§ 3.3 单自由度弹性体系的水平地震作用与抗震设计反应谱一、单自由度体系的水平地震作用对于单自由度体系，把惯性力看作反映地震对结构体系影响的等效力，用它对结构进行抗震验算。
结构在地震持续过程中经受的最大地震作用为
ag mStxtxmtFF m a xm a x )()()(
GkGg
tx
tx
Smg g
g
a m a x
m a x
)(
)(
G ---集中于质点处的重力荷载代表值；
g ---重力加速度
max)(tx
S
g
a
---动力系数
g
txk g max)( ---地震系数
k? ---水平地震影响系数
GF
max)(tx
S
g
a
g
txk g max)(
k?
m a x
0
)(2
m a x
)(2s in)()( 12t tTg
g
dtTextxT
二、抗震设计反应谱
)(sT
0 1.0 gT gT5 0.6
max2
max45.0?
m a x2)(
T
T g?
m a x12 )]5(2.0[ gTT
---地震影响系数；?
max? ---地震影响系数最大值；
地震影响系数最大值（阻尼比为 0.05）
1.400.90(1.20)0.50(0.72)-----罕遇地震
0.320.16(0.24)0.08(0.12)0.04多遇地震
9876地震影响烈度括号数字分别对应于设计基本加速度
0.15g和 0.30g地区的地震影响系数
T ---结构周期；
)(sT
0 1.0 gT gT5 0.6
max2
max45.0?
m a x2)(
T
T g?
m a x12 )]5(2.0[ gTT
gT ---特征周期；
)(sT
0 1.0 gT gT5 0.6
max2
max45.0?
m a x2)(
T
T g?
m a x12 )]5(2.0[ gTT
地震特征周期分组的特征周期值（ s）
0.900.650.450.35第三组
0.750.550.400.30第二组
0.650.450.350.25第一组
ⅣⅢⅡⅠ场地类别
---曲线下降段的衰减指数；
1? ---直线下降段的斜率调整系数；
2? ---阻尼调整系数，小于
0.55时，应取 0.55。
55.0
05.09.0
8/)05.0(02.01
7.106.0
05.01
2?
解,（ 1）求结构体系的自振周期
k N / m2 4 9 6 01 2 4 8 02122 2 h iK c
t4.71s/m8.9/kN7 0 0/ 2 gGm
s336.02 4 9 6 0/4.712/2 KmT
（ 2）求水平地震影响系数?
查表确定 max?
16.0max
地震影响系数最大值（阻尼比为 0.05）
1.400.90(1.20)0.50(0.72)-----罕遇地震
0.320.16(0.24)0.08(0.12)0.04多遇地震
9876地震影响烈度例：单层单跨框架。屋盖刚度为无穷大，质量集中于屋盖处。已知设防烈度为 8度，设计地震分组为二组,Ⅰ 类场地；屋盖处的重力荷载代表值 G=700kN，框架柱线刚度,阻尼比为 0.05。试求该结构多遇地震时的水平地震作用。 mkN106.2/
4 hEIi cc
h=5m
查表确定 max?
16.0max
解：
例：单层单跨框架。屋盖刚度为无穷大，质量集中于屋盖处。已知设防烈度为 8度，设计地震分组为二组,Ⅰ 类场地；屋盖处的重力荷载代表值 G=700kN，框架柱线刚度,阻尼比为 0.05。试求该结构多遇地震时的水平地震作用。 mkN106.2/
4 hEIi cc
（ 1）求结构体系的自振周期
k N / m2 4 9 6 01 2 4 8 02122 2 h iK c
t4.71s/m8.9/kN7 0 0/ 2 gGm
s336.02 4 9 6 0/4.712/2 KmT
（ 2）求水平地震影响系数?
h=5m
查表确定 gT
3.0?gT
地震特征周期分组的特征周期值（ s）
0.900.650.450.35第三组
0.750.550.400.30第二组
0.650.450.350.25第一组
ⅣⅢⅡⅠ场地类别解：
例：单层单跨框架。屋盖刚度为无穷大，质量集中于屋盖处。已知设防烈度为 8度，设计地震分组为二组,Ⅰ 类场地；屋盖处的重力荷载代表值 G=700kN，框架柱线刚度,阻尼比为 0.05。试求该结构多遇地震时的水平地震作用。 mkN106.2/
4 hEIi cc
（ 1）求结构体系的自振周期
k N /m2 4 9 6 0?K t4.71? s336.0?T
（ 2）求水平地震影响系数?
16.0max
h=5m
3.0?gT
gg TTT 5
)(sT
0 1.0 gT gT5 0.6
max2
max45.0?
m ax2)(T
Tg?
m a x12 )]5(2.0[ gTTm a x2
)(TT g?
9.055.0 05.09.0
17.106.0 05.012 1 4 4.016.0)3 3 6.0/3.0( 9.0
（ 3）计算结构水平地震作用 kN8.100700144.0 GF?
三、重力荷载代表值的确定结构的重力荷载代表值等于结构和构配件自重标准值 Gk加上各可变荷载组合值。
n
i
ikQik QGG
1
ikQ ---第 i个可变荷载标准值；
Qi? ---第 i个可变荷载的组合值系数；
不考虑软钩吊车
0.3硬钩吊车
0.5其它民用建筑
0.8藏书库、档案库
1.0按实际情况考虑的楼面活荷载不考虑屋面活荷载
0.5屋面积灰荷载
0.5 雪荷载组合值系数可变荷载种类按等效均布荷载考虑的楼面活荷载吊车悬吊物重力组合值系数
§ 3.4 多自由度弹性体系的地震反应分析
— 振 型分解反应谱法
i
i+1
m1
m2
mi
mn
一,多自由度弹性体系动力分析回顾
1.自由振动分析
0 ykym
运动方程 11212111 ymykyk
22222121 ymykyk
设方程的特解为
)s in (
)s in (
22
11
tXy
tXy
0121212111 XmXkXk?
0222222121 XmXkXk?
m1
)(1 ty
m2 )(2 ty
0
0)
0
0(
2
12
2
1
2221
1211
X
X
m
m
kk
kk?
0)( 2 Xmk?
02 mk?
---频率方程
---振型方程解,
例,求图示体系的频率、振型,
已知,,;
2121 mmmkkk
02
22221
12
2
111?
mkk
kmk
m12k
1EI
1EI
1k
m2
0121212111 XmXkXk?
0222222121 XmXkXk?
kkkk 22111 kkk 2112 kk?22
02 2
2
mkk kmk
0))(2( 222 kmkmk
mk /6 1 8.01 mk /6 1 8.12
6 1 8.0
1;
6 1 8.1
1
22
12
21
11
X
X
X
X
618.1
1
1X
6 1 8.0
1
2X
1
1.618
1
0.618
1X2X
按振型振动时的运动规律
m1
)(1 ty
m2 )(2 ty
)s in ()(
)s in ()(
22
11
iii
iii
tXty
tXty
按 i振型振动时，质点的位移为质点的加速度为
)s in ()(
)s in ()(
2
22
2
11
iiii
iiii
tXty
tXty
质点上的惯性力为
)s in ()(
)s in ()(
2
22222
2
11111
iiii
iiii
tXmymtI
tXmymtI
质点上的惯性力与位移同频同步。
11X
21X
211 iiXm?
222 iiXm?
振型可看成是将按振型振动时的惯性力幅值作为静荷载所引起的静位移。
2.振型的正交性
i振型
Ni
i
i
i
X
X
X
X
2
1
i振型上的惯性力
Ni
i
i
N
i
NiiN
ii
ii
X
X
X
m
m
m
Xm
Xm
Xm
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
ii Xm2
1m 2m
iX1
Nm
iX2
NiX
1m 2m
jX1
Nm
jX2
NjX
j振型
Ni
i
i
i
X
X
X
X
2
1
i振型上的惯性力在
j振型上作的虚功
jiijiiij XXmXXmW 22221121
iTji XmX2
ii Xm 121? ii Xm 2
22?
NiiN Xm 2?
i振型
j振型
j振型上的惯性力
jj
NiiN
ii
ii
Xm
Xm
Xm
Xm
2
2
2
2
2
1
2
1
2.振型的正交性
i振型上的惯性力在
j振型上作的虚功
iTjiij XmXW 2
1m 2m
iX1
Nm
iX2
NiX
1m 2m
jX1
Nm
jX2
NjX
i振型
j振型
j振型上的惯性力在
i振型上作的虚功
jTijji XmXW 2
iTjj XmX2
jj Xm 121? jj Xm 2
22?
NjjN Xm 2?
ijji WW?
由虚功互等定理
0)( 22 iTjij XmX
0?iTj XmX
1m 2m
iX1
Nm
iX2
NiX
1m 2m
jX1
Nm
jX2
NjX
i振型
j振型
jj Xm 121? jj Xm 2
22?
NjjN Xm 2?
ijji WW?
由虚功互等定理
0)( 22 iTjij XmX
0?iTj XmX
振型对质量正交性的物理意义
02 iTjiij XmXW?
i振型上的惯性力在 j振型上作的虚功等于 0
振型对刚度的正交性,
iii XmXk 2
iTjiiTj XmXXkX 2
0?iTj XkX
振型对质量正交性的物理意义
02 iTjiij XmXW?
i振型上的惯性力在 j振型上作的虚功等于 0
振型对刚度的正交性,
iii XmXk 2
iTjiiTj XmXXkX 2
0?iTj XkX
振型对刚度正交性的物理意义
iXkP?
0 iTjTj XkXPX
i振型上的弹性力在 j振型上作的虚功等于 0
1m 2m
jX1
Nm
jX2
NjX
i振型
j振型
iX1
1P 2P NP
iX2
NiX
振型正交性的应用
1.检验求解出的振型的正确性。
例,试验证振型的正确性
mmm 2
2.对耦联运动微分方程组作解耦运算等等,
1
8 9 7.0;
1
23.2
21 XX
m
l
EI
m
EI
l
1y
2y
31
7
48
7
18
7
18
7
12
l
EI
k?
mmmXmX T 0 0 0 3 1.01897.020 0123.221
)/(0 0 0 1 5 4.01897.07/487/18 7/187/12123.2 321 lEIXkX T?
三,振型分解法 (不计阻尼 )
运动方程
)()()( tPtyktym
1m 2m
)(1 ty
)(1 tP
Nm
)(2 tP )(tPN
)(2 ty )(tyN设
N
i
ii tDXty
1
)()(
),2,1( Nj
)())(())((
11
tPtDXktDXm N
i
ii
N
i
ii
)())(())((
11
tPXtDXkXtDXmX TjN
i
ii
T
j
N
i
ii
T
j
)()()( tPXtDXkXtDXmX TjjjTjjjTj
)()()( *** tPtDKtDM jjjjj
代入运动方程，得方程两端左乘TjX
)(tDj
*jM
)(* tPj
*jK
折算体系
jjj XmXk 2
jTjjjTj XmXXkX 2
**2 / jjj MK
),2,1( Nj )()()( *** tPtDKtDM jjjjj
jTjj XmXM?* ---j振型广义质量
---j振型广义荷载
jTjj XkXK?*
)(* tPXP Tjj?
---j振型广义刚度
*
*
*
* )(
)()(
j
j
j
j
j
j M
tPtD
M
KtD
*
* )(
)()(
j
j
jjj M
tPtDtD
计算步骤,
2.求广义质量、广义荷载 ;
3.求组合系数 ;
4.按下式求位移：
N
i
ii tDXty
1
)()(
1.求振型、频率, njX
jj?,2,1,
jTjj XmXM?*)(* tPXP Tjj?
),2,1( nj
*
* )(
)()(
j
j
jjj M
tPtDtD
),2,1( nj
)(tDj
*jM
)(* tPj
*jK
折算体系例一,求图示体系的稳态振幅,
mmm 21
解,
mXmXM T 211*1
tPtPtPXtP T s in0s in11)()( 1*1
1m 2m
)(1 ty
tP?sin
)(2 ty
EI
3/415.3 mlEI
3231 0 4 5.226 9 2.5 ml
EI
ml
EI
1
1
1X
1
1
2X
mXmXM T 222*2
tPtPXtP T?s in)()( 2*2
*1*11211 /)()()( MtPtDtD
)(1 tD
*1MtP?sin
*1K
tEIPl?s in104 1 1.2 32
*2*22222 /)()()( MtPtDtD
tEIPltD?s in101054.0)( 322
tDtD st s in)( 1,11?
tmP s in/1 12 222
1 1?
2211)( DXDXty
2211)( DXDXty
tEIPltEIPlty ty s in101054.011s in10411.211)( )(
3
2
3
2
2
1
tEIPl?s in103 0 5 9.2 5 1 6 7.2
3
2
EI
Pl
A
A 32
2
1 10
3059.2
5167.2
从结果看,低阶振型贡献大。
一般不需要用全部振型叠加,
用前几个低阶振型叠加即可。
例二,求图示体系在突加荷载作用下的位移反应,
解,
m12k
1EI
1EI
1k
m2kNP 8?已知,;102;103 3
231 kNkkNk;1 0 2 0 021 kgmmm
加荷前静止。
ss /125.24;/1899.9 21
2
1
1X
2/1
1
2X
kgXmXM T 5100011*1
kgXmXM T 1275022*2
kNtPXtP T 168021)()( 1*1
kNtPXtP T 4)()( 2*2
t dtMPtD 0 1
1
*
1
*
1
1 )s in (
)()(
)c o s1( 1
1
*
1
*
1 t
M
P?
)c o s1(0 0 3 2.0 1 t
)cos1(0 0 0 5 3 4.0)( 22 ttD
)(2/11)(21)( )( 21
2
1 tDtD
ty
ty?
t
ty
2
11
c o s0 0 0 5 3 4.0
c o s0 0 3 2.00 0 2 6 7.0
t
ty
2
12
c o s0 0 0 2 6 7.0
c o s0 0 6 4.00 0 6 6 7.0
三,振型分解法 (计阻尼 )
阻尼力)(tycf D 1m 2m
)(1 ty
)(1 tP
Nm
)(2 tP )(tPN
)(2 ty )(tyN
1Df 2Df DNf
NNNN
N
N
ccc
ccc
ccc
c
21
22221
11211
--阻尼矩阵
ijc --当质点 j有单位速度,其余质点速度为 0时,
质点 i上的阻尼力,
)1(?jy?
若下式成立
jiC
jiXcX
j
j
T
i *
0
则将 称作正交阻尼矩阵,称作振型 j的广义阻尼系数,c *jc
运动方程
Pykycym
设
N
i
ii tDXty
1
)()(
),2,1( Nj )()()()( **** tPtDKtDCtDM jjjjjjj
1m 2m
)(1 ty
)(1 tP
Nm
)(2 tP )(tPN
)(2 ty )(tyN
1Df 2Df DNf
令 ** 2
jjjj MC
** /)()()(2)( jjjjjjjj MtPtDtDtD
j? --第 j振型阻尼比 (由试验确定 ).
计算步骤,1.求振型、频率 ;
2.求广义质量、广义荷载 ;
4.求组合系数 ;
5.求位移 ;
N
i
ii tDXty
1
)()(
3.确定振型阻尼比 ;
四,正交阻尼矩阵的构成
kamac 10
其中,a 0,a1由试验确定。
通过实测获得两个振型阻尼比 和 。j?i?
iTiiTiiTi XkXaXmXaXcX 10
*1*0* iii KaMac
** 2 iiii Mc
)(2 1 210 i
i
i aa
同理 )(
2
1 2
10 j
j
j aa
---瑞利阻尼矩阵例,已知图示体系求,c,
3?
m
1EI
1EI
k
m2
1EI
k
k m
m
mk /4 4 5.01
mk /2 4 7.12
mk /8 0 2.13
05.021
解,)(
2
1 2
110
1
1 aa
)(2 1 2210
2
2 aa
mka /0 3 2 8.00?
kma /0 5 9 1.01?
)(2 1 2310
3
3 aa
0624.0?
kamac 10
mm
1
1
1
m
1EI
1EI
k
m2
1EI
k
k m
m
解,)(
2
1 2
110
1
1 aa
)(2 1 2210
2
2 aa
mka /0 3 2 8.00?
kma /0 5 9 1.01?
)(2 1 2310
3
3 aa
0624.0?
kamac 10
mm
1
1
1
kk
110
121
012
kmc
0 9 1 9.00 5 9 1.00
0 5 9 1.0151.00 5 9 1.0
00 5 9 1.0151.0
结构在地震持续过程中经受的最大地震作用为
ag mStxtxmtFF m a xm a x )()()(
GkGg
tx
tx
Smg g
g
a m a x
m a x
)(
)(
G ---集中于质点处的重力荷载代表值；
g ---重力加速度
max)(tx
S
g
a
---动力系数
g
txk g max)( ---地震系数
k? ---水平地震影响系数
GF
max)(tx
S
g
a
g
txk g max)(
k?
m a x
0
)(2
m a x
)(2s in)()( 12t tTg
g
dtTextxT
二、抗震设计反应谱
)(sT
0 1.0 gT gT5 0.6
max2
max45.0?
m a x2)(
T
T g?
m a x12 )]5(2.0[ gTT
---地震影响系数；?
max? ---地震影响系数最大值；
地震影响系数最大值（阻尼比为 0.05）
1.400.90(1.20)0.50(0.72)-----罕遇地震
0.320.16(0.24)0.08(0.12)0.04多遇地震
9876地震影响烈度括号数字分别对应于设计基本加速度
0.15g和 0.30g地区的地震影响系数
T ---结构周期；
)(sT
0 1.0 gT gT5 0.6
max2
max45.0?
m a x2)(
T
T g?
m a x12 )]5(2.0[ gTT
gT ---特征周期；
)(sT
0 1.0 gT gT5 0.6
max2
max45.0?
m a x2)(
T
T g?
m a x12 )]5(2.0[ gTT
地震特征周期分组的特征周期值（ s）
0.900.650.450.35第三组
0.750.550.400.30第二组
0.650.450.350.25第一组
ⅣⅢⅡⅠ场地类别
---曲线下降段的衰减指数；
1? ---直线下降段的斜率调整系数；
2? ---阻尼调整系数，小于
0.55时，应取 0.55。
55.0
05.09.0
8/)05.0(02.01
7.106.0
05.01
2?
解,（ 1）求结构体系的自振周期
k N / m2 4 9 6 01 2 4 8 02122 2 h iK c
t4.71s/m8.9/kN7 0 0/ 2 gGm
s336.02 4 9 6 0/4.712/2 KmT
（ 2）求水平地震影响系数?
查表确定 max?
16.0max
地震影响系数最大值（阻尼比为 0.05）
1.400.90(1.20)0.50(0.72)-----罕遇地震
0.320.16(0.24)0.08(0.12)0.04多遇地震
9876地震影响烈度例：单层单跨框架。屋盖刚度为无穷大，质量集中于屋盖处。已知设防烈度为 8度，设计地震分组为二组,Ⅰ 类场地；屋盖处的重力荷载代表值 G=700kN，框架柱线刚度,阻尼比为 0.05。试求该结构多遇地震时的水平地震作用。 mkN106.2/
4 hEIi cc
h=5m
查表确定 max?
16.0max
解：
例：单层单跨框架。屋盖刚度为无穷大，质量集中于屋盖处。已知设防烈度为 8度，设计地震分组为二组,Ⅰ 类场地；屋盖处的重力荷载代表值 G=700kN，框架柱线刚度,阻尼比为 0.05。试求该结构多遇地震时的水平地震作用。 mkN106.2/
4 hEIi cc
（ 1）求结构体系的自振周期
k N / m2 4 9 6 01 2 4 8 02122 2 h iK c
t4.71s/m8.9/kN7 0 0/ 2 gGm
s336.02 4 9 6 0/4.712/2 KmT
（ 2）求水平地震影响系数?
h=5m
查表确定 gT
3.0?gT
地震特征周期分组的特征周期值（ s）
0.900.650.450.35第三组
0.750.550.400.30第二组
0.650.450.350.25第一组
ⅣⅢⅡⅠ场地类别解：
例：单层单跨框架。屋盖刚度为无穷大，质量集中于屋盖处。已知设防烈度为 8度，设计地震分组为二组,Ⅰ 类场地；屋盖处的重力荷载代表值 G=700kN，框架柱线刚度,阻尼比为 0.05。试求该结构多遇地震时的水平地震作用。 mkN106.2/
4 hEIi cc
（ 1）求结构体系的自振周期
k N /m2 4 9 6 0?K t4.71? s336.0?T
（ 2）求水平地震影响系数?
16.0max
h=5m
3.0?gT
gg TTT 5
)(sT
0 1.0 gT gT5 0.6
max2
max45.0?
m ax2)(T
Tg?
m a x12 )]5(2.0[ gTTm a x2
)(TT g?
9.055.0 05.09.0
17.106.0 05.012 1 4 4.016.0)3 3 6.0/3.0( 9.0
（ 3）计算结构水平地震作用 kN8.100700144.0 GF?
三、重力荷载代表值的确定结构的重力荷载代表值等于结构和构配件自重标准值 Gk加上各可变荷载组合值。
n
i
ikQik QGG
1
ikQ ---第 i个可变荷载标准值；
Qi? ---第 i个可变荷载的组合值系数；
不考虑软钩吊车
0.3硬钩吊车
0.5其它民用建筑
0.8藏书库、档案库
1.0按实际情况考虑的楼面活荷载不考虑屋面活荷载
0.5屋面积灰荷载
0.5 雪荷载组合值系数可变荷载种类按等效均布荷载考虑的楼面活荷载吊车悬吊物重力组合值系数
§ 3.4 多自由度弹性体系的地震反应分析
— 振 型分解反应谱法
i
i+1
m1
m2
mi
mn
一,多自由度弹性体系动力分析回顾
1.自由振动分析
0 ykym
运动方程 11212111 ymykyk
22222121 ymykyk
设方程的特解为
)s in (
)s in (
22
11
tXy
tXy
0121212111 XmXkXk?
0222222121 XmXkXk?
m1
)(1 ty
m2 )(2 ty
0
0)
0
0(
2
12
2
1
2221
1211
X
X
m
m
kk
kk?
0)( 2 Xmk?
02 mk?
---频率方程
---振型方程解,
例,求图示体系的频率、振型,
已知,,;
2121 mmmkkk
02
22221
12
2
111?
mkk
kmk
m12k
1EI
1EI
1k
m2
0121212111 XmXkXk?
0222222121 XmXkXk?
kkkk 22111 kkk 2112 kk?22
02 2
2
mkk kmk
0))(2( 222 kmkmk
mk /6 1 8.01 mk /6 1 8.12
6 1 8.0
1;
6 1 8.1
1
22
12
21
11
X
X
X
X
618.1
1
1X
6 1 8.0
1
2X
1
1.618
1
0.618
1X2X
按振型振动时的运动规律
m1
)(1 ty
m2 )(2 ty
)s in ()(
)s in ()(
22
11
iii
iii
tXty
tXty
按 i振型振动时，质点的位移为质点的加速度为
)s in ()(
)s in ()(
2
22
2
11
iiii
iiii
tXty
tXty
质点上的惯性力为
)s in ()(
)s in ()(
2
22222
2
11111
iiii
iiii
tXmymtI
tXmymtI
质点上的惯性力与位移同频同步。
11X
21X
211 iiXm?
222 iiXm?
振型可看成是将按振型振动时的惯性力幅值作为静荷载所引起的静位移。
2.振型的正交性
i振型
Ni
i
i
i
X
X
X
X
2
1
i振型上的惯性力
Ni
i
i
N
i
NiiN
ii
ii
X
X
X
m
m
m
Xm
Xm
Xm
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
ii Xm2
1m 2m
iX1
Nm
iX2
NiX
1m 2m
jX1
Nm
jX2
NjX
j振型
Ni
i
i
i
X
X
X
X
2
1
i振型上的惯性力在
j振型上作的虚功
jiijiiij XXmXXmW 22221121
iTji XmX2
ii Xm 121? ii Xm 2
22?
NiiN Xm 2?
i振型
j振型
j振型上的惯性力
jj
NiiN
ii
ii
Xm
Xm
Xm
Xm
2
2
2
2
2
1
2
1
2.振型的正交性
i振型上的惯性力在
j振型上作的虚功
iTjiij XmXW 2
1m 2m
iX1
Nm
iX2
NiX
1m 2m
jX1
Nm
jX2
NjX
i振型
j振型
j振型上的惯性力在
i振型上作的虚功
jTijji XmXW 2
iTjj XmX2
jj Xm 121? jj Xm 2
22?
NjjN Xm 2?
ijji WW?
由虚功互等定理
0)( 22 iTjij XmX
0?iTj XmX
1m 2m
iX1
Nm
iX2
NiX
1m 2m
jX1
Nm
jX2
NjX
i振型
j振型
jj Xm 121? jj Xm 2
22?
NjjN Xm 2?
ijji WW?
由虚功互等定理
0)( 22 iTjij XmX
0?iTj XmX
振型对质量正交性的物理意义
02 iTjiij XmXW?
i振型上的惯性力在 j振型上作的虚功等于 0
振型对刚度的正交性,
iii XmXk 2
iTjiiTj XmXXkX 2
0?iTj XkX
振型对质量正交性的物理意义
02 iTjiij XmXW?
i振型上的惯性力在 j振型上作的虚功等于 0
振型对刚度的正交性,
iii XmXk 2
iTjiiTj XmXXkX 2
0?iTj XkX
振型对刚度正交性的物理意义
iXkP?
0 iTjTj XkXPX
i振型上的弹性力在 j振型上作的虚功等于 0
1m 2m
jX1
Nm
jX2
NjX
i振型
j振型
iX1
1P 2P NP
iX2
NiX
振型正交性的应用
1.检验求解出的振型的正确性。
例,试验证振型的正确性
mmm 2
2.对耦联运动微分方程组作解耦运算等等,
1
8 9 7.0;
1
23.2
21 XX
m
l
EI
m
EI
l
1y
2y
31
7
48
7
18
7
18
7
12
l
EI
k?
mmmXmX T 0 0 0 3 1.01897.020 0123.221
)/(0 0 0 1 5 4.01897.07/487/18 7/187/12123.2 321 lEIXkX T?
三,振型分解法 (不计阻尼 )
运动方程
)()()( tPtyktym
1m 2m
)(1 ty
)(1 tP
Nm
)(2 tP )(tPN
)(2 ty )(tyN设
N
i
ii tDXty
1
)()(
),2,1( Nj
)())(())((
11
tPtDXktDXm N
i
ii
N
i
ii
)())(())((
11
tPXtDXkXtDXmX TjN
i
ii
T
j
N
i
ii
T
j
)()()( tPXtDXkXtDXmX TjjjTjjjTj
)()()( *** tPtDKtDM jjjjj
代入运动方程，得方程两端左乘TjX
)(tDj
*jM
)(* tPj
*jK
折算体系
jjj XmXk 2
jTjjjTj XmXXkX 2
**2 / jjj MK
),2,1( Nj )()()( *** tPtDKtDM jjjjj
jTjj XmXM?* ---j振型广义质量
---j振型广义荷载
jTjj XkXK?*
)(* tPXP Tjj?
---j振型广义刚度
*
*
*
* )(
)()(
j
j
j
j
j
j M
tPtD
M
KtD
*
* )(
)()(
j
j
jjj M
tPtDtD
计算步骤,
2.求广义质量、广义荷载 ;
3.求组合系数 ;
4.按下式求位移：
N
i
ii tDXty
1
)()(
1.求振型、频率, njX
jj?,2,1,
jTjj XmXM?*)(* tPXP Tjj?
),2,1( nj
*
* )(
)()(
j
j
jjj M
tPtDtD
),2,1( nj
)(tDj
*jM
)(* tPj
*jK
折算体系例一,求图示体系的稳态振幅,
mmm 21
解,
mXmXM T 211*1
tPtPtPXtP T s in0s in11)()( 1*1
1m 2m
)(1 ty
tP?sin
)(2 ty
EI
3/415.3 mlEI
3231 0 4 5.226 9 2.5 ml
EI
ml
EI
1
1
1X
1
1
2X
mXmXM T 222*2
tPtPXtP T?s in)()( 2*2
*1*11211 /)()()( MtPtDtD
)(1 tD
*1MtP?sin
*1K
tEIPl?s in104 1 1.2 32
*2*22222 /)()()( MtPtDtD
tEIPltD?s in101054.0)( 322
tDtD st s in)( 1,11?
tmP s in/1 12 222
1 1?
2211)( DXDXty
2211)( DXDXty
tEIPltEIPlty ty s in101054.011s in10411.211)( )(
3
2
3
2
2
1
tEIPl?s in103 0 5 9.2 5 1 6 7.2
3
2
EI
Pl
A
A 32
2
1 10
3059.2
5167.2
从结果看,低阶振型贡献大。
一般不需要用全部振型叠加,
用前几个低阶振型叠加即可。
例二,求图示体系在突加荷载作用下的位移反应,
解,
m12k
1EI
1EI
1k
m2kNP 8?已知,;102;103 3
231 kNkkNk;1 0 2 0 021 kgmmm
加荷前静止。
ss /125.24;/1899.9 21
2
1
1X
2/1
1
2X
kgXmXM T 5100011*1
kgXmXM T 1275022*2
kNtPXtP T 168021)()( 1*1
kNtPXtP T 4)()( 2*2
t dtMPtD 0 1
1
*
1
*
1
1 )s in (
)()(
)c o s1( 1
1
*
1
*
1 t
M
P?
)c o s1(0 0 3 2.0 1 t
)cos1(0 0 0 5 3 4.0)( 22 ttD
)(2/11)(21)( )( 21
2
1 tDtD
ty
ty?
t
ty
2
11
c o s0 0 0 5 3 4.0
c o s0 0 3 2.00 0 2 6 7.0
t
ty
2
12
c o s0 0 0 2 6 7.0
c o s0 0 6 4.00 0 6 6 7.0
三,振型分解法 (计阻尼 )
阻尼力)(tycf D 1m 2m
)(1 ty
)(1 tP
Nm
)(2 tP )(tPN
)(2 ty )(tyN
1Df 2Df DNf
NNNN
N
N
ccc
ccc
ccc
c
21
22221
11211
--阻尼矩阵
ijc --当质点 j有单位速度,其余质点速度为 0时,
质点 i上的阻尼力,
)1(?jy?
若下式成立
jiC
jiXcX
j
j
T
i *
0
则将 称作正交阻尼矩阵,称作振型 j的广义阻尼系数,c *jc
运动方程
Pykycym
设
N
i
ii tDXty
1
)()(
),2,1( Nj )()()()( **** tPtDKtDCtDM jjjjjjj
1m 2m
)(1 ty
)(1 tP
Nm
)(2 tP )(tPN
)(2 ty )(tyN
1Df 2Df DNf
令 ** 2
jjjj MC
** /)()()(2)( jjjjjjjj MtPtDtDtD
j? --第 j振型阻尼比 (由试验确定 ).
计算步骤,1.求振型、频率 ;
2.求广义质量、广义荷载 ;
4.求组合系数 ;
5.求位移 ;
N
i
ii tDXty
1
)()(
3.确定振型阻尼比 ;
四,正交阻尼矩阵的构成
kamac 10
其中,a 0,a1由试验确定。
通过实测获得两个振型阻尼比 和 。j?i?
iTiiTiiTi XkXaXmXaXcX 10
*1*0* iii KaMac
** 2 iiii Mc
)(2 1 210 i
i
i aa
同理 )(
2
1 2
10 j
j
j aa
---瑞利阻尼矩阵例,已知图示体系求,c,
3?
m
1EI
1EI
k
m2
1EI
k
k m
m
mk /4 4 5.01
mk /2 4 7.12
mk /8 0 2.13
05.021
解,)(
2
1 2
110
1
1 aa
)(2 1 2210
2
2 aa
mka /0 3 2 8.00?
kma /0 5 9 1.01?
)(2 1 2310
3
3 aa
0624.0?
kamac 10
mm
1
1
1
m
1EI
1EI
k
m2
1EI
k
k m
m
解,)(
2
1 2
110
1
1 aa
)(2 1 2210
2
2 aa
mka /0 3 2 8.00?
kma /0 5 9 1.01?
)(2 1 2310
3
3 aa
0624.0?
kamac 10
mm
1
1
1
kk
110
121
012
kmc
0 9 1 9.00 5 9 1.00
0 5 9 1.0151.00 5 9 1.0
00 5 9 1.0151.0
