讲座2 模拟导论 方程的形成方法 Jacob White 感谢Deepak Ramaswamy, Michal Rewienski, 和Karen Veroy SMA-HPC ?2003 MIT 摘要 从示意图形成方程 支柱和接点实例 从示意图构建矩阵 压杆程序 两种表达方式 节点－支路较通用但低效 从节点－支路 SMA-HPC ?2003 MIT 从示意图形成方程 支柱实例 识别未知量 铰接 建立每一接头的位置坐标X，Y，将某一接头设为零点。 SMA-HPC ?2003 MIT 给定支柱示意图，问题在于确定接头的坐标和支柱力。 回顾支柱问题的在接头位置通过螺栓联在一起。接头类似于 电路中的节点，但很重要的不同在于接头的位置需要通过二维 （X，Y）或三维坐标（X，Y，Z）来说明位置，因而是矢量。 接头位置可标识为x1,y1,x2,y2,…..xj,yj，其中j是未知接头位置 的数量。和电路问题一样，在支柱和接头存在位置参考点。通 常给接头指定一个位置参考点。 同时注意到符号： 该符号通常用来表示一个固定结构（如象水泥墙）。接头在墙 上位置是固定的，通常选用这样的接头作为参考点。参考点的位 置为0，0（三维为0，0，0）。 SMA-HPC ?2003 MIT 从示意图形成方程 支柱实例 识别未知量 给每一支柱设置X，Y力分量。 SMA-HPC ?2003 MIT 第二个未知量集是支柱力，正如电路实例中的电流，可 认为这些力可看作分量。由于问题的二维特征使问题复杂 化，有x，y力分量。支柱力标识为： ，其中s是支柱数量。 从示意图形成方程 支柱实例 识别未知量 SMA-HPC ?2003 MIT 如图所示，支柱的拉力f是沿着支柱方向，但是由于各个 支柱连在接头的力的方向不同，需要在接头处对力求和。因 此，需要计算各力沿着X和Y的分量来求和。对于给定问题 所选定的X和Y轴是固定的，称为总体坐标系统。然后可以 如图示将局部坐标映射到总统坐标系计算fx和fy。 从图示几何关系得到从f 确定fx和fy的公式，说明如何 将力矢量投影到坐标轴上。 从示意图形成方程 支柱实例 守恒定律 力平衡： 在每一接头的X方向合力＝0 在每一接头的Y方向合力＝0 SMA-HPC ?2003 MIT 支柱的守恒律称为力平衡。但还有一些微秒之处。开始， 考虑X方向合力为0否则接头在X方向加速，在Y方向的合力也 应为0以避免接头在Y方向产生加速度。 为了看到微妙之处，考虑下图所示简单的沿着X方向的支柱 。 如下图，如果支柱伸长?，支柱将施加力来进行约束。 力fa和fb大小相等方向相反。这是由于fa在X的正方 向，而fb在X的反方向。 如果查看图中左边接头的力平衡方程，则方程的形式为 其它力+ fa= 0。 尽管右边接头的平衡方程是：其它力+ fb=其它力- fa= 0。 在建立支柱平衡方程系统时，在系统方程不需同时包括 fa和fb作为独立变量。而代之以所选力和建立支柱另一边力 间的隐式关系。 例如，考虑幻灯片中接头1与接头2之间的支柱2。我们 可用符号力f3表示支柱的接头1这边的力，因此，接头1的守 恒律中f3 符号为正，但接头2守恒律中为具有负号的反向 力。虽然具体机制看起来截然不同，只用支柱一边力作为变 量表示方程的诀窍从代数上类似于电路中电流定律求和。也 就是说，支柱某一接头的力是“离开”，并进入另一接头。 SMA-HPC ?2003 MIT 从示意图形成方程 支柱实例 守恒定律 SMA-HPC ?2003 MIT 应用基本方程使支柱力与接头位置相关。 有必要来查看力的符号是如何确定的。 再考虑沿X方向的单个支柱。 沿X轴可以简化x1这边的力与x1、x2之间的关系 注意到有两种方式使fx为负且点在x负方向。对 于翻转支柱的x1- x2> 0或者对应于压缩支 SMA-HPC ?2003 MIT 从示意图形成方程 支柱实例 总结 支柱实例的未知量 接头位置（除了参考点或固定接头） 支柱力 支柱实例的方程 对每一接头的一组守恒方程 对于每一支柱的一组基本方程 注意到方程数＝未知量数 SMA-HPC ?2003 MIT 说明符号惯例的支 柱实例 沿着X轴的两个支柱 守恒律： 结点1：f 1x+ f 2x =0 节点2：- f 2x+ f L =0 SMA-HPC ?2003 MIT 说明符号惯例的支 柱实例 沿着X轴的两个支柱 基本方程 SMA-HPC ?2003 MIT 说明符号惯例的支 柱实例 沿着X轴的两个支柱 简化（节点）方程 SMA-HPC ?2003 MIT 说明符号惯例的支 柱实例 沿着X轴的两个支柱 节点方程的解f L =10 (沿着X正方向的力) SMA-HPC ?2003 MIT 说明符号惯例的支 柱实例 沿着X轴的两个支柱 注意力的符号 f2 x =10 (x正向的力) f 1x = ? 10(x负向的力) SMA-HPC ?2003 MIT 从示意图形成方程 上次的实例 超大规模集 成电路的建模动力分配 支柱与接头 空间框架的建模 SMA-HPC ?2003 MIT 从示意图形成方程 两类未知量 电路－节点电压，单元电流 支柱－接头位置，支柱力 两类方程 守恒律 电路－每一节点电流和＝0 支柱－每一接头的合力＝0 基本方程 电路－支路（单元）电流正比于支路（单元）电压 支柱－力分量（支柱）正比于位移分量（支柱） SMA-HPC ?2003 MIT 从示意图产生矩阵 假定线性基本方程 电路实例 每一未知量代表矩阵一列 N列表示节点电压 B列表示支路电流 每一基本方程代表矩阵一行 N行表示KCL B行表示单元基本方程（线性！） SMA-HPC ?2003 MIT 从示意图产生矩阵 假定线性基本方程 二维支柱实例 每一个未知量表示一对矩阵列 接头位置用J对矩阵列表示 支柱力用S对矩阵列表示 每一基本方程表示一对矩阵行 J对矩阵行表示力平衡方程 S对矩阵行表示单元基本方程（线性！） SMA-HPC ?2003 MIT 从示意图产生矩阵 守恒方程 电路实例 SMA-HPC ?2003 MIT 为了产生电路的矩阵方程，我们对每一节点用支路电路和 源电流的形式开始写KCL方程，特别我们写出：有符号支路电 流和＝有符号源电流和 其中如果电流离开节点则方程中支路电流为正，否则为 负。如果电流进入节点则源电流为正，否则为负。 SMA-HPC ?2003 MIT 从示意图产生矩阵 守恒方程 电路实例 SMA-HPC ?2003 MIT 从示意图产生矩阵 守恒方程 电路实例 一行 表示 每一 KCL 方程 一列表示 每一支路电 流 右边对应源电流 矩阵A非方阵 从平衡方程得到的矩阵 SMA-HPC ?2003 MIT 从示意图产生矩阵 守恒方程 电路实例 电阻对每一矩阵如何产生作用 A的每列不超过两个非零元素。 SMA-HPC ?2003 MIT 当电阻一端连在参考点（0节点）时，矩阵会是怎样。 此时，如下图所示，只对矩阵的第k列有贡献。 SMA-HPC ?2003 MIT 从示意图产生矩阵 守恒方程 电路实例 每一电流源对右边的贡献怎样 SMA-HPC ?2003 MIT 从示意图产生矩阵 守恒方程 电路实例 守恒矩阵方程产生算法 对每一电阻： 令Is为零向量 对于每一电流源 SMA-HPC ?2003 MIT 从示意图产生矩阵 守恒方程 电路实例 SMA-HPC ?2003 MIT 从示意图产生矩阵 基本方程 电路实例 首先确定电阻的电压（支路电压） 其次建立支路电流与支路电压的关系 SMA-HPC ?2003 MIT 通过电阻的电流是和电阻上电压相关的，电压依次和节 点电压相关，考虑下示电阻 电阻的电压是V1-V2，通过电阻的电流是： 注意如果V1大于V2，则i符号为正。 为了建立基本方程的矩阵表示，第一步是建立节点电压与电阻 电压以及支路电流间的关系。 SMA-HPC ?2003 MIT 从示意图产生矩阵 基本方程 电路实例 检查矩 阵组成 SMA-HPC ?2003 MIT 为了建立节点电压与支路电压关系的矩阵方程， 一方面注意到支路电压是支路两端电压之差，另外符 号是由从正节点指向负节点的电流方向确定的。 由于有B个支路电压和N个节点，所以矩阵有B 行 N列。 SMA-HPC ?2003 MIT 从示意图产生矩阵 基本方程 电路实例 KCL方程节点与支路的关系 节点与支路的矩阵是KCL矩阵的变换。 SMA-HPC ?2003 MIT SMA-HPC ?2003 MIT 与守恒律（KCL）相关的矩阵和节点与支路关系矩阵之间存在关 系，为了说明这点，来看一个简单的电阻: 对守恒律，如下矩阵所示支路k对对矩阵第k列两个非零因 素有贡献 注意到支路k的电压是Vl -Vm, 因此，正如下列矩阵，第k 支路对节点支路关系第k行两个非零因素有贡献。 不能看出每一支路单元对影响矩阵的一列有贡献。 从示意图产生矩阵 基本方程 电路实例 第k个电阻对α（k，k）的贡献是1/Rk。 矩阵α是支路电压与支路电流的关系。 一行表示每一未知电流 一列表示每一相关支路电压 矩阵α是方对角阵。 SMA-HPC ?2003 MIT 从示意图产生矩阵 基本方程 电路实例 节点电压与支路电流的关系 A T 是节点电压与支路电压的关系 α是支路电压与支路电流的关系 SMA-HPC ?2003 MIT 从示意图产生矩阵 节点支路关系 电路实例 N＝未知电压节点数 B＝未知电流支路数 基本关系 守恒律 SMA-HPC ?2003 MIT 从示意图产生矩阵 二维形式的支柱实 例 一对列表示每一未知量 ——J对列表示接头未知 ——S对列表示支柱未知 一对列表示每一方程 ——J对行表示力平衡方程 ——S对行表示线性基本关系 SMA-HPC ?2003 MIT 从示意图产生矩阵 支柱实例 下列方法类似于电路 1）由守恒律形成一个影响矩阵A。 2）应用AT确定支柱变形。 3）应用线性基本方程建立支柱变形关系。 4）组合（1）、（2）和（3）产生节点支路关系形式。 SMA-HPC ?2003 MIT 从示意图产生矩阵 守恒方程 支柱实例 SMA-HPC ?2003 MIT 回顾支柱的守恒方程自然地分成对，每一接头X方向合力 ＝0和Y方向合力＝0。 注意到力是已知量，因此出现在方程右边。 SMA-HPC ?2003 MIT 从示意图产生矩阵 守恒方程 支柱实例 冲压法 力每一支柱的成对的列 力右边表示力 SMA-HPC ?2003 MIT SMA-HPC ?2003 MIT 注意到支柱问题的影响矩阵A非常类似于电路问题影响矩阵，除了 二维力和位置在矩阵产生2×2的块。考虑一个简单的支柱 支柱两端接头的力平衡方程是： 在接头j1 在接头j2 查看矩阵将产生： 注意到矩阵记录是2×2的块，因此，矩阵块的每个记录表示支柱S’ 对于j1守恒方程的贡献需要用专用下标，我们用j1x, j1y表示两行，Sx, Sy 表示两列。 从示意图产生矩阵 守恒方程 支柱实例 守恒矩阵产生算法 对于每一支柱 如果（j1不固定） 如果（j2不固定） 对于每一载荷 如果（j1不固定） A最多有两个非零列。 SMA-HPC ?2003 MIT 从示意图产生矩阵 基本方程 支柱实例 首先线性化 基本关系 如果x1, y1 近似于x0, y0, SMA-HPC ?2003 MIT 如上所示，通过支柱的力为： 其中 ，且x, y如下 SMA-HPC ?2003 MIT 如果x和y偏离x0和y0，使 则由于Fx(x0,y0) = 0 同理类似表达式对y成立。 注意到就是不拉伸支柱，其旋转将破坏小扰动条件，由于指向不正确的方向 ，泰勒级数不能很好逼近力。 从示意图产生矩阵 基本方程 支柱实例 SMA-HPC ?2003 MIT 从示意图产生矩阵 基本方程 支柱实例 初始位置初始位置 SMA-HPC ?2003 MIT 从示意图产生矩阵 基本方程 节点支柱关系 SMA-HPC ?2003 MIT S＝支柱数 J＝非固定接头 基本方程 守恒律 从示意图产生矩阵 SMA-HPC ?2003 MIT 比例 支柱实例 节点公式 电路实例 产生矩阵 1）计算节点数量，其中一个节点作为0 2）对每一节点写出守恒律。除了0为以节点电压的形式 SMA-HPC ?2003 MIT 节点方程 基本矩阵 电路实例 每节点一行，每节点 一列，对于每个电阻 SMA-HPC ?2003 MIT 从节点方程可以看出，电阻对两个方程的电流均有贡献，电流还取决 于两个电压。 节点n 1 的KCL 节点n 2 的KCL 因此和Rk相关的矩阵是： SMA-HPC ?2003 MIT 节点公式 电路实例 产生矩阵 节点矩阵产生算法 SMA-HPC ?2003 MIT 节点方程 产生矩阵 SMA-HPC ?2003 MIT 节点公式 与节点支路形式的 对比 节点支路矩阵 节点矩阵 基本 守恒律 SMA-HPC ?2003 MIT 节点公式 G矩阵的特征 对角占优 对称 较小 SMA-HPC ?2003 MIT 节点公式 节电支路形式 节点支路公式 不对称和对角占优 矩阵是(n+b) x (n+b) SMA-HPC ?2003 MIT 节点公式 从节点支路关系推 导公式 SMA-HPC ?2003 MIT 节点公式 问题单元 电压源 电压源 基本方程 SMA-HPC ?2003 MIT 节点公式 问题单元 电压源 应用电压源能形成节点支路基本方程？ SMA-HPC ?2003 MIT 节点公式 问题单元 电压源 不能推导节点公式 SMA-HPC ?2003 MIT 电阻电流 没有电流 的电压源 基本方程 乘以A 不能忽略 守恒律 节点公式需要基本方程 形式：守恒量＝F（节点电压）！ 节点公式 问题单元 刚性杆 刚性杆 SMA-HPC ?2003 MIT 节点公式 与稀疏矩阵比较 实例问题 电阻网络 SMA-HPC ?2003 MIT 节点公式 与稀疏矩阵比较 实例问题 100 x 10的电阻网络的矩阵非零因素位置 节点支路关系节点公式 SMA-HPC ?2003 MIT 重点总结…... ?开发应用守恒律＋基本方程从示意图自动构建矩阵方程的算法 ?看节点支路关系和节点公式两种形式 SMA-HPC ?2003 MIT 重点总结 节点支路关系 通用基本方程 大型稀疏系统 非对角占优 节点公式 守恒量必须是节点变量的函数 小型密集系统 对称对角占优 SMA-HPC ?2003 MIT SMA-HPC ?2003 MIT SMA-HPC ?2003 MIT SMA-HPC ?2003 MIT SMA-HPC ?2003 MIT SMA-HPC ?2003 MIT SMA-HPC ?2003 MIT SMA-HPC ?2003 MIT SMA-HPC ?2003 MIT SMA-HPC ?2003 MIT SMA-HPC ?2003 MIT SMA-HPC ?2003 MIT SMA-HPC ?2003 MIT SMA-HPC ?2003 MIT SMA-HPC ?2003 MIT SMA-HPC ?2003 MIT SMA-HPC ?2003 MIT SMA-HPC ?2003 MIT SMA-HPC ?2003 MIT SMA-HPC ?2003 MIT SMA-HPC ?2003 MIT SMA-HPC ?2003 MIT SMA-HPC ?2003 MIT SMA-HPC ?2003 MIT SMA-HPC ?2003 MIT SMA-HPC ?2003 MIT SMA-HPC ?2003 MIT SMA-HPC ?2003 MIT SMA-HPC ?2003 MIT SMA-HPC ?2003 MIT SMA-HPC ?2003 MIT SMA-HPC ?2003 MIT SMA-HPC ?2003 MIT SMA-HPC ?2003 MIT SMA-HPC ?2003 MIT SMA-HPC ?2003 MIT SMA-HPC ?2003 MIT SMA-HPC ?2003 MIT SMA-HPC ?2003 MIT