作者：杨茂田机械振动习题一 P,1 / 26,
振动问题求解
A?
o x
1,明确初始条件，如已知 x0,v0方向等；
2,画出与初始条件相对应的旋转矢量；
3,该旋转矢量与 +x轴的夹角即为 初相位 。
)( tAx c o s 202
0 )(?
vxA
0x
Fig,t = 0 时的旋转矢量关键,的求解,、A
作者：杨茂田机械振动习题一 P,2 / 26,
例 一物体作简谐振动，其速度最大值 vm=3× 10-2 m/s，
振幅 A=2× 10-2 m。若 t = 0 时，物体位于平衡位置且向
－ x方向运动，求,T,amax、振动方程。
解 )(
tAv s i n
Av m ra d /s 51,?
A
vm
3,该旋转矢量与 +x轴的夹角即为 初相位 。
)( tAx c o s 202
0 )(?
vxA
作者：杨茂田机械振动习题一 P,3 / 26,
例 一物体作简谐振动，其速度最大值 vm=3× 10-2 m/s，
振幅 A=2× 10-2 m。若 t = 0 时，物体位于平衡位置且向
－ x方向运动，求,T,amax、振动方程。
解 )(
tAv s i n
Av m ra d /s 51,?
A
vm
2?T s 194.?
)( 2 tAa c o s
Aa 2m a x -22 102 51,22 m / s 1054,
作者：杨茂田机械振动习题一 P,4 / 26,
2

)( 2 tAa c o s
Aa 2m a x -22 102 51,22 m / s 1054,
A?
2?
由旋转矢量图可知：
例 一物体作简谐振动，其速度最大值 vm=3× 10-2 m/s，
振幅 A=2× 10-2 m。若 t = 0 时，物体位于平衡位置且向
－ x方向运动，求,T,amax、振动方程。
)2.51(102 2
tx c o s
物体的振动方程为：
( the end ) o x
作者：杨茂田机械振动习题一 P,5 / 26,
o t
v
mv
2
mv?
o t
x
10
(cm)
5?
o t
x
A?
A22
o t
x
2
A?
A
课堂练习 用 旋转矢量法 判断下列各振动的初位相 。
4

3
2
3
2
5?
3
2
10? 10o
x
mv
)0(2 s i nmm vv
2mv
A? Ao x
6

6
作者：杨茂田机械振动习题一 P,6 / 26,
080.? 080.o
x
例 平衡时将物体向下拉到 0.08m处由静止释放后物体作简谐振动，已知 T = 4 s,m = 0.01kg，求：
(1) t =1.5 s 时，物体所处位置和所受到弹簧作用力；
(2) 由起始位置运动到 x = 0.04m处所需的最短时间。
解
T
2?
(m)x
o
080.?0?t
物体振幅,A= 0.08 m

由旋转矢量图得,
2

作者：杨茂田机械振动习题一 P,7 / 26,
(m)x
o
080.?0?t
物体的振动方程：
)2(080 tx c o s.
t=1.5 s 时，物体位置：
物体所受合力：
)512(080,c o s.x m 0570,?
080.? 080.o
x

由旋转矢量图得,
kxF
N10411 3,xmF 2
mk
作者：杨茂田机械振动习题一 P,8 / 26,
(m)x
o
080.?0?t
物体的振动方程：
)2(080 tx c o s.
t=1.5 s 时，物体位置：
物体所受合力：
mgTF
T
mg
)512(080,c o s.x m 0570,?
mgFT
kxF
N10411 3,xmF 2
mk
N1079 2,
作者：杨茂田机械振动习题一 P,9 / 26,
mgTF
mgFT N1079 2,
(m)x
o
080.?0?t
T
mg
(2) 由起始位置运动到 x = 0.04m处所需的最短时间。
080.? 080.o (m)x
t?
0?t
040.
t
3
作者：杨茂田机械振动习题一 P,10 / 26,
0?t
(m)x
o
080.?0?t
3
t
T
mg
s 331,?t
(2) 由起始位置运动到 x = 0.04m处所需的最短时间。
080.? 080.o (m)x
t?
040.
t
3
3
2
2

最短时间,( the end )
作者：杨茂田机械振动习题一 P,11 / 26,
o
x
A
A?
2Aa
b
课堂练习 周期皆为 T = 2 s,问：哪个超前？超前多少相位和时间？
解 由旋转矢量图可知：
a 超前 b 相位：
)3(2 65
aA
3
o x
2?
bA
a 超前 b 时间约 0.83 秒。
6
5t?
T
2?
Tt 125 s 830.?
b 超前 a 多少相位和时间?
作者：杨茂田机械振动习题一 P,12 / 26,
简谐振动的判断满足下列条件之一的振动即为 简谐振动,
F 为合外力,x 为离开平衡位置的位移,k 为常数。
kxF▲
02 xx▲
▲ )( tAx c o s
作者：杨茂田机械振动习题一 P,13 / 26,
常见的简谐振动
1,光滑斜面上的弹簧振子：
s i n mglk?平衡位置 o 处,
在 x 处,
x
mg
o
x
合力?s i n mgTF
)( lxkTs i n mgkx
kxF▲ 02 xx▲▲ )( tAx c o s
kxF
作者：杨茂田机械振动习题一 P,14 / 26,
常见的简谐振动
1,光滑斜面上的弹簧振子：
s i n mglk?平衡位置 o 处,
在 x 处,合力?s i n mgTF
)( lxkT
kxF
s i n mgkx
即 作 简谐运动,
k
mT
m
k?
22,
x
mg
o
x
作者：杨茂田机械振动习题一 P,15 / 26,
2,光滑平面上的复合弹簧：
xxx 21 1k m2k
xo x
2211 xkxk?
22 xkF
xkk kk
21
21

kx
m
k
)( 21
21
kkm
kk

kxF
即 作 简谐运动,
k
mT
m
k?
22,
F
作者：杨茂田机械振动习题一 P,16 / 26,
2,光滑平面上的复合弹簧：
xxx 21 1k m2k
xo
F
x2211 xkxk?
22 xkF
xkk kk
21
21

kx
m
k
)( 21
21
kkm
kk

1k m 2k
试证明下图中系统角频率为：
m
kk 21
作者：杨茂田机械振动习题一 P,17 / 26,
C
3,复摆与单摆：

设 复摆作 小角度 摆动。
mg
s i n m g lM
2
2
dt
dJJMJ?
m gl
( M 为重力矩 )
作者：杨茂田机械振动习题一 P,18 / 26,
3,复摆与单摆：
C
0 Jm g l

设 复摆作 小角度 摆动。
mg
s i n m g lM
2
2
dt
dJJMJ?
m gl
( M 为重力矩 )
02
,Jm g l 2 m g lJT)( 0 tc o s
作者：杨茂田机械振动习题一 P,19 / 26,
2mlJ?对作 小角度 摆动的单摆,
m
l

0 Jm g l 02
,Jm g l 2 m g lJT)( 0 tc o s
,lg 2
g
lT
)( 0 tc o s
作者：杨茂田机械振动习题一 P,20 / 26,
2
2mlJ?对作 小角度 摆动的单摆,
m
l
,lg 2
g
lT
)( 0 tc o s
0?t

例 若单摆最大摆角为 5°,起始状态如图，
o?
A?,
2
)
2(36
t
l
gc o s
则由旋转矢量图可知：
作者：杨茂田机械振动习题一 P,21 / 26,
o
课堂练习 如图，已知,k,m,M,u，子弹击中木块并留在其中，求碰撞后系统振动方程 。
0?t
x
0x
m u
M
k
提示 击中后，系统初始状态：
0v
mM
muv
0 k
mgx?
0
222
2
1
2
1)(
2
1 kAkxvmM
作者：杨茂田机械振动习题一 P,22 / 26,
课堂练习 如图，已知,k,m,M,u，子弹击中木块并留在其中，求碰撞后系统振动方程 。
提示 击中后，系统初始状态：
o
0?t
x
0x
m u
M
k
0v
mM
muv
0 k
mgx?
0
222
2
1
2
1)(
2
1 kAkxvmM
o x?
A?
0?t
0x
0v
答案：
2
2
)(
1
gmM
ku
k
mgA

)( tmM kAx c o s
kA
mga rc c o s