哈工大计算机学院 苏小红 1
第四章 自由曲线与曲面
（一）
哈尔滨工业大学计算机学院
苏小红
2哈工大计算机学院 苏小红
概 述
曲线的分类
? 规则曲线
? 自由曲线
? 随机曲线
3哈工大计算机学院 苏小红
概 述
研究分支
? 计算几何
1969 Minsky,Papert提出
1972 A.R.Forrest给出正式定义
? CAGD (Computer Aided Geometrical Design)
1974 Barnhill,Riesenfeld,美国 Utah大学的一次国
际会议上提出
4哈工大计算机学院 苏小红
概 述
研究内容
? 对几何外形信息的计算机表示
? 对几何外形信息的分析与综合
? 对几何外形信息的控制与显示
5哈工大计算机学院 苏小红
概 述
对形状数学描述的要求？
从计算机对形状处理的角度来看
（ 1） 唯一性
（ 2） 几何不变性
对在不同测量坐标系测得的同一组数据点进行拟合，
用同样的数学方法得到的拟合曲线形状不变。
6哈工大计算机学院 苏小红
概 述
（ 3） 易于定界
（ 4） 统一性：
统一的数学表示，便于建立统一的数据库
标量函数：平面曲线 y = f(x)
空间曲线 y = f(x)
z = g(x)
矢量函数：平面曲线 P(t) = [x(t) y(t)]
空间曲线 P(t) = [x(t) y(t) z(t)]
??
??? ?
?
?
?
],[
)(
)(
)(
bat
tzz
tyy
txx
7哈工大计算机学院 苏小红
概 述
从形状表示与设计的角度来看
（ 1）丰富的表达能力：表达两类曲线曲面
（ 2）易于实现光滑连接
（ 3）形状易于预测、控制和修改
（ 4）几何意义直观，设计不必考虑其数学表达
8哈工大计算机学院 苏小红
自由曲线曲面的发展过程
目标：美观，且物理性能最佳
1963年，美国波音飞机公司,Ferguson双三次曲
面片
1964~1967年，美国 MIT,Coons双三次曲面片
1971年，法国雷诺汽车公司,Bezier曲线曲面
1974年，美国通用汽车公司,Cordon和
Riesenfeld,Forrest,B样条曲线曲面
1975年，美国 Syracuse大学,Versprille有理 B样条
80年代,Piegl和 Tiller,NURBS方法
9哈工大计算机学院 苏小红
参数曲线基础（ 1/6）
曲线的表示形式
? 非参数表示
显式表示
隐式表示
?
?
?
?
?
)(
)(
xgz
xfy
?
?
?
?
?
0),,(
0),,(
zyxg
zyxf
10哈工大计算机学院 苏小红
参数曲线基础（ 2/6）
? 参数表示
参数的含义
? 时间，距离，角度，比例等等
? 规范参数区间 [0,1]
?
?
?
?
?
?
?
?
?
],[
)(
)(
)(
bat
tzz
tyy
txx
11哈工大计算机学院 苏小红
参数曲线基础（ 3/6）
参数矢量表示形式
? 例子：直线段的参数表示
]1,0[10)1()01(0)( ???????? ttPPtPPtPtPP
12哈工大计算机学院 苏小红
参数曲线基础（ 4/6）
参数连续性
? 传统的、严格的连续性
? 称曲线 P = P(t)在 处 n阶参数连续，如果
它在 处 n阶左右导数存在，并且满足
? 记号
0tt?
0t
nkdt tPddt tPd ttk
k
ttk
k
?,1,0,)()(
00
?? ?? ??
nC
13哈工大计算机学院 苏小红
参数曲线基础（ 5/6）
几何连续性
? 直观的、易于交互控制的连续性
? 0阶几何连续
称曲线 P=P(t)在 处 0阶几何连续，如果它在
处位置连续，即
记为
? 1阶几何连续
称曲线 P=P(t)在 处 1阶几何连续，如果它在该
处,并且切矢量方向连续
记为
0tt? 0t
)()( 00 ?? ? tPtP
0GC
0tt?
0GC
为任一常数0)()( 00 ????? ?? ?? tPtP
1GC
14哈工大计算机学院 苏小红
参数曲线基础（ 6/6）
? 2阶几何连续
称曲线 P=P(t)在 处 2阶几何连续，如果它在 处
（ 1）
（ 2）副法矢量方向连续
（ 3）曲率连续
0tt? 0t
1GC
)()( 00 ?? ? tBtB
)()( 00 ?? ? tktk
15哈工大计算机学院 苏小红
参数表示的好处
有更大的自由度来控制曲线, 曲面的形状
易于用矢量和矩阵表示几何分量, 简化了计算
设计或表示形状更直观, 许多参数表示的基函数
如 Bernstein基和 B样条函数, 有明显的几何意义
16哈工大计算机学院 苏小红
曲线曲面拟合方法
已知条件的表示方法
? 一系列有序的离散数据点
型值点
控制点
? 边界条件
? 连续性要求
17哈工大计算机学院 苏小红
曲线曲面拟合方法
生成方法
? 插值
点点通过型值点
插值算法：线性插值、抛物样条插值,Hermite插
值
? 逼近
提供的是存在误差的实验数据
? 最小二乘法、回归分析
提供的是构造曲线的轮廓线用的控制点
? Bezier曲线,B样条曲线等
? 拟合
18哈工大计算机学院 苏小红
参数多项式曲线（ 1/4）
为什么采用参数多项式曲线
? 表示最简单
? 理论和应用最成熟
定义 --n次多项式曲线
]1,0[
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10
10
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n
n
n
n
n
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19哈工大计算机学院 苏小红
参数多项式曲线（ 2/4）
矢量表示形式
? 加权和形式
? 缺点
没有明显的几何意义
与曲线的关系不明确，导致曲线的形状控制困难
]1,0[
1
)(
)(
)(
)(
10
10
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iP
iP
20哈工大计算机学院 苏小红
参数多项式曲线（ 3/4）
矩阵表示
? 矩阵分解
? 几何矩阵
? 控制顶点
? 基矩阵 M
确定了一组基函数
MGC ??
]1,0[)( ?????? tTMGTCtP
? ?nGGGG ?10?
iG
TM?
21哈工大计算机学院 苏小红
参数多项式曲线（ 4/4）
? 例子 — 直线段的矩阵表示
? ? ]1,0[
1
10
11
)()1()(
100
10010
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t
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PPP
tPPtPtPPtP
P0
P1
P0+P1
几何矩阵 G 基矩阵 MT
22哈工大计算机学院 苏小红
三次 Hermite曲线 (1/7)
定义
? 给定 4个矢量,称满足条件的三
次多项式曲线 P(t)为 Hermite曲线
1010,,,RRPP
10
10
)1(,)0(
)1(,)0(
RPRP
PPPP
????
??
P0
P1
R0
R1
23哈工大计算机学院 苏小红
三次 Hermite曲线 (2/7)
矩阵表示
? 条件
11
00
11
00
3
2
1
0
|
0
0
1
0
|
1
1
1
1
|
0
0
0
1
|
RMGTMG
RMGTMG
PMGTMG
PMGTMG
HHtHH
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HHtHH
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24哈工大计算机学院 苏小红
三次 Hermite曲线 (3/7)
? 合并
? 解
? ?
HHH GRRPPMG
取为
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0011
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1100
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2300
2301
3010
2010
1110
0011
1
H
M
25哈工大计算机学院 苏小红
三次 Hermite曲线 (4/7)
基矩阵与基函数（调和函数）
?
?
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2300
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0
1
0
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32
32
3
3
2
tH
tH
tG
tG
tt
ttt
tt
tt
t
t
t
TM
H
26哈工大计算机学院 苏小红
三次 Hermite曲线 (5/7)
形状控制
? 改变端点位置矢量
? 调节切矢量 的方向
? 调节切矢量 的长度10,RR
10,PP
10,RR
27哈工大计算机学院 苏小红
三次 Hermite曲线 (6/7)
三次参数样条曲线
? 样条?
? 曲线的定义
给定参数节点,型值点,求一条
的分段三次参数曲线,
使 。 P(t)称为三次参数样条曲线
??niit 0? ? ?niiP 0?
]),[)(( 0 nttttP ?
itttP ?|)(
2C
28哈工大计算机学院 苏小红
三次 Hermite曲线 (7/7)
优点：
? 简单，易于理解
缺点：
? 难于给出两个端点处的切线矢量作为初始条件
? 不方便
所有参数插值曲线的缺点：
? 只限于作一条点点通过给定数据点的曲线
? 只适用于插值场合，如外形的数学放样
? 不适合于外形设计
第四章 自由曲线与曲面
（一）
哈尔滨工业大学计算机学院
苏小红
2哈工大计算机学院 苏小红
概 述
曲线的分类
? 规则曲线
? 自由曲线
? 随机曲线
3哈工大计算机学院 苏小红
概 述
研究分支
? 计算几何
1969 Minsky,Papert提出
1972 A.R.Forrest给出正式定义
? CAGD (Computer Aided Geometrical Design)
1974 Barnhill,Riesenfeld,美国 Utah大学的一次国
际会议上提出
4哈工大计算机学院 苏小红
概 述
研究内容
? 对几何外形信息的计算机表示
? 对几何外形信息的分析与综合
? 对几何外形信息的控制与显示
5哈工大计算机学院 苏小红
概 述
对形状数学描述的要求？
从计算机对形状处理的角度来看
（ 1） 唯一性
（ 2） 几何不变性
对在不同测量坐标系测得的同一组数据点进行拟合，
用同样的数学方法得到的拟合曲线形状不变。
6哈工大计算机学院 苏小红
概 述
（ 3） 易于定界
（ 4） 统一性：
统一的数学表示，便于建立统一的数据库
标量函数：平面曲线 y = f(x)
空间曲线 y = f(x)
z = g(x)
矢量函数：平面曲线 P(t) = [x(t) y(t)]
空间曲线 P(t) = [x(t) y(t) z(t)]
??
??? ?
?
?
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],[
)(
)(
)(
bat
tzz
tyy
txx
7哈工大计算机学院 苏小红
概 述
从形状表示与设计的角度来看
（ 1）丰富的表达能力：表达两类曲线曲面
（ 2）易于实现光滑连接
（ 3）形状易于预测、控制和修改
（ 4）几何意义直观，设计不必考虑其数学表达
8哈工大计算机学院 苏小红
自由曲线曲面的发展过程
目标：美观，且物理性能最佳
1963年，美国波音飞机公司,Ferguson双三次曲
面片
1964~1967年，美国 MIT,Coons双三次曲面片
1971年，法国雷诺汽车公司,Bezier曲线曲面
1974年，美国通用汽车公司,Cordon和
Riesenfeld,Forrest,B样条曲线曲面
1975年，美国 Syracuse大学,Versprille有理 B样条
80年代,Piegl和 Tiller,NURBS方法
9哈工大计算机学院 苏小红
参数曲线基础（ 1/6）
曲线的表示形式
? 非参数表示
显式表示
隐式表示
?
?
?
?
?
)(
)(
xgz
xfy
?
?
?
?
?
0),,(
0),,(
zyxg
zyxf
10哈工大计算机学院 苏小红
参数曲线基础（ 2/6）
? 参数表示
参数的含义
? 时间，距离，角度，比例等等
? 规范参数区间 [0,1]
?
?
?
?
?
?
?
?
?
],[
)(
)(
)(
bat
tzz
tyy
txx
11哈工大计算机学院 苏小红
参数曲线基础（ 3/6）
参数矢量表示形式
? 例子：直线段的参数表示
]1,0[10)1()01(0)( ???????? ttPPtPPtPtPP
12哈工大计算机学院 苏小红
参数曲线基础（ 4/6）
参数连续性
? 传统的、严格的连续性
? 称曲线 P = P(t)在 处 n阶参数连续，如果
它在 处 n阶左右导数存在，并且满足
? 记号
0tt?
0t
nkdt tPddt tPd ttk
k
ttk
k
?,1,0,)()(
00
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nC
13哈工大计算机学院 苏小红
参数曲线基础（ 5/6）
几何连续性
? 直观的、易于交互控制的连续性
? 0阶几何连续
称曲线 P=P(t)在 处 0阶几何连续，如果它在
处位置连续，即
记为
? 1阶几何连续
称曲线 P=P(t)在 处 1阶几何连续，如果它在该
处,并且切矢量方向连续
记为
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)()( 00 ?? ? tPtP
0GC
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0GC
为任一常数0)()( 00 ????? ?? ?? tPtP
1GC
14哈工大计算机学院 苏小红
参数曲线基础（ 6/6）
? 2阶几何连续
称曲线 P=P(t)在 处 2阶几何连续，如果它在 处
（ 1）
（ 2）副法矢量方向连续
（ 3）曲率连续
0tt? 0t
1GC
)()( 00 ?? ? tBtB
)()( 00 ?? ? tktk
15哈工大计算机学院 苏小红
参数表示的好处
有更大的自由度来控制曲线, 曲面的形状
易于用矢量和矩阵表示几何分量, 简化了计算
设计或表示形状更直观, 许多参数表示的基函数
如 Bernstein基和 B样条函数, 有明显的几何意义
16哈工大计算机学院 苏小红
曲线曲面拟合方法
已知条件的表示方法
? 一系列有序的离散数据点
型值点
控制点
? 边界条件
? 连续性要求
17哈工大计算机学院 苏小红
曲线曲面拟合方法
生成方法
? 插值
点点通过型值点
插值算法：线性插值、抛物样条插值,Hermite插
值
? 逼近
提供的是存在误差的实验数据
? 最小二乘法、回归分析
提供的是构造曲线的轮廓线用的控制点
? Bezier曲线,B样条曲线等
? 拟合
18哈工大计算机学院 苏小红
参数多项式曲线（ 1/4）
为什么采用参数多项式曲线
? 表示最简单
? 理论和应用最成熟
定义 --n次多项式曲线
]1,0[
)(
)(
)(
10
10
10
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?
?
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?
19哈工大计算机学院 苏小红
参数多项式曲线（ 2/4）
矢量表示形式
? 加权和形式
? 缺点
没有明显的几何意义
与曲线的关系不明确，导致曲线的形状控制困难
]1,0[
1
)(
)(
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)(
10
10
10
???
?
?
?
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]1,0[)( 10 ??????? tPtPtPTCtP nn?
iP
iP
20哈工大计算机学院 苏小红
参数多项式曲线（ 3/4）
矩阵表示
? 矩阵分解
? 几何矩阵
? 控制顶点
? 基矩阵 M
确定了一组基函数
MGC ??
]1,0[)( ?????? tTMGTCtP
? ?nGGGG ?10?
iG
TM?
21哈工大计算机学院 苏小红
参数多项式曲线（ 4/4）
? 例子 — 直线段的矩阵表示
? ? ]1,0[
1
10
11
)()1()(
100
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?
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PPP
tPPtPtPPtP
P0
P1
P0+P1
几何矩阵 G 基矩阵 MT
22哈工大计算机学院 苏小红
三次 Hermite曲线 (1/7)
定义
? 给定 4个矢量,称满足条件的三
次多项式曲线 P(t)为 Hermite曲线
1010,,,RRPP
10
10
)1(,)0(
)1(,)0(
RPRP
PPPP
????
??
P0
P1
R0
R1
23哈工大计算机学院 苏小红
三次 Hermite曲线 (2/7)
矩阵表示
? 条件
11
00
11
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2
1
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0
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24哈工大计算机学院 苏小红
三次 Hermite曲线 (3/7)
? 合并
? 解
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HHH GRRPPMG
取为
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0011
1
H
M
25哈工大计算机学院 苏小红
三次 Hermite曲线 (4/7)
基矩阵与基函数（调和函数）
?
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tH
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t
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TM
H
26哈工大计算机学院 苏小红
三次 Hermite曲线 (5/7)
形状控制
? 改变端点位置矢量
? 调节切矢量 的方向
? 调节切矢量 的长度10,RR
10,PP
10,RR
27哈工大计算机学院 苏小红
三次 Hermite曲线 (6/7)
三次参数样条曲线
? 样条?
? 曲线的定义
给定参数节点,型值点,求一条
的分段三次参数曲线,
使 。 P(t)称为三次参数样条曲线
??niit 0? ? ?niiP 0?
]),[)(( 0 nttttP ?
itttP ?|)(
2C
28哈工大计算机学院 苏小红
三次 Hermite曲线 (7/7)
优点：
? 简单，易于理解
缺点：
? 难于给出两个端点处的切线矢量作为初始条件
? 不方便
所有参数插值曲线的缺点：
? 只限于作一条点点通过给定数据点的曲线
? 只适用于插值场合，如外形的数学放样
? 不适合于外形设计
