第八章、联立方程模型
第一节 联立方程模型的概念
迄今为止，我们的介绍都是围绕单方程模型进行的
，可是，很多经济理论是建立在一组经济关系上的，
其数学模型是一个方程组，称为多方程模型或联立方
程模型（ simultaneous equations model）。
熟悉的例子有市场均衡模型、商品需求方程组和宏
观经济模型等。联立方程模型用于描述整个经济系统
或其子系统。
2
一, 联立方程模型的估计问题
在联立方程模型的情况下, 无论人们仅仅关心系统
的一个具体部分还是对整个系统感兴趣, 模型中各变
量之间的相互作用都将对模型各方程的说明和估计产
生影响 。 为了说明这一点, 让我们看一个简单的例子
。 假设我们要估计简单的凯恩斯收入决定模型
(1)
(2)
中消费函数的参数 。 该模型假定经济是封闭型的, 没
有进, 出口, 并且没有政府的活动 。 其中 Y,C,I分
别表示总量收入, 消费和投资 。
tt uY ?? ??＝tC
ttt ICY ??
（ 1） 代入 （ 2） 并整理得：
(3)
（ 3） 式中右端第一项和第二项表明总收入依赖于消
费的常数分量和投资水平, 若投资增加一个单位, 则
收入将增加 1/(1-β)单位, 1/(1-β)就是著名的乘数 。 右
端第三项则表明收入还依赖于消费函数中扰动项 u的
大小, 即 Y包含一个随机分量, 因而 Y是随机变量,
它与 （ 1） 式中的扰动项同期相关 。 由于 Y是 （ 1） 式
中的解释变量, 因而使得高斯－马尔可夫定理的第四
条假设不成立, 从而若用 OLS法估计消费函数, 得到
的 OLS估计量将不仅有偏, 而且不一致 。
???
?
?
?
?
?
?
?
111
tt
t
uIY
上面的简例说明, 由于联立方程模型中各变量的相
互作用, 会带来估计方面的问题, 特别是随机解释变
量的问题, 因而需要研究如何解决联立方程模型的参
数估计问题 。 我们将在后面的章节中讨论 。 在此之前
,让我们首先介绍一些有关联立方程模型的概念和术
语 。
二, 行为方程和恒等式
1.行为方程 （ behavioural equation）
凯恩斯收入决定模型中的消费函数是一个行为方程
,它描述的是消费者的行为, 即在给定收入的情况下
平均而言, 消费者的行为是怎样的 。 除了描述消费者
行为的方程外, 还有描述生产者, 投资者及其它经济
参与方行为的方程, 他们都是行为方程 。
还有一类描述经济变量之间技术联系的方程, 如
C－ D生产函数, 它们描述的不是行为,
但通常也将它们归入行为方程一类 。 因此, 广义的说
,行为方程是描述变量之间经验关系的方程 。 因此,
行为方程中含有未知的参数和随机扰动项 。
?? LAKQ ?
2.恒等式 （ identity relation）
恒等式亦称定义式, 是人为定义的一种变量间的
恒等关系 。 如凯恩斯收入决定模型中的 （ 2） 式 （ 国
民收入恒等式 ）,
又如：
净投资＝资本存量的变动
＝期末资本存量－期初资本存量,
ttt ICY ??
3.恒等式和行为方程的区别
恒等式与行为方程的区别有以下两点：
（ 1） 恒等式不包含未知参数, 而行为方程含有未
知参数 。
（ 2） 恒等式中没有不确定性, 而行为方程包含不
确定性, 因而在计量经济分析中需要加进随机扰动
因子 。
三, 外生变量, 内生变量和前定变量
1.外生变量 （ exogenous variable）
外生变量是其值在模型之外决定的变量 。 模型中使用它
们, 但不由模型决定它们的值 。 在求解模型之前, 必须用
其他方法给定外生变量的值 （ 如利用国际组织公布的预测
数据, 或时间序列预测得出的预测值 ） 。
2.内生变量 （ endogenous variable）
内生变量是其值在模型内确定的变量 。 内生变量既由模
型使用 （ 如可以作解释变量 ）, 又由模型决定 。 由于在求
解模型时, 通常是需要联立地解出所有内生变量的值, 因
而称为联立方程模型 。
单方程模型中, 内生变量就是因变量, 外生变量是解释
变量 （ 滞后内生变量除外 ） 。
3.前定变量 （ predetermined variable）
前定变量包括外生变量和滞后内生变量 。 在模型
求解本期内生变量的值之前, 本期外生变量和滞后
外生变量的值是给定的, 滞后内生变量的值在前面
各期中已解出, 因而也是已知的 （ 前定的 ）, 它们
统称前定变量 。
4.如何确定模型中的内生变量和外生变量
由于内生变量是联立地被决定, 因此, 联立方程
模型中有多少个内生变量就必定有多少个方程 。 这
个规则决定了任何联立方程模型中内生变量的个数
。 可是, 确定哪个变量为内生变量, 要根据经济分
析和模型的用途 。
在设定模型时, 通常将以下两类变量设定为外生
变量：
（ 1） 政策变量, 如货币供给, 税率, 利率, 政府
支出等 。
（ 2）短期内很大程度上是在经济系统之外决定或
变化规律稳定的变量，如人口、劳动力供给、国外利
率、世界贸易水平、国际原油价格等。
在我们前面的简例中, 有三个经济变量, 两个方
程, 因而有两个内生变量, 它们是消费 （ C） 和收入
（ Y） 。 模型中没有决定投资 （ I） 的机制, 因而在此
模型中, 投资作为外生变量 。
让我们再看一个例子, 由菲利普斯工资方程和价格方程组
成的模型：
(4)
(5)
其中 货币工资变动, UN = 失业率
=价格变动, = 资金成本变动
=进口原料费用变动
在此模型中, 内生变量是：,, 外生变量是：,
,UN。
不难看出, 在上述两例中, 方程的左端都是内生变量 。 联
立方程模型中每个方程的左端为不同内生变量原型的写法
,称为方程的正规化 。
tttt uPUNW 1210 ?????? ???
ttttt uMRWP 23210 ????????? ????
??W
P? R?
M?
W? P? M?
R?
四, 模型的结构式和简化式
1.结构式 （ Structural form）
联立方程模型的结构式是依据经济理论设定模型
时所采取的形式 。 其中的方程称为结构方程, 一个
结构方程反映一个基本的经济关系, 即对经济理论
的一种阐述 。 结构方程的参数称为结构参数 。
上述两例都是按结构式的形式给出的 。
2, 简化式 （ r e d u c e d f o r m ）
我们的第一个例子，收入决定模型：
＝
t
C
tt
uY ????
ttt
ICY ??
若将模型中的内生变量
t
C 和
t
Y 用外生变量和扰动项来表示，则得到该
模型的简化式如下：
??
?
??
?
?
??
?
?
1
u
I
11
C
t
tt
（ 6 ）
??
?
??
?
??
?
?
1
u
1
I
1
Y
tt
t
（ 7 ）
（ 6 ）式和 （ 7 ）式称为简化式方程。严格的说，简化式方程是用前定
变量 （即外生变量和滞后变量）和扰动项表示内生变量的方程。
简化式方程描述了内生变量是怎样被真正决定的。
上述简化式方程可写成如下一般形式：
t1t21t
vIC ????? ( 8 )
t2t43t
vIY ????? ( 9 )
其中诸 π 为结构参数的函数，
t1
v 和
t2
v 是简化式方程的扰动项，是结
构式方程扰动项的函数。
对第二个例子，我们也不难写出其简化式如下：
ttttt
vMRUNW
113121110
???????? ????
ttttt
vMRUNP
223222120
???????? ????
简化系数亦称为影响乘数 （ i m p a c t m u l t i p l i e r s ）因为它们度量了外生
变量单位变动对内生变量的影响。
第二节 识别问题 （ The identification problem）
一, 识别的概念
识别问题是一个与联立方程有关的数学问题, 让我们用一
个简单的例子来说明识别的概念 。 设 是某种商品的需求量
,是供给量, P为该商品的价格, 则该商品供求模型为：
DQ
SQ
这里的问题是很难找到一种观测需求量和供给量的有
效方法, 通常能够观测到的只是市场运行的结果 。 因此一
般的作法是假设供给量和需求量相等, 即市场是结清的 。
这相当于在模型中增加一个方程,
DS QQ ?
tt
S
t
tt
D
t
vPQ
uPQ
???
???
??
??
如果只用可观测变量来建立模型, 我们可令 Q代表市
场结清量, 从而有
Qt = α + β Pt + ut
Qt = ? + ? Pt + vt
这里的问题在于, 模型中两个方程具有完全相同
的统计形式：
Qt=截距＋斜率 × Pt＋扰动因子
这就提出了下面的问题：给定 P 和 Q的数据, 如何能
知道我们是在估计需求曲线还是在估计供给曲线？
我们无法知道所要估计的是哪一组参数, 因为没有
足够的信息来识别被估计的方程, 这就是识别问题 。
如果光是需求函数和供给函数, 情况还简单一点,
问题在于, 如果
Qt = α + β Pt + ut
Qt = ?+ ? Pt + vt
两式成立, 则对于任意常数 λ 和 μ （ λ +μ ≠ 0）, 上
述两式的线性组合
也将成立, 即
)()()()( tttt uPQ ????????????? ???????
成立 。
由于 λ 和 μ 的取值可任意, 则这样的方程数目
实际上是无限的, 它们与需求函数和供给函数具有
相同的统计形式 。 因此, 如果我们试图估计一个方
程,其中 Q是 P的函数, 则我们无法得知我们估计的
是这无限多个方程中的哪一个 。
由上可知, 在对联立方程估计之前, 必须解决
模型的识别问题 。
??
??
??
????
??
????
?
??
?
??
?
?? tt
tt
vuPQ
二, 不可识别, 恰好识别和过度识别
1,可识别和不可识别方程
定义：如果对于一个方程, 我们无法通过取它所在模型
中各方程的线性组合的方法, 得到另一个与该方程统计形式
完全相同的方程, 则该方程是可识别的 。
例 1, 考虑某农产品供求模型：
将上述定义应用于农产品供求模型, 由于我们得到的线性
组合与需求函数和供给函数具有完全相同的统计形式, 因此
需求函数和供给函数都是不可识别的 。
tQ = t1t10 uP ????
01 ??
tQ = t2t10 uP ???? 01 ??
例 2 在需求函数中加一个外生变量 Y （消费者收入），则模型变为
t
Q =
t1t2t10
uYP ??????
t
Q =
t2t10
uP ????
用任意常数 λ 和 μ （ λ + μ ≠ 0 ） 分别乘以上面两式的两端，然后相加，
形成线性组合方程：
t
Q =
tt2t10
vYP ??????
其中：
???
?????
??
00
0
???
?????
??
11
1
???
??
??
2
2
???
???
??
t2t1
t
uu
这里供给函数与线性组合方程具有不同的统计形式 （包含变量不一
样），因而供给函数具有唯一的统计形式，所以是能够识别的，但需求
函数与线性组合方程有相同的统计形式，因而是不能识别的。
例 3, 在例 2 的模型中，供给函数中加上一个外生变量 R （降雨量），
则模型变为：
t
Q =
t1t2t10
uYP ??????
t
Q =
t2t2t10
uRP ??????
则形成的线性组合方程为：
t
Q =
tt3t2t10
vRYP ????????
此线性组合方程与需求函数和供给函数具有不同的统计形式 （包含的
外生变量不相同），所以需求函数和供给函数都是可以识别的
从上面的几例可知, 模型中存在的识别问题是可以消除
的 。 我们在原模型两方程中添加不同的解释变量, 就使得两
个方程都从不可识别变为可识别 。
一般来说, 如果我们能够用经济理论或额外信息为联立
方程组施加约束条件, 则可以消除识别问题 。 这些约束条件
可以采取各种形式, 但最常用的是所谓的, 零约束,, 即规
定某些结构参数为 0,也就是说, 某些内生变量和外生变量
不出现在某些方程之中 。
在上面的例 3中, 共有 4个变量, 第一个方程中没有 Rt，
第二个方程中没有 Yt,因而每个方程各有一个零约束 。 正是
由于这个零约束, 使得它们有别于用任意 λ 和 μ 形成的线性
组合方程, 具有独一无二的形式, 因而是可识别的 。
2.恰好识别和过度识别
可识别方程可分成 恰好识别 （ just-identified 或 exactly
identified） 和 过度识别 （ over-identified） 两类 。 如果模型中
约束条件所提供的信息对于识别某个方程刚好够用, 则该
方程是恰好识别的, 如果约束条件所提供的信息对于识别
某个方程不但够用, 而且有余, 则该方程是过度识别的 。
如果一个方程是不可识别的, 则它的结构参数不能被估
计, 也就是说, 不存在估计这些参数的有意义的方法 。 因
此, 模型中若有不可识别方程, 则应首先消除这个问题 。
三, 识别的阶条件和秩条件
在实践中, 经济模型比我们所举的简单联立方程
模型例子要复杂得多 。 当模型中方程很多时, 要确
定该模型中某个方程是否可识别显然将很复杂 。 对
于这种情况, 有一些比较方便的判别准则可用 。 其
中常用的是所谓, 识别的阶条件, （ order condition
）,
模型中一个方程是可识别的必要条件是, 该方程
所不包含的模型中变量的数目大于等于模型中方程
个数减 1,即
K－ M≥G－ 1.
其中,K＝模型中的变量总数 （ 内生变量＋前定变量 ）
M＝该方程中所包含的变量数目
G＝模型中方程个数 （ 即内生变量个数 ）
尽管识别的阶条件只是一个必要条件, 也就是说,
模型中任何可识别方程必定满足 K－ M≥G－ 1,但满足
该条件的方程则未必是可识别方程 。 但在实际应用中
,为方便起见, 人们往往用它来判别一个方程是否可
识别, 就象用一阶导数是否等于零来判别极值是否存
在一样 。
经验表明, 在绝大多数情况下, 这种用法不会有多
大问题, 但应当明白, 毕竟存在着该条件满足而方程
不可识别的情况 。 实践中, 应用识别的阶条件进行判
别的准则是：
若 K－ M<G－ 1,则不可识别 ;
若 K－ M>G－ 1,则过度识别 ;
若 K－ M=G－ 1,则恰好识别 。
上述识别的阶条件是该条件在实际应用中使用最广
泛的一种形式, 其更一般的表述形式为：
模型中一个方程是可识别的必要条件是, 施加于该
方程的结构参数上的约束条件的数目大于等于模型中
方程个数减 1,即
R≥ G－ 1
其中,R＝施加于该方程的结构参数上的约束条件
的数目
G＝模型中方程个数
显然这种表述形式包含了前一种表述形式, 是前
者的推广, 因为前者仅涉及系数的零约束 （ 不包含某
个变量, 即其系数为 0）, 而后者则包含了所有形式
的约束 。
另外一个准则是 识别的秩条件 （ rank condition）
,这是一个充要条件, 陈述如下：
在一个有 G个方程的模型中, 其中任何一个方程
是可识别的充要条件是模型中不包括在这个方程中
的所有变量的系数矩阵的秩等于 G－ 1。
上述两个条件, 我们不在这里证明, 有兴趣的同
学可参阅有关参考书 。 下面, 用前头农产品供求模
型的例子, 讨论一下阶条件的使用方法：
例 1,
t
Q =
t1t10
uP ????
t
Q =
t2t10
uP ????
K ＝ 2, M
1
＝ M
2
＝ 2, G ＝ 2, K － M ＝ 0 ＜ G － 1 ＝ 1 两方程都不
可识别。
例 2,
t
Q =
t1t2t10
YP ???????
t
Q =
t2t10
P ?????
K ＝ 3, M
1
＝ 3, M
2
＝ 2, G ＝ 2, K － M
1
＝ 0 ＜ G － 1 ＝ 1,方程一
不可识别,K － M
2
＝ 1 ＝ G － 1 ＝ 1,方程二恰好识别。
例 3,
t
Q =
t1t2t10
uYP ??????
t
Q =
t2t2t10
uRP ??????
K ＝ 4, M
1
＝ M
2
＝ 3, G ＝ 2, K － M ＝ 1 ＜ G － 1 ＝ 1,方程一和
方程二都恰好识别。
例 4,简单的凯恩斯收入决定模型
对于消费函数, 我们有,K=3,M=2,G＝ 2，
K–M=1=G – 1=1,因而恰好识别 。
对于收入恒等式, 因为该式中包含两个系数约
束条件 （ C和 I的系数为 1）, 我们有 R=2>G-1=1
,因而过度识别 。
ttt
ttt
ICY
uYC
??
??? ??
第三节 联立方程模型的估计
由第一节我们得知, 联立方程模型的一个特点是
内生变量往往作为解释变量出现在方程中, 通常与
它作为解释变量的那个方程的扰动项相关 。 在这种
情况下, 使用 OLS法得到的估计量既不是无偏的,
又不是一致的 。 也就是说, 不管样本多大, OLS估
计量也不收敛于它们的真值 。 因此, 在联立方程模
型的情况下, 我们一般不能再使用 OLS法对模型进
行估计 。
针对联立方程模型的特点, 计量经济学家提出了
很多用于联立方程模型的估计方法 。 这些方法分为
两类：单方程方法和系统估计方法 。
单方程方法
单方程方法是对整个联立方程模型中每个方程分
别进行估计的方法 。 当然, 它不同于单方程模型的估
计, 因为在联立方程模型的情况下, 我们还要考虑模
型中其它方程对所估计方程的影响, 也就是说, 要用
到整个联立方程模型的某些信息 。
应用单方程法对模型中所包含的结构方程逐个进
行估计, 就会获得整个联立方程模型结构参数的估计
值 。
常用的单方程方法有间接最小二乘法 （ ILS法 ）,
二阶段最小二乘法 （ 2SLS法 ） 和有限信息极大似然
法 （ LIML法 ） 。
系统估计方法
系统估计方法是对整个模型中全部结构参数同时
进行估计的方法。采用系统方法对联立方程模型进
行估计，可同时决定所有结构参数的估计值。
常用的系统方法有三阶段最小二乘法（ 3SLS法）
和完全信息极大似然法（ FIML法）。
一, 单方程方法
1,间接最小二乘法 （ ILS法, Indirect Least Squares）
（ 1） 思路
我们从第一节知道, 联立方程模型的简化型
是根据模型中的前定变量和扰动项表示每一个内
生变量而得到的一组方程 。 由于简化式方程的解
释变量均为前定变量, 即外生变量或滞后内生变
量, 因而与现期扰动项无关 。 在这种情况下, 采
用 OLS进行估计, 将得到简化式系数的一致估计
量 。 估计出简化式系数后, 即可导出结构系数的
估计值 。 这就是间接最小二乘法的思路 。
在扰动项 满足标准假设条件的情况下, ILS估
计量是一致估计量 。
（ 2） 具体步骤
（ a） 首先求出简化式方程；
（ b）对每一个简化式方程分别施用 OLS法，得
出简化式系数的一致估计值；
（ c）由上一步估计出的简化式系数导出原结构
系数的估计值。
例：估计凯恩斯收入决定模型中的消费函数
解,（ 1） 式的简化式方程为
（ 3）
即 （ 4）
＝tC tt uY ???? （ 1 ）
ttt ICY ?? （ 2 ）
ttt vIC 121 ??? ??
?????
??
??
??
1
uI
11C
t
tt
我们有
由上述二式, 不难得到
估计 （ 4） 式, 得到 π 1 和 π 2的估计值
即可解出结构参数的估计值
?
??
?
??
???? 11 21
2
2
2
1
11 ?
??
?
??
?
?
?
?
21 ?,? ??
2
2
2
1
?1
??
,
?1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
（ 3） ILS法的局限性
应用 ILS法的前提是, 被估计的结构方程必须是
恰好识别的, 这样才能保证估计出的简化式系数与
原结构系数之间存在着一一对应的关系, 以保证可
得到结构参数的唯一估计值 。
由此可知, ILS仅适用于恰好识别方程的估计 。
由于这一限制并且用我们下面要介绍的 2SLS法估
计恰好识别方程, 得到的结果与 ILS完全一样 。 ILS
法实用价值有限, 因此我们在此不作深入讨论 。
2, 二阶段最小二乘法 （ 2SLS 法或 TSLS 法 ）
（ 1） 二阶段最小二乘法的思路
二阶段最小二乘法是我们在上一章介绍的工具变
量法的一个特例 。 当要估计的方程中包含与扰动项
相关的解释变量时, 如果能找到恰当的工具变量,
则可得到一致估计量 。
问题是在联立方程的情况下, 如何找到, 最好的
” 工具变量 。 我们可以考虑模型中的外生变量, 它
们与我们的内生变量相关 （ 通过联立系统的相互作
用 ）, 而与扰动项不相关 。 可是, 究竟哪一个外生
变量是最好的呢？ 这是一个很难决定的问题 。
二阶段最小二乘法的思路是将所有的外生变量
结合起来产生一个复合变量，作为“最佳”工具
变量。作法是将在模型中用作解释变量的每一个
内生变量对模型系统中所有外生变量回归，然后
用回归所得到的这些内生变量的估计值（拟合值
）作为工具变量，对原结构方程应用工具变量法
。
（ 2） 二阶段最小二乘法的具体步骤
第一阶段：
将要估计的方程中作为解释变量的每一个内生变
量对联立方程系统中全部 前定变量 回归 （ 即估计简
化式方程 ）, 然后计算这些内生变量的估计值 。
第二阶段：
用第一阶段得出的内生变量的估计值代替方程右
端的内生变量 （ 即用它们作为这些内生变量 的工具
变量 ）, 对原方程应用 OLS法, 以得到结 构参数的
估计值 。
（ 3）二阶段最小二乘估计量的性质和优点
由于 2SLS估计量 是一个合理的工具变量估计量，
因而它是 一致估计量 。
蒙特卡洛研究表明,2SLS估计量的小样本性质
在大多数方面优于其它估计量，并且相当稳定（即
它的好性质对其它估计问题，如多重共线性、误设
定的存在不敏感），再加上计算成本低，因此是估
计联立方程模型的首选方法。
此外,2SLS法应用于恰好识别方程的估计时，
与 ILS法结果完全相同，因此,2SLS法通常被应用
于联立方程模型的所有可识别方程的估计。
（ 3） 例子
例 1,考虑以下模型
收入函数,（ 1）
货币供给函数,（ 2）
其中,Y1 ＝收入, Y2 ＝货币存量
X1 ＝投资支出, X2＝政府支出
应用识别的阶条件, 不难看出, 收入函数是不可识别的
（ K-M＝ 0＜ G－ 1＝ 1）, 而货币供给方程是过度识别的
（ K-M＝ 2＞ G－ 1＝ 1） 。 对于收入方程, 除了改变模型设
定之外, 别无他途 。 而货币供给函数不能用 ILS,因为它是
过度识别的 。 我们用 2SLS来估计之 。
该方程中, 解释变量中有内生变量, 因此我们首先要产
生它的工具变量 。
ttttt uXXYY 1212111211101 ????? ????
ttt uYY 2121202 ??? ??
第一步：估计简化式方程：
t1t22t110t1
vXXY ???????
t ＝ 1,2,?,n （ 3 ）
得到 Y
1t
的估计值
t1
Y
?
（ t ＝ 1,2,?,n ）。
第二步：用
t1
Y
?
代替结构方程 （ 2 ）式中右端的 Y
1t
，应用 O L S,
以得到结构参数的估计值，即估计
t2t12120t2
uY
?
Y ?????, t ＝ 1,2,?,n （ 4 ）
得到
20
? 和
21
? 的 2 S L S 估计值
20
?
? 和
21
?
? 。
例 2,我 们修改上例中的模型, 得到如下新模型
（ 5）
（ 6）
其中新变量含义如下：
＝收入的一期滞后
＝货币供应量的一期滞后
很容易证实这两个方程都是过度识别的 。 应用 2SLS：
t1t212t111t21210t1 uXXYY ?????????
t21t2241t123t12120t2 uYYYY ????????? ??
1t1Y ?
12 ?tY
第一步：进行简化式回归 （即各内生变量对系统中所有前定变
量回归），即估计：
t11t2141t113t212t11110t1
vYYXXY ???????????
??
t21t2241t123t222t12120t2
vYYXXY ???????????
??
得到
t1
Y 和
t2
Y 的估计值
t1
Y
?
和
t2
Y
?
。
第二步：在原结构方程中用
t1
Y
?
和
t2
Y
?
代替方程右端的
t1
Y 和
t2
Y,进行 O L S 回归，即估计
t1t212t111t21210t1
uXXY
?
Y ?????????
ttttt uYYYY 212241123121202 ? ????? ?? ????
三, 系统方法
对联立方程模型的估计, 除了上一段介绍的几种单方程方
法之外, 还可以采用系统估计方法, 即对整个模型中所有可
识别的结构方程同时进行估计的方法 。
系统方法也称为, 完全信息, 方法, 因为它们估计结构参
数时使用整个系统的全部信息 。 系统方法的主要优点是：由
于它们将所有可得到的信息溶入其估计值中, 因而估计量的
渐进有效性优于单方程方法 。 缺点是计算成本高和对误设定
很敏感 。
常用的系统方法是三阶段最小二乘法 （ 3SLS） 和完全信息
极大似然法 （ FIML） 。 鉴于系统方法远没有 2SLS用的那样广
泛, 我们在这里不准备详细介绍, 仅对三阶段最小二乘法的
思路作一概括介绍 。
（ 1） 三阶段最小二乘法的思路和步骤
三阶段最小二乘法是由泽尔纳 （ A.Zellner） 和希尔
（ H.Theil） 首先提出的, 其基本思路是首先用二阶段
最小二乘法估计联立方程系统的每个行为方程, 产生
一组残差 。 这些残差被用来估计系统中各扰动项的协
方差矩阵 。 然后将系统中所有估计的方程堆积在一起
,形成一个巨型方程, 应用广义最小二乘法估计该巨
型方程 。
具体说来，这三个阶段是：
第一阶段：计算各行为方程 (可识别 )的 2SLS估计值；
第二阶段：用这些 2SLS估计值计算各行为方程的残
差，然后估计各行为方程扰动项的同期方
差－协方差矩阵；
第三阶段：用 GLS法估计代表该系统所有行为方程的
巨型方程。
3SLS估计量是一致估计量，一般来说，比 2SLS估
计量更有效。
（ 2）如何形成“巨型”方程
我们下面用一个例子说明第三阶段中 如何合并（堆积）
方程。设联立方程模型如下：
其中 C为消费性支出, Z为除投资外的非消费性支出, D为
收入, I为投资, R为利率, M为货币存量, u,v,w为扰动
项 。
为了将整个模型转换成适合于所有方程同时估计的形式,
采取一种堆积法, 即将观测值合并起来, 构成一个单一的派
生方程：
tttt
tttt
ttt
ttt
ZICD
wMDR
vRI
uDC
???
???
???
???
??
??
??
iiiiiiii
UZZZZZZY ???????
654321
??????
i = 1,2,?,n,n+ 1,?,2n,2n+ 1,?,3n
.
此方程各变量均有 3n 个观测值，如下所示：
Y
i
=
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1
n
1
n
1
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R
I
I
C
C
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1i
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0
0
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2i
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0
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0
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D
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1
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3i
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4i
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R
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R
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n
1
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Z
5i
=
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n
1
D
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D
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0
0
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Z
6i
=
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n
1
M
M
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0
0
0
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U
i
=
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n
1
n
1
n
1
w
w
v
v
u
u
?
?
?
上例中有三点需要注意：
（ 1） 右端涉及到内生变量的地方, 用其 2SLS估计
值代替观测值, 道理与 2SLS法中用 作为 Y的工具
变量来进行第二阶段的估计是一样的 。
（ 2） 方程的“合并”不包括恒等式，因为恒等式不
需要估计参数。
（ 3） 如果原结构方程的扰动因子存在着同期相关，
则派生方程的扰动因子之间就存在自相关，因此需
要用广义最小二乘法。 Ω 矩阵元素用第二阶段中到
的 2SLS残差进行估计。
Y?
第四节 宏观计量经济模型
联立方程模型中, 最主要的一类是宏观计量经济模
型 。 宏观计量经济模型的研究, 始于本世纪三十年代
荷兰经济学家丁伯根的工作, 这是计量经济学最重要
的应用之一 。
这类模型一般使用凯恩斯的框架决定国民收入 （ 通
常用 GNP或 GDP计量之 ） 及其分量 （ 如消费, 投资,
进出口等 ） 以及其它一些宏观经济变量, 如价格, 工
资, 就业, 失业等 。
宏观计量经济模型被用于计量经济学的所有三个目
的：结构分析, 预测和政策分析 。
一, 克莱因模型 I（ Klein Model I）
下面让我们通过克莱因模型 I，简单介绍一下宏观
计量经济模型的结构。
该模型是著名计量经济学家 L,R,Klein 教授于
上世纪 40年代编制的。这是最早的宏观计量经济模型
之一。采用的数据是 1921－ 1941年间的美国国民经济
数据，因此也称为克莱因两次大战间模型。
用 FIML法估计好的模型如下页所示：
)(80.003.002.078.16 211 ttttt WWPPC ????? ?
1t1ttt K15.0P55.0P23.079.17I ?? ????
)1931t(13.0)WTY(16.0)WTY(42.060.1W 1t21t1t12ttt1 ????????? ???
ttttt GICTY ????
tt IK ??
tttt WWPY 21 ???
其中,Ct=私人消费, Gt=政府支出＋净出口, It=净投资
Kt=资本存量 Pt=利润 Tt=间接税
W1t=私营部门工资, W2t=公共部门工资
Yt=按要素成本计算的国民生产净值, t＝日历年时间
第一个方程是消费函数 。 这里, 消费支出由两类收
入解释：非工资收入 （ 利润收入 ） 和总工资收入 。
第二个方程是投资方程, 解释变量是本年和上一年的
利润, 以及现有的资本存量 。
第三个方程是工资方程,私营部门工资 W1t由 （ Yt＋ Tt
－ W2t） ——本期私营部门国民生产净值, 和它的一期
滞后值 （ 上一期值 ） 和时间趋势 t 所解释, 时间趋势
变量通常代表技术进步, 劳动生产率提高的因素 。
上述三个方程是行为方程, 下面是三个恒等式 。
第四个方程表明, 国民生产净值 （ 按市场价格计算的国民
生产净值 ） 等于所有支出之和：消费, 投资和政府支出加净出
口 。
第五个方程是国民收入恒等式, 国民收入等于利润和工资
之和 （ 生产所产生的收入按生产的要素成本分配 ） 。
第六个方程是一个定义式, 本期资本存量的变动等于净投
资 。
克莱因模型中, 内生变量为,Ct,It,W1t,W2t,Yt和 Kt，
这样 6个方程构成的模型描述了两次大战间美国国民经济系
统 。 模型很简单, 显然包含了大量的简化处理 。 但通过此模型
可以抓住美国当时经济运行的大线条 。 这个模型是一个很成功
的模型, 是宏观经济 模型的经典之作 。 后来许多计量经济估计
方法都用此模型来检验 。 在学习 SAS中, 我们也将以此模型举
例学习宏观经济模型的估计和检验 。
二, 宏观经济模型的历史和现状
目前活跃在各国的宏观经济模型大多产生于上世纪
五, 六十年代 。 如英国的 LBS模型, NIESR模型,
HMT模型, BE模型, MDM模型, 美国的 Wharton模型
（ 现称 WEFA模型 ——Wharton Economatric Forecasting
Associates）, Brookings模型, DRI模型, INFORUM
模型等, 以及其它发达国家的模型 。
这些模型经过几十年的风风雨雨, 能够存活至今,
表明宏观经济模型的作用已为公众所接受, 在经济预
测和政策分析中发挥了作用 。 这些模型中很多已由政
府或基金资助发展到自负盈亏, 以战养战 。 用户有政
府机构和私营企业 。 它们定期发布预测报告, 有专门
机构对各模型的预测效果进行评价 。
我国宏观经济模型研究工作的现状
我国的模型研究工作起步较迟，从上世纪八十
年代起，一些政府机构和大专院校及科研机构研制
了自己的宏观经济模型。有些模型发挥了较大的作
用，如社科院的模型（数量经济和技术经济研究所
），每年发布经济蓝皮书，对我国宏观经济进行预
测。但大部分模型还需磨练，目前的主要问题是社
会主义市场经济理论尚不成熟，数据也有问题。
第八章 小结
联立方程模型用于描述经济系统, 其数学模型是
一个方程组 。 在联立方程模型中, 一个方程中的因
变量往往作为解释变量出现在另外一些方程中, 通
常与它作为解释变量的方程的扰动项相关 。 在这种
情况下, 应用 OLS法得到的估计量既不是无偏的,
又不是一致的 。
除此之外，联立方程模型还有识别问题。识别问
题是指联立方程模型中某结构方程不具有唯一的统
计形式（即模型中其它方程或全部方程的任意组合
也具有这种统计形式），从而无法唯一地确定该方
程的结构参数的估计值。因此，在估计联立方程模
型之前，应判别模型中方程的识别问题。如有不可
识别方程，则只有改变模型设定，消除识别问题，
方可进行估计。
判别联立方程模型中方程是否可识别的最简单方
法是使用识别的阶条件。具体作法是根据要判别方
程所不包含的模型中变量的个数是否大于等于模型
中方程个数减 1来判定该方程是不可识别的、恰好
识别的还是过度识别的。
用于估计联立方程模型的方法可分为单方程方法和系统
估计方法两类 。 单方程方法是对联立方程模型中每个方程
分别进行估计的方法, 包括间接最小二乘法 （ ILS）, 二阶
段最小二乘法 （ 2SLS） 和有限信息极大似然法 （ LIML） 。
用这些方法得到的估计量都是一致估计量 。 间接最小二
乘法只能用于恰好识别方程的估计 。 实践中最常用的是二
阶段最小二乘法, 作法是将用作解释变量的每一个内生变
量对所有前定变量回归 （ 即估计简化式方程 ）, 得到的内
生变量估计值 （ 拟合值 ） 作为该内生变量的工具变量, 再
去估计结构方程, 得到结构参数的 2SLS估计量 。
系统估计方法是对整个模型中全部结构参数同时进行估
计的方法 。 常用的系统估计方法有三阶段最小二乘法 （
3SLS） 和完全信息极大似然法 （ FIML） 。
第八章 习题
1,考虑下述模型：
Ct = α + βDt +μt
It = γ + δDt-1 + νt
Dt = Ct + It + Zt； t=1,2,…, n
其中 C=消费支出, D=收入, I=投资, Z=自发支
出 。 C,I和 D是内生变量 。
试写出消费支出的简化型方程, 并研究各方程的
识别问题 。
2、考虑下述模型：
Yt = Ct + It +Gt +Xt
Ct = β0 + β1Dt + β2Ct-1 +ut
Dt = Yt – Tt
It = α0 + α1Yt + α2Rt-1 +νt
模型中各方程是正规化方程,ut,νt为扰动项。
（ 1）请指出模型中的内生变量、外生变量和前定
变量。
（ 2）写出用 2SLS法进行估计时，每个阶段中要估
计的方程。
第一节 联立方程模型的概念
迄今为止，我们的介绍都是围绕单方程模型进行的
，可是，很多经济理论是建立在一组经济关系上的，
其数学模型是一个方程组，称为多方程模型或联立方
程模型（ simultaneous equations model）。
熟悉的例子有市场均衡模型、商品需求方程组和宏
观经济模型等。联立方程模型用于描述整个经济系统
或其子系统。
2
一, 联立方程模型的估计问题
在联立方程模型的情况下, 无论人们仅仅关心系统
的一个具体部分还是对整个系统感兴趣, 模型中各变
量之间的相互作用都将对模型各方程的说明和估计产
生影响 。 为了说明这一点, 让我们看一个简单的例子
。 假设我们要估计简单的凯恩斯收入决定模型
(1)
(2)
中消费函数的参数 。 该模型假定经济是封闭型的, 没
有进, 出口, 并且没有政府的活动 。 其中 Y,C,I分
别表示总量收入, 消费和投资 。
tt uY ?? ??＝tC
ttt ICY ??
（ 1） 代入 （ 2） 并整理得：
(3)
（ 3） 式中右端第一项和第二项表明总收入依赖于消
费的常数分量和投资水平, 若投资增加一个单位, 则
收入将增加 1/(1-β)单位, 1/(1-β)就是著名的乘数 。 右
端第三项则表明收入还依赖于消费函数中扰动项 u的
大小, 即 Y包含一个随机分量, 因而 Y是随机变量,
它与 （ 1） 式中的扰动项同期相关 。 由于 Y是 （ 1） 式
中的解释变量, 因而使得高斯－马尔可夫定理的第四
条假设不成立, 从而若用 OLS法估计消费函数, 得到
的 OLS估计量将不仅有偏, 而且不一致 。
???
?
?
?
?
?
?
?
111
tt
t
uIY
上面的简例说明, 由于联立方程模型中各变量的相
互作用, 会带来估计方面的问题, 特别是随机解释变
量的问题, 因而需要研究如何解决联立方程模型的参
数估计问题 。 我们将在后面的章节中讨论 。 在此之前
,让我们首先介绍一些有关联立方程模型的概念和术
语 。
二, 行为方程和恒等式
1.行为方程 （ behavioural equation）
凯恩斯收入决定模型中的消费函数是一个行为方程
,它描述的是消费者的行为, 即在给定收入的情况下
平均而言, 消费者的行为是怎样的 。 除了描述消费者
行为的方程外, 还有描述生产者, 投资者及其它经济
参与方行为的方程, 他们都是行为方程 。
还有一类描述经济变量之间技术联系的方程, 如
C－ D生产函数, 它们描述的不是行为,
但通常也将它们归入行为方程一类 。 因此, 广义的说
,行为方程是描述变量之间经验关系的方程 。 因此,
行为方程中含有未知的参数和随机扰动项 。
?? LAKQ ?
2.恒等式 （ identity relation）
恒等式亦称定义式, 是人为定义的一种变量间的
恒等关系 。 如凯恩斯收入决定模型中的 （ 2） 式 （ 国
民收入恒等式 ）,
又如：
净投资＝资本存量的变动
＝期末资本存量－期初资本存量,
ttt ICY ??
3.恒等式和行为方程的区别
恒等式与行为方程的区别有以下两点：
（ 1） 恒等式不包含未知参数, 而行为方程含有未
知参数 。
（ 2） 恒等式中没有不确定性, 而行为方程包含不
确定性, 因而在计量经济分析中需要加进随机扰动
因子 。
三, 外生变量, 内生变量和前定变量
1.外生变量 （ exogenous variable）
外生变量是其值在模型之外决定的变量 。 模型中使用它
们, 但不由模型决定它们的值 。 在求解模型之前, 必须用
其他方法给定外生变量的值 （ 如利用国际组织公布的预测
数据, 或时间序列预测得出的预测值 ） 。
2.内生变量 （ endogenous variable）
内生变量是其值在模型内确定的变量 。 内生变量既由模
型使用 （ 如可以作解释变量 ）, 又由模型决定 。 由于在求
解模型时, 通常是需要联立地解出所有内生变量的值, 因
而称为联立方程模型 。
单方程模型中, 内生变量就是因变量, 外生变量是解释
变量 （ 滞后内生变量除外 ） 。
3.前定变量 （ predetermined variable）
前定变量包括外生变量和滞后内生变量 。 在模型
求解本期内生变量的值之前, 本期外生变量和滞后
外生变量的值是给定的, 滞后内生变量的值在前面
各期中已解出, 因而也是已知的 （ 前定的 ）, 它们
统称前定变量 。
4.如何确定模型中的内生变量和外生变量
由于内生变量是联立地被决定, 因此, 联立方程
模型中有多少个内生变量就必定有多少个方程 。 这
个规则决定了任何联立方程模型中内生变量的个数
。 可是, 确定哪个变量为内生变量, 要根据经济分
析和模型的用途 。
在设定模型时, 通常将以下两类变量设定为外生
变量：
（ 1） 政策变量, 如货币供给, 税率, 利率, 政府
支出等 。
（ 2）短期内很大程度上是在经济系统之外决定或
变化规律稳定的变量，如人口、劳动力供给、国外利
率、世界贸易水平、国际原油价格等。
在我们前面的简例中, 有三个经济变量, 两个方
程, 因而有两个内生变量, 它们是消费 （ C） 和收入
（ Y） 。 模型中没有决定投资 （ I） 的机制, 因而在此
模型中, 投资作为外生变量 。
让我们再看一个例子, 由菲利普斯工资方程和价格方程组
成的模型：
(4)
(5)
其中 货币工资变动, UN = 失业率
=价格变动, = 资金成本变动
=进口原料费用变动
在此模型中, 内生变量是：,, 外生变量是：,
,UN。
不难看出, 在上述两例中, 方程的左端都是内生变量 。 联
立方程模型中每个方程的左端为不同内生变量原型的写法
,称为方程的正规化 。
tttt uPUNW 1210 ?????? ???
ttttt uMRWP 23210 ????????? ????
??W
P? R?
M?
W? P? M?
R?
四, 模型的结构式和简化式
1.结构式 （ Structural form）
联立方程模型的结构式是依据经济理论设定模型
时所采取的形式 。 其中的方程称为结构方程, 一个
结构方程反映一个基本的经济关系, 即对经济理论
的一种阐述 。 结构方程的参数称为结构参数 。
上述两例都是按结构式的形式给出的 。
2, 简化式 （ r e d u c e d f o r m ）
我们的第一个例子，收入决定模型：
＝
t
C
tt
uY ????
ttt
ICY ??
若将模型中的内生变量
t
C 和
t
Y 用外生变量和扰动项来表示，则得到该
模型的简化式如下：
??
?
??
?
?
??
?
?
1
u
I
11
C
t
tt
（ 6 ）
??
?
??
?
??
?
?
1
u
1
I
1
Y
tt
t
（ 7 ）
（ 6 ）式和 （ 7 ）式称为简化式方程。严格的说，简化式方程是用前定
变量 （即外生变量和滞后变量）和扰动项表示内生变量的方程。
简化式方程描述了内生变量是怎样被真正决定的。
上述简化式方程可写成如下一般形式：
t1t21t
vIC ????? ( 8 )
t2t43t
vIY ????? ( 9 )
其中诸 π 为结构参数的函数，
t1
v 和
t2
v 是简化式方程的扰动项，是结
构式方程扰动项的函数。
对第二个例子，我们也不难写出其简化式如下：
ttttt
vMRUNW
113121110
???????? ????
ttttt
vMRUNP
223222120
???????? ????
简化系数亦称为影响乘数 （ i m p a c t m u l t i p l i e r s ）因为它们度量了外生
变量单位变动对内生变量的影响。
第二节 识别问题 （ The identification problem）
一, 识别的概念
识别问题是一个与联立方程有关的数学问题, 让我们用一
个简单的例子来说明识别的概念 。 设 是某种商品的需求量
,是供给量, P为该商品的价格, 则该商品供求模型为：
DQ
SQ
这里的问题是很难找到一种观测需求量和供给量的有
效方法, 通常能够观测到的只是市场运行的结果 。 因此一
般的作法是假设供给量和需求量相等, 即市场是结清的 。
这相当于在模型中增加一个方程,
DS QQ ?
tt
S
t
tt
D
t
vPQ
uPQ
???
???
??
??
如果只用可观测变量来建立模型, 我们可令 Q代表市
场结清量, 从而有
Qt = α + β Pt + ut
Qt = ? + ? Pt + vt
这里的问题在于, 模型中两个方程具有完全相同
的统计形式：
Qt=截距＋斜率 × Pt＋扰动因子
这就提出了下面的问题：给定 P 和 Q的数据, 如何能
知道我们是在估计需求曲线还是在估计供给曲线？
我们无法知道所要估计的是哪一组参数, 因为没有
足够的信息来识别被估计的方程, 这就是识别问题 。
如果光是需求函数和供给函数, 情况还简单一点,
问题在于, 如果
Qt = α + β Pt + ut
Qt = ?+ ? Pt + vt
两式成立, 则对于任意常数 λ 和 μ （ λ +μ ≠ 0）, 上
述两式的线性组合
也将成立, 即
)()()()( tttt uPQ ????????????? ???????
成立 。
由于 λ 和 μ 的取值可任意, 则这样的方程数目
实际上是无限的, 它们与需求函数和供给函数具有
相同的统计形式 。 因此, 如果我们试图估计一个方
程,其中 Q是 P的函数, 则我们无法得知我们估计的
是这无限多个方程中的哪一个 。
由上可知, 在对联立方程估计之前, 必须解决
模型的识别问题 。
??
??
??
????
??
????
?
??
?
??
?
?? tt
tt
vuPQ
二, 不可识别, 恰好识别和过度识别
1,可识别和不可识别方程
定义：如果对于一个方程, 我们无法通过取它所在模型
中各方程的线性组合的方法, 得到另一个与该方程统计形式
完全相同的方程, 则该方程是可识别的 。
例 1, 考虑某农产品供求模型：
将上述定义应用于农产品供求模型, 由于我们得到的线性
组合与需求函数和供给函数具有完全相同的统计形式, 因此
需求函数和供给函数都是不可识别的 。
tQ = t1t10 uP ????
01 ??
tQ = t2t10 uP ???? 01 ??
例 2 在需求函数中加一个外生变量 Y （消费者收入），则模型变为
t
Q =
t1t2t10
uYP ??????
t
Q =
t2t10
uP ????
用任意常数 λ 和 μ （ λ + μ ≠ 0 ） 分别乘以上面两式的两端，然后相加，
形成线性组合方程：
t
Q =
tt2t10
vYP ??????
其中：
???
?????
??
00
0
???
?????
??
11
1
???
??
??
2
2
???
???
??
t2t1
t
uu
这里供给函数与线性组合方程具有不同的统计形式 （包含变量不一
样），因而供给函数具有唯一的统计形式，所以是能够识别的，但需求
函数与线性组合方程有相同的统计形式，因而是不能识别的。
例 3, 在例 2 的模型中，供给函数中加上一个外生变量 R （降雨量），
则模型变为：
t
Q =
t1t2t10
uYP ??????
t
Q =
t2t2t10
uRP ??????
则形成的线性组合方程为：
t
Q =
tt3t2t10
vRYP ????????
此线性组合方程与需求函数和供给函数具有不同的统计形式 （包含的
外生变量不相同），所以需求函数和供给函数都是可以识别的
从上面的几例可知, 模型中存在的识别问题是可以消除
的 。 我们在原模型两方程中添加不同的解释变量, 就使得两
个方程都从不可识别变为可识别 。
一般来说, 如果我们能够用经济理论或额外信息为联立
方程组施加约束条件, 则可以消除识别问题 。 这些约束条件
可以采取各种形式, 但最常用的是所谓的, 零约束,, 即规
定某些结构参数为 0,也就是说, 某些内生变量和外生变量
不出现在某些方程之中 。
在上面的例 3中, 共有 4个变量, 第一个方程中没有 Rt，
第二个方程中没有 Yt,因而每个方程各有一个零约束 。 正是
由于这个零约束, 使得它们有别于用任意 λ 和 μ 形成的线性
组合方程, 具有独一无二的形式, 因而是可识别的 。
2.恰好识别和过度识别
可识别方程可分成 恰好识别 （ just-identified 或 exactly
identified） 和 过度识别 （ over-identified） 两类 。 如果模型中
约束条件所提供的信息对于识别某个方程刚好够用, 则该
方程是恰好识别的, 如果约束条件所提供的信息对于识别
某个方程不但够用, 而且有余, 则该方程是过度识别的 。
如果一个方程是不可识别的, 则它的结构参数不能被估
计, 也就是说, 不存在估计这些参数的有意义的方法 。 因
此, 模型中若有不可识别方程, 则应首先消除这个问题 。
三, 识别的阶条件和秩条件
在实践中, 经济模型比我们所举的简单联立方程
模型例子要复杂得多 。 当模型中方程很多时, 要确
定该模型中某个方程是否可识别显然将很复杂 。 对
于这种情况, 有一些比较方便的判别准则可用 。 其
中常用的是所谓, 识别的阶条件, （ order condition
）,
模型中一个方程是可识别的必要条件是, 该方程
所不包含的模型中变量的数目大于等于模型中方程
个数减 1,即
K－ M≥G－ 1.
其中,K＝模型中的变量总数 （ 内生变量＋前定变量 ）
M＝该方程中所包含的变量数目
G＝模型中方程个数 （ 即内生变量个数 ）
尽管识别的阶条件只是一个必要条件, 也就是说,
模型中任何可识别方程必定满足 K－ M≥G－ 1,但满足
该条件的方程则未必是可识别方程 。 但在实际应用中
,为方便起见, 人们往往用它来判别一个方程是否可
识别, 就象用一阶导数是否等于零来判别极值是否存
在一样 。
经验表明, 在绝大多数情况下, 这种用法不会有多
大问题, 但应当明白, 毕竟存在着该条件满足而方程
不可识别的情况 。 实践中, 应用识别的阶条件进行判
别的准则是：
若 K－ M<G－ 1,则不可识别 ;
若 K－ M>G－ 1,则过度识别 ;
若 K－ M=G－ 1,则恰好识别 。
上述识别的阶条件是该条件在实际应用中使用最广
泛的一种形式, 其更一般的表述形式为：
模型中一个方程是可识别的必要条件是, 施加于该
方程的结构参数上的约束条件的数目大于等于模型中
方程个数减 1,即
R≥ G－ 1
其中,R＝施加于该方程的结构参数上的约束条件
的数目
G＝模型中方程个数
显然这种表述形式包含了前一种表述形式, 是前
者的推广, 因为前者仅涉及系数的零约束 （ 不包含某
个变量, 即其系数为 0）, 而后者则包含了所有形式
的约束 。
另外一个准则是 识别的秩条件 （ rank condition）
,这是一个充要条件, 陈述如下：
在一个有 G个方程的模型中, 其中任何一个方程
是可识别的充要条件是模型中不包括在这个方程中
的所有变量的系数矩阵的秩等于 G－ 1。
上述两个条件, 我们不在这里证明, 有兴趣的同
学可参阅有关参考书 。 下面, 用前头农产品供求模
型的例子, 讨论一下阶条件的使用方法：
例 1,
t
Q =
t1t10
uP ????
t
Q =
t2t10
uP ????
K ＝ 2, M
1
＝ M
2
＝ 2, G ＝ 2, K － M ＝ 0 ＜ G － 1 ＝ 1 两方程都不
可识别。
例 2,
t
Q =
t1t2t10
YP ???????
t
Q =
t2t10
P ?????
K ＝ 3, M
1
＝ 3, M
2
＝ 2, G ＝ 2, K － M
1
＝ 0 ＜ G － 1 ＝ 1,方程一
不可识别,K － M
2
＝ 1 ＝ G － 1 ＝ 1,方程二恰好识别。
例 3,
t
Q =
t1t2t10
uYP ??????
t
Q =
t2t2t10
uRP ??????
K ＝ 4, M
1
＝ M
2
＝ 3, G ＝ 2, K － M ＝ 1 ＜ G － 1 ＝ 1,方程一和
方程二都恰好识别。
例 4,简单的凯恩斯收入决定模型
对于消费函数, 我们有,K=3,M=2,G＝ 2，
K–M=1=G – 1=1,因而恰好识别 。
对于收入恒等式, 因为该式中包含两个系数约
束条件 （ C和 I的系数为 1）, 我们有 R=2>G-1=1
,因而过度识别 。
ttt
ttt
ICY
uYC
??
??? ??
第三节 联立方程模型的估计
由第一节我们得知, 联立方程模型的一个特点是
内生变量往往作为解释变量出现在方程中, 通常与
它作为解释变量的那个方程的扰动项相关 。 在这种
情况下, 使用 OLS法得到的估计量既不是无偏的,
又不是一致的 。 也就是说, 不管样本多大, OLS估
计量也不收敛于它们的真值 。 因此, 在联立方程模
型的情况下, 我们一般不能再使用 OLS法对模型进
行估计 。
针对联立方程模型的特点, 计量经济学家提出了
很多用于联立方程模型的估计方法 。 这些方法分为
两类：单方程方法和系统估计方法 。
单方程方法
单方程方法是对整个联立方程模型中每个方程分
别进行估计的方法 。 当然, 它不同于单方程模型的估
计, 因为在联立方程模型的情况下, 我们还要考虑模
型中其它方程对所估计方程的影响, 也就是说, 要用
到整个联立方程模型的某些信息 。
应用单方程法对模型中所包含的结构方程逐个进
行估计, 就会获得整个联立方程模型结构参数的估计
值 。
常用的单方程方法有间接最小二乘法 （ ILS法 ）,
二阶段最小二乘法 （ 2SLS法 ） 和有限信息极大似然
法 （ LIML法 ） 。
系统估计方法
系统估计方法是对整个模型中全部结构参数同时
进行估计的方法。采用系统方法对联立方程模型进
行估计，可同时决定所有结构参数的估计值。
常用的系统方法有三阶段最小二乘法（ 3SLS法）
和完全信息极大似然法（ FIML法）。
一, 单方程方法
1,间接最小二乘法 （ ILS法, Indirect Least Squares）
（ 1） 思路
我们从第一节知道, 联立方程模型的简化型
是根据模型中的前定变量和扰动项表示每一个内
生变量而得到的一组方程 。 由于简化式方程的解
释变量均为前定变量, 即外生变量或滞后内生变
量, 因而与现期扰动项无关 。 在这种情况下, 采
用 OLS进行估计, 将得到简化式系数的一致估计
量 。 估计出简化式系数后, 即可导出结构系数的
估计值 。 这就是间接最小二乘法的思路 。
在扰动项 满足标准假设条件的情况下, ILS估
计量是一致估计量 。
（ 2） 具体步骤
（ a） 首先求出简化式方程；
（ b）对每一个简化式方程分别施用 OLS法，得
出简化式系数的一致估计值；
（ c）由上一步估计出的简化式系数导出原结构
系数的估计值。
例：估计凯恩斯收入决定模型中的消费函数
解,（ 1） 式的简化式方程为
（ 3）
即 （ 4）
＝tC tt uY ???? （ 1 ）
ttt ICY ?? （ 2 ）
ttt vIC 121 ??? ??
?????
??
??
??
1
uI
11C
t
tt
我们有
由上述二式, 不难得到
估计 （ 4） 式, 得到 π 1 和 π 2的估计值
即可解出结构参数的估计值
?
??
?
??
???? 11 21
2
2
2
1
11 ?
??
?
??
?
?
?
?
21 ?,? ??
2
2
2
1
?1
??
,
?1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
（ 3） ILS法的局限性
应用 ILS法的前提是, 被估计的结构方程必须是
恰好识别的, 这样才能保证估计出的简化式系数与
原结构系数之间存在着一一对应的关系, 以保证可
得到结构参数的唯一估计值 。
由此可知, ILS仅适用于恰好识别方程的估计 。
由于这一限制并且用我们下面要介绍的 2SLS法估
计恰好识别方程, 得到的结果与 ILS完全一样 。 ILS
法实用价值有限, 因此我们在此不作深入讨论 。
2, 二阶段最小二乘法 （ 2SLS 法或 TSLS 法 ）
（ 1） 二阶段最小二乘法的思路
二阶段最小二乘法是我们在上一章介绍的工具变
量法的一个特例 。 当要估计的方程中包含与扰动项
相关的解释变量时, 如果能找到恰当的工具变量,
则可得到一致估计量 。
问题是在联立方程的情况下, 如何找到, 最好的
” 工具变量 。 我们可以考虑模型中的外生变量, 它
们与我们的内生变量相关 （ 通过联立系统的相互作
用 ）, 而与扰动项不相关 。 可是, 究竟哪一个外生
变量是最好的呢？ 这是一个很难决定的问题 。
二阶段最小二乘法的思路是将所有的外生变量
结合起来产生一个复合变量，作为“最佳”工具
变量。作法是将在模型中用作解释变量的每一个
内生变量对模型系统中所有外生变量回归，然后
用回归所得到的这些内生变量的估计值（拟合值
）作为工具变量，对原结构方程应用工具变量法
。
（ 2） 二阶段最小二乘法的具体步骤
第一阶段：
将要估计的方程中作为解释变量的每一个内生变
量对联立方程系统中全部 前定变量 回归 （ 即估计简
化式方程 ）, 然后计算这些内生变量的估计值 。
第二阶段：
用第一阶段得出的内生变量的估计值代替方程右
端的内生变量 （ 即用它们作为这些内生变量 的工具
变量 ）, 对原方程应用 OLS法, 以得到结 构参数的
估计值 。
（ 3）二阶段最小二乘估计量的性质和优点
由于 2SLS估计量 是一个合理的工具变量估计量，
因而它是 一致估计量 。
蒙特卡洛研究表明,2SLS估计量的小样本性质
在大多数方面优于其它估计量，并且相当稳定（即
它的好性质对其它估计问题，如多重共线性、误设
定的存在不敏感），再加上计算成本低，因此是估
计联立方程模型的首选方法。
此外,2SLS法应用于恰好识别方程的估计时，
与 ILS法结果完全相同，因此,2SLS法通常被应用
于联立方程模型的所有可识别方程的估计。
（ 3） 例子
例 1,考虑以下模型
收入函数,（ 1）
货币供给函数,（ 2）
其中,Y1 ＝收入, Y2 ＝货币存量
X1 ＝投资支出, X2＝政府支出
应用识别的阶条件, 不难看出, 收入函数是不可识别的
（ K-M＝ 0＜ G－ 1＝ 1）, 而货币供给方程是过度识别的
（ K-M＝ 2＞ G－ 1＝ 1） 。 对于收入方程, 除了改变模型设
定之外, 别无他途 。 而货币供给函数不能用 ILS,因为它是
过度识别的 。 我们用 2SLS来估计之 。
该方程中, 解释变量中有内生变量, 因此我们首先要产
生它的工具变量 。
ttttt uXXYY 1212111211101 ????? ????
ttt uYY 2121202 ??? ??
第一步：估计简化式方程：
t1t22t110t1
vXXY ???????
t ＝ 1,2,?,n （ 3 ）
得到 Y
1t
的估计值
t1
Y
?
（ t ＝ 1,2,?,n ）。
第二步：用
t1
Y
?
代替结构方程 （ 2 ）式中右端的 Y
1t
，应用 O L S,
以得到结构参数的估计值，即估计
t2t12120t2
uY
?
Y ?????, t ＝ 1,2,?,n （ 4 ）
得到
20
? 和
21
? 的 2 S L S 估计值
20
?
? 和
21
?
? 。
例 2,我 们修改上例中的模型, 得到如下新模型
（ 5）
（ 6）
其中新变量含义如下：
＝收入的一期滞后
＝货币供应量的一期滞后
很容易证实这两个方程都是过度识别的 。 应用 2SLS：
t1t212t111t21210t1 uXXYY ?????????
t21t2241t123t12120t2 uYYYY ????????? ??
1t1Y ?
12 ?tY
第一步：进行简化式回归 （即各内生变量对系统中所有前定变
量回归），即估计：
t11t2141t113t212t11110t1
vYYXXY ???????????
??
t21t2241t123t222t12120t2
vYYXXY ???????????
??
得到
t1
Y 和
t2
Y 的估计值
t1
Y
?
和
t2
Y
?
。
第二步：在原结构方程中用
t1
Y
?
和
t2
Y
?
代替方程右端的
t1
Y 和
t2
Y,进行 O L S 回归，即估计
t1t212t111t21210t1
uXXY
?
Y ?????????
ttttt uYYYY 212241123121202 ? ????? ?? ????
三, 系统方法
对联立方程模型的估计, 除了上一段介绍的几种单方程方
法之外, 还可以采用系统估计方法, 即对整个模型中所有可
识别的结构方程同时进行估计的方法 。
系统方法也称为, 完全信息, 方法, 因为它们估计结构参
数时使用整个系统的全部信息 。 系统方法的主要优点是：由
于它们将所有可得到的信息溶入其估计值中, 因而估计量的
渐进有效性优于单方程方法 。 缺点是计算成本高和对误设定
很敏感 。
常用的系统方法是三阶段最小二乘法 （ 3SLS） 和完全信息
极大似然法 （ FIML） 。 鉴于系统方法远没有 2SLS用的那样广
泛, 我们在这里不准备详细介绍, 仅对三阶段最小二乘法的
思路作一概括介绍 。
（ 1） 三阶段最小二乘法的思路和步骤
三阶段最小二乘法是由泽尔纳 （ A.Zellner） 和希尔
（ H.Theil） 首先提出的, 其基本思路是首先用二阶段
最小二乘法估计联立方程系统的每个行为方程, 产生
一组残差 。 这些残差被用来估计系统中各扰动项的协
方差矩阵 。 然后将系统中所有估计的方程堆积在一起
,形成一个巨型方程, 应用广义最小二乘法估计该巨
型方程 。
具体说来，这三个阶段是：
第一阶段：计算各行为方程 (可识别 )的 2SLS估计值；
第二阶段：用这些 2SLS估计值计算各行为方程的残
差，然后估计各行为方程扰动项的同期方
差－协方差矩阵；
第三阶段：用 GLS法估计代表该系统所有行为方程的
巨型方程。
3SLS估计量是一致估计量，一般来说，比 2SLS估
计量更有效。
（ 2）如何形成“巨型”方程
我们下面用一个例子说明第三阶段中 如何合并（堆积）
方程。设联立方程模型如下：
其中 C为消费性支出, Z为除投资外的非消费性支出, D为
收入, I为投资, R为利率, M为货币存量, u,v,w为扰动
项 。
为了将整个模型转换成适合于所有方程同时估计的形式,
采取一种堆积法, 即将观测值合并起来, 构成一个单一的派
生方程：
tttt
tttt
ttt
ttt
ZICD
wMDR
vRI
uDC
???
???
???
???
??
??
??
iiiiiiii
UZZZZZZY ???????
654321
??????
i = 1,2,?,n,n+ 1,?,2n,2n+ 1,?,3n
.
此方程各变量均有 3n 个观测值，如下所示：
Y
i
=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
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n
1
n
1
n
1
R
R
I
I
C
C
?
?
?
Z
1i
=
?
?
?
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0
0
0
1
1
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Z
2i
=
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0
0
0
0
D
?
D
?
n
1
?
?
?
Z
3i
=
?
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0
0
1
1
0
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Z
4i
=
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0
0
R
?
R
?
0
0
n
1
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Z
5i
=
?
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n
1
D
?
D
?
0
0
0
0
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Z
6i
=
?
?
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n
1
M
M
0
0
0
0
?
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U
i
=
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?
?
n
1
n
1
n
1
w
w
v
v
u
u
?
?
?
上例中有三点需要注意：
（ 1） 右端涉及到内生变量的地方, 用其 2SLS估计
值代替观测值, 道理与 2SLS法中用 作为 Y的工具
变量来进行第二阶段的估计是一样的 。
（ 2） 方程的“合并”不包括恒等式，因为恒等式不
需要估计参数。
（ 3） 如果原结构方程的扰动因子存在着同期相关，
则派生方程的扰动因子之间就存在自相关，因此需
要用广义最小二乘法。 Ω 矩阵元素用第二阶段中到
的 2SLS残差进行估计。
Y?
第四节 宏观计量经济模型
联立方程模型中, 最主要的一类是宏观计量经济模
型 。 宏观计量经济模型的研究, 始于本世纪三十年代
荷兰经济学家丁伯根的工作, 这是计量经济学最重要
的应用之一 。
这类模型一般使用凯恩斯的框架决定国民收入 （ 通
常用 GNP或 GDP计量之 ） 及其分量 （ 如消费, 投资,
进出口等 ） 以及其它一些宏观经济变量, 如价格, 工
资, 就业, 失业等 。
宏观计量经济模型被用于计量经济学的所有三个目
的：结构分析, 预测和政策分析 。
一, 克莱因模型 I（ Klein Model I）
下面让我们通过克莱因模型 I，简单介绍一下宏观
计量经济模型的结构。
该模型是著名计量经济学家 L,R,Klein 教授于
上世纪 40年代编制的。这是最早的宏观计量经济模型
之一。采用的数据是 1921－ 1941年间的美国国民经济
数据，因此也称为克莱因两次大战间模型。
用 FIML法估计好的模型如下页所示：
)(80.003.002.078.16 211 ttttt WWPPC ????? ?
1t1ttt K15.0P55.0P23.079.17I ?? ????
)1931t(13.0)WTY(16.0)WTY(42.060.1W 1t21t1t12ttt1 ????????? ???
ttttt GICTY ????
tt IK ??
tttt WWPY 21 ???
其中,Ct=私人消费, Gt=政府支出＋净出口, It=净投资
Kt=资本存量 Pt=利润 Tt=间接税
W1t=私营部门工资, W2t=公共部门工资
Yt=按要素成本计算的国民生产净值, t＝日历年时间
第一个方程是消费函数 。 这里, 消费支出由两类收
入解释：非工资收入 （ 利润收入 ） 和总工资收入 。
第二个方程是投资方程, 解释变量是本年和上一年的
利润, 以及现有的资本存量 。
第三个方程是工资方程,私营部门工资 W1t由 （ Yt＋ Tt
－ W2t） ——本期私营部门国民生产净值, 和它的一期
滞后值 （ 上一期值 ） 和时间趋势 t 所解释, 时间趋势
变量通常代表技术进步, 劳动生产率提高的因素 。
上述三个方程是行为方程, 下面是三个恒等式 。
第四个方程表明, 国民生产净值 （ 按市场价格计算的国民
生产净值 ） 等于所有支出之和：消费, 投资和政府支出加净出
口 。
第五个方程是国民收入恒等式, 国民收入等于利润和工资
之和 （ 生产所产生的收入按生产的要素成本分配 ） 。
第六个方程是一个定义式, 本期资本存量的变动等于净投
资 。
克莱因模型中, 内生变量为,Ct,It,W1t,W2t,Yt和 Kt，
这样 6个方程构成的模型描述了两次大战间美国国民经济系
统 。 模型很简单, 显然包含了大量的简化处理 。 但通过此模型
可以抓住美国当时经济运行的大线条 。 这个模型是一个很成功
的模型, 是宏观经济 模型的经典之作 。 后来许多计量经济估计
方法都用此模型来检验 。 在学习 SAS中, 我们也将以此模型举
例学习宏观经济模型的估计和检验 。
二, 宏观经济模型的历史和现状
目前活跃在各国的宏观经济模型大多产生于上世纪
五, 六十年代 。 如英国的 LBS模型, NIESR模型,
HMT模型, BE模型, MDM模型, 美国的 Wharton模型
（ 现称 WEFA模型 ——Wharton Economatric Forecasting
Associates）, Brookings模型, DRI模型, INFORUM
模型等, 以及其它发达国家的模型 。
这些模型经过几十年的风风雨雨, 能够存活至今,
表明宏观经济模型的作用已为公众所接受, 在经济预
测和政策分析中发挥了作用 。 这些模型中很多已由政
府或基金资助发展到自负盈亏, 以战养战 。 用户有政
府机构和私营企业 。 它们定期发布预测报告, 有专门
机构对各模型的预测效果进行评价 。
我国宏观经济模型研究工作的现状
我国的模型研究工作起步较迟，从上世纪八十
年代起，一些政府机构和大专院校及科研机构研制
了自己的宏观经济模型。有些模型发挥了较大的作
用，如社科院的模型（数量经济和技术经济研究所
），每年发布经济蓝皮书，对我国宏观经济进行预
测。但大部分模型还需磨练，目前的主要问题是社
会主义市场经济理论尚不成熟，数据也有问题。
第八章 小结
联立方程模型用于描述经济系统, 其数学模型是
一个方程组 。 在联立方程模型中, 一个方程中的因
变量往往作为解释变量出现在另外一些方程中, 通
常与它作为解释变量的方程的扰动项相关 。 在这种
情况下, 应用 OLS法得到的估计量既不是无偏的,
又不是一致的 。
除此之外，联立方程模型还有识别问题。识别问
题是指联立方程模型中某结构方程不具有唯一的统
计形式（即模型中其它方程或全部方程的任意组合
也具有这种统计形式），从而无法唯一地确定该方
程的结构参数的估计值。因此，在估计联立方程模
型之前，应判别模型中方程的识别问题。如有不可
识别方程，则只有改变模型设定，消除识别问题，
方可进行估计。
判别联立方程模型中方程是否可识别的最简单方
法是使用识别的阶条件。具体作法是根据要判别方
程所不包含的模型中变量的个数是否大于等于模型
中方程个数减 1来判定该方程是不可识别的、恰好
识别的还是过度识别的。
用于估计联立方程模型的方法可分为单方程方法和系统
估计方法两类 。 单方程方法是对联立方程模型中每个方程
分别进行估计的方法, 包括间接最小二乘法 （ ILS）, 二阶
段最小二乘法 （ 2SLS） 和有限信息极大似然法 （ LIML） 。
用这些方法得到的估计量都是一致估计量 。 间接最小二
乘法只能用于恰好识别方程的估计 。 实践中最常用的是二
阶段最小二乘法, 作法是将用作解释变量的每一个内生变
量对所有前定变量回归 （ 即估计简化式方程 ）, 得到的内
生变量估计值 （ 拟合值 ） 作为该内生变量的工具变量, 再
去估计结构方程, 得到结构参数的 2SLS估计量 。
系统估计方法是对整个模型中全部结构参数同时进行估
计的方法 。 常用的系统估计方法有三阶段最小二乘法 （
3SLS） 和完全信息极大似然法 （ FIML） 。
第八章 习题
1,考虑下述模型：
Ct = α + βDt +μt
It = γ + δDt-1 + νt
Dt = Ct + It + Zt； t=1,2,…, n
其中 C=消费支出, D=收入, I=投资, Z=自发支
出 。 C,I和 D是内生变量 。
试写出消费支出的简化型方程, 并研究各方程的
识别问题 。
2、考虑下述模型：
Yt = Ct + It +Gt +Xt
Ct = β0 + β1Dt + β2Ct-1 +ut
Dt = Yt – Tt
It = α0 + α1Yt + α2Rt-1 +νt
模型中各方程是正规化方程,ut,νt为扰动项。
（ 1）请指出模型中的内生变量、外生变量和前定
变量。
（ 2）写出用 2SLS法进行估计时，每个阶段中要估
计的方程。
