SMA-HPC ?2003 MIT 合作者 Deepak Ramaswamy, Michal Rewienski, 和 Karen Veroy 数值模拟导论-第十五讲 计算周期性稳定态的方法 雅可比 ·怀特 概要 SMA-HPC ?2003 MIT ?周期性稳定态问题 ——应用实例和简单案例 ?有限差分法 ——大矩阵的表示 ?射击法 ——状态转换函数 ——敏感矩阵 ?自由矩阵法 周期性稳态问题基础 SMA-HPC ?2003 MIT 基本定义 () () N () N dx t F xt ut dt ?? ?? =+ ?? 状态 输入 z假设系统有个周期性输入 z多个系统作出周期性响应 周期性稳态问题基础 SMA-HPC ?2003 MIT 基本定义 有用的特性 () ()()() dx t Fxt ut dt =+ 0 t ( ) 00 ()xt T xt+= 0 tt> ( ) ()xt T xt+= z对于任何初始条件若x是差分方程 z那么若u是周期为T的周期函数并且 , 则对于所有 ,都有 的唯一解 对某一 周期性稳态问题基础 SMA-HPC ?2003 MIT 应用实例 振幅 ? 周期性输入 ——风 ? 响应 ——摆动平台 ? 期望获得的信息 ——摆动幅度 周期性稳态问题基础 SMA-HPC ?2003 MIT 应用实例 信息接收回路 ? 周期性输入 ——以 90赫兹的频率接受信号 ? 响应 ——过滤解调后的信号 ? 期望得到的信息 ——失真 周期性稳态问题基础 SMA-HPC ?2003 MIT 应用实例 自振动实例 ? 周期性输入 ——有规律均匀 分 布的路面颠 簸 ? 响应 ——汽车振动 ? 期望的信息 ——振动幅度 周期性稳态问题基础 SMA-HPC ?2003 MIT 简单实例 RLC滤波器 , 弹簧 +压力块 +阻尼器 RLC回路 弹簧-压力块-阻尼器 z二者都由二阶 ODE表述 () N 2 2 dx dx M Dxut dt dt ++= 输入 周期性稳态问题基础 SMA-HPC ?2003 MIT 简单实例 RLC滤波器 , 弹簧 +压力块 +阻尼器 ( ) 0ut= () 2 cos( ) D M t xt Ke M φ ? ≈ + 轻度阻尼响应 (D<<M) () 2 2 dx dx M Dxut dt dt ++= 二者都由二阶 ODE表述 周期性稳态问题基础 SMA-HPC ?2003 MIT 简单实例 RLC滤波器 , 弹簧 +压力块 +阻尼器 小阻尼系统在达到稳定态之前将会产生多次震荡 周期性稳态问题基础 SMA-HPC ?2003 MIT 稳定态的计算 频域分析 线性时不变系统 我们可以很容易的求出稳定态的解 这一公式对非线性或者时变化系统无效 周期性稳态问题基础 SMA-HPC ?2003 MIT 稳定态的计算 时间积分法 对时间进行积分直到取得稳定态 在小阻尼系统中通常需要很多的时间。 此外我们回顾一下 整体的方法 SMA-HPC ?2003 MIT 用后欧拉算法求解 非线性系统 关于时间步的后欧拉方程 我们怎么来解这个后欧拉方程呢？ 状态 输入 初始条件 此外我们回顾一下整体 的方法 SMA-HPC ?2003 MIT 隐函数法 后欧拉算法举例 前欧拉算法 无论何时 我们都需要每一步非线性方程的解。 后欧拉算法 仅仅需要对函数赋值 非线性方程的解在每一步中 此外我们回顾一下整体 的方法 SMA-HPC ?2003 MIT 隐函数法 用牛顿法求解 改写多步方程 b相对于 用牛顿法求解 雅克比矩阵 这里 j是牛顿法的 迭代指针 独立 此外我们回顾一下整体 的方法 SMA-HPC ?2003 MIT 隐函数法 用牛顿法求解（续） 牛顿迭代： 用牛顿法求解是非常有效的 我们利用多项式的性 质可以很容易得到一 个很好的迭代初值。 小步长迭代使得雅克 比矩阵很容易分解 多项式预估值 收敛解 边界值问题 SMA-HPC ?2003 MIT 基本公式 微分方程： 周期性约束 微分方程的解 周期性约束 边界值问题 SMA-HPC ?2003 MIT 有限微分法 线性实例问题 用后欧拉法离散上述方程得： 一个周期的标志： 输入 周期性约束 边界值问题 SMA-HPC ?2003 MIT 有限微分法 线性实例矩阵的形成 大多数情况下矩阵为下三角矩阵 边界值问题 SMA-HPC ?2003 MIT 有限微分法 非线性问题 利用后欧拉法分解 使用牛顿法求解 输入 周期性约束 边界值问题 SMA-HPC ?2003 MIT 射击法 基本定义 开始使用公式： 并且假设对给定的 x(0 )， x(t)是唯一的 D.E.定义了一个状态转换函数 这里 对给定的 ， D.E.的解为 边界值问题 SMA-HPC ?2003 MIT 射击法 状态转移函数举例 边界值问题 SMA-HPC ?2003 MIT 射击法 抽象公式 解 应用牛顿法 边界值问题 SMA-HPC ?2003 MIT 射击法 牛顿法的计算 图中显示 X(T)的敏感度在 X(0)处发生了改变 边界值问题 SMA-HPC ?2003 MIT 射击法 对扰动敏感的矩阵 边界值问题 SMA-HPC ?2003 MIT 射击法 有效的敏感性估计 后欧拉法第一步的区分 边界值问题 SMA-HPC ?2003 MIT 射击法 有效的敏感性估计 （续） 在第 L步使用相同的运算步骤 边界值问题 SMA-HPC ?2003 MIT 射击法 观测敏感矩阵 在每一个时间步使用相同矩阵的牛顿法 线性系统的公式简化 时间步牛顿雅克比矩阵 射击法 SMA-HPC ?2003 MIT 自由矩阵法 基本设置 开始使用公式： 使用牛顿法 射击法 SMA-HPC ?2003 MIT 自由矩阵法 矩阵向量的乘积 使用 Krylov子空间法解牛顿方程 向量成绩的计算 krylov方法的搜索方向 射击法 SMA-HPC ?2003 MIT 自由矩阵法 GCR的收敛性 举例 射击 -牛顿雅克比矩阵 射击法 SMA-HPC ?2003 MIT 自由矩阵法 GCR的收敛性续 总结 SMA-HPC ?2003 MIT ? 周期性稳定态问题 ——应用实例和简单案例 ? 有限差分法 ——大矩阵的表示 ? 射击法 ——状态转换函数 ——敏感矩阵