CH2,MATLAB语言基础
2.1 MATLAB的窗口环境
2.2 MATLAB阵列与矩阵
2.3 数学函数
2.4 绘图简介
2.5 MATLAB程序设计
2.1 MATLAB的窗口环境
一,MATLAB语言的显著特点
1、具有强大的矩阵运算能力,Matrix Laboratory,
使得矩阵运算非常简单。
2、是一种演算式语言
? MATLAB的基本数据单元是既不需要指定维数，
也不需要说明数据类型的矩阵（向量和标量为矩
阵的特例），而且数学表达式和运算规则与通常
的习惯相同。
因此 MATLAB语言编程简单，使用方便。
二,MATLAB命令窗口
启动 MATLAB命令窗口
? 计算机安装好 MATLAB之后，双击 MATLAB图标
启动后，产生默认的 MATLAB桌面 -MATLABDesktop
进入 MATLAB之后，会看道到一个视窗 MATLAB
Command Window称为指令视窗，它是用户键入指令的
地方, 也是 MATLAB计算结果显示之处。而在它的功能
选单一共有 File,Edit,Options,Windows,Help五个主
要功能，每一个之下各又有下一层的功能，我们会在后
面相关的地方说明。
三,基本功能
? 1.MATLAB语句形式
通过例题计算归纳一些 MATLAB最基本的规则和语法结构
,变量＝表达式；
通过等于符号将表达式的值赋予变量。当键入回车键
时，该语句被执行。语句执行之后，窗口自动显示出语
句执行的结果。如果希望结果不被显示，则只要在语句
之后加上一个分号（；）即可。此时尽管结果没有显示，
但它依然被赋值并在 MATLAB工作空间中分配了内存。
2.MATLAB提供基本的算术运算：
加 (+)、减 (-)、乘 (*)、除 (/)、幂次方 (^)，范例
为,5+3,5-3,5*3,5/3,5^3
其它在计算常用的功能我们用一个算式来说明。
例：要计算面积 Area =,半径 r = 2，则可键入
>> r=2;
>> area=pi*r^2;
>> area =
12.5664
求 (12+2*(7-4))/32的算术运算结果。
（ 1） 用键盘在 MATLAB指令窗中输入以下内容
>> (12+2*(7-4))/3^2
（ 2） 在上述表达式输入完成后, 按 【 Enter】 键,
该指令被执行 。
（ 3） 在指令执行后, MATLAB指令窗中将显示以
下结果 。
ans =
2
我们也可以将上述指令打在同一行，以,或
是 ; 分开，例如
>> r=2,area=pi*r^2
>> r=2; area=pi*r^2;
请注意上述二式的差异，前者有计算值显示，
而后者则无。
另外一个符号注解是由 %起头，也就是说在 %之后
的任何文字都被视为程式的注解。注解的功能是
简要的说明程式的内容，过多的注解在程式中或
许没有必要，但是我们写程式时往往用了太少的
注解。任何可能产生混淆的地方都应该加注解，
适量的注解可在以后想了解程式时能节省一些不
必要的时间。例如：
>> r=2; % 键入半径
>> area=pi*r^2; % 计算面积
四、变量和数值显示格式
1、变量
(1)变量名称
MATLAB对使用变量名称的规定：
1,变量名称的英文大小写是有区别的（ apple,
Apple,AppLe，三个变量不同）。
2,变量的长度上限为 31 个字元。
3,变量名的第一个字必须是一英文字，随后可
以掺杂英文字、数字或是底线。变量中不能
包含有标点符号。
(2)一些特殊的变量
以下列出 MATLAB所定义的特别变量及其意义
ans,用于结果的缺省变量名
i或 j, 虚数单位
pi, 内建的 π值
nargin,函数的输入变量个数
eps,MATLAB定义的正的极小值 =2.2204e-16
nargout,函数的输出变量个数
inf,∞值,无穷大
realmin,最小正实数
realmax,最大正实数
nan,无法定义一个数目,不定量
flops,浮点运算数
（ 3）变量操作
? 在命令窗口中，同时存储着输入的命令和创建的所
有变量值，它们可以在任何需要的时候被调用。如
要察看变量 a的值，只需要在命令窗口中输入变量
的名称即可：, a
2、数值显示格式
? 任何 MATLAB的语句的执行结果都可以在屏幕上显
示，同时赋值给指定的变量，没有指定变量时，赋
值给一个特殊的变量 ans，数据的显示格式由
format命令控制。
? format只是影响结果的显示，不影响其计算与存储；
MATLAB总是以双字长浮点数（双精度）来执行所
有的运算。
MATLAB可以将计算结果以不同的精确度的数字格式显示，我们可
以直接在指令视窗键入以下的各个数字显示格式的指令，以 π 值
为例,
>> pi
ans = 3.1416
>> format long
>> pi
ans = 3.14159265358979
>> format short e
>> pi
ans = 3.1416e+000
如果结果为整数，则显示没有小数；如果结果不是整数，
则输出形式有：
五、简单的数学运算 （例 exp02_01.m）
1、常用的数学运算符
? ＋,-,*（乘）,/（左除）,\（右除）,^（幂）
? 在运算式中,MATLAB通常不需要考虑空格；多
条命令可以放在一行中，它们之间需要用分号隔
开；逗号告诉 MATLAB显示结果，而分号则禁止
结果显示。
2、常用数学函数 abs,sin,cos,tan,sqrt,exp,imag,real,sign,
log,log10,conj,inv等
abs——取 x的绝对值，例如：
x=-4;
y=abs(x)
y = 4
sin——取 x的正弦值
cos ——取 x的余弦值
tan ——取 x的正切值
sqrt ——对 x开平方
exp ——取 x的自然指数
log——自然对数 ln(x)
log10——log10(x)
x+yi或 x+yj ——复数
imag ——复数的虚部
real ——复数的实部
angle——复数的相角
conj ——共扼复数
min(x) ——向量的最小值
max(x) ——向量的最大值
mean(x) ——向量的平均值
sum(x) ——向量的总和
sort(x) ——向量的排序
median(x) ——每个列向量的
中位数
inv ——矩阵的逆
六,MATLAB的工作空间
1,MATLAB的工作空间包含了一组可以在命令窗
口中调整（调用）的参数
?who：显示当前工作空间中所有变量的一个简单
列表，包括预设的计算结果的变数名
?whos：则列出变量的大小、数据格式等详细信息
?clear,清除工作空间中所有的变量
?clear 变量名：清除指定的变量
?clc,清除 MATLAB命令窗口中所有的信息
2、保存和载入 workspace
（ 1） save filename variables
?将变量列表 variables所列出的变量保存到磁
盘文件 filename中
?Variables所表示的变量列表中，不能用逗号，
各个不同的变量之间只能用空格来分隔。
?未列出 variables时，表示将当前工作空间中
所有变量都保持到磁盘文件中。
?缺省的磁盘文件扩展名为,.mat” 。
（ 2） load filename variables
? 将以前用 save命令保存的变量 variables从磁盘文件
中调入 MATLAB工作空间。
? 用 load 命令调入的变量，其名称为用 save命令保
存时的名称，取值也一样。
? Variables所表示的变量列表中，不能用逗号，各个
不同的变量之间只能用空格来分隔。
? 未列出 variables时，表示将磁盘文件中的所有变量
都调入工作空间。
3、退出工作空间
? quit 或 exit
七、文件管理
? 文件管理的命令，包括列文件名、显示或删除文件、显
示或改变当前目录等。（ what,dir,type,delete,cd、
which）
? what：显示当前目录下所有与 MATLAB相关的文件及它们
的路径。
? dir：显示当前目录下所有的文件
? which：显示某个文件的路径
? cd path：由当前目录进入 path目录
? cd,.：返回上一级目录
? cd：显示当前目录
? type filename：在命令窗口中显示文件 filename
? delete filename：删除文件 filename
八、使用帮助
1,help命令，在命令窗口中显示 help线上说明
MATLAB的所有函数都是以逻辑群组方式进行组织
的，而 MATLAB的目录结构就是以这些群组方式来
编排的。
? help matfun,矩阵函数－数值线性代数
? help general：通用命令
? help graphics：通用图形函数
? help elfun：基本的数学函数
? help elmat：基本矩阵和矩阵操作
? help datafun：数据分析和傅立叶变换函数
? help ops：操作符和特殊字符
? help polyfun：多项式和内插函数
? help lang：语言结构和调试
? help strfun：字符串函数
? help control：控制系统工具箱函数
2,helpwin：帮助窗口
3,helpdesk：帮助桌面，浏览器模式
4,lookfor命令：返回包含指定关键词的那些项
5,demo：打开示例窗口
九,其它功能
1.用 ↑↓二个游标键可以将所下过的指令叫回来重
覆使用。按下 ↑则前一次指令重新出现，之后
再按 Enter键，即再执行前一次的指令。而 ↓键
的功用则是往后执行指令。
2.在键盘上的几个键如 →,←,Delete等,其功能
则显而易见，试用即知无须多加说明。
3.键入 who可以查看所有定义过的变数名称。而
键入 clear则是去除所有定义过的变数名称；
如果只是要去除 x及 y 二个变数则可以键入
clear x y。
4.Ctrl-C（即同时按 Ctrl及 C二个键）可以用来
中止执行中的 MATLAB的工作。
5.命令窗口的分页输出
more off：不允许分页
more on：允许分页
more(n)：指定每页输出的行数
回车键 前进一行
空格键 显示下一页
q键 结束当前显示
? MATLAB的运算事实上是以阵列 (array) 及矩阵 (matrix) 方
式在做运算，而这二者在 MATLAB的基本运算性质不同，
阵列强调元素对元素的运算，而矩阵则采用线性代数的运
算方式。
? 宣告一变数为阵列或是矩阵时，如果是要个别键入元素，
须用中括号 [ ] 将元素置于其中。阵列为一维元素所构成，
而矩阵为多维元素所组成，例如,
一、简易阵列
2.2 MATLAB阵列与 矩阵
>> x = [1 2 3] % 一维 1x3 阵列
>> x = [1 2 3; 4 5 6] % 二维 2x3 矩阵，以 ;区隔各行的元素
>> x = [1 2 3 % 二维 2x3 矩阵，各行的元素分二行键入
4 5 6]
假设要计算 y = sin (x),x = 0,0.2π,
0.4π,...,π,即可用阵列方式运算，例如
>> x = [0 0.2*pi 0.4*pi 0.6*pi 0.8*pi pi]
% 注意阵列内也可作运算
x =
0 0.6283 1.2566 1.8850 2.5133 3.1416
>> y=sin(x)
y =
0 0.5878 0.9511 0.9511 0.5878 0.0000
? 要找出阵列的某个元素或数个元素，可参考以下的例子
>> x(3) % 第三个 x的元素
ans =
1.2566
>> y(5) % 第五个 y的元素
ans =
0.5878
>> x(1:5) % 列出第一到第五个 x的元素
ans =
0 0.6283 1.2566 1.8850 2.5133
>> y(3:-1:1) % 列出第三到第一个 y的元素,3为起始值,1
为终止值,-1为增量
ans =
0.9511 0.5878 0
>> x(2:2:6) % 列出第二到第六个 x的元素,2为起始值,6
为终止值,2为增量
ans =
0.6283 1.8850 3.1416
>> y([4 2 5 1]) % 列出 y元素，排列元素依序为原来 y阵列
的 4,2,5,1个
ans =
0.9511 0.5878 0.5878 0
2.建立阵列
前一节提到阵列产生的方式须个别键入其元素，这
方法只适用于阵列元素很少时。如果要建立的阵列
的元素多达数百个，则须采用以下几种方式
>> x=(0:0.02:1) % 以,区隔起始值 =0、增量值 =0.02、
终止值 =1
>> x=linspace(0,1,51) % 利用 linspace，以区隔起
始值 =0终止值 =1之间的元素数目 =51
>> x=(0:0.01:1)*pi % 注意阵列外也可作运算
>> a=1:5,b=1:2:9 % 这二种方式更直接
a = 1 2 3 4 5
b = 1 3 5 7 9
>> c=[b a] % 可利用先前建立的阵列 a 及阵列
b,组成新阵列
c = 1 3 5 7 9 1 2 3 4 5
>> d=[b(1:2:5) 1 0 1] % 由阵列 b 的三个元素
再加上三个元素组成
d = 1 5 9 1 0 1
3.阵列运算
以下将阵列的运算符号及其意义列出，除了加减
符号外其余的阵列运算符号均须多加, 符号。
阵列运算功能
+ 加
- 减
.* 乘
./ 左除
.^ 次方
.‘ 转置
>> a=1:5; a-2 % 从阵列 a减 2
ans =
-1 0 1 2 3
>> 2*a-1 % 以 2乘阵列 a再减 1
ans =
1 3 5 7 9
>> b=1:2:9; a+b % 阵列 a加阵列 b
ans =
2 5 8 11 14
>> a.*b % 阵列 a及 b中的元素与元素相乘
ans =
1 6 15 28 45
>> a./b % 阵列 a及 b中的元素与元素相除
ans =
1.0000 0.66667 0.6000 0.5714 0.5556
>> a.^2 % 阵列中的各个元素作二次方
ans =
1 4 9 16 25
>> 2.^a % 以 2为底，以阵列中的各个元素为次方
ans =
2 4 8 16 32
>> b.^a % 以阵列 b中的各个元素为底，以阵列 a中的各个
元素为次方
ans =
1 9 125 2401 59049
>> b=a' % 阵列 b是阵列 a的转置结果
b =
1
2
3
4
5
4.阵列运算的特色
MATLAB 在许多运算皆是以阵列为对象，即
是以阵列的元素为对象。因此除了,+”,“-,这
二个运算外，其余的运算符号（乘、除、次方）
皆须加上,.”来强调阵列之间的运算。以下
几个例子可以说明阵列运算的特色。如果 a,b
各代表二个不同的阵列,a与 b 之间的运算是
元素对元素的方式，例如,
a=[a1,a2,…,a n] b=[b1,b2,…,b n]
a.*b=[a1*b1,a2*b2,…,a n*bn]
a/b.=[a1/b1,a2/b2,…,a n/bn]
几个例子如下：
>> x = 1.5; % x 是纯量
>> y = exp(x^2); % exp(x^2) 是纯量运算
>> y1 = x/y % x/y 是纯量运算
>> x = 1:0.1:2; % x 是阵列
>> y = exp(x.^2); % exp(x.^2) 是阵列运算
>> y1= x./y % x./y 是阵列运算
须注意纯量与阵列运算的差别，例如
>> x=2.0 % x 是一纯量
>> num = x^3 - 2*x^2 + x - 6.3;
>> den = x^2 + 0.05*x - 3.14;
>> f = num/den
>> x=1:5; % 注意 x 是一阵列
>> num = x.^3 - 2*x.^2 + x - 6.3;
>> den = x.^2 + 0.05*x - 3.14;
>> f = num./den
1、转置：对于实矩阵用（’）符号或（,’）求转置结果是一
样的；然而对于含复数的矩阵，则（’）将同时对复数进
行共轭处理，而 （,’）则只是将其排列形式进行转置。
,a=[1 2 3;4 5 6]'
a =
1 4
2 5
3 6
,a=[1 2 3;4 5 6].'
a =
1 4
2 5
3 6
,b=[1+2i 2-7i]'
b = 1.0000 - 2.0000i
2.0000 + 7.0000i
,b=[1+2i 2-7i],'
b = 1.0000 + 2.0000i
2.0000 - 7.0000i
二、矩阵的运算
+ ； - ； * ； \和 / ； ^；,* ；,\ ；,/；,^
如,a=[1 2;3 4]； b=[ 3 5; 5 9]
,c=a+b d=a-b
,c= d=
4 7 -2 -3
8 13 -2 -5
,a*b=[13 23; 29 51]
,a/b=[-0.50 0.50;3.50 –1.50]%左除
,a\b=[-1 -1;2 3] %右除
,a^3=[37 54; 81 118]
,a.*b=[3 10;15 36]
,a./b=[0.33 0.40;0.60 0.44]
,a.\b=[3.00 2.50;1.67 2.25]
,a.^3= [1 8; 27 64]
2、四则运算与幂运算
? 只有维数相同的矩阵才能进行
加减运算。
? 注意只有当两个矩阵中前一个
矩阵的列数和后一个矩阵的行
数相同时，才可以进行乘法运
算。 a\b运算等效于求 a*x=b的
解；而 a/b等效于求 x*b=a的解。
只有方阵才可以求幂。
? 点运算是两个维数相同矩阵对
应元素之间的运算，在有的教
材中也定义为数组运算。
3、逆矩阵与行列式计算
求逆,inv(A)；
求行列式,det(A)
要求矩阵必须为方阵
4、矩阵超越函数
?在 MATLAB中 exp,sqrt等命
令也可以作用到矩阵上，但
这种运算是定义在矩阵的单
个元素上的，即分别对矩阵
的每一个元素进行计算。
?超越数学函数可以在函数后
加上 m而成为矩阵的超越函
数，例如,expm,sqrtm。矩
阵的超越函数要求运算矩阵
为方阵。
,a=[1 2 3; 4 5 6; 2 3 5];
,b=inv(a)
b = -2.3333 0.3333 1.0000
2.6667 0.3333 -2.0000
-0.6667 -0.3333 1.0000
,det(a)
ans = -3
A(m,n)：提取第 m行，第 n列元素
A(:,n)：提取第 n列元素
A(m,:)：提取第 m行元素
A(m1:m2,n1:n2)：提取第 m1行到第 m2行和第 n1列到第 n2列的所
有元素（提取子块）。
A(:)：得到一个长列矢量，该矢量的元素按矩阵的列进行排列。
矩阵扩展：如果在原矩阵中一个不存在的地址位置上设定一个数
（赋值），则该矩阵会自动扩展行列数，并在该位置上添加这
个数，而且在其他没有指定的位置补零。
消除子块：如果将矩阵的子块赋值为空矩阵 [ ]，则相当于消除了相
应的矩阵子块。
三、矩阵的操作
1、矩阵下标,MATLAB通过确认矩阵下标，可以对矩阵进行插入子
块，提取子块和重排子块的操作。例如：
2、矩阵的大小
[m,n]=size(A,x)：返回矩阵的行列数 m与 n，当 x=1，则
只返回行数 m，当 x=2，则只返回列数 n。
length(A)=max(size(A))：返回行数或列数的最大值。
rank(A)：求矩阵的秩
,a=[1 2 3;3 4 5];
,[m,n]=size(a)
m = 2
n = 3
,length(a)
ans = 3
,max(size(a))
ans = 3
,rank(a)
ans = 2
3.一些常用的特殊矩阵
单位矩阵,eye(m,n); eye(m)
零矩阵,zeros(m,n); zeros(m)
一矩阵,ones(m,n); ones(m)
对角矩阵：对角元素向量 V=[a1,a2,…,an]
A=diag(V)
随机矩阵,rand(m,n)产生一个 m× n的均匀分布的
随机矩阵
,eye(2,3)
ans=
1 0 0
0 1 0
,zeros(2,3)
ans=
0 0 0
0 0 0
,ones(2,3)
ans=
1 1 1
1 1 1
,V=[5 7 2]; A=diag(V)
A=
5 0 0
0 7 0
0 0 2
,eye(2)
ans=
1 0
0 1
,zeros(2)
ans=
0 0
0 0
,ones(2)
ans=
1 1
1 1
如果已知 A为方阵，则 V=diag(A)
可以提取 A的对角元素构成向量 V。
在 MATLAB里, 多项式由一个行向量表示, 它的系数
是按降序排列 。
例如, 多项式 x4－ 12x3＋ 0x2＋ 25x＋ 116
表示为,p=[1 -12 0 25 116]
注意：必须包括具有零系数的项 。 除非特别地辨认,
MATLAB无法知道哪一项为零 。
四、多项式处理
1.多项式的建立与表示方法
2.多项式的运算
（ 1） 根
找出多项式的根, 即多项式为零的值, 可能是许多学科共
同的问题 。 MATLAB用函数 roots找出一个多项式的根, 并
提供其它的多项式操作工具 。
? r=roots(p)
r = 11.7473
2.7028
-1.2251 + 1.4672i
-1.2251 - 1.4672i
因为在 MATLAB中, 无论是一个多项式, 还是它的根, 都
是向量, MATLAB按惯例规定, 多项式是行向量, 根是
列向量 。 给出一个多项式的根, 也可以构造相应的多项
式 。 在 MATLAB中, 命令 poly执行这个任务 。
?pp=poly(r)
pp = 1.0e+002 *
0.0100 -0.1200 0.0000 0.2500 1.1600 + 0.0000i
因为 MATLAB无隙地处理复数，当用根重组多项式时，
如果一些根有虚部，由于截断误差，则 poly的结果有一
些小的虚部，这是很普通的。消除虚假的虚部，如上所
示，只要使用函数 real抽取实部。
?pp=real(pp)
pp =1.0000 -12.0000 0.0000 25.0000 116.0000
（ 2） 乘法
函数 conv支持多项式乘法 (执行两个数组的卷积 )。 两个多
项式 a(x)=x3＋ 2x2＋ 3x＋ 4
和 b(x)= x3＋ 4x2＋ 9x＋ 16的乘积：
?a=[1 2 3 4] ; b=[1 4 9 16];
?c=conv(a,b)
c = 1 6 20 50 75 84 64
结果是 c(x)=x6＋ 6x5＋ 20x4＋ 50x3＋ 75x2＋ 84x＋ 64。
两个以上的多项式的乘法需要重复使用 conv。
（ 3） 加法
对多项式加法, MATLAB不提供一个直接的函数 。 如果两
个多项式向量大小相同, 标准的数组加法有效 。 把多项
式 a(x)与上面给出的 b(x)相加 。
?d=a+b
d = 2 6 12 20
结果是 d(x)= 2x3＋ 6x2＋ 12x＋ 20。 当两个多项式阶次不同,
低阶的多项式必须用首零填补, 使其与高阶多项式有同
样的阶次 。 考虑上面多项式 c和 d相加：
?e=c+[0 0 0 d]
e = 1 6 20 52 81 96 84
结果是 e(x)= x6＋ 6x5＋ 20x4＋ 52x3＋ 81x2＋ 96x＋ 84。
（ 4） 除法
在一些特殊情况, 一个多项式需要除以另一个多项式 。 在
MATLAB中, 这由函数 deconv完成 。 用上面的多项式 b
和 c
?[q,r]=deconv(c,b)
q = 1 2 3 4
r = 0 0 0 0 0 0 0
这个结果是 b被 c除, 给出商多项式 q和余数 r,在现在情况
下 r是零, 因为 b和 q的乘积恰好是 c。
5） 导数
由于一个多项式的导数表示简单, MATLAB为多项式求导
提供了函数 polyder。
?g
g = 1 6 20 48 69 72 44
?h=polyder(g)
h = 6 30 80 144 138 72
（ 6） 估值 (exp02_02.m)
根据多项式系数的行向量, 可对多项式进行加, 减, 乘,
除和求导, 也应该能对它们进行估值 。 在 MATLAB中,
由函数 polyval来完成 。
? x=linspace(-1,3) ; % choose 100 data points between -
1and 3.
?p=[1 4 -7 -10] ; % uses polynomial p(x) = x3＋ 4x2－ 7x
－ 10
?v=polyval(p,x) ;
计算 x值上的 p(x),把结果存在 v里 。 然后用函数 plot绘出结
果 。
?plot(x,v),title(' x^3+4x^2-7x-10 '),xlabel(' x ')
（ 7） 有理多项式
在许多应用中, 例如傅里叶 (Fourier),拉普拉斯 (Laplace)和
Z 变换, 出现 有 理多 项 式或 两 个多 项 式之 比 。 在
MATLAB中, 有理多项式由它们的分子多项式和分母多
项式表示 。 对有理多项式进行运算的两个函数是 residue
和 polyder。 函数 residue执行部分分式展开 。
?num=10*[1 2] ; %分子多项式
?den=poly([-1; -3; -4]) ;%分母多项式
?[res,poles,k]=residue(num,den)
结果是余数, 极点和部分分式展开的常数项 。 下面的结果
说明了该问题：
10 2
1 3 4
6 6667
4
5
3
1 6667
1 0
( )
( )( )( )
.,s
s s s s s s
?
? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ?
五,曲线拟合
在大量的应用领域中, 人们经常面临用一个解析函数描
述数据 (通常是测量值 )的任务 。 对这个问题有两种方法 。
一种为插值法, 数据假定是正确的, 要求以某种方法描述
数据点之间所发生的情况 。
0 0, 2 0, 4 0, 6 0, 8 1
-2
0
2
4
6
8
10
12
x
y
=
f(
x
)
S e c o n d O r d e r C u r v e F i t t i n g
另一种方法是曲线拟合或回归,
其目的就是在众多的样本点中进
行拟合, 找出满足样本点分布的
多项式 。 这在分析实验数据, 将
实验数据做解析描述时非常有用 。
人们设法找出某条光滑曲线, 它
最佳地拟合数据, 但不必要经过
任何数据点 。 exp02_03_1.m
? 曲线拟合涉及回答两个基本问题,最佳拟合 意味着什
么？ 应该用什么样的曲线？
? 可用许多不同的方法定义 最佳拟合, 并存在无穷数目
的曲线 。
? 当 最佳拟合 被解释为在数据点的最小误差平方和, 且
所用的曲线限定为多项式时, 那么曲线拟合是相当简
捷的 。 数学上, 称为多项式的最小二乘曲线拟合 。 对
各数据点距离求平方, 并把平方距离全加起来, 就是
误差平方和 。 使误差平方和尽可能小的曲线, 即是 最
佳拟合 。 最小二乘这个术语仅仅是使误差平方和最小
的省略说法 。
? 在 MATLAB中, 用函数 polyfit求解最小二乘曲线拟合问
题 。
p=polyfit(x,y,n)，其中 x和 y为样本点向量,n为所求多项
式的阶数,p为求出的多项式。 例如,exp02_03_2.m
?x=[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 1];
? y=[-.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48
9.30 11.2];
为了用 polyfit,须给函数赋予上面的数据和希望最佳拟合
数据的多项式的阶次或度 。 如果选择 n=1作为阶次, 得
到最简单的线性近似 。 通常称为线性回归 。, 如果选择
n=2作为阶次, 得到一个 2阶多项式 。 现在, 选择一个 2
阶多项式 。
?n=2; % polynomial order
?p=polyfit(x,y,n)
p = -9.8108 20.1293 -0.0317
polyfit 的输出是一个多项式系数的行向量 。 其解是 y = － 9.8108x2
＋ 20.1293x－ 0.0317。 为了将曲线拟合解与数据点比较, 我们把二
者都绘成图 。
? xi=linspace(0,1,100); %x-axis data for plotting
? z=polyval(p,xi);
为了计算在 xi数据点的多项式值, 调用 MATLAB的函数 polyval。
? plot(x,y,' o ',x,y,xi,z,', ' )
画出原始数据 x和 y,用 'o'标出该数据点, 在数据点之间, 再用
直线重画原始数据, 并用点 ', '线, 画出多项式数据 xi和 z。
?xlabel(' x '),ylabel(' y=f(x) '),title(' Second Order Curve Fitting ')
将图作标志 。
? 多项式阶次的选择是有点任意的 。 两点决定一直线或一
阶多项式 。 三点决定一个平方或 2阶多项式 。 按此进行,
n+1数据点唯一地确定 n阶多项式 。 于是, 在上面的情况
下, 有 11个数据点, 我们可选一个高达 10阶的多项式 。
然而, 高阶多项式给出很差的数值特性, 人们不应选择
比所需的阶次高的多项式 。 此外, 随着多项式阶次的提
高, 近似变得不够光滑, 因为较高阶次多项式在变零前,
可多次求导 。 例如, 选一个 10阶多项式 exp02_03_3.m
? 将这个解作图, 并把此图与原始数据及 2阶曲线拟合相比
较 。 可以看到, 在 10阶拟合中, 在左边和右边的极值处,
数据点之间出现大的纹波 。 当企图进行高阶曲线拟合时,
这种纹波现象经常发生 。 显然,, 越多就越好, 的观念
在这里不适用 。
六,多项式插值
?多项式插值是指根据给定的有限个样本点，产生
另外的估计点以达到数据更为平滑的效果。该技
巧在信号处理与图像处理上应用广泛。
?插值定义为对数据点之间函数的估值方法, 这些
数据点是由某些集合给定 。 当人们不能很快地求
出所需中间点的函数值时, 插值是一个有价值的
工具 。 例如, 当数据点是某些实验测量的结果或
是过长的计算过程时, 就有这种情况 。
? 最简 单插 值 的例 子是 MATLAB 的 作图 。 按缺省,
MATLAB用直线连接所用的数据点以作图 。 这个线性插
值猜测中间值落在数据点之间的直线上 。 当然, 当数据
点个数的增加和它们之间距离的减小时, 线性插值就更
精确 。 例如 exp02_04_01.m
? 作 sine函数的两个图, 一个在数据点之间用 60个点, 它
比另一个只用 6个点更光滑和更精确 。
? 如曲线拟合一样，插值要作决策。根据所作的假设，有
多种插值。而且，可以在一维以上空间中进行插值。即
如果有反映两个变量函数的插值,z=f(x,y)，那么就可在
x之间和在 y之间，找出 z的中间值进行插值。 MATLAB
在一维函数 interp1和在二维函数 interp2中, 提供了许多
的插值选择。
? 所用指令有一维的 interp1、二维的 interp2、三维的
interp3。这些指令分别有不同的方法（ method），设
计者可以根据需要选择适当的方法，以满足系统属性
的要求。 Help polyfun可以得到更详细的内容。
（ 1）一维插值 y=interp1(xs,ys,x,’method’)
? 在有限样本点向量 xs与 ys中，插值产生向量 x和 y，所
用方法定义在 method中，有 4种选择：
? nearest：执行速度最快，输出结果为直角转折
? linear：默认值，在样本点上斜率变化很大
? spline：最花时间，但输出结果也最平滑
? cubic：最占内存，输出结果与 spline差不多
（ 2）二维插值 y=interp2(xs,ys,zs,xi,yi,’method’)
xs,ys,zs是进行插值的基准数据； xi,yi是待求插补函数值 y
的自变量对组； Method是插值方法名。 xs,ys必须满足：
A、同维矩阵；
B、矩阵中的元素，无论行向还是列向，都必须单调排列；
C,xs,ys 是“经纬”格式矩阵（即 xs阵每一行的元素依次单调排列，
而任何两行都相同； ys阵每一列的元素依次单调排列，而任何两
列都相同）
? xi,yi允许有两种不同格式：
A,xi,yi是“经纬”格式矩阵
B,xi,yi也可以是向量，但 xi,yi均必须取单调行或列向量。可以借助
meshgrid指令，只要给定两个自变量的分度向量 w,d,通过
[xi,yi]=meshgrid(w,d)即可得到符合要求的 经纬”格式矩阵 xi,yi
(3)插值举例
A,一维插值 exp02_04_02.m exp02_04_03.m
?假设 12小时内, 一小时测量一次室外温度, 数据
存储在两个 MATLAB变量中 。
B,二维插值
?二维插值是基于与一维插值同样的基本思想 。 二
维插值是对两变量的函数 z=f(x,y) 进行插值 。
exp02_04_04.m
? 假设有一组海底深度测量数据, 要求采用插值方式绘制
海底形状图 。
七,关系和逻辑运算
? MATLAB的运算符有三种类型：算术运算符、关系运
算符、逻辑运算符。它们的处理顺序依次为算术运算
符、关系运算符、逻辑运算符。在前面我们已经介绍
例算术运算符，这里我们着重介绍后两种运算符。
? 除了传统的数学运算, MATLAB支持关系和逻辑运算 。
这些操作符和函数的目的是提供求解真 /假命题的答案 。
一个重要的应用是控制基于真 /假命题的一系列 MATLAB
命令 （ 通常在 M文件中 ） 的流程, 或执行次序 。
? 作为所有关系和逻辑表达式的输入, MATLAB把任何非
零数值当作真, 把零当作假 。 所有关系和逻辑表达式
的输出, 对于真, 输出为 1；对于假, 输出为零 。
1 关系操作符
MATLAB关系操作符包括所有常用的比较 。
< 小于
< = 小于或等于
> 大于
> = 大于或等于
= = 等于
关系操作符 说明
~ = 不等于
MATLAB关系操作符能用来比较两个同样大小的数组, 或用
来比较一个数组和一个标量 。 在后一种情况, 标量和数
组中的每一个元素相比较, 结果与数组大小一样 。 下面
给出几个示例：
? A=1:9,B=9-A
A =1 2 3 4 5 6 7 8 9
B =8 7 6 5 4 3 2 1 0
? tf=A>4
tf =0 0 0 0 1 1 1 1 1
找出 A中大于 4的元素 。 0出现在 A<=4的地方, 1出现在 A>4
的地方 。
? tf=(A= =B)
tf =0 0 0 0 0 0 0 0 0
找出 A中的元素等于 B中的元素 。 注意, =和 = =意味着两种
不同的事,= = 比较两个变量, 当它们相等时返回 1，
当它们不相等时返回 0；在另一方面, = 被用来将运算
的结果赋给一个变量 。
? tf=B-(A>2)
tf =8 7 5 4 3 2 1 0 -1
找出 A>2,并从 B中减去所求得的结果向量 。 这个例子说明,
由于逻辑运算的输出是 1和 0的数组, 它们也能用在数学
运算中 。
? B=B+(B==0)*eps
B =8.0000 7.0000 6.0000 5.0000 4.0000 3.0000
2.0000 1.0000 0.0000
这是一个演示, 表明如何用特殊的 MATLAB数 eps来代替在
一个数组中的零元素, eps近似为 2.2e-16。 这种特殊的
表达式在避免被 0除时是很有用的 。 例如：
? x=(-3:3)/3
x =-1.0000 -0.6667 -0.3333 0 0.3333 0.6667
1.0000
? sin(x)./x
Warning,Divide by zero
ans =0.8415 0.9276 0.9816 NaN 0.9816 0.9276
0.8415
由于第四个数据是 0, 计算函数 sin(x)/x时给出了一个警告 。
由于 sin(0)/0是没定义的, 在该处 MATLAB结果返回 NaN。
用 eps替代 0以后, 再试一次,
? x=x+(x==0)*eps;
? sin(x)./x
ans=0.8415 0.9276 0.9816 1.0000 0.9816 0.9276 0.8415
2 逻辑操作符
逻辑操作符提供了一种组合或否定关系表达式 。
MATLAB逻辑操作符包括：
表 2
& 与
| 或
逻辑操作符 说明
~ 非
逻辑操作符用法的一些例子有：
? A=1:9;B=9-A;
? tf=A>4 %找出 A大于 4
tf =0 0 0 0 1 1 1 1 1
? tf=~(A>4) %对上面的结果取非, 也就是 1替换 0,0替换 1
tf =1 1 1 1 0 0 0 0 0
? tf=(A>2)&(A<6) %在 A大于 2‘与 ’ A小于 6处返回 1
tf =0 0 1 1 1 0 0 0 0
上面的功能易于产生数组来表示不连续信号, 或由多段其
他信号所组成的信号 。 基本想法是, 把数组中要保持的
那些值与 1 相乘, 所 有 其 他 值 与 0 相乘 。 例如
(exp02_04_05.m)
3 关系与逻辑函数
除了上面的关系与逻辑操作符, MATLAB提供了大量的其他关系与
逻辑函数, 包括：
xor(x,y) 异或运算 。 x或 y非零 (真 )返回 1,x和 y都是零 (假 )或都
是非零 (真 )返回 0。
any(x) 如果在一个向量 x中, 任何元素是非零, 返回 1；矩阵 x
中的每一列有非零
元素, 返回 1。
其 他 关 系 与 逻 辑 函 数
all(x) 如果在一个向量 x中, 所有元素非零, 返回 1；矩阵 x中
的每一列所有元素
非零, 返回 1。
4 NaNs和空矩阵
NaNs和空矩阵 ([ ])要求在 MATLAB中作特殊处理, 特别是
用在逻辑或关系表达式里 。 例如,
? a=[1 2 nan inf nan]
a = 1 2 NaN Inf NaN
? b=2*a
b = 2 4 NaN Inf NaN
? c=sqrt(a)
c = 1.0000 1.4142 NaN Inf NaN
? d = (a= =nan)
d = 0 0 0 0 0
? f = (a~ =nan)
f = 1 1 1 1 1
上面的第一和第二计算式对 NaN输入给出 NaN结果 。 然而,
最后两个计算式当 NaN与 NaN相比较时, (a= =nan)产生
全部为 0或假的结果, 同时 (a~ =nan)产生全部 1或真值 。
于是, 单个 NaNs相互不相等 。 由于 NaNs的这种特性,
MATLAB有一个内置逻辑函数寻找 NaNs。
? g=isnan(a)
g = 0 0 1 0 1
这个函数用 find命令能找出 NaNs的下标值 。 例如,
? i=find(isnan(a))
i = 3 5
? a(i)=zeros(size(i)) % changes NaNs in a to
zeros
a = 1 2 0 Inf 0
空矩阵由 MATLAB的生成器确定, 并有它自己的特性 。 空矩阵
是 MATLAB大小为零的变量 。
? size([ ])
ans = 0 0
当没有合适的结果时, MATLAB中许多函数返回空矩阵 。 如
? x=(1:5)-3 % new data
x = -2 -1 0 1 2
? y=find(x>2)
y = [ ]
在这个例子里, x没有包含大于 2的值, 所以没有返回下标 。
为了测试空结果, MATLAB提供了逻辑函数 isempty。
? isempty(y)
ans = 1
八,MATLAB数据处理
1、矩阵分解
（ 1）奇异值分解
[U,S,V]=svd(A)
例,a =
9 8
6 8
可以验证：
u*u’=I
v*v’=I
u*s*v’=a
求矩阵 A的奇异值及分解矩阵，满足
U*S*V’=A，其中 U,V矩阵为正交矩
阵（ U*U’=I）,S矩阵为对角矩阵，
它的对角元素即 A矩阵的奇异值。
[u,s,v]=svd(a)
u =
0.7705 -0.6375
0.6375 0.7705
s =
15.5765 0
0 1.5408
v =
0.6907 -0.7231
0.7231 0.6907
（ 2）特征值分解
[V,D]=eig(A)
例,a =
9 8
6 8
[v,d]=eig(a)
v =
0.7787 -0.7320
0.6274 0.6813
d =
15.4462 0
0 1.5538
求矩阵 A的特征向量 V及特
征值 D，满足 A*V=V*D。
其中 D的对角线元素为特
征值,V的列为对应的特
征向量。如果 D=eig(A)则
只返回特征值。
（ 3）正交分解
[Q,R]=qr(A)
例,a =
9 8
6 8
[q,r]=qr(a)
q =
-0.8321 -0.5547
-0.5547 0.8321
r =
-10.8167 -11.0940
0 2.2188
将矩阵 A做正交化分解，使得
Q*R=A，其中 Q为正交矩阵
（其范数为 1，指令 norm(Q)=1)，
R为对角化的上三角矩阵。
norm(q)
ans =
1
q*r
ans =
9.0000 8.0000
6.0000 8.0000
（ 4）三角分解
[L,U]=lu(A)
? 将 A做对角线分解，使得
A=L*U,其中 L为下三角矩阵，
U为上三角矩阵。
例,a=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]
[l,u]=lu(a)
l =
0.14 1.00 0
0.57 0.50 1.00
1.00 0 0
u =
7.00 8.00 9.00
0 0.86 1.71
0 0 0.00
2,常微分方程数值解
? 只包含一个自变量的微分方程是 常微分方程 （ Ordinary
Differential Equations,ODE） 。 当常微分方程式能解
析求解时, 可用 MATLAB的符号工具箱中的功能找到精确
解 。
? 在微分方程难以获得解析解的情况下, 可在数值上求解 。
根据微分方程组, 可用 MATLAB的函数 ode23和 ode45求出
系统随时间变化的运动情况 。
[t,x]=ode23(‘f_name’,to,tf,xo,tol)
[t,x]=ode45(‘f_name’,to,tf,xo,tol)
? 两个函数都运用了基本的龙格 -库塔 (Runge-Kutta)数值积
分法的变形 。 ode23运用一个组合得 2/3阶龙格 -库塔 -芬尔
格 (Runge-Kutta-Fehlerg)算法, 而 ode45运用组合的 4/5阶
龙格 -库塔 -芬尔格算法 。
(Exp02_04_06.m)
采用简洁格式的 ODE文件和解算指令，研究围绕地球旋转
的卫星轨道。构成的一阶微分方程组为
Y=[y1 y2 y3 y4]T=[x y vx vy]T=[x y x' y']T，
则
初始条件为
Y(0)=[x(0) 0 0 vy(0)]T
(exp02_04_07.m)
计算卫星经过近地点和远地点的时间, 并在图上标志 。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
2
3
2
3
)(
)(
)(
22
2
22
1
4
3
4
3
2
1
yx
y
GM
yx
y
GM
y
y
y
y
y
y
tY
E
E
3,常微分方程的符号解
符号数学是以符号 （ 如 a,b,c,d,x,y,z） 为对象的数学 。 区
别于以数字为对象的 MATLAB基本部分 。 符号表达式是代
表数字, 函数, 算子和变量的 MATLAB字符串, 或字符串
数组 。 不要求变量有预先确定的值, 符号方程式是含有
等号的符号表达式 。 符号算术是使用已知的规则和给定
符号恒等式求解这些符号方程的实践, 它与代数和微积
分所学到的求解方法完全一样 。 符号矩阵是数组, 其元
素是符号表达式 。
? 符号计算的特点是：运算以推理解析的方式进行, 因此
不受计算误差累积问题困扰；计算或给出完全正确的封
闭解, 或给出任意精度的数值解；指令调用简单；计算
所需时间较长 。
符号数学式的基本表示方法
MATLAB中, 如果键入
f=3*x^2+5*x+2或
y=sin(x)
系统会指出 Undefined function or variable 'x'.
变量 x无定义, 因为它要求 x必须是一个数； MATLAB也可以
接受形为 f=‘3*x^2+5*x+2’,或 y=‘sin(x)’的语句, 这时 f
和 y都是一个字符串, 但它没有任何含义 。 因为它对字符
串个的内容不作任何分析 。
符号数学工具箱必须要能分析字符串的含义, 为此, 符号
数学式的基本表示方法是：首先要对符号变量作出定义 。
用语句
x＝ sym(‘x’)；
就定义了 x是一个字符 (串 )变量, 此后键入的算式
f=3*x^2+5*x+2,或 y=sin(x)就具有了符号函数
的意义, 连表明字符串的引号都可省略, f和 y也
成为字符 (串 )变量 。
如果一个数学符号表示式中有多个符号, 如
z＝ a*t^2+b*t+c
可以用简化的多个符号变量定义语句放在此表示式
的前面 。
syms a,b,c,t
?求解常微分方程的符号法和数值法有很好的互补
作用 。
?MATLAB中, 函数 dsovle计算常微分方程的符号解,
一般格式为
S=dsovle(‘D_1',‘D_2',…,‘D_n')
dsovle句法与大多数其它函数有一些不同，用字母
D来表示求微分,D2,D3等等表示重复求微分，
并以此来设定方程。任何 D后所跟的字母为因变
量。方程 =0用符号表达式 D2y=0来表示。独立变
量可以指定或缺省。
例如, 一阶方程 dy/dx=1+y^2的通解为：
>> dsolve( ' Dy=1+y^2 ' )
ans= -tan(-x+C1)
其中, C1是积分常数 。 求解初值 y(0)=1的同一个方程就可
产生：
>> dsolve(' Dy=1+y^2 ',' y(0)=1 ')
y= tan(x+1/4*pi)
独立变量可用如下形式指定：
>> dsolve(' Dy=1+y^2 ',' y(0)=1 ',' v ')
ans= tan(v+1/4*pi)
例如, 二阶方程 的通解为：
>> y=dsolve( 'D2y-2Dy-3*y=0 ')
y=-2/3+C1*sinh(3^(1/2)*t)+C2*cosh(3^(1/2)*t)
(exp02_04_08.m)
求 dx/dt=y,dy/dt=-x的解
(exp02_04_09.m)
画出微分方程 y=xy’-(y’)2的通解和特解的关系。
(exp02_04_10.m)
求解两点边值问题,xy''-3y'=x2,y(1)=0,y(5)=0 。
(exp02_04_11.m)
求解边值问题：
df/dx=3f+4g,dg/dx=-4f+3g,f(0)=0,g(0)=1的解。
03222 ??? ydxdydx yd
4、数据分析
（ 1） 求零点 fzero(),
? 在许多应用中, 需寻找函数过零或等于其它常数的点 。 MATLAB提
供了该问题的数值解法 ——函数 fzero。
? fzero不仅能寻找零点, 还可以寻找函数等于任何常数值的点 。
例如, 为了寻找 f(x)=c的点, 定义函数 g(x)=f(x)-c,然后, 在
fzero中使用 g(x),就会找出 g(x)为零的 x值, 它发生在 f(x)=c
时 。
? MATLAB中基本格式为,z=fzero(fun,x0)
其中 fun是函数名, x0表示零点初始猜测 。 当 x0取标量时, 指令在
它两侧寻找一个与之最靠近的零点；当 x0取二元向量 [a,b]时指
令将在区间内寻找零点 。 一般步骤：
① 利用 MATLAB作图指令获取初步近似解；
② 求任意一元函数零点的精确解；
（ exp02_04_12.m ） 求 y=2e-xsin(x)的零点 。
（ 2） 求极值,fminbnd,fminbnds
在许多应用中, 需确定函数的极值, 即 最大值 （ 峰值 ） 和
最小值 （ 谷值 ） 。 数学上, 可通过确定函数导数 （ 斜率 ）
为零的点, 解析上求出这些极值点 。 然而, 即使很多容
易求导的函数, 也常常很难找到导数为零的点 。 在这种
情况下, 必须数值上寻找函数的极值点 。 MATLAB提供
了两个完成此功能的函数 fminbnd和 fminbnds。 这两个
函数分别寻找一维或 n维函数的最小值 。 因为 f(x)的最大
值等于 -f(x)的最小值, 所以, 上述 fminbnd和 fminbnds
可用来求最大值和最小值 。 把上述图形倒过来看, 在这
个状态下, 峰值变成了谷值, 而谷值则变成了峰值 。
(exp02_04_13.m )求 y=2e-xsin(x)的最小值和最大值 。
（ 3） 频谱分析 （ fft）, y=FFT(x)
在 MATLAB 中, 函数 fft计算一个信号的离散富里叶
（ Fourier） 变换 。
分析连续信号的富里叶变换的问题 （ exp02_04_14.m ）
解析上, 该富里叶变换为：
下面的 MATLAB语句用 FFT估计 Fp(w),并且用图形把所得
到结果与上面的解析表达式的结果 Fa(w)进行比较 。
f t e
t
( ) ? ???
?
?12
0
3 t 0
t < 0
jwwF ?? 3
2)(
（ 4） 数据分析函数
由于 MATLAB面向矩阵, 所以它很容易对数据集合进行统计
分析 。 按规定, 数据集存储在面向列的矩阵里 。 也就是,
一个矩阵的每一列代表不同的被测变量, 每一行代表各
个样本或观察值 。 例如 （ exp02_04_15.m）
记录一个月 31天的三城市每日高温 (单位为 0C),变量 temps
中每一行包含了给定一天的高温；每一列包含不同城市
的高温 。
在 MATLAB里的数据分析是按面向列矩阵而进行的 。 不同的
变量存储在各列中, 而每行表示每个变量的不同观察 。
MATLAB统计函数包括：
corrcoef(x) 求相关系数
cov(x) 协方差矩阵
histogram(x) 直方图和棒图
max(x),max(x,y) 最大分量
mean(x) 均值或列的平均值
min(x),min(x,y) 最小分量
prod(x) 列元素的积
数 据 分 析 函 数
sum(x) 各列的元素和
（ 5） 数值积分运算
MATLAT提供了在有限区间内, 数值计算某函数下的积
分或面积的三种函数,trapz,quad和 quadl。
trapz通过计算若干梯形面积的和来近似某函数的积
分 ;
quad和 quadl是基于数学上的正方形概念来计算函数
的面积, 这些积分函数的操作方式一样 。 为获得更
准确的结果, 两个函数在所需的区间都要计算被积
函数 。 此外, 与简单的梯形比较, 这两个函数进行
更高阶的近似, 而且 quadl比 quad更精确 。 这两个
函数的调用格式：
q=quad(fun,a,b,tol)
q=quadl(fun,a,b,tol)
其中, fun为被积函数；
a,b分别为积分的上限和下限；
tol控制绝对误差, 省缺取值绝对精度为 10-6。
s=dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol)（ 二重积分 ）
ss=triplequad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,zmin,zmax,tol)
（ 三重积分）
（ exp02_04_16.m）
求
dxeI x? ?? 10 2
（ exp02_04_17.m）
计算
和
? ? ??????? 21 1001 dydxxS yx
? ? ??????? 10 2112 dydxxS yx
2.3 绘图简介
? MATLAB提供了丰富的绘图功能
help graph2d可得到所有画二维图形的命令
help graph3d可得到所有画三维图形的命令
1、基本的 二维图形 绘图命令
plot（ x1,y1,option1,x2,y2,option2,… ）
x1,y1给出的数据分别为 x,y轴坐标值,option1为选项参数，以逐点连
折线的方式绘制 1个二维图形；同时类似地绘制第二个二维图形等等。
这是 plot命令的完全格式，在实际应用中可以根据需要进行简化。如：
plot(x,y)； plot(x,y,option)
选项参数 option定义了图形曲线的颜色、线型及标示符号，它由一对
单引号括起来。
例 exp02_05.m exp02_06.m
2、选择图像
figure（ 1）； figure（ 2）； … ； figure(n)
打开不同的图形窗口，以便绘制不同的图形。
3,grid on：在所画出的图形坐标中加入栅格
grid off：除去图形坐标中的栅格
4,hold on：把当前图形保持在屏幕上不变，同时
允许在这个坐标内绘制另外一个图形。
hold off：使新图覆盖旧的图形
例 exp02_07.m exp02_08.m
6、文字标示
?text(x,y,’字符串’ )
在图形的指定坐标位置 (x,y)处，标示单引号括起来
的字符串。
?gtext(‘字符串’ )
利用鼠标在图形的某一位置标示字符串。
5,设定轴的范围
axis（ [xmin xmax ymin ymax]） 例 exp02_09.m
axis(‘equal’)：将 x坐标轴和 y坐标轴的单位刻度大小
调整为一样。
?title(‘字符串’ )
在所画图形的最上端显示说明该图形标题的字符串。
?xlabel(‘字符串’ ),ylabel(‘字符串’ )
设置 x,y坐标轴的名称。
?输入特殊的文字需要用反斜杠（ \）开头。
7,legend(‘字符串 1’,‘字符串 2’,…,‘ 字符串 n’)
?在屏幕上开启一个小视窗，然后依据绘图命令的
先后次序，用对应的字符串区分图形上的线。
例 exp02_10.m
9,semilogx：绘制以 x轴为对数坐标（以 10为底）,y轴为线
性坐标的半对数坐标图形。
semilogy：绘制以 y轴为对数坐标（以 10为底）,x轴为线
性坐标的半对数坐标图形。 例 exp02_12.m
8,subplot（ mnk）,分割图形显示窗口,m:上下分割数，
n:左右分割数,k:子图编号 例 exp02_11.m
10、应用型绘图指令：用于数值统计分析或离散 数据处理
bax（ x,y）；绘制 y对应于 x的高度条形图
hist（ y,x） ；绘制 y对应于 x的个数条形图
stairs（ x,y）；绘制 y对应于 x的梯形图
stem（ x,y） ；绘制 y对应于 x的散点图 exp02_13.m
?对于图形的属性编辑同样可以通过在图形窗口上
直接进行。
?但图形窗口关闭之后编辑结果不会保存
11、一点补充说明
一,MATLBA程序的基本设计原则
1、％后面的内容是程序的注解，要善于运用注解使
程序更具可读性。
2、养成在主程序开头用 clear指令清除变量的习惯，
以消除工作空间中其他变量对程序运行的影响。
但注意在子程序中不要用 clear。
3、参数值要集中放在程序的开始部分，以便维护。
要充分利用 MATLAB工具箱提供的指令来执行所
要进行的运算，在语句行之后输入分号使其及中
间结果不在屏幕上显示，以提高执行速度。
2.4 MATLAB程序设计入门
4,input指令可以用来输入一些临时的数据；而对于
大量参数，则通过建立一个存储参数的子程序，在
主程序中用子程序的名称来调用。
5、程序尽量模块化，也就是采用主程序调用子程序的
方法，将所有子程序合并在一起来执行全部的操作。
6、充分利用 Debugger来进行程序的调试（设置断点、
单步执行、连续执行），并利用其他工具箱或图形
用户界面（ GUI）的设计技巧，将设计结果集成到
一起。
7、设置好 MATLAB的工作路径，以便程序运行。
8,MATLAB程序的基本组成结构
％说明
清除命令：清除 workspace中的变量和图形（ clear,close）
定义变量：包括全局变量的声明及参数值的设定
逐行执行命令：指 MATLAB提供的运算指令或工具箱
… … … 提供的专用命令
控制循环,包含 for,if then,switch,while等语句
逐行执行命令
… … …
end
绘图命令：将运算结果绘制出来
? 当然更复杂程序还需要调用子程序，或与 simulink以及其
他应用程序结合起来。
? 进入 MATLAB的 Editor窗口来编辑程序
? 在编辑环境中，文字的不同颜色显示表明文字的不同属性。
绿色：注解；黑色：程序主体；红色：属性值的设定；蓝
色：控制流程。
? 在运行程序之前，必须设置好 MATLAB的工作路径，使得
所要运行的程序及运行程序所需要的其他文件处在当前目
录之下，只有这样，才可以使程序得以正常运行。否则可
能导致无法读取某些系统文件或数据，从而程序无法执行。
? 通过 cd指令在命令窗口中可以更改、显示当前工作路径。
? 通过路径浏览器（ path browser）也可以进行设置
二,M文件的编辑及 MATLAB工作路径的设置
2、程序文件
? 以,m格式进行存取，包含一连串的 MATLAB指令和必要的注解。需
要在工作空间中创建并获取变量，也就是说处理的数据为命令窗口
中的数据，没有输入参数，也不会返回参数。
? 程序运行时只需在工作空间中键入其名称即可。
三,MATLAB的程序类型
MATLAB的程序类型有三种，一种是在命令窗口下执行的脚本 M文件；另外
一种是可以存取的 M文件，也即程序文件；最后一种是函数（ function）
文件。
1、脚本 M文件
在命令窗口中输入并执行，它所用的变量都要在工作空间中获取，不
需要输入输出参数的调用，退出 MATLAB后就释放了。
（ 1）函数定义行（关键字 function）
?function[out1,out2,..]=filename(in1,in2,..)
?输入和输出（返回）的参数个数分别由 nargin和
nargout两个 MATLAB保留的变量来给出。
（ 2）第一行帮助行，即 H1行
?以（ %）开头，作为 lookfor指令搜索的行
3、函数文件
? 与在命令窗口中输入命令一样，函数接受输入参数，然
后执行并输出结果。
? 具有标准的基本结构。
（ 3）函数体说明及有关注解
? 以（ %）开头，用以说明函数的作用及有关内容
? 如果不希望显示某段信息，可在它的前面加空行
（ 4）函数体语句
? 函数体内使用的除返回和输入变量这些在 function语句中
直接引用的变量以外的所有变量都是局部变量，即在该
函数返回之后，这些变量会自动在 MATLAB的工作空间
中清除掉。如果希望这些中间变量成为在整个程序中都
起作用的变量，则可以将它们设置为全局变量。
例 myhilb.m,myhilb1.m
1、子程序与主程序之间的数据是通过参数进行传递的，子
程序应用主程序传递来的参数进行计算后，将结果返回
主程序。 例 exp02_14.m
四、声明子程序（函数程序）变量
2、如果一个函数内的变量没有特别声明，那么这个变量
只在函数内部使用，即为局部变量。如果两个或多个函数
共用一个变量（或者说在子程序中也要用到主程序中的变
量，注意不是参数），那么可以用 global来将它声明为全
局变量。 例 exp02_15.m
全局变量的使用可以减少参数传递，合理利用全局变量可
以提高程序执行的效率。
? 字符串要用单引号并用括号括在里面。如：
,disp(‘text string’) ％ disp字符串显示命令
text string
五、字符串及其宏命令
? 在单引号里边的字符串可以作为矢量或矩阵的元素。使用 disp命
令或输入变量名就可以显示它们表示的字符串。如：
,a=['this is a';'text string']
（元素 1含 9个字符，包括空格；元素 2含有 11个字符；因此只要在元
素 1中加入 2个空格即可解决问题）
,aa=['this is a ';'text string'], disp(aa)
aa = aa=
this is a this is a
text string text string
? 宏是 MATLAB语言用在常用命令部分的缩写。它可以被存储用于建
立 M文件的一部分。宏命令采用字符串，并使用 eval命令去执行宏
命令。下例是采用宏命令计算阶乘的例子。
,fct=‘prod(1:n)’; ％求 10的阶乘 （例 exp02_16.m）
,n=10;eval(fct)
ans=3628800
六、常用的编程命令 （例 exp02_17.m）
? pause：停止 m文件的执行直至有键按下。 pause(n)将使程序暂停 n
秒。
? echo on/off：控制是否在屏幕上显示程序内容。
? keyboard：停止程序执行，把控制权交给键盘。输入 return并回
车后继续程序执行。
? x=input(‘prompt’)：把输入的字符串作为提示符，等待使用者输
入一个响应，然后把它赋值到 x。
? 步长缺省值为 1，可以在正实数或负实数范围内任意指定。
对于正数，循环变量的值大于终止值时，循环结束；对于
负数，循环变量的值小于终止值时，循环结束。循环结构
可以嵌套使用。
? 书写格式不必太过于拘泥，在 Editor编辑器中会自动进行
处理。 (例 exp02_18.m)
七、程序流程控制
1,for循环语句
基本格式
for 循环变量＝起始值：步长：终止值
循环体
end
2,while循环语句
基本格式
while 表达式
循环体
end
? 若表达式为真，则执行循环体的内容，执行后再判断表达
式是否为真，若不为真，则跳出循环体，向下继续执行。
例 exp02_19.m
?While循环和 for循环的区别在于,while循环结构的循环
体被执行的次数不是确定的，而 for结构中循环体的执行次
数是确定的。
3,if,else,elseif语句
（ 1） if 逻辑表达式
执行语句
end
当逻辑表达式的值为真时，执行该结构中
的执行语句，执行完之后继续向下进行；
若为假，则跳过结构中的内容，向下执行。
（ 2） if 逻辑表达式
执行语句 1
else
执行语句 2
end
if-else的执行方式为：如果逻辑表达
式的值为真，则执行语句 1，然后跳
过语句 2，向下执行；如果为假，则
执行语句 2，然后向下执行。
（ 3） if 逻辑表达式 1
执行语句 1
elseif 逻辑表达式 2
执行语句 2
…
end
?if-elseif的执行方式为：
如果逻辑表达式 1的值为
真，则执行语句 1；如果
为假，则判断逻辑表达
式 2，如果为真，则执行
语句 2，否则向下执行。
例 exp02_20.m
exp02_21.m
? 本章所要掌握的是 MATLAB语言的基本知识，包括 MATLAB窗口环境
的使用；矩阵运算及多项式处理；基本的绘图命令；程序设计入门。
? MATLAB的窗口环境是基础的基础，要求熟练掌握语句命令的输入、
变量的使用、基本的数学函数及各种工作空间与文件管理的命令。要
善于运用 help命令自学。
? MATLAB具有强大的矩阵运算能力，要求熟练掌握矩阵的输入与生成，
掌握矩阵的基本运算及操作，区分带点运算与不带点运算点的不同；
掌握多项式的建立与表示方法及多项式的基本运算。
? MATLAB同样具有强大的图形处理能力，要求熟练掌握基本的二维绘
图命令。
? MATLAB具有三种基本的 M文件类型，要求掌握它们的区别及基本结
构，熟悉程序流程控制的使用及常用的编程命令。
本章小结
2.1 MATLAB的窗口环境
2.2 MATLAB阵列与矩阵
2.3 数学函数
2.4 绘图简介
2.5 MATLAB程序设计
2.1 MATLAB的窗口环境
一,MATLAB语言的显著特点
1、具有强大的矩阵运算能力,Matrix Laboratory,
使得矩阵运算非常简单。
2、是一种演算式语言
? MATLAB的基本数据单元是既不需要指定维数，
也不需要说明数据类型的矩阵（向量和标量为矩
阵的特例），而且数学表达式和运算规则与通常
的习惯相同。
因此 MATLAB语言编程简单，使用方便。
二,MATLAB命令窗口
启动 MATLAB命令窗口
? 计算机安装好 MATLAB之后，双击 MATLAB图标
启动后，产生默认的 MATLAB桌面 -MATLABDesktop
进入 MATLAB之后，会看道到一个视窗 MATLAB
Command Window称为指令视窗，它是用户键入指令的
地方, 也是 MATLAB计算结果显示之处。而在它的功能
选单一共有 File,Edit,Options,Windows,Help五个主
要功能，每一个之下各又有下一层的功能，我们会在后
面相关的地方说明。
三,基本功能
? 1.MATLAB语句形式
通过例题计算归纳一些 MATLAB最基本的规则和语法结构
,变量＝表达式；
通过等于符号将表达式的值赋予变量。当键入回车键
时，该语句被执行。语句执行之后，窗口自动显示出语
句执行的结果。如果希望结果不被显示，则只要在语句
之后加上一个分号（；）即可。此时尽管结果没有显示，
但它依然被赋值并在 MATLAB工作空间中分配了内存。
2.MATLAB提供基本的算术运算：
加 (+)、减 (-)、乘 (*)、除 (/)、幂次方 (^)，范例
为,5+3,5-3,5*3,5/3,5^3
其它在计算常用的功能我们用一个算式来说明。
例：要计算面积 Area =,半径 r = 2，则可键入
>> r=2;
>> area=pi*r^2;
>> area =
12.5664
求 (12+2*(7-4))/32的算术运算结果。
（ 1） 用键盘在 MATLAB指令窗中输入以下内容
>> (12+2*(7-4))/3^2
（ 2） 在上述表达式输入完成后, 按 【 Enter】 键,
该指令被执行 。
（ 3） 在指令执行后, MATLAB指令窗中将显示以
下结果 。
ans =
2
我们也可以将上述指令打在同一行，以,或
是 ; 分开，例如
>> r=2,area=pi*r^2
>> r=2; area=pi*r^2;
请注意上述二式的差异，前者有计算值显示，
而后者则无。
另外一个符号注解是由 %起头，也就是说在 %之后
的任何文字都被视为程式的注解。注解的功能是
简要的说明程式的内容，过多的注解在程式中或
许没有必要，但是我们写程式时往往用了太少的
注解。任何可能产生混淆的地方都应该加注解，
适量的注解可在以后想了解程式时能节省一些不
必要的时间。例如：
>> r=2; % 键入半径
>> area=pi*r^2; % 计算面积
四、变量和数值显示格式
1、变量
(1)变量名称
MATLAB对使用变量名称的规定：
1,变量名称的英文大小写是有区别的（ apple,
Apple,AppLe，三个变量不同）。
2,变量的长度上限为 31 个字元。
3,变量名的第一个字必须是一英文字，随后可
以掺杂英文字、数字或是底线。变量中不能
包含有标点符号。
(2)一些特殊的变量
以下列出 MATLAB所定义的特别变量及其意义
ans,用于结果的缺省变量名
i或 j, 虚数单位
pi, 内建的 π值
nargin,函数的输入变量个数
eps,MATLAB定义的正的极小值 =2.2204e-16
nargout,函数的输出变量个数
inf,∞值,无穷大
realmin,最小正实数
realmax,最大正实数
nan,无法定义一个数目,不定量
flops,浮点运算数
（ 3）变量操作
? 在命令窗口中，同时存储着输入的命令和创建的所
有变量值，它们可以在任何需要的时候被调用。如
要察看变量 a的值，只需要在命令窗口中输入变量
的名称即可：, a
2、数值显示格式
? 任何 MATLAB的语句的执行结果都可以在屏幕上显
示，同时赋值给指定的变量，没有指定变量时，赋
值给一个特殊的变量 ans，数据的显示格式由
format命令控制。
? format只是影响结果的显示，不影响其计算与存储；
MATLAB总是以双字长浮点数（双精度）来执行所
有的运算。
MATLAB可以将计算结果以不同的精确度的数字格式显示，我们可
以直接在指令视窗键入以下的各个数字显示格式的指令，以 π 值
为例,
>> pi
ans = 3.1416
>> format long
>> pi
ans = 3.14159265358979
>> format short e
>> pi
ans = 3.1416e+000
如果结果为整数，则显示没有小数；如果结果不是整数，
则输出形式有：
五、简单的数学运算 （例 exp02_01.m）
1、常用的数学运算符
? ＋,-,*（乘）,/（左除）,\（右除）,^（幂）
? 在运算式中,MATLAB通常不需要考虑空格；多
条命令可以放在一行中，它们之间需要用分号隔
开；逗号告诉 MATLAB显示结果，而分号则禁止
结果显示。
2、常用数学函数 abs,sin,cos,tan,sqrt,exp,imag,real,sign,
log,log10,conj,inv等
abs——取 x的绝对值，例如：
x=-4;
y=abs(x)
y = 4
sin——取 x的正弦值
cos ——取 x的余弦值
tan ——取 x的正切值
sqrt ——对 x开平方
exp ——取 x的自然指数
log——自然对数 ln(x)
log10——log10(x)
x+yi或 x+yj ——复数
imag ——复数的虚部
real ——复数的实部
angle——复数的相角
conj ——共扼复数
min(x) ——向量的最小值
max(x) ——向量的最大值
mean(x) ——向量的平均值
sum(x) ——向量的总和
sort(x) ——向量的排序
median(x) ——每个列向量的
中位数
inv ——矩阵的逆
六,MATLAB的工作空间
1,MATLAB的工作空间包含了一组可以在命令窗
口中调整（调用）的参数
?who：显示当前工作空间中所有变量的一个简单
列表，包括预设的计算结果的变数名
?whos：则列出变量的大小、数据格式等详细信息
?clear,清除工作空间中所有的变量
?clear 变量名：清除指定的变量
?clc,清除 MATLAB命令窗口中所有的信息
2、保存和载入 workspace
（ 1） save filename variables
?将变量列表 variables所列出的变量保存到磁
盘文件 filename中
?Variables所表示的变量列表中，不能用逗号，
各个不同的变量之间只能用空格来分隔。
?未列出 variables时，表示将当前工作空间中
所有变量都保持到磁盘文件中。
?缺省的磁盘文件扩展名为,.mat” 。
（ 2） load filename variables
? 将以前用 save命令保存的变量 variables从磁盘文件
中调入 MATLAB工作空间。
? 用 load 命令调入的变量，其名称为用 save命令保
存时的名称，取值也一样。
? Variables所表示的变量列表中，不能用逗号，各个
不同的变量之间只能用空格来分隔。
? 未列出 variables时，表示将磁盘文件中的所有变量
都调入工作空间。
3、退出工作空间
? quit 或 exit
七、文件管理
? 文件管理的命令，包括列文件名、显示或删除文件、显
示或改变当前目录等。（ what,dir,type,delete,cd、
which）
? what：显示当前目录下所有与 MATLAB相关的文件及它们
的路径。
? dir：显示当前目录下所有的文件
? which：显示某个文件的路径
? cd path：由当前目录进入 path目录
? cd,.：返回上一级目录
? cd：显示当前目录
? type filename：在命令窗口中显示文件 filename
? delete filename：删除文件 filename
八、使用帮助
1,help命令，在命令窗口中显示 help线上说明
MATLAB的所有函数都是以逻辑群组方式进行组织
的，而 MATLAB的目录结构就是以这些群组方式来
编排的。
? help matfun,矩阵函数－数值线性代数
? help general：通用命令
? help graphics：通用图形函数
? help elfun：基本的数学函数
? help elmat：基本矩阵和矩阵操作
? help datafun：数据分析和傅立叶变换函数
? help ops：操作符和特殊字符
? help polyfun：多项式和内插函数
? help lang：语言结构和调试
? help strfun：字符串函数
? help control：控制系统工具箱函数
2,helpwin：帮助窗口
3,helpdesk：帮助桌面，浏览器模式
4,lookfor命令：返回包含指定关键词的那些项
5,demo：打开示例窗口
九,其它功能
1.用 ↑↓二个游标键可以将所下过的指令叫回来重
覆使用。按下 ↑则前一次指令重新出现，之后
再按 Enter键，即再执行前一次的指令。而 ↓键
的功用则是往后执行指令。
2.在键盘上的几个键如 →,←,Delete等,其功能
则显而易见，试用即知无须多加说明。
3.键入 who可以查看所有定义过的变数名称。而
键入 clear则是去除所有定义过的变数名称；
如果只是要去除 x及 y 二个变数则可以键入
clear x y。
4.Ctrl-C（即同时按 Ctrl及 C二个键）可以用来
中止执行中的 MATLAB的工作。
5.命令窗口的分页输出
more off：不允许分页
more on：允许分页
more(n)：指定每页输出的行数
回车键 前进一行
空格键 显示下一页
q键 结束当前显示
? MATLAB的运算事实上是以阵列 (array) 及矩阵 (matrix) 方
式在做运算，而这二者在 MATLAB的基本运算性质不同，
阵列强调元素对元素的运算，而矩阵则采用线性代数的运
算方式。
? 宣告一变数为阵列或是矩阵时，如果是要个别键入元素，
须用中括号 [ ] 将元素置于其中。阵列为一维元素所构成，
而矩阵为多维元素所组成，例如,
一、简易阵列
2.2 MATLAB阵列与 矩阵
>> x = [1 2 3] % 一维 1x3 阵列
>> x = [1 2 3; 4 5 6] % 二维 2x3 矩阵，以 ;区隔各行的元素
>> x = [1 2 3 % 二维 2x3 矩阵，各行的元素分二行键入
4 5 6]
假设要计算 y = sin (x),x = 0,0.2π,
0.4π,...,π,即可用阵列方式运算，例如
>> x = [0 0.2*pi 0.4*pi 0.6*pi 0.8*pi pi]
% 注意阵列内也可作运算
x =
0 0.6283 1.2566 1.8850 2.5133 3.1416
>> y=sin(x)
y =
0 0.5878 0.9511 0.9511 0.5878 0.0000
? 要找出阵列的某个元素或数个元素，可参考以下的例子
>> x(3) % 第三个 x的元素
ans =
1.2566
>> y(5) % 第五个 y的元素
ans =
0.5878
>> x(1:5) % 列出第一到第五个 x的元素
ans =
0 0.6283 1.2566 1.8850 2.5133
>> y(3:-1:1) % 列出第三到第一个 y的元素,3为起始值,1
为终止值,-1为增量
ans =
0.9511 0.5878 0
>> x(2:2:6) % 列出第二到第六个 x的元素,2为起始值,6
为终止值,2为增量
ans =
0.6283 1.8850 3.1416
>> y([4 2 5 1]) % 列出 y元素，排列元素依序为原来 y阵列
的 4,2,5,1个
ans =
0.9511 0.5878 0.5878 0
2.建立阵列
前一节提到阵列产生的方式须个别键入其元素，这
方法只适用于阵列元素很少时。如果要建立的阵列
的元素多达数百个，则须采用以下几种方式
>> x=(0:0.02:1) % 以,区隔起始值 =0、增量值 =0.02、
终止值 =1
>> x=linspace(0,1,51) % 利用 linspace，以区隔起
始值 =0终止值 =1之间的元素数目 =51
>> x=(0:0.01:1)*pi % 注意阵列外也可作运算
>> a=1:5,b=1:2:9 % 这二种方式更直接
a = 1 2 3 4 5
b = 1 3 5 7 9
>> c=[b a] % 可利用先前建立的阵列 a 及阵列
b,组成新阵列
c = 1 3 5 7 9 1 2 3 4 5
>> d=[b(1:2:5) 1 0 1] % 由阵列 b 的三个元素
再加上三个元素组成
d = 1 5 9 1 0 1
3.阵列运算
以下将阵列的运算符号及其意义列出，除了加减
符号外其余的阵列运算符号均须多加, 符号。
阵列运算功能
+ 加
- 减
.* 乘
./ 左除
.^ 次方
.‘ 转置
>> a=1:5; a-2 % 从阵列 a减 2
ans =
-1 0 1 2 3
>> 2*a-1 % 以 2乘阵列 a再减 1
ans =
1 3 5 7 9
>> b=1:2:9; a+b % 阵列 a加阵列 b
ans =
2 5 8 11 14
>> a.*b % 阵列 a及 b中的元素与元素相乘
ans =
1 6 15 28 45
>> a./b % 阵列 a及 b中的元素与元素相除
ans =
1.0000 0.66667 0.6000 0.5714 0.5556
>> a.^2 % 阵列中的各个元素作二次方
ans =
1 4 9 16 25
>> 2.^a % 以 2为底，以阵列中的各个元素为次方
ans =
2 4 8 16 32
>> b.^a % 以阵列 b中的各个元素为底，以阵列 a中的各个
元素为次方
ans =
1 9 125 2401 59049
>> b=a' % 阵列 b是阵列 a的转置结果
b =
1
2
3
4
5
4.阵列运算的特色
MATLAB 在许多运算皆是以阵列为对象，即
是以阵列的元素为对象。因此除了,+”,“-,这
二个运算外，其余的运算符号（乘、除、次方）
皆须加上,.”来强调阵列之间的运算。以下
几个例子可以说明阵列运算的特色。如果 a,b
各代表二个不同的阵列,a与 b 之间的运算是
元素对元素的方式，例如,
a=[a1,a2,…,a n] b=[b1,b2,…,b n]
a.*b=[a1*b1,a2*b2,…,a n*bn]
a/b.=[a1/b1,a2/b2,…,a n/bn]
几个例子如下：
>> x = 1.5; % x 是纯量
>> y = exp(x^2); % exp(x^2) 是纯量运算
>> y1 = x/y % x/y 是纯量运算
>> x = 1:0.1:2; % x 是阵列
>> y = exp(x.^2); % exp(x.^2) 是阵列运算
>> y1= x./y % x./y 是阵列运算
须注意纯量与阵列运算的差别，例如
>> x=2.0 % x 是一纯量
>> num = x^3 - 2*x^2 + x - 6.3;
>> den = x^2 + 0.05*x - 3.14;
>> f = num/den
>> x=1:5; % 注意 x 是一阵列
>> num = x.^3 - 2*x.^2 + x - 6.3;
>> den = x.^2 + 0.05*x - 3.14;
>> f = num./den
1、转置：对于实矩阵用（’）符号或（,’）求转置结果是一
样的；然而对于含复数的矩阵，则（’）将同时对复数进
行共轭处理，而 （,’）则只是将其排列形式进行转置。
,a=[1 2 3;4 5 6]'
a =
1 4
2 5
3 6
,a=[1 2 3;4 5 6].'
a =
1 4
2 5
3 6
,b=[1+2i 2-7i]'
b = 1.0000 - 2.0000i
2.0000 + 7.0000i
,b=[1+2i 2-7i],'
b = 1.0000 + 2.0000i
2.0000 - 7.0000i
二、矩阵的运算
+ ； - ； * ； \和 / ； ^；,* ；,\ ；,/；,^
如,a=[1 2;3 4]； b=[ 3 5; 5 9]
,c=a+b d=a-b
,c= d=
4 7 -2 -3
8 13 -2 -5
,a*b=[13 23; 29 51]
,a/b=[-0.50 0.50;3.50 –1.50]%左除
,a\b=[-1 -1;2 3] %右除
,a^3=[37 54; 81 118]
,a.*b=[3 10;15 36]
,a./b=[0.33 0.40;0.60 0.44]
,a.\b=[3.00 2.50;1.67 2.25]
,a.^3= [1 8; 27 64]
2、四则运算与幂运算
? 只有维数相同的矩阵才能进行
加减运算。
? 注意只有当两个矩阵中前一个
矩阵的列数和后一个矩阵的行
数相同时，才可以进行乘法运
算。 a\b运算等效于求 a*x=b的
解；而 a/b等效于求 x*b=a的解。
只有方阵才可以求幂。
? 点运算是两个维数相同矩阵对
应元素之间的运算，在有的教
材中也定义为数组运算。
3、逆矩阵与行列式计算
求逆,inv(A)；
求行列式,det(A)
要求矩阵必须为方阵
4、矩阵超越函数
?在 MATLAB中 exp,sqrt等命
令也可以作用到矩阵上，但
这种运算是定义在矩阵的单
个元素上的，即分别对矩阵
的每一个元素进行计算。
?超越数学函数可以在函数后
加上 m而成为矩阵的超越函
数，例如,expm,sqrtm。矩
阵的超越函数要求运算矩阵
为方阵。
,a=[1 2 3; 4 5 6; 2 3 5];
,b=inv(a)
b = -2.3333 0.3333 1.0000
2.6667 0.3333 -2.0000
-0.6667 -0.3333 1.0000
,det(a)
ans = -3
A(m,n)：提取第 m行，第 n列元素
A(:,n)：提取第 n列元素
A(m,:)：提取第 m行元素
A(m1:m2,n1:n2)：提取第 m1行到第 m2行和第 n1列到第 n2列的所
有元素（提取子块）。
A(:)：得到一个长列矢量，该矢量的元素按矩阵的列进行排列。
矩阵扩展：如果在原矩阵中一个不存在的地址位置上设定一个数
（赋值），则该矩阵会自动扩展行列数，并在该位置上添加这
个数，而且在其他没有指定的位置补零。
消除子块：如果将矩阵的子块赋值为空矩阵 [ ]，则相当于消除了相
应的矩阵子块。
三、矩阵的操作
1、矩阵下标,MATLAB通过确认矩阵下标，可以对矩阵进行插入子
块，提取子块和重排子块的操作。例如：
2、矩阵的大小
[m,n]=size(A,x)：返回矩阵的行列数 m与 n，当 x=1，则
只返回行数 m，当 x=2，则只返回列数 n。
length(A)=max(size(A))：返回行数或列数的最大值。
rank(A)：求矩阵的秩
,a=[1 2 3;3 4 5];
,[m,n]=size(a)
m = 2
n = 3
,length(a)
ans = 3
,max(size(a))
ans = 3
,rank(a)
ans = 2
3.一些常用的特殊矩阵
单位矩阵,eye(m,n); eye(m)
零矩阵,zeros(m,n); zeros(m)
一矩阵,ones(m,n); ones(m)
对角矩阵：对角元素向量 V=[a1,a2,…,an]
A=diag(V)
随机矩阵,rand(m,n)产生一个 m× n的均匀分布的
随机矩阵
,eye(2,3)
ans=
1 0 0
0 1 0
,zeros(2,3)
ans=
0 0 0
0 0 0
,ones(2,3)
ans=
1 1 1
1 1 1
,V=[5 7 2]; A=diag(V)
A=
5 0 0
0 7 0
0 0 2
,eye(2)
ans=
1 0
0 1
,zeros(2)
ans=
0 0
0 0
,ones(2)
ans=
1 1
1 1
如果已知 A为方阵，则 V=diag(A)
可以提取 A的对角元素构成向量 V。
在 MATLAB里, 多项式由一个行向量表示, 它的系数
是按降序排列 。
例如, 多项式 x4－ 12x3＋ 0x2＋ 25x＋ 116
表示为,p=[1 -12 0 25 116]
注意：必须包括具有零系数的项 。 除非特别地辨认,
MATLAB无法知道哪一项为零 。
四、多项式处理
1.多项式的建立与表示方法
2.多项式的运算
（ 1） 根
找出多项式的根, 即多项式为零的值, 可能是许多学科共
同的问题 。 MATLAB用函数 roots找出一个多项式的根, 并
提供其它的多项式操作工具 。
? r=roots(p)
r = 11.7473
2.7028
-1.2251 + 1.4672i
-1.2251 - 1.4672i
因为在 MATLAB中, 无论是一个多项式, 还是它的根, 都
是向量, MATLAB按惯例规定, 多项式是行向量, 根是
列向量 。 给出一个多项式的根, 也可以构造相应的多项
式 。 在 MATLAB中, 命令 poly执行这个任务 。
?pp=poly(r)
pp = 1.0e+002 *
0.0100 -0.1200 0.0000 0.2500 1.1600 + 0.0000i
因为 MATLAB无隙地处理复数，当用根重组多项式时，
如果一些根有虚部，由于截断误差，则 poly的结果有一
些小的虚部，这是很普通的。消除虚假的虚部，如上所
示，只要使用函数 real抽取实部。
?pp=real(pp)
pp =1.0000 -12.0000 0.0000 25.0000 116.0000
（ 2） 乘法
函数 conv支持多项式乘法 (执行两个数组的卷积 )。 两个多
项式 a(x)=x3＋ 2x2＋ 3x＋ 4
和 b(x)= x3＋ 4x2＋ 9x＋ 16的乘积：
?a=[1 2 3 4] ; b=[1 4 9 16];
?c=conv(a,b)
c = 1 6 20 50 75 84 64
结果是 c(x)=x6＋ 6x5＋ 20x4＋ 50x3＋ 75x2＋ 84x＋ 64。
两个以上的多项式的乘法需要重复使用 conv。
（ 3） 加法
对多项式加法, MATLAB不提供一个直接的函数 。 如果两
个多项式向量大小相同, 标准的数组加法有效 。 把多项
式 a(x)与上面给出的 b(x)相加 。
?d=a+b
d = 2 6 12 20
结果是 d(x)= 2x3＋ 6x2＋ 12x＋ 20。 当两个多项式阶次不同,
低阶的多项式必须用首零填补, 使其与高阶多项式有同
样的阶次 。 考虑上面多项式 c和 d相加：
?e=c+[0 0 0 d]
e = 1 6 20 52 81 96 84
结果是 e(x)= x6＋ 6x5＋ 20x4＋ 52x3＋ 81x2＋ 96x＋ 84。
（ 4） 除法
在一些特殊情况, 一个多项式需要除以另一个多项式 。 在
MATLAB中, 这由函数 deconv完成 。 用上面的多项式 b
和 c
?[q,r]=deconv(c,b)
q = 1 2 3 4
r = 0 0 0 0 0 0 0
这个结果是 b被 c除, 给出商多项式 q和余数 r,在现在情况
下 r是零, 因为 b和 q的乘积恰好是 c。
5） 导数
由于一个多项式的导数表示简单, MATLAB为多项式求导
提供了函数 polyder。
?g
g = 1 6 20 48 69 72 44
?h=polyder(g)
h = 6 30 80 144 138 72
（ 6） 估值 (exp02_02.m)
根据多项式系数的行向量, 可对多项式进行加, 减, 乘,
除和求导, 也应该能对它们进行估值 。 在 MATLAB中,
由函数 polyval来完成 。
? x=linspace(-1,3) ; % choose 100 data points between -
1and 3.
?p=[1 4 -7 -10] ; % uses polynomial p(x) = x3＋ 4x2－ 7x
－ 10
?v=polyval(p,x) ;
计算 x值上的 p(x),把结果存在 v里 。 然后用函数 plot绘出结
果 。
?plot(x,v),title(' x^3+4x^2-7x-10 '),xlabel(' x ')
（ 7） 有理多项式
在许多应用中, 例如傅里叶 (Fourier),拉普拉斯 (Laplace)和
Z 变换, 出现 有 理多 项 式或 两 个多 项 式之 比 。 在
MATLAB中, 有理多项式由它们的分子多项式和分母多
项式表示 。 对有理多项式进行运算的两个函数是 residue
和 polyder。 函数 residue执行部分分式展开 。
?num=10*[1 2] ; %分子多项式
?den=poly([-1; -3; -4]) ;%分母多项式
?[res,poles,k]=residue(num,den)
结果是余数, 极点和部分分式展开的常数项 。 下面的结果
说明了该问题：
10 2
1 3 4
6 6667
4
5
3
1 6667
1 0
( )
( )( )( )
.,s
s s s s s s
?
? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ?
五,曲线拟合
在大量的应用领域中, 人们经常面临用一个解析函数描
述数据 (通常是测量值 )的任务 。 对这个问题有两种方法 。
一种为插值法, 数据假定是正确的, 要求以某种方法描述
数据点之间所发生的情况 。
0 0, 2 0, 4 0, 6 0, 8 1
-2
0
2
4
6
8
10
12
x
y
=
f(
x
)
S e c o n d O r d e r C u r v e F i t t i n g
另一种方法是曲线拟合或回归,
其目的就是在众多的样本点中进
行拟合, 找出满足样本点分布的
多项式 。 这在分析实验数据, 将
实验数据做解析描述时非常有用 。
人们设法找出某条光滑曲线, 它
最佳地拟合数据, 但不必要经过
任何数据点 。 exp02_03_1.m
? 曲线拟合涉及回答两个基本问题,最佳拟合 意味着什
么？ 应该用什么样的曲线？
? 可用许多不同的方法定义 最佳拟合, 并存在无穷数目
的曲线 。
? 当 最佳拟合 被解释为在数据点的最小误差平方和, 且
所用的曲线限定为多项式时, 那么曲线拟合是相当简
捷的 。 数学上, 称为多项式的最小二乘曲线拟合 。 对
各数据点距离求平方, 并把平方距离全加起来, 就是
误差平方和 。 使误差平方和尽可能小的曲线, 即是 最
佳拟合 。 最小二乘这个术语仅仅是使误差平方和最小
的省略说法 。
? 在 MATLAB中, 用函数 polyfit求解最小二乘曲线拟合问
题 。
p=polyfit(x,y,n)，其中 x和 y为样本点向量,n为所求多项
式的阶数,p为求出的多项式。 例如,exp02_03_2.m
?x=[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 1];
? y=[-.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48
9.30 11.2];
为了用 polyfit,须给函数赋予上面的数据和希望最佳拟合
数据的多项式的阶次或度 。 如果选择 n=1作为阶次, 得
到最简单的线性近似 。 通常称为线性回归 。, 如果选择
n=2作为阶次, 得到一个 2阶多项式 。 现在, 选择一个 2
阶多项式 。
?n=2; % polynomial order
?p=polyfit(x,y,n)
p = -9.8108 20.1293 -0.0317
polyfit 的输出是一个多项式系数的行向量 。 其解是 y = － 9.8108x2
＋ 20.1293x－ 0.0317。 为了将曲线拟合解与数据点比较, 我们把二
者都绘成图 。
? xi=linspace(0,1,100); %x-axis data for plotting
? z=polyval(p,xi);
为了计算在 xi数据点的多项式值, 调用 MATLAB的函数 polyval。
? plot(x,y,' o ',x,y,xi,z,', ' )
画出原始数据 x和 y,用 'o'标出该数据点, 在数据点之间, 再用
直线重画原始数据, 并用点 ', '线, 画出多项式数据 xi和 z。
?xlabel(' x '),ylabel(' y=f(x) '),title(' Second Order Curve Fitting ')
将图作标志 。
? 多项式阶次的选择是有点任意的 。 两点决定一直线或一
阶多项式 。 三点决定一个平方或 2阶多项式 。 按此进行,
n+1数据点唯一地确定 n阶多项式 。 于是, 在上面的情况
下, 有 11个数据点, 我们可选一个高达 10阶的多项式 。
然而, 高阶多项式给出很差的数值特性, 人们不应选择
比所需的阶次高的多项式 。 此外, 随着多项式阶次的提
高, 近似变得不够光滑, 因为较高阶次多项式在变零前,
可多次求导 。 例如, 选一个 10阶多项式 exp02_03_3.m
? 将这个解作图, 并把此图与原始数据及 2阶曲线拟合相比
较 。 可以看到, 在 10阶拟合中, 在左边和右边的极值处,
数据点之间出现大的纹波 。 当企图进行高阶曲线拟合时,
这种纹波现象经常发生 。 显然,, 越多就越好, 的观念
在这里不适用 。
六,多项式插值
?多项式插值是指根据给定的有限个样本点，产生
另外的估计点以达到数据更为平滑的效果。该技
巧在信号处理与图像处理上应用广泛。
?插值定义为对数据点之间函数的估值方法, 这些
数据点是由某些集合给定 。 当人们不能很快地求
出所需中间点的函数值时, 插值是一个有价值的
工具 。 例如, 当数据点是某些实验测量的结果或
是过长的计算过程时, 就有这种情况 。
? 最简 单插 值 的例 子是 MATLAB 的 作图 。 按缺省,
MATLAB用直线连接所用的数据点以作图 。 这个线性插
值猜测中间值落在数据点之间的直线上 。 当然, 当数据
点个数的增加和它们之间距离的减小时, 线性插值就更
精确 。 例如 exp02_04_01.m
? 作 sine函数的两个图, 一个在数据点之间用 60个点, 它
比另一个只用 6个点更光滑和更精确 。
? 如曲线拟合一样，插值要作决策。根据所作的假设，有
多种插值。而且，可以在一维以上空间中进行插值。即
如果有反映两个变量函数的插值,z=f(x,y)，那么就可在
x之间和在 y之间，找出 z的中间值进行插值。 MATLAB
在一维函数 interp1和在二维函数 interp2中, 提供了许多
的插值选择。
? 所用指令有一维的 interp1、二维的 interp2、三维的
interp3。这些指令分别有不同的方法（ method），设
计者可以根据需要选择适当的方法，以满足系统属性
的要求。 Help polyfun可以得到更详细的内容。
（ 1）一维插值 y=interp1(xs,ys,x,’method’)
? 在有限样本点向量 xs与 ys中，插值产生向量 x和 y，所
用方法定义在 method中，有 4种选择：
? nearest：执行速度最快，输出结果为直角转折
? linear：默认值，在样本点上斜率变化很大
? spline：最花时间，但输出结果也最平滑
? cubic：最占内存，输出结果与 spline差不多
（ 2）二维插值 y=interp2(xs,ys,zs,xi,yi,’method’)
xs,ys,zs是进行插值的基准数据； xi,yi是待求插补函数值 y
的自变量对组； Method是插值方法名。 xs,ys必须满足：
A、同维矩阵；
B、矩阵中的元素，无论行向还是列向，都必须单调排列；
C,xs,ys 是“经纬”格式矩阵（即 xs阵每一行的元素依次单调排列，
而任何两行都相同； ys阵每一列的元素依次单调排列，而任何两
列都相同）
? xi,yi允许有两种不同格式：
A,xi,yi是“经纬”格式矩阵
B,xi,yi也可以是向量，但 xi,yi均必须取单调行或列向量。可以借助
meshgrid指令，只要给定两个自变量的分度向量 w,d,通过
[xi,yi]=meshgrid(w,d)即可得到符合要求的 经纬”格式矩阵 xi,yi
(3)插值举例
A,一维插值 exp02_04_02.m exp02_04_03.m
?假设 12小时内, 一小时测量一次室外温度, 数据
存储在两个 MATLAB变量中 。
B,二维插值
?二维插值是基于与一维插值同样的基本思想 。 二
维插值是对两变量的函数 z=f(x,y) 进行插值 。
exp02_04_04.m
? 假设有一组海底深度测量数据, 要求采用插值方式绘制
海底形状图 。
七,关系和逻辑运算
? MATLAB的运算符有三种类型：算术运算符、关系运
算符、逻辑运算符。它们的处理顺序依次为算术运算
符、关系运算符、逻辑运算符。在前面我们已经介绍
例算术运算符，这里我们着重介绍后两种运算符。
? 除了传统的数学运算, MATLAB支持关系和逻辑运算 。
这些操作符和函数的目的是提供求解真 /假命题的答案 。
一个重要的应用是控制基于真 /假命题的一系列 MATLAB
命令 （ 通常在 M文件中 ） 的流程, 或执行次序 。
? 作为所有关系和逻辑表达式的输入, MATLAB把任何非
零数值当作真, 把零当作假 。 所有关系和逻辑表达式
的输出, 对于真, 输出为 1；对于假, 输出为零 。
1 关系操作符
MATLAB关系操作符包括所有常用的比较 。
< 小于
< = 小于或等于
> 大于
> = 大于或等于
= = 等于
关系操作符 说明
~ = 不等于
MATLAB关系操作符能用来比较两个同样大小的数组, 或用
来比较一个数组和一个标量 。 在后一种情况, 标量和数
组中的每一个元素相比较, 结果与数组大小一样 。 下面
给出几个示例：
? A=1:9,B=9-A
A =1 2 3 4 5 6 7 8 9
B =8 7 6 5 4 3 2 1 0
? tf=A>4
tf =0 0 0 0 1 1 1 1 1
找出 A中大于 4的元素 。 0出现在 A<=4的地方, 1出现在 A>4
的地方 。
? tf=(A= =B)
tf =0 0 0 0 0 0 0 0 0
找出 A中的元素等于 B中的元素 。 注意, =和 = =意味着两种
不同的事,= = 比较两个变量, 当它们相等时返回 1，
当它们不相等时返回 0；在另一方面, = 被用来将运算
的结果赋给一个变量 。
? tf=B-(A>2)
tf =8 7 5 4 3 2 1 0 -1
找出 A>2,并从 B中减去所求得的结果向量 。 这个例子说明,
由于逻辑运算的输出是 1和 0的数组, 它们也能用在数学
运算中 。
? B=B+(B==0)*eps
B =8.0000 7.0000 6.0000 5.0000 4.0000 3.0000
2.0000 1.0000 0.0000
这是一个演示, 表明如何用特殊的 MATLAB数 eps来代替在
一个数组中的零元素, eps近似为 2.2e-16。 这种特殊的
表达式在避免被 0除时是很有用的 。 例如：
? x=(-3:3)/3
x =-1.0000 -0.6667 -0.3333 0 0.3333 0.6667
1.0000
? sin(x)./x
Warning,Divide by zero
ans =0.8415 0.9276 0.9816 NaN 0.9816 0.9276
0.8415
由于第四个数据是 0, 计算函数 sin(x)/x时给出了一个警告 。
由于 sin(0)/0是没定义的, 在该处 MATLAB结果返回 NaN。
用 eps替代 0以后, 再试一次,
? x=x+(x==0)*eps;
? sin(x)./x
ans=0.8415 0.9276 0.9816 1.0000 0.9816 0.9276 0.8415
2 逻辑操作符
逻辑操作符提供了一种组合或否定关系表达式 。
MATLAB逻辑操作符包括：
表 2
& 与
| 或
逻辑操作符 说明
~ 非
逻辑操作符用法的一些例子有：
? A=1:9;B=9-A;
? tf=A>4 %找出 A大于 4
tf =0 0 0 0 1 1 1 1 1
? tf=~(A>4) %对上面的结果取非, 也就是 1替换 0,0替换 1
tf =1 1 1 1 0 0 0 0 0
? tf=(A>2)&(A<6) %在 A大于 2‘与 ’ A小于 6处返回 1
tf =0 0 1 1 1 0 0 0 0
上面的功能易于产生数组来表示不连续信号, 或由多段其
他信号所组成的信号 。 基本想法是, 把数组中要保持的
那些值与 1 相乘, 所 有 其 他 值 与 0 相乘 。 例如
(exp02_04_05.m)
3 关系与逻辑函数
除了上面的关系与逻辑操作符, MATLAB提供了大量的其他关系与
逻辑函数, 包括：
xor(x,y) 异或运算 。 x或 y非零 (真 )返回 1,x和 y都是零 (假 )或都
是非零 (真 )返回 0。
any(x) 如果在一个向量 x中, 任何元素是非零, 返回 1；矩阵 x
中的每一列有非零
元素, 返回 1。
其 他 关 系 与 逻 辑 函 数
all(x) 如果在一个向量 x中, 所有元素非零, 返回 1；矩阵 x中
的每一列所有元素
非零, 返回 1。
4 NaNs和空矩阵
NaNs和空矩阵 ([ ])要求在 MATLAB中作特殊处理, 特别是
用在逻辑或关系表达式里 。 例如,
? a=[1 2 nan inf nan]
a = 1 2 NaN Inf NaN
? b=2*a
b = 2 4 NaN Inf NaN
? c=sqrt(a)
c = 1.0000 1.4142 NaN Inf NaN
? d = (a= =nan)
d = 0 0 0 0 0
? f = (a~ =nan)
f = 1 1 1 1 1
上面的第一和第二计算式对 NaN输入给出 NaN结果 。 然而,
最后两个计算式当 NaN与 NaN相比较时, (a= =nan)产生
全部为 0或假的结果, 同时 (a~ =nan)产生全部 1或真值 。
于是, 单个 NaNs相互不相等 。 由于 NaNs的这种特性,
MATLAB有一个内置逻辑函数寻找 NaNs。
? g=isnan(a)
g = 0 0 1 0 1
这个函数用 find命令能找出 NaNs的下标值 。 例如,
? i=find(isnan(a))
i = 3 5
? a(i)=zeros(size(i)) % changes NaNs in a to
zeros
a = 1 2 0 Inf 0
空矩阵由 MATLAB的生成器确定, 并有它自己的特性 。 空矩阵
是 MATLAB大小为零的变量 。
? size([ ])
ans = 0 0
当没有合适的结果时, MATLAB中许多函数返回空矩阵 。 如
? x=(1:5)-3 % new data
x = -2 -1 0 1 2
? y=find(x>2)
y = [ ]
在这个例子里, x没有包含大于 2的值, 所以没有返回下标 。
为了测试空结果, MATLAB提供了逻辑函数 isempty。
? isempty(y)
ans = 1
八,MATLAB数据处理
1、矩阵分解
（ 1）奇异值分解
[U,S,V]=svd(A)
例,a =
9 8
6 8
可以验证：
u*u’=I
v*v’=I
u*s*v’=a
求矩阵 A的奇异值及分解矩阵，满足
U*S*V’=A，其中 U,V矩阵为正交矩
阵（ U*U’=I）,S矩阵为对角矩阵，
它的对角元素即 A矩阵的奇异值。
[u,s,v]=svd(a)
u =
0.7705 -0.6375
0.6375 0.7705
s =
15.5765 0
0 1.5408
v =
0.6907 -0.7231
0.7231 0.6907
（ 2）特征值分解
[V,D]=eig(A)
例,a =
9 8
6 8
[v,d]=eig(a)
v =
0.7787 -0.7320
0.6274 0.6813
d =
15.4462 0
0 1.5538
求矩阵 A的特征向量 V及特
征值 D，满足 A*V=V*D。
其中 D的对角线元素为特
征值,V的列为对应的特
征向量。如果 D=eig(A)则
只返回特征值。
（ 3）正交分解
[Q,R]=qr(A)
例,a =
9 8
6 8
[q,r]=qr(a)
q =
-0.8321 -0.5547
-0.5547 0.8321
r =
-10.8167 -11.0940
0 2.2188
将矩阵 A做正交化分解，使得
Q*R=A，其中 Q为正交矩阵
（其范数为 1，指令 norm(Q)=1)，
R为对角化的上三角矩阵。
norm(q)
ans =
1
q*r
ans =
9.0000 8.0000
6.0000 8.0000
（ 4）三角分解
[L,U]=lu(A)
? 将 A做对角线分解，使得
A=L*U,其中 L为下三角矩阵，
U为上三角矩阵。
例,a=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]
[l,u]=lu(a)
l =
0.14 1.00 0
0.57 0.50 1.00
1.00 0 0
u =
7.00 8.00 9.00
0 0.86 1.71
0 0 0.00
2,常微分方程数值解
? 只包含一个自变量的微分方程是 常微分方程 （ Ordinary
Differential Equations,ODE） 。 当常微分方程式能解
析求解时, 可用 MATLAB的符号工具箱中的功能找到精确
解 。
? 在微分方程难以获得解析解的情况下, 可在数值上求解 。
根据微分方程组, 可用 MATLAB的函数 ode23和 ode45求出
系统随时间变化的运动情况 。
[t,x]=ode23(‘f_name’,to,tf,xo,tol)
[t,x]=ode45(‘f_name’,to,tf,xo,tol)
? 两个函数都运用了基本的龙格 -库塔 (Runge-Kutta)数值积
分法的变形 。 ode23运用一个组合得 2/3阶龙格 -库塔 -芬尔
格 (Runge-Kutta-Fehlerg)算法, 而 ode45运用组合的 4/5阶
龙格 -库塔 -芬尔格算法 。
(Exp02_04_06.m)
采用简洁格式的 ODE文件和解算指令，研究围绕地球旋转
的卫星轨道。构成的一阶微分方程组为
Y=[y1 y2 y3 y4]T=[x y vx vy]T=[x y x' y']T，
则
初始条件为
Y(0)=[x(0) 0 0 vy(0)]T
(exp02_04_07.m)
计算卫星经过近地点和远地点的时间, 并在图上标志 。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
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?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
2
3
2
3
)(
)(
)(
22
2
22
1
4
3
4
3
2
1
yx
y
GM
yx
y
GM
y
y
y
y
y
y
tY
E
E
3,常微分方程的符号解
符号数学是以符号 （ 如 a,b,c,d,x,y,z） 为对象的数学 。 区
别于以数字为对象的 MATLAB基本部分 。 符号表达式是代
表数字, 函数, 算子和变量的 MATLAB字符串, 或字符串
数组 。 不要求变量有预先确定的值, 符号方程式是含有
等号的符号表达式 。 符号算术是使用已知的规则和给定
符号恒等式求解这些符号方程的实践, 它与代数和微积
分所学到的求解方法完全一样 。 符号矩阵是数组, 其元
素是符号表达式 。
? 符号计算的特点是：运算以推理解析的方式进行, 因此
不受计算误差累积问题困扰；计算或给出完全正确的封
闭解, 或给出任意精度的数值解；指令调用简单；计算
所需时间较长 。
符号数学式的基本表示方法
MATLAB中, 如果键入
f=3*x^2+5*x+2或
y=sin(x)
系统会指出 Undefined function or variable 'x'.
变量 x无定义, 因为它要求 x必须是一个数； MATLAB也可以
接受形为 f=‘3*x^2+5*x+2’,或 y=‘sin(x)’的语句, 这时 f
和 y都是一个字符串, 但它没有任何含义 。 因为它对字符
串个的内容不作任何分析 。
符号数学工具箱必须要能分析字符串的含义, 为此, 符号
数学式的基本表示方法是：首先要对符号变量作出定义 。
用语句
x＝ sym(‘x’)；
就定义了 x是一个字符 (串 )变量, 此后键入的算式
f=3*x^2+5*x+2,或 y=sin(x)就具有了符号函数
的意义, 连表明字符串的引号都可省略, f和 y也
成为字符 (串 )变量 。
如果一个数学符号表示式中有多个符号, 如
z＝ a*t^2+b*t+c
可以用简化的多个符号变量定义语句放在此表示式
的前面 。
syms a,b,c,t
?求解常微分方程的符号法和数值法有很好的互补
作用 。
?MATLAB中, 函数 dsovle计算常微分方程的符号解,
一般格式为
S=dsovle(‘D_1',‘D_2',…,‘D_n')
dsovle句法与大多数其它函数有一些不同，用字母
D来表示求微分,D2,D3等等表示重复求微分，
并以此来设定方程。任何 D后所跟的字母为因变
量。方程 =0用符号表达式 D2y=0来表示。独立变
量可以指定或缺省。
例如, 一阶方程 dy/dx=1+y^2的通解为：
>> dsolve( ' Dy=1+y^2 ' )
ans= -tan(-x+C1)
其中, C1是积分常数 。 求解初值 y(0)=1的同一个方程就可
产生：
>> dsolve(' Dy=1+y^2 ',' y(0)=1 ')
y= tan(x+1/4*pi)
独立变量可用如下形式指定：
>> dsolve(' Dy=1+y^2 ',' y(0)=1 ',' v ')
ans= tan(v+1/4*pi)
例如, 二阶方程 的通解为：
>> y=dsolve( 'D2y-2Dy-3*y=0 ')
y=-2/3+C1*sinh(3^(1/2)*t)+C2*cosh(3^(1/2)*t)
(exp02_04_08.m)
求 dx/dt=y,dy/dt=-x的解
(exp02_04_09.m)
画出微分方程 y=xy’-(y’)2的通解和特解的关系。
(exp02_04_10.m)
求解两点边值问题,xy''-3y'=x2,y(1)=0,y(5)=0 。
(exp02_04_11.m)
求解边值问题：
df/dx=3f+4g,dg/dx=-4f+3g,f(0)=0,g(0)=1的解。
03222 ??? ydxdydx yd
4、数据分析
（ 1） 求零点 fzero(),
? 在许多应用中, 需寻找函数过零或等于其它常数的点 。 MATLAB提
供了该问题的数值解法 ——函数 fzero。
? fzero不仅能寻找零点, 还可以寻找函数等于任何常数值的点 。
例如, 为了寻找 f(x)=c的点, 定义函数 g(x)=f(x)-c,然后, 在
fzero中使用 g(x),就会找出 g(x)为零的 x值, 它发生在 f(x)=c
时 。
? MATLAB中基本格式为,z=fzero(fun,x0)
其中 fun是函数名, x0表示零点初始猜测 。 当 x0取标量时, 指令在
它两侧寻找一个与之最靠近的零点；当 x0取二元向量 [a,b]时指
令将在区间内寻找零点 。 一般步骤：
① 利用 MATLAB作图指令获取初步近似解；
② 求任意一元函数零点的精确解；
（ exp02_04_12.m ） 求 y=2e-xsin(x)的零点 。
（ 2） 求极值,fminbnd,fminbnds
在许多应用中, 需确定函数的极值, 即 最大值 （ 峰值 ） 和
最小值 （ 谷值 ） 。 数学上, 可通过确定函数导数 （ 斜率 ）
为零的点, 解析上求出这些极值点 。 然而, 即使很多容
易求导的函数, 也常常很难找到导数为零的点 。 在这种
情况下, 必须数值上寻找函数的极值点 。 MATLAB提供
了两个完成此功能的函数 fminbnd和 fminbnds。 这两个
函数分别寻找一维或 n维函数的最小值 。 因为 f(x)的最大
值等于 -f(x)的最小值, 所以, 上述 fminbnd和 fminbnds
可用来求最大值和最小值 。 把上述图形倒过来看, 在这
个状态下, 峰值变成了谷值, 而谷值则变成了峰值 。
(exp02_04_13.m )求 y=2e-xsin(x)的最小值和最大值 。
（ 3） 频谱分析 （ fft）, y=FFT(x)
在 MATLAB 中, 函数 fft计算一个信号的离散富里叶
（ Fourier） 变换 。
分析连续信号的富里叶变换的问题 （ exp02_04_14.m ）
解析上, 该富里叶变换为：
下面的 MATLAB语句用 FFT估计 Fp(w),并且用图形把所得
到结果与上面的解析表达式的结果 Fa(w)进行比较 。
f t e
t
( ) ? ???
?
?12
0
3 t 0
t < 0
jwwF ?? 3
2)(
（ 4） 数据分析函数
由于 MATLAB面向矩阵, 所以它很容易对数据集合进行统计
分析 。 按规定, 数据集存储在面向列的矩阵里 。 也就是,
一个矩阵的每一列代表不同的被测变量, 每一行代表各
个样本或观察值 。 例如 （ exp02_04_15.m）
记录一个月 31天的三城市每日高温 (单位为 0C),变量 temps
中每一行包含了给定一天的高温；每一列包含不同城市
的高温 。
在 MATLAB里的数据分析是按面向列矩阵而进行的 。 不同的
变量存储在各列中, 而每行表示每个变量的不同观察 。
MATLAB统计函数包括：
corrcoef(x) 求相关系数
cov(x) 协方差矩阵
histogram(x) 直方图和棒图
max(x),max(x,y) 最大分量
mean(x) 均值或列的平均值
min(x),min(x,y) 最小分量
prod(x) 列元素的积
数 据 分 析 函 数
sum(x) 各列的元素和
（ 5） 数值积分运算
MATLAT提供了在有限区间内, 数值计算某函数下的积
分或面积的三种函数,trapz,quad和 quadl。
trapz通过计算若干梯形面积的和来近似某函数的积
分 ;
quad和 quadl是基于数学上的正方形概念来计算函数
的面积, 这些积分函数的操作方式一样 。 为获得更
准确的结果, 两个函数在所需的区间都要计算被积
函数 。 此外, 与简单的梯形比较, 这两个函数进行
更高阶的近似, 而且 quadl比 quad更精确 。 这两个
函数的调用格式：
q=quad(fun,a,b,tol)
q=quadl(fun,a,b,tol)
其中, fun为被积函数；
a,b分别为积分的上限和下限；
tol控制绝对误差, 省缺取值绝对精度为 10-6。
s=dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol)（ 二重积分 ）
ss=triplequad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,zmin,zmax,tol)
（ 三重积分）
（ exp02_04_16.m）
求
dxeI x? ?? 10 2
（ exp02_04_17.m）
计算
和
? ? ??????? 21 1001 dydxxS yx
? ? ??????? 10 2112 dydxxS yx
2.3 绘图简介
? MATLAB提供了丰富的绘图功能
help graph2d可得到所有画二维图形的命令
help graph3d可得到所有画三维图形的命令
1、基本的 二维图形 绘图命令
plot（ x1,y1,option1,x2,y2,option2,… ）
x1,y1给出的数据分别为 x,y轴坐标值,option1为选项参数，以逐点连
折线的方式绘制 1个二维图形；同时类似地绘制第二个二维图形等等。
这是 plot命令的完全格式，在实际应用中可以根据需要进行简化。如：
plot(x,y)； plot(x,y,option)
选项参数 option定义了图形曲线的颜色、线型及标示符号，它由一对
单引号括起来。
例 exp02_05.m exp02_06.m
2、选择图像
figure（ 1）； figure（ 2）； … ； figure(n)
打开不同的图形窗口，以便绘制不同的图形。
3,grid on：在所画出的图形坐标中加入栅格
grid off：除去图形坐标中的栅格
4,hold on：把当前图形保持在屏幕上不变，同时
允许在这个坐标内绘制另外一个图形。
hold off：使新图覆盖旧的图形
例 exp02_07.m exp02_08.m
6、文字标示
?text(x,y,’字符串’ )
在图形的指定坐标位置 (x,y)处，标示单引号括起来
的字符串。
?gtext(‘字符串’ )
利用鼠标在图形的某一位置标示字符串。
5,设定轴的范围
axis（ [xmin xmax ymin ymax]） 例 exp02_09.m
axis(‘equal’)：将 x坐标轴和 y坐标轴的单位刻度大小
调整为一样。
?title(‘字符串’ )
在所画图形的最上端显示说明该图形标题的字符串。
?xlabel(‘字符串’ ),ylabel(‘字符串’ )
设置 x,y坐标轴的名称。
?输入特殊的文字需要用反斜杠（ \）开头。
7,legend(‘字符串 1’,‘字符串 2’,…,‘ 字符串 n’)
?在屏幕上开启一个小视窗，然后依据绘图命令的
先后次序，用对应的字符串区分图形上的线。
例 exp02_10.m
9,semilogx：绘制以 x轴为对数坐标（以 10为底）,y轴为线
性坐标的半对数坐标图形。
semilogy：绘制以 y轴为对数坐标（以 10为底）,x轴为线
性坐标的半对数坐标图形。 例 exp02_12.m
8,subplot（ mnk）,分割图形显示窗口,m:上下分割数，
n:左右分割数,k:子图编号 例 exp02_11.m
10、应用型绘图指令：用于数值统计分析或离散 数据处理
bax（ x,y）；绘制 y对应于 x的高度条形图
hist（ y,x） ；绘制 y对应于 x的个数条形图
stairs（ x,y）；绘制 y对应于 x的梯形图
stem（ x,y） ；绘制 y对应于 x的散点图 exp02_13.m
?对于图形的属性编辑同样可以通过在图形窗口上
直接进行。
?但图形窗口关闭之后编辑结果不会保存
11、一点补充说明
一,MATLBA程序的基本设计原则
1、％后面的内容是程序的注解，要善于运用注解使
程序更具可读性。
2、养成在主程序开头用 clear指令清除变量的习惯，
以消除工作空间中其他变量对程序运行的影响。
但注意在子程序中不要用 clear。
3、参数值要集中放在程序的开始部分，以便维护。
要充分利用 MATLAB工具箱提供的指令来执行所
要进行的运算，在语句行之后输入分号使其及中
间结果不在屏幕上显示，以提高执行速度。
2.4 MATLAB程序设计入门
4,input指令可以用来输入一些临时的数据；而对于
大量参数，则通过建立一个存储参数的子程序，在
主程序中用子程序的名称来调用。
5、程序尽量模块化，也就是采用主程序调用子程序的
方法，将所有子程序合并在一起来执行全部的操作。
6、充分利用 Debugger来进行程序的调试（设置断点、
单步执行、连续执行），并利用其他工具箱或图形
用户界面（ GUI）的设计技巧，将设计结果集成到
一起。
7、设置好 MATLAB的工作路径，以便程序运行。
8,MATLAB程序的基本组成结构
％说明
清除命令：清除 workspace中的变量和图形（ clear,close）
定义变量：包括全局变量的声明及参数值的设定
逐行执行命令：指 MATLAB提供的运算指令或工具箱
… … … 提供的专用命令
控制循环,包含 for,if then,switch,while等语句
逐行执行命令
… … …
end
绘图命令：将运算结果绘制出来
? 当然更复杂程序还需要调用子程序，或与 simulink以及其
他应用程序结合起来。
? 进入 MATLAB的 Editor窗口来编辑程序
? 在编辑环境中，文字的不同颜色显示表明文字的不同属性。
绿色：注解；黑色：程序主体；红色：属性值的设定；蓝
色：控制流程。
? 在运行程序之前，必须设置好 MATLAB的工作路径，使得
所要运行的程序及运行程序所需要的其他文件处在当前目
录之下，只有这样，才可以使程序得以正常运行。否则可
能导致无法读取某些系统文件或数据，从而程序无法执行。
? 通过 cd指令在命令窗口中可以更改、显示当前工作路径。
? 通过路径浏览器（ path browser）也可以进行设置
二,M文件的编辑及 MATLAB工作路径的设置
2、程序文件
? 以,m格式进行存取，包含一连串的 MATLAB指令和必要的注解。需
要在工作空间中创建并获取变量，也就是说处理的数据为命令窗口
中的数据，没有输入参数，也不会返回参数。
? 程序运行时只需在工作空间中键入其名称即可。
三,MATLAB的程序类型
MATLAB的程序类型有三种，一种是在命令窗口下执行的脚本 M文件；另外
一种是可以存取的 M文件，也即程序文件；最后一种是函数（ function）
文件。
1、脚本 M文件
在命令窗口中输入并执行，它所用的变量都要在工作空间中获取，不
需要输入输出参数的调用，退出 MATLAB后就释放了。
（ 1）函数定义行（关键字 function）
?function[out1,out2,..]=filename(in1,in2,..)
?输入和输出（返回）的参数个数分别由 nargin和
nargout两个 MATLAB保留的变量来给出。
（ 2）第一行帮助行，即 H1行
?以（ %）开头，作为 lookfor指令搜索的行
3、函数文件
? 与在命令窗口中输入命令一样，函数接受输入参数，然
后执行并输出结果。
? 具有标准的基本结构。
（ 3）函数体说明及有关注解
? 以（ %）开头，用以说明函数的作用及有关内容
? 如果不希望显示某段信息，可在它的前面加空行
（ 4）函数体语句
? 函数体内使用的除返回和输入变量这些在 function语句中
直接引用的变量以外的所有变量都是局部变量，即在该
函数返回之后，这些变量会自动在 MATLAB的工作空间
中清除掉。如果希望这些中间变量成为在整个程序中都
起作用的变量，则可以将它们设置为全局变量。
例 myhilb.m,myhilb1.m
1、子程序与主程序之间的数据是通过参数进行传递的，子
程序应用主程序传递来的参数进行计算后，将结果返回
主程序。 例 exp02_14.m
四、声明子程序（函数程序）变量
2、如果一个函数内的变量没有特别声明，那么这个变量
只在函数内部使用，即为局部变量。如果两个或多个函数
共用一个变量（或者说在子程序中也要用到主程序中的变
量，注意不是参数），那么可以用 global来将它声明为全
局变量。 例 exp02_15.m
全局变量的使用可以减少参数传递，合理利用全局变量可
以提高程序执行的效率。
? 字符串要用单引号并用括号括在里面。如：
,disp(‘text string’) ％ disp字符串显示命令
text string
五、字符串及其宏命令
? 在单引号里边的字符串可以作为矢量或矩阵的元素。使用 disp命
令或输入变量名就可以显示它们表示的字符串。如：
,a=['this is a';'text string']
（元素 1含 9个字符，包括空格；元素 2含有 11个字符；因此只要在元
素 1中加入 2个空格即可解决问题）
,aa=['this is a ';'text string'], disp(aa)
aa = aa=
this is a this is a
text string text string
? 宏是 MATLAB语言用在常用命令部分的缩写。它可以被存储用于建
立 M文件的一部分。宏命令采用字符串，并使用 eval命令去执行宏
命令。下例是采用宏命令计算阶乘的例子。
,fct=‘prod(1:n)’; ％求 10的阶乘 （例 exp02_16.m）
,n=10;eval(fct)
ans=3628800
六、常用的编程命令 （例 exp02_17.m）
? pause：停止 m文件的执行直至有键按下。 pause(n)将使程序暂停 n
秒。
? echo on/off：控制是否在屏幕上显示程序内容。
? keyboard：停止程序执行，把控制权交给键盘。输入 return并回
车后继续程序执行。
? x=input(‘prompt’)：把输入的字符串作为提示符，等待使用者输
入一个响应，然后把它赋值到 x。
? 步长缺省值为 1，可以在正实数或负实数范围内任意指定。
对于正数，循环变量的值大于终止值时，循环结束；对于
负数，循环变量的值小于终止值时，循环结束。循环结构
可以嵌套使用。
? 书写格式不必太过于拘泥，在 Editor编辑器中会自动进行
处理。 (例 exp02_18.m)
七、程序流程控制
1,for循环语句
基本格式
for 循环变量＝起始值：步长：终止值
循环体
end
2,while循环语句
基本格式
while 表达式
循环体
end
? 若表达式为真，则执行循环体的内容，执行后再判断表达
式是否为真，若不为真，则跳出循环体，向下继续执行。
例 exp02_19.m
?While循环和 for循环的区别在于,while循环结构的循环
体被执行的次数不是确定的，而 for结构中循环体的执行次
数是确定的。
3,if,else,elseif语句
（ 1） if 逻辑表达式
执行语句
end
当逻辑表达式的值为真时，执行该结构中
的执行语句，执行完之后继续向下进行；
若为假，则跳过结构中的内容，向下执行。
（ 2） if 逻辑表达式
执行语句 1
else
执行语句 2
end
if-else的执行方式为：如果逻辑表达
式的值为真，则执行语句 1，然后跳
过语句 2，向下执行；如果为假，则
执行语句 2，然后向下执行。
（ 3） if 逻辑表达式 1
执行语句 1
elseif 逻辑表达式 2
执行语句 2
…
end
?if-elseif的执行方式为：
如果逻辑表达式 1的值为
真，则执行语句 1；如果
为假，则判断逻辑表达
式 2，如果为真，则执行
语句 2，否则向下执行。
例 exp02_20.m
exp02_21.m
? 本章所要掌握的是 MATLAB语言的基本知识，包括 MATLAB窗口环境
的使用；矩阵运算及多项式处理；基本的绘图命令；程序设计入门。
? MATLAB的窗口环境是基础的基础，要求熟练掌握语句命令的输入、
变量的使用、基本的数学函数及各种工作空间与文件管理的命令。要
善于运用 help命令自学。
? MATLAB具有强大的矩阵运算能力，要求熟练掌握矩阵的输入与生成，
掌握矩阵的基本运算及操作，区分带点运算与不带点运算点的不同；
掌握多项式的建立与表示方法及多项式的基本运算。
? MATLAB同样具有强大的图形处理能力，要求熟练掌握基本的二维绘
图命令。
? MATLAB具有三种基本的 M文件类型，要求掌握它们的区别及基本结
构，熟悉程序流程控制的使用及常用的编程命令。
本章小结
