数值模拟导论 ——第十二讲
一般不等式求解法
雅可比 .怀特
合作成员 Deepak Ramaswamy,
Jaime Peraire, Michal Rewienski和
Karen Vero
概要：
信号传播（电容器回路）
空间动态框架（杆和块问题）
动态化学反应
前欧拉法，后欧拉法，捕捉法则
考察近似值和算法
试验的检验工具
分析前欧拉法的收敛性
考察有限差分 法
初始值问题实例
应用问题
集成电路中的信号传输
z信号延迟多长时间？
z金属线缆将信号从一个逻辑门传送到另一个逻辑门
应用问题
集成电路中的信号传输模型
电路模型
建立模型
z将电缆线分割成一个个小节
z模型线缆电阻器的电阻值
z模型线缆和电容器的电容大小
应用问题
空间框架中的振动
z振动的振幅多大？
应用问题
空间框架中的振动
简化结构
简化实例例证
应用问题
空间框架中的振动
包含杆，绞接点和点块的模型
构建模型
z用杆来代替金属线
z用点块来代替载荷物
应用问题
动态化学反应
z反应产物的生成速度有多快？
z反应时会爆炸么？
1
c
c
R R
dv
iC
dt
iv
R
=
=
1
11221
12 2
212
11 1
0
0 1 1 1
dv
CRRRv
dt
Cdv v
RRRdt
??
??
+?
??
??
? ???
=?
??
? ???
? ?? ? ? ?
?+
??
??
??
??
应用问题
集成电路中的信号传输
一个 2x2维实例
基本等式
守恒定律
节点方程产生 2x2维方程体系
112
232
0
0
CRR
CRR
iii
iii
+ +=
+ ?=
12 13 2
1
11221
12 2
212
1, 10, 1
11 1
0 1.1 1.0
0 1 1 1 1.0 -1.1
A
CC RR R
dv
CRRRv
dx
dt
x
Cdv v dt
RRRdt
== == =
??
??
+?
??
??
?
?? ?? ? ?
=? ? =
??
?? ?? ? ?
? ????? ??
?+
??
??
??
??
令
应用问题
集成电路中的信号传输
一个 2x2维实例
特征值和特征向量
( ) ( ) ( ) ( )
1
Eyt xt yt E xt
?
=?=
( )
() ()
0
, 0
dEy t
AEy t Ey x
dt
= =
( )
() ()
0
, 0
dx t
A xt x x
dt
= =
特征分析
考虑 ODE：
特征分解：
改变变量值：
用 Ey（ t）取代 x（ t） ：
两边同乘以
1
E
?
：
1
1
12 2 12
n
0 0
0 0
0 0
nn
E
AEEE EEE
λ
λ
λ
?
??? ?? ?
??? ?? ?
=
?
???
? ?? ???
# # # # # #
# # # # # #
()
() ()
1
1
0 0
0 0
0 0
n
dy t
E AEy t y t
dt
λ
λ
?
??
??
==
??
??
%
()
()
1
0 0
0 0
0 0
n
dy t
yt
dt
λ
λ
??
??
=
??
%
继续特征分析
由上一步再化简得：
分解方程式！
分解 :
( )
() () ()0
i
ti
ii i
dy t
yt yt ey
dt
λ
λ=?=
1)确定 E，λ
()
1
0
0yEx
?
=
() ()
1
0 0
0 0 0
0 0
n
t
t
e
y t y
e
λ
λ
??
??
=
??
%
() ( )
x tEyt=
3）计算
2）计算
4）
求解步
( )
() ()
0
, 0
dx t
Ax t x x
dt
= =
应用问题
集成电路中的信号传输
一个 2x2维实例
注意是两倍比例尺
12
vv和
两条线快速重合（快速特征模式）
12
vv和
两条线慢慢衰减到零（慢速特征模式）
应用问题
包含杆，绞接点和点块的模型
一个 2x2维实例
2
2
0
00
*
0
m
c
sc
ms
du
fM
dt
yy EA
f EA u
ff
=
?
==
+=
基本方程
守恒定律
定义 V为速度（ du/dt）产生 2x2维系统
0
0 -
0
0 1
1 0
c
dv
EA
M v
dt
y
du u
dt
??
??
??
? ???
??
=
??
? ???
? ?????
??
??
??
??
应用问题
包含杆，绞接点和点块的模型
一个 2x2维实例
0
1, 1
c
EA
M
y
= =令
0
0 -
0 0 -1.0
0 1 1.0 0
1 0
c
A
dv
EA
Mv
dx
dt
y x
du u dt
dt
??
??
??
?? ?? ? ?
??
=?=
??
?? ?? ? ?
?? ?? ? ???
??
??
??
??
特征值和特征向量
应用问题
包含杆，绞接点和点块的模型
一个 2x2维实例
注意系统具有虚数特征值
z稳定的振动
z当位移 u为零时速度 v达到峰值。
应用问题
化学反应实例
一个 2x2维实例
反应物质量 ＝ R，温度 ＝ T
dT
TR
dt
=? ＋
反应物增多则温度升高，温度升高增加热扩散又
导致温度下降。
dR
R T
dt
=? ＋4
温度升高反应生成率增加，反应物增多阻碍反应
进行从而降低反应率。
1 1 1 1
4 -1 4 -1
A
dT
T
dx
dt
x
dR R dt
dt
??
??
??
???? ??
=?=
??
???? ??
???? ????
??
??
应用问题
化学反应实例
一个 2x2维实例
特征值和特征向量
应用问题
化学反应实例
一个 2x2维实例
注：系统有正的特征值
z解随时间变化成指数增长
有限差分法
基本概念
首先 ——将时间离散化
其次 ——表示在 ti 时刻的 x（ t） 值
N
( )
N
?
l
l
xxt
近似
精确
解
解
第三 ——用离散值
?
l
x
求解近似()
l
d
x t
dt
例如：
()
11
1
????
llll
l
ll
dxxxx
xt
dt t t
?+
+
? ?
??
或
() ()
( ) ( )
() () ()
1
1
ll
ll
ll l
xt xt
d
xt Axt
dt t
xt xt tAxt
+
+
?
=?
?
?+?
或
有限差分法
基本概念
( ) ( ) ( )( )
11lll
xt xt txt
++
?= ? +?
有限差分法
基本概念
( ) ( )
() []
() []
11
1
1
21
2
1
1
??
0
??
L L
L
xt x x tAx
xt x I tA x
xt x I tA x
?
?
?
=+?
=??
=??
#
() ()
( ) ( )
() () ()
1
1
ll
ll
ll l
xt xt
d
xt Axt
dt t
xt xt tAxt
+
+
?
=?
?
?+?
或
有限差分法
基本概念
( ) ( ) ( )( )
11lll
xt xt txt
++
?= ? +?
( )()
[]()
() []
() []
11
1
1
1
21
2
1
1
??
0
?
0
??
??
L L
L
x txx tAx
ItAxx
x txItAx
x txItAx
?
?
?
=+?
??? =
=??
=??
#
有限差分法
基本概念
用高斯消去法求解
() ()
() ()
()()
() () ()()
11
11
11
11 11
1
2
1
2
1
2
l
l
l
ll
dd
xt xt
dt dt
Ax t Ax t
xt xt
t
xt xt tAxt xt
+
+
+
++
??
+
??
??
=+
?
?
=+? +
有限差分法
基本概念
梯形法则
() () () ()
11
22
llll
xt tAxt xt tAxt
????
?= ? ? ? + ?
????
????
() () ()
()
()
()
11
1
1
1
21
2
1
1
??00
2
? 0
22
??
22
22
L L
L
t
x t x x Ax Ax
tt
IAxIAx
tt
x txI AI Ax
tt
x txI AI Ax
?
?
?
?
=+ +
??
????
?? =+
????
????
??
????
=? +
????
????
??
????
=? +
????
????
#
有限差分法
基本概念
梯形法则算法
用高斯消去法求解
有限差分法
基本概念
各离散点的数据积分
() () ()
1
1
2
l
t
ll
t
t
Axd Axt Axtττ
+ ?
≈+
∫
捕捉
有限差分法
基本概念
小结：
?
l
x
捕捉法则 ，前欧拉法，后欧拉法
三者都是一步 法
只要通过计算
1
?
l
x
?
就可以求出，而无需计算
2
?
l
x
?
，
3
?
l
x
?
等
前欧拉法最简单
离散点近似积分
每一步都要解方程 模糊法
梯形法可能更加精确
每一步都要解方程 模糊法
梯形近似积分
无需解方程 直接法
后欧拉法较为复杂
有限差分法
数值试验
不稳定反应
前欧拉法和后欧拉法比捕捉法的误差大，且误差随着时间递增而增大。
有限差分法
数值试验
不稳定反应误差点
这几种方法误差都成指数增长
t∞?
()
2
t∞ ?
有限差分法
数值试验
不稳定反应收敛
对于前欧拉法和后欧拉法，误差 ，对于捕捉法，误差
t∞?
()
2
t∞ ?
有限差分法
数值试验
振动杆和振动块
为什么前欧拉法结果振幅增大，后欧拉法 振幅衰减，捕捉法保持振幅不变
有限差分法
数值试验
两种时间刻度无线电回路
采用后欧拉法，在动态变化较为剧烈时用 小的时间步，在变化缓慢时用大的时
间步。
有限差分法
数值试验
两种时间刻度无线电回路
前欧拉法采用小的时间步较为精确，但时时间步增大时则变的不稳
定
有限差分法
数值试验
小结
z收敛
－ 计算解是精确解么？
－为什么捕捉法比后欧拉法或前欧拉法更快求解出结果？
z能量守恒
－为什么后欧拉法出现振幅衰减
－为什么前欧拉法出现振幅增大？
－为什么捕捉法保持振幅不变？
z两个棘手问题
－ 为什么前欧拉法随时间步增大而变得不稳定？
目前我们将集中考虑收敛问题
有限差分法
收敛分析
收敛定义
定义：若给定任一 A和任一初始条件，用有限差分法求解初始值问题，在
[ ]
0,T
上收敛。
( )
0,
?
0max 0
l
T
l
t
txxt
??
∈
??
?
??
? →??→当时，
有限差分法
收敛分析
P次收敛
定义：若给定任一 A和任一初始条件，用有限差分法求解初始值问题，在
[ ]
0,T
P阶上收敛。
() ()
0,
?
max
p
l
T
l
t
x xlt C t
??
∈
??
?
??
? ?≤ ?
所有
t?
小于给定的
0
t?
前欧拉法和后欧拉法都是 1阶收敛，梯形法则时 2阶收敛。
有限差分法
收敛分析
两个收敛条件
1)局部条件：一步误差较小（连续）
利用泰勒级数展开证明
2)全局条件：单步误差不会快速增长（稳定）
在这种情况下所有的一步法都是稳定的
有限差分法
收敛分析
连续性定义
定义：对于给定任一 A和任一初始条件，用一步法求解初始值问题，在间断点
[ ]
0,T
处连续。
( )
?
00
l
xxt
t
t
??
?→ →
?
当时，
( ) ( )
?
00
l
xx tAx=+?
() ()
() () ()
2
2
2
0
0
2
dx t d x
xt x t
dt dt
τ?
?= +? +
有限差分法
收敛分析
前欧拉法的连续性
前欧拉法定义：
在 t接近零点展开得
其中 [ ]0, tτ∈ ?
由于
() ()
00
d
xAx
dt
=
，将上述两式相减得
()
() ()
2
2
1
2
?
1
2
l
tdx
xxl t
dt
τ
+
?
?+?≤ 若 x的倒数有界，则定理得以证明
1
?
l
x
+
?
tAx+?
有限差分法
收敛分析
后欧拉法的连续性分析
后欧拉法定义 : ＝
?
l
x
在 t接近
lt?
处展开得
()( ) () ( )
1
l
xl t xlt tAxlt e+?= ?+? ?+
其中
l
e
是 “一步法 ”误差的极限值，
()
2
l
eCt≤? []
( )
2
0, 2
0.5max
T
dx
C
dt
τ
τ
∈
=
，其中
( )
( )
( ) ( )
( )
11
??
1
lll
xxl tItAxxlte
++
? +?=+? ? ?+
( )
?
ll
Exxlt≡ ??
( )
1ll
E ItAEe
+
≡ +? +
有限差分法
收敛分析
后欧拉法的连续性分析
将上述两式相减得方程
定义 “全局 ”误差
两边去范数并利用
l
e 的极限值
() ()
()
()
2
1
2
1
1
ll
l
EtAECt
tA E C t
+
≤+? +?
≤+? + ?
( )
10
1, 0, 0
ll
uubuεε
+
≤+ + = >
l
l
e
ub
ε
ε
≤
有限差分法
收敛分析
辅助极限差分方程求解
若
那么
要证明，先将
l
u 写成求和形式
()
()
()
1
0
11
1
11
j
j
l
l
j
ubb
ε
ε
ε
?
=
?+
≤+ =
?+
∑
()
()
()
11 1
11
jj
l
l
e
ubbb
ε
εε
εεε
?+ +
≤=≤
?+
有限差分法
收敛分析
由于
() ()
l
l
ee
ε ε
+ ≤?+≤
将全局误差方程变换成辅助定理的形式
N
()
2
1
1
ll
b
EtAECt
ε
+
??
≤+? +?
??
??
有限差分法
收敛分析
应用辅助定理并化简得
N
() ()
22
1
1
ltA
ll
b
e
E tAE Ct Ct
tA
ε
?
+
??
≤ +? + ? ≤ ?
??
?
??
最后，由于
lt T?≤
[]
0,
max
AT
l
lL
C
Ee t
A
∈
≤ ?
有限差分法
收敛分析
[]
0,
max
AT
l
lL
C
Ee t
A
∈
≤ ?
z前欧拉法是一次收敛
z其范围随时间间隔成指数增长
zC与 解的二次偏导数相关
z其范围随范数 A成指数增长
有限差分法
收敛分析
不稳定反应得精确图及后欧拉法图
后欧拉法误差随时间增大
有限差分法
收敛分析
求解反应方程式前欧拉法误差
误差随时间成指数增长，与预测的范围相吻合
有限差分法
收敛分析
电路中的精确解和前欧拉法图
前欧拉法误差并不是总是随时间增大
有限差分法
收敛分析
误差并不总是随时间成指数增长
小结
初始值问题实例
信号传输（两种时间刻度）。
空间动态框架（振动）。
动态化学反应（不稳定系统） 。
考察简单的有限差分法
前欧拉法，后欧拉法，捕捉法则
考察近似和算法问题
试验产生的问题
分析前欧拉法的收敛性
更多的问题有待下一次解决
