第四章 导热问题的数值解法第四章 导热问题的数值解法 2
§ 4-0 引言
1 求解导热问题的三种基本方法,(1) 理论分析法； (2) 数值计算 法； (3) 实验法
2 三种方法的基本求解过程
(1) 所谓理论分析方法，就是在理论分析的基础上，直接对微分方程在给定的定解条件下进行积分，这样获得的解称之为分析解，或叫理论解；
(2) 数值计算法，把原来在时间和空间连续的物理量的场，
用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，从而获得离散点上被求物理量的值；并称之为数值解；
第四章 导热问题的数值解法 3
(3) 实验法 就是在传热学基本理论的指导下，采用对所研究对象的传热过程所求量的方法
3 三种方法的特点
(1) 分析法
a 能获得所研究问题的精确解，可以为实验和数值计算提供比较依据；
b 局限性很大，对复杂的问题无法求解；
c 分析解具有普遍性，各种情况的影响清晰可见第四章 导热问题的数值解法 4
(2) 数值法,在很大程度上弥补了分析法的缺点，适应性强，特别对于复杂问题更显其优越性；与实验法相比成本低
(3) 实验法,是传热学的基本研究方法,a 适应性不好；
b 费用昂贵数值解法,有限差分法（ finite-difference）、
有限元法（ finite-element）,
边界元法（ boundary- element）、
分子动力学模拟（ MD）
第四章 导热问题的数值解法 5
§ 4-1 导热问题数值求解的基本思想及内部节点离散方程的建立
1 物理问题的数值求解过程建立控制方程及定解条件 确定节点（区域离散化）
建立节点物理量的代数方程设立温度场的迭代初值求解代数方程是否收敛解的分析改进初场是否第四章 导热问题的数值解法 6
0
t
y
f3
th
f2
th
f1
th x
二维矩形域内稳态无内热源，
常物性的导热问题
2 例题条件第四章 导热问题的数值解法 7
x
y
x?
y?
n
m
(m,n)
M
N
3 基本概念：控制容积、网格线、节点、界面线、步长二维矩形域内稳态无内热源，
常物性的导热问题第四章 导热问题的数值解法 8
4 建立离散方程的常用方法：
(1) Taylor（泰勒）级数展开法；
(2) 多项式拟合法；
(3) 控制容积积分法；
(4) 控制容积平衡法 (也称为热平衡法 )
第四章 导热问题的数值解法 9
(1) 泰勒级数展开法根据泰勒级数展开式，用节点 (i,j)的温度 ti,j
来表示节点 (i+1,j)而温度 ti+1,j
用节点 (i,j)的温度 ti,j来表示节点 (i-1,j)的温度 ti-1,j
!3!2
3
,
3
32
,
2
2
,
,,1
x
x
tx
x
tx
x
ttt
nmnmnm
nmnm
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3
,
3
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,
2
2
,
,,1
x
x
tx
x
tx
x
ttt
nmnmnm
nmnm
第四章 导热问题的数值解法 10
若取上面式右边的前三项，并将式 ① 和式 ③ 相加移项整理即得二阶导数的中心差分：
同样可得：
)(2 22,1,,1
,
2
2
xox tttx t nmnmnm
nm
)(2 22 1,,1,
,
2
2
yoy ttty t nmnmnm
nm
截断误差未明确写出的级数余项中的 Δ X的最低阶数为 2
第四章 导热问题的数值解法 11
对于二维稳态导热问题，在直角坐标中，其导热微分方程为：
其节点方程为：
0y tx t v2
2
2
2
0
y
tt2t
x
tt2t j,i,v
2
1j,ij,i1j,i
2
j,1ij,ij,1i
第四章 导热问题的数值解法 12
(2) 控制容积平衡法 (热平衡法 )
基本思想,对每个有限大小的控制容积应用能量守恒，从而获得温度场的代数方程组，它从基本物理现象和基本定律出发，不必事先建立控制方程，依据能量守恒和 Fourier
导热定律即可。
能量守恒：流入控制体的总热流量＋控制体内热源生成热
＝ 流出控制体的总热流量＋控制体内能的增量即,单位, ovi ]W[
第四章 导热问题的数值解法 13
voi )( ovi?
即：从所有方向流入控制体的总热流量
＋ 控制体内热源生成热
＝ 控制体内能的增量注意：上面的公式对内部节点和边界节点均适用第四章 导热问题的数值解法 14
01,1,,1,1 nmnmnmnm ΦΦΦΦ
稳态、无内热源时：
从所有方向流入控制体的总热流量＝ 0
内部节点：
0 右左下上 ＋ ΦΦΦΦ (m,n)
o
y
x
(m-1,n) (m+1,n)
(m,n-1)
x?x
y
y
(m,n+1)
第四章 导热问题的数值解法 15
以二维、稳态、有内热源的导热问题为例此时：
0 vΦΦΦΦΦ 右左下上 ＋
x
ty
x
tA
d
d
d
d
左可见：当温度场还没有求出来之前，我们并不知道所以，必须假设相邻节点间的温度分布形式，这里我们假定温度呈分段线性分布，如图所示
xt dd
第四章 导热问题的数值解法 16
(m,n)(m-1,n) (m+1,n)
tm,nt
m-1,n
tm+1,n
x
tty
x
ty nmnm
,,1
d
d
左可见，节点越多，假设的分段线性分布越接近真实的温度布。
此时：
x
tty nmnm
,,1?
右
y
ttx nmnm
,1,?
上
y
ttx nmnm
,1,?
下内热源,yxΦVΦΦ v
第四章 导热问题的数值解法 17
0 vΦΦΦΦΦ 右左下上 ＋
0
,1,,1,,,1,,1
yxΦ
y
tt
x
y
tt
x
x
tt
y
x
tt
y nmnmnmnmnmnmnmnm
yx 时,04
2
,1,1,,1,1?
Φ
xttttt
nmnmnmnmnm
Φxttttt nmnmnmnmnm
2
1,1,,1,1,4
第四章 导热问题的数值解法 18
Φxttttt nmnmnmnmnm
2
1,1,,1,1,4
无内热源时：
变为：
1,1,,1,1,4 nmnmnmnmnm ttttt
重要说明,所求节点的温度前的系数一定等于其他所有相邻节点温度前的系数之和。这一结论也适用于边界节点。但这里不包括热流 (或热流密度 )前的系数。
第四章 导热问题的数值解法 19
4-2 边界节点离散方程的建立及代数方程的求解对于第一类边界条件的热传导问题，处理比较简单，因为已知边界的温度，可将其以数值的形式加入到内节点的离散方程中，组成封闭的代数方程组，直接求解。
而对于第二类边界条件或第三类边界条件的热传导问题，
就必须用热平衡的方法，建立边界节点的离散方程，边界节点与内节点的离散方程一起组成封闭的代数方程组，才能求解。
为了求解方便，这里我们将第二类边界条件及第三类边界条件合并起来考虑，用 qw表示边界上的热流密度或热流密度表达式。用 Φ表示内热源强度。
第四章 导热问题的数值解法 20
1.边界节点离散方程的建立：
qw
x
y
qw
(1) 平直边界上的节点
2
,1,1,,1,
224 xΦttqxtt
nmnmnmwnmnm
0
2
22
,
,1,,1,
,,1
y
x
Φ
y
ttx
y
ttx
yq
x
tt
y
nm
nmnmnmnm
w
nmnm
yx
第四章 导热问题的数值解法 21
(2) 外部角点
2
22 2
,1,,1,
xΦqxttt
nmwnmnmnm
0
22
22
22
,
,1,
,,1
yx
Φ
y
ttx
q
x
q
y
x
tty
nm
nmnm
w
w
nmnm
yx
x
y
qw
第四章 导热问题的数值解法 22
(3) 内部角点
)
2
2
3
22(
6
1
22
,11,1,,1,
w
nmnmnmnmnm
q
xx
ttttt
0
4
3
22
22
,
,1,,1,
,,1,,1
yx
Φ
q
x
y
ttx
y
tt
x
q
y
x
tty
x
tt
y
nm
w
nmnmnmnm
w
nmnmnmnm
yx
x
y
qw
第四章 导热问题的数值解法 23
qw的情况：
(1) 第二类边界条件：将,带入上面各式即可绝热或对称边界条件？
(2)第三类边界条件：将,带入上面各式即可
constq w?
)(,nmfw tthq
？
课堂作业：将 带入外部角点的温度离散方程，并化简到最后的形式
)(,nmfw tthq
(3) 辐射边界条件,)( 4,4 nmfw TTqconstq w? 或其他第四章 导热问题的数值解法 24
2.节点方程组的求解
nnnnnnn
nn
nn
btatatat
btatatat
btatatat
......
............................................
......
......
2211
222221212
112121111
写出所有内节点和边界节点的温度差分方程
n个未知节点温度,n个代数方程式：
代数方程组的求解方法,直接解法、迭代解法第四章 导热问题的数值解法 25
直接解法,通过有限次运算获得代数方程精确解 ;
矩阵求逆、高斯消元法迭代解法,先对要计算的场作出假设、在迭代计算过程中不断予以改进、直到计算结果与假定值的结果相差小于允许值。
称迭代计算已经收敛。
缺点,所需内存较大、方程数目多时不便、不适用于非线性问题（若物性为温度的函数，节点温度差分方程中的系数不再是常数，而是温度的函数。这些系数在计算过程中要相应地不断更新）
迭代解法有多种,简单迭代（ Jacobi迭代）、高斯 -赛德尔迭代、块迭代、交替方向迭代等高斯 -赛德尔迭代的特点,每次迭代时总是使用节点温度的最新值第四章 导热问题的数值解法 26
在计算后面的节点温度时应按下式（采用最新值）
例如：根据第 k 次迭代的数值
( k )n( k )2( k )1,..,ttt,
可以求得节点温度：
)(1)(1)(212)(111)1(1,,,,,,kknnkkk btatatat
)()()1(
11
)1(
22
)1(
11
)1(
)(
3
)(
3
)1(
232
)1(
131
)1(
3
)(
2
)(
2
)(
222
)1(
121
)1(
2
......
.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,
......
......
k
n
k
nnn
k
nnn
k
n
k
n
k
n
kk
nn
kkk
kk
nn
kkk
btatatatat
btatatat
btatatat
第四章 导热问题的数值解法 27
判断迭代是否收敛的准则：
)(
m a x
)()1(
)(
)()1(
)()1(
m a x
m a x
m a x
k
k
i
k
i
k
i
k
i
k
i
k
i
k
i
t
tt
t
tt
tt
k及 k+1表示迭代次数； — 第 k次迭代得到的最大值
(k)maxt
当有接近于零的 t 时，第三个较好
36
10 ~ 10
— 允 许 的 偏 差 ；
相 对 偏 差 值 一 般取第四章 导热问题的数值解法 28
思考题：
1.节点的概念,
2.向前差分,先后差分,中心差分的概念,
3.利用能量守恒定律和傅立叶定律,推导内点和边界,
点离散方程的基本方法,
4.两个导热系数不同的物体紧紧贴在一起,不计接触热阻,如何推导接触面上节点离散方程,
5.显式差分方程及稳定性判据,
6.显式差分方程和隐式差分方程在求解时的差别,
第四章 导热问题的数值解法 29
作业：
4-3,4-5,4-9,4-10,4-15,4-16,4-24，
4-25,4-27
§ 4-0 引言
1 求解导热问题的三种基本方法,(1) 理论分析法； (2) 数值计算 法； (3) 实验法
2 三种方法的基本求解过程
(1) 所谓理论分析方法，就是在理论分析的基础上，直接对微分方程在给定的定解条件下进行积分，这样获得的解称之为分析解，或叫理论解；
(2) 数值计算法，把原来在时间和空间连续的物理量的场，
用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，从而获得离散点上被求物理量的值；并称之为数值解；
第四章 导热问题的数值解法 3
(3) 实验法 就是在传热学基本理论的指导下，采用对所研究对象的传热过程所求量的方法
3 三种方法的特点
(1) 分析法
a 能获得所研究问题的精确解，可以为实验和数值计算提供比较依据；
b 局限性很大，对复杂的问题无法求解；
c 分析解具有普遍性，各种情况的影响清晰可见第四章 导热问题的数值解法 4
(2) 数值法,在很大程度上弥补了分析法的缺点，适应性强，特别对于复杂问题更显其优越性；与实验法相比成本低
(3) 实验法,是传热学的基本研究方法,a 适应性不好；
b 费用昂贵数值解法,有限差分法（ finite-difference）、
有限元法（ finite-element）,
边界元法（ boundary- element）、
分子动力学模拟（ MD）
第四章 导热问题的数值解法 5
§ 4-1 导热问题数值求解的基本思想及内部节点离散方程的建立
1 物理问题的数值求解过程建立控制方程及定解条件 确定节点（区域离散化）
建立节点物理量的代数方程设立温度场的迭代初值求解代数方程是否收敛解的分析改进初场是否第四章 导热问题的数值解法 6
0
t
y
f3
th
f2
th
f1
th x
二维矩形域内稳态无内热源，
常物性的导热问题
2 例题条件第四章 导热问题的数值解法 7
x
y
x?
y?
n
m
(m,n)
M
N
3 基本概念：控制容积、网格线、节点、界面线、步长二维矩形域内稳态无内热源，
常物性的导热问题第四章 导热问题的数值解法 8
4 建立离散方程的常用方法：
(1) Taylor（泰勒）级数展开法；
(2) 多项式拟合法；
(3) 控制容积积分法；
(4) 控制容积平衡法 (也称为热平衡法 )
第四章 导热问题的数值解法 9
(1) 泰勒级数展开法根据泰勒级数展开式，用节点 (i,j)的温度 ti,j
来表示节点 (i+1,j)而温度 ti+1,j
用节点 (i,j)的温度 ti,j来表示节点 (i-1,j)的温度 ti-1,j
!3!2
3
,
3
32
,
2
2
,
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x
x
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第四章 导热问题的数值解法 10
若取上面式右边的前三项，并将式 ① 和式 ③ 相加移项整理即得二阶导数的中心差分：
同样可得：
)(2 22,1,,1
,
2
2
xox tttx t nmnmnm
nm
)(2 22 1,,1,
,
2
2
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nm
截断误差未明确写出的级数余项中的 Δ X的最低阶数为 2
第四章 导热问题的数值解法 11
对于二维稳态导热问题，在直角坐标中，其导热微分方程为：
其节点方程为：
0y tx t v2
2
2
2
0
y
tt2t
x
tt2t j,i,v
2
1j,ij,i1j,i
2
j,1ij,ij,1i
第四章 导热问题的数值解法 12
(2) 控制容积平衡法 (热平衡法 )
基本思想,对每个有限大小的控制容积应用能量守恒，从而获得温度场的代数方程组，它从基本物理现象和基本定律出发，不必事先建立控制方程，依据能量守恒和 Fourier
导热定律即可。
能量守恒：流入控制体的总热流量＋控制体内热源生成热
＝ 流出控制体的总热流量＋控制体内能的增量即,单位, ovi ]W[
第四章 导热问题的数值解法 13
voi )( ovi?
即：从所有方向流入控制体的总热流量
＋ 控制体内热源生成热
＝ 控制体内能的增量注意：上面的公式对内部节点和边界节点均适用第四章 导热问题的数值解法 14
01,1,,1,1 nmnmnmnm ΦΦΦΦ
稳态、无内热源时：
从所有方向流入控制体的总热流量＝ 0
内部节点：
0 右左下上 ＋ ΦΦΦΦ (m,n)
o
y
x
(m-1,n) (m+1,n)
(m,n-1)
x?x
y
y
(m,n+1)
第四章 导热问题的数值解法 15
以二维、稳态、有内热源的导热问题为例此时：
0 vΦΦΦΦΦ 右左下上 ＋
x
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x
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d
d
d
d
左可见：当温度场还没有求出来之前，我们并不知道所以，必须假设相邻节点间的温度分布形式，这里我们假定温度呈分段线性分布，如图所示
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第四章 导热问题的数值解法 16
(m,n)(m-1,n) (m+1,n)
tm,nt
m-1,n
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左可见，节点越多，假设的分段线性分布越接近真实的温度布。
此时：
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上
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第四章 导热问题的数值解法 17
0 vΦΦΦΦΦ 右左下上 ＋
0
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2
1,1,,1,1,4
第四章 导热问题的数值解法 18
Φxttttt nmnmnmnmnm
2
1,1,,1,1,4
无内热源时：
变为：
1,1,,1,1,4 nmnmnmnmnm ttttt
重要说明,所求节点的温度前的系数一定等于其他所有相邻节点温度前的系数之和。这一结论也适用于边界节点。但这里不包括热流 (或热流密度 )前的系数。
第四章 导热问题的数值解法 19
4-2 边界节点离散方程的建立及代数方程的求解对于第一类边界条件的热传导问题，处理比较简单，因为已知边界的温度，可将其以数值的形式加入到内节点的离散方程中，组成封闭的代数方程组，直接求解。
而对于第二类边界条件或第三类边界条件的热传导问题，
就必须用热平衡的方法，建立边界节点的离散方程，边界节点与内节点的离散方程一起组成封闭的代数方程组，才能求解。
为了求解方便，这里我们将第二类边界条件及第三类边界条件合并起来考虑，用 qw表示边界上的热流密度或热流密度表达式。用 Φ表示内热源强度。
第四章 导热问题的数值解法 20
1.边界节点离散方程的建立：
qw
x
y
qw
(1) 平直边界上的节点
2
,1,1,,1,
224 xΦttqxtt
nmnmnmwnmnm
0
2
22
,
,1,,1,
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Φ
y
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y
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x
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y
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w
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yx
第四章 导热问题的数值解法 21
(2) 外部角点
2
22 2
,1,,1,
xΦqxttt
nmwnmnmnm
0
22
22
22
,
,1,
,,1
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Φ
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q
x
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y
x
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yx
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y
qw
第四章 导热问题的数值解法 22
(3) 内部角点
)
2
2
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w
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Φ
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tt
y
nm
w
nmnmnmnm
w
nmnmnmnm
yx
x
y
qw
第四章 导热问题的数值解法 23
qw的情况：
(1) 第二类边界条件：将,带入上面各式即可绝热或对称边界条件？
(2)第三类边界条件：将,带入上面各式即可
constq w?
)(,nmfw tthq
？
课堂作业：将 带入外部角点的温度离散方程，并化简到最后的形式
)(,nmfw tthq
(3) 辐射边界条件,)( 4,4 nmfw TTqconstq w? 或其他第四章 导热问题的数值解法 24
2.节点方程组的求解
nnnnnnn
nn
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......
............................................
......
......
2211
222221212
112121111
写出所有内节点和边界节点的温度差分方程
n个未知节点温度,n个代数方程式：
代数方程组的求解方法,直接解法、迭代解法第四章 导热问题的数值解法 25
直接解法,通过有限次运算获得代数方程精确解 ;
矩阵求逆、高斯消元法迭代解法,先对要计算的场作出假设、在迭代计算过程中不断予以改进、直到计算结果与假定值的结果相差小于允许值。
称迭代计算已经收敛。
缺点,所需内存较大、方程数目多时不便、不适用于非线性问题（若物性为温度的函数，节点温度差分方程中的系数不再是常数，而是温度的函数。这些系数在计算过程中要相应地不断更新）
迭代解法有多种,简单迭代（ Jacobi迭代）、高斯 -赛德尔迭代、块迭代、交替方向迭代等高斯 -赛德尔迭代的特点,每次迭代时总是使用节点温度的最新值第四章 导热问题的数值解法 26
在计算后面的节点温度时应按下式（采用最新值）
例如：根据第 k 次迭代的数值
( k )n( k )2( k )1,..,ttt,
可以求得节点温度：
)(1)(1)(212)(111)1(1,,,,,,kknnkkk btatatat
)()()1(
11
)1(
22
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11
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)(
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......
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第四章 导热问题的数值解法 27
判断迭代是否收敛的准则：
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t
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k及 k+1表示迭代次数； — 第 k次迭代得到的最大值
(k)maxt
当有接近于零的 t 时，第三个较好
36
10 ~ 10
— 允 许 的 偏 差 ；
相 对 偏 差 值 一 般取第四章 导热问题的数值解法 28
思考题：
1.节点的概念,
2.向前差分,先后差分,中心差分的概念,
3.利用能量守恒定律和傅立叶定律,推导内点和边界,
点离散方程的基本方法,
4.两个导热系数不同的物体紧紧贴在一起,不计接触热阻,如何推导接触面上节点离散方程,
5.显式差分方程及稳定性判据,
6.显式差分方程和隐式差分方程在求解时的差别,
第四章 导热问题的数值解法 29
作业：
4-3,4-5,4-9,4-10,4-15,4-16,4-24，
4-25,4-27
