率和概率的关系
知,? ?
n
Fx 可以作为未知分布函数 F ( x ) 的一
个近似，且当 n 越大时，这种近似的精确程
度越高,
