数值模拟导论 数值模拟导论 讲座 讲座 19 拉普拉斯方程－有限元法 拉普拉斯方程－有限元法 Jacob White 感谢 感谢 Deepak Ramaswamy, Michal Rewienski, Karen Veroy, Jaime Peraire 和 和 Tony Patera 为什么学习泊松方程 热流，势能流，静电学 提升许多求解偏微分方程问题的能力 基本数值技术 基函数（FEM）和有限差分法 积分方程法 三维快速方法 有限元法和有限差分的预处理 积分方程的快速多极点技术 泊松方程部分大纲 泊松方程部分大纲 为什么学习泊松方程 回顾热传导梁问题 有限差分和基本函数法 收敛的关键问题 有限元法的收敛性 重要思想：通过最小化求解泊松方程 精心选择规范说明最优性 今天的大纲 今天的大纲 势能流方程 泊松偏微分方程 飞机的拉力问题方向 飞机的拉力问题方向 热传导方程 泊松偏微分方程 发发 动动 机机 热热 分分 发动机热分析 发动机热分析 静电学分析 拉普拉斯偏微分方程 微处理器信号线的 微处理器信号线的 电容分析 电容分析 近端温度单位长度杆远端温度 问题：沿着杆温度如何分布？ 热流分析 热流分析 一维实例 一维实例 1) 将杆切割成短的截面 2) 给每一切片分配一温度 热流分析 热流分析 离散表示 离散表示 一维实例 一维实例 ?通过每一截面的热流 ?当截面足够小取极限 热流分析 热流分析 一维实例 一维实例 基本方程 基本方程 两个相邻截面 控制体积输入热量 控制体积的热流求和为零 热流分析 热流分析 一维实例 一维实例 守恒律 控制体积的热流求和为零 左边输入的热量右边输出的热量单位长度输入的热量 当截面足够小取极限 热流分析 热流分析 一维实例 一维实例 守恒律 温度类似于电压 热流类似于电流 热流分析 热流分析 一维实例 一维实例 电路模拟 电路模拟 正则化泊松方程 热流分析 热流分析 一维实例 一维实例 正则化一维方程 正则化一维方程 将区间（0，1）分成n＋1个相等的区间 数值解 数值解 有限差分 有限差分 离散化 离散化 例如 数值解 数值解 有限差分 有限差分 离散化 离散化 偏微分方程形式 基本方程表示 基函数 将基函数表示代入方程 应用基本方程 应用基本方程 残余方程 残余方程 引入基本表示基函数是基函数的加权和 基本函数定义了空间 例如 “带帽”基函数分段线性空间 基函数的应用 基函数的应用 基函数实例 基函数实例 使残差与基函数正交 产生n个未知量的n个方程 高斯消元法基础 基本加权 基本加权 实例：伽利金模式 实例：伽利金模式 只考虑基函数的一阶偏差 高斯消元法基础 基本加权 基本加权 实例：伽利金模式 实例：伽利金模式 问题是： 随着细化如何减小？ 本次－有限元法 收敛性分析 收敛性分析 偏差分方程形式 “近似”等价于弱形式 对于所有v 对方程引入抽象符号u，使之满足 对于所有v 热方程 热方程 收敛性分析 收敛性分析 FEM总结 总结 引入基本表示基函数 是基函数的加权和。 基函数定义了空间 实例 “带帽”基函数分段线性空间 热方程 热方程 收敛性分析 收敛性分析 FEM总结 总结 重要思想： a( u, u)定义了范数 U在0和1处限制为0。 应用范数的性质，有： 如果则解误差投影误差 热方程 热方程 收敛性分析 收敛性分析 FEM总结 总结 问题只有： 如何使u与Xh的元素匹配？ 但可以范数||| |||度量误差。 对于分段线性：误差 热方程 热方程 收敛性分析 收敛性分析 FEM总结 总结 边界值问题（BVP）－强形式 描述许多物理现象（例如） 杆的温度分布 弹性杆的变形 张力下弦的变形 研究问题 研究问题 一维海姆霍次方程 一维海姆霍次方程 解u(x)一直存在 u(x)一直比数据f(x)光滑 给定f(x)，解u(x)是唯一的。 研究问题 研究问题 解的特性 解的特性 寻找 其中 充分光滑且 最小化原则 最小化原则 命题 命题 换句话说： 对于X所有函数w，u满足： 使得J（w）足够小。 最小化原则 最小化原则 命题 命题 设w=u+v 则 最小化原则 最小化原则 命题 命题 证明 证明 ... 最小化原则 最小化原则 命题 命题 证明 证明 ... 一阶偏差 最小化原则 最小化原则 命题 命题 证明 证明 ... u是J（w）的最小值。 最小化原则 最小化原则 命题 命题 证明 证明 ... 瑞利－瑞次法 瑞利－瑞次法 近似 近似 网格划分 网格划分 瑞利－瑞次法 瑞利－瑞次法 近似 近似 空间Xh X 分段线性v连续 ? 对于Xh节点基： 基 基 瑞利－瑞次法 瑞利－瑞次法 近似 近似 当且仅当非零 设 RR/FE近似 “投影 投影 ” 规划 规划 …. 瑞利－瑞次法 瑞利－瑞次法 设uhj＝wj使最小。 瑞利－瑞次法 瑞利－瑞次法 “投影 投影 ” 规划 规划 …. 几何图 对所有Xh最小对所有X最小 “投影 投影 ” J│ │ Xh…. 瑞利－瑞次法 瑞利－瑞次法 瑞利－瑞次法 瑞利－瑞次法 “投影 投影 ” J│ │ Xh…. 最小化 最小化 …. “投影 投影 ” 展开 要求 除非 瑞利－瑞次法 瑞利－瑞次法 瑞利－瑞次法 瑞利－瑞次法 “投影 投影 ” 最小化 最小化 …. 瑞利－瑞次法 瑞利－瑞次法 “投影 投影 ” 最小化 最小化 …. 瑞利－瑞次法 瑞利－瑞次法 “投影 投影 ” 最小化 最小化 …. 如果 （当且仅当） 则 寻找使 SPD 存在且唯一 瑞利－瑞次法 瑞利－瑞次法 “投影 投影 ” 最终结果 最终结果 误差分析 误差分析 能量范数 记住 定义 能量范数 误差分析 误差分析 能量范数 因此 选择任意 对于 误差分析 误差分析 能量范数 如果 且 总之：即使你知道u，你不能在Xh找到比uh更精确的wh 误差分析 误差分析 能量范数 能量范数形式 误差分析 误差分析 先验理论 先验误差估计 能量范数： L2范数 离散方程 离散方程 矩阵元素 矩阵元素 A1h φ φ i和 和 dφ φ i/dx... 离散方程 离散方程 矩阵元素 矩阵元素 A1h φ φ i和 和 dφ φ i/dx... 典型行 典型行 离散方程 离散方程 矩阵元素 矩阵元素 A1h 非零 仅对于i＝j－1，j＋1 边界行 边界行 离散方程 离散方程 矩阵元素 矩阵元素 A1h A1h的特性 的特性 离散方程 离散方程 矩阵元素 矩阵元素 A1h A1h是SPD， 且对角占优， 稀疏， 且三对角 质量矩阵 质量矩阵 离散方程 离散方程 有限元恒等（I）算符 非零仅对于 离散方程 离散方程 质量矩阵 质量矩阵 对于线性单元，节点基 稀疏，窄带，三对角－接近I “力 力 ”向量因素： 向量因素： Fh 离散方程 离散方程 总结 总结 离散方程 离散方程 热传输问题 非空间形式 热传导率 热交换系数 几何参数 实例 实例 实例 实例 有限元法 节点基函数 一阶单元 可能解 可能解 实例 实例 扩展 扩展 实例 实例 复杂几何形状 问题的通用类型（好的数学特性） 较广泛的算符类型 ?为什么泊松方程 –回顾热传导杆 ?有限差分和有限元法 –收敛的关键问题 ?有限元法的收敛性 –重要思想：通过最小化求解泊松方程 –以精心选择的范数展示最优性 总结 总结