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§ 1.2 随机变量的特征函数及其性质
一 定义
定义 如果 X 和 Y 是实值随机变量，则 Z X i Y?? 为
复随机变量 。定义复随机变量 Z 的 数学期望 为
.E Z E X i E Y??
定义 如果随机变量 X 的分布函数为 F ( x ),则称
( ) ( )
i t X i t X
X
g t E e e d F x
??
??
?? ?
为 X 的 特征函数 。
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特征函数是实变量的一个复值函数，由于 1,
itxe ?
所以特征函数对一切 t 都有定义。
显然,特征函数只与分布函数有关，因此也称某一
分布函数的特征函数。
对离散随机变量，若 X 的概率分布为
( ) ( 1,2,),
ii
P X x p i? ? ? L
则其特征函数为
1
( ),
i
itx
i
i
g t p e
?
?
? ?
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对连续随机变量，若 X 的密度函数为 f (x),则其
特征函数为
( ) ( ),
itx
g t e f x dx
??
??
? ?
此时，特征函数即为密度函数的 Fourier变换 。
例、二项分布 B ( n,p ) 的特征函数为 ( ),i t np e q?
Po is son 分布 ()P ? 的特征函数为 ( 1 ),
itee ? ?
正态分布 2(,)N ?? 的特征函数为
22
2,
tit
e
?? ?
标准正态分布 ( 0,1 )N 的特征函数为
2
2,
t
e
?
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二、特征函数 g(t)的性质
性质 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, ;0 ;10 tgtggtgg ????
性质 2 g ( t ) 在 (,)?? ?? 上一致连续。
性质 3 对任意的正整数 n 及任意实数 12,,,nt t tL 及复
数 12,,,,n? ? ?L 成立
11
( ) 0.
nn
k j k j
kj
g t t ??
??
????
性质 4 相互独立的随机变量之和的特征函数等于它们的
特征函数之积。
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性质 5 设随机变量 X 有 n 阶矩存在，则它的特征函数
可微分 n 次，且当 kn ? 时,
()
( 0 ) ( ),
k k k
g i E X?
性质 6 设 Y =aX+b,这里 a,b 为常数，则
( ) ( ).ib tYXg t e g a t?
定理 ( 逆转公式 ) 设分布函数 F( x) 的特征函数为
g(t ),12,xx 是 F( x) 的连续点,则
12
21
1( ) ( ) l im ( ),
2
i t x i t xT
TT
eeF x F x g t d t
it?
???
?? ? ?
??? ?
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定理 (惟一性定理 ) 分布函数由其特征函数惟一决定,
定理 如果 ( ),g t d t
??
??
??? 则相应的分布函数 F ( x )
的导数存在并连续,而且
1( ) ( ),
2
itxF x e g t d t
?
?? ?
??
? ? ?
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三, 多元特征函数
设随机向量 12
(,,..,,)
n
x x x
的分布函数为 12
(,,...,)
n
F x x x
,我
们定义它的特征函数为
11(,,, )
1 2 1
(,,...,),.,(,...,)nn
i t x t x
nn
g t t t e dF x x
??
??
? ? ? ?
? ??
,（ 1,5 7 ）
与一元的场合类似，对多元特征函数仍具有如下性质与结论：
性质 1 12(,,..,,)ng t t t 在 nR 中一致连续，而且
? ?12(,,.,,,) 0,0,.,, 0 1ng t t t g??
1 2 1 2(,,...,) (,,...,)nng t t t g t t t? ? ? ?
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性质 2 设 12
(,,.,,,)
n
g t t t
是 n 维随机向量 12
(,,...,)
n
x x x
的特
征函数,则
1
n
jj
j
Y a X
?
? ?
的特征函数是
12
( ) (,,...,),
Yn
g t g a t a t a t?
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性质 3 如果
1
()
j
n
k
j
j
EX
?
?
存在，则
...
12
12
1
12
12
12
[ (,,.,,,) ]
1
.,, 0
[]
...
n
k k k
n
j n
jj
n
n
n
k g t t tn
k
j kkk
j t t t
t t t
E X i
tt
? ? ?
?
? ?
?
? ? ? ?
? ??
? ??
? ? ?
??
??
?
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性质 4 若 12(,,...,)nX X X 的特征函数为 12(,,...,)ng t t t,则
k
()kn ?
维随机向量 12
(,,.,,,)
k
X X X
的特征函数为
1,2,..,1 2 1 2
(,,..,,) (,,..,,,0,..,,0 ),
k k k
g t t t g t t t?
（ 1,60 ）
这是前 k 个分量的 k 维边缘分布所对应的特征函数，
对应与任意 k 个分量 12
,,.,,,
kj j j
X X X
的边缘分布所对应
的特征函数，可以类似得到,
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逆转公式 如果
12
(,,..,,)
n
g t t t
是随机向量
12
(,,...,)
n
X X X
的
特征函数，而
1
(,,)
n
F x xK
是它的分布函数，则
{,1,2,.,,,}
k k k
P a X b k n? ? ?
12
12
11
1
1,2,..,,
1
l i m,,, (,,),,,,
( 2 )
k k k
n
nj
i t i t bn
T T T
k
nnn
T T TT
j k
jn
e a e
g t t d t d t
it?
??
? ? ???
?
?
?
?
?? ? ?
K
其中
,kk
ab
都是任意实数,但满足唯一要求，
1
(,,)
T
n
XX K
落在平行体
,1,2,..,,
kk
a X b k n? ? ?
的面上的概率等于零。
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唯一定理 分布函数 1(,,)nF x xK 由其特征函数唯一决定,
性质 5 若随机向量 1
(,,)
n
XX K
的特征函数 为
1
(,,)
n
g t tK
，而 k
X
的特征函数为
( ),1,2,...,,
k
g t k n?
则
随机向量
1
,,
n
XX K
相互独立的充要条件为
1
1
(,,) ( ).
n
n k k
k
g t t g t
?
? ?K
（ 1,6 2 ）
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性质 6 设随机向量
11
(,,),(,,)
nn
X X Y YKK
及
11
(,,,,,)
nn
X X Y YKK
的特征函数为
1 1 2 1
(,,),(,,)
nm
g t t g u uKK
及
11
(,,,,,),
nm
g t t u uKK
则
1
(,,)
n
XX K
与
1
(,,)
m
YY K
相互独立的充要条件是：对一
切实数
1
,.,,,
n
tt
及
1
,,
m
uu K
成立
1 1 1 1 2 1
(,,,,,) (,,) (,,).
n m n m
g t t u u g t t g u u?K K K K
连续性定理 若特征函数列 1{ (,,)}kng t tK 收敛与一个连续
函数 1
(,,),
n
g t tK
则函数 1
(,,)
n
g t tK
是某分布函数所对应的 特
征函数。