SMA-HPC ?2003 MIT 数值模拟分析导论——第八讲 一维非线性求解方法 Jacob White 感谢Thanks to Deepak Ramaswamy Jaime Peraire, Michal Rewienski, and Karen Veroy 概要 SMA-HPC ?2003 MIT ?非线性问题 ——杆件和电路实例 ?理查森和线性收敛 ——简单的线性实例 ?牛顿法 ——牛顿法的引出 ——二次收敛 ——实例 ——完全收敛 ——收敛准则 非线性问题 SMA-HPC ?2003 MIT 压杆实例 负载力 给定 找到 需要求解 非线性问题 SMA-HPC ?2003 MIT 压杆实例 提示：求压杆力 非线性问题 SMA-HPC ?2003 MIT 压杆实例 非线性问题 SMA-HPC ?2003 MIT 压杆实例 为什么是非线性的 增大对压杆的拉力杆受力大小和方向都发生改变 非线性问题 SMA-HPC ?2003 MIT 电路实例 需要求解 非线性问题 SMA-HPC ?2003 MIT 迭代求解 由于很难求得 ( ) 0fx= 因此采用迭代法 假设解为 0 0 x x= 重复k＝0，1，2，3，…. ( ) 1kk xWx + = 直到 () 1 0 k fx + ≈ 问： z迭代收敛于正确的解么？ z迭代收敛的速度？ 的解析解 理查森迭代 SMA-HPC ?2003 MIT 定义 理查森迭代的定义 ( ) 1kk k xxfx + =+ 迭代收敛于方程的一个解 () () 1 0 kk k k xx fx xx + = ?= ?=?解 理查森迭代 SMA-HPC ?2003 MIT 实例一 开始使用 收敛 理查森迭代 SMA-HPC ?2003 MIT 实例一 理查森迭代 SMA-HPC ?2003 MIT 实例二 初始值 不收敛 理查森迭代 SMA-HPC ?2003 MIT 收敛 设置 ( ) 1kk xxfx + =+ 迭代方程式 精确解 ( ) 0 xxf x ? ?? = =+  计算误差 ( ) ( ) 1kk k xxxxfxfx +? ? ? =?+ ? ?  需要估计 理查森迭代 SMA-HPC ?2003 MIT 收敛 均值定理 理查森迭代 SMA-HPC ?2003 MIT 收敛 均值定理的应用 迭代方程式 () 1kk xxfx + =+ 精确解 ( ) 0 xxfx ? ?? = =+  ( ) ( ) ( ) () () 1 1 kk k k x x x x fx fx fx xx x + ?? ? ? ?= ? + ? ??? =+ ? ?? ? ??  理查森迭代 SMA-HPC ?2003 MIT 收敛 理查森法则 如果 并且 那么 或者 线性收敛 理查森迭代 SMA-HPC ?2003 MIT 实例一 理查森迭代 SMA-HPC ?2003 MIT 问题 z只是线性收敛 ( ) ,xf x 不在同一个单元内： -——在电路问题中 x 表示电压， ( ) f x -——在杆件问题中 x 表示位移， z但是算法简单 ——只需计算 ( ) fx 并更新即可 x表示电流 ( ) fx 表示施加的力 ——增加了两个不同的物理量 其他方法 SMA-HPC ?2003 MIT 牛顿法 通过泰勒公式展开求解 迭代的定义 直到收敛 牛顿法 SMA-HPC ?2003 MIT 图形表示 牛顿法 SMA-HPC ?2003 MIT 例子 例子 渐渐的 二次 牛顿法 SMA-HPC ?2003 MIT 例子 牛顿法 SMA-HPC ?2003 MIT 收敛性 某个 均值理论简化的泰勒 公式 但是 由牛顿法定 义 牛顿法 SMA-HPC ?2003 MIT 收敛性 续 两式相减 两边同除以 () k df x dx 假设 那么 若L有界则迭代二次收敛 牛顿法 SMA-HPC ?2003 MIT 收敛性 实例一 迭代二次收敛 牛顿法 SMA-HPC ?2003 MIT 收敛性 实例二 注 极限不 为零 线性收敛 牛顿法 SMA-HPC ?2003 MIT 收敛性 例子1，2 牛顿法 SMA-HPC ?2003 MIT 收敛性 假设对所 有的x 那么 收敛于 证明 牛顿法 SMA-HPC ?2003 MIT 收敛性 定理 L 有界（ df dx 极限值不为0， 2 2 df dx 极限值存在） 若 那么牛顿法在给出“足够贴近”的初始值的情况下可以达到收敛。 总是收敛么？ 牛顿法 SMA-HPC ?2003 MIT 收敛性 实例 收敛性依赖于给定恰当的初始值 牛顿法 SMA-HPC ?2003 MIT 收敛性 收敛性检测 需要一个“ x? ”来检验是否产生错误的收敛 牛顿法 SMA-HPC ?2003 MIT 收敛性 收敛性检测 同样需要一个“ ( ) fx ”来检验是否产生错误的收敛 总结 SMA-HPC ?2003 MIT ?非线性问题 ——杆件和电路实例 ?理查森和线性收敛 ——简单的线性实例 ?牛顿法 ——牛顿法的引出 ——二次收敛 ——实例 ——完全收敛 ——收敛准则