第三章 非稳态导热 1
第三章 非稳态导热第三章 非稳态导热 2
§ 3-1 非稳态导热的基本概念
1 非稳态导热的定义,
2 非稳态导热的分类 周期性非稳态导热
(定义及特点 )
瞬态非稳态导热
(定义及特点 )
),(?rft?
第三章 非稳态导热 3
t 1
t 0
0
1
2
3
4
着重讨论瞬态非稳态导热
3 温度分布：
第三章 非稳态导热 4
4 两个不同的阶段非正规状况阶段
(不规则情况阶段 )
正规状况阶段
(正常情况阶段 ) 温度分布主要取决于边界条件及物性温度分布主要受初始温度分布控制非正规状况阶段 （ 起始阶段 ）,正规状况阶段,新的稳态导热过程的三个阶段第三章 非稳态导热 5
5 热量变化
Φ 1－－板左侧导入的热流量
Φ 2－－板右侧导出的热流量第三章 非稳态导热 6
6 学习非稳态导热的目的：
(1) 温度分布和热流量分布随时间和空间的变化规律
(2) 非稳态导热的导热微分方程式：
(3) 求解方法,分析解法、近似分析法、数值解法
) ; ),,,( f(Φzyxft
)()()( ztzytyxtxtc
分析解法,分离变量法,积分变换、拉普拉斯变换近似分析法,集总参数法,积分法数值解法,有限差分法,蒙特卡洛法、有限元法、
分子动力学模拟第三章 非稳态导热 7
7 毕渥数本章以第三类边界条件为重点。
(1) 问题的分析如图所示，存在两个换热环节：
tf
h
tf
h
x
t
0?
tf
h
x
t
0
a 流体与物体表面的对流换热环节
b 物体内部的导热
hrh 1?
r
h
hr
rBi
h
1
(2) 毕渥数的定义：
第三章 非稳态导热 8
h
hr
rBi
h
1 无量纲数当 时，,因此，可以忽略对流换热热阻当 时，,因此，可以忽略导热热阻
Bi hrr
0?Bi hrr
Bi0
？？
(3) Bi数对温度分布的影响第三章 非稳态导热 9
Bi 准则对温度分布的影响
t
i
B
i
B0 0B
i
1
2
2
3
12
12
0
1
0
1
0 0 0
0
tt?
0
tt?
0
tt?
Bi 准则对无限大平壁温度分布的影响第三章 非稳态导热 10
(4) 无量纲数的简要介绍基本思想,当所研究的问题非常复杂，涉及到的参数很多，为了减少问题所涉及的参数，于是人们将这样一些参数组合起来，使之能表征一类物理现象，
或物理过程的主要特征，并且没有量纲。
因此，这样的无量纲数又被称为 特征数,或者 准则数，
比如，毕渥数又称 毕渥准则。 以后会陆续遇到许多类似的准则数。特征数涉及到的几何尺度称为特征长度，一般用符号 l 表示。
对于一个特征数，应该掌握其定义式＋物理意义，
以及定义式中各个参数的意义。
第三章 非稳态导热 11
§ 3-2 集总参数法的简化分析
1 定义,忽略物体内部导热热阻、认为物体温度均匀一致的分析方法。此时，,温度分布只与时间有关，即,与空间位置无关，因此，也称为零维 问题。
Bi
)(?ft?
2 温度分布如图所示，任意形状的物体，
参数均为已知。
00 tt 时，?
t将其突然置于温度恒为 的流体中。
第三章 非稳态导热 12
当物体被冷却时（ t>t?）,由能量守恒可知
d
dtVctthA -)(
dVchAd
方程式改写为：
过余温度—令, tt?,则有
00)0(
-
tt
d
d
VchA
初始条件控制方程
00 dVchAd
VchA ln
0
dVchAd
积分
VchAe
tt
tt?
00
过余温度比其中的指数：
vv
FoBi
AV
aAVh
cV
A
A
hV
cV
hA
2
2
2
)(
)(?
第三章 非稳态导热 14
2)(
)(
AV
aFoAVhBi
vv
vFo 是 傅立叶数
vv FoBiVc
hA
ee
0
物体中的温度呈指数分布方程中指数的量纲：
2
2
3
3
W
m
1mK
k g J k g
[ m ]
Km
h A w
V c J s?
第三章 非稳态导热 15
%8.36 1
0
e
即与 的量纲相同，当 时，则
1
hA
Vc
1 VchA 此时，
上式表明：当传热时间等于 时，物体的过余温度已经达到了初始过余温度的 36.8％。
称 为时间常数，用 表示。
hA
Vc?
hA
Vc?
c?
第三章 非稳态导热 16
0
%8.36e 1
0
c
vv FoBi?
应用集总参数法时，物体过余温度的变化曲线第三章 非稳态导热 17
如果导热体的热容量（?Vc ）小、换热条件好（ h大），
那么单位时间所传递的热量大、导热体的温度变化快，时间常数 (?Vc / hA) 小。
对于测温的热电偶节点，时间常数越小、说明热电偶对流体温度变化的响应越快。这是测温技术所需要的
（微细热电偶、薄膜热电阻）
%83.1 4
0
时，当 hAVc
工程上认为?=4?Vc / hA时导热体已达到热平衡状态第三章 非稳态导热 18
3 瞬态热流量：
导热体在时间 0~? 内传给流体的总热量：
当物体被加热时 (t<t?)，计算式相同（为什么？）
W
))(()(
0
Vc
hA
ehA
hAtthAΦ
J )1()( 00 Vc
hA
eVcdΦQ
第三章 非稳态导热 19
4 物理意义vv FoBi
h
lhl
1Bi
物体表面对流换热热阻物体内部导热热阻＝
无量纲热阻无量纲时间
Fo越大，热扰动就能越深入地传播到物体内部，因而，物体各点地温度就越接近周围介质的温度。
2 2F lo la
换 热 时 间边 界 热 扰 动 扩 散 到 面 积 上 所 需 的 时 间第三章 非稳态导热 20
采用此判据时，物体中各点过余温度的差别小于 5%
M1.0)AV(hB iv
对厚为 2δ 的无限大平板对半径为 R
的无限长圆柱对半径为 R
的球
3
1
M
2
1
M
1M
3
B
B
3
R
R4
R
3
4
A
V
2
B
B
2
R
R2
R
A
V
BB
A
A
A
V
i
iv2
3
i
iv
2
iiv
5 集总参数法的应用条件是与物体几何形状有关的无量纲常数第三章 非稳态导热 21
§ 3-3 一维非稳态导热的分析解
1.无限大的平板的分析解
λ =const a=const h=const
因两边对称，只研究半块平壁第三章 非稳态导热 22
此半块平板的数学描写：
导热微分方程初始条件边界条件
x
tat
2
2
)0,x0(
0tt 0
0x0xt
x)tt(hxt
(对称性 )
第三章 非稳态导热 23
引入变量－－ 过余温度令
t),x(t),x(
xh
x
0x0
x
0
0,x0
x
a
0
2
2
上式化为：
第三章 非稳态导热 24
用分离变量法可得其分析解为：
此处 Bn为离散面 (特征值 )
若令则上式可改写为：
e a
n nnn
nn nxx
2
10 )c o s ()s in (
)c o s ()s in (2),(
e 22n
a
n
1n nnn
n
0
)xco s (co ss i ns i n2),x(?
nn?
*
第三章 非稳态导热 25
μ n为下面超越方程的根为 毕渥准则数,用符号 Bi 表示书上 P73表 3-1给出了部分 Bi数下的 μ 1值
hct g
n
n?
h
第三章 非稳态导热 26
e a
n nnn
nn nxx
2
10 )c o s ()s in (
)c o s ()s in (2),(
e
a
n nnn
nn nxx 22)(
10 )c o s ()s in (
)c o s ()s in (2),(
因此 是 F0,Bi 和 函数，即
0
),x(
x
)x,B,F(f),x( i0
0
注意：特征值 特征数（准则数）
区别n?
第三章 非稳态导热 27
2,非稳态导热的正规状况对无限大平板当 取级数的首项，板中心温度，
误差小于 1%
20 aF
2.0F0?
e Fxx 021)c o s (c o ss ins in2),( 1
111
1
0
e Fm 021
111
1
00 c o ss in
s in2)(),0(?
第三章 非稳态导热 28
e Fxx 021)c o s (c o ss ins in2),( 1
111
1
0
e Fm 021
111
1
00 c o ss in
s in2)(),0(?
)c o s ()( ),( 1 xx
m
与时间无关第三章 非稳态导热 29
若令 Q为 内所传递热量
--时刻 z的平均过余温度
)( 00 ttcVQ?
00
0
0
1)( )],([
ttcV
dVxttc
Q
Q V
e 1 1021
s i n)F(
111
1
0v c o ss i n
s i n2dv
v
1
],0[?
考察热量的传递
Q0 --非稳态导热所能传递的最大热量第三章 非稳态导热 30
对无限大平板，长圆柱体及球：
及 可用一通式表达
i0
2
10
10
2
1
0
B)Fe x p (A
)y(f)Fe x p (A
0
无限大平板长圆柱体及球此处此处的 A,B及函数 见 P74表 3-2
20i
20i
R
azFhRB
R
xy
azFhBxy
1()fy
第三章 非稳态导热 31
3 正规热状况的实用计算方法 － 拟合公式法对上述公式中的 A,B,μ 1,J0 可用下式拟合式中常数 a,b,c,d 见 P75表 3-3
a`,b`,c`,d`见 P75表 3-4
32
0
i
i
c B i
1
i
2
1
x`dx`cx`b`a)x(J
bB1
cBa
B
)e1(baA
)
B
b
a(
第三章 非稳态导热 32
),,()c o s (c o ss ins in2),( 1
111
1
0
021
xBiFofxx e F?
3 正规热状况的实用计算方法 － 线算图法诺谟图三个变量，因此，需要分开来画以无限大平板为例,F0>0.2 时，取其级数首项即可
(1)先画
),(
0
BiFofm
第三章 非稳态导热 33
(2) 再根据公式 (3-23)
绘制其线算图 ),()c o s (
)(
),(
1
xBifxx
m
(3) 于是，平板中任一点的温度为
00?
m
m
同理，非稳态换热过程所交换的热量也可以利用
（ 3－ 24）和（ 3－ 25）绘制出。
解的应用范围书中的诺谟图及拟合函数仅适用恒温介质的第三类边界条件或第一类边界条件的加热及冷却过程，并且 F0>0.2
第三章 非稳态导热 34
2
2?
1
2?
§ 3-4 二维及三维问题的求解考察一无限长方柱体 (其截面为 的长方形 )
21 22
ft
00
),,(
f
f
tt
tyxt
)( 2222 yxa
10
x
yxyhx
),,(),,(
11
y
yxxhy
),,(),,(
22
0),,(0 0xx yxx? 0),,(0 0yy yxy?
第三章 非稳态导热 35
),(
),(
0
),(
0
1)0,(0
2
0
2
2
h
x
x
x
x
x
x
x
x
a
x
x
x
利用以下两组方程便可证明即证明了 是无限长方柱体导热微分方程的解,这样便可用一维无限大平壁公式,诺谟图或拟合函数求解二维导热问题
),(),( yx
),(),(),,( yxyx
其中 其中及
f
f
x tt
txt
0
),(?
),(
),(
0
),(
0
1)0,(0
22
0
2
2
h
y
y
y
y
y
y
y
y
a
y
y
y
f
f
y tt
tyt
0
),(?
第三章 非稳态导热 36
0
),x(
0
),v(
R
l2
22 12
32
21 ),(),(),,( PP yxyx
321 ),(),(),(),,,( PPP zyxzyx
cP yxyx ),(),(),,(
第三章 非稳态导热 37
限制条件：
（ 1） 一侧绝热，另一侧三类
（ 2） 两侧均为一类
（ 3） 初始温度分布必须为常数第三章 非稳态导热 38
§ 3-5 半无限大的物体半无限大物体的概念引入过余温度问题的解为
0tt
0xtt
x
t
a
t
0
w
2
2
)a4
x(er fdy2
tt
a4
x
0
y
0
w
e
2
误差函数 无量纲变量
w
t
t
0
t
x
第三章 非稳态导热 39
误差函数：
1)(
1)(2)(
0
2
xe r fx
xe r fxdvexe r f x v
有限大小时，?
)(
0
e r f?
令
ax4
说明,(1) 无量纲温度仅与无量纲坐标? 有关
(2) 一旦物体表面发生了一个热扰动，无论经历多么短的时间无论 x有多么大，该处总能感受到温度的化。？
(3) 但解释 Fo,a 时，仍说热量是以一定速度传播的，这是因为，当温度变化很小时，我们就认为没有变化。
无量纲坐标第三章 非稳态导热 40
)y(e r f
a4
x
y?
令若即 可认为该处温度没有变化9953.0
9953.0)2(er f2y
a4xy
0?
第三章 非稳态导热 41
① 几何位置若对一原为 2δ 的平板，若即可作为半无限大物体来处理
② 时间若对于有限大的实际物体，半无限大物体的概念只适用于物体的非稳态导热的初始阶段，
那在惰性时间以内
a4x2y
a16
x22y 2
a4?
两个重要参数,
第三章 非稳态导热 42
即任一点的热流通量：
令 即得边界面上的热流通量
[0,?]内累计传热量
2
40 1 x axq
x a e
00 2
cdzqq
w 吸热系数
0x?
0
wq a
第三章 非稳态导热 43
思考题：
１非稳态导热的分类及各类型的特点。
２ Bi 准则数,Fo准则数的定义及物理意义。
３ Bi?0 和 Bi 各代表什么样的换热条件?
４集总参数法的物理意义及应用条件。
５使用集总参数法，物体内部温度变化及换热量的计算方法。时间常数的定义及物理意义,
６非稳态导热的正规状况阶段的物理意义及数学计算上的特点。
７非稳态导热的正规状况阶段的判断条件。
８无限大平板和半无限大平板的物理概念。半无限大平板的概念如何应用在实际工程问题中。
第三章 非稳态导热 44
８如何用查图法计算无限大平板非稳态导热正规状况阶段的换热问题?
９如何用近似拟合公式法计算无限大平板非稳态导热问题?
10半无限大平板非稳态导热的计算方法。
第三章 非稳态导热 45
作业：
3-2,3-5,3-12,3-16,3-21,3-24，
3-32,3-42,3-48,3-54,3-59
第三章 非稳态导热第三章 非稳态导热 2
§ 3-1 非稳态导热的基本概念
1 非稳态导热的定义,
2 非稳态导热的分类 周期性非稳态导热
(定义及特点 )
瞬态非稳态导热
(定义及特点 )
),(?rft?
第三章 非稳态导热 3
t 1
t 0
0
1
2
3
4
着重讨论瞬态非稳态导热
3 温度分布：
第三章 非稳态导热 4
4 两个不同的阶段非正规状况阶段
(不规则情况阶段 )
正规状况阶段
(正常情况阶段 ) 温度分布主要取决于边界条件及物性温度分布主要受初始温度分布控制非正规状况阶段 （ 起始阶段 ）,正规状况阶段,新的稳态导热过程的三个阶段第三章 非稳态导热 5
5 热量变化
Φ 1－－板左侧导入的热流量
Φ 2－－板右侧导出的热流量第三章 非稳态导热 6
6 学习非稳态导热的目的：
(1) 温度分布和热流量分布随时间和空间的变化规律
(2) 非稳态导热的导热微分方程式：
(3) 求解方法,分析解法、近似分析法、数值解法
) ; ),,,( f(Φzyxft
)()()( ztzytyxtxtc
分析解法,分离变量法,积分变换、拉普拉斯变换近似分析法,集总参数法,积分法数值解法,有限差分法,蒙特卡洛法、有限元法、
分子动力学模拟第三章 非稳态导热 7
7 毕渥数本章以第三类边界条件为重点。
(1) 问题的分析如图所示，存在两个换热环节：
tf
h
tf
h
x
t
0?
tf
h
x
t
0
a 流体与物体表面的对流换热环节
b 物体内部的导热
hrh 1?
r
h
hr
rBi
h
1
(2) 毕渥数的定义：
第三章 非稳态导热 8
h
hr
rBi
h
1 无量纲数当 时，,因此，可以忽略对流换热热阻当 时，,因此，可以忽略导热热阻
Bi hrr
0?Bi hrr
Bi0
？？
(3) Bi数对温度分布的影响第三章 非稳态导热 9
Bi 准则对温度分布的影响
t
i
B
i
B0 0B
i
1
2
2
3
12
12
0
1
0
1
0 0 0
0
tt?
0
tt?
0
tt?
Bi 准则对无限大平壁温度分布的影响第三章 非稳态导热 10
(4) 无量纲数的简要介绍基本思想,当所研究的问题非常复杂，涉及到的参数很多，为了减少问题所涉及的参数，于是人们将这样一些参数组合起来，使之能表征一类物理现象，
或物理过程的主要特征，并且没有量纲。
因此，这样的无量纲数又被称为 特征数,或者 准则数，
比如，毕渥数又称 毕渥准则。 以后会陆续遇到许多类似的准则数。特征数涉及到的几何尺度称为特征长度，一般用符号 l 表示。
对于一个特征数，应该掌握其定义式＋物理意义，
以及定义式中各个参数的意义。
第三章 非稳态导热 11
§ 3-2 集总参数法的简化分析
1 定义,忽略物体内部导热热阻、认为物体温度均匀一致的分析方法。此时，,温度分布只与时间有关，即,与空间位置无关，因此，也称为零维 问题。
Bi
)(?ft?
2 温度分布如图所示，任意形状的物体，
参数均为已知。
00 tt 时，?
t将其突然置于温度恒为 的流体中。
第三章 非稳态导热 12
当物体被冷却时（ t>t?）,由能量守恒可知
d
dtVctthA -)(
dVchAd
方程式改写为：
过余温度—令, tt?,则有
00)0(
-
tt
d
d
VchA
初始条件控制方程
00 dVchAd
VchA ln
0
dVchAd
积分
VchAe
tt
tt?
00
过余温度比其中的指数：
vv
FoBi
AV
aAVh
cV
A
A
hV
cV
hA
2
2
2
)(
)(?
第三章 非稳态导热 14
2)(
)(
AV
aFoAVhBi
vv
vFo 是 傅立叶数
vv FoBiVc
hA
ee
0
物体中的温度呈指数分布方程中指数的量纲：
2
2
3
3
W
m
1mK
k g J k g
[ m ]
Km
h A w
V c J s?
第三章 非稳态导热 15
%8.36 1
0
e
即与 的量纲相同，当 时，则
1
hA
Vc
1 VchA 此时，
上式表明：当传热时间等于 时，物体的过余温度已经达到了初始过余温度的 36.8％。
称 为时间常数，用 表示。
hA
Vc?
hA
Vc?
c?
第三章 非稳态导热 16
0
%8.36e 1
0
c
vv FoBi?
应用集总参数法时，物体过余温度的变化曲线第三章 非稳态导热 17
如果导热体的热容量（?Vc ）小、换热条件好（ h大），
那么单位时间所传递的热量大、导热体的温度变化快，时间常数 (?Vc / hA) 小。
对于测温的热电偶节点，时间常数越小、说明热电偶对流体温度变化的响应越快。这是测温技术所需要的
（微细热电偶、薄膜热电阻）
%83.1 4
0
时，当 hAVc
工程上认为?=4?Vc / hA时导热体已达到热平衡状态第三章 非稳态导热 18
3 瞬态热流量：
导热体在时间 0~? 内传给流体的总热量：
当物体被加热时 (t<t?)，计算式相同（为什么？）
W
))(()(
0
Vc
hA
ehA
hAtthAΦ
J )1()( 00 Vc
hA
eVcdΦQ
第三章 非稳态导热 19
4 物理意义vv FoBi
h
lhl
1Bi
物体表面对流换热热阻物体内部导热热阻＝
无量纲热阻无量纲时间
Fo越大，热扰动就能越深入地传播到物体内部，因而，物体各点地温度就越接近周围介质的温度。
2 2F lo la
换 热 时 间边 界 热 扰 动 扩 散 到 面 积 上 所 需 的 时 间第三章 非稳态导热 20
采用此判据时，物体中各点过余温度的差别小于 5%
M1.0)AV(hB iv
对厚为 2δ 的无限大平板对半径为 R
的无限长圆柱对半径为 R
的球
3
1
M
2
1
M
1M
3
B
B
3
R
R4
R
3
4
A
V
2
B
B
2
R
R2
R
A
V
BB
A
A
A
V
i
iv2
3
i
iv
2
iiv
5 集总参数法的应用条件是与物体几何形状有关的无量纲常数第三章 非稳态导热 21
§ 3-3 一维非稳态导热的分析解
1.无限大的平板的分析解
λ =const a=const h=const
因两边对称，只研究半块平壁第三章 非稳态导热 22
此半块平板的数学描写：
导热微分方程初始条件边界条件
x
tat
2
2
)0,x0(
0tt 0
0x0xt
x)tt(hxt
(对称性 )
第三章 非稳态导热 23
引入变量－－ 过余温度令
t),x(t),x(
xh
x
0x0
x
0
0,x0
x
a
0
2
2
上式化为：
第三章 非稳态导热 24
用分离变量法可得其分析解为：
此处 Bn为离散面 (特征值 )
若令则上式可改写为：
e a
n nnn
nn nxx
2
10 )c o s ()s in (
)c o s ()s in (2),(
e 22n
a
n
1n nnn
n
0
)xco s (co ss i ns i n2),x(?
nn?
*
第三章 非稳态导热 25
μ n为下面超越方程的根为 毕渥准则数,用符号 Bi 表示书上 P73表 3-1给出了部分 Bi数下的 μ 1值
hct g
n
n?
h
第三章 非稳态导热 26
e a
n nnn
nn nxx
2
10 )c o s ()s in (
)c o s ()s in (2),(
e
a
n nnn
nn nxx 22)(
10 )c o s ()s in (
)c o s ()s in (2),(
因此 是 F0,Bi 和 函数，即
0
),x(
x
)x,B,F(f),x( i0
0
注意：特征值 特征数（准则数）
区别n?
第三章 非稳态导热 27
2,非稳态导热的正规状况对无限大平板当 取级数的首项，板中心温度，
误差小于 1%
20 aF
2.0F0?
e Fxx 021)c o s (c o ss ins in2),( 1
111
1
0
e Fm 021
111
1
00 c o ss in
s in2)(),0(?
第三章 非稳态导热 28
e Fxx 021)c o s (c o ss ins in2),( 1
111
1
0
e Fm 021
111
1
00 c o ss in
s in2)(),0(?
)c o s ()( ),( 1 xx
m
与时间无关第三章 非稳态导热 29
若令 Q为 内所传递热量
--时刻 z的平均过余温度
)( 00 ttcVQ?
00
0
0
1)( )],([
ttcV
dVxttc
Q
Q V
e 1 1021
s i n)F(
111
1
0v c o ss i n
s i n2dv
v
1
],0[?
考察热量的传递
Q0 --非稳态导热所能传递的最大热量第三章 非稳态导热 30
对无限大平板，长圆柱体及球：
及 可用一通式表达
i0
2
10
10
2
1
0
B)Fe x p (A
)y(f)Fe x p (A
0
无限大平板长圆柱体及球此处此处的 A,B及函数 见 P74表 3-2
20i
20i
R
azFhRB
R
xy
azFhBxy
1()fy
第三章 非稳态导热 31
3 正规热状况的实用计算方法 － 拟合公式法对上述公式中的 A,B,μ 1,J0 可用下式拟合式中常数 a,b,c,d 见 P75表 3-3
a`,b`,c`,d`见 P75表 3-4
32
0
i
i
c B i
1
i
2
1
x`dx`cx`b`a)x(J
bB1
cBa
B
)e1(baA
)
B
b
a(
第三章 非稳态导热 32
),,()c o s (c o ss ins in2),( 1
111
1
0
021
xBiFofxx e F?
3 正规热状况的实用计算方法 － 线算图法诺谟图三个变量，因此，需要分开来画以无限大平板为例,F0>0.2 时，取其级数首项即可
(1)先画
),(
0
BiFofm
第三章 非稳态导热 33
(2) 再根据公式 (3-23)
绘制其线算图 ),()c o s (
)(
),(
1
xBifxx
m
(3) 于是，平板中任一点的温度为
00?
m
m
同理，非稳态换热过程所交换的热量也可以利用
（ 3－ 24）和（ 3－ 25）绘制出。
解的应用范围书中的诺谟图及拟合函数仅适用恒温介质的第三类边界条件或第一类边界条件的加热及冷却过程，并且 F0>0.2
第三章 非稳态导热 34
2
2?
1
2?
§ 3-4 二维及三维问题的求解考察一无限长方柱体 (其截面为 的长方形 )
21 22
ft
00
),,(
f
f
tt
tyxt
)( 2222 yxa
10
x
yxyhx
),,(),,(
11
y
yxxhy
),,(),,(
22
0),,(0 0xx yxx? 0),,(0 0yy yxy?
第三章 非稳态导热 35
),(
),(
0
),(
0
1)0,(0
2
0
2
2
h
x
x
x
x
x
x
x
x
a
x
x
x
利用以下两组方程便可证明即证明了 是无限长方柱体导热微分方程的解,这样便可用一维无限大平壁公式,诺谟图或拟合函数求解二维导热问题
),(),( yx
),(),(),,( yxyx
其中 其中及
f
f
x tt
txt
0
),(?
),(
),(
0
),(
0
1)0,(0
22
0
2
2
h
y
y
y
y
y
y
y
y
a
y
y
y
f
f
y tt
tyt
0
),(?
第三章 非稳态导热 36
0
),x(
0
),v(
R
l2
22 12
32
21 ),(),(),,( PP yxyx
321 ),(),(),(),,,( PPP zyxzyx
cP yxyx ),(),(),,(
第三章 非稳态导热 37
限制条件：
（ 1） 一侧绝热，另一侧三类
（ 2） 两侧均为一类
（ 3） 初始温度分布必须为常数第三章 非稳态导热 38
§ 3-5 半无限大的物体半无限大物体的概念引入过余温度问题的解为
0tt
0xtt
x
t
a
t
0
w
2
2
)a4
x(er fdy2
tt
a4
x
0
y
0
w
e
2
误差函数 无量纲变量
w
t
t
0
t
x
第三章 非稳态导热 39
误差函数：
1)(
1)(2)(
0
2
xe r fx
xe r fxdvexe r f x v
有限大小时，?
)(
0
e r f?
令
ax4
说明,(1) 无量纲温度仅与无量纲坐标? 有关
(2) 一旦物体表面发生了一个热扰动，无论经历多么短的时间无论 x有多么大，该处总能感受到温度的化。？
(3) 但解释 Fo,a 时，仍说热量是以一定速度传播的，这是因为，当温度变化很小时，我们就认为没有变化。
无量纲坐标第三章 非稳态导热 40
)y(e r f
a4
x
y?
令若即 可认为该处温度没有变化9953.0
9953.0)2(er f2y
a4xy
0?
第三章 非稳态导热 41
① 几何位置若对一原为 2δ 的平板，若即可作为半无限大物体来处理
② 时间若对于有限大的实际物体，半无限大物体的概念只适用于物体的非稳态导热的初始阶段，
那在惰性时间以内
a4x2y
a16
x22y 2
a4?
两个重要参数,
第三章 非稳态导热 42
即任一点的热流通量：
令 即得边界面上的热流通量
[0,?]内累计传热量
2
40 1 x axq
x a e
00 2
cdzqq
w 吸热系数
0x?
0
wq a
第三章 非稳态导热 43
思考题：
１非稳态导热的分类及各类型的特点。
２ Bi 准则数,Fo准则数的定义及物理意义。
３ Bi?0 和 Bi 各代表什么样的换热条件?
４集总参数法的物理意义及应用条件。
５使用集总参数法，物体内部温度变化及换热量的计算方法。时间常数的定义及物理意义,
６非稳态导热的正规状况阶段的物理意义及数学计算上的特点。
７非稳态导热的正规状况阶段的判断条件。
８无限大平板和半无限大平板的物理概念。半无限大平板的概念如何应用在实际工程问题中。
第三章 非稳态导热 44
８如何用查图法计算无限大平板非稳态导热正规状况阶段的换热问题?
９如何用近似拟合公式法计算无限大平板非稳态导热问题?
10半无限大平板非稳态导热的计算方法。
第三章 非稳态导热 45
作业：
3-2,3-5,3-12,3-16,3-21,3-24，
3-32,3-42,3-48,3-54,3-59
