抗震计算理论
? 简 介
? 反应谱方法
? 时程分析法
[4]
? 简 介
?计算地震作用的方法可以分为静力法、反
应谱法（拟静力法）和时程分析法（直接
动力法）三大类。
?我国, 抗震规范, 要求在设计阶段按照反
应谱方法计算地震作用，少数情况才需要
采用时程分析法进行补充计算。规范要求
进行第二阶段验算的建筑是少数，第二阶
段验算采用弹塑性静力分析或弹塑性时程
分析方法。
? 反应谱方法
? 简 介
? 反应谱底部剪力法
? 振型分解反应谱法
? 简 介
? 反应谱理论是采用反应谱确定地震作用
的理论。 20世纪 40年代开始，世界上结
构抗振理论开始进入反应谱理论阶段，
是抗振理论的一大飞越，到 20世纪 50年
代末已基本取代了静力理论。
? 反应谱是通过单自由度弹性体系
的地震反应计算得到的谱曲线。
? 目前我国抗震设计都是采用加速度反应
谱计算地震作用
? 反应谱底部剪力法
? 底部剪力法只考虑结构的基本振型，适用
于高度不超过 40m、以剪切变形为主且质
量和刚度沿高度分布比较均匀的结构。
? 用底部剪力法计算地震作用时，将多自由
度体系等效成单自由度体系，只考虑结构
的基本自振周期计算总水平地震力，然后
再按一定规律分配到各个楼层。
? 振型分解反应谱法
?简 介
?平面结构振型分解反应谱法
?空间结构振型分解反应谱法
?简 介
? 较高的结构，除基本振型的影响外，高振
型的影响较大，因此一般高层建筑都要用
振型分解反应谱法考虑多个振型的组合。
一般可将质量集中在楼层的位置,n个楼
层为 n个质点，有 n个振型。在组合前要分
别计算每个振型的水平地震作用及其效应
（ M,V,N,等），然后进行内力与位移的
振型组合。
? 结构计算模型分为平面及空间结构，振型
组合也相应有两种方法 （ SRSS,CQC） 。
?
?平面结构振型分解反应谱法
按平面结算时,X,Y两个水平方向分布
计算，一个水平方向每个楼层有一个平
移自由度,n个楼层有 n个自由度,n个
频率和 n个振型。平面结构的振型如下
图所示。
第一振型 第二振型 第 j 振型 第 n 振型
图 1
?平面结构振型分解反应谱法
平面结构第 j振型,i质点的等效水平地震
力 为
ijijjji GXF ???
jiF
?
?
?
??
n
1i
2
jii
n
1i
jii
j
XG
XG
?
iG
jix
j?
相应与 j 振型自振周期 的地震响应系数
jT
第 j 振型 i 质点的振幅系数
第 i 层（ i 质点）重力荷载代表值
j?
i振型的振型参与系数：
? 每个振兴的等效地震力与 图 1给出的振幅方
向相同，每个振型都可由等效地震力计算
得出结构的位移和各构件的弯矩、剪力和
轴力。
? 因为采用了反应谱，由各振型的地震影响
系数 得到的等效地震力是振动过程中的
最大值，其产生的内力和位移也是最大值，
实际上各振型的内力和位移达到最大值的
时间一般并不相同，因此，不能简单地将
各振型的内力和位移直接相加，而是通过
概率统计将各个振型的内力和位移组合起
来，这就是 振型组合 。
?平面结构振型分解反应谱法
? 因为总是前几个振型起主要作用，在工程设计时，
只需要用有限个振型计算内力和位移。如果有限
个振型参与的等效重量（或质量）达到总重量
（或总质量）的 90％，就已经足够精确了。
?平面结构振型分解反应谱法
第 j振型参与的等效重量可由下式计算
若取前 m个振型，则它们参与等效重量总和的百分比为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1i
i
2
ji
2n
1i
iji
j
Gx
Gx
G?
E
m
1j
j
m
G
G
G?
??
?
?
? 对于平面结构，根据随机振动理论，地震作用
下的内力和位移由各振型的内力和位移平方和
再开方的方法（ Square Root of Sum of Square,简称
SRSS方法）组合得到：
?平面结构振型分解反应谱法
注：采用振型组合法时，突出屋面的小塔楼按其楼层质点参与振型计算，
鞭梢效应可在高振型体现。
?
?
?
m
1j
2
jEK SS
参与组合的振型数
由 j振型等效地震荷载求得的弯矩、或剪力、或轴力、或位移
振型组合后的弯矩、或剪力、或轴力、或位移
m
jS
EKS
空间结构振型分解反应谱法
按空间结构计算时，每个楼层有两个平
动、一个转动，即 x,y,共三个自由度，
n个楼层有 3n个自由度,3n个频率和 3n
个振型，每个振型中各质点振幅有三个
分量，当其两个分量不为零时，振型耦
联。
采用空间结构计算模型时,x,y两
个水平方向地震依然分别独立作用，但
由于结构具有空间振型，如果振型耦联，
每个方向地震作用会同时得到 x,y方向
及扭转效应。
空间结构振型分解反应谱法
在 x方向地震作用时，可能有三组等
效地震力（ x,y方向及扭转），即：
空间结构振型分解反应谱法
ixjjx j i GF ???
ijixjjy j i GyF ???
ijijtj i GM ???
（ 1a）
（ 1b）
（ 1c）
上式中,是 x方向地震作用第 j 振
型的振型参与系数：
空间结构振型分解反应谱法
xj?
i
2
i
2
ji
2
ji
2
ji
n3
1i
ijixj G)ryx(Gx ?? ???
?
??
式中
?、,yx
n3
ir ii2i G/gIr ?
iI
jijiji yx ?、、
回转半径
i层质量绕质心转动的转动惯量
第 j振型 i质点在 三个方向的振幅分量
总自由度数
（ 2）
计算 y方向地震时，将式 （ 2） 分子
中 改为,其他符号不变，即可求
得 y方向地震作用第 j振型的振型参与系
数,式 （ 1） 中，用 代替,即
可得到一组相应 y方向地震作用的等效
地震力。
空间结构振型分解反应谱法
jix jiy
yj?yj? xj?
对空间结构，考虑空间各振型的相互影响，采
用完全二次方程法（ Complete Quadratic Combination,
简称 CQC法）进行组合：
? ?
? ?
?
m
1j
m
1r
rjjrEK SSS ?
空间结构振型分解反应谱法
式中,分别为 j 振型和 r 振型的弯矩、或
剪力、或轴力、或位移。 为参与组合的振型
数，空间结构一般要取 9～ 15个振型，当建筑较
高或结构沿竖向刚度很不均匀时，可取更多振
型。参与组合的振型应使振型参与等效重量达
到总重量的 90%.
rj SS,
m
（ 3）
为 j 振型与 r 振型的相关系数：
空间结构振型分解反应谱法
式中
jr?
2
tT
222
T
2
3
TT
2
jr
)1(4)1(
)1(8
????
???
?
???
?
?
结构阻尼比
J 振型与 r 振型的周期比
rjT TT??
?
T?
（ 4）
如果是平面结构，各阶自振周期值
相差较大，当 小于 较多时,很小，
由式 （ 4） 计算的 值也很小，在式 （ 3）
中可以忽略；当 时，,因
而,在式 （ 3） 中该项为 的平方，
这样 CQC公式就简化成 SRSS公式了。
因此可以说,SRSS方法是 CQC方法的
特例，只能适用于平面结构。
空间结构振型分解反应谱法
jT rT T?
jr?
1T ??
1jr ??
jS
rj TT ?
水平地震层剪力最小值
,抗震规范, 规定，无论哪种反应谱法计算
等效地震力，结构任一楼层的水平地震剪力
（ i层剪力标准值）应满足下式要求：
第 j 层重荷载代表值
剪力系数，不应小于 表 a规定的最小地震剪力系数，
对竖向不规则结构的薄弱层，尚应乘以 1.15的增大系数
式中
i,EKV
?
?
?
n
ij
ji,EK GV ?
jG
?
水平地震层剪力最小值
类别 7度 8度 9度
扭转效应明显或基本
周期小于 3.5s的结构
0.016(0.024) 0.032(0.048) 0.064
基本周期大于 5s的结构 0.012(0.018) 0.024(0.032) 0.040
楼层最小地震剪力系数
注,1、基本周期介于 3.5s和 5s的结构，可取插入值
2、括号内数值分别用于设计基本加速度为 0.15g和 0.30g的地区
表 a
? 时程分析法 （简述）
? 时程分析法时一种动力计算方法，用地震
波（加速度时程）作为地面运动输入，直
接计算并输出结构随时间而变化的地震反
应。它既考虑了地震的振幅、频率和持续
时间三要素，又考虑了结构的动力特性。
计算结果可得到结构地震反应全过程，包
括每一时刻的内力、位移、屈服位置、塑
性变形等，也可以得到反应的最大值，是
一种先进的直接动力计算方法。
? 弹性时程分析的计算并不困难，在各种商用计算
程序中都可以实现，困难在于选用合适的地面运
动。因此，一般要选数条地震波进行多次计算，
规范要求应选用不少于二组实际强震记录和一组
人工模拟的地震加速度时程曲线（符合建筑场地
类别和设计地震分组特点，它们的反应谱应与设
计采用的反应谱在统计意义上相符），并采用小
震波峰值加速度。
? 由于结构进入弹塑性后的刚度随时间变化，因此
在弹塑性时程分析计算时必须给出构件的力与变
形的非线性关系，即恢复力模型。
? 时程分析法 （简述）
? 简 介
? 反应谱方法
? 时程分析法
[4]
? 简 介
?计算地震作用的方法可以分为静力法、反
应谱法（拟静力法）和时程分析法（直接
动力法）三大类。
?我国, 抗震规范, 要求在设计阶段按照反
应谱方法计算地震作用，少数情况才需要
采用时程分析法进行补充计算。规范要求
进行第二阶段验算的建筑是少数，第二阶
段验算采用弹塑性静力分析或弹塑性时程
分析方法。
? 反应谱方法
? 简 介
? 反应谱底部剪力法
? 振型分解反应谱法
? 简 介
? 反应谱理论是采用反应谱确定地震作用
的理论。 20世纪 40年代开始，世界上结
构抗振理论开始进入反应谱理论阶段，
是抗振理论的一大飞越，到 20世纪 50年
代末已基本取代了静力理论。
? 反应谱是通过单自由度弹性体系
的地震反应计算得到的谱曲线。
? 目前我国抗震设计都是采用加速度反应
谱计算地震作用
? 反应谱底部剪力法
? 底部剪力法只考虑结构的基本振型，适用
于高度不超过 40m、以剪切变形为主且质
量和刚度沿高度分布比较均匀的结构。
? 用底部剪力法计算地震作用时，将多自由
度体系等效成单自由度体系，只考虑结构
的基本自振周期计算总水平地震力，然后
再按一定规律分配到各个楼层。
? 振型分解反应谱法
?简 介
?平面结构振型分解反应谱法
?空间结构振型分解反应谱法
?简 介
? 较高的结构，除基本振型的影响外，高振
型的影响较大，因此一般高层建筑都要用
振型分解反应谱法考虑多个振型的组合。
一般可将质量集中在楼层的位置,n个楼
层为 n个质点，有 n个振型。在组合前要分
别计算每个振型的水平地震作用及其效应
（ M,V,N,等），然后进行内力与位移的
振型组合。
? 结构计算模型分为平面及空间结构，振型
组合也相应有两种方法 （ SRSS,CQC） 。
?
?平面结构振型分解反应谱法
按平面结算时,X,Y两个水平方向分布
计算，一个水平方向每个楼层有一个平
移自由度,n个楼层有 n个自由度,n个
频率和 n个振型。平面结构的振型如下
图所示。
第一振型 第二振型 第 j 振型 第 n 振型
图 1
?平面结构振型分解反应谱法
平面结构第 j振型,i质点的等效水平地震
力 为
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相应与 j 振型自振周期 的地震响应系数
jT
第 j 振型 i 质点的振幅系数
第 i 层（ i 质点）重力荷载代表值
j?
i振型的振型参与系数：
? 每个振兴的等效地震力与 图 1给出的振幅方
向相同，每个振型都可由等效地震力计算
得出结构的位移和各构件的弯矩、剪力和
轴力。
? 因为采用了反应谱，由各振型的地震影响
系数 得到的等效地震力是振动过程中的
最大值，其产生的内力和位移也是最大值，
实际上各振型的内力和位移达到最大值的
时间一般并不相同，因此，不能简单地将
各振型的内力和位移直接相加，而是通过
概率统计将各个振型的内力和位移组合起
来，这就是 振型组合 。
?平面结构振型分解反应谱法
? 因为总是前几个振型起主要作用，在工程设计时，
只需要用有限个振型计算内力和位移。如果有限
个振型参与的等效重量（或质量）达到总重量
（或总质量）的 90％，就已经足够精确了。
?平面结构振型分解反应谱法
第 j振型参与的等效重量可由下式计算
若取前 m个振型，则它们参与等效重量总和的百分比为
?
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? 对于平面结构，根据随机振动理论，地震作用
下的内力和位移由各振型的内力和位移平方和
再开方的方法（ Square Root of Sum of Square,简称
SRSS方法）组合得到：
?平面结构振型分解反应谱法
注：采用振型组合法时，突出屋面的小塔楼按其楼层质点参与振型计算，
鞭梢效应可在高振型体现。
?
?
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m
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2
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参与组合的振型数
由 j振型等效地震荷载求得的弯矩、或剪力、或轴力、或位移
振型组合后的弯矩、或剪力、或轴力、或位移
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jS
EKS
空间结构振型分解反应谱法
按空间结构计算时，每个楼层有两个平
动、一个转动，即 x,y,共三个自由度，
n个楼层有 3n个自由度,3n个频率和 3n
个振型，每个振型中各质点振幅有三个
分量，当其两个分量不为零时，振型耦
联。
采用空间结构计算模型时,x,y两
个水平方向地震依然分别独立作用，但
由于结构具有空间振型，如果振型耦联，
每个方向地震作用会同时得到 x,y方向
及扭转效应。
空间结构振型分解反应谱法
在 x方向地震作用时，可能有三组等
效地震力（ x,y方向及扭转），即：
空间结构振型分解反应谱法
ixjjx j i GF ???
ijixjjy j i GyF ???
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（ 1a）
（ 1b）
（ 1c）
上式中,是 x方向地震作用第 j 振
型的振型参与系数：
空间结构振型分解反应谱法
xj?
i
2
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n3
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式中
?、,yx
n3
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回转半径
i层质量绕质心转动的转动惯量
第 j振型 i质点在 三个方向的振幅分量
总自由度数
（ 2）
计算 y方向地震时，将式 （ 2） 分子
中 改为,其他符号不变，即可求
得 y方向地震作用第 j振型的振型参与系
数,式 （ 1） 中，用 代替,即
可得到一组相应 y方向地震作用的等效
地震力。
空间结构振型分解反应谱法
jix jiy
yj?yj? xj?
对空间结构，考虑空间各振型的相互影响，采
用完全二次方程法（ Complete Quadratic Combination,
简称 CQC法）进行组合：
? ?
? ?
?
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1r
rjjrEK SSS ?
空间结构振型分解反应谱法
式中,分别为 j 振型和 r 振型的弯矩、或
剪力、或轴力、或位移。 为参与组合的振型
数，空间结构一般要取 9～ 15个振型，当建筑较
高或结构沿竖向刚度很不均匀时，可取更多振
型。参与组合的振型应使振型参与等效重量达
到总重量的 90%.
rj SS,
m
（ 3）
为 j 振型与 r 振型的相关系数：
空间结构振型分解反应谱法
式中
jr?
2
tT
222
T
2
3
TT
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)1(8
????
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结构阻尼比
J 振型与 r 振型的周期比
rjT TT??
?
T?
（ 4）
如果是平面结构，各阶自振周期值
相差较大，当 小于 较多时,很小，
由式 （ 4） 计算的 值也很小，在式 （ 3）
中可以忽略；当 时，,因
而,在式 （ 3） 中该项为 的平方，
这样 CQC公式就简化成 SRSS公式了。
因此可以说,SRSS方法是 CQC方法的
特例，只能适用于平面结构。
空间结构振型分解反应谱法
jT rT T?
jr?
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jS
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水平地震层剪力最小值
,抗震规范, 规定，无论哪种反应谱法计算
等效地震力，结构任一楼层的水平地震剪力
（ i层剪力标准值）应满足下式要求：
第 j 层重荷载代表值
剪力系数，不应小于 表 a规定的最小地震剪力系数，
对竖向不规则结构的薄弱层，尚应乘以 1.15的增大系数
式中
i,EKV
?
?
?
n
ij
ji,EK GV ?
jG
?
水平地震层剪力最小值
类别 7度 8度 9度
扭转效应明显或基本
周期小于 3.5s的结构
0.016(0.024) 0.032(0.048) 0.064
基本周期大于 5s的结构 0.012(0.018) 0.024(0.032) 0.040
楼层最小地震剪力系数
注,1、基本周期介于 3.5s和 5s的结构，可取插入值
2、括号内数值分别用于设计基本加速度为 0.15g和 0.30g的地区
表 a
? 时程分析法 （简述）
? 时程分析法时一种动力计算方法，用地震
波（加速度时程）作为地面运动输入，直
接计算并输出结构随时间而变化的地震反
应。它既考虑了地震的振幅、频率和持续
时间三要素，又考虑了结构的动力特性。
计算结果可得到结构地震反应全过程，包
括每一时刻的内力、位移、屈服位置、塑
性变形等，也可以得到反应的最大值，是
一种先进的直接动力计算方法。
? 弹性时程分析的计算并不困难，在各种商用计算
程序中都可以实现，困难在于选用合适的地面运
动。因此，一般要选数条地震波进行多次计算，
规范要求应选用不少于二组实际强震记录和一组
人工模拟的地震加速度时程曲线（符合建筑场地
类别和设计地震分组特点，它们的反应谱应与设
计采用的反应谱在统计意义上相符），并采用小
震波峰值加速度。
? 由于结构进入弹塑性后的刚度随时间变化，因此
在弹塑性时程分析计算时必须给出构件的力与变
形的非线性关系，即恢复力模型。
? 时程分析法 （简述）
