数字模拟导论－讲座22 积分方程法 Jacob White 感谢Deepak Ramaswamy, Michal Rewienski, Xin Wang and Karen Veroy SMA-HPC ?2003 MIT 概述 积分方程法 外部与内部问题 应用点源开始 二维标准解法 Galerkin法 配置法 三维形式 板积分 SMA-HPC ?2003 MIT 内部与外部问题 SMA-HPC ?2003 MIT 内部 外部 什么是热流？ 热流 热传导率 表面 静电学的外部问题 电压 外部 是给定表面 什么是电容？ 电容介电常数 表面 SMA-HPC ?2003 MIT 微型谐振器的阻力 谐振器 离散结构 计算的力 计算的力 俯视图 顶视图 SMA-HPC ?2003 MIT 这类问题的通用性 外部问题 微型机电装置的阻力－流体（空气）产生的拉力 包内的耦合－外部场产生耦合 信号线的电容－外部场 研究的量在表面 微型机电装置－只需要表面阻力 包－只需要导体间的耦合 信号线－只需要表面电荷 外部问题是线性的，且空间不变 微型机电装置－外部斯托克斯流体方程（线性） 包－自由空间麦克斯威方程（线性） 信号线－自由空间拉普拉斯方程（线性） 但问题从几何上看是复杂的！ SMA-HPC ?2003 MIT 外部问题 为什么不用有限差 分法或有限元法 表面2维流动实例 表面 但必须截 取网格 当且仅当在表面，但T在任何位置可算出 必须截取网格变为 SMA-HPC ?2003 MIT 拉普拉斯方程 格林方程 证明：只有求微分可看到！ SMA-HPC ?2003 MIT 二维拉普拉斯方程 简单的思想 给定表面u 外部 外部 表面 不匹配边界条件！ SMA-HPC ?2003 MIT 二维拉普拉斯方程 简单的思想 给定表面u 外部 取匹配边界条件！ SMA-HPC ?2003 MIT 二维拉普拉斯方程 简单的思想 多点方程 选择源强度给出正 确的测试点电压 应用多点法的计算结果 SMA-HPC ?2003 MIT 应用多点法的计算结果 电量的圆周r＝9 .5 圆周的电压 SMA-HPC ?2003 MIT 二维拉普拉斯方程 积分方程 有限张量 产生积分方程 将点电量转换到表面 如何求解积分方程？ SMA-HPC ?2003 MIT 二维拉普拉斯方程 基本函数法 基本思想 代表 基函数 基本例子 用直线表示圆周 假定σ沿直线不变 表面的基本函数能用来近 似密度，可用来近似几何形状 SMA-HPC ?2003 MIT 二维拉普拉斯法 近似函数法 非新的几何近似 分段直表面基本函 数近似圆周 对于二维有限元法近似 圆周的三角形工具！ 近似表面 SMA-HPC ?2003 MIT 二维拉普拉斯法 近似函数法 基本思想 1）在表面取n个点 2）通过连接点的n条线定义 一个新面 3）如果在线l i，定义 ，否则 近似表面 如何确定ω' s? SMA-HPC ?2003 MIT 二维拉普拉斯法 基本函数法 参数的定义和最小化 近似表面 取e ω‘ s使R(x) 最小 一般方法：取一系列测试函数 ，使R(x)与之正交 SMA-HPC ?2003 MIT 二维拉普拉斯方程 基本函数法 应用测试函数使参数最小化 通过选择产生不同方法 配置：（点匹配） Galerkin法： （基＝测试） SMA-HPC ?2003 MIT 二维拉普拉斯法 SMA-HPC ?2003 MIT 基本函数法 配置 配置：（点匹配） 近似表面 近似表面 二维拉普拉斯法 基本函数法 分段常基的 质心配置 在线中心 配置点 SMA-HPC ?2003 MIT 二维拉普拉斯法 基本函数法 质心配置产生一个非 对称的A SMA-HPC ?2003 MIT 二维拉普拉斯法 基本函数法 Galerkin 近似表面 近似表面近似表面近似表面 A是对称的 如果 那么 SMA-HPC ?2003 MIT 二维拉普拉斯方程 基本函数法 分段常基Galerkin SMA-HPC ?2003 MIT 三维拉普拉斯方程 基本函数法 分段常基 积分方程 将平面离 散为小的片 表示 基函数 片 如果X在片j上 如果X不在片j上 SMA-HPC ?2003 MIT 三位拉普拉斯法 基函数法 质心配置 在面片质 心配置点 配置点 SMA-HPC ?2003 MIT 三位拉普拉斯法 基函数法 计算矩阵单元 配置点 片 片的面积 一点的 二次近似 四点的 二次近似 SMA-HPC ?2003 MIT 三维拉普拉斯法 基函数法 分段常基Galerkin 配置点 片 一点的 二次近似 是单值可积的 SMA-HPC ?2003 MIT 三位拉普拉斯法 基本函数法 “同一项”的计算 变换窍门 配置点 片 半径为R的 圆盘的配置点 在两段积分 圆盘其他面 圆盘积分单值 但有解析公式 圆盘 SMA-HPC ?2003 MIT 三维拉普拉斯法 基本函数法 “同一项”的计算窍门 配置点 片 1）如果面片是平面多边形，解析公式存在 2）曲面片能用投影处理 SMA-HPC ?2003 MIT 三位拉普拉斯法 基本函数法 Galerkin（测试＝基） 对于分段常基 SMA-HPC ?2003 MIT 二维拉普拉斯法 基本函数法 稠密矩阵 积分方程法产生大型稠密矩阵 高斯消元法太慢了！ SMA-HPC ?2003 MIT 总结 积分方程法 外部与内部问题 应用点源开始 二维标准解法 Galerkin法 配置法 下一次→快速求解器 应用Krylov子空间迭代法 计算近似MV积 SMA-HPC ?2003 MIT