2010-5-19 1
CH4、控制系统的分析方法
? 早期的控制系统分析过程复杂而耗时，如想得到一个
系统的冲激响应曲线，首先需要编写一个求解微分方
程的子程序，然后将已经获得的系统模型输入计算机，
通过计算机的运算获得冲激响应的响应数据，然后再
编写一个绘图程序，将数据绘制成可供工程分析的响
应曲线。
? MATLAB控制系统工具箱和 SIMULINK辅助环境的出
现，给控制系统分析与设计带来很多方便。
? 控制系统的分析包括系统的稳定性分析、时域分析、
频域分析及根轨迹分析。
2010-5-19 2
第一节 控制系统的稳定性分析
?系统特征方程的一般形式为
?对于连续时间系统，如果闭环极点全部在 S平面左半平面，
则系统是稳定的 ；否则系统是不稳定的。
?对于离散时间系统，如果系统全部极点都位于 Z平面的单位圆内，
则系统是稳定的。
?若连续时间系统的全部零点都位于 S左半平面；或若离散时间系
统的全部零点都位于 Z平面单位圆内，则系统是最小相位系统。
一、系统稳定及最小相位系统判据
?
?
?
?
? ??????? n
i
in
inn
nn
o saasasasasD
0
1
1
1 0...)(
miz i,,2,1,0)R e ( ???
nip i,,2,1,0)R e ( ???
nip i,,2,1,1 ???
miz i,,2,1,1 ???
2010-5-19 3
2、直接判别
MATLAB提供了直接求取系统所有零极点的函数，因此可
以直接根据零极点的分布情况对系统的稳定性及是否为最
小相位系统进行判断。
二、系统稳定及最小相位系统的判别方法
1、间接判别（工程方法）
劳斯判据：劳斯表中第一列各值严格为正，则系统稳定，
如果劳斯表第一列中出现小于零的数值，系统不稳定。
胡尔维茨判据：当且仅当由系统分母多项式构成的胡尔维
茨矩阵为正定矩阵时，系统稳定。即系统稳定的充要条件：
?
?
?
? 全部为正。茨行列式特征方程的各阶古尔维 ),,2,1(
0
nkD
a
k
i
?
?
2010-5-19 4
例 exp04_01.m
已知某系统的模型如右所示：
? ? uxy
uxx
71652
1
0
0
1
6127
5874
0362
2121
???
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?
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?
?
?
??
?
??
要求判断系统的稳定性及系统是否为最小相位系统。
例 exp04_02.m
系统模型如下所示，判断系统的稳定性，以及系统
是否为最小相位系统。
1122 1 1 71 4 9 452811014
2841163)(
23456
23
??????
????
ssssss
ssssG
2010-5-19 5
ii=find(条件式 )
用来求取满足条件的向量的下标向量，以列向量表示。
例如 exp04_01.m中的条件式为 real(p>0)，其含义就
是找出极点向量 p中满足实部的值大于 0的所有元素下
标，并将结果返回到 ii向量中去。这样如果找到了实部
大于 0的极点，则会将该极点的序号返回到 ii下。如果
最终的结果里 ii的元素个数大于 0，则认为找到了不稳
定极点，因而给出系统不稳定的提示，若产生的 ii向量
的元素个数为 0，则认为没有找到不稳定的极点，因而
得出系统稳定的结论。
pzmap(p,z)
根据系统已知的零极点 p和 z绘制出系统的零极点图
2010-5-19 6
第二节 控制系统的时域分析
一、时域分析的一般方法
系统仿真实质上就是对系统模型的求解。对控制系统来
说，一般模型可转化成某个微分方程或差分方程表示。
一个动态系统的性能常用典型输入作用下的响应来描述。
响应是指零初始值条件下某种典型的输入函数作用下对
象的响应，因此在仿真过程中，一般以某种数值算法从
初态出发，逐步计算系统的响应，最后绘制出系统的响
应曲线，这样可分析系统的性能。
控制系统最常用的时域分析方法是，当输入信号为单位
阶跃和单位冲激函数时，求出系统的输出响应，分别称
为单位阶跃响应和单位冲激响应。
2010-5-19 7
对一阶系统
微分方程：
闭环传递函数：
参数：时间常数 T
性能指标：
调节时间 ts
超调量 σ %
)()()( trtcdt tdcT ??
)111
11
1
)(
)()(
KTTss
K
sd e n
sn u msG ?
????? （其中
2010-5-19 8
对二阶系统
微分方程：
闭环传递函数,其中
参数：阻尼比 ζ
无阻尼自然振荡频率 ωn
性能指标：上升时间 tr； 峰值时间 tp； 调节时间 ts；
超调量 σ %
在 MATLAB中提供了求取单位阶跃和单位冲激输入下系
统响应的函数。
求取系统单位阶跃响应,step()
求取系统的冲激响应,impulse()
)()()(2)(222 trtcdt tdcTdt tcdT ??? ?
22
2
2)(
)()(
nn
n sssde n snu msG ???? ???? Tn
1??
2010-5-19 9
1,step()函数的用法 exp04_03.m
?y=step(num,den,t)：其中 num和 den分别为系统传递函数
描述中的分子和分母多项式系数,t为选定的仿真时间向
量，一般可以由 t=0:step:end等步长地产生出来。该函数
返回值 y为系统在仿真时刻各个输出所组成的矩阵。
?[y,x,t]=step(num,den)：此时时间向量 t由系统模型的特性
自动生成,状态变量 x返回为空矩阵 。
?[y,x,t]=step(A,B,C,D,iu)：其中 A,B,C,D为系统的状态空间
描述矩阵,iu用来指明输入变量的序号。 x为系统返回的
状态轨迹。
2010-5-19 10
?如果对具体的响应值不感兴趣，而只想绘制系统
的阶跃响应曲线，可调用以下的格式：
step(num,den)； step(num,den,t)； step(A,B,C,D,iu,t)；
step(A,B,C,D,iu)；
?线性系统的稳态值可以通过函数 dcgain()来求取，其
调用格式为,dc=dcgain(num,den)或 dc=dcgain(a,b,c,d)
例 exp04_04：
已知系统的开环传递函数：
求系统在单位负反馈下的阶跃响应曲线。
sssssG 40368 20)( 234 ????
2010-5-19 11
2,impulse()函数的用法
求取脉冲激励响应的调用方法与 step()函数基本一致。
y=impulse(num,den,t)；
[y,x,t]=impulse(num,den)；
[y,x,t]=impulse(A,B,C,D,iu,t)
impulse(num,den)；
impulse(num,den,t)
impulse(A,B,C,D,iu)；
impulse(A,B,C,D,iu,t)
2010-5-19 12
例 exp04_05.m
例 exp04_06.m
例 exp04_07.m
2010-5-19 13
仿真时间 t的选择：
?对于典型二阶系统根据其调节时间的估算公式
可以确定。
?对于高阶系统往往其响应时间很难估计，一般采用试
探的方法，把 t选大一些，看看响应曲线的结果，最后再
确定其合适的仿真时间。
?一般来说，先不指定仿真时间，由 MATLAB自己确定，
然后根据结果，最后确定合适的仿真时间。
?在指定仿真时间时，步长的不同会影响到输出曲线的
光滑程度，一般不易取太大。
n
s wt ?
4~3?
例 exp04_08.m
2010-5-19 14
二、常用时域分析函数
时间响应探究系统对输入和扰动在时域内的瞬态行为，系
统特征如：上升时间、调节时间、超调量和稳态误差都能
从时间响应上反映出来。 MATLAB除了提供前面介绍的对
系统阶跃响应、冲激响应等进行仿真的函数外，还提供了
其它对控制系统进行时域分析的函数，如：
covar：连续系统对白噪声的方差响应
initial：连续系统的零输入响应
lsim：连续系统对任意输入的响应
对于离散系统只需在连续系统对应函数前加 d就可以，如
dstep,dimpulse等。它们的调用格式与 step,impulse类似。
2010-5-19 15
三、时域分析应用举例
MATLAB的 step()和 impulse()函数本身可以处理多输入多输
出的情况，因此编写 MATLAB程序并不因为系统输入输出
的增加而变得复杂。
例 exp04_09
2010-5-19 16
例 exp04_10
d = 16.7331 e = 0.0771
d=wn^2
e=(2*z*wn-1)/d
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例 exp04_11.m
例 exp04_12_1.m
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exp04_12_2.m
含有零点的二阶连续系统传递函数为
设其固有频率 ωn=1,阻尼系数 ξ =0.4,在时间常数 Tm=0.5,1,2
时, 分别画出其 脉冲响应函数曲线 。 将系统在采样间隔为
Ts=0.1的条件下离散化, 并做脉冲响应曲线 。
22
2
2
)1()(
nn
mn
ss
sTsH
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??
结果分析：
从图中可见, 所加零
点越小, 即时间常数
Tm越大, 则阶跃响应
的超调加大, 上升时
间减小, 系统的跟踪
速度加快 。
2010-5-19 19
exp04_12_3.m
含有附加实极点 1/Tp的二阶连续系统传递函数为
设固有频率 ωn=1,阻尼系数 ξ =0.4,在时间常数 Tp=0.5
,1,2时, 分别画出其 阶跃响应函数曲线 和极点分布 。
)1)(2()( 22
2
???? sTsssH pnn
n
???
?
结果分析：
对应于 Tp=0.2,1,2,系统输出方
差分别为 p=0.5303 0.4018
0.2462。 可见，附加的极点越小，
即时间常数 Tp越大,阶跃响应
的超调加大，上升时间加大，
系统的跟踪速度变慢，对噪声
的抑制能力增大。 可以近似认
为，系统的响应主要取决于虚
部最小的极点。
2010-5-19 20
第三节 控制系统的频域分析
?频率响应是指系统对正弦输入信号的稳态响应，从
频率响应中可以得出带宽、增益、转折频率、闭环稳
定性等系统特征。
频率法所研究的问题, 仍然是自动控制系统控制过程
的稳定性, 快速性及稳态精度等性能 。
?根据系统频率响应特性来研究系统稳定性的优点是：
（ 1）不需求解特征方程的根；
（ 2）频率响应实验简便又准确。
一、频域分析的一般方法
2010-5-19 21
频域性能指标
? 峰值 Am 是幅频特性 A(ω)的最大值 。 峰值大则表明系统平稳性差 。
? 带宽 ω b 是幅频特性 A(ω )的数值衰减到 0.707A(0)时所对应的频率 。
ω b高表明快速性好 。
? 相频宽 ω bφ 是 φ (ω)等于时所对应的频率 。 ω bφ 高也反应系统快
速性好 。
? A(0)是指零频率（ ω＝ 0）时的振幅比。 A(0)的数值与 1相差之大
小，反映系统的稳态精度,A(0)越接近于 1，系统的精度越高。
为相频特性为幅频特性其中 )()()(
)(
)(
)(
)(
)(
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www
wX
wX
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jwX
jwX
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i
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wj
i
o
???
?
???
??
?频率特性是指系统在正弦信号作用下，稳态输出与输入之比对
频率的关系特性。频率特性函数与传递函数有直接的关系，记为：
2010-5-19 22
?采用频域分析法可直观地表达出系统的频率特性，
分析方法比较简单，物理概念比较明确，对于改善
系统稳定性和暂态性能等问题，都可以从系统的频
率特性上明确地看出其物理实质和解决途经。
?通常将频率特性用曲线的形式进行表示，包括对数
频率特性曲线和幅相频率特性曲线简称幅相曲线，
MATLAB提供了绘制这两种曲线的函数。
?求取系统对数频率特性图（波特图）,bode()
?求取系统奈奎斯特图（幅相曲线图或极坐标图）：
nyquist()
2010-5-19 23
1、对数频率特性图（波特图）
?对数频率特性图包括了对数幅频特性图和对数相频特
性图。横坐标为频率 w，采用对数分度，单位为弧度 /秒；
纵坐标均匀分度，分别为幅值函数 20lgA(w)，以 dB表示；
相角，以度表示。
?MATLAB提供了函数 bode()来绘制系统的波特图，其
用法如下：
?bode(a,b,c,d)：自动绘制出系统的一组 Bode图，它们
是针对连续状态空间系统 [a,b,c,d]的每个输入的 Bode图。
其中频率范围由函数自动选取，而且在响应快速变化的
位置会自动采用更多取样点。
2010-5-19 24
?bode(a,b,c,d,iu)：可得到从系统第 iu个输入到所有输出
的波特图。
?bode(num,den)：可绘制出以连续时间多项式传递函数
表示的系统的波特图。
?bode(a,b,c,d,iu,w)或 bode(num,den,w)：可利用指定的角
频率矢量绘制出系统的波特图。
?当带输出变量 [mag,pha,w]或 [mag,pha]引用函数时，可
得到系统波特图相应的幅值 mag、相角 pha及角频率点
w矢量或只是返回幅值与相角。相角以度为单位，幅
值可转换为分贝单位,magdb=20× log10(mag)
2010-5-19 25
exp04_13.m
典型二阶系统
设自然振荡频率 ωn=10,阻尼系数 ξ =[0.2,0.6,1]时的
波特图
)2()( 22
2
nn
n
sssH ???
?
???
结果分析：
从图中可以看出, 二阶连续
系统在阻尼系数 ξ 很小时,
其幅频特性在转折频率处出
现谐振峰值, 相频特性在这
个频率附近迅速下降 。 随着
ξ 的增加, 幅频特性的峰值
减小, 在阻尼系数 ξ >=0.7后,
幅频特性单调下降, 相频特
性的下降也趋于平缓 。
exp04_14.m
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Nyquist稳定判据
系统稳定的充要条件为：当 ω由 0→∞ 变化时，开环幅相特
性曲线 (Nyquist曲线 )按逆时针包围临界点 (-1,j0)的圈
数 R,等于开环传递函数位于 s右半平面的极点数 P，否
则闭环系统不稳定，闭环正实部特征根个数 Z=P-R。若刚
好过临界点，则系统临界稳定。
Nyquist曲线是根据开环频率特性在复平面上绘出的幅相轨
迹，根据开环的 Nyquist曲线，可以判断闭环系统的稳定
性。
乃奎斯特稳定判据, 提示了系统开环幅相特性 G(jω)和系
统闭环稳定性的本质联系 。
2、奈奎斯特图（幅相频率特性）
2010-5-19 27
?对于频率特性函数 G(jw)，给出 w从负无穷到正无穷的一
系列数值，分别求出 Im(G(jw))和 Re(G(jw))。以 Re(G(jw))
为横坐标,Im(G(jw)) 为纵坐标绘制成为极坐标频率特性
图。在极坐标图上能显示出系统在整个频率域的频率响应
特性。
?应用奈奎斯特稳定判据来检查线性系统稳定性时，可能
有三种情况：
1）不包围 -1+j0点，如果在右半 s平面无极点，系统稳定，
否则不稳定
2）反时针包围 -1+j0点，如果反时针包围的次数等于在右
半 s平面极点数，系统稳定，否则不稳定。
3）顺时针包围 -1+j0点，系统不稳定。
2010-5-19 28
MATLAB中函数 nyquist()来绘制系统的极坐标图，
用法如下：
?nyquist(a,b,c,d)：绘制出系统的一组 Nyquist曲线，每
条曲线相应于连续状态空间系统 [a,b,c,d]的输入 /输出
组合对。其中频率范围由函数自动选取，而且在响应
快速变化的位置会自动采用更多取样点。
?nyquist(a,b,c,d,iu)：可得到从系统第 iu个输入到所有
输出的极坐标图。
2010-5-19 29
?nyquist(num,den)：可绘制出以连续时间多项式传递
函数表示的系统的极坐标图。
?nyquist(a,b,c,d,iu,w)或 nyquist(num,den,w)：可利用指
定的角频率矢量绘制出系统的极坐标图。
?当不带返回参数时，直接在屏幕上绘制出系统的极
坐标图（图上用箭头表示 w的变化方向，负无穷到
正无穷） 。当带输出变量 [re,im,w]引用函数时，可
得到系统频率特性函数的实部 re和虚部 im及角频率
点 w矢量（为正的部分）。可以用 plot(re,im)绘制出
对应 w从负无穷到零变化的部分。
2010-5-19 30
exp04_15.m
已知系统开环传递函数为：
G(s)=2500(2s+1)(0.025s+1)^2/s^2(0.1s-1)(0.2s-1)(0.0025s+1)
求系统的极坐标频率特性图 (Nyquist曲线 )
结果分析：
可以看出，系统在 s右
半平面的极点数为 2
（ s=10,s=5）
当 ω由 0→∞ 变化时，
开环幅相特性曲线按逆
时针包围临界点 (-1,j0)
的圈数为 2,等于开环
传递函数位于 s右半平
面的极点数，系统稳定。
2010-5-19 31
exp04_16.m
已知系统的传递函数为,G(s)=K(0.5s+1)/s(s-1)，求当 K分别取 1
和 3时，系统的极坐标频率特性图 (Nyquist曲线 )
结果分析：
可以看出，系统在 s右半平
面的极点数为 1（ s=1）
当 ω由 0→∞ 变化时，开环
幅相特性曲线按逆时针包
围临界点 (-1,j0)的圈数为
1,等于开环传递函数位
于 s右半平面的极点数，系
统稳定，否则不稳定。
2010-5-19 32
稳定裕度
稳定裕度是一个闭环稳定系统稳定程度的指标 。 常用的有
相角稳定裕度 gm和幅值稳定裕度 pm。
幅值裕度 gm是在相角为 -180度处使开环增益为 1的增益量，
如在 -180度相频处的开环增益为 g，则幅值裕度 gm=1/g；
若用分贝值表示幅值裕度，则 gm=-20*log10(g)。类似地，
相角裕度 pm是当开环增益为 1.0时，相应的相角与 180度
角的和。
幅值裕度 gm只是表征系统稳定程度的指标之一，它表示系
统的开环传递系数增大到原来的 gm倍，则系统处于临界
稳定状态。相角裕度 pm表示：如果系统对频率信号的相
角滞后再增大 pm度，则系统处于临界稳定状态。应用 gm、
pm这两个指标能较好地表征系统的稳定程度。
二、常用频域分析函数
2010-5-19 33
MATLAB除了提供前面介绍的基本频域分析函数外，还
提供了大量在工程实际中广泛应用的库函数，由这些函
数可以求得系统的各种频率响应曲线和 特征值。如：
margin：求幅值裕度和相角裕度及对应的转折频率
freqs：模拟滤波器特性
nichols：求连续系统的尼科尔斯频率响应曲线（即对
数幅相曲线）
ngrid：尼科尔斯方格图
2010-5-19 34
1,margin()函数
?margin函数可以从频率响应数据中计算出幅值裕度、
相角裕度以及对应的频率。幅值裕度和相角裕度是针对
开环 SISO系统而言，它指示出系统闭环时的相对稳定
性。当不带输出变量引用时,margin可在当前图形窗口
中绘制出带有裕量及相应频率显示的 Bode图，其中幅值
裕度以分贝为单位。
?幅值裕度是在相角为 -180度处使开环增益为 1的增益量，
如在 -180度相频处的开环增益为 g，则幅值裕度为 1/g；
若用分贝值表示幅值裕度，则等于,-20*log10(g)。类似
地，相角裕度是当开环增益为 1.0时，相应的相角与 180
度角的和。
2010-5-19 35
（ 1） margin(num,den),计算出连续 (开环 )系统传递函数
表示的幅值裕度和相角裕度并绘制相应波特图。类似，
margin(a,b,c,d)可以计算出连续状态空间系统表示的幅
值裕度 gm和相角裕度 pm并绘制相应波特图。
（ 2） [gm,pm,wcg,wcp]=margin(num,den)：由幅值 mag
（不是以 dB为单位）,相角 phase及角频率 w矢量计算
出系统幅值裕度 gm和相角裕度 pm及相应的相角交界
频率 wcg、截止频率 wcp，而不直接绘出 Bode图曲线。
（ 3） [gm,pm,wcg,wcp] =margin(m,p,w)：给定频率特性
的参数向量、幅值 m（不是以 dB为单位）,相角 p及
角频率 w，由插值法计算幅值裕度 gm和相角裕度 pm。
2010-5-19 36
exp04_18.m
exp4_19.m
（ 1）由幅值,相角及角频率 w矢量计算系统幅值裕度 gm和相
角裕度 pm及相应的相角交界频率 wcg、截止频率 wcp
（ 2）由幅值 m,相角 p及角频率 w由插值法计算幅值裕度 gm和
相角裕度 pm
[gm1,gm2;pm1,pm2;wcp1,wcp2;wcg1,wcg2] 比较计算结果
2010-5-19 37
2,freqs()函数
?用于计算由矢量 a和 b构成的模拟滤波器 H(s)=B(s)/A(s)的复
频响应。
?h=freqs(b,a,w)用于计算模拟滤波器的幅频响应，其中实矢量
w用于指定频率值，返回值 h为一个复数行向量，要得到幅值必
须对它取绝对值，即求模。
?[h,w]=freqs(b,a)自动设定 200个频率点来计算频率响应，这
200个频率值记录在 w中。
?[h,w]=freqs(b,a,n)设定 n个频率点计算频率响应。
?不带输出变量的 freqs函数，将在当前图形窗口中绘制出幅频
和相频曲线，其中幅相曲线对纵坐标与横坐标均为对数分度。
)1(...)2(1
)1(...)2()1(
)(
)()(
1
1
?????
??????
?
?
nasas
mbsbsb
sA
sBsH
nn
mm
2010-5-19 38
?[h,w]＝ frqz(b,a,n)可得到数字滤波器 n个点的复频响
应, 这 n个点均匀地分布在上半单位圆 (即 0～ π ),并将这 n
点频率记录在 w中, 相应的频率响应记录在 h中 。 n值的选择
没有太多的限制, 只要 n＞ 0的整数, 但最好能选取 2的幂次
方, 这样就可采用 FFT算法进行快速计算 。 如果缺省, 则 n
＝ 512。
?[h,f]＝ frqz(b,a,n,Fs)允许指定采样终止频率 Fs(以 Hz为
单位 ),也即在 0～ Fs／ 2频率范围内选取 n个频率点 (记录在
f中 ),并计算相应的频率响应 h。
a
b
n
a
n
b
znaza
znbzbb
zA
zBzH
??
??
????
??????
)1()2(1
)1()2()1(
)(
)()(
1
1
?
?
freqz（）, 用于计算由矢量 a和 b构成的数字滤波器
H(z)=B(z)/A(z)的复频响应 H(jω)。
2010-5-19 39
?[h,w]＝ freqz(b,a,n,'whole')表示在 0～ 2π 之间
均匀选取 n个点计算频率响应。
?[h,f]＝ freqz(b,a,n,'whole',Fs)则在 0～ Fs之间
均匀选取 n个点计算频率响应。
?h＝ freqz(b,a,w)计算在矢量 w中指定的频率处的频率
响应，但必须注意，指定的频率必须介于 0～ 2π 之间。
?h＝ freqz(b,a,f,Fs)计算在矢量 f中指定频率处的
频率响应，但指定频率必须介于 0～ Fs之间。
?不带输出变量的 freqz函数可在当前图形窗口中绘制出
幅频和相频特性曲线。
2010-5-19 40
exp04_20.m
exp04_21.m
2010-5-19 41
3,nichols（）图线
由 Nyquist曲线来确定闭环系统频率响应时，应用等幅值轨
迹（ M圆）和等相角轨迹（ N圆）分析是非常方便的。在
对数幅相平面上作出 M轨迹和 N轨迹，由 M轨迹和 N轨迹
构成的图线就称为 nichols图线。 nichols图线对称于 -180o轴
线。每隔 360oM轨迹和 N轨迹重复依次，且在每个 180o的
间隔上都是对称的。 M轨迹汇集在临界点（ 0dB,-180o）
附近。若把开环频率响应曲线重叠在 nichols图线上，那么，
开环频率响应曲线与 M轨迹和 N轨迹的交点，就给出了每
一频率上闭环频率响应的幅值和相角 。如果 开环频率响应
曲线与 M轨迹 M=Mr相切，那么闭环频率响应的谐振峰值
由 Mr给定，切点的频率就是谐振频率。 响应曲线轨迹与
M=-3dB轨迹交点的频率就是 闭环系统的带宽。
2010-5-19 42
nichols：求连续系统的尼科尔斯频率响应曲线（即对数幅
相曲线）
nichols(num,den) or nichols(a,b,c,d)：
给定开环系统的数学模型, 尼柯尔斯图线作图 。 频率
w的范围自动给定 。 可由 ngrid命令在尼氏图上作尼氏
网格线
nichols(num,den,w) or nichols(a,b,c,d,w)：
给定开环系统的数学模型, 尼柯尔斯图线作图 。 频率
w的范围人工给定, 可由 ngrid命令在尼氏图上作尼氏
网格线 。
2010-5-19 43
[m,p,w]=nichols(num,den)or[m,p,w]=nichols(a,b,c,d)：
返回变量格式, 不作图 。 其中 m为频率特性 G(jω)的幅值
向量, m=∣G(j ω)∣ ； p为频率特性 G(jω)的幅角向量,
p＝ arg[G(jω)],单位为度 (。 )； w为频率向量
ngrid,在尼氏图上作尼氏网格线
Logspace( ), 对数等分向量
Logspace(d1,d2), 从 10d1到 10d2之间做对数等分分度，产
生 50个元素的对数等间隔向量。
Logspace(d1,d2,n),从 10d1到 10d2之间做对数等分分度，
给定等分数 n。
semilogx( ),半对数绘图命令
2010-5-19 44
exp04_22.m
已知系统的开环模型为 G(s)=1/s(s+1) 作尼柯尔斯图。
exp04_23.m
从曲线上可以查出,开环频率响应曲线与 M轨迹相切于 1dB，
所以系统的闭环谐振峰值大约为 1dB。 切点的频率就是谐振频
率,大约为 0.57raed/s,响应曲线轨迹与 M=-3dB轨迹交点的频
率就是 闭环系统的带宽, 大约为 1.26raed/s 。
已知系统的开环模型为 G(s)=k/s(s+1)(s+2)，当 k=2,k=10时，
分别作尼柯尔斯图。
从图中曲线可知, k=2时, 系统大约有 6dB左右的闭环谐振峰值；
k=10时, 曲线已切过无穷大点, 因此系统是不稳定的 。
2010-5-19 45
三、频域分析应用实例
结果分析,Nyquist曲线 不
包围 -1+j0点，且在右半 s平
面无极点，系统稳定。系
统稳定的临界增益
k0 = 11.0909，当系统增益
k<11时，系统幅值裕度
gm>0dB，相位裕度 pm>0o，
系统稳定； k>11时，
gm<0dB,pm<0o系统不稳
定。
exp04_24.m
已知某系统的开环传递函数为 G(s)=1/s(0.5s+1)(0.1s+1)，
（ 1） 绘制系统的 Nyquist曲线,判断闭环系统的稳定性。
（ 2） 由插值函数 spline()确定系统稳定的临界增益 k0
2010-5-19 46
exp04_25.m
已知某系统的开环传递函数为 G(s)=26/(s+6)(s-1),求
（ 1） 绘制系统的 Nyquist曲线,判断闭环系统的稳定性 。
（ 2）给系统增加一个开环极点 p=2，求 Nyquist曲线，判断系统稳定
性，并绘制系统单位阶跃响应曲线和零极点图。
结果分析：
（ 1） Nyquist曲线 逆时针
包围 -1+j0点 1次，与右半 s
平面极点数相等，系统稳
定。
（ 2）系统增加一个开环极
点 p=2后, Nyquist曲线 不
包围 -1+j0点，与在右半 s平
面极点数不相等，系统不
稳定。
2010-5-19 47
exp04_26.m
线性时不变系统如下所示，要求绘制系统的 Bode图和 Nyquist曲线，
判断系统稳定性，如果系统稳定，求出系统稳定裕度，并绘制系
统单位冲激响应验证判断结论。
? ?
ux
xy
x
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
0
0
0
1
32.0000
032.000
32.07.096.00
00004.1
0004.16.0
?
2010-5-19 48
Pade函数可以近似表示延时环节 e^(-at)，它的调用格式
为：
(num,den)=pade(t,n)：产生最佳逼近时延 t秒的 n阶传递函
数形式。 (a,b,c,d)=pade(t,n)：产生的是 n阶 SISO的状态空
间模型。
exp04_27.m
系统传递函数为
求出有理传递函数的频率响应，绘制以四阶 pade近似
表示的系统频率响应。
sesssH 5.0
3)2(
1)( ?
?
??
2010-5-19 49
exp04_28_1.m
系统结构图如下所示，用 奈奎斯特曲线判断系统的稳定
性。其中
)10625.0)(125.0)(185.0(
7.16)(
???? sss
ssG
2010-5-19 50
结果分析：从两个图的第 2子图的脉冲响应看出, 两系
统开环不稳定 。 从 figure(1)第 4子图的闭环脉冲响应
看出系统 1不稳定 。 从 奈奎斯特图上分析, 因为系统开
环有一个右半平面极点 （ s=1.2）, 奈奎斯特曲线必须
以反时针绕 （ -1,0） 点转一圈, 系统才是稳定的 。 系
统 1的奈奎斯特曲线是顺时针方向, 因此系统 1不稳定；
系统 2的奈奎斯特曲线是反时针方向, 因此系统 2稳定 。
系统传递函数为
画出其 奈奎斯特图, 判别其闭环稳定性 。 在此系统上
加一个零点 z=（ s+0.5） 后, 再做同样的工作 。
)6)(1)(2.1(
50)(
???? ssssH
exp04_28_2.m
2010-5-19 51
第四节 控制系统的根轨迹分析
?控制系统的稳定性, 由其闭环极点唯一地来确定 。 而控
制系统过渡过程的基本特性, 则与其闭环零极点在 S平面上
分布的位置有关 。 根轨迹法是在已知控制系统开环传递函
数的零极点分布的基础上, 研究某一参数变化时对系统闭
环传递函数极点分布的影响 。
?所谓根轨迹是指, 当开环系统某一参数从零变到无穷大
时, 闭环系统特征方程的根在 s平面上跟随变化的轨迹 。 一
般来说, 这一参数选作开环系统的增益 K,而在无零极点对
消时, 闭环系统特征方程的根就是闭环传递函数的极点 。
?绘制根轨迹实质上是寻求闭环特征方程的根 。
一、根轨迹分析方法的概念
2010-5-19 52
绘制根轨迹的基本法则
根轨迹的分支数,根轨迹的分支数等于闭环特征方程的阶
数 n（ 根轨迹的分支数等于闭环极点的数目 ） 。
根轨迹的连续性与对称性,根轨迹连续且对称于实轴 。
根轨迹的起点与终点,根轨迹起始于开环传递函数的极点,
终止于开环传递函数的零点 。 如果开环零点数目 m小于开环
极点数目 n,则有 n-m条根轨迹终止于无穷远处 。
实轴上的根轨迹,实轴上的根轨迹区段的右侧, 开环零,
极点数目之和应为奇数 。
根轨迹分析方法是分析和设计线性定常控制系统的图解方
法, 使用十分简便 。 利用它可以对系统进行各种性能分析 。
例 exp04_29.m
2010-5-19 53
（ 1）稳定性
当开环增益 K从零到无穷大变化时，图中的根轨迹不会
越过虚轴进入右半 s平面，因此这个系统对所有的 K值都
是稳定的。如果根轨迹越过虚轴进入右半 s平面，则其交
点的 K值就是临界稳定开环增益。
（ 2）稳态性能
开环系统在坐标原点有一个极点，因此根轨迹上的 K值
就是静态速度误差系数，如果给定系统的稳态误差要求，
则可由根轨迹确定闭环极点容许的范围。
2010-5-19 54
（ 3）动态性能
当 0<K<0.5时，所有闭环极点位于实轴上，系统为过阻尼
系统，单位阶跃响应为非周期过程；当 K=0.5时，闭环两
个极点重合，系统为临界阻尼系统，单位阶跃响应仍为
非周期过程，但速度更快；当 K>0.5时，闭环极点为复数
极点，系统为欠阻尼系统，单位阶跃响应为阻尼振荡过
程，且超调量与 K成正比。
2010-5-19 55
二、根轨迹分析函数
通常来说，绘制系统的根轨迹是很繁琐的事情，因此在教
科书中介绍的是一种按照一定规则进行绘制的概略根轨迹。
在 MATLAB中，专门提供了绘制根轨迹的有关函数。
pzmap：绘制线性系统的零极点图
rlocus：求系统根轨迹。
rlocfind：计算给定一组根的根轨迹增益。
sgrid：在连续系统根轨迹图和零极点图中绘制出阻尼
系数和自然频率栅格。
2010-5-19 56
1、零极点图绘制 exp04_30.m
MATLAB提供了函数 pzmap()来绘制系统的零极点图：
?[p,z]=pzmap(a,b,c,d)：返回状态空间描述系统的极点矢量
和零点矢量，而不在屏幕上绘制出零极点图。
?[p,z]=pzmap(num,den)：返回传递函数描述系统的极点矢
量和零点矢量，而不在屏幕上绘制出零极点图。
?pzmap(a,b,c,d)或 pzmap(num,den)：不带输出参数项，则
直接在 s复平面上绘制出系统对应的零极点位置，极点用 ×
表示，零点用 o表示。
?pzmap(p,z)：根据系统已知的零极点列向量或行向量直
接在 s复平面上绘制出对应的零极点位置，极点用 × 表示，
零点用 o表示。
2010-5-19 57
2、根轨迹图绘制
MATLAB提供了函数 rlocus()来绘制系统的根轨迹图：
?rlocus(a,b,c,d)或者 rlocus(num,den)：根据 SISO开环系统的
状态空间描述模型和传递函数模型，直接在屏幕上绘制出
系统的根轨迹图。开环增益的值从零到无穷大变化。
?rlocus(a,b,c,d,k)或 rlocus(num,den,k),通过指定开环增益
k的变化范围来绘制系统的根轨迹图。
?若给出传递函数描述系统的分子项 num为负，则利用
rlocus函数绘制的是系统的零度根轨迹。（正反馈系统或
非最小相位系统）
exp04_31_1.m exp04_31_2.m
2010-5-19 58
3,rlocfind()函数
MATLAB提供了函数 rlocfind()来找出给定的一组根
（闭环极点）对应的根轨迹增益。其用法如下：
?[k,p]=rlocfind(a,b,c,d)或者 [k,p]=rlocfind(num,den)
它要求在屏幕上先已经绘制好有关的根轨迹图。然后，
此命令将产生一个光标以用来选择希望的闭环极点。
命令执行结果,k为对应选择点处根轨迹开环增益； p
为此点处的系统闭环特征根。
?不带输出参数项 [k,p]时，同样可以执行，只是此时只
将 k的值返回到缺省变量 ans中。
exp04_31_3.m
2010-5-19 59
?sgrid：在现存的屏幕根轨迹或零极点图上绘制出自
然振荡频率 wn、阻尼比矢量 z对应的格线。
?sgrid(‘new’)：是先清屏，再画格线。
?sgrid(z,wn)：则绘制由用户指定的阻尼比矢量 z、自
然振荡频率 wn的格线。
4,sgrid()函数
2010-5-19 60
三、根轨迹分析应用实例
例 exp04_32.m
例 exp04_33.m
已知系统开环传递函数模型
要求绘制闭环系统的根轨迹，并确定交点处的增益 K。
)3)(2(
)5()(
??
??
sss
sksH
已知系统开环传递函数模型
要求绘制闭环系统的根轨迹，分析稳定性，并绘制当
K=54和 K=56时的系统闭环脉冲响应。
22 )34(
)2()(
??
??
ss
sksH
利用函数 [k,p]=rlocfind(num,den);找出根轨迹与虚轴
的交点处的增益，即系统临界稳定增益 K0，当 K<K0时，
系统稳定，当 K>K0时，系统不稳定。
2010-5-19 61
例 exp04_34.m
系统开环传递函数为 G(s)=k/s(s+1)(s+2)
试寻找一个合适的 k值使得闭环系统具有较理想的阶跃
响应。
通过 sgrid指令可以绘出指定阻尼比 z（射线）和自然振
荡频率 wn（圆）的栅格线。
通过 rlocfind，配合前面所画的 z及 wn栅格线，可以找
出能产生主导极点阻尼比 z=0.707的合适增益
2010-5-19 62
例 exp04_35.m
系统开环传递函数为 G(s)=1/(s^4+12s^3+30s^2+50s)
画出系统的根轨迹，并试寻找出临界点（即根在虚轴上）
的增益 k值。 转成系统的离散模型 sd。
先建立系统的连续模型 s,然后用 rlocus(s)函数画它的根
轨迹，键入 rlocfind(s)函数，用鼠标选择根轨迹与虚轴
的交点，即临界点。然后转成系统的离散模型 sd,用鼠标
求临界点及 k值 。
连续系统和离散系统根平面之间的映射关系。 s平面的左
半平面映射为 z平面圆的内部。 s平面上的虚轴映射为 z平
面单位圆边界,s平面上的原点映射为 z平面上的点 (1,0)，
而 s平面上的无穷远点映射为 z平面上的点 (-1,0)。
2010-5-19 63
? 控制系统的分析是进行控制系统设计的基础，同时也是
工程实际当中解决问题的主要方法，因而对控制系统的
分析在控制系统仿真中具有举足轻重的作用。
? 通过求取系统的零极点增益模型直接获得系统的零极点，
从而可以直接对控制系统的稳定性及是否为最小相位系
统作出判断。
? 控制系统的经典分析方法（时域、频域分析）是目前控
制系统界进行科学研究的主要方法，是进行控制系统设
计的基础，要求掌握单位阶跃响应、波特图等常用命令
的使用。
? 根轨迹分析是求解闭环特征方程根的简单的图解方法，
要求掌握根轨迹的绘制。
本章小结
CH4、控制系统的分析方法
? 早期的控制系统分析过程复杂而耗时，如想得到一个
系统的冲激响应曲线，首先需要编写一个求解微分方
程的子程序，然后将已经获得的系统模型输入计算机，
通过计算机的运算获得冲激响应的响应数据，然后再
编写一个绘图程序，将数据绘制成可供工程分析的响
应曲线。
? MATLAB控制系统工具箱和 SIMULINK辅助环境的出
现，给控制系统分析与设计带来很多方便。
? 控制系统的分析包括系统的稳定性分析、时域分析、
频域分析及根轨迹分析。
2010-5-19 2
第一节 控制系统的稳定性分析
?系统特征方程的一般形式为
?对于连续时间系统，如果闭环极点全部在 S平面左半平面，
则系统是稳定的 ；否则系统是不稳定的。
?对于离散时间系统，如果系统全部极点都位于 Z平面的单位圆内，
则系统是稳定的。
?若连续时间系统的全部零点都位于 S左半平面；或若离散时间系
统的全部零点都位于 Z平面单位圆内，则系统是最小相位系统。
一、系统稳定及最小相位系统判据
?
?
?
?
? ??????? n
i
in
inn
nn
o saasasasasD
0
1
1
1 0...)(
miz i,,2,1,0)R e ( ???
nip i,,2,1,0)R e ( ???
nip i,,2,1,1 ???
miz i,,2,1,1 ???
2010-5-19 3
2、直接判别
MATLAB提供了直接求取系统所有零极点的函数，因此可
以直接根据零极点的分布情况对系统的稳定性及是否为最
小相位系统进行判断。
二、系统稳定及最小相位系统的判别方法
1、间接判别（工程方法）
劳斯判据：劳斯表中第一列各值严格为正，则系统稳定，
如果劳斯表第一列中出现小于零的数值，系统不稳定。
胡尔维茨判据：当且仅当由系统分母多项式构成的胡尔维
茨矩阵为正定矩阵时，系统稳定。即系统稳定的充要条件：
?
?
?
? 全部为正。茨行列式特征方程的各阶古尔维 ),,2,1(
0
nkD
a
k
i
?
?
2010-5-19 4
例 exp04_01.m
已知某系统的模型如右所示：
? ? uxy
uxx
71652
1
0
0
1
6127
5874
0362
2121
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
要求判断系统的稳定性及系统是否为最小相位系统。
例 exp04_02.m
系统模型如下所示，判断系统的稳定性，以及系统
是否为最小相位系统。
1122 1 1 71 4 9 452811014
2841163)(
23456
23
??????
????
ssssss
ssssG
2010-5-19 5
ii=find(条件式 )
用来求取满足条件的向量的下标向量，以列向量表示。
例如 exp04_01.m中的条件式为 real(p>0)，其含义就
是找出极点向量 p中满足实部的值大于 0的所有元素下
标，并将结果返回到 ii向量中去。这样如果找到了实部
大于 0的极点，则会将该极点的序号返回到 ii下。如果
最终的结果里 ii的元素个数大于 0，则认为找到了不稳
定极点，因而给出系统不稳定的提示，若产生的 ii向量
的元素个数为 0，则认为没有找到不稳定的极点，因而
得出系统稳定的结论。
pzmap(p,z)
根据系统已知的零极点 p和 z绘制出系统的零极点图
2010-5-19 6
第二节 控制系统的时域分析
一、时域分析的一般方法
系统仿真实质上就是对系统模型的求解。对控制系统来
说，一般模型可转化成某个微分方程或差分方程表示。
一个动态系统的性能常用典型输入作用下的响应来描述。
响应是指零初始值条件下某种典型的输入函数作用下对
象的响应，因此在仿真过程中，一般以某种数值算法从
初态出发，逐步计算系统的响应，最后绘制出系统的响
应曲线，这样可分析系统的性能。
控制系统最常用的时域分析方法是，当输入信号为单位
阶跃和单位冲激函数时，求出系统的输出响应，分别称
为单位阶跃响应和单位冲激响应。
2010-5-19 7
对一阶系统
微分方程：
闭环传递函数：
参数：时间常数 T
性能指标：
调节时间 ts
超调量 σ %
)()()( trtcdt tdcT ??
)111
11
1
)(
)()(
KTTss
K
sd e n
sn u msG ?
????? （其中
2010-5-19 8
对二阶系统
微分方程：
闭环传递函数,其中
参数：阻尼比 ζ
无阻尼自然振荡频率 ωn
性能指标：上升时间 tr； 峰值时间 tp； 调节时间 ts；
超调量 σ %
在 MATLAB中提供了求取单位阶跃和单位冲激输入下系
统响应的函数。
求取系统单位阶跃响应,step()
求取系统的冲激响应,impulse()
)()()(2)(222 trtcdt tdcTdt tcdT ??? ?
22
2
2)(
)()(
nn
n sssde n snu msG ???? ???? Tn
1??
2010-5-19 9
1,step()函数的用法 exp04_03.m
?y=step(num,den,t)：其中 num和 den分别为系统传递函数
描述中的分子和分母多项式系数,t为选定的仿真时间向
量，一般可以由 t=0:step:end等步长地产生出来。该函数
返回值 y为系统在仿真时刻各个输出所组成的矩阵。
?[y,x,t]=step(num,den)：此时时间向量 t由系统模型的特性
自动生成,状态变量 x返回为空矩阵 。
?[y,x,t]=step(A,B,C,D,iu)：其中 A,B,C,D为系统的状态空间
描述矩阵,iu用来指明输入变量的序号。 x为系统返回的
状态轨迹。
2010-5-19 10
?如果对具体的响应值不感兴趣，而只想绘制系统
的阶跃响应曲线，可调用以下的格式：
step(num,den)； step(num,den,t)； step(A,B,C,D,iu,t)；
step(A,B,C,D,iu)；
?线性系统的稳态值可以通过函数 dcgain()来求取，其
调用格式为,dc=dcgain(num,den)或 dc=dcgain(a,b,c,d)
例 exp04_04：
已知系统的开环传递函数：
求系统在单位负反馈下的阶跃响应曲线。
sssssG 40368 20)( 234 ????
2010-5-19 11
2,impulse()函数的用法
求取脉冲激励响应的调用方法与 step()函数基本一致。
y=impulse(num,den,t)；
[y,x,t]=impulse(num,den)；
[y,x,t]=impulse(A,B,C,D,iu,t)
impulse(num,den)；
impulse(num,den,t)
impulse(A,B,C,D,iu)；
impulse(A,B,C,D,iu,t)
2010-5-19 12
例 exp04_05.m
例 exp04_06.m
例 exp04_07.m
2010-5-19 13
仿真时间 t的选择：
?对于典型二阶系统根据其调节时间的估算公式
可以确定。
?对于高阶系统往往其响应时间很难估计，一般采用试
探的方法，把 t选大一些，看看响应曲线的结果，最后再
确定其合适的仿真时间。
?一般来说，先不指定仿真时间，由 MATLAB自己确定，
然后根据结果，最后确定合适的仿真时间。
?在指定仿真时间时，步长的不同会影响到输出曲线的
光滑程度，一般不易取太大。
n
s wt ?
4~3?
例 exp04_08.m
2010-5-19 14
二、常用时域分析函数
时间响应探究系统对输入和扰动在时域内的瞬态行为，系
统特征如：上升时间、调节时间、超调量和稳态误差都能
从时间响应上反映出来。 MATLAB除了提供前面介绍的对
系统阶跃响应、冲激响应等进行仿真的函数外，还提供了
其它对控制系统进行时域分析的函数，如：
covar：连续系统对白噪声的方差响应
initial：连续系统的零输入响应
lsim：连续系统对任意输入的响应
对于离散系统只需在连续系统对应函数前加 d就可以，如
dstep,dimpulse等。它们的调用格式与 step,impulse类似。
2010-5-19 15
三、时域分析应用举例
MATLAB的 step()和 impulse()函数本身可以处理多输入多输
出的情况，因此编写 MATLAB程序并不因为系统输入输出
的增加而变得复杂。
例 exp04_09
2010-5-19 16
例 exp04_10
d = 16.7331 e = 0.0771
d=wn^2
e=(2*z*wn-1)/d
2010-5-19 17
例 exp04_11.m
例 exp04_12_1.m
2010-5-19 18
exp04_12_2.m
含有零点的二阶连续系统传递函数为
设其固有频率 ωn=1,阻尼系数 ξ =0.4,在时间常数 Tm=0.5,1,2
时, 分别画出其 脉冲响应函数曲线 。 将系统在采样间隔为
Ts=0.1的条件下离散化, 并做脉冲响应曲线 。
22
2
2
)1()(
nn
mn
ss
sTsH
???
?
??
??
结果分析：
从图中可见, 所加零
点越小, 即时间常数
Tm越大, 则阶跃响应
的超调加大, 上升时
间减小, 系统的跟踪
速度加快 。
2010-5-19 19
exp04_12_3.m
含有附加实极点 1/Tp的二阶连续系统传递函数为
设固有频率 ωn=1,阻尼系数 ξ =0.4,在时间常数 Tp=0.5
,1,2时, 分别画出其 阶跃响应函数曲线 和极点分布 。
)1)(2()( 22
2
???? sTsssH pnn
n
???
?
结果分析：
对应于 Tp=0.2,1,2,系统输出方
差分别为 p=0.5303 0.4018
0.2462。 可见，附加的极点越小，
即时间常数 Tp越大,阶跃响应
的超调加大，上升时间加大，
系统的跟踪速度变慢，对噪声
的抑制能力增大。 可以近似认
为，系统的响应主要取决于虚
部最小的极点。
2010-5-19 20
第三节 控制系统的频域分析
?频率响应是指系统对正弦输入信号的稳态响应，从
频率响应中可以得出带宽、增益、转折频率、闭环稳
定性等系统特征。
频率法所研究的问题, 仍然是自动控制系统控制过程
的稳定性, 快速性及稳态精度等性能 。
?根据系统频率响应特性来研究系统稳定性的优点是：
（ 1）不需求解特征方程的根；
（ 2）频率响应实验简便又准确。
一、频域分析的一般方法
2010-5-19 21
频域性能指标
? 峰值 Am 是幅频特性 A(ω)的最大值 。 峰值大则表明系统平稳性差 。
? 带宽 ω b 是幅频特性 A(ω )的数值衰减到 0.707A(0)时所对应的频率 。
ω b高表明快速性好 。
? 相频宽 ω bφ 是 φ (ω)等于时所对应的频率 。 ω bφ 高也反应系统快
速性好 。
? A(0)是指零频率（ ω＝ 0）时的振幅比。 A(0)的数值与 1相差之大
小，反映系统的稳态精度,A(0)越接近于 1，系统的精度越高。
为相频特性为幅频特性其中 )()()(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)( )(
www
wX
wX
wA
ewA
jwX
jwX
jwG
io
i
o
wj
i
o
???
?
???
??
?频率特性是指系统在正弦信号作用下，稳态输出与输入之比对
频率的关系特性。频率特性函数与传递函数有直接的关系，记为：
2010-5-19 22
?采用频域分析法可直观地表达出系统的频率特性，
分析方法比较简单，物理概念比较明确，对于改善
系统稳定性和暂态性能等问题，都可以从系统的频
率特性上明确地看出其物理实质和解决途经。
?通常将频率特性用曲线的形式进行表示，包括对数
频率特性曲线和幅相频率特性曲线简称幅相曲线，
MATLAB提供了绘制这两种曲线的函数。
?求取系统对数频率特性图（波特图）,bode()
?求取系统奈奎斯特图（幅相曲线图或极坐标图）：
nyquist()
2010-5-19 23
1、对数频率特性图（波特图）
?对数频率特性图包括了对数幅频特性图和对数相频特
性图。横坐标为频率 w，采用对数分度，单位为弧度 /秒；
纵坐标均匀分度，分别为幅值函数 20lgA(w)，以 dB表示；
相角，以度表示。
?MATLAB提供了函数 bode()来绘制系统的波特图，其
用法如下：
?bode(a,b,c,d)：自动绘制出系统的一组 Bode图，它们
是针对连续状态空间系统 [a,b,c,d]的每个输入的 Bode图。
其中频率范围由函数自动选取，而且在响应快速变化的
位置会自动采用更多取样点。
2010-5-19 24
?bode(a,b,c,d,iu)：可得到从系统第 iu个输入到所有输出
的波特图。
?bode(num,den)：可绘制出以连续时间多项式传递函数
表示的系统的波特图。
?bode(a,b,c,d,iu,w)或 bode(num,den,w)：可利用指定的角
频率矢量绘制出系统的波特图。
?当带输出变量 [mag,pha,w]或 [mag,pha]引用函数时，可
得到系统波特图相应的幅值 mag、相角 pha及角频率点
w矢量或只是返回幅值与相角。相角以度为单位，幅
值可转换为分贝单位,magdb=20× log10(mag)
2010-5-19 25
exp04_13.m
典型二阶系统
设自然振荡频率 ωn=10,阻尼系数 ξ =[0.2,0.6,1]时的
波特图
)2()( 22
2
nn
n
sssH ???
?
???
结果分析：
从图中可以看出, 二阶连续
系统在阻尼系数 ξ 很小时,
其幅频特性在转折频率处出
现谐振峰值, 相频特性在这
个频率附近迅速下降 。 随着
ξ 的增加, 幅频特性的峰值
减小, 在阻尼系数 ξ >=0.7后,
幅频特性单调下降, 相频特
性的下降也趋于平缓 。
exp04_14.m
2010-5-19 26
Nyquist稳定判据
系统稳定的充要条件为：当 ω由 0→∞ 变化时，开环幅相特
性曲线 (Nyquist曲线 )按逆时针包围临界点 (-1,j0)的圈
数 R,等于开环传递函数位于 s右半平面的极点数 P，否
则闭环系统不稳定，闭环正实部特征根个数 Z=P-R。若刚
好过临界点，则系统临界稳定。
Nyquist曲线是根据开环频率特性在复平面上绘出的幅相轨
迹，根据开环的 Nyquist曲线，可以判断闭环系统的稳定
性。
乃奎斯特稳定判据, 提示了系统开环幅相特性 G(jω)和系
统闭环稳定性的本质联系 。
2、奈奎斯特图（幅相频率特性）
2010-5-19 27
?对于频率特性函数 G(jw)，给出 w从负无穷到正无穷的一
系列数值，分别求出 Im(G(jw))和 Re(G(jw))。以 Re(G(jw))
为横坐标,Im(G(jw)) 为纵坐标绘制成为极坐标频率特性
图。在极坐标图上能显示出系统在整个频率域的频率响应
特性。
?应用奈奎斯特稳定判据来检查线性系统稳定性时，可能
有三种情况：
1）不包围 -1+j0点，如果在右半 s平面无极点，系统稳定，
否则不稳定
2）反时针包围 -1+j0点，如果反时针包围的次数等于在右
半 s平面极点数，系统稳定，否则不稳定。
3）顺时针包围 -1+j0点，系统不稳定。
2010-5-19 28
MATLAB中函数 nyquist()来绘制系统的极坐标图，
用法如下：
?nyquist(a,b,c,d)：绘制出系统的一组 Nyquist曲线，每
条曲线相应于连续状态空间系统 [a,b,c,d]的输入 /输出
组合对。其中频率范围由函数自动选取，而且在响应
快速变化的位置会自动采用更多取样点。
?nyquist(a,b,c,d,iu)：可得到从系统第 iu个输入到所有
输出的极坐标图。
2010-5-19 29
?nyquist(num,den)：可绘制出以连续时间多项式传递
函数表示的系统的极坐标图。
?nyquist(a,b,c,d,iu,w)或 nyquist(num,den,w)：可利用指
定的角频率矢量绘制出系统的极坐标图。
?当不带返回参数时，直接在屏幕上绘制出系统的极
坐标图（图上用箭头表示 w的变化方向，负无穷到
正无穷） 。当带输出变量 [re,im,w]引用函数时，可
得到系统频率特性函数的实部 re和虚部 im及角频率
点 w矢量（为正的部分）。可以用 plot(re,im)绘制出
对应 w从负无穷到零变化的部分。
2010-5-19 30
exp04_15.m
已知系统开环传递函数为：
G(s)=2500(2s+1)(0.025s+1)^2/s^2(0.1s-1)(0.2s-1)(0.0025s+1)
求系统的极坐标频率特性图 (Nyquist曲线 )
结果分析：
可以看出，系统在 s右
半平面的极点数为 2
（ s=10,s=5）
当 ω由 0→∞ 变化时，
开环幅相特性曲线按逆
时针包围临界点 (-1,j0)
的圈数为 2,等于开环
传递函数位于 s右半平
面的极点数，系统稳定。
2010-5-19 31
exp04_16.m
已知系统的传递函数为,G(s)=K(0.5s+1)/s(s-1)，求当 K分别取 1
和 3时，系统的极坐标频率特性图 (Nyquist曲线 )
结果分析：
可以看出，系统在 s右半平
面的极点数为 1（ s=1）
当 ω由 0→∞ 变化时，开环
幅相特性曲线按逆时针包
围临界点 (-1,j0)的圈数为
1,等于开环传递函数位
于 s右半平面的极点数，系
统稳定，否则不稳定。
2010-5-19 32
稳定裕度
稳定裕度是一个闭环稳定系统稳定程度的指标 。 常用的有
相角稳定裕度 gm和幅值稳定裕度 pm。
幅值裕度 gm是在相角为 -180度处使开环增益为 1的增益量，
如在 -180度相频处的开环增益为 g，则幅值裕度 gm=1/g；
若用分贝值表示幅值裕度，则 gm=-20*log10(g)。类似地，
相角裕度 pm是当开环增益为 1.0时，相应的相角与 180度
角的和。
幅值裕度 gm只是表征系统稳定程度的指标之一，它表示系
统的开环传递系数增大到原来的 gm倍，则系统处于临界
稳定状态。相角裕度 pm表示：如果系统对频率信号的相
角滞后再增大 pm度，则系统处于临界稳定状态。应用 gm、
pm这两个指标能较好地表征系统的稳定程度。
二、常用频域分析函数
2010-5-19 33
MATLAB除了提供前面介绍的基本频域分析函数外，还
提供了大量在工程实际中广泛应用的库函数，由这些函
数可以求得系统的各种频率响应曲线和 特征值。如：
margin：求幅值裕度和相角裕度及对应的转折频率
freqs：模拟滤波器特性
nichols：求连续系统的尼科尔斯频率响应曲线（即对
数幅相曲线）
ngrid：尼科尔斯方格图
2010-5-19 34
1,margin()函数
?margin函数可以从频率响应数据中计算出幅值裕度、
相角裕度以及对应的频率。幅值裕度和相角裕度是针对
开环 SISO系统而言，它指示出系统闭环时的相对稳定
性。当不带输出变量引用时,margin可在当前图形窗口
中绘制出带有裕量及相应频率显示的 Bode图，其中幅值
裕度以分贝为单位。
?幅值裕度是在相角为 -180度处使开环增益为 1的增益量，
如在 -180度相频处的开环增益为 g，则幅值裕度为 1/g；
若用分贝值表示幅值裕度，则等于,-20*log10(g)。类似
地，相角裕度是当开环增益为 1.0时，相应的相角与 180
度角的和。
2010-5-19 35
（ 1） margin(num,den),计算出连续 (开环 )系统传递函数
表示的幅值裕度和相角裕度并绘制相应波特图。类似，
margin(a,b,c,d)可以计算出连续状态空间系统表示的幅
值裕度 gm和相角裕度 pm并绘制相应波特图。
（ 2） [gm,pm,wcg,wcp]=margin(num,den)：由幅值 mag
（不是以 dB为单位）,相角 phase及角频率 w矢量计算
出系统幅值裕度 gm和相角裕度 pm及相应的相角交界
频率 wcg、截止频率 wcp，而不直接绘出 Bode图曲线。
（ 3） [gm,pm,wcg,wcp] =margin(m,p,w)：给定频率特性
的参数向量、幅值 m（不是以 dB为单位）,相角 p及
角频率 w，由插值法计算幅值裕度 gm和相角裕度 pm。
2010-5-19 36
exp04_18.m
exp4_19.m
（ 1）由幅值,相角及角频率 w矢量计算系统幅值裕度 gm和相
角裕度 pm及相应的相角交界频率 wcg、截止频率 wcp
（ 2）由幅值 m,相角 p及角频率 w由插值法计算幅值裕度 gm和
相角裕度 pm
[gm1,gm2;pm1,pm2;wcp1,wcp2;wcg1,wcg2] 比较计算结果
2010-5-19 37
2,freqs()函数
?用于计算由矢量 a和 b构成的模拟滤波器 H(s)=B(s)/A(s)的复
频响应。
?h=freqs(b,a,w)用于计算模拟滤波器的幅频响应，其中实矢量
w用于指定频率值，返回值 h为一个复数行向量，要得到幅值必
须对它取绝对值，即求模。
?[h,w]=freqs(b,a)自动设定 200个频率点来计算频率响应，这
200个频率值记录在 w中。
?[h,w]=freqs(b,a,n)设定 n个频率点计算频率响应。
?不带输出变量的 freqs函数，将在当前图形窗口中绘制出幅频
和相频曲线，其中幅相曲线对纵坐标与横坐标均为对数分度。
)1(...)2(1
)1(...)2()1(
)(
)()(
1
1
?????
??????
?
?
nasas
mbsbsb
sA
sBsH
nn
mm
2010-5-19 38
?[h,w]＝ frqz(b,a,n)可得到数字滤波器 n个点的复频响
应, 这 n个点均匀地分布在上半单位圆 (即 0～ π ),并将这 n
点频率记录在 w中, 相应的频率响应记录在 h中 。 n值的选择
没有太多的限制, 只要 n＞ 0的整数, 但最好能选取 2的幂次
方, 这样就可采用 FFT算法进行快速计算 。 如果缺省, 则 n
＝ 512。
?[h,f]＝ frqz(b,a,n,Fs)允许指定采样终止频率 Fs(以 Hz为
单位 ),也即在 0～ Fs／ 2频率范围内选取 n个频率点 (记录在
f中 ),并计算相应的频率响应 h。
a
b
n
a
n
b
znaza
znbzbb
zA
zBzH
??
??
????
??????
)1()2(1
)1()2()1(
)(
)()(
1
1
?
?
freqz（）, 用于计算由矢量 a和 b构成的数字滤波器
H(z)=B(z)/A(z)的复频响应 H(jω)。
2010-5-19 39
?[h,w]＝ freqz(b,a,n,'whole')表示在 0～ 2π 之间
均匀选取 n个点计算频率响应。
?[h,f]＝ freqz(b,a,n,'whole',Fs)则在 0～ Fs之间
均匀选取 n个点计算频率响应。
?h＝ freqz(b,a,w)计算在矢量 w中指定的频率处的频率
响应，但必须注意，指定的频率必须介于 0～ 2π 之间。
?h＝ freqz(b,a,f,Fs)计算在矢量 f中指定频率处的
频率响应，但指定频率必须介于 0～ Fs之间。
?不带输出变量的 freqz函数可在当前图形窗口中绘制出
幅频和相频特性曲线。
2010-5-19 40
exp04_20.m
exp04_21.m
2010-5-19 41
3,nichols（）图线
由 Nyquist曲线来确定闭环系统频率响应时，应用等幅值轨
迹（ M圆）和等相角轨迹（ N圆）分析是非常方便的。在
对数幅相平面上作出 M轨迹和 N轨迹，由 M轨迹和 N轨迹
构成的图线就称为 nichols图线。 nichols图线对称于 -180o轴
线。每隔 360oM轨迹和 N轨迹重复依次，且在每个 180o的
间隔上都是对称的。 M轨迹汇集在临界点（ 0dB,-180o）
附近。若把开环频率响应曲线重叠在 nichols图线上，那么，
开环频率响应曲线与 M轨迹和 N轨迹的交点，就给出了每
一频率上闭环频率响应的幅值和相角 。如果 开环频率响应
曲线与 M轨迹 M=Mr相切，那么闭环频率响应的谐振峰值
由 Mr给定，切点的频率就是谐振频率。 响应曲线轨迹与
M=-3dB轨迹交点的频率就是 闭环系统的带宽。
2010-5-19 42
nichols：求连续系统的尼科尔斯频率响应曲线（即对数幅
相曲线）
nichols(num,den) or nichols(a,b,c,d)：
给定开环系统的数学模型, 尼柯尔斯图线作图 。 频率
w的范围自动给定 。 可由 ngrid命令在尼氏图上作尼氏
网格线
nichols(num,den,w) or nichols(a,b,c,d,w)：
给定开环系统的数学模型, 尼柯尔斯图线作图 。 频率
w的范围人工给定, 可由 ngrid命令在尼氏图上作尼氏
网格线 。
2010-5-19 43
[m,p,w]=nichols(num,den)or[m,p,w]=nichols(a,b,c,d)：
返回变量格式, 不作图 。 其中 m为频率特性 G(jω)的幅值
向量, m=∣G(j ω)∣ ； p为频率特性 G(jω)的幅角向量,
p＝ arg[G(jω)],单位为度 (。 )； w为频率向量
ngrid,在尼氏图上作尼氏网格线
Logspace( ), 对数等分向量
Logspace(d1,d2), 从 10d1到 10d2之间做对数等分分度，产
生 50个元素的对数等间隔向量。
Logspace(d1,d2,n),从 10d1到 10d2之间做对数等分分度，
给定等分数 n。
semilogx( ),半对数绘图命令
2010-5-19 44
exp04_22.m
已知系统的开环模型为 G(s)=1/s(s+1) 作尼柯尔斯图。
exp04_23.m
从曲线上可以查出,开环频率响应曲线与 M轨迹相切于 1dB，
所以系统的闭环谐振峰值大约为 1dB。 切点的频率就是谐振频
率,大约为 0.57raed/s,响应曲线轨迹与 M=-3dB轨迹交点的频
率就是 闭环系统的带宽, 大约为 1.26raed/s 。
已知系统的开环模型为 G(s)=k/s(s+1)(s+2)，当 k=2,k=10时，
分别作尼柯尔斯图。
从图中曲线可知, k=2时, 系统大约有 6dB左右的闭环谐振峰值；
k=10时, 曲线已切过无穷大点, 因此系统是不稳定的 。
2010-5-19 45
三、频域分析应用实例
结果分析,Nyquist曲线 不
包围 -1+j0点，且在右半 s平
面无极点，系统稳定。系
统稳定的临界增益
k0 = 11.0909，当系统增益
k<11时，系统幅值裕度
gm>0dB，相位裕度 pm>0o，
系统稳定； k>11时，
gm<0dB,pm<0o系统不稳
定。
exp04_24.m
已知某系统的开环传递函数为 G(s)=1/s(0.5s+1)(0.1s+1)，
（ 1） 绘制系统的 Nyquist曲线,判断闭环系统的稳定性。
（ 2） 由插值函数 spline()确定系统稳定的临界增益 k0
2010-5-19 46
exp04_25.m
已知某系统的开环传递函数为 G(s)=26/(s+6)(s-1),求
（ 1） 绘制系统的 Nyquist曲线,判断闭环系统的稳定性 。
（ 2）给系统增加一个开环极点 p=2，求 Nyquist曲线，判断系统稳定
性，并绘制系统单位阶跃响应曲线和零极点图。
结果分析：
（ 1） Nyquist曲线 逆时针
包围 -1+j0点 1次，与右半 s
平面极点数相等，系统稳
定。
（ 2）系统增加一个开环极
点 p=2后, Nyquist曲线 不
包围 -1+j0点，与在右半 s平
面极点数不相等，系统不
稳定。
2010-5-19 47
exp04_26.m
线性时不变系统如下所示，要求绘制系统的 Bode图和 Nyquist曲线，
判断系统稳定性，如果系统稳定，求出系统稳定裕度，并绘制系
统单位冲激响应验证判断结论。
? ?
ux
xy
x
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
0
0
0
1
32.0000
032.000
32.07.096.00
00004.1
0004.16.0
?
2010-5-19 48
Pade函数可以近似表示延时环节 e^(-at)，它的调用格式
为：
(num,den)=pade(t,n)：产生最佳逼近时延 t秒的 n阶传递函
数形式。 (a,b,c,d)=pade(t,n)：产生的是 n阶 SISO的状态空
间模型。
exp04_27.m
系统传递函数为
求出有理传递函数的频率响应，绘制以四阶 pade近似
表示的系统频率响应。
sesssH 5.0
3)2(
1)( ?
?
??
2010-5-19 49
exp04_28_1.m
系统结构图如下所示，用 奈奎斯特曲线判断系统的稳定
性。其中
)10625.0)(125.0)(185.0(
7.16)(
???? sss
ssG
2010-5-19 50
结果分析：从两个图的第 2子图的脉冲响应看出, 两系
统开环不稳定 。 从 figure(1)第 4子图的闭环脉冲响应
看出系统 1不稳定 。 从 奈奎斯特图上分析, 因为系统开
环有一个右半平面极点 （ s=1.2）, 奈奎斯特曲线必须
以反时针绕 （ -1,0） 点转一圈, 系统才是稳定的 。 系
统 1的奈奎斯特曲线是顺时针方向, 因此系统 1不稳定；
系统 2的奈奎斯特曲线是反时针方向, 因此系统 2稳定 。
系统传递函数为
画出其 奈奎斯特图, 判别其闭环稳定性 。 在此系统上
加一个零点 z=（ s+0.5） 后, 再做同样的工作 。
)6)(1)(2.1(
50)(
???? ssssH
exp04_28_2.m
2010-5-19 51
第四节 控制系统的根轨迹分析
?控制系统的稳定性, 由其闭环极点唯一地来确定 。 而控
制系统过渡过程的基本特性, 则与其闭环零极点在 S平面上
分布的位置有关 。 根轨迹法是在已知控制系统开环传递函
数的零极点分布的基础上, 研究某一参数变化时对系统闭
环传递函数极点分布的影响 。
?所谓根轨迹是指, 当开环系统某一参数从零变到无穷大
时, 闭环系统特征方程的根在 s平面上跟随变化的轨迹 。 一
般来说, 这一参数选作开环系统的增益 K,而在无零极点对
消时, 闭环系统特征方程的根就是闭环传递函数的极点 。
?绘制根轨迹实质上是寻求闭环特征方程的根 。
一、根轨迹分析方法的概念
2010-5-19 52
绘制根轨迹的基本法则
根轨迹的分支数,根轨迹的分支数等于闭环特征方程的阶
数 n（ 根轨迹的分支数等于闭环极点的数目 ） 。
根轨迹的连续性与对称性,根轨迹连续且对称于实轴 。
根轨迹的起点与终点,根轨迹起始于开环传递函数的极点,
终止于开环传递函数的零点 。 如果开环零点数目 m小于开环
极点数目 n,则有 n-m条根轨迹终止于无穷远处 。
实轴上的根轨迹,实轴上的根轨迹区段的右侧, 开环零,
极点数目之和应为奇数 。
根轨迹分析方法是分析和设计线性定常控制系统的图解方
法, 使用十分简便 。 利用它可以对系统进行各种性能分析 。
例 exp04_29.m
2010-5-19 53
（ 1）稳定性
当开环增益 K从零到无穷大变化时，图中的根轨迹不会
越过虚轴进入右半 s平面，因此这个系统对所有的 K值都
是稳定的。如果根轨迹越过虚轴进入右半 s平面，则其交
点的 K值就是临界稳定开环增益。
（ 2）稳态性能
开环系统在坐标原点有一个极点，因此根轨迹上的 K值
就是静态速度误差系数，如果给定系统的稳态误差要求，
则可由根轨迹确定闭环极点容许的范围。
2010-5-19 54
（ 3）动态性能
当 0<K<0.5时，所有闭环极点位于实轴上，系统为过阻尼
系统，单位阶跃响应为非周期过程；当 K=0.5时，闭环两
个极点重合，系统为临界阻尼系统，单位阶跃响应仍为
非周期过程，但速度更快；当 K>0.5时，闭环极点为复数
极点，系统为欠阻尼系统，单位阶跃响应为阻尼振荡过
程，且超调量与 K成正比。
2010-5-19 55
二、根轨迹分析函数
通常来说，绘制系统的根轨迹是很繁琐的事情，因此在教
科书中介绍的是一种按照一定规则进行绘制的概略根轨迹。
在 MATLAB中，专门提供了绘制根轨迹的有关函数。
pzmap：绘制线性系统的零极点图
rlocus：求系统根轨迹。
rlocfind：计算给定一组根的根轨迹增益。
sgrid：在连续系统根轨迹图和零极点图中绘制出阻尼
系数和自然频率栅格。
2010-5-19 56
1、零极点图绘制 exp04_30.m
MATLAB提供了函数 pzmap()来绘制系统的零极点图：
?[p,z]=pzmap(a,b,c,d)：返回状态空间描述系统的极点矢量
和零点矢量，而不在屏幕上绘制出零极点图。
?[p,z]=pzmap(num,den)：返回传递函数描述系统的极点矢
量和零点矢量，而不在屏幕上绘制出零极点图。
?pzmap(a,b,c,d)或 pzmap(num,den)：不带输出参数项，则
直接在 s复平面上绘制出系统对应的零极点位置，极点用 ×
表示，零点用 o表示。
?pzmap(p,z)：根据系统已知的零极点列向量或行向量直
接在 s复平面上绘制出对应的零极点位置，极点用 × 表示，
零点用 o表示。
2010-5-19 57
2、根轨迹图绘制
MATLAB提供了函数 rlocus()来绘制系统的根轨迹图：
?rlocus(a,b,c,d)或者 rlocus(num,den)：根据 SISO开环系统的
状态空间描述模型和传递函数模型，直接在屏幕上绘制出
系统的根轨迹图。开环增益的值从零到无穷大变化。
?rlocus(a,b,c,d,k)或 rlocus(num,den,k),通过指定开环增益
k的变化范围来绘制系统的根轨迹图。
?若给出传递函数描述系统的分子项 num为负，则利用
rlocus函数绘制的是系统的零度根轨迹。（正反馈系统或
非最小相位系统）
exp04_31_1.m exp04_31_2.m
2010-5-19 58
3,rlocfind()函数
MATLAB提供了函数 rlocfind()来找出给定的一组根
（闭环极点）对应的根轨迹增益。其用法如下：
?[k,p]=rlocfind(a,b,c,d)或者 [k,p]=rlocfind(num,den)
它要求在屏幕上先已经绘制好有关的根轨迹图。然后，
此命令将产生一个光标以用来选择希望的闭环极点。
命令执行结果,k为对应选择点处根轨迹开环增益； p
为此点处的系统闭环特征根。
?不带输出参数项 [k,p]时，同样可以执行，只是此时只
将 k的值返回到缺省变量 ans中。
exp04_31_3.m
2010-5-19 59
?sgrid：在现存的屏幕根轨迹或零极点图上绘制出自
然振荡频率 wn、阻尼比矢量 z对应的格线。
?sgrid(‘new’)：是先清屏，再画格线。
?sgrid(z,wn)：则绘制由用户指定的阻尼比矢量 z、自
然振荡频率 wn的格线。
4,sgrid()函数
2010-5-19 60
三、根轨迹分析应用实例
例 exp04_32.m
例 exp04_33.m
已知系统开环传递函数模型
要求绘制闭环系统的根轨迹，并确定交点处的增益 K。
)3)(2(
)5()(
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sss
sksH
已知系统开环传递函数模型
要求绘制闭环系统的根轨迹，分析稳定性，并绘制当
K=54和 K=56时的系统闭环脉冲响应。
22 )34(
)2()(
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ss
sksH
利用函数 [k,p]=rlocfind(num,den);找出根轨迹与虚轴
的交点处的增益，即系统临界稳定增益 K0，当 K<K0时，
系统稳定，当 K>K0时，系统不稳定。
2010-5-19 61
例 exp04_34.m
系统开环传递函数为 G(s)=k/s(s+1)(s+2)
试寻找一个合适的 k值使得闭环系统具有较理想的阶跃
响应。
通过 sgrid指令可以绘出指定阻尼比 z（射线）和自然振
荡频率 wn（圆）的栅格线。
通过 rlocfind，配合前面所画的 z及 wn栅格线，可以找
出能产生主导极点阻尼比 z=0.707的合适增益
2010-5-19 62
例 exp04_35.m
系统开环传递函数为 G(s)=1/(s^4+12s^3+30s^2+50s)
画出系统的根轨迹，并试寻找出临界点（即根在虚轴上）
的增益 k值。 转成系统的离散模型 sd。
先建立系统的连续模型 s,然后用 rlocus(s)函数画它的根
轨迹，键入 rlocfind(s)函数，用鼠标选择根轨迹与虚轴
的交点，即临界点。然后转成系统的离散模型 sd,用鼠标
求临界点及 k值 。
连续系统和离散系统根平面之间的映射关系。 s平面的左
半平面映射为 z平面圆的内部。 s平面上的虚轴映射为 z平
面单位圆边界,s平面上的原点映射为 z平面上的点 (1,0)，
而 s平面上的无穷远点映射为 z平面上的点 (-1,0)。
2010-5-19 63
? 控制系统的分析是进行控制系统设计的基础，同时也是
工程实际当中解决问题的主要方法，因而对控制系统的
分析在控制系统仿真中具有举足轻重的作用。
? 通过求取系统的零极点增益模型直接获得系统的零极点，
从而可以直接对控制系统的稳定性及是否为最小相位系
统作出判断。
? 控制系统的经典分析方法（时域、频域分析）是目前控
制系统界进行科学研究的主要方法，是进行控制系统设
计的基础，要求掌握单位阶跃响应、波特图等常用命令
的使用。
? 根轨迹分析是求解闭环特征方程根的简单的图解方法，
要求掌握根轨迹的绘制。
本章小结
