数值模拟导论－讲座 数值模拟导论－讲座 20 边界值问题的有限差分法 边界值问题的有限差分法 Jacob White 感谢 感谢 Jaime Peraire ?非正规有限差分法 非正规有限差分法 ?热传导杆热传导杆 ?有限差分法的更多正规分析 有限差分法的更多正规分析 ?热方程热方程 ?一致性＋稳定性产生收敛性一致性＋稳定性产生收敛性 大纲 大纲 1) 将杆切割成短的截面 将杆切割成短的截面 2) 给每一切片分配一温度 给每一切片分配一温度 热流 热流 一维实例 一维实例 离散表示 离散表示 热流 热流 一维实例 一维实例 方程的形成 方程的形成 输入热量 热流 左边输入的热量右边输出的热量单位长度输入的热量 当截面足够小取极限 正则方程 正则方程 热流 热流 一维实例 一维实例 正则化一维方程 正则化一维方程 将区间（ 将区间（ 0， ， 1）分为 ）分为 n＋ ＋ 1个相子同区间 个相子同区间 数值解 数值解 有限差分 有限差分 离散化 离散化 数值解 数值解 有限差分 有限差分 近似 近似 例如… 数值解 数值解 有限差分 有限差分 方程 方程 … 数值解 数值解 有限差分 有限差分 方程 方程 … A非单值？对于任何 非单值？对于任何 数值解 数值解 有限差分 有限差分 解 解 因此存在且唯一 数值解 数值解 有限差分 有限差分 实例 实例 … 数值解 数值解 有限差分 有限差分 实例 实例 … 1 离散解 离散解 u保持连续解 保持连续解 u（ （ x）的定性特性？ ）的定性特性？ 2 当 当 Δ Δ x→ → 0时解会更精确吗？ 时解会更精确吗？ 3 对于 对于 0≤ ≤ j≤ ≤ n＋ ＋ 1，我们可以使 ，我们可以使 │ │ u（ （ xj）－ ）－ j│ │ 任意 任意 小吗？ 小吗？ ^ 数值解 数值解 有限差分 有限差分 收敛？ 收敛？ 离散误差分析 离散误差分析 A－ － 1的特性 的特性 设 非负定 有界 u的定性特性 的定性特性 f≥ ≥ 0→ → u≥ ≥ 0 如果 那么 离散误差分析 离散误差分析 u的定性特性 的定性特性 离散稳定性 离散稳定性 离散误差分析 离散误差分析 离散误差分析 离散误差分析 截断误差 截断误差 对于任何， 我们有： 离散误差分析 离散误差分析 误差方程 误差方程 设 是离散误差 减去 且 离散误差分析 离散误差分析 误差方程 误差方程 离散误差分析 离散误差分析 收敛性 收敛性 应用A的离散稳定性估计 先验误差估计 离散误差分析 离散误差分析 数值实例 数值实例 离散误差分析 离散误差分析 数值实例 数值实例 例如： 渐进地 ?对于简单模型问题，我们可产生任意精度的数值对于简单模型问题，我们可产生任意精度的数值 近似。 近似。 ?先验误差估计给出了解误差与离散尺度先验误差估计给出了解误差与离散尺度ΔΔx的渐进的渐进 依赖关系。 依赖关系。 离散误差分析 离散误差分析 小结 小结 推广 推广 定义 定义 考虑线性椭圆微分方程 及差分形式 推广 推广 一致性 一致性 差分形式与微分方程一致，如果： 对于所有光滑函数 当对于所有j p是精度的阶 推广 推广 一致性 一致性 截断误差是由于将精确解插入差分形式产生的。 一致性 推广 推广 误差方程 误差方程 初始形式 一致性 误差 满足 推广 推广 稳定性 稳定性 矩阵范数 差分形式是稳定的， 如果 与Δx无关 推广 推广 稳定性 稳定性 行求和的最大值 推广 推广 收敛性 收敛性 误差方程 求范数 推广 推广 收敛性 收敛性 收敛性稳定性一致性 一致性＋稳定性收敛性 ?规范有限微分法 规范有限微分法 热传导杆 热传导杆 ?有限微分法的更规范分析 有限微分法的更规范分析 热方程 热方程 一致性＋稳定性 一致性＋稳定性 产生 产生 收敛性 收敛性 总结 总结