非线性电路与混沌
—— 目 录 ——
二, 混沌的发现
四,倍周期分叉, 阵发混沌 和 奇怪吸引子
三,混沌运动的主要特征
五,实验原理, 仪器介绍, 内容 和 现象
六,混沌和现代科学
一,引言
引 言
?非线性特性才是自然界的基本特
性和本质存在
?混沌学揭示的随机性存在于确定
性之中的这一科学事实，最有力的
说明客观实体可以兼有确定性和随
机性。
混沌现象的发现
公认的最早发现混沌的是伟大的法国数学家，
物理学家 — 庞加莱,他是在研究天体力学，特别
是在研究三体问题时发现混沌的。他发现三体引
力相互作用能产生惊人的复杂行为，确定性动力
学方程的某些解有不可预见性。他在, 科学的价
值, 一书中写道：, 初始条件的微小差别在最后
的现象中产生了极大的差别；前者的微小误差促
成了后者的巨大误差，于是预言变的不可能了” 。
这些描述实际上已经蕴涵了“确定性系统具有内
在的随机性”这一混沌现象的重要特征。
混沌运动的主要特征
? 初值敏感性
? 长期行为的不可预见性
（例：洛仑兹的天气模型）
下一页
看两条轨道是如何分道扬镳的
（ 初值分别为 0.506,0.506127）
倍周期分岔
解释倍周期分岔现象，我们从混沌描述中最重要的的一维
非线性迭代方程式入手。这类方程中最有典型意义的是虫口方程。
)1(1 nnn xxx ??? ?
?式中的 是与虫口增长率有关的控制参数，同时它的大小也
反映了系统非线性的强弱。当 时，不管初值是多少，
经过足够长的迭代，结果都会达到同一个确定值
31 ???
?/11 ???x
这个值就叫做周期一或不动点，我们可以把这一结果想象成每
年的虫口都一样。
下一页
继续增大参数 ?，当 ?>3，周期一点不再稳
定。初值稍有变化，迭代的结果就再也不会
回到周期一点 1-1/?，而出现了周期二。
例如：
当 ?= 时,0.7是周期一点。现用 0.669去
迭代，就会出现周期二。迭代情况如下：
0.669---0.738---0.644---0.764---0.601---0.799---
0.545---0.829---0.472---0.830---0.469---0.830---
0.470---0.830---0.470……
3
下一页
3
13
现在，让参数 ?再增大，当 ?=3.449时，周期二解
也变的不稳定了，取而代之的是稳定的周期四解。当
参数继续增大，使得 ?=3.544时，周期四解又变的不稳
定了，取而代之的是稳定的周期八解。一直迭代下去，
还会出现周期十六、周期三十二等等。这就是著名的
倍周期分岔现象 。
值得注意的是，周期倍增过程没有限制，可以一
直这样分下去，但对应的 ?值却有一个极限 ??,，到达
??,时，迭代的稳定解是 2 ?周期解 ---周期无穷大，也就
是没有周期。所以这时得到的是非周期解，迭代的数
据到处乱跑，无法把握，系统进入混沌状态。
倍周期分岔产生的混沌，在心脏生理学方面有潜
在的应用价值。心律不齐，心肌梗塞这些医学难题，
有可能找到正确的答案。
下一页
倍周期分岔图
阵发混沌
系统的运动在某些时间段落，十分接近周期过程，
而在规则的运动段落之间，夹杂着看起来很随机
的跳跃 ---系统时而处于周期过程，时而处于非周
期过程，呈现出“阵发”行为。
奇怪吸引子
耗散系统其相体积要收缩，相空间的轨道经过足够长的时间
后都要收缩到有限区域 ---吸引子,如前面所讲的不动点，周
期解。它们是普通意义上的吸引子，是稳定的。
奇怪吸引子,系统的状态进入相应吸引域内，运动轨道都会
向吸引子会聚，但是，一切到达吸引子后的轨道由于其对初
始条件的敏感依赖性又会急剧的分离、发散，但仍要一直处
在吸引域的界限之内 ---轨道相互缠绕，来回穿行，永不相交。
例：洛仑兹吸引子 下一页
pypxdtdx ???
bzxy
dt
dz
yrxxz
dt
dy
??
????
R 有源非线性负阻元件,G 电导,C1和 C2 电容。
～
G
RC
1
C2
L
各区域的作用, 黄色区, 产生振荡,蓝色区, 移相，
粉色 区,有源非线性元件。
实验原理
下一页
0
I
V
上图是一个非线性负阻的电压电流特性曲线，它的
实现方法有许多种，本实验使用的是 Kennedy于 1993年提
出的方法。它采用了两个运算放大器和六个配置电阻来
实现的。由于我们主要研究的是元件的外部效应，即电
路两端的电压和流过其电流的关系，因此我们可以把上
述元件看成是一个黑匣子即 — 有 源非线性负阻 。
有源非线性元件的电压、电流特性,
下一页
电路方程组
Lcc
c iUUGUC ??? )(
d
d
21
2
2 ?
2d
d
c
L UiL ??
?
这三个方程一般没有解析解，但可以在简化后利用
计算机求解
112
1 )(
d
d
1 ccc
c gUUUGUC ???
?
实验仪器介绍
电导组
成的移
相电路
有源非线
性电阻LC组成的
振荡电路
电压表
电源开关
电压表
开关
实验内容
1,通过调节电位器 W1（粗调）和 W2（细调），在示
波器上观察倍周期分岔、周期三、单双吸引子的相图，
并在坐标纸上描图。
3.有源非线性电阻伏安特性的测量。
2.换上可调电感，通过调节电感来观察各种相图。
4.对分段线性进行拟合，计算斜率。
实验现象的观察一
周期一 周期二
实验现象的观察二
周期四 周期五
实验现象的观察三
周期三 单吸引子
实验现象的观察四
阵 发 混 沌
混沌和现代科学
今日科学认为混沌无处不在 。 过去的科学研究忽视了大自
然的不规则的, 不连续的, 稀奇古怪的一面, 把它们认为是偶
然的现象, 而弃置一旁 。 当人们在实验中看到了古怪变化的数
字, 或者是不要这些数字, 或是说这是干扰, 噪声, 甚至认为
是实验的失败 。 长久以来, 人们已无数次地见到了混沌, 但是
视而不见 。
现代混沌学家们在广泛的科学领域内寻找混沌, 抓住那些
无法解释的, 噪声,, 捉住那些出人意外的, 涨落,, 专门注
意那
些, 规则与不规则的混合,, 从这类紊乱复杂的现象中去发现
规
律 。
混沌在现代科技领域的应用举例
在通信领域的使用
混沌在其他学科的应用
在气象学中的应用
在生物学中的应用
在经济学中的应用
在通信领域的使用
通信在我们的生活中的作用越来越重要,尤其是电子商务
的兴起, 对保密通信提出了更高的要求 。 利用混沌进行保密
通信是现在十分热门的研究课题 。 混沌信号最本质的特征是
对初始条件极为敏感, 并导致了混沌信号的类随机特性 。 用
它作为载波调制出来的信号当然也具有类随机特性 。 因而,
调制混沌信号即使被敌方截获, 也很难被破译, 这就为混沌
应用于保密通信提供了有利条件 。 因此利用混沌进行保密通
信是目前十分热门的研究课题 。 混沌信号最本质的特征是对
初始条件极为敏感, 并由此信号又具有整体稳定性,当我们用
同一个混沌信号去驱动两个相同的系统时, 两个系统的某些
部分将产生同步化的行为, 这就为混沌应用于保密通信提供
了可行性 。
早在 1904年, 挪威气象学家 Bjerknes就提出天气预报
问题应提成大气运动方程组的初值问题 。 在近年的气象研
究中, 利用混沌进行中期预报的研究 。 由于气候系统是非
线性系统, 其初值问题的数值解是不确定的, 研究气候状
态的特征就要研究混沌态的特征, 研究气候系统的演变机
制就要研究混沌态的变化 。 在这些研究中使用的数学工具
主要是分形理论, 如分数维, 李亚普诺夫指数, 标度指数
和功率谱指数等 。 利用这些数学方法分别考察, 分析气候
状态特征量随控制变量的变化 。
在气象学中的应用
下一页
在数学上把天气 (气候 )预报问题提成初值问题，即用
动力学的方法进行预报，从认识论上讲就是把大气看成是确
定论的系统，这在较短的时间尺度内是行得通的，而在时间
较长的时候却是有问题的，主要是大气运动是非线性、强迫
和耗散的。由这三大特点，可以得到一幅这样的图像：误差
是随着时间呈指数增加的，初始场的作用随着时间是衰减的，
必须考虑能量的补充和耗散。 Lorenz发现了“蝴蝶效应”，
指的就是初始场微小的不确定性的指数放大。这就提出了确
定论预报的可预报性问题，中期数值天气预报逐日预报的可
预报时限大约是两三周左右的时间。
也就是说进行长期预报是不可能的 。
在生物学中的应用
混沌在生物学研究中的应用主要集中在生态学中的种群变
化；医学诊断疾病等方面。
这也许是最后的生命图景。从还原 ---综合还原高度整合。
生命不仅是空间结构的范畴，更是时间的范畴，千千万万种物质
的时空组合和演变，构成复杂而完美的动态生命体，将生命与非
生命区分开来。如何解决生命的本质，很多科学家认为应从多角
度入手，不仅仅是生物学的问题，而是一项系统工程，即未来的
生命科学，必需包含有数学成分。研究人体这一复杂系统,混沌
学,甚至弦论都不可少，只有将这些能研究复杂体系的数理方法
融入医学生物学才能带来真正意义上的生命科学的突破。因为生
命的最基本本质是具有时空性,混沌性 。 下一页
生命的整体性，包括：
（ 1）时间上整体，即生命活动的高度有序性；
（ 2）空间上整体，即生命结构和物质相互作用、相互影响形成网
络状整体。如形态上，人体结构和功能混沌调节机制（如免疫网
络调控、心脏、肺、肠的分形结构学原理，心电的混沌产生与心
脏普肯野氏纤维分形分布联系等等。在物质信号相互作用的动力
学研究上，其相互作用不仅仅是激活、失活或抑制、促进这一简
单的关系，而应包括复杂的数学过程，这种复杂的数学过程应是
非线性的，很可能符合混沌原理。这一现象至今尚未有人意识到
这一点，但将来肯定会的！当然，想彻底了解生命意义，这条路
还很长很长。
在经济学中的应用
像自然界的所有领域一样，在经济领域同样存在着混沌
现象。南美洲热带雨林中的彩蝶轻展双翅，北美大草原竟掀起
了一场风暴，这是极言世界复杂性的蝴蝶效应。对此，美国赛
纳尔公司（ Cerner，纽约证交所代码 CERN)首席执行官尼尔 ·帕
特森对此有刻骨铭心的认识。就因为他向公司 400名中层经理发
出的一份电子邮件竟让公司市值在短短三天时间内猛烈下跌了
两成，逾 3亿美元蒸发殆尽。类似的事情在经济学领域中数不胜
数。由此而应运而生了 经济混沌和经济波动的非线性动力学理
论。
下一页
虽然混沌现象的理论和实验研究在物理学、化学、生
物学、天体物理、气象学以及神经生理学等广泛领域获得重
要进展，但在经济学中遇到严重困难。济活动是人的行为，
动力学系统的时间尺度和观察者相近。所以经济主体和经济
结构随时间的演变难以忽略。时间序列的非稳态性质使目前
常用的稳态时间序列分析方法难以应用。这是为什么经济混
沌的研究比自然科学更为困难。
目前的研究主要为宏观经济运动，因为发达国家的市
场经济周期的观察积累了大量数据 (Zarnowitz,1992)。在各种
代表性的美国宏观经济指数中发现经济混沌的普遍证据
(Chen 1996a,b)。由于目前中国的经济统计数据的收集和整理
还不够充分，例证主要取之于美国的数据。但其可能的应用
对中国问题同样有潜在的可能。
① 天体运行的长期行为不可预测；
②电路中的混沌现象；非线性系统的控制；
③利用分形研究物质结构及性能；
混沌在其他学科的应用
—— 目 录 ——
二, 混沌的发现
四,倍周期分叉, 阵发混沌 和 奇怪吸引子
三,混沌运动的主要特征
五,实验原理, 仪器介绍, 内容 和 现象
六,混沌和现代科学
一,引言
引 言
?非线性特性才是自然界的基本特
性和本质存在
?混沌学揭示的随机性存在于确定
性之中的这一科学事实，最有力的
说明客观实体可以兼有确定性和随
机性。
混沌现象的发现
公认的最早发现混沌的是伟大的法国数学家，
物理学家 — 庞加莱,他是在研究天体力学，特别
是在研究三体问题时发现混沌的。他发现三体引
力相互作用能产生惊人的复杂行为，确定性动力
学方程的某些解有不可预见性。他在, 科学的价
值, 一书中写道：, 初始条件的微小差别在最后
的现象中产生了极大的差别；前者的微小误差促
成了后者的巨大误差，于是预言变的不可能了” 。
这些描述实际上已经蕴涵了“确定性系统具有内
在的随机性”这一混沌现象的重要特征。
混沌运动的主要特征
? 初值敏感性
? 长期行为的不可预见性
（例：洛仑兹的天气模型）
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看两条轨道是如何分道扬镳的
（ 初值分别为 0.506,0.506127）
倍周期分岔
解释倍周期分岔现象，我们从混沌描述中最重要的的一维
非线性迭代方程式入手。这类方程中最有典型意义的是虫口方程。
)1(1 nnn xxx ??? ?
?式中的 是与虫口增长率有关的控制参数，同时它的大小也
反映了系统非线性的强弱。当 时，不管初值是多少，
经过足够长的迭代，结果都会达到同一个确定值
31 ???
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这个值就叫做周期一或不动点，我们可以把这一结果想象成每
年的虫口都一样。
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继续增大参数 ?，当 ?>3，周期一点不再稳
定。初值稍有变化，迭代的结果就再也不会
回到周期一点 1-1/?，而出现了周期二。
例如：
当 ?= 时,0.7是周期一点。现用 0.669去
迭代，就会出现周期二。迭代情况如下：
0.669---0.738---0.644---0.764---0.601---0.799---
0.545---0.829---0.472---0.830---0.469---0.830---
0.470---0.830---0.470……
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现在，让参数 ?再增大，当 ?=3.449时，周期二解
也变的不稳定了，取而代之的是稳定的周期四解。当
参数继续增大，使得 ?=3.544时，周期四解又变的不稳
定了，取而代之的是稳定的周期八解。一直迭代下去，
还会出现周期十六、周期三十二等等。这就是著名的
倍周期分岔现象 。
值得注意的是，周期倍增过程没有限制，可以一
直这样分下去，但对应的 ?值却有一个极限 ??,，到达
??,时，迭代的稳定解是 2 ?周期解 ---周期无穷大，也就
是没有周期。所以这时得到的是非周期解，迭代的数
据到处乱跑，无法把握，系统进入混沌状态。
倍周期分岔产生的混沌，在心脏生理学方面有潜
在的应用价值。心律不齐，心肌梗塞这些医学难题，
有可能找到正确的答案。
下一页
倍周期分岔图
阵发混沌
系统的运动在某些时间段落，十分接近周期过程，
而在规则的运动段落之间，夹杂着看起来很随机
的跳跃 ---系统时而处于周期过程，时而处于非周
期过程，呈现出“阵发”行为。
奇怪吸引子
耗散系统其相体积要收缩，相空间的轨道经过足够长的时间
后都要收缩到有限区域 ---吸引子,如前面所讲的不动点，周
期解。它们是普通意义上的吸引子，是稳定的。
奇怪吸引子,系统的状态进入相应吸引域内，运动轨道都会
向吸引子会聚，但是，一切到达吸引子后的轨道由于其对初
始条件的敏感依赖性又会急剧的分离、发散，但仍要一直处
在吸引域的界限之内 ---轨道相互缠绕，来回穿行，永不相交。
例：洛仑兹吸引子 下一页
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R 有源非线性负阻元件,G 电导,C1和 C2 电容。
～
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C2
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各区域的作用, 黄色区, 产生振荡,蓝色区, 移相，
粉色 区,有源非线性元件。
实验原理
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I
V
上图是一个非线性负阻的电压电流特性曲线，它的
实现方法有许多种，本实验使用的是 Kennedy于 1993年提
出的方法。它采用了两个运算放大器和六个配置电阻来
实现的。由于我们主要研究的是元件的外部效应，即电
路两端的电压和流过其电流的关系，因此我们可以把上
述元件看成是一个黑匣子即 — 有 源非线性负阻 。
有源非线性元件的电压、电流特性,
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电路方程组
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这三个方程一般没有解析解，但可以在简化后利用
计算机求解
112
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实验仪器介绍
电导组
成的移
相电路
有源非线
性电阻LC组成的
振荡电路
电压表
电源开关
电压表
开关
实验内容
1,通过调节电位器 W1（粗调）和 W2（细调），在示
波器上观察倍周期分岔、周期三、单双吸引子的相图，
并在坐标纸上描图。
3.有源非线性电阻伏安特性的测量。
2.换上可调电感，通过调节电感来观察各种相图。
4.对分段线性进行拟合，计算斜率。
实验现象的观察一
周期一 周期二
实验现象的观察二
周期四 周期五
实验现象的观察三
周期三 单吸引子
实验现象的观察四
阵 发 混 沌
混沌和现代科学
今日科学认为混沌无处不在 。 过去的科学研究忽视了大自
然的不规则的, 不连续的, 稀奇古怪的一面, 把它们认为是偶
然的现象, 而弃置一旁 。 当人们在实验中看到了古怪变化的数
字, 或者是不要这些数字, 或是说这是干扰, 噪声, 甚至认为
是实验的失败 。 长久以来, 人们已无数次地见到了混沌, 但是
视而不见 。
现代混沌学家们在广泛的科学领域内寻找混沌, 抓住那些
无法解释的, 噪声,, 捉住那些出人意外的, 涨落,, 专门注
意那
些, 规则与不规则的混合,, 从这类紊乱复杂的现象中去发现
规
律 。
混沌在现代科技领域的应用举例
在通信领域的使用
混沌在其他学科的应用
在气象学中的应用
在生物学中的应用
在经济学中的应用
在通信领域的使用
通信在我们的生活中的作用越来越重要,尤其是电子商务
的兴起, 对保密通信提出了更高的要求 。 利用混沌进行保密
通信是现在十分热门的研究课题 。 混沌信号最本质的特征是
对初始条件极为敏感, 并导致了混沌信号的类随机特性 。 用
它作为载波调制出来的信号当然也具有类随机特性 。 因而,
调制混沌信号即使被敌方截获, 也很难被破译, 这就为混沌
应用于保密通信提供了有利条件 。 因此利用混沌进行保密通
信是目前十分热门的研究课题 。 混沌信号最本质的特征是对
初始条件极为敏感, 并由此信号又具有整体稳定性,当我们用
同一个混沌信号去驱动两个相同的系统时, 两个系统的某些
部分将产生同步化的行为, 这就为混沌应用于保密通信提供
了可行性 。
早在 1904年, 挪威气象学家 Bjerknes就提出天气预报
问题应提成大气运动方程组的初值问题 。 在近年的气象研
究中, 利用混沌进行中期预报的研究 。 由于气候系统是非
线性系统, 其初值问题的数值解是不确定的, 研究气候状
态的特征就要研究混沌态的特征, 研究气候系统的演变机
制就要研究混沌态的变化 。 在这些研究中使用的数学工具
主要是分形理论, 如分数维, 李亚普诺夫指数, 标度指数
和功率谱指数等 。 利用这些数学方法分别考察, 分析气候
状态特征量随控制变量的变化 。
在气象学中的应用
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在数学上把天气 (气候 )预报问题提成初值问题，即用
动力学的方法进行预报，从认识论上讲就是把大气看成是确
定论的系统，这在较短的时间尺度内是行得通的，而在时间
较长的时候却是有问题的，主要是大气运动是非线性、强迫
和耗散的。由这三大特点，可以得到一幅这样的图像：误差
是随着时间呈指数增加的，初始场的作用随着时间是衰减的，
必须考虑能量的补充和耗散。 Lorenz发现了“蝴蝶效应”，
指的就是初始场微小的不确定性的指数放大。这就提出了确
定论预报的可预报性问题，中期数值天气预报逐日预报的可
预报时限大约是两三周左右的时间。
也就是说进行长期预报是不可能的 。
在生物学中的应用
混沌在生物学研究中的应用主要集中在生态学中的种群变
化；医学诊断疾病等方面。
这也许是最后的生命图景。从还原 ---综合还原高度整合。
生命不仅是空间结构的范畴，更是时间的范畴，千千万万种物质
的时空组合和演变，构成复杂而完美的动态生命体，将生命与非
生命区分开来。如何解决生命的本质，很多科学家认为应从多角
度入手，不仅仅是生物学的问题，而是一项系统工程，即未来的
生命科学，必需包含有数学成分。研究人体这一复杂系统,混沌
学,甚至弦论都不可少，只有将这些能研究复杂体系的数理方法
融入医学生物学才能带来真正意义上的生命科学的突破。因为生
命的最基本本质是具有时空性,混沌性 。 下一页
生命的整体性，包括：
（ 1）时间上整体，即生命活动的高度有序性；
（ 2）空间上整体，即生命结构和物质相互作用、相互影响形成网
络状整体。如形态上，人体结构和功能混沌调节机制（如免疫网
络调控、心脏、肺、肠的分形结构学原理，心电的混沌产生与心
脏普肯野氏纤维分形分布联系等等。在物质信号相互作用的动力
学研究上，其相互作用不仅仅是激活、失活或抑制、促进这一简
单的关系，而应包括复杂的数学过程，这种复杂的数学过程应是
非线性的，很可能符合混沌原理。这一现象至今尚未有人意识到
这一点，但将来肯定会的！当然，想彻底了解生命意义，这条路
还很长很长。
在经济学中的应用
像自然界的所有领域一样，在经济领域同样存在着混沌
现象。南美洲热带雨林中的彩蝶轻展双翅，北美大草原竟掀起
了一场风暴，这是极言世界复杂性的蝴蝶效应。对此，美国赛
纳尔公司（ Cerner，纽约证交所代码 CERN)首席执行官尼尔 ·帕
特森对此有刻骨铭心的认识。就因为他向公司 400名中层经理发
出的一份电子邮件竟让公司市值在短短三天时间内猛烈下跌了
两成，逾 3亿美元蒸发殆尽。类似的事情在经济学领域中数不胜
数。由此而应运而生了 经济混沌和经济波动的非线性动力学理
论。
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虽然混沌现象的理论和实验研究在物理学、化学、生
物学、天体物理、气象学以及神经生理学等广泛领域获得重
要进展，但在经济学中遇到严重困难。济活动是人的行为，
动力学系统的时间尺度和观察者相近。所以经济主体和经济
结构随时间的演变难以忽略。时间序列的非稳态性质使目前
常用的稳态时间序列分析方法难以应用。这是为什么经济混
沌的研究比自然科学更为困难。
目前的研究主要为宏观经济运动，因为发达国家的市
场经济周期的观察积累了大量数据 (Zarnowitz,1992)。在各种
代表性的美国宏观经济指数中发现经济混沌的普遍证据
(Chen 1996a,b)。由于目前中国的经济统计数据的收集和整理
还不够充分，例证主要取之于美国的数据。但其可能的应用
对中国问题同样有潜在的可能。
① 天体运行的长期行为不可预测；
②电路中的混沌现象；非线性系统的控制；
③利用分形研究物质结构及性能；
混沌在其他学科的应用
