第三章
晶体对 X射线的衍射
3.1 衍射方向
确定衍射方向的基本原则,
光程差为波长的整倍数
3.1.1 Bragg方程
2d sin q = nl
q
d
d
d
q q
光程差必须为波长的整倍数
A
O
B
?=AO+OB = 2dsinq
n为整数，一般为 1
d 为 晶面间距
q
2d sin q = l
l
qs in21 ?
d
q
l
s in
1
2?d
sinq的最大值为 1,可知最小测定 d尺寸为 l/2，
理论上最大可测尺寸为无穷大, 实际上为几个 ?
入射线和衍射线之间的夹角为 2q, 为实际工作中所
测的角度, 习惯上称 2q角为衍射角, 称 q为 Bragg角 。
q
O 2q
(a)可见光在任意入射角方向
均能产生反射, 而 X射线则
只能在有限的布拉格角方向
才产生反射 。
(b)虽然 Bragg借用了反射几
何, 但衍射并非反射, 而是
一定厚度内许多间距相同晶
面共同作用的结果 。
(1) X射线衍射与可见光反射的差异
关于 Bragg方程的讨论
1
2
1’
2’
A
B
C
hkl
dhkl
q q
q q
有些情况下晶体虽然满足布拉格方程, 但不一定
出现衍射线, 即所谓系统消光
(2)布拉格方程是 X射线在晶体产生衍射的必
要条件而非充分条件
??a
X
l?? na ?? s in
3.1.2 Polyanyi方程
S
S
S0
S0 光程差
?
? X
D
Xtg ??
?
l
s in
?a
??a
一维点阵的单位矢量为 a（ 即周期为 |a|）, 入射 X
光单位矢量为 S0,散射单位矢量为 S
h为衍射级数，其值为 0，
± 1,± 2…
? = AB – DC = hl
3.1.3 Laue方程
A
B
CD
a?0
?a
S0
S
AB = a ? S
DC = a ? S0
以矢量表示：
? = a ? S - a ? S0 = a? (S - S0) = hl
A
B
CD
a?0
?a
S0
S? = AB – DC = hl
? = a ?cos ?a - a ?cos ? a0 =
a ?(cos ?a - cos ? a0 ) = hl
AB = a ?cos ?a
DC = a ? cos ? a0
以三角函数表示：
? = AB – DC = hl
A
B
CD
a?0
?a
S0
S
若 X射线垂直于一维点
阵入射, 即
?a0 = 90?,上式成为
a ?cos ?a = hl
底片
原子列（一维点阵）
h=2
h=1
h=0
h=-1
h=-2
?a
a ?(cos ?a - cos ?a0 ) = hl
对比 Polyanyi方程
二维点阵：按周期 a,b分别
沿 X,Y轴构成原子网面 。
衍射方向发生在以 X轴和 Y轴为轴线的两族衍射锥的相交
线上, 不是连续的衍射锥, 而是不连续的衍射线
a ?(cos ?a - cos ?a0 ) = hl
b ?(cos ?b - cos ?b0 ) = kl
a (S - S0) = hl
b (S - S0) = kl
S
S
S0 O
X
Y
?a ?
a0
?b
?b0
类似地，有二维 Laue方程：
三维点阵：按周期 a,b,c分别沿 X,Y、
Z轴构成原子立体网 。
a ?(cos ?a - cos ?a0 ) = hl
b ?(cos ?b - cos ?b0 ) = kl
c ?(cos ?c - cos ?c0 ) = ll
三维 Laue方程,
三方程同时满足,X轴,Y轴,Z轴为轴线的三个衍射圆锥
相交，衍射方向是三圆锥公共交点的方向。
a (S - S0) = hl
b (S - S0) = kl
c (S - S0) = ll
S0
S
O
X
Y
Z
晶格原点为 O,任一原子位置为 A,r为由 O指向 A的矢量。
r = p1a1 + p2a2 + p3a3
入射波长为 l，
S0 与 S 为入射与
散射单位矢量
p1,p2,p3 均为整数
O
A
S
S0 r
散射光入射光 S0
S
单位矢量即长度为 1的矢量
3.1.3 衍射方向的一般考虑
?
qq
q q
qO
A
b
b
S
S0
r
散射光入射光
S0
可看出入射与散射
角均为 q,b垂直于
水平线，即与 S与
S0的中分线重合。
b与 r的夹角为 ?。
作水平与垂直辅助线
S0
S
b
S
S0
b = S-S0
q
q
为求 O点与 A点间的光程差,设有另一原子位置为 A’，可
以看出 A与 A’间无光程差。
故 O与 A间光程
差的问题就转化
为 O与 A’间光程
差的问题
?
qq
q q
qO
A’ A
b bS
S0
散射光入射光
S0
S
S0
r
?
qq
q q
qO
Q P’
P
a
b
b
S
S0
r
散射光入射光
A’
S0
S0
|b|=|S-S0|=2sinq
故 ? = |b|?|r|cos?=b?r
光程差 ? = QO+OP’=2|r|cos?sinq
b
S
S0
q
q
为研究问题方便，令入射与散射单位矢
量分别为 S0/l和 S/l,定义 s = S/l-S0/l
? = b?r = (S-S0) ? r 必须为波长的整倍数
即 rSS ??
l
0 必须为整数
s
S/l
S0/l
q
q
即 s ? r 必须为整数
r的三个分量必为整数，
故 s 的三个分量也必为整数
s ? r 必须为整数
s 的量纲为 (长度 -1)，故为 指向一个倒易点的 矢量
321 bbbs lkh ???
s
S/l
S0/l
q
q
该组晶面的指标为 (hkl)，晶面的间距为 1/|s|
321 bbbs lkh ???
s 是倒易空间中从原点指向 一个倒易点的 矢量
s
S/l
S0 /l
q
q l
q
l
s in20 ??? SS|s|
q
l
s in2
1 ?
|s|
故 s代表了一组衍射信息,
一组晶面 (hkl)
该组晶面的间距为 1/|s|=l/2sinq
X光对该晶面的衍射角为 2q
强度信息 （ 下一节 ）
平面波
球波
粒子对 X光的散射是全方位的
S/lS0/l
S0/l只有一个，而 S/l有无数个,s也有无数个
其中绝大多数 s不能发生衍射
只有符合条件的 s能够发生衍射
导出 Bragg方程
d
1s in2|| ??
l
qs
即 l = 2dsinq
s
S/l
S0 /l
q
q
导出 Laue方程 3210 bbbSSs lkh ????? l
hlkh ??????????? ?? )( 321101 bbbaSSa l
lh??? )( 01 SSa
同理 lk??? )( 02 SSa
ll??? )( 03 SSa
这就是 Laue 于 1912年导出公式的矢量形式
3.1.4 Ewald 作图法
矢量的要素是方向与
长度, 起点并不重要,
以入射单位矢量 S0/l
起点 C为中心, 以 1/l
为半径 作一球面, 使
S0/l指向一点 O,称
为原点 。 该球 称为反
射球 （ Ewald 球 ）
S/l
S0 /l
2qC O
s
入射, 衍射单位矢量的
起点永远处于 C点, 末
端永远在球面上 。
随 2q的变化, 散射单位
矢量 S/l可扫过全部球
面 。
s的起点永远是原点,
终点永远在球面上
S/l
S0 /l
2q
C O
S/l
S/l
s
ss
2q
2q
1/l
q 2q
hkl
)2/()1()2/(s in llq
h k ld
?? s
A C O
P
S0 /l
S /l
球面上各点都符合 Bragg方程，即都符合衍射条件
s
C
O
1/l
hkl
S/l
S0/l
使 Ewald球的原点与倒易晶格的原点重合, 凡是处于上的倒易
点均符合衍射条件 。 若同时有 m个倒易点落在球面上, 将同时
有 m个衍射发生, 衍射线方向即球心 C与球面上倒易点连线所
指方向 。
s
如果没有倒易点落在球面上, 则无衍射发生 。
为使衍射发生, 可采用两种方法 。
C O
1/l
hkl
S/l
S0/l
s
即固定 Ewald球, 令
倒易晶格绕 O点转动,
(即样品转动 )。 必然
有倒易点 经过 球面
（ 转晶法的基础 ） 。
C O
1/l
hkl
S/l
S0/l
使晶体产生衍射的两种方法
(1)入射方向不变，转动晶体
s
Sphere of reflection
hkl
S/l
S0/lC1/l
2q
O
Limiting sphere
s
(2)固定晶体 (固定倒易晶格 ),入射方向围绕 O转动 (即转动
Ewald球 )
极限球
接触到 Ewald球面的倒易
点代表的晶面均产生衍射
两种方法都是
绕 O点的转动,
实际上是完全
等效的
2
l?
hkld
的晶面不可能发生衍射
转动中 Ewald球在空
间画出一个半径为
2/l的大球, 称为极
限球 。
极限球规定了检测
极限, 与 O间距 >
2/l的倒易点, 无
论如何转动都不能
与球面接触 Sphere of reflection
hkl
S/l
S0/lC1/l
2q
O
Limiting sphere
s
极限球
?关于点阵, 倒易点阵及 Ewald球
(1) 晶体结构是客观存在, 点阵是一个数学抽象 。 晶
体点阵是将晶体内部结构在三维空间周期平移这一
客观事实的抽象, 有严格的物理意义 。
(2) 倒易点阵是晶体点阵的倒易, 不是客观实在, 没
有特定的物理意义, 纯粹为数学模型和工具 。
(3) Ewald球本身无实在物理意义, 仅为数学工具 。
但由于倒易点阵和反射球的相互关系非常完善地描
述了 X射线在晶体中的衍射, 故成为有力手段 。
(4) 如需具体数学计算, 仍要使用 Bragg方程 。
3.2 衍射线的强度
衍射线有两个要素：一是衍射方向, 二是衍射强度
学习强度三理由：
1,Bragg方程仅确定方向, 不能确定强度, 符合 Bragg
方程的衍射不一定有强度
2,不同衍射线有不同强度, 了解强度有助于指标化
3,了解强度有助于了解晶格组成
???
?
???
? ??
2
2c o s1 2
242
4
0
q
Rcm
eII
e
O点处有一电子, 被强度 I0的 X射线照射发生受迫
振动, 产生散射, 相距 R处的 P点的散射强度 Ie为：
一个电子的散射
e：电子电荷 m：质量 c：光速
I0
R
O
P
2q
ea IZI ?? 2
若原子序数为 Z,核外有 Z个电子, 故
原子散射振幅应为电子的Ｚ倍 。 事实上
仅有低角度下是如此
一个原子的散射
衍射角为 0?时：
l = 2dsinq 低角对应低波长, 高能量, 即相互
远离的电子, 无干扰
ea IfI ?? 2
高角情况下：
一个原子的散射
的振幅一个自由电子的散射波
原子散射波的振幅?f
高角对应电子相互靠近的情况, 产生干扰,
f<Z
0 0.5 1 1.5 2
10
8
6
4
2
0
2(sinq) / l ( ?-1)
atom
ic
scat
ter
ing f
ac
tor
f
(s)
oxygen
carbon
hydrogen
f 相当于散射 X射线的
有效电子数, f < Z,
称为原子的散射因子随
2(sinq) / l变化
单位晶格对 X射线的散射
一个电子的散射波振幅
的振幅之和晶格内全部原子散射波?F
与 I原子 ＝ f 2Ie类似
定义一个结构因子 F：
I晶胞 ＝ |F|2Ie A晶胞 ＝ |F|Ae
晶格对 X光的散射为晶格每个原子散射的加
和 。 但并不是简单加和 。 每个原子的散射
强度是其位置的函数 。 加和前必须考虑每
个相对于原点的位相差 。
回顾第一章 l? /2
0)( xieAxA ??
x为光程差 ?，则 2?x/l为位相差 ??
rs ??? ?? 2
rs ???? ?? ?? 200)( ii eAeAxA
由上一节 ? = (S-S0) ? r
则
? ? ? ?
jjj
jjj
lwkvhu
lkhwvu
???
??????? 321321 bbbaaars
rs ??? ?20)( ieAxA
q
q q
qO
A
s
s
S/l
S0/l
r
S0/l
S0/lr为实空间中原子的位置矢量
321 aaar jjj wvu ???
s为倒易空间中倒易点的矢量
321 bbbs lkh ???
不同原子的振幅：
)2e x p ( 101 rs ??? ?iAA
)2e x p ( 202 rs ??? ?iAA
?
?
???
??????????
????
N
j
j
N
N
iA
iAiAiA
AAAA
1
0
02010
311
)2e x p (
)2e x p ()2e x p ()2e x p (
rs
rsrsrs
?
??? ?
?
)2e x p (0 jj iAA rs ??? ?
……
?? ??? )2e x p (0 jjj iAA rs?
ji
j efF
rs ???? ?2||
A晶胞 ＝ |F|Ae
两边通除以自由电子的振幅 Ae：
jjj lwkvhu ???? rs
)(2|| lwkvhui
j efF
????? ?
?? ??? jijj eAA rs?20
?
?
??????
??????
??
???
N
j
lwkvhui
j
lwkvhui
lwkvhuilwkvhui
jjj
efef
efefF
1
)(2)(2
3
)(2
2
)(2
1
.,,,,,
||
333
222111
??
??
各原子的坐标为 u1,v1,w1; u2,v2,w2; u3,v3,w3……
为任意整数）ne
eee
eee
nin
iii
iii
()1(
1
1
642
53
??
????
????
?
???
???
有用的关系式
由最后一个关系式：
?
?
?
??
???
为偶数）
为奇数）
n
n
e in
(1
(1?
最简单情况，简单晶胞，仅在坐标原点
(0,0,0)处含有一个原子的晶胞
即 |F|与 hkl无关，所有晶面均有反射
ffeF i ?? )0(2|| ?
22 fF ?
底心晶胞：两个原子，
（ 0,0,0）（ ?,?,0)
]1[ )(
)2/2/()0(2
khi
khii
ef
fefeF
??
???
??
??
?
??
不论哪种情况,l值对 |F|均无影响。 111,112,113或 021,022,023的 |F|
值均为 2f。 011,012,013或 101,102,103的 |F|值均为 0。
(h+k)一定是整数，分两种情况：
（ 1）如果 h和 k均为偶数或均为奇数，则和为偶数
|F| = 2f |F|2 = 4f 2
（ 2）如果 h和 k一奇一偶，则和为奇数
|F| = 0 |F|2 = 0
? ? ? ? ? ?? ?lkhilkhii effefeF ??????? ???? ??? 1|| 2/2/2/202
体心晶胞，两原子坐标分别是（ 0,0,0）和（ 1/2,1/2,1/2）
即对体心晶胞, (h+k+l)等于奇数时的衍射强度为 0。
例如 (110),(200),(211),(310)等均有散射；
而 (100),(111),(210),(221)等均无散射
当 (h+k+l)为偶数,|F| = 2f, |F|2 = 4f 2
当 (h+k+l)为奇数,|F| = 0,|F|2 = 0
面心晶胞：四个原子坐标分别是 (0 0 0),(? ? 0)，
(? 0 ?),(0 ? ?)
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ?hlilkikhi
hlilkikhii
eeef
fefefefeF
??????
???????
????
???
???
????
1
|| 2/2/22/2/22/2/202
当 h,k,l为全奇或全偶, (h+k),(k+l) 和
(h+l) 必为偶数, 故 F = 4f,F 2 = 16f 2
当 h,k,l中有两个奇数或两个偶数时, 则在 （ h+k),(k+l) 和
(h+l)中必有两项为奇数, 一项为偶数, 故 |F| = 0,|F|2 = 0
（ 111）,（ 200）,（ 220）,（ 311） 有反射,
（ 100）,（ 110）,（ 112）,（ 221） 无反射 。
系统消光：由于原子在晶胞中位置不
同而导致某些衍射方向的强度为零
晶格类型 消光条件
简单晶胞 无消光现象
体心 I h+k+l=奇数
面心 F h,k,l奇偶混杂
底心 C h+k=奇数
归纳：在衍射图上出现非零衍射的位置取决于晶胞
参数；衍射强度取决于晶格类型
完
晶体对 X射线的衍射
3.1 衍射方向
确定衍射方向的基本原则,
光程差为波长的整倍数
3.1.1 Bragg方程
2d sin q = nl
q
d
d
d
q q
光程差必须为波长的整倍数
A
O
B
?=AO+OB = 2dsinq
n为整数，一般为 1
d 为 晶面间距
q
2d sin q = l
l
qs in21 ?
d
q
l
s in
1
2?d
sinq的最大值为 1,可知最小测定 d尺寸为 l/2，
理论上最大可测尺寸为无穷大, 实际上为几个 ?
入射线和衍射线之间的夹角为 2q, 为实际工作中所
测的角度, 习惯上称 2q角为衍射角, 称 q为 Bragg角 。
q
O 2q
(a)可见光在任意入射角方向
均能产生反射, 而 X射线则
只能在有限的布拉格角方向
才产生反射 。
(b)虽然 Bragg借用了反射几
何, 但衍射并非反射, 而是
一定厚度内许多间距相同晶
面共同作用的结果 。
(1) X射线衍射与可见光反射的差异
关于 Bragg方程的讨论
1
2
1’
2’
A
B
C
hkl
dhkl
q q
q q
有些情况下晶体虽然满足布拉格方程, 但不一定
出现衍射线, 即所谓系统消光
(2)布拉格方程是 X射线在晶体产生衍射的必
要条件而非充分条件
??a
X
l?? na ?? s in
3.1.2 Polyanyi方程
S
S
S0
S0 光程差
?
? X
D
Xtg ??
?
l
s in
?a
??a
一维点阵的单位矢量为 a（ 即周期为 |a|）, 入射 X
光单位矢量为 S0,散射单位矢量为 S
h为衍射级数，其值为 0，
± 1,± 2…
? = AB – DC = hl
3.1.3 Laue方程
A
B
CD
a?0
?a
S0
S
AB = a ? S
DC = a ? S0
以矢量表示：
? = a ? S - a ? S0 = a? (S - S0) = hl
A
B
CD
a?0
?a
S0
S? = AB – DC = hl
? = a ?cos ?a - a ?cos ? a0 =
a ?(cos ?a - cos ? a0 ) = hl
AB = a ?cos ?a
DC = a ? cos ? a0
以三角函数表示：
? = AB – DC = hl
A
B
CD
a?0
?a
S0
S
若 X射线垂直于一维点
阵入射, 即
?a0 = 90?,上式成为
a ?cos ?a = hl
底片
原子列（一维点阵）
h=2
h=1
h=0
h=-1
h=-2
?a
a ?(cos ?a - cos ?a0 ) = hl
对比 Polyanyi方程
二维点阵：按周期 a,b分别
沿 X,Y轴构成原子网面 。
衍射方向发生在以 X轴和 Y轴为轴线的两族衍射锥的相交
线上, 不是连续的衍射锥, 而是不连续的衍射线
a ?(cos ?a - cos ?a0 ) = hl
b ?(cos ?b - cos ?b0 ) = kl
a (S - S0) = hl
b (S - S0) = kl
S
S
S0 O
X
Y
?a ?
a0
?b
?b0
类似地，有二维 Laue方程：
三维点阵：按周期 a,b,c分别沿 X,Y、
Z轴构成原子立体网 。
a ?(cos ?a - cos ?a0 ) = hl
b ?(cos ?b - cos ?b0 ) = kl
c ?(cos ?c - cos ?c0 ) = ll
三维 Laue方程,
三方程同时满足,X轴,Y轴,Z轴为轴线的三个衍射圆锥
相交，衍射方向是三圆锥公共交点的方向。
a (S - S0) = hl
b (S - S0) = kl
c (S - S0) = ll
S0
S
O
X
Y
Z
晶格原点为 O,任一原子位置为 A,r为由 O指向 A的矢量。
r = p1a1 + p2a2 + p3a3
入射波长为 l，
S0 与 S 为入射与
散射单位矢量
p1,p2,p3 均为整数
O
A
S
S0 r
散射光入射光 S0
S
单位矢量即长度为 1的矢量
3.1.3 衍射方向的一般考虑
?
q q
qO
A
b
b
S
S0
r
散射光入射光
S0
可看出入射与散射
角均为 q,b垂直于
水平线，即与 S与
S0的中分线重合。
b与 r的夹角为 ?。
作水平与垂直辅助线
S0
S
b
S
S0
b = S-S0
q
q
为求 O点与 A点间的光程差,设有另一原子位置为 A’，可
以看出 A与 A’间无光程差。
故 O与 A间光程
差的问题就转化
为 O与 A’间光程
差的问题
?
q q
qO
A’ A
b bS
S0
散射光入射光
S0
S
S0
r
?
q q
qO
Q P’
P
a
b
b
S
S0
r
散射光入射光
A’
S0
S0
|b|=|S-S0|=2sinq
故 ? = |b|?|r|cos?=b?r
光程差 ? = QO+OP’=2|r|cos?sinq
b
S
S0
q
q
为研究问题方便，令入射与散射单位矢
量分别为 S0/l和 S/l,定义 s = S/l-S0/l
? = b?r = (S-S0) ? r 必须为波长的整倍数
即 rSS ??
l
0 必须为整数
s
S/l
S0/l
q
q
即 s ? r 必须为整数
r的三个分量必为整数，
故 s 的三个分量也必为整数
s ? r 必须为整数
s 的量纲为 (长度 -1)，故为 指向一个倒易点的 矢量
321 bbbs lkh ???
s
S/l
S0/l
q
q
该组晶面的指标为 (hkl)，晶面的间距为 1/|s|
321 bbbs lkh ???
s 是倒易空间中从原点指向 一个倒易点的 矢量
s
S/l
S0 /l
q
q l
q
l
s in20 ??? SS|s|
q
l
s in2
1 ?
|s|
故 s代表了一组衍射信息,
一组晶面 (hkl)
该组晶面的间距为 1/|s|=l/2sinq
X光对该晶面的衍射角为 2q
强度信息 （ 下一节 ）
平面波
球波
粒子对 X光的散射是全方位的
S/lS0/l
S0/l只有一个，而 S/l有无数个,s也有无数个
其中绝大多数 s不能发生衍射
只有符合条件的 s能够发生衍射
导出 Bragg方程
d
1s in2|| ??
l
qs
即 l = 2dsinq
s
S/l
S0 /l
q
q
导出 Laue方程 3210 bbbSSs lkh ????? l
hlkh ??????????? ?? )( 321101 bbbaSSa l
lh??? )( 01 SSa
同理 lk??? )( 02 SSa
ll??? )( 03 SSa
这就是 Laue 于 1912年导出公式的矢量形式
3.1.4 Ewald 作图法
矢量的要素是方向与
长度, 起点并不重要,
以入射单位矢量 S0/l
起点 C为中心, 以 1/l
为半径 作一球面, 使
S0/l指向一点 O,称
为原点 。 该球 称为反
射球 （ Ewald 球 ）
S/l
S0 /l
2qC O
s
入射, 衍射单位矢量的
起点永远处于 C点, 末
端永远在球面上 。
随 2q的变化, 散射单位
矢量 S/l可扫过全部球
面 。
s的起点永远是原点,
终点永远在球面上
S/l
S0 /l
2q
C O
S/l
S/l
s
ss
2q
2q
1/l
q 2q
hkl
)2/()1()2/(s in llq
h k ld
?? s
A C O
P
S0 /l
S /l
球面上各点都符合 Bragg方程，即都符合衍射条件
s
C
O
1/l
hkl
S/l
S0/l
使 Ewald球的原点与倒易晶格的原点重合, 凡是处于上的倒易
点均符合衍射条件 。 若同时有 m个倒易点落在球面上, 将同时
有 m个衍射发生, 衍射线方向即球心 C与球面上倒易点连线所
指方向 。
s
如果没有倒易点落在球面上, 则无衍射发生 。
为使衍射发生, 可采用两种方法 。
C O
1/l
hkl
S/l
S0/l
s
即固定 Ewald球, 令
倒易晶格绕 O点转动,
(即样品转动 )。 必然
有倒易点 经过 球面
（ 转晶法的基础 ） 。
C O
1/l
hkl
S/l
S0/l
使晶体产生衍射的两种方法
(1)入射方向不变，转动晶体
s
Sphere of reflection
hkl
S/l
S0/lC1/l
2q
O
Limiting sphere
s
(2)固定晶体 (固定倒易晶格 ),入射方向围绕 O转动 (即转动
Ewald球 )
极限球
接触到 Ewald球面的倒易
点代表的晶面均产生衍射
两种方法都是
绕 O点的转动,
实际上是完全
等效的
2
l?
hkld
的晶面不可能发生衍射
转动中 Ewald球在空
间画出一个半径为
2/l的大球, 称为极
限球 。
极限球规定了检测
极限, 与 O间距 >
2/l的倒易点, 无
论如何转动都不能
与球面接触 Sphere of reflection
hkl
S/l
S0/lC1/l
2q
O
Limiting sphere
s
极限球
?关于点阵, 倒易点阵及 Ewald球
(1) 晶体结构是客观存在, 点阵是一个数学抽象 。 晶
体点阵是将晶体内部结构在三维空间周期平移这一
客观事实的抽象, 有严格的物理意义 。
(2) 倒易点阵是晶体点阵的倒易, 不是客观实在, 没
有特定的物理意义, 纯粹为数学模型和工具 。
(3) Ewald球本身无实在物理意义, 仅为数学工具 。
但由于倒易点阵和反射球的相互关系非常完善地描
述了 X射线在晶体中的衍射, 故成为有力手段 。
(4) 如需具体数学计算, 仍要使用 Bragg方程 。
3.2 衍射线的强度
衍射线有两个要素：一是衍射方向, 二是衍射强度
学习强度三理由：
1,Bragg方程仅确定方向, 不能确定强度, 符合 Bragg
方程的衍射不一定有强度
2,不同衍射线有不同强度, 了解强度有助于指标化
3,了解强度有助于了解晶格组成
???
?
???
? ??
2
2c o s1 2
242
4
0
q
Rcm
eII
e
O点处有一电子, 被强度 I0的 X射线照射发生受迫
振动, 产生散射, 相距 R处的 P点的散射强度 Ie为：
一个电子的散射
e：电子电荷 m：质量 c：光速
I0
R
O
P
2q
ea IZI ?? 2
若原子序数为 Z,核外有 Z个电子, 故
原子散射振幅应为电子的Ｚ倍 。 事实上
仅有低角度下是如此
一个原子的散射
衍射角为 0?时：
l = 2dsinq 低角对应低波长, 高能量, 即相互
远离的电子, 无干扰
ea IfI ?? 2
高角情况下：
一个原子的散射
的振幅一个自由电子的散射波
原子散射波的振幅?f
高角对应电子相互靠近的情况, 产生干扰,
f<Z
0 0.5 1 1.5 2
10
8
6
4
2
0
2(sinq) / l ( ?-1)
atom
ic
scat
ter
ing f
ac
tor
f
(s)
oxygen
carbon
hydrogen
f 相当于散射 X射线的
有效电子数, f < Z,
称为原子的散射因子随
2(sinq) / l变化
单位晶格对 X射线的散射
一个电子的散射波振幅
的振幅之和晶格内全部原子散射波?F
与 I原子 ＝ f 2Ie类似
定义一个结构因子 F：
I晶胞 ＝ |F|2Ie A晶胞 ＝ |F|Ae
晶格对 X光的散射为晶格每个原子散射的加
和 。 但并不是简单加和 。 每个原子的散射
强度是其位置的函数 。 加和前必须考虑每
个相对于原点的位相差 。
回顾第一章 l? /2
0)( xieAxA ??
x为光程差 ?，则 2?x/l为位相差 ??
rs ??? ?? 2
rs ???? ?? ?? 200)( ii eAeAxA
由上一节 ? = (S-S0) ? r
则
? ? ? ?
jjj
jjj
lwkvhu
lkhwvu
???
??????? 321321 bbbaaars
rs ??? ?20)( ieAxA
q
q q
qO
A
s
s
S/l
S0/l
r
S0/l
S0/lr为实空间中原子的位置矢量
321 aaar jjj wvu ???
s为倒易空间中倒易点的矢量
321 bbbs lkh ???
不同原子的振幅：
)2e x p ( 101 rs ??? ?iAA
)2e x p ( 202 rs ??? ?iAA
?
?
???
??????????
????
N
j
j
N
N
iA
iAiAiA
AAAA
1
0
02010
311
)2e x p (
)2e x p ()2e x p ()2e x p (
rs
rsrsrs
?
??? ?
?
)2e x p (0 jj iAA rs ??? ?
……
?? ??? )2e x p (0 jjj iAA rs?
ji
j efF
rs ???? ?2||
A晶胞 ＝ |F|Ae
两边通除以自由电子的振幅 Ae：
jjj lwkvhu ???? rs
)(2|| lwkvhui
j efF
????? ?
?? ??? jijj eAA rs?20
?
?
??????
??????
??
???
N
j
lwkvhui
j
lwkvhui
lwkvhuilwkvhui
jjj
efef
efefF
1
)(2)(2
3
)(2
2
)(2
1
.,,,,,
||
333
222111
??
??
各原子的坐标为 u1,v1,w1; u2,v2,w2; u3,v3,w3……
为任意整数）ne
eee
eee
nin
iii
iii
()1(
1
1
642
53
??
????
????
?
???
???
有用的关系式
由最后一个关系式：
?
?
?
??
???
为偶数）
为奇数）
n
n
e in
(1
(1?
最简单情况，简单晶胞，仅在坐标原点
(0,0,0)处含有一个原子的晶胞
即 |F|与 hkl无关，所有晶面均有反射
ffeF i ?? )0(2|| ?
22 fF ?
底心晶胞：两个原子，
（ 0,0,0）（ ?,?,0)
]1[ )(
)2/2/()0(2
khi
khii
ef
fefeF
??
???
??
??
?
??
不论哪种情况,l值对 |F|均无影响。 111,112,113或 021,022,023的 |F|
值均为 2f。 011,012,013或 101,102,103的 |F|值均为 0。
(h+k)一定是整数，分两种情况：
（ 1）如果 h和 k均为偶数或均为奇数，则和为偶数
|F| = 2f |F|2 = 4f 2
（ 2）如果 h和 k一奇一偶，则和为奇数
|F| = 0 |F|2 = 0
? ? ? ? ? ?? ?lkhilkhii effefeF ??????? ???? ??? 1|| 2/2/2/202
体心晶胞，两原子坐标分别是（ 0,0,0）和（ 1/2,1/2,1/2）
即对体心晶胞, (h+k+l)等于奇数时的衍射强度为 0。
例如 (110),(200),(211),(310)等均有散射；
而 (100),(111),(210),(221)等均无散射
当 (h+k+l)为偶数,|F| = 2f, |F|2 = 4f 2
当 (h+k+l)为奇数,|F| = 0,|F|2 = 0
面心晶胞：四个原子坐标分别是 (0 0 0),(? ? 0)，
(? 0 ?),(0 ? ?)
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ?hlilkikhi
hlilkikhii
eeef
fefefefeF
??????
???????
????
???
???
????
1
|| 2/2/22/2/22/2/202
当 h,k,l为全奇或全偶, (h+k),(k+l) 和
(h+l) 必为偶数, 故 F = 4f,F 2 = 16f 2
当 h,k,l中有两个奇数或两个偶数时, 则在 （ h+k),(k+l) 和
(h+l)中必有两项为奇数, 一项为偶数, 故 |F| = 0,|F|2 = 0
（ 111）,（ 200）,（ 220）,（ 311） 有反射,
（ 100）,（ 110）,（ 112）,（ 221） 无反射 。
系统消光：由于原子在晶胞中位置不
同而导致某些衍射方向的强度为零
晶格类型 消光条件
简单晶胞 无消光现象
体心 I h+k+l=奇数
面心 F h,k,l奇偶混杂
底心 C h+k=奇数
归纳：在衍射图上出现非零衍射的位置取决于晶胞
参数；衍射强度取决于晶格类型
完
