SMA-HPC ?2003 MIT 数值模拟导论-16章 计算周期性稳定态的方法2 雅可布~怀特 感谢Deepak Ramaswamy, MichalRewienski, and Karen Veroy 摘要 SMA-HPC ?2003 MIT ?目前为止的三种方法 ——在达到稳态之前对时间求积分 ——有限微分法 ——射击法 ?射击法 ——状态转移函数 ——敏感矩阵 ——自由矩阵法 ?光谱法 ——Galerkin和排列法 周期稳定态的基础 SMA-HPC ?2003 MIT 基本定义 假设系统有一个周期性的输入 很多系统最后的响应也是周期性的 周期稳定态基础 SMA-HPC ?2003 MIT 稳定态的计算 时间积分法 在取得稳定态之前对时间进行积分 我们可以看到需要很多的时间来克服阻尼达到稳定态 边界值问题 SMA-HPC ?2003 MIT 基本公式 微分方程： 周期性约束： 微分方 程的解 周期性约束 边界值问题 SMA-HPC ?2003 MIT 有限微分法 非线性问题 使用后欧拉法，将系统离散： 应用牛顿法求解 输入 周期性约束 边界值问题 SMA-HPC ?2003 MIT 射击法 基本定义 开始使用： 并且假设x(t)唯一，给定x(0) D.E.定义了一个状态转移函数 这里X(t)是当给定初始条件x(t0)=y是的D.E.解 边界值问题 SMA-HPC ?2003 MIT 射击法 理论公式 解 应用牛顿法： 边界值问题 SMA-HPC ?2003 MIT 射击法 牛顿法的计算 要计算 对 求积分 在哪里呢？ 上图显示x(t)的灵敏度在x(0)处发生改变 边界值问题 SMA-HPC ?2003 MIT 射击法 有扰动产生的敏感矩阵 边界值法 SMA-HPC ?2003 MIT 射击法 有效的敏感性估计 微分后欧拉法的第一步 边界值问题 SMA-HPC ?2003 MIT 射击法 有效敏感矩阵续 在第L 步使用相同方法 边界值问题 SMA-HPC ?2003 MIT 射击法 考察敏感矩阵 在每一个时间步牛顿法使用了相同的矩阵 时间步牛顿雅克布矩阵 线性问题公式的简化 射击法 SMA-HPC ?2003 MIT 自由矩阵法 基本设置 开始使用： 使用牛顿法： 射击法 SMA-HPC ?2003 MIT 自由矩阵法 矩阵向量的乘积 用krylov子空间法求解牛顿方程 计算矩阵向量的乘积 krylov法搜索方向 射击法 SMA-HPC ?2003 MIT 自由矩阵法 GCR的收敛性 例子 射击-牛顿雅克比矩阵 eig(A)是真还是假 射击法 SMA-HPC ?2003 MIT 自由矩阵法 GCR收敛性评估 在1处有许多快速众数群 比1处有较少的众数 光谱法 SMA-HPC ?2003 MIT 傅立叶形式 傅立叶级数的近似 周期函数〉傅立叶级数 去掉余项的傅立叶级数近似 光谱法 SMA-HPC ?2003 MIT 傅立叶级数 方波的例子 光谱法 SMA-HPC ?2003 MIT 傅立叶级数 实函数的难点 实数X 傅立叶系数的复杂关联 可以使用更少的未知量来重新写级数 实数 光谱法 SMA-HPC ?2003 MIT 傅立叶表示 正交性 傅立叶级数中的条件是正交的 计算稀疏的简单公式 光谱法 SMA-HPC ?2003 MIT 傅立叶表示 优点 ?对光滑函数（无限连续可微） -以指数速度衰减的的傅立叶系数 ?自适用周期 光谱法 SMA-HPC ?2003 MIT 系数的计算 残余量 在微分方程中插入观测量 残余量 通过区分观测量来简化上述方程： 残余量 光谱法 SMA-HPC ?2003 MIT 系数的计算 排列法和Galerkin法 排列法-在观测点残余值=0 erkin法-残余值与傅立叶乘积在时域内的积分=0 残余量 残余量 光谱法 SMA-HPC ?2003 MIT 系数的计算 Galerkin等式 Galerkin法-残余值与傅立叶乘积在时域内的积分=0 光谱法 SMA-HPC ?2003 MIT 系数的计算 线性Galerkin法F(x)=Ax 对角阵 光谱法 SMA-HPC ?2003 MIT 系数的计算 排列方程 排列法-残余值在测试点等于零 残余值 光谱法 SMA-HPC ?2003 MIT 系数的计算 离散傅立叶的转换 离散傅立叶转移矩阵 如果 ，那么离散傅立叶转移矩阵的列向量正交 光谱法 SMA-HPC ?2003 MIT 系数的计算 应用时间点的排列法 光谱的微分 将时间点转换成傅立叶级数的系数，微分，最后在返回到时间上。 光谱法 SMA-HPC ?2003 MIT 系数的计算 光谱微分举例 加权值 时间步指针 中间行T=17和2L+1=17 光谱法 SMA-HPC ?2003 MIT 系数的计算 光谱排列法与F-D的比较 总结 SMA-HPC ?2003 MIT ?四种方法 -在达到稳态之前对时间求积分 -有限微分法 -射击法 -光谱法 ?射击法 -状态转移函数 -敏感矩阵 -自由矩阵法 ?光谱法 -Galerkin和排列法 SMA-HPC ?2003 MIT SMA-HPC ?2003 MIT