1
第五章
图形变换与裁剪
计算机学院
苏小红
2
基本内容
1 三维图形的基本问题
2 平面几何投影
平行投影
透视投影
3
三维图形的基本问题（ 1/5）
? 显示器屏幕、绘图纸等是二维的
? 显示对象是三维的
? 解决方法 ----投影
1,在二维屏幕上如何显示三维物体？
4
三维图形的基本问题（ 2/5）
2,如何表示三维物体？
? 三维形体的表示 ----空间直线段、曲线段、多边形、曲
面片
? 三维形体的输入、运算、有效性保证 ----困难
? 解决方法 ----各种用于形体表示的理论、模型、方法
5
三维图形的基本问题（ 3/5）
3,如何反映遮挡关系？
? 物体之间或物体的不同部分之间存在相互遮挡关系
? 解决方法 ----消除隐藏面与隐藏线
6
三维图形的基本问题（ 4/5）
? 何谓真实感图形？
? 真实感来源于
透视关系和遮挡关系
光线传播引起的物体表面颜色的自然分布
? 解决方法
建立光照明模型
真实感图形绘制
4,如何产生真实感图形
7
三维图形的基本问题（ 5/5）
三维图形的基本研究内容
1,投影
2,三维形体的表示
3,消除隐藏面与隐藏线
4,建立光照明模型、研究真实感图形绘制方法
8
如何投影?
生活中的类比 --如何拍摄景物？
? 拍摄过程
选景
取景 --裁剪
对焦 —参考点
按快门 --成像
? 移动方式
移动景物
移动照相机
平面几何投影（ 1/16）
9
? 投影 —照相机模型
选定投影类型
设置投影参数 – 拍摄方向、距离等
三维裁剪 –取景
投影和显示 –成像
平面几何投影（ 2/16）
10
平面几何投影及其分类
? 投影
将 n维的点变换成小于 n维的点
将 3维的点变换成小于 3维的点
? 投影中心
观察点、视点
? 投影面
不经过投影中心
平面几何投影（ 3/16）
11
平面几何投影（ 4/16）
? 投影线
从投影中心向物体上各点发出的射线
? 平面几何投影
投影面是平面
投影线为直线
? 投影变换
投影过程
投影的数学表示
12
平面几何投影（ 5/16）
? 投影分类
13
平面几何投影（ 6/16）
透视投影 平行投影
14
平面几何投影（ 7/16）
平行投影
? 投影中心与投影平面之间的距离为无限
投影方向
投影平面
15
平面几何投影（ 8/16）
正投影与斜投影
正平行投影 斜平行投影
16
平面几何投影（ 9/16）
三视图：正视图、侧视图和俯视图
y
x
主视图
俯视图
侧视图
图 3 一个直角棱台的三视图
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1000
0100
0000
0001
vT
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?????
????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
100
0100
0010
0001
1000
0)90c o s ()90s i n (0
0)90s i n ()90c o s (0
0001
1000
0000
0010
0001
p
h
z
T
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
100
0100
0010
0001
1000
0100
0090c o s90s i n
0090s i n90c o s
1000
0100
0010
0000
L
w
x
T
z
17
从三视图很难想象出实际物体的空间形状
解决：
投影平面不垂直于任何一个坐标轴 ——正轴测投影
y
x
z
图 5 正轴测投影平面的定义
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
??
1000
0c o ss in0
0s inc o s0
0001
1000
0c o s0s in
0010
0s in0c o s
xyyx RRR
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??????
??
??????
?
1000
0c o sc o ss inc o ss in
0s inc o s0
0c o ss ins ins inc o s
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1000
0000
0010
0001
yxRT
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
???
?
1000
00s i nc o ss i n
00c o s0
00s i ns i nc o s
? ? ? ?Tzyxzyx 11 ????
投影方程：
平面几何投影（ 10/16）
18
120° 120°
120°
(a) 正等轴测
y
z x
投影
平面 三个单位向量将投影成三个长度相等的平
面向量，即三根坐标轴有相同的变形系数
正方体的 正等轴测投影
? ? ? ?Tzyx x,10011 ???? ? ?.10s i ns i nc o s ????
? ? ? ?Tzyx y,10101 ???? ? ?.10c o s0 ??
? ? ? ?Tzyx z,11001 ???? ? ?.10s i nco ss i n ?????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1000
00s inc o ss in
00c o s0
00s ins inc o s
???
?
???
T
平面几何投影（ 11/16）
19
正方体的 正轴测投影
(c)正三轴测
y
z x
投影
平面
(b)正二轴测
投影
平面
y
z
x
平面几何投影（ 12/16）
20
透视投影
? 投影中心与投影平面之间的距离为有限
? 参数：投影方向，距离
? 例子：室内白炽灯的投影，视觉系统
特点：
? 产生近大远小的视觉效果，由它产生的图形深度感
强，看起来更加真实。
平面几何投影（ 13/16）
21
透视投影投影方程
y
x
z
投影中心
d
x’
y’
P’
P
y
x
z 投影平面
一点透视
dr /1??
dz xdz xdx ?????? )|(|
dz ydz ydy ?????? )|(|
1)/( ???? dz
xx
1)/( ???? dz yy
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1000
100
0010
0001
r
T
? ? ?????? ??????? 11111 rz zrz yrz xzyx
平面几何投影（ 14/16）
22
灭点的个数?
灭点：
? 不平行于投影平面的平行线，经过透视投影之后相交于
一点，称为灭点,
y
x
z
z轴灭点
图 7 正方体的一点透视及其灭点空间平行线可认为是相交于无穷远点，
灭点可以看成是无穷远点经透视投影后得到的点
? ? ? ? ? ?r
r
Hzyx 100
1000
100
0010
0001
0100 ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ? ? ?1/1001 rzyx ????
灭点的位置?
平面几何投影（ 15/16）
23一点透视 两点透视 三点透视
主灭点,平行于坐标轴的平行线产生的灭点。
? 一点透视
? 两点透视
? 三点透视
主灭点的个数由什么决定?
平面几何投影（ 16/16）
第五章
图形变换与裁剪
计算机学院
苏小红
2
基本内容
1 三维图形的基本问题
2 平面几何投影
平行投影
透视投影
3
三维图形的基本问题（ 1/5）
? 显示器屏幕、绘图纸等是二维的
? 显示对象是三维的
? 解决方法 ----投影
1,在二维屏幕上如何显示三维物体？
4
三维图形的基本问题（ 2/5）
2,如何表示三维物体？
? 三维形体的表示 ----空间直线段、曲线段、多边形、曲
面片
? 三维形体的输入、运算、有效性保证 ----困难
? 解决方法 ----各种用于形体表示的理论、模型、方法
5
三维图形的基本问题（ 3/5）
3,如何反映遮挡关系？
? 物体之间或物体的不同部分之间存在相互遮挡关系
? 解决方法 ----消除隐藏面与隐藏线
6
三维图形的基本问题（ 4/5）
? 何谓真实感图形？
? 真实感来源于
透视关系和遮挡关系
光线传播引起的物体表面颜色的自然分布
? 解决方法
建立光照明模型
真实感图形绘制
4,如何产生真实感图形
7
三维图形的基本问题（ 5/5）
三维图形的基本研究内容
1,投影
2,三维形体的表示
3,消除隐藏面与隐藏线
4,建立光照明模型、研究真实感图形绘制方法
8
如何投影?
生活中的类比 --如何拍摄景物？
? 拍摄过程
选景
取景 --裁剪
对焦 —参考点
按快门 --成像
? 移动方式
移动景物
移动照相机
平面几何投影（ 1/16）
9
? 投影 —照相机模型
选定投影类型
设置投影参数 – 拍摄方向、距离等
三维裁剪 –取景
投影和显示 –成像
平面几何投影（ 2/16）
10
平面几何投影及其分类
? 投影
将 n维的点变换成小于 n维的点
将 3维的点变换成小于 3维的点
? 投影中心
观察点、视点
? 投影面
不经过投影中心
平面几何投影（ 3/16）
11
平面几何投影（ 4/16）
? 投影线
从投影中心向物体上各点发出的射线
? 平面几何投影
投影面是平面
投影线为直线
? 投影变换
投影过程
投影的数学表示
12
平面几何投影（ 5/16）
? 投影分类
13
平面几何投影（ 6/16）
透视投影 平行投影
14
平面几何投影（ 7/16）
平行投影
? 投影中心与投影平面之间的距离为无限
投影方向
投影平面
15
平面几何投影（ 8/16）
正投影与斜投影
正平行投影 斜平行投影
16
平面几何投影（ 9/16）
三视图：正视图、侧视图和俯视图
y
x
主视图
俯视图
侧视图
图 3 一个直角棱台的三视图
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1000
0100
0000
0001
vT
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?????
????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
100
0100
0010
0001
1000
0)90c o s ()90s i n (0
0)90s i n ()90c o s (0
0001
1000
0000
0010
0001
p
h
z
T
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
100
0100
0010
0001
1000
0100
0090c o s90s i n
0090s i n90c o s
1000
0100
0010
0000
L
w
x
T
z
17
从三视图很难想象出实际物体的空间形状
解决：
投影平面不垂直于任何一个坐标轴 ——正轴测投影
y
x
z
图 5 正轴测投影平面的定义
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
??
1000
0c o ss in0
0s inc o s0
0001
1000
0c o s0s in
0010
0s in0c o s
xyyx RRR
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??????
??
??????
?
1000
0c o sc o ss inc o ss in
0s inc o s0
0c o ss ins ins inc o s
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1000
0000
0010
0001
yxRT
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
???
?
1000
00s i nc o ss i n
00c o s0
00s i ns i nc o s
? ? ? ?Tzyxzyx 11 ????
投影方程：
平面几何投影（ 10/16）
18
120° 120°
120°
(a) 正等轴测
y
z x
投影
平面 三个单位向量将投影成三个长度相等的平
面向量，即三根坐标轴有相同的变形系数
正方体的 正等轴测投影
? ? ? ?Tzyx x,10011 ???? ? ?.10s i ns i nc o s ????
? ? ? ?Tzyx y,10101 ???? ? ?.10c o s0 ??
? ? ? ?Tzyx z,11001 ???? ? ?.10s i nco ss i n ?????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1000
00s inc o ss in
00c o s0
00s ins inc o s
???
?
???
T
平面几何投影（ 11/16）
19
正方体的 正轴测投影
(c)正三轴测
y
z x
投影
平面
(b)正二轴测
投影
平面
y
z
x
平面几何投影（ 12/16）
20
透视投影
? 投影中心与投影平面之间的距离为有限
? 参数：投影方向，距离
? 例子：室内白炽灯的投影，视觉系统
特点：
? 产生近大远小的视觉效果，由它产生的图形深度感
强，看起来更加真实。
平面几何投影（ 13/16）
21
透视投影投影方程
y
x
z
投影中心
d
x’
y’
P’
P
y
x
z 投影平面
一点透视
dr /1??
dz xdz xdx ?????? )|(|
dz ydz ydy ?????? )|(|
1)/( ???? dz
xx
1)/( ???? dz yy
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1000
100
0010
0001
r
T
? ? ?????? ??????? 11111 rz zrz yrz xzyx
平面几何投影（ 14/16）
22
灭点的个数?
灭点：
? 不平行于投影平面的平行线，经过透视投影之后相交于
一点，称为灭点,
y
x
z
z轴灭点
图 7 正方体的一点透视及其灭点空间平行线可认为是相交于无穷远点，
灭点可以看成是无穷远点经透视投影后得到的点
? ? ? ? ? ?r
r
Hzyx 100
1000
100
0010
0001
0100 ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ? ? ?1/1001 rzyx ????
灭点的位置?
平面几何投影（ 15/16）
23一点透视 两点透视 三点透视
主灭点,平行于坐标轴的平行线产生的灭点。
? 一点透视
? 两点透视
? 三点透视
主灭点的个数由什么决定?
平面几何投影（ 16/16）
