麻省理工学院：数值模拟导论：lec1

讲座1 模拟导论 问题实例及基本方程 Jacob White 感谢Deepak Ramaswamy, Michal Rewienski, Luca Daniel, Shihhsien Kuo and Karen Veroy SMA-HPC ?2003 MIT 摘要 ?模拟的应用 ——工程设计 ——虚拟环境 ——模型验证 ?课程原理 ?问题实例 ——集成电路的功率分配 ——空间结构的受力关系 ——插件的温度分布 SMA-HPC ?2003 MIT 电路分析 ?方程 ——电路元件（电阻、电容、晶体管，电感）的电流 电压关系，电流平衡方程近来发展 ?近来发展 ——矩阵隐式Krylov子空间法 SMA-HPC ?2003 MIT 封装的电磁分析 方程 ——麦克斯韦偏微分方程 近来发展 ——积分公式的快速求解 SMA-HPC ?2003 MIT 汽车的机构分析 方程 ——机械单元（板、梁、壳）的力位移关系和合力为零 ——连续机械结构的偏微分方程 近来发展 ——无网格法，迭代法，自动误差控制 SMA-HPC ?2003 MIT 飞行器的牵引力分析 方程 ——Navier-Stokes偏微分方程 近来发展 ——无结构网格的多网格法 SMA-HPC ?2003 MIT 发动机热分析 方程 ——泊松偏微分方程 近来发展 ——积分方程的快速求解，蒙特卡罗法 SMA-HPC ?2003 MIT 微型机械装置的性能分析 方程 ——弹性机械动力学，静电学，斯托克司流 近来发展 ——快速积分方程求解器，耦合域问题的隐式矩阵多层 牛顿法 SMA-HPC ?2003 MIT 套期保值基金的股票定价 价格选项 股票价格 方程 ——Black-Scholes偏微分方程 近来发展 ——财务服务公司雇佣工程师、数学家和物理学家 SMA-HPC ?2003 MIT 计算机游戏的虚拟环境 方程 ——多体动力学，弹性碰撞方程 近来发展 ——多级积分法，并行模拟 SMA-HPC ?2003 MIT 虚拟手术 方程 ——弹性动力学偏微分方程 近来发展 ——并行计算，快速算法 SMA-HPC ?2003 MIT 生物分子学静电学优化 配位体（ 药物分子） 接受体（蛋 白质分子） ecm蛋白质 方程 ——泊松偏微分方程 近来发展 ——隐式矩阵迭代法，快速积分方程求解器 SMA-HPC ?2003 MIT 计算机模拟情况 SMA-HPC ?2003 MIT 课程原理 对一些现代技术的回顾 理解实用和理论 如何通过技术完成具有代表性且实际的应用？ 为什么证明定理？ 给定假定，来保证方法一直有效，有助于程序的调试。 定理的证明可以告诉我们实际应该如何做。 SMA-HPC ?2003 MIT 大规模集成电路的功率 分配 高速缓 冲存储器 算术逻 辑单元 解码器 电源 主电源线路 至少有3V通过ALU吗？ SMA-HPC ?2003 MIT SMA-HPC ?2003 MIT 大规模集成电路处理器的功率分配是产生大型系统方程 的应用之一。 幻灯片左图是一个典型具有不同功能模块的处理器布 局。图中处理器有几乎上百万个晶体管、信号线和电源线。所 看到的粗线是电源线和完成诸如“或”“与”布尔操作的信号线。 一个典型的处理器可分为左图所示的几个功能模块。高速缓 冲存储器存储着为了快速访问主存储器的数据和指令。执行单 元完成对数据的布尔运算和数值运算，如“或”、“与”、加法和 乘法。这些执行单元组合在一起称为算术逻辑单元。另外一个 处理器模块是指令解码器，将高速存储器的指令翻译成ALU完 成的动作。 右图是处理器的简化图，说明3.3V电源、三个主要功能 模块以及供给3个主要功能模块电源的线路（红线）。导线是 集成电路的一部分，一般1微米厚、10微米宽、几千微米长（1 微米是1英寸的百万分之一）。由于这些导线的电阻较大，即 使供给3.3V电源，每个功能模块的电压可能不到3.3V。 我们这里关心的是每个功能模块是否有足够的电压来正常运 行。 承载空间框架 接头 梁 下垂 货箱 地面固定 车辆 空间框架在载荷作用下下垂太多？ SMA-HPC ?2003 MIT 图示为将货物（红色）向下夹持到车辆的空间框架示 意图。空间框架是用钢梁（黄色）通过螺栓在紫色接头固 定在一起。当货物悬挂在空间框架的终端，框架下垂。 我们关心的问题是空间框架在载荷作用下下垂多少。 SMA-HPC ?2003 MIT 热分析 发动机变得太热吗？ 上图是一个钢质或铝质发动机组，缸体内气体燃烧产生的热 通过发动机组传导给大面积区域消耗掉，否则，发动机组的温 度太高会使之融化。 SMA-HPC ?2003 MIT 超大规模集成电路问 题的设计目标 高速缓 冲存储器 算术逻 辑单元 解码器 选择拓扑结构和金属的宽度与长度，满足： 1）每一功能模块的电压大于3V； 2）所用金属导线的面积最小。 SMA-HPC ?2003 MIT 空间框架的设计目标 选择拓扑结构和支柱的长度与宽度，满足： 1）下垂足够小； 2）所用金属最少。 SMA-HPC ?2003 MIT 热分析 选择形状，满足： 1）温度升得不高； 2）所用金属最少。 SMA-HPC ?2003 MIT 一步法－分析工具 给定拓扑结构和金属的长宽，确定： 1）算术逻辑单元、高速缓冲存储器和解码器的电压； 2）承载空间框架的下垂量。 SMA-HPC ?2003 MIT 谁在应用超大规模集 成电路工具？ 一些大公司 IBM, Motorola, TI, Intel, Compaq, Sony, Hitachi 非功能原型成本 ——及早上市 ——重新设计工作耗费上百万 SMA-HPC ?2003 MIT 一旦一个超大规模集成电路设计好，就可通过复杂的沉积和刻 蚀工艺进行制造，将硅基片转换成上百万的晶体管和连线。该过程 将耗费一个月以上。如果芯片不能工作，必须找到设计缺陷并从开 始重新制造。正因为这样，仅仅几个设计错误将使产品延迟数月。 在竞争的市场形势下，除了重新设计芯片的成本外，延迟就意味着 上百万收入的减少。 为了避免有缺陷的设计，商家一般通过广泛的应用仿真工具 来对功能和性能进行验证。 SMA-HPC ?2003 MIT 谁在应用超大规模集 成电路工具？ 上千个小型公司 ?小型公司应用于磁盘驱动器电路、图形加速卡、CD播 放器，蜂窝电话。 ?非功能原型的成本是多少？ ——破产。 SMA-HPC ?2003 MIT 上千个小型公司在设计大规模集成电路的应用很分 散，有个人电脑外围设备，视听和汽车产品的信号处理 器。这些小型公司不能承受制造不起作用的原型的成本， 其实际的生存取决于应用仿真工具在制造前对设计进行验 证。 SMA-HPC ?2003 MIT 谁在设计VLSI工具？ 公司员工销售额市场容量 Cadence 4,000 13亿38 亿 Synopsis/Avanti 5,000 15 亿69 亿 Mentor Graphics 2,600 6 亿14 亿 这些公司通过改善分析效率进行竞争。 SMA-HPC ?2003 MIT VLSI电路动力分配 的建模 ?在一定电压下动力电源提供了电流。 ?功能单元驱动电流 ?线路电阻产生损失。 SMA-HPC ?2003 MIT 简图中每一个单元，电源、线路和功能模块，均可以通过流 过单元的电流与电压之间的关系来建模。应用这些基本关系，我 们可以构建电路来确定各功能模块的电压，并确定VLSI电路是否 正常工作。 SMA-HPC ?2003 MIT 电路的建模 电源 一个电压源 电路电源 电路电源 目前 电压 物理符 号 基本方程 SMA-HPC ?2003 MIT 动力电源提供必要的电流来保证电源的电压维持在一个设定 值。假定相关电压与电流有关系的基本方程不将电流作为变量。 这是由于无论供给其电流是多少，电压始终维持不变。因此，已 知电压并不知电源电流。 SMA-HPC ?2003 MIT 电路的建模 功能模块 看作是电压源 物理符 号 电路单元 基本方程 SMA-HPC ?2003 MIT 功能模块，算术逻辑单元、高速缓冲存储器和解码器是不 含上千个晶体管的复杂电路。为了确定功能单元是否有足够的 工作电压，必须建立一个简单的模型来对运行的细节进行抽 象。一个简单的“最差情况”就是保证每一功能模块一直按最大电 路驱动。 因此，虽然假定相关电流需要详细分析每一功能模块来确 定，但每一模块仍可建模为电流源。还注意到基本方程缺少一 个变量，此时就是电压。由于电流源的电流是相同的，并与其 电压无关。所有缺少的电压应该得到。 SMA-HPC ?2003 MIT 电路的建模 金属线看作 电阻 物理符号 电路模型 基本方程 （欧姆定律） 长度 面积 电阻率 材料属性 设计参数 SMA-HPC ?2003 MIT 连接电源与功能模块的电线的模型就是电阻，其值正比于导 线的长度（电流需进一步通过），且反比于导线的横截面积 （电流有更多的路径选择） 低电阻 高电阻 欧姆电路就是通过电阻的电流正比于施加在电阻上的电压。 SMA-HPC ?2003 MIT 电路的建模 综合在一起 动力电源 功能模块 导线看作电阻 结果如示意图所示 电压源 电流源 SMA-HPC ?2003 MIT 为了产生可用来确定每一功能模块的电压的表示，考虑 前面的描述的每一个模型。 首先，用电压源代替电压。 其次，用一个相关电流源代替相关功能模块。 然后，用电阻代替每一个截面相关导线。 注意到虽然截面是变化的，但表示导线的电阻只代替一 个简单截面，而不包含分支。 最终电阻、电流源和电压源的连接在一起就称为电路示 意图。从示意图形成的基本方程后面将进行讨论。 SMA-HPC ?2003 MIT 空间框架的建模 压杆 螺栓 接地 负载 实例的简化如图所示。 SMA-HPC ?2003 MIT 为了检查空间框架，我们考虑一个只有四个钢梁和一个载荷作 用的简单实例。回顾紫色点代表将钢梁用螺栓连接在一起的点。 简化图中每一个单元，梁和载荷均可通过单元相对位置和受力间 的关系建模。应用单元的基本方程，我们可以构建确定框架下垂 的示意图。 SMA-HPC ?2003 MIT 框架建模 载荷看成 力源 质量 物理符 号 示意符号 基本方程 质量 重力 SMA-HPC ?2003 MIT 力的模型可看作沿着Y负向的拉力（Y是垂直方向，X是水平方向）。 注意到基本方程不包括力的位置变量，这是由于力与位置无关。 SMA-HPC ?2003 MIT 框架建模 梁看作支柱 梁 支柱 物理符号 非受拉长度 基本方程 （虎克定律） 截面积 设计参数 杨氏模量材料特性 SMA-HPC ?2003 MIT 为了对空间框架的梁建模，有必要研究梁的变形与恢复力 之间的关系。为了推导公式，我们提出一些假定： 1.梁是完全弹性的。 这意味着给梁受到力的作用将变形，当撤去力的作用梁将 恢复到原始形状。 2.梁不弯曲 施加 的力 撤去力 的作用 弯曲 不弯曲 施加力的作用 SMA-HPC ?2003 MIT 弯曲是一个主要的现象，忽略它将限制这一模型的应用领域。 3.梁是线性材料 对于线性材料的梁，作用在梁上的力与长度的变化成正比。 SMA-HPC ?2003 MIT 为了确定K，考虑梁伸长量为ΔL的力是： I.反比于其非伸长长度（伸长一10英寸的橡胶带1英寸比 伸长一1英寸的橡胶带容易。） II.直接正比于其截面积（想象10英寸的橡胶带是并联的 ） III.取决于材料（橡胶伸长比钢容易） 将（I）（II）（III）综合，得到幻灯片下部的公式。 框架建模 综合在一起 载荷 载荷会产生多大下垂？ 为了产生用来确定梁连接点位移的表达式，在表述前考虑： 首先，用力代替载荷。 其次，用支柱代替梁。 SMA-HPC ?2003 MIT 从示意图形成方程 两种类型的未知量 电路－节点电压，单元电流 支柱－连接点位置，支柱受力 两种类型的方程 守恒律方程 电路－每一节点的电流和为0 支柱－每一连接点的合力为0 基本方程 电路－通过单元的电流与电压相关 支柱－单元受力与长度的变化相关 SMA-HPC ?2003 MIT 守恒律与基本方程 热流 一维实例 输入热量 近端温度 单位长度杆 远端温度 问题：沿着杆的温度分布是什么？ SMA-HPC ?2003 MIT 守恒律与基本方程 热流 离散表示 1）将杆分割为一系列短的截面 2）给每一切片分配一个温度 SMA-HPC ?2003 MIT 守恒律与基本方程 热流 离散表示 通过每一截面的热流 当截面足够小时取极限 SMA-HPC ?2003 MIT 守恒律与基本方程 热流 离散表示 两个相邻截面 控制体积 输入热 流入控制体积的纯热流 SMA-HPC ?2003 MIT 守恒律与基本方程 热流 离散表示 流入控制体积的纯热流 输入热 左端输入 热 右端输出 热 单位长度 输入热量 当截面足够小时取极限 SMA-HPC ?2003 MIT 守恒律与基本方程 热流 电路模拟 将温度类比为电压 将热流类比为电流 SMA-HPC ?2003 MIT 形成方程 两种类型未知量 电路－节点电压，单元电流 支柱－连接点位置，支柱受力 传导杆－温度，截面热流 两种类型的方程 守恒律方程 电路－每一节点的电流和为0 支柱－每一连接点的合力为0 杆－进入控制体积的热流和＝0 基本方程 电路－通过单元的电流与电压相关 支柱－单元受力与长度的变化相关 杆－截面温度差与热流相关 SMA-HPC ?2003 MIT 从示意图形成方程 电路实例 识别未知量 给每一节点分配一个电压一个节点为0 SMA-HPC ?2003 MIT 给定一电路示意图，问题是要确定节点电压和单元电流。开始， 先给对节点电压进行标识，因此节点的编码是0，1，2，…，N，其中 N＋1是节点的总数。 节点编码为0具有特殊意义，它是参考点。虽然电压不是绝对值， 但必须相对某一参考点度量。 为了更好理解这一点，考虑一个简单的电流源和电阻实例。 为了使流过电阻的电流为1安培，V1－V0必须是1伏特。但究竟是V1 ＝11V且V0＝10V还是V1＝101V且V0＝100V呢？这无关紧要，最重要的 是V1比V0高1V。因此，将V0定义为参考点，并将其设置为方便的值，V0 ＝0。 SMA-HPC ?2003 MIT 从示意图形成方程 电路实例 识别未知量 给除电流源外每一单元分配一个电流。 SMA-HPC ?2003 MIT 第二组未知量就是单元电流。显然，通过电流源的电流 已知，因此只需对通过电阻和电压源的电流进行标识。电 流表示为i1，i2，…，ib，其中b未知单元电流的总数。由于 单元与节点相连，与图中相类似，单元电流称为分支电 流。 SMA-HPC ?2003 MIT 从示意图形成方程 电路实例 识别未知量 电流和＝0（克希荷夫电流定律） SMA-HPC ?2003 MIT 电路的守恒律就是每一节点的电流和等于0。通常称为克希荷夫 电流定律。该定律的更清楚说明守恒本质的表述是： 所有进入该节点的电流必须等于离开该节点的电流。 守恒就是没有电流损失，进入多少出去多少。当电流求和时， 绿色的表述更清楚表达了电流方向。离开节点的电流在求和中是正 项，而进入节点的电流是负项（也可以和这种惯例相反但必须一 致）。 SMA-HPC ?2003 MIT 从示意图形成方程 SMA-HPC ?2003 MIT 电路实例 识别未知量 应用基本方程建立了各支路电流与电压的 关系（电流从正节点流向负节点） 具有未知支路电流的每一单元通过基本方程建立单元电流和 电压之间的关系。例如,考虑图中R2， 电阻的基本方程是欧姆定律。 且此时，V＝V2－V3，I＝i2 还应该注意电流的方向，如果电流通过左节点到右节点 ，则左节点电压应比有节点高RI。 从示意图形成方程 电路实例 小结 电路实例的未知量 节点电压（除了参考点） 单元电流（除了电流源） 实例的方程 对每一节点有一守恒方程（KCL）（除了参考点） 对每一单元有一基本方程（除了电流源） 注意：方程数＝未知量数 SMA-HPC ?2003 MIT 重点总结 模拟的许多应用 取三个具有代表性的实例 电路，支柱与连接点，杆的热流 两种类型的方程 守恒定律 电路－每一节点的电流和为0 支柱－每一连接点的合力为0 杆－进入控制体积的热流和为0 基本方程 电路－电流－电压关系 支柱－力－位移关系 杆－温度差－热流关系 SMA-HPC ?2003 MIT