3 线性网络的一般分析方法电阻电路分析方法：
一、等效变换 — 求局部响应二,一般分析方法 — 系统化求响应三、网络定理一般分析方法包括：
1 支路法
2 网孔法
3 节点法
4 回路法
5 割集法一般分析方法基本步骤：
1 选一组特定变量；
2 列方程：两类约束；
3 求解变量；
4 求待求响应。
3-1 支路分析法支路电流法
R1
+
us1
-
B
R2
+
us2
-
A C
R5
R4 R
6
R3
D
6个支路电流为变量，如图 i1 i4
i6
i3
i5 i2
对节点 A,B、
C,D分别列 KCL
R1
+
us1
-
B
R2
+
us2
-
A C
R5
R4 R
6
R3
D
i1 i4
i6
i3
i5 i2
0431 iii
0654 iii
0632 iii
0521 iii
三个方程独立，
另一方程可有其余三个得到。
R1
+
us1
-
B
R2
+
us2
-
A C
R5
R4 R6
R3
D
i1 i4
i6
i3
i5 i2
对七个回路分别列 KVL
)1(011
15544
iR
uiRiR s
回路 BCDB
)2(055
22266
iR
uiRiR s
回路 ACBA )3(0
446633 iRiRiR
回路 ABDA
)2()1(
01112226644
iRuuiRiRiR ss
回路 ABCDA
R1
+
us1
-
B
R2
+
us2
-
A C
R5
R4 R6
R3
D
i1 i4
i6
i3
i5 i2
)3(044
6633
iR
iRiR
)1(011
15544
iR
uiRiR s
)2(055
22266
iR
uiRiR s
回路 ACBDA
R1
+
us1
-
B
R2
+
us2
-
A C
R5
R4 R6
R3
D
i1 i4
i6
i3
i5 i2
)3(044
6633
iR
iRiR
)1(011
15544
iR
uiRiR s
)2(055
22266
iR
uiRiR s
)3()1(
0111556633
iRuiRiRiR s
回路 ACDBA
R1
+
us1
-
B
R2
+
us2
-
A C
R5
R4 R6
R3
D
i1 i4
i6
i3
i5 i2
)3(044
6633
iR
iRiR
)1(011
15544
iR
uiRiR s
)2(055
22266
iR
uiRiR s
)3()2(
0445522233
iRiRuiRiR s
回路 ACDA
R1
+
us1
-
B
R2
+
us2
-
A C
R5
R4 R6
R3
D
i1 i4
i6
i3
i5 i2
)3(044
6633
iR
iRiR
)1(011
15544
iR
uiRiR s
)2(055
22266
iR
uiRiR s
)3()2()1(
011122233
iRuuiRiR ss
结论：
4个节点,6条支路。只有 3个独立节点，可列 3个独立 KCL方程； 3个独立回路，可列 3 个独立 KVL方程。
一般,n个节点,b条支路。只有 (n-1)
个独立节点，可列 (n-1)个独立 KCL方程；
独立回路数 l=b-(n-1)个，可列 l 个独立
KVL方程。（常选网孔为独立回路）
支路电流分析法步骤：
1 选各支流电流的参考方向；
2 对 (n-1)个独立节点 列 KCL方程；
3 选 b-(n-1)独立回路列 KVL方程；
4 求解支路电流及其他响应。
独立节点的选取：
任选一个为参考节点，其余即为独立节点。
独立回路的选取：
每选一个新回路，应含一条特有的新支路。
I II
例 1 us1 =30V,us2=20V,R1 =18,
R2 = R3=4,求各支路电流及 u AB
R1
+
us1
-
R2
+
us2
-
A
R3
i1 i2
i3
B
解：（ 1）取支路电流 i1,i2,i3
（ 2）列方程：
KCL
0321 iii
KVL
013311 SuiRiR
023322 SuiRiR
0321 iii
30418 31 ii
2044 32 ii
(3)解方程
160
440
4018
111
D
16 0
4420
4030
110
1
D
0321 iii
30418 31 ii
2044 32 ii
32 0
4200
43018
101
2
D
480
2040
30018
011
3D
A
D
Di 1
1 6 0
1 6 01
1
A
D
Di 2
160
3202
2
A
D
Di 3
160
4803
3
（ 4）求其它响应
ViRu AB 123433
支路法优点：直接求解电流（电压）。
不足：变量多（称为“完备而不独立”），列方程无规律。
一组最少变量应满足：
独立性 —— 彼此不能相互表示；
完备性 —— 其他量都可用它们表示。
n个节点,b条支路的网络。
只需,l=b-(n-1)个电流变量；
或 (n-1)个电压变量。
完备和独立的变量数目：
3-2 网孔分析法
3-2-1 网孔电流和网孔方程网孔电流,沿网孔边界流动的 假想 电流。
网孔电流：独立，完备的电流变量。
网孔：独立回路
R1
+
us1
-
B
R2
+
us2
-
A C
R5
R4 R
6
R3
D
i1 i4
i6
i3
i5
i2
- us3 +
+ us4 -
im1 im2
im3
独立 — 不受 KCL约束（ 流入节点，又流出 ）
网孔电流完备
11 mii?
22 mii
33 mii?
134 mm iii
215 mm iii
236 mm iii
R1
+
us1
-
B
R2
+
us2
-
A C
R5
R4 R6
R3
D
i1 i4
i6
i3
i5
i2
- us3 +
+ us4 -
im1 im2
im3列 KVL:
网孔 1
0)()( 2153144
111
mmmmS
mS
iiRiiRu
iRu
R1
+
us1
-
B
R2
+
us2
-
A C
R5
R4 R6
R3
D
i1 i4
i6
i3
i5
i2
- us3 +
+ us4 -
im1 im2
im3网孔 2
0)()( 326125
222
mmmm
Sm
iiRiiR
uiR
R1
+
us1
-
B
R2
+
us2
-
A C
R5
R4 R6
R3
D
i1 i4
i6
i3
i5
i2
- us3 +
+ us4 -
im1 im2
im3网孔 3
0)()( 4134236
333
Smmmm
Sm
uiiRiiR
uiR
0)(
)(
215
3144111
mm
mmSmS
iiR
iiRuiRu
0)(
)(
4134
236333
Smm
mmSm
uiiR
iiRviR
0)()( 326125222 mmmmSm iiRiiRuiR
整理
4134251541 )( SSmmm uuiRiRiRRR
236265215 )( Smmm uiRiRRRiR
4335432614 )( SSmmm uuiRRRiRiR
4134251541 )( SSmmm uuiRiRiRRR
236265215 )( Smmm uiRiRRRiR
4335432614 )( SSmmm uuiRRRiRiR
41351254111 RRRRRRRR
62365222521 RRRRRRRR
54333632431 RRRRRRRR
1313212111 Smmmm uiRiRiR
2323222121 Smmmm uiRiRiR
3333232131 Smmmm uiRiRiR
一般形式：
自电阻 R i i — i网孔内所有电阻之和（正）
R1
+
us1
-
B
R2
+
us2
-
A C
R5
R4 R6
R3
D
i1 i4
i6
i3
i5
i2
- us3 +
+ us4
-
im1 i
m2
im3
54111 RRRR
65222 RRRR
54333 RRRR
主对角线系数：
413
512
RR
RR
623
521
RR
RR
632
431
RR
RR
互电阻 R i j — 相邻 网孔 i和 j公共电阻之和
R1
+
us1
-
B
R2
+
us2
-
A C
R5
R4 R6
R3
D
i1 i4
i6
i3
i5
i2
- us3 +
+ us4 -
im1 i
m2
im3
非主对角线系数：
22 SSm uu
433 SSSm uuu
u S m i = i网孔沿绕行方向的电压升
R1
+
us1
-
B
R2
+
us2
-
A C
R5
R4 R6
R3
D
i1 i4
i6
i3
i5
i2
- us3 +
+ us4 -
im1 i
m2
im3
网孔法 直接列写规则,
电压升的代数和向所含电压源本网孔中沿网孔电流方相邻网孔的网孔电流互电阻本网孔的网孔电流自电阻
网孔分析法步骤：
1 设定网孔电流的参考方向；
2 列网孔方程，求取网孔电流；
3 求支路电流及其他响应；
4 应用 KVL验证；
注意：网孔电流自动满足 KCL！
解：（ 1）设网孔电流 im1,im2
（ 2）列网孔方程
3123131 )( SSmm uuiRiRR
R1
+
us1
-
R2
+
us2
-
R3
i1 i2
i3
+
us3
-
im1 im2
例 2 us1 =20V,us2=30V,us3=10V,R1
=1,R2 =6,R3=2,用网孔法求各支路电流
2323213 )( SSmm uuiRRiR
整理，得
A
D
D
i
m
2
20
40
82
23
820
210
1
1
1023 21 mm ii
2082 21 mm ii
1023 21 mm ii
2082 21 mm ii
A
D
D
i m 2
20
40
20
202
103
1
2
（ 3）支路电流
Aii m 211
Aiii mm 4213
Aii m 222
R1
+
us1
-
R2
+
us2
-
R3
i1 i2
i3
+
us3
-
im1 im2
（ 4）验证：大回路，
0222111 SS uiRiRu
3-2-2 含有电流源网络的网孔方程处理方法：
（ 1）有伴时，化为戴维南模型；
（ 2）无伴时,(a)移至电路最外边，
为一网孔独有；
(b)设未知量 u x,增加列一个辅助方程。
首先,1.开路与电压源并联的电阻；
2,短路与电流源串联的电阻。
解,独立电流源处理例 3 求 i x和 u x
5
+
5V
-
5
+10V
-
2
1A
ix3A
2
2A
+ u x -
5
+
5V
-
5
+10V
-
2
1A
ix3A
2
-10V+
+ux-
（ 1）设网孔电流方向 i1,i2,i3,i4
i1 i2 i3
i4(2)列方程
Ai 31?
xuii 52423 32
5
+
5V
-
5
+10V
-
2
1A
ix3A
2
-10V+
+ux-
i1 i2 i3
i4
10572 432 iii
xuii 10105 43辅助方程
142 ii
10572 432 iii
xuii 10105 43辅助方程
142 ii
Ai 31?
xuii 52423 32
Ai 31?
Ai 7/162?
Ai 7/13?
Ai 7/94?
Vv x 7/15?
（ 3）求其它
Aii x 7/13
3-2-3 含受控源网络的网孔方程
（ 1）受控源按独立源处理，列网孔方程；
（ 2）辅助方程：控制量用网孔电流表示。
2
+
12V
-
6
-
2u
+
4
+
u
-
例 4 列网孔方程
i1 i2
（ 1）设网孔电流方向 i1,i2
(2)列方程
uii 2)64(4 21
辅助方程 )(4
21 iiu
124)42( 21 ii
3-3 节点分析法
3-3-1 节点电压和节点方程节点电压：节点与参考节点间的电压节点电压,完备，独立
n节点的网络，有 n-1个独立节点，
列 KCL方程：
iS2
G3
i2
+
un1
-
iS1
i5
i3
i1
iS3
G2
G4 G6
G5G1 +
un2
-
+
un3
-
i4 i61 2 3
4
4为参考节点其余节点
KCL分别为：
043
311
ii
iii
S
S
063322 iiiii SS
0654 iii
iS2
G3
i2
+
un1
-
iS1
i5
i3
i1
iS3
G2
G4 G6
G5G1 +
un2
-
+
un3
-
i4 i61 2 3
4
支路电流用节点电压表示：
322
111
n
n
uGi
uGi
)(
)(
1244
3133
nn
nn
uuGi
uuGi
)( 2366
255
nn
n
uuGi
uGi
043311 iiiii SS
063322 iiiii SS
0654 iii
342111 nn uGiuGi
)()( 12443133 nnnn uuGiuuGi
)( 2366255 nnn uuGiuGi
3133241431 )( SSnnn iiuGuGuGGG
0)( 36265414 nnn uGuGGGuG
3236322613 )( SSnnn iiuGGGuGuG
3133241431 )( SSnnn iiuGuGuGGG
0)( 36265414 nnn uGuGGGuG
3236322613 )( SSnnn iiuGGGuGuG
31341243111 GGGGGGGG
62365422421 GGGGGGGG
63233632331 GGGGGGGG
2323222121 Snnnn iuGuGuG
1313212111 Snnnn iuGuGuG
3333232131 Snnnn iuGuGuG
节点方程一般形式
iS2
G3
i2
+
un1
-
iS1
i5
i3
i1
iS3
G2
G4 G6
G5G1 +
un2
-
+
un3
-
i4 i61 2 3
4
43111 GGGG
65422 GGGG
63233 GGGG
主对角线系数自电导,G i i
— 与节点 i相连电导之和（正）
42112 GGG
63223 GGG
33113 GGG iS2
G3
i2
+
un1
-
iS1
i5
i3
i1
iS3
G2
G4 G6
G5G1 +
un2
-
+
un3
-
i4 i61 2 3
4
非对角线系数互电导,G i j
— 节点 i和 j间公共支路电导之和（负）
311 SSSn iii
323 SSSn iii
02?Sni iS2
G3
i2
+
un1
-
iS1
i5
i3
i1
iS3
G2
G4 G6
G5G1 +
un2
-
+
un3
-
i4 i61 2 3
4
方程右边系数
i S n i — 流入节点 i 的电流代数和节点方程 直接列写 规则：
的代数和流入本节点电流源电流相邻节点的节点电压互电导本节点的节点电压自电导
节点分析法步骤：
1 选定参考节点（零电位） ;
2 列节点方程，求取节点电压 ;
3 求支路电压及其他响应 ;
4 应用 KCL验证。
解,1）选 3为参考节点
2）列节点方程
2122121 )( SSnn iiuGuGG
例 5 is1 =9A,is2=5A,is3=6A,G1 =1S，
G2 =2S,G3=1S，
用节点法求电流 i
3223212 )( SSnn iiuGGuG
iS3
iS1
iS2
G3
G2
G1
i1 2
3
整理，得
423 21 nn uu
132 21 nn uu
5
32
23
D 10
31
24
1
D
5
12
43
2D
V
D
Du
n 25
101
1
V
D
Du
n 15
52
2
3）求电流
AuuGi nn 2)12(2)( 212
iS3
iS1
iS2
G3
G2
G1
i1 2
3
3-3-2 含有电压源网络的节点方程电压源处理方法：
（ 1）有伴时，化为诺顿电路
（ 2）无伴时，选其一端为参考节点，
则另一端电压由电压源可直接得到
（ 3）电压源上设未知量 i x,加列辅助方程 (电压源电压用节点电压表示）
例 6 列含有伴电压源网络的节点方程
2A1A
6
2
8
1 2
3
4
3
+
6V
-
+
8V
-
6
2
8
1 2
3
4
3
解：电压源电路化为诺顿电路，设
3为参考节点
2A1A
6
2
8
1 2
3
4
3
1
2
1)
2
1
4
1
8
1(
21 nn uu
2)
3
1
6
1
2
1(
2
1
21 nn uu
1
5.08 7 5.0 21
nn uu
25.0 21 nn uu
即：
+
6V
-
6
2
8
1 2
3
4?
1A
例 7 列含无伴电压源网络的节点方程解：电压源一端 3设为参考节点，则
15.08 7 5.0 21 nn uu
Vu n 62?
解：选 10V负端节点 4为参考节点列节点方程例 8 求节点电压和电流 i
3A
- 5V +
10
5
10
i
1 2 3
4
10
5
+
10V
-
5
53
5
1
5
1)
5
1
5
1
10
1(
321 nnn uuu
3A
- 5V +
10
5
10
i
1 2 3
4
10
5
+
10V
-
5
5)
10
1
10
1
5
1(
10
1
5
1
321 nnn uuu
Vu n 102?
5
5)
10
1
10
1
5
1(
10
1
5
1
321 nnn uuu
Vu n 102?
5
53
5
1
5
1)
5
1
5
1
10
1(
321 nnn uuu
14.01.02.0 321 nnn uuu
Vu n 102?
22.02.05.0 321 nnn uuu即：
VuVuVu nnn 25.11105.12 321
3A
- 5V +
10
5
10
i
1 2 3
4
10
5
+
10V
-
Auui nn 25.1
5
531
Vu n 31?
解：选 3V负端节点 4为参考节点，
1.2V上设电流 i
列节点方程例 9 求节点电压
iuu nn 21 )
8
1
4
1(
4
1
+ 3V -
4 2
43
8
+
1.2V
-
1 6 12
i
+ 3V -
4 2
43
8
+
1.2V
-
1 6 12
i
iuu nn 31 )
12
1
6
1(
6
1
2.132 nn uu辅助方程
iuu nn 31 )
12
1
6
1(
6
1
2.132 nn uu辅助方程
Vu n 31?
iuu nn 21 )
8
1
4
1(
4
1
解得：
VuVu nn 28.148.2 32
Vu n 31?
3-3-3 含受控源网络的节点方程
（ 1）受控源按独立源处理，列节点方程
（ 2）辅助方程：控制量用节点电压表示解：设 3为参考节点，
列节点方程例 10 列节点方程
i S
+ u
- G
2
1 2
3
g u
G1 G3
Snn iuGuGG 22121 )(
guuGGuG nn 23212 )(
21 nn uuu
辅助方程分析法 支路法 网孔法 节点法基本变量 支路电流 网孔电流 节点电压支路电压分析依据 KCL,KVL KVL KCL
VCR VCR VCR
变量数 b b-(n-1) n-1
m
j
Sijij uIR
1
方程形式
1
1
n
j
Sinjij iuG
3-4 独立变量选取与独立方程存在性
3-4-1 网络图论的基本概念基尔霍夫定律反映网络结构约束关系，与支路元件性质无关拓扑支路：支路抽象为一根线段拓扑节点：网络节点
R1
i5
+
uS
-
i5
i1
i4
R5
R2 R3
R6
i2 i3A B C
D
线图：点与线的集合
A 2 B 3 C
1
4 6 5
D
无向线图
R1
i5
+
uS
-
i5
i1
i4
R5
R2 R3
R6
i2 i3A B C
D
A 2 B 3 C
1
4 6 5
D
有向线图
A 2 B 3 C
1
4 6 5
D
G
G的 子图 G’—— G’的所有支路与节点都是 G对应的支路和节点
A 2 B C
1
4 6 5
D
G1
A 2 B 3 C
1
4 6 5
D
G
A 2 B C
4 6 5
D
G2
A
G3
A 2 B C
G4
A 2 B 3 C
1
4 6 5
D
G
A 2 B C
1
4 6 5
D
G1
A
G3
A 2 B C
G4
连通图：两节点间至少有一条支路。 G,G1,G2,G3
非连通图,G4
割集,（ 1）移去集合中所有支路，
连通图将分为两部分
（ 2）少移去一条支路，仍连通
A 2 B 3 C
1
4 6 5
D
G
4,5,6
1,2,5,6
2,3,6
A 2 B 3 C
1
4 6 5
D
G
A 2 B 3 C
1
4 6 5
D
G
不移去 4仍非连通非割集：
分成三部分树,特殊子图（ 1）连通图（ 2）含全部节点（ 3）无回路。
A 2 B 3 C
1
4 6 5
D
G
A 2 B 3 C
5
D
树支：构成树的支路。 2,3,5
连支：余下的支路。 1,4,6
A B 3 C
1
5
D
树,{1,3,5} 树,{4,5,6}
树支集合为树；一棵树的树支数为 (n-1)
连支集合为余树 (补树 )；连支数为 b-(n-1)
A C
4 6 5
D
B
完全图 树的个数 (凯莱 ),n n?2
基本回路 (单连支回路 )：只含一条连支，
其余都是树支构成的回路。 b-(n-1)个。
方向 为连支的方向。
A C
4 6 5
D
B A C
4 6 5
D
B2
1
3
基本割集 (单树支割集 )：只含一条树支的割集。 (n-1)个。 方向 为树支的方向。
A 2 B 3 C
1
4 6 5
D
III
III
3-4-2 独立变量与独立方程基本回路 KVL方程是独立方程；
基本割集 KCL方程是独立方程。
树支电压是一组独立完备的变量；
连支电流是一组独立完备的变量。
3-5 回路分析法和割集分析法
3-5-1 回路分析法回路电流：连支电流 沿基本回路流动的 假想 电流。
电路变量：连支电流
L=b-(n-1)条连支,L个基本回路,L
个 KVL方程列 KVL:加连支 1，得基本回路 I
04445566111 SS uiRiRiRiRu
R1
+
us1
-
B
R3+
us4
-
A C
R4
R2 R5
R6
D
i1 i4
i5
i6
i2
i3
A B 5 C
6
4
D
1
I
回路 II 0
556622 iRiRiR
R1
+
us1
-
B
R3+
us4
-
A C
R4
R2 R5
R6
D
i1 i4
i5
i6
i2
i3
A B 5 C
6
4
D
3
2
II
III
回路 III 0
5544433 iRiRuiR S
0556622 iRiRiR
05544433 iRiRuiR S
04445566111 SS uiRiRiRiRu
0)()( 352652165 iRiRRRiRR
4135426516541 )()()( SS uuiRRiRRiRRRR
4354325154 )()( SuiRRRiRiRR
2163215314 iiiiiiiiii
由于
652112654111 RRRRRRRRR
)( 54311365222 RRRRRRRR
5322354333 RRRRRRR
1313212111 SluiRiRiR
2323222121 SluiRiRiR
3333232131 SluiRiRiR
一般形式
0)()( 352652165 iRiRRRiRR
4135426516541 )()()( SS uuiRRiRRiRRRR
4354325154 )()( SuiRRRiRiRR
i回路 自电阻 R i i — i回路内所有电阻之和
（正）
6
54111
R
RRRR
65222 RRRR
54333 RRRR
主对角线系数：
R1
+
us1
-
B
R3+
us4
-
A C
R4
R2 R5
R6
D
i1 i4
i5
i6
i2
i3
互电阻 R i j ——
回路 i和 j公共电阻之和。电流在公共支路上方向一致 —— 正；不一致 —— 负非主对角线系数：
R1
+
us1
-
B
R3+
us4
-
A C
R4
R2 R5
R6
D
i1 i4
i5
i6
i2
i3652112
RRRR
)( 54
3113
RR
RR
53223 RRR
02?Slu
43 SSl uu?
uS l i = i回路沿回路方向的电压升
R1
+
us1
-
B
R3+
us4
-
A C
R4
R2 R5
R6
D
i1 i4
i5
i6
i2
i3
回路法 直接列写规则,
电压升的代数和向所含电压源本回路中沿回路电流方相邻回路的回路电流互电阻本回路的回路电流自电阻
（ 1）网孔法的推广：网孔 —— 回路 ;
（ 2）自电阻恒正；互电阻可正可负 ;
(3) 在一个方程中同一个互电阻可以出现多次。
回路分析法步骤：
1 任选一树。
2 连支电流为回路的参考方向，列基本回路方程，
3 求回路电流及其他响应。
注：
（ 1）电流源尽量选为连支；
（ 2）受控源：控制支路尽量选为连支；与独立源一样处理，辅助方程 —
控制量用连支电流表示；
（ 3）待求量尽量选为连支；
（ 4）网孔法的推广，不限于平面网络。
解：（ 1）选树：
连支 — 电流源，
待求量 i
（ 2）列回路方程
Ai 31?
例 11 求 i
Ai 22?
R1
-
11V
+
R4
103A
R3 =5
2A
4
iR2 =2
I
II
1121146 321 iii Aii 3
5
3
(3)求得
III
例 12 求 i
Ai
ii
III
II
2
2
0)()( 322321 IIIIII iRRiRiRRR
解：（ 1）选树：
连支 — 电流源，
受控源，待求量
i
（ 2）列回路方程
R4 2A
2i
R3 =15
R1=10
5
i
R2 =5
A1 Iii
(3)求得
II
I
III
3-5-2 割集分析法电路变量：树支电压
(n-1)条树支,(n-1)个基本割集，
(n-1) 个 KCL方程。
割集分析法步骤：
1 任选一树；
2 画基本割集，参考方向为该割集的树支方向；
3 列基本割集方程；
4 求树支电压及其他响应。
注：
（ 1）电压源尽量选为树支；
（ 2）受控源：控制支路尽量选为树支；与独立源一样处理，辅助方程 —
控制量用树支电压表示；
（ 3）待求量尽量选为树支；
（ 4）节点法的推广，不限于平面网络。
割集法 直接列写规则,
流的代数和本割集中所含电流源电相邻割集的树支电压互电导本割集的树支电压自电导
（ 1）自电导恒正 —— 本割集所有支路电导之和
（ 2）互电导可正可负公共支路上，两割集方向一致 —— 正；相反 —— 负
（ 3）右边电流源：
与割集方向 相反 — 正；相同 —— 负
+
us2
-
G5G4
G2 G1
G3
i1
+uS1 -
解：（ 1）选树支 — 电压源，待求支路（化诺顿）
例 13 求 i1 G1=
G2= G3= G4 =
G5=0.5S，
uS1=2V,uS2=8V
u4
u1
uS4
I
II
III
（ 2）列割集方程
+
us2
-
G5G4
G2 G1
G3
i1
+uS1 -
11234531531 )()( GuuGuGGuGGG SS
0
)()()( 23245432153
SuGGuGGGGuGG
u4
u1
uS4
I
II
III
VuVu 5.41 41
(3)求得
+
us2
-
G5G4
G2 G1
G3
i1
+uS1 -
(4) 求其它响应 i1
AGuGui
Giuu
S
S
5.015.0
/
11111
1111
解：（ 1）选树支 — 电压源，待求支路，控制量例 14 求 u2
-
u1
+
1S1S
+2V- 1S
2A
i1
+2i1 -
2S
2A
+ u2 -
v1
2i12V v2
u1
2i12V u2
II
-
u1
+
1S1S
+2V- 1S
2A
i1
+2i1 -
2S
2A
+ u2 - III
IV
I
22)11(211)112( 121 iuuI:
22121)11(1 121 iuuII:
辅助：
11 2 ui?
28 21 uu
425 21 uu
解得,u 2 = - 2 V
树的选取有多种多样，故：回路法、
割集法更具灵活性；树选取得好，
可简化计算。
3-6 电路的对偶特性与对偶电路
3-6-1 电路的对偶特性
KCL,节点、电流和为零
KVL,回路、电压和为零戴维南电路：电阻、电压源串联
u= u S - RS i
诺顿电路,电导、电流源并联
i= i S - GS u
3-6-2对偶电路
123131 )( Snn iuGuGG
223213 )( Snn iuGGuG
节点方程：
is1
G2G1
G3
iS2
1 2
3 N
123131 )( Smm uiRiRR
223213 )( Smm uiRRiR
网孔方程：
+
us1
-
R3
R1 R2
+
us2
-
im1 im2
N’
123131 )( Smm uiRiRR
223213 )( Smm uiRRiR
电路 N’网孔方程：
123131 )( Snn iuGuGG
223213 )( Snn iuGGuG
电路 N节点方程：
数学意义上相同
+
vs1
-
R3
R1 R2
+
vs2
-
im1 im2 N’
is1
G2G1
G3
iS2
1 2
3
N
电路对偶拓扑对偶元件对偶
R1
+
us1
-
R5
R2 R3
R4
iS2
N
对偶电路的画法：
（ 1） N的每个网孔中安放
N’的一个节点，
N的外网孔对应 N’的 参考节点
1 2
3
4
R1
+
us1
-
R5
R2 R3
R4
iS2
N
1 2
3
4
（ 2）穿过 N
的每个元件，
用虚线将节点联起来，
表 N’的一个支路，其元件是 N中穿过元件的对偶元件
（ 3）电源极性：
设 N网孔方向取顺时针。
R1
+
us1
-
R5
R2 R3
R4
iS2
N
1 2
3
4
电压源：若沿网孔方向电压升，
则 N’中电流源流入该网孔所对偶的节点；反之，
流出该节点。 —
— 流入 1
电流源：若与网孔方向一致，则 N’
中电压源正极与该网孔所对偶的节点相接 —— 2
接 +,1接 -
R1
+
us1
-
R5
R2 R3
R4
iS2
N
1 2
3
4
对偶电路电压、电流方向的确定：
画对偶图的每一条边逆时针旋转,
原图 电压＋,为对偶图 电流指向 ；
原图 电流指向,对偶图 电压为＋ 。
m
k
i j
+－
m k
+－
（ 4）整理 N’
R1+
us1
-
R5
R2 R3
R4
iS2
N
1 2
3
4
is1
G4G1
G3
G2
-uS2 +
G5
1 2
4
3
N’
+
us
-
RL
C b
L
i b
N
R f
bi?
例 15：画对偶图
1 2
3
4
(1)打点例 15：画对偶图
+
us
-
RL
C b
L
i b
N
Rf
bi?
1 2
3
4
(1)打点
(2)联虚线
(3)定电源极性，
设网孔方向为顺时针，电压源电压升，对偶电流源流入 1
例 15：画对偶图
+
us
-
RL
C b
L
i b
N
R f
bi?
1 2
3
4
i b与网孔 1方向一致，对偶电压正极接 1
例 15：画对偶图
+
us
-
RL
C b
L
i b
N
R f
bi?
1 2
3
4
CCCS与网孔 3方向不一致，对偶的 VCVS
负端接 3
例 15：画对偶图
+
us
-
RL
C b
L
i b
N
Rf
bi?
1 2
3
4
（ 4）整理
is G
L
C
N’
Lb bu?
+
u b
-
-
+
G f
1 3 2
4
2．对于具有 b条支路和 n个节点的连通电路，
有 (n-1)个线性无关的独立 KCL方程,(b-
n+1)个线性无关的独立 KVL方程。
摘要
1.由电阻和电压源构成的电路，可以用 b
个支路电流作为变量，列出 b个支路电流法方程，它通常由 (n-1)个节点的 KCL方程和 (b-n+1)个回路的 KVL方程构成。
3，网孔分析法适用于平面电路，其方法是
(l)以网孔电流为变量，列出网孔的 KVL方程
(网孔方程 )。
(2)求解网孔方程得到网孔电流，再用 KCL和
VCR方程求各支路电流和支路电压。
当电路中含有电流源与电阻并联单口时，应先等效变换为电压源与电阻串联单口。若没有电阻与电流源并联，则应增加电流源电压变量来建立网孔方程，并补充电流源与网孔电流关系的辅助方程。
4．节点分析法适用于连通电路，其方法：
(l)以节点电压为变量，列出节点 KCL方程 (
节点方程 )。
(2)求解节点方程得到节点电压，再用 KVL
和 VCR 方程求各支路电压和支路电流。
当电路中含有电压源与电阻串联的单口时
，应先等效变换为电流源与电阻并联单口。
若没有电阻与电压源串联，则应增加电压源电流变量来建立节点方程，并补充电压源电压与节点电压关系的辅助方程。
5．回路分析法与割集分析法
6 电路的对偶特性对偶电路 —— 元件对偶，结构对偶。
对偶电路的画法作业 5,p72
3-2
3-5(b)
3-6(a)
3-7
作业 6,p73
3-9
3-10
3-13
3-15
作业 7,p81
3-16
3-17
3-20
一、等效变换 — 求局部响应二,一般分析方法 — 系统化求响应三、网络定理一般分析方法包括：
1 支路法
2 网孔法
3 节点法
4 回路法
5 割集法一般分析方法基本步骤：
1 选一组特定变量；
2 列方程：两类约束；
3 求解变量；
4 求待求响应。
3-1 支路分析法支路电流法
R1
+
us1
-
B
R2
+
us2
-
A C
R5
R4 R
6
R3
D
6个支路电流为变量，如图 i1 i4
i6
i3
i5 i2
对节点 A,B、
C,D分别列 KCL
R1
+
us1
-
B
R2
+
us2
-
A C
R5
R4 R
6
R3
D
i1 i4
i6
i3
i5 i2
0431 iii
0654 iii
0632 iii
0521 iii
三个方程独立，
另一方程可有其余三个得到。
R1
+
us1
-
B
R2
+
us2
-
A C
R5
R4 R6
R3
D
i1 i4
i6
i3
i5 i2
对七个回路分别列 KVL
)1(011
15544
iR
uiRiR s
回路 BCDB
)2(055
22266
iR
uiRiR s
回路 ACBA )3(0
446633 iRiRiR
回路 ABDA
)2()1(
01112226644
iRuuiRiRiR ss
回路 ABCDA
R1
+
us1
-
B
R2
+
us2
-
A C
R5
R4 R6
R3
D
i1 i4
i6
i3
i5 i2
)3(044
6633
iR
iRiR
)1(011
15544
iR
uiRiR s
)2(055
22266
iR
uiRiR s
回路 ACBDA
R1
+
us1
-
B
R2
+
us2
-
A C
R5
R4 R6
R3
D
i1 i4
i6
i3
i5 i2
)3(044
6633
iR
iRiR
)1(011
15544
iR
uiRiR s
)2(055
22266
iR
uiRiR s
)3()1(
0111556633
iRuiRiRiR s
回路 ACDBA
R1
+
us1
-
B
R2
+
us2
-
A C
R5
R4 R6
R3
D
i1 i4
i6
i3
i5 i2
)3(044
6633
iR
iRiR
)1(011
15544
iR
uiRiR s
)2(055
22266
iR
uiRiR s
)3()2(
0445522233
iRiRuiRiR s
回路 ACDA
R1
+
us1
-
B
R2
+
us2
-
A C
R5
R4 R6
R3
D
i1 i4
i6
i3
i5 i2
)3(044
6633
iR
iRiR
)1(011
15544
iR
uiRiR s
)2(055
22266
iR
uiRiR s
)3()2()1(
011122233
iRuuiRiR ss
结论：
4个节点,6条支路。只有 3个独立节点，可列 3个独立 KCL方程； 3个独立回路，可列 3 个独立 KVL方程。
一般,n个节点,b条支路。只有 (n-1)
个独立节点，可列 (n-1)个独立 KCL方程；
独立回路数 l=b-(n-1)个，可列 l 个独立
KVL方程。（常选网孔为独立回路）
支路电流分析法步骤：
1 选各支流电流的参考方向；
2 对 (n-1)个独立节点 列 KCL方程；
3 选 b-(n-1)独立回路列 KVL方程；
4 求解支路电流及其他响应。
独立节点的选取：
任选一个为参考节点，其余即为独立节点。
独立回路的选取：
每选一个新回路，应含一条特有的新支路。
I II
例 1 us1 =30V,us2=20V,R1 =18,
R2 = R3=4,求各支路电流及 u AB
R1
+
us1
-
R2
+
us2
-
A
R3
i1 i2
i3
B
解：（ 1）取支路电流 i1,i2,i3
（ 2）列方程：
KCL
0321 iii
KVL
013311 SuiRiR
023322 SuiRiR
0321 iii
30418 31 ii
2044 32 ii
(3)解方程
160
440
4018
111
D
16 0
4420
4030
110
1
D
0321 iii
30418 31 ii
2044 32 ii
32 0
4200
43018
101
2
D
480
2040
30018
011
3D
A
D
Di 1
1 6 0
1 6 01
1
A
D
Di 2
160
3202
2
A
D
Di 3
160
4803
3
（ 4）求其它响应
ViRu AB 123433
支路法优点：直接求解电流（电压）。
不足：变量多（称为“完备而不独立”），列方程无规律。
一组最少变量应满足：
独立性 —— 彼此不能相互表示；
完备性 —— 其他量都可用它们表示。
n个节点,b条支路的网络。
只需,l=b-(n-1)个电流变量；
或 (n-1)个电压变量。
完备和独立的变量数目：
3-2 网孔分析法
3-2-1 网孔电流和网孔方程网孔电流,沿网孔边界流动的 假想 电流。
网孔电流：独立，完备的电流变量。
网孔：独立回路
R1
+
us1
-
B
R2
+
us2
-
A C
R5
R4 R
6
R3
D
i1 i4
i6
i3
i5
i2
- us3 +
+ us4 -
im1 im2
im3
独立 — 不受 KCL约束（ 流入节点，又流出 ）
网孔电流完备
11 mii?
22 mii
33 mii?
134 mm iii
215 mm iii
236 mm iii
R1
+
us1
-
B
R2
+
us2
-
A C
R5
R4 R6
R3
D
i1 i4
i6
i3
i5
i2
- us3 +
+ us4 -
im1 im2
im3列 KVL:
网孔 1
0)()( 2153144
111
mmmmS
mS
iiRiiRu
iRu
R1
+
us1
-
B
R2
+
us2
-
A C
R5
R4 R6
R3
D
i1 i4
i6
i3
i5
i2
- us3 +
+ us4 -
im1 im2
im3网孔 2
0)()( 326125
222
mmmm
Sm
iiRiiR
uiR
R1
+
us1
-
B
R2
+
us2
-
A C
R5
R4 R6
R3
D
i1 i4
i6
i3
i5
i2
- us3 +
+ us4 -
im1 im2
im3网孔 3
0)()( 4134236
333
Smmmm
Sm
uiiRiiR
uiR
0)(
)(
215
3144111
mm
mmSmS
iiR
iiRuiRu
0)(
)(
4134
236333
Smm
mmSm
uiiR
iiRviR
0)()( 326125222 mmmmSm iiRiiRuiR
整理
4134251541 )( SSmmm uuiRiRiRRR
236265215 )( Smmm uiRiRRRiR
4335432614 )( SSmmm uuiRRRiRiR
4134251541 )( SSmmm uuiRiRiRRR
236265215 )( Smmm uiRiRRRiR
4335432614 )( SSmmm uuiRRRiRiR
41351254111 RRRRRRRR
62365222521 RRRRRRRR
54333632431 RRRRRRRR
1313212111 Smmmm uiRiRiR
2323222121 Smmmm uiRiRiR
3333232131 Smmmm uiRiRiR
一般形式：
自电阻 R i i — i网孔内所有电阻之和（正）
R1
+
us1
-
B
R2
+
us2
-
A C
R5
R4 R6
R3
D
i1 i4
i6
i3
i5
i2
- us3 +
+ us4
-
im1 i
m2
im3
54111 RRRR
65222 RRRR
54333 RRRR
主对角线系数：
413
512
RR
RR
623
521
RR
RR
632
431
RR
RR
互电阻 R i j — 相邻 网孔 i和 j公共电阻之和
R1
+
us1
-
B
R2
+
us2
-
A C
R5
R4 R6
R3
D
i1 i4
i6
i3
i5
i2
- us3 +
+ us4 -
im1 i
m2
im3
非主对角线系数：
22 SSm uu
433 SSSm uuu
u S m i = i网孔沿绕行方向的电压升
R1
+
us1
-
B
R2
+
us2
-
A C
R5
R4 R6
R3
D
i1 i4
i6
i3
i5
i2
- us3 +
+ us4 -
im1 i
m2
im3
网孔法 直接列写规则,
电压升的代数和向所含电压源本网孔中沿网孔电流方相邻网孔的网孔电流互电阻本网孔的网孔电流自电阻
网孔分析法步骤：
1 设定网孔电流的参考方向；
2 列网孔方程，求取网孔电流；
3 求支路电流及其他响应；
4 应用 KVL验证；
注意：网孔电流自动满足 KCL！
解：（ 1）设网孔电流 im1,im2
（ 2）列网孔方程
3123131 )( SSmm uuiRiRR
R1
+
us1
-
R2
+
us2
-
R3
i1 i2
i3
+
us3
-
im1 im2
例 2 us1 =20V,us2=30V,us3=10V,R1
=1,R2 =6,R3=2,用网孔法求各支路电流
2323213 )( SSmm uuiRRiR
整理，得
A
D
D
i
m
2
20
40
82
23
820
210
1
1
1023 21 mm ii
2082 21 mm ii
1023 21 mm ii
2082 21 mm ii
A
D
D
i m 2
20
40
20
202
103
1
2
（ 3）支路电流
Aii m 211
Aiii mm 4213
Aii m 222
R1
+
us1
-
R2
+
us2
-
R3
i1 i2
i3
+
us3
-
im1 im2
（ 4）验证：大回路，
0222111 SS uiRiRu
3-2-2 含有电流源网络的网孔方程处理方法：
（ 1）有伴时，化为戴维南模型；
（ 2）无伴时,(a)移至电路最外边，
为一网孔独有；
(b)设未知量 u x,增加列一个辅助方程。
首先,1.开路与电压源并联的电阻；
2,短路与电流源串联的电阻。
解,独立电流源处理例 3 求 i x和 u x
5
+
5V
-
5
+10V
-
2
1A
ix3A
2
2A
+ u x -
5
+
5V
-
5
+10V
-
2
1A
ix3A
2
-10V+
+ux-
（ 1）设网孔电流方向 i1,i2,i3,i4
i1 i2 i3
i4(2)列方程
Ai 31?
xuii 52423 32
5
+
5V
-
5
+10V
-
2
1A
ix3A
2
-10V+
+ux-
i1 i2 i3
i4
10572 432 iii
xuii 10105 43辅助方程
142 ii
10572 432 iii
xuii 10105 43辅助方程
142 ii
Ai 31?
xuii 52423 32
Ai 31?
Ai 7/162?
Ai 7/13?
Ai 7/94?
Vv x 7/15?
（ 3）求其它
Aii x 7/13
3-2-3 含受控源网络的网孔方程
（ 1）受控源按独立源处理，列网孔方程；
（ 2）辅助方程：控制量用网孔电流表示。
2
+
12V
-
6
-
2u
+
4
+
u
-
例 4 列网孔方程
i1 i2
（ 1）设网孔电流方向 i1,i2
(2)列方程
uii 2)64(4 21
辅助方程 )(4
21 iiu
124)42( 21 ii
3-3 节点分析法
3-3-1 节点电压和节点方程节点电压：节点与参考节点间的电压节点电压,完备，独立
n节点的网络，有 n-1个独立节点，
列 KCL方程：
iS2
G3
i2
+
un1
-
iS1
i5
i3
i1
iS3
G2
G4 G6
G5G1 +
un2
-
+
un3
-
i4 i61 2 3
4
4为参考节点其余节点
KCL分别为：
043
311
ii
iii
S
S
063322 iiiii SS
0654 iii
iS2
G3
i2
+
un1
-
iS1
i5
i3
i1
iS3
G2
G4 G6
G5G1 +
un2
-
+
un3
-
i4 i61 2 3
4
支路电流用节点电压表示：
322
111
n
n
uGi
uGi
)(
)(
1244
3133
nn
nn
uuGi
uuGi
)( 2366
255
nn
n
uuGi
uGi
043311 iiiii SS
063322 iiiii SS
0654 iii
342111 nn uGiuGi
)()( 12443133 nnnn uuGiuuGi
)( 2366255 nnn uuGiuGi
3133241431 )( SSnnn iiuGuGuGGG
0)( 36265414 nnn uGuGGGuG
3236322613 )( SSnnn iiuGGGuGuG
3133241431 )( SSnnn iiuGuGuGGG
0)( 36265414 nnn uGuGGGuG
3236322613 )( SSnnn iiuGGGuGuG
31341243111 GGGGGGGG
62365422421 GGGGGGGG
63233632331 GGGGGGGG
2323222121 Snnnn iuGuGuG
1313212111 Snnnn iuGuGuG
3333232131 Snnnn iuGuGuG
节点方程一般形式
iS2
G3
i2
+
un1
-
iS1
i5
i3
i1
iS3
G2
G4 G6
G5G1 +
un2
-
+
un3
-
i4 i61 2 3
4
43111 GGGG
65422 GGGG
63233 GGGG
主对角线系数自电导,G i i
— 与节点 i相连电导之和（正）
42112 GGG
63223 GGG
33113 GGG iS2
G3
i2
+
un1
-
iS1
i5
i3
i1
iS3
G2
G4 G6
G5G1 +
un2
-
+
un3
-
i4 i61 2 3
4
非对角线系数互电导,G i j
— 节点 i和 j间公共支路电导之和（负）
311 SSSn iii
323 SSSn iii
02?Sni iS2
G3
i2
+
un1
-
iS1
i5
i3
i1
iS3
G2
G4 G6
G5G1 +
un2
-
+
un3
-
i4 i61 2 3
4
方程右边系数
i S n i — 流入节点 i 的电流代数和节点方程 直接列写 规则：
的代数和流入本节点电流源电流相邻节点的节点电压互电导本节点的节点电压自电导
节点分析法步骤：
1 选定参考节点（零电位） ;
2 列节点方程，求取节点电压 ;
3 求支路电压及其他响应 ;
4 应用 KCL验证。
解,1）选 3为参考节点
2）列节点方程
2122121 )( SSnn iiuGuGG
例 5 is1 =9A,is2=5A,is3=6A,G1 =1S，
G2 =2S,G3=1S，
用节点法求电流 i
3223212 )( SSnn iiuGGuG
iS3
iS1
iS2
G3
G2
G1
i1 2
3
整理，得
423 21 nn uu
132 21 nn uu
5
32
23
D 10
31
24
1
D
5
12
43
2D
V
D
Du
n 25
101
1
V
D
Du
n 15
52
2
3）求电流
AuuGi nn 2)12(2)( 212
iS3
iS1
iS2
G3
G2
G1
i1 2
3
3-3-2 含有电压源网络的节点方程电压源处理方法：
（ 1）有伴时，化为诺顿电路
（ 2）无伴时，选其一端为参考节点，
则另一端电压由电压源可直接得到
（ 3）电压源上设未知量 i x,加列辅助方程 (电压源电压用节点电压表示）
例 6 列含有伴电压源网络的节点方程
2A1A
6
2
8
1 2
3
4
3
+
6V
-
+
8V
-
6
2
8
1 2
3
4
3
解：电压源电路化为诺顿电路，设
3为参考节点
2A1A
6
2
8
1 2
3
4
3
1
2
1)
2
1
4
1
8
1(
21 nn uu
2)
3
1
6
1
2
1(
2
1
21 nn uu
1
5.08 7 5.0 21
nn uu
25.0 21 nn uu
即：
+
6V
-
6
2
8
1 2
3
4?
1A
例 7 列含无伴电压源网络的节点方程解：电压源一端 3设为参考节点，则
15.08 7 5.0 21 nn uu
Vu n 62?
解：选 10V负端节点 4为参考节点列节点方程例 8 求节点电压和电流 i
3A
- 5V +
10
5
10
i
1 2 3
4
10
5
+
10V
-
5
53
5
1
5
1)
5
1
5
1
10
1(
321 nnn uuu
3A
- 5V +
10
5
10
i
1 2 3
4
10
5
+
10V
-
5
5)
10
1
10
1
5
1(
10
1
5
1
321 nnn uuu
Vu n 102?
5
5)
10
1
10
1
5
1(
10
1
5
1
321 nnn uuu
Vu n 102?
5
53
5
1
5
1)
5
1
5
1
10
1(
321 nnn uuu
14.01.02.0 321 nnn uuu
Vu n 102?
22.02.05.0 321 nnn uuu即：
VuVuVu nnn 25.11105.12 321
3A
- 5V +
10
5
10
i
1 2 3
4
10
5
+
10V
-
Auui nn 25.1
5
531
Vu n 31?
解：选 3V负端节点 4为参考节点，
1.2V上设电流 i
列节点方程例 9 求节点电压
iuu nn 21 )
8
1
4
1(
4
1
+ 3V -
4 2
43
8
+
1.2V
-
1 6 12
i
+ 3V -
4 2
43
8
+
1.2V
-
1 6 12
i
iuu nn 31 )
12
1
6
1(
6
1
2.132 nn uu辅助方程
iuu nn 31 )
12
1
6
1(
6
1
2.132 nn uu辅助方程
Vu n 31?
iuu nn 21 )
8
1
4
1(
4
1
解得：
VuVu nn 28.148.2 32
Vu n 31?
3-3-3 含受控源网络的节点方程
（ 1）受控源按独立源处理，列节点方程
（ 2）辅助方程：控制量用节点电压表示解：设 3为参考节点，
列节点方程例 10 列节点方程
i S
+ u
- G
2
1 2
3
g u
G1 G3
Snn iuGuGG 22121 )(
guuGGuG nn 23212 )(
21 nn uuu
辅助方程分析法 支路法 网孔法 节点法基本变量 支路电流 网孔电流 节点电压支路电压分析依据 KCL,KVL KVL KCL
VCR VCR VCR
变量数 b b-(n-1) n-1
m
j
Sijij uIR
1
方程形式
1
1
n
j
Sinjij iuG
3-4 独立变量选取与独立方程存在性
3-4-1 网络图论的基本概念基尔霍夫定律反映网络结构约束关系，与支路元件性质无关拓扑支路：支路抽象为一根线段拓扑节点：网络节点
R1
i5
+
uS
-
i5
i1
i4
R5
R2 R3
R6
i2 i3A B C
D
线图：点与线的集合
A 2 B 3 C
1
4 6 5
D
无向线图
R1
i5
+
uS
-
i5
i1
i4
R5
R2 R3
R6
i2 i3A B C
D
A 2 B 3 C
1
4 6 5
D
有向线图
A 2 B 3 C
1
4 6 5
D
G
G的 子图 G’—— G’的所有支路与节点都是 G对应的支路和节点
A 2 B C
1
4 6 5
D
G1
A 2 B 3 C
1
4 6 5
D
G
A 2 B C
4 6 5
D
G2
A
G3
A 2 B C
G4
A 2 B 3 C
1
4 6 5
D
G
A 2 B C
1
4 6 5
D
G1
A
G3
A 2 B C
G4
连通图：两节点间至少有一条支路。 G,G1,G2,G3
非连通图,G4
割集,（ 1）移去集合中所有支路，
连通图将分为两部分
（ 2）少移去一条支路，仍连通
A 2 B 3 C
1
4 6 5
D
G
4,5,6
1,2,5,6
2,3,6
A 2 B 3 C
1
4 6 5
D
G
A 2 B 3 C
1
4 6 5
D
G
不移去 4仍非连通非割集：
分成三部分树,特殊子图（ 1）连通图（ 2）含全部节点（ 3）无回路。
A 2 B 3 C
1
4 6 5
D
G
A 2 B 3 C
5
D
树支：构成树的支路。 2,3,5
连支：余下的支路。 1,4,6
A B 3 C
1
5
D
树,{1,3,5} 树,{4,5,6}
树支集合为树；一棵树的树支数为 (n-1)
连支集合为余树 (补树 )；连支数为 b-(n-1)
A C
4 6 5
D
B
完全图 树的个数 (凯莱 ),n n?2
基本回路 (单连支回路 )：只含一条连支，
其余都是树支构成的回路。 b-(n-1)个。
方向 为连支的方向。
A C
4 6 5
D
B A C
4 6 5
D
B2
1
3
基本割集 (单树支割集 )：只含一条树支的割集。 (n-1)个。 方向 为树支的方向。
A 2 B 3 C
1
4 6 5
D
III
III
3-4-2 独立变量与独立方程基本回路 KVL方程是独立方程；
基本割集 KCL方程是独立方程。
树支电压是一组独立完备的变量；
连支电流是一组独立完备的变量。
3-5 回路分析法和割集分析法
3-5-1 回路分析法回路电流：连支电流 沿基本回路流动的 假想 电流。
电路变量：连支电流
L=b-(n-1)条连支,L个基本回路,L
个 KVL方程列 KVL:加连支 1，得基本回路 I
04445566111 SS uiRiRiRiRu
R1
+
us1
-
B
R3+
us4
-
A C
R4
R2 R5
R6
D
i1 i4
i5
i6
i2
i3
A B 5 C
6
4
D
1
I
回路 II 0
556622 iRiRiR
R1
+
us1
-
B
R3+
us4
-
A C
R4
R2 R5
R6
D
i1 i4
i5
i6
i2
i3
A B 5 C
6
4
D
3
2
II
III
回路 III 0
5544433 iRiRuiR S
0556622 iRiRiR
05544433 iRiRuiR S
04445566111 SS uiRiRiRiRu
0)()( 352652165 iRiRRRiRR
4135426516541 )()()( SS uuiRRiRRiRRRR
4354325154 )()( SuiRRRiRiRR
2163215314 iiiiiiiiii
由于
652112654111 RRRRRRRRR
)( 54311365222 RRRRRRRR
5322354333 RRRRRRR
1313212111 SluiRiRiR
2323222121 SluiRiRiR
3333232131 SluiRiRiR
一般形式
0)()( 352652165 iRiRRRiRR
4135426516541 )()()( SS uuiRRiRRiRRRR
4354325154 )()( SuiRRRiRiRR
i回路 自电阻 R i i — i回路内所有电阻之和
（正）
6
54111
R
RRRR
65222 RRRR
54333 RRRR
主对角线系数：
R1
+
us1
-
B
R3+
us4
-
A C
R4
R2 R5
R6
D
i1 i4
i5
i6
i2
i3
互电阻 R i j ——
回路 i和 j公共电阻之和。电流在公共支路上方向一致 —— 正；不一致 —— 负非主对角线系数：
R1
+
us1
-
B
R3+
us4
-
A C
R4
R2 R5
R6
D
i1 i4
i5
i6
i2
i3652112
RRRR
)( 54
3113
RR
RR
53223 RRR
02?Slu
43 SSl uu?
uS l i = i回路沿回路方向的电压升
R1
+
us1
-
B
R3+
us4
-
A C
R4
R2 R5
R6
D
i1 i4
i5
i6
i2
i3
回路法 直接列写规则,
电压升的代数和向所含电压源本回路中沿回路电流方相邻回路的回路电流互电阻本回路的回路电流自电阻
（ 1）网孔法的推广：网孔 —— 回路 ;
（ 2）自电阻恒正；互电阻可正可负 ;
(3) 在一个方程中同一个互电阻可以出现多次。
回路分析法步骤：
1 任选一树。
2 连支电流为回路的参考方向，列基本回路方程，
3 求回路电流及其他响应。
注：
（ 1）电流源尽量选为连支；
（ 2）受控源：控制支路尽量选为连支；与独立源一样处理，辅助方程 —
控制量用连支电流表示；
（ 3）待求量尽量选为连支；
（ 4）网孔法的推广，不限于平面网络。
解：（ 1）选树：
连支 — 电流源，
待求量 i
（ 2）列回路方程
Ai 31?
例 11 求 i
Ai 22?
R1
-
11V
+
R4
103A
R3 =5
2A
4
iR2 =2
I
II
1121146 321 iii Aii 3
5
3
(3)求得
III
例 12 求 i
Ai
ii
III
II
2
2
0)()( 322321 IIIIII iRRiRiRRR
解：（ 1）选树：
连支 — 电流源，
受控源，待求量
i
（ 2）列回路方程
R4 2A
2i
R3 =15
R1=10
5
i
R2 =5
A1 Iii
(3)求得
II
I
III
3-5-2 割集分析法电路变量：树支电压
(n-1)条树支,(n-1)个基本割集，
(n-1) 个 KCL方程。
割集分析法步骤：
1 任选一树；
2 画基本割集，参考方向为该割集的树支方向；
3 列基本割集方程；
4 求树支电压及其他响应。
注：
（ 1）电压源尽量选为树支；
（ 2）受控源：控制支路尽量选为树支；与独立源一样处理，辅助方程 —
控制量用树支电压表示；
（ 3）待求量尽量选为树支；
（ 4）节点法的推广，不限于平面网络。
割集法 直接列写规则,
流的代数和本割集中所含电流源电相邻割集的树支电压互电导本割集的树支电压自电导
（ 1）自电导恒正 —— 本割集所有支路电导之和
（ 2）互电导可正可负公共支路上，两割集方向一致 —— 正；相反 —— 负
（ 3）右边电流源：
与割集方向 相反 — 正；相同 —— 负
+
us2
-
G5G4
G2 G1
G3
i1
+uS1 -
解：（ 1）选树支 — 电压源，待求支路（化诺顿）
例 13 求 i1 G1=
G2= G3= G4 =
G5=0.5S，
uS1=2V,uS2=8V
u4
u1
uS4
I
II
III
（ 2）列割集方程
+
us2
-
G5G4
G2 G1
G3
i1
+uS1 -
11234531531 )()( GuuGuGGuGGG SS
0
)()()( 23245432153
SuGGuGGGGuGG
u4
u1
uS4
I
II
III
VuVu 5.41 41
(3)求得
+
us2
-
G5G4
G2 G1
G3
i1
+uS1 -
(4) 求其它响应 i1
AGuGui
Giuu
S
S
5.015.0
/
11111
1111
解：（ 1）选树支 — 电压源，待求支路，控制量例 14 求 u2
-
u1
+
1S1S
+2V- 1S
2A
i1
+2i1 -
2S
2A
+ u2 -
v1
2i12V v2
u1
2i12V u2
II
-
u1
+
1S1S
+2V- 1S
2A
i1
+2i1 -
2S
2A
+ u2 - III
IV
I
22)11(211)112( 121 iuuI:
22121)11(1 121 iuuII:
辅助：
11 2 ui?
28 21 uu
425 21 uu
解得,u 2 = - 2 V
树的选取有多种多样，故：回路法、
割集法更具灵活性；树选取得好，
可简化计算。
3-6 电路的对偶特性与对偶电路
3-6-1 电路的对偶特性
KCL,节点、电流和为零
KVL,回路、电压和为零戴维南电路：电阻、电压源串联
u= u S - RS i
诺顿电路,电导、电流源并联
i= i S - GS u
3-6-2对偶电路
123131 )( Snn iuGuGG
223213 )( Snn iuGGuG
节点方程：
is1
G2G1
G3
iS2
1 2
3 N
123131 )( Smm uiRiRR
223213 )( Smm uiRRiR
网孔方程：
+
us1
-
R3
R1 R2
+
us2
-
im1 im2
N’
123131 )( Smm uiRiRR
223213 )( Smm uiRRiR
电路 N’网孔方程：
123131 )( Snn iuGuGG
223213 )( Snn iuGGuG
电路 N节点方程：
数学意义上相同
+
vs1
-
R3
R1 R2
+
vs2
-
im1 im2 N’
is1
G2G1
G3
iS2
1 2
3
N
电路对偶拓扑对偶元件对偶
R1
+
us1
-
R5
R2 R3
R4
iS2
N
对偶电路的画法：
（ 1） N的每个网孔中安放
N’的一个节点，
N的外网孔对应 N’的 参考节点
1 2
3
4
R1
+
us1
-
R5
R2 R3
R4
iS2
N
1 2
3
4
（ 2）穿过 N
的每个元件，
用虚线将节点联起来，
表 N’的一个支路，其元件是 N中穿过元件的对偶元件
（ 3）电源极性：
设 N网孔方向取顺时针。
R1
+
us1
-
R5
R2 R3
R4
iS2
N
1 2
3
4
电压源：若沿网孔方向电压升，
则 N’中电流源流入该网孔所对偶的节点；反之，
流出该节点。 —
— 流入 1
电流源：若与网孔方向一致，则 N’
中电压源正极与该网孔所对偶的节点相接 —— 2
接 +,1接 -
R1
+
us1
-
R5
R2 R3
R4
iS2
N
1 2
3
4
对偶电路电压、电流方向的确定：
画对偶图的每一条边逆时针旋转,
原图 电压＋,为对偶图 电流指向 ；
原图 电流指向,对偶图 电压为＋ 。
m
k
i j
+－
m k
+－
（ 4）整理 N’
R1+
us1
-
R5
R2 R3
R4
iS2
N
1 2
3
4
is1
G4G1
G3
G2
-uS2 +
G5
1 2
4
3
N’
+
us
-
RL
C b
L
i b
N
R f
bi?
例 15：画对偶图
1 2
3
4
(1)打点例 15：画对偶图
+
us
-
RL
C b
L
i b
N
Rf
bi?
1 2
3
4
(1)打点
(2)联虚线
(3)定电源极性，
设网孔方向为顺时针，电压源电压升，对偶电流源流入 1
例 15：画对偶图
+
us
-
RL
C b
L
i b
N
R f
bi?
1 2
3
4
i b与网孔 1方向一致，对偶电压正极接 1
例 15：画对偶图
+
us
-
RL
C b
L
i b
N
R f
bi?
1 2
3
4
CCCS与网孔 3方向不一致，对偶的 VCVS
负端接 3
例 15：画对偶图
+
us
-
RL
C b
L
i b
N
Rf
bi?
1 2
3
4
（ 4）整理
is G
L
C
N’
Lb bu?
+
u b
-
-
+
G f
1 3 2
4
2．对于具有 b条支路和 n个节点的连通电路，
有 (n-1)个线性无关的独立 KCL方程,(b-
n+1)个线性无关的独立 KVL方程。
摘要
1.由电阻和电压源构成的电路，可以用 b
个支路电流作为变量，列出 b个支路电流法方程，它通常由 (n-1)个节点的 KCL方程和 (b-n+1)个回路的 KVL方程构成。
3，网孔分析法适用于平面电路，其方法是
(l)以网孔电流为变量，列出网孔的 KVL方程
(网孔方程 )。
(2)求解网孔方程得到网孔电流，再用 KCL和
VCR方程求各支路电流和支路电压。
当电路中含有电流源与电阻并联单口时，应先等效变换为电压源与电阻串联单口。若没有电阻与电流源并联，则应增加电流源电压变量来建立网孔方程，并补充电流源与网孔电流关系的辅助方程。
4．节点分析法适用于连通电路，其方法：
(l)以节点电压为变量，列出节点 KCL方程 (
节点方程 )。
(2)求解节点方程得到节点电压，再用 KVL
和 VCR 方程求各支路电压和支路电流。
当电路中含有电压源与电阻串联的单口时
，应先等效变换为电流源与电阻并联单口。
若没有电阻与电压源串联，则应增加电压源电流变量来建立节点方程，并补充电压源电压与节点电压关系的辅助方程。
5．回路分析法与割集分析法
6 电路的对偶特性对偶电路 —— 元件对偶，结构对偶。
对偶电路的画法作业 5,p72
3-2
3-5(b)
3-6(a)
3-7
作业 6,p73
3-9
3-10
3-13
3-15
作业 7,p81
3-16
3-17
3-20
