第三章 数控系统的加工控制原理
第一节 数控装置的工作过程
CNC装置的工作是在硬件的支持下执行软件的过程。
下面简要说明 CNC装置的工作情况。
一,程序输入
将编写好的数控加工程序输入给 CNC装置的方式有：
纸带阅读机输入、键盘输入、磁盘输入、通讯接口输入及连接
上一级计算机的 DNC(Direct Numerical Control)接口输入。
CNC装置在输入过程中还要完成校验和代码转换等工作，
输入的全部信息都放到 CNC装置的内部存储器中。
返回课件首页
二、译码
在输入的工件加工程序中含有工件的轮廓信息（起点、
终点、直线、圆弧等）、加工速度（ F代码）及其它辅
助功能（ M,S,T）信息等，译码程序以一个程序段
为单位，按一定规则将这些信息翻译成计算机内部能
识别的数据形式，并以约定的格式存放在指定的内存
区间。
三、数据处理
数据处理程序一般包括刀具半径补偿、速度计算以及
辅助功能处理。
刀具半径补偿是把零件轮廓轨迹转化成刀具中心轨迹，
编程员只需按零件轮廓轨迹编程，减轻了工作量。
速度计算是解决该加工程序段以什么样的速度运动
的问题 。 编程所给的进给速度是合成速度, 速度计算
是根据合成速度来计算各坐标运动方向的分速度 。 另
外对机床允许的最低速度和最高速度的限制进行判断
并处理 。
辅助功能诸如换刀, 主轴启停, 切削液开关等一些
开关量信号也在此程序中处理 。 辅助功能处理的主要
工作是识别标志, 在程序执行时发出信号, 让机床相
应部件执行这些动作 。
四, 插补
插补的任务是通过插补计算程序在已知有限信息的
基础上进行“数据点的密化”工作，即在起点和终点
之间插入一些中间点。
五, 位置控制
它的主要任务是在每个采样周期内, 将插补计算的
理论位置与实际反馈位置相比较, 用其差值去控制进
给电动机, 进而控制工作台或刀具的位移 。
六, 输入 /输出 （ I/O） 处理控制
I/O处理主要处理 CNC系统和机床之间的来往信号
的输入和输出控制 。
七, 显示
CNC系统的显示主要是为操作者提供方便，通常有：
零件程序显示、参数设置、刀具位置显示、机床状态
显示、报警显示、刀具加工轨迹动态模拟显示以及在
线编程时的图形显示等
八, 诊断
主要是指 CNC系统利用内装诊断程序进行自诊断,
主要有启动诊断和在线诊断 。
启动诊断是指 CNC系统每次从通电开始进入正常的
运行准备状态中, 系统相应的内诊断程序通过扫描自
动检查系统硬件, 软件及有关外设是否正常 。 只有当
检查的每个项目都确认正确无误之后, 整个系统才能
进入正常的准备状态 。 否则, CNC系统将通过报警方
式指出故障的信息, 此时, 启动诊断过程不能结束,
系统不能投入运行 。
在线诊断程序是指在系统处于正常运行状态中，由
系统相应的内装诊断程序，通过定时中断周期扫描检
查 CNC系统本身以及各外设。只要系统不停电，在线
诊断就不会停止。
第一节 插补原理
一, 概述
在数控加工中, 一般已知运动轨迹的起点坐标,
终点坐标和曲线方程, 如何使切削加工运动沿着预定
轨迹移动呢？ 数控系统根据这些信息实时地计算出各
个中间点的坐标, 通常把这个过程称为, 插补, 。
插补实质上是根据有限的信息完成, 数据点的密化,
工作 。
加工各种形状的零件轮廓时, 必须控制刀具相对
工件以给定的速度沿指定的路径运动, 即控制各坐标
轴依某一规律协调运动, 这一功能为插补功能 。
平面曲线的运动轨迹需要两个运动来协调；
空间曲线或立体曲面则要求三个以上的坐标产生协
调运动。
插补工作可由硬件逻辑电路或执行软件程序来完成,
在 CNC系统中, 插补工作一般由软件完成, 软件插补
结构简单, 灵活易变, 可靠性好 。
目前普遍应用的两类插补方法为基准脉冲插补和
数据采样插补 。
（ 一 ） 基准脉冲插补
基准脉冲插补又称脉冲增量插补, 这类插补算法
是以脉冲形式输出, 每插补运算一次, 最多给每一轴
一个进给脉冲 。 把每次插补运算产生的指令脉冲输出
到伺服系统, 以驱动工作台运动, 每发出一个脉冲,
工作台移动一个基本长度单位, 也叫脉冲当量, 脉冲
当量是脉冲分配的基本单位 。
（ 二 ） 数据采样插补
数据采样插补又称时间增量插补, 这类算法插补结
果输出的不是脉冲, 而是标准二进制数 。 根据程编进
给速度, 把轮廓曲线按插补周期将其分割为一系列微
小直线段, 然后将这些微小直线段对应的位置增量数
据进行输出, 以控制伺服系统实现坐标轴的进给 。
插补计算是计算机数控系统中实时性很强的一项
工作, 为了提高计算速度, 缩短计算时间, 按以下三
种结构方式进行改进 。
1,采用软 /硬件结合的两级插补方案 。
2,采用多 CPU的分布式处理方案 。
3,采用单台高性能微型计算机方案 。
二, 基准脉冲插补
(一 ) 逐点比较法
加工图 3-1所示圆弧 AB,如果刀具在起始点 A,假
设让刀具先从 A点沿－ Y方向走一步, 刀具处在圆内 1点 。
为使刀具逼近圆弧, 同时又向终点移动, 需沿＋ X方向
走一步, 刀具到达 2点, 仍位于圆弧内, 需再沿＋ X方
向走一步, 到达圆弧外 3点, 然后再沿－ Y方向走一步,
如此继续移动, 走到终点 。
Y Y
A
3
1 2 E
2 3
B
O X O 1 X
图 3-1 圆弧插补轨迹 图 3-2 直线插补轨迹
加工图 3-2所示直线 OE也一样, 先从 O点沿＋ X向
进给一步, 刀具到达直线下方的 1点, 为逼近直线, 第
二步应沿＋ Y方向移动, 到达直线上方的 2点, 再沿＋ X
向进给, 直到终点 。
所谓逐点比较法, 就是每走一步都要和给定轨迹比
较一次, 根据比较结果来决定下一步的进给方向, 使
刀具向减小偏差的方向并趋向终点移动, 刀具所走的
轨迹应该和给定轨迹非常相, 象, 。
终点判别
结束
Y
N
偏差判别
开始
坐标进给
y
x
2
E ( 4,3 )
O
1 3 4
1
2
3
给
偏差计算
1,插补原理
一般来说，逐点比较法插补过程可按以下四个步骤进行：
图 3-3 逐点比较法工作循环图
偏差判别：根据刀具当前位置, 确定进给方向 。
坐标进给：使加工点向给定轨迹趋进, 即向减少误 差
方向移动 。
偏差计算：计算新加工点与给定轨迹之间的偏差,
作为下一步判别依据 。
终点判别：判断是否到达终点, 若到达, 结束插补；
否则, 继续以上四个步骤 （ 如图 3-3所示 ） 。
2,直线插补
图 3-4所示第一象限直线 OE,起点 O为坐标原点,
用户编程时, 给出直线的终点坐标 E（ Xe,Ye）, 直线
方程为
XeY－ XYe＝ 0 (3-1)
直线 OE 为给定轨迹, P（ X,Y） 为动点坐标, 动
点与直线的位置关系有三种情况：动点在直线上方,
直线上, 直线下方 。
（ 1） 若 P1点在直线上方, 则有 Y
XeY－ XYe>0 E(Xe,Ye)
（ 2） 若 P点在直线上, 则有 P1
XeY－ XYe＝ 0
（ 3） 若 P2点在直线下方, 则有 P (X,Y)
XeY－ XYe<0 P2
O X
因此, 可以构造偏差函数为 图 3-4 动点与直线位置关系
(3-2)
ee XYYXF ??
eiiei YXYXF ??
对于第一象限直线，其偏差符号与进给方向的关系为
F＝ 0时，表示动点在 OE上，如点 P，可向＋ X向进给，也可
向＋ Y向进给。
F>0时，表示动点在 OE上方，如点 P1，应向＋ X向进给。
F<0时，表示动点在 OE下方，如点 P2，应向＋ Y向进给。
这里规定动点在直线上时，可归入 F>0的情况一同考虑。
插补工作从起点开始，走一步，算一步,判别一次，再走
一步，当沿两个坐标方向走的步数分别等于 Xe和 Ye时，停止插
补。
下面将 F的运算采用递推算法予以简化，动点 Pi(Xi,Yi)的
Fi值为
ei
eeiie
eiie
eiiei
YF
YYXYX
YXYX
YXYXF
??
???
???
?? ???
)1(
111
eii YFF ??? 1
ei
eeiie
eiie
eiiei
XF
XYXYX
YXYX
YXYXF
??
???
???
?? ???
)1(
111
若 Fi≥0，表明 Pi(Xi,Yi)点在 OE直线上方或在直线上，应沿
＋ X向走一步，假设坐标值的单位为脉冲当量，走步后新
的坐标值为（ Xi+1,Yi+1），且 Xi+1=Xi+1,Yi+1=Yi,新点偏差
为
即 (3-3)
若 Fi<0，表明 Pi（ Xi,Yi）点在 OE 的下方，应向
＋ Y方向进给一步，新点坐标值为 (Xi+1,Yi+1)，且
Xi+1=Xi,Yi+1＝ Yi＋ 1，新点的偏差为
即 (3-4)
开始加工时, 将刀具移到起点, 刀具正好处于直线
上, 偏差为零, 即 F＝ 0,根据这一点偏差可求出新一
点偏差, 随着加工的进行, 每一新加工点的偏差都可
由前一点偏差和终点坐标相加或相减得到 。
在插补计算, 进给的同时还要进行终点判别 。 常
用终点判别方法, 是设置一个长度计数器, 从直线的
起点走到终点, 刀具沿 X轴应走的步数为 X e,沿 Y轴走
的步数为 Ye,计数器中存入 X和 Y两坐标进给步数总和 ∑
＝ ∣ Xe∣ ＋ ∣ Ye∣, 当 X或 Y坐标进给时, 计数长度减
一, 当计数长度减到零时, 即 ∑＝ 0时, 停止插补, 到
达终点 。
eii XFF ??? 1
例 3-1 加工第一象限直线 OE,如图 3-5所示, 起点为坐
标原点, 终点坐标为 E（ 4,3） 。 试用逐点比较法对该
段直线进行插补, 并画出插补轨迹 。
图 3-5 直线插补轨迹过程实例
Y
X 2
E (4,3 )
O
1 3 4
1
2
3
表 3-1 直线插补运算过程
序号 偏差判别 坐标进给 偏差计算 终点判别
起点
0
0
?F
∑ =7
1 F
0
=0 +X
3
01
????
e
YFF
∑ =6
2 F
1
<0 +Y
1
12
???
e
XFF
∑ =5
3 F
2
>0 +X
2
23
????
e
YFF
∑ =4
4 F
3
<0 +Y
2
34
???
e
XFF
∑ =3
5 F
3
> 0 +X
1
45
????
e
YFF
∑ =2
6 F
5
<0 +Y
3
56
???
e
XFF
∑ =1
7 F
6
>0 +X
0
67
???
e
YFF
∑ =0
3,四象限的直线插补
假设有第三象限直线 OE′（图 3-6），起点坐标在原
点 O，终点坐标为 E′（－ Xe，－ Ye），在第一象限有一
条和它对称于原点的直线，其终点坐标为 E（ Xe,Ye），
按第一象限直线进行插补时，从 O点开始把沿 X轴正向
进给改为 X轴负向进给，沿 Y轴正向改为 Y轴负向进给，
这时实际插补出的就是第三象限直线，其偏差计算公
式与第一象限直线的偏差计算公式相同，仅仅是进给
方向不同，输出驱动，应使 X和 Y轴电机反向旋转。
图 3-6 第三象限直线插补
Y
X
E (X
e
,Y
e
)
)
O
E ′ ( - X
e
,- Y
e
)
四个象限直线的偏差符号和插补进给方向如图 3-7所示，
用 L1,L2,L3,L4分别表示第 Ⅰ, Ⅱ, Ⅲ, Ⅳ 象限的直线。
为适用于四个象限直线插补，插补运算时用 ∣ X∣, ∣ Y∣
代替 X,Y，偏差符号确定可将其转化到第一象限，动点与
直线的位置关系按第一象限判别方式进行判别。
由图 3-7可见，靠近 Y轴区域偏差大于零，靠近 X轴区
域偏差小于零。 F≥0时，进给都是沿 X轴，不管是＋ X向还
是－ X向,X的绝对值增大； F<0时，进给都是沿 Y轴，不
论＋ Y向还是－ Y向,Y的绝对值增大。
图 3-8为四象限直线插补流程图。
y
x
L1
F ? 0
L2
L3
F ? 0
F ? 0 F ? 0
L4
F< 0
F< 0
F< 0
F< 0
图 3-7 四象限直线偏差符号和进给方向
开始
初始化 |Xe|,
|Ye|
∑ ＝ |Xe|＋ |Ye|
F≥ 0
F← F－ ∣ Ye∣
沿 Xe向走一步
∑= 0
F← F＋ ∣ Xe∣
沿 Ye向走一步
结束
∑ ＝ ∑ -1
图 3-7 四象限直线偏差符号和进给方向
222 RYXF ???
4,圆弧插补
在圆弧加工过程中，可用动点到圆心的距离来描述刀具位置与
被加工圆弧之间关系。设圆弧圆心在坐标原点，已知圆弧起点 A
（ Xa,Ya），终点 B（ Xb,Yb），圆弧半径为 R。加工点可能在三种
情况出现，即圆弧上、圆弧外、圆弧内。当动点 P（ X,Y）位于圆
弧上时有
X2＋ Y2－ R2=0
P点在圆弧外侧时，则 OP大于圆弧半径 R，即
X2＋ Y2－ R2>0
P点在圆弧内侧时，则 OP小于圆弧半径 R，即
X2＋ Y2－ R2<0
用 F表示 P点的偏差值，定义圆弧偏差函数判别式为
（ 3-5）
当动点落在圆弧上时，一般约定将其和 F>0一并考虑。
Y Y
A
F≥0 D
SR1 NR1
F≥0
F<0
F<0
B
O X C
O X
a) 顺圆弧 b) 逆圆弧
图 3-9 第一象限顺, 逆圆弧
222
22
1
2
11
)1( RYX
RYXF
ii
iii
???
??? ???
＝
121 ???? YFF ii
图 3-9a中 AB为第一象限顺圆弧 SR1，若 F≥0时，动点在圆弧
上或圆弧外，向－ Y向进给，计算出新点的偏差；若 F<0，
表明动点在圆内，向＋ X向进给，计算出新一点的偏差，如
此走一步，算一步，直至终点。
由于偏差计算公式中有平方值计算，下面采用递推公式
给予简化，对第一象限顺圆,Fi≥0，动点 Pi(Xi,Yi)应向－ Y
向进给，新的动点坐标为 (Xi＋ 1,Yi＋ 1)，且 Xi＋ 1＝ Xi,Yi＋ 1＝ Yi
－ 1，则新点的偏差值为
即 (3-6)
121 ???? iii XFF
222
22
1
2
11
)1( RYX
RYXF
ii
iii
????
??? ???
若 Fi<0时，沿＋ X向前进一步，到达（ Xi＋ 1,Yi）点，新点
的偏差值为
(3-7)
即
进给后新点的偏差计算公式除与前一点偏差值有关
外，还与动点坐标有关，动点坐标值随着插补的进行是变
化的，所以在圆弧插补的同时，还必须修正新的动点坐标。
圆弧插补终点判别：将 X,Y轴走的步数总和存入一
个计数器,∑＝ ∣ Xb－ Xa∣ ＋ ∣ Yb－ Ya∣,每走一步 ∑减一，
当 ∑＝ 0发出停止信号。
X
Y
3
2
1
1 2 3
4
4 O
A ( 0,4 )
B ( 4,0 )
例 3-2 现欲加工第一象限顺圆弧 AB，如图 3-11所示，起
点 A（ 0,4），终点 B（ 4,0），试用逐点比较法进行插
补。
图 3-11 圆弧插补实例
表 3-2圆弧插补过程
步数 偏差判别 坐标进给 偏差计算 坐标计算 终点判别
起点
0
0
?F
X
0
= 0,Y
0
=4 ∑ =8
1 F
0
=0 - Y
712
001
????? YFF
X
1
= 0,Y
1
=3 ∑ =7
2 F
1
<0 +X
612
112
????? XFF
X
2
= 1,Y
2
= 3 ∑ =6
3 F
2
<0 +X
312
223
????? XFF
X
3
= 2,Y
3
=3 ∑ =5
4 F
3
<0 +X
212
334
???? XFF
X
4
= 3,Y
4
=3 ∑ =4
5 F
4
>0 - Y
312
445
????? YFF
X
5
= 3,Y
5
=2 ∑ =3
6 F
5
<0 +X
412
556
???? XFF
X
6
= 4,Y
6
=2 ∑ =2
7 F
6
>0 - Y
112
667
???? YFF
X
7
= 4,Y
7
=1 ∑ =1
8 F
7
>0 - Y
012
778
???? YFF
X
7
= 4,Y
7
=0 ∑ =0
121 ??? iii XFF ＝
121 ＋＋＝ iii YFF ?
5,四个象限中圆弧插补
参照图 3-9b，第一象限逆圆弧 CD的运动趋势是 X轴
绝对值减少,Y轴绝对值增大，当动点在圆弧上或圆弧外，
即 Fi≥0时,X轴沿负向进给，新动点的偏差函数为
(3-8)
Fi<0时,Y轴沿正向进给，新动点的偏差函数为
(3-9)
Y Y
NR2 NR1 SR2 SR1
O
X X
NR3 NR4 SR3 SR4
a) 逆圆弧
图 3-12 四个象限圆弧进给方向
C
A
y
如果插补计算都用坐标的绝对值，将进给方向另做处理，四个象
限插补公式可以统一起来，当对第一象限顺圆插补时，将 X轴正向进给
改为 X轴负向进给，则走出的是第二象限逆圆，若将 X轴沿负向,Y轴
沿正向进给，则走出的是第三象限顺圆。
如图 3-12a,b所示，用 SR1,SR2,SR3,SR4分别表示第 Ⅰ, Ⅱ,
Ⅲ, Ⅳ 象限的顺时针圆弧，用 NR1,NR2,NR3,NR4分别表示第 Ⅰ,
Ⅱ, Ⅲ, Ⅳ 象限的逆时针圆弧，四个象限圆弧的进给方向表示在图 3-
12中。
B
O X
图 3-13 跨象限圆弧
圆弧过象限, 即圆弧的起点和终点不在同一象限
内 。 若坐标采用绝对值进行插补运算, 应先进行过象
限判断, 当 X＝ 0或 Y＝ 0时过象限 。 如图 3-13所示, 需
将圆弧 AC分成两段圆弧 AB 和 BC,到 X＝ 0时, 进行处
理, 对应调用顺圆 2和顺圆 1的插补程序 。
若用带符号的坐标值进行插补计算, 在插补的同时,
比较动点坐标和终点坐标的代数值, 若两者相等, 插
补结束, 其计算过程见表 3-3。
进给 坐标计算 偏差计算 终点判别
+X
1
1
??
? ii
XX 12
1
???
? iii
XFF 0
1
??
?ie
XX
- X
1
1
??
? ii
XX 12
1
???
? iii
XFF 0
1
??
?ie
XX
+Y
1
1
??
? ii
YY 12
1
???
? iii
YFF 0
1
??
?ie
YY
- Y
1
1
??
? ii
YY
12
1
???
? iii
YFF
0
1
??
?ie
YY
表 3-3 圆弧插补计算过程
6,逐点比较法合成进给速度
逐点比较法的特点是脉冲源每发出一个脉冲, 就进
给一步, 不是发向 X轴, 就是发向 Y轴, 如果 fg为脉冲
源频率 (Hz),fx,fy 分别为 X轴和 Y轴进给频率 (Hz),则
(3-10)
从而 X轴和 Y轴的进给速度 (mm/min) 为
式中 —脉冲当量 （ mm/脉冲 ） 。
合成进给速度为
(3-11)
式 (3-11)中若 fx=0或 fy=0时, 也就是刀具沿平行于坐标
轴的方向切削, 这时对应切削速度最大, 相应的速度
称为脉冲源速度 vg,脉冲源速度与程编进给速度相同 。
2222 60 yxyx ffvvv ???? ?
yxg fff ??
xx fv ?60? yy
fv ?60?
(3-12)
合成进给速度与脉冲源速度之比为：
(3-13)
由式 3-13可见, 程编进给速度确定了脉冲源频率 fg后,
实际获得的合成进给速度 v并不总等于脉冲源的速度 vg，
与角有关 。 插补直线时, 为加工直线与 X轴的夹角；插
补圆弧时, 为圆心与动点连线和 X轴夹角 。 根据上式可
作出 v/vg随而变化的曲线 。 如图 3-14所示, v/vg=0.707~1，
最大合成进给速度与最小合成进给速度之比为
vmax/vmin=1.414,一般机床来讲可以满足要求, 认为逐
点比较法的进给速度是比较平稳的 。
?? c o ss i n
12
2
2
2
22
?
?
?
?
?
?
?
?
v
vv
v
v
v
v
vv
vv
v
v
yx
yx
yx
yx
g
gg fv ?60?
v/vg
1
0.707
O 450 900 α
图 3-14 逐点比较法进给速度
(二 ) 数字积分法
数字积分法又称数字微分分析法 DDA(Digital
differential Analyzer)，是在数字积分器的基础上建立起来
的一种插补算法。数字积分法的优点是，易于实现多坐标
联动，较容易地实现二次曲线、高次曲线的插补，并具有
运算速度快，应用广泛等特点。
如图 3-15所示，设有一函数 Y＝ f(t)，求此函数在
t0~tn区间的积分，就是求出此函数曲线与横坐标 t在区间
（ t0,tn）所围成的面积。如果将横坐标区间段划分为间
隔为 t的很多小区间，当 t取足够小时，此面积可近似地视
为曲线下许多小矩形面积之和。
(3-14)
式中 Yi为 t=ti时 f(t)的值, 这个公式说明, 求积分的过程
也可以用累加的方式来近似 。 在数学运算时, 取 t为基
本单位, 1”,则上式可简化为
(3-15)
数字积分器通常由函数寄存器, 累加器和与门等组成 。
其工作过程为：每隔 t时间发一个脉冲, 与门打开一次,
将函数寄存器中的函数值送累加器里累加一次, 令累
加器的容量为一个单位面积, 当累加和超过累加器的
容量一个单位面积时, 便发出溢出脉冲, 这样累加过
程中产生的溢出脉冲总数就等于所求的总面积, 也就
是所求积分值 。 数字积分器结构框图见图 3-16。
??
?
?
???
1
00
n
i
i
t
t
tYY d tS n
?
?
?
?
1
0
n
i
iYS
Y Y=f(t) △ s
Yi △ t
t0 ti tn t
图 3-15函数 Y=f(t)的积分 图 3-16数字积分器结构框图
累加器
函数寄存器
与门
1,数字积分法直线插补
若要产生直线 OE,其起点为坐标原点 O,终点坐标
为 E(7,4)。 设寄存器和累加器容量为 1,将 Xe＝ 7,Ye
＝ 4分别分成 8段, 每一段分别为 7/8,4/8,将其存入 X
和 Y函数寄存器中 。
第一个时钟脉冲来到时, 累加器里的值分别为
7/8,4/8,因不大于累加器容量, 没有溢出脉冲 。
第二个时钟脉冲来到时, X累加器累加结果为
7/8+7/8＝ 1+6/8,因累加器容量为 1,满 1就溢出一个
脉冲, 则往 X方向发出一进给脉冲, 余下的 6/8仍寄存
在累加器里, 累加器又称余数寄存器 。 Y累加器中累加
为 4/8+4/8,其结果等于 1,Y方向也进给一步 。
第三个脉冲到来时, 仍继续累加, X累积器为
6/8+7/8,大于 1,X方向再走一步, Y累加器中为 0+4/8，
其结果小于 1,无溢出脉冲, Y向不走步 。
Y
E(7,4)
0 X
图 3-17 直线插补走步过程
如此下去, 直到输入第 8个脉冲时, 积分器工作一个
周期, X方向溢出脉冲总数为 7/88=7,Y方向溢出
脉冲总数为 4/88=4,到达终点 E（ 如图 3-17） 。
图 3-18 DDA直线插补
Y
X
V
y V
V
x
E (X
e
,Y
e
)
O
?
若要加工第一象限直线 OE,如图 3-18所示, 起点为坐标
原点 O,终点坐标为 E（ Xe,Ye）, 刀具以匀速 V由起点
移向终点, 其 X,Y坐标的速度分量为 Vx,Vy,则有
(k为常数 ) (3-16)
各坐标轴的位移量为
(3-17)
数字积分法是求式 （ 3-17） 从 O到 E区间的定积分 。 此积
分值等于由 O到 E的坐标增量, 因积分是从原点开始的,
所以坐标增量即是终点坐标 。
kYVXVOEV
e
y
e
x ???
dtkYdtVY
dtkXdtVX
ey
ex
? ?
??
??
??
数字积分法是求式 （ 3-17） 从 O到 E区间的定积分 。 此积
分值等于由 O到 E的坐标增量, 因积分是从原点开始的,
所以坐标增量即是终点坐标 。
(3-18)
式 (3-18)中 t0对应直线起点的时间, tn对应终点时间 。
用累加来代替积分, 刀具在 X,Y方向移动的微小增量分
别为
(3-19)
0
0
0
0
YYdtkY
XXdtkX
t
t ee
t
t ee
n
n
－?
?
?
??
tkYtVY
tkXtVX
ey
ex
?????
?????
动点从原点出发走向终点的过程, 可以看作是各坐
标轴每经过一个单位时间间隔 t,分别以增量 kXe及 kYe
同时累加的结果 。
取 （ 一个单位时间间隔 ）, 则
若经过 m次累加后, X,Y都到达终点 E（ Xe,Ye）,
下式成立
??
??
??
?
????
????
m
i
ie
m
i
i
i
m
i
e
m
i
i
tkYYY
tkXXX
11
11 ＝
1?? it
e
m
i
ie
m
i
eie
k m YtkYY
k m XtkXX
???
???
?
?
?
?
1
1
可见累加次数与比例系数之间有如下关系
或
两者互相制约, 不能独立选择, m是累加次数, 取整
数, k取小数 。 即先将直线终点坐标 Xe,Ye缩小到 kXe，
kYe,然后再经 m次累加到达终点 。 另外还要保证沿坐
标轴每次进给脉冲不超过一个, 保证插补精度, 应使
下式成立
ee
ee
Yk m YY
Xk m XX
??
??
1
1
???
???
e
e
kYY
kXX
km /1?1?km
如果存放 Xe,Ye寄存器的位数是 n,对应最大允许数字
量为 （ 各位均为 1）, 所以 Xe,Ye最大寄存数值为
则
为使上式成立, 不妨取 代入得
累加次数
上式表明, 若寄存器位数是 n,则直线整个插补过程要进
行 2n次累加才能到达终点 。
12 ?n
12 ?n
12
1
1)12(
?
?
??
n
n
k
k
nk 2
1?
1
2
12 ??
n
n
n
km 2
1 ??
对于二进制数来说，一个 n位寄存器中存放 Xe和存放
kXe的数字是一样的，只是小数点的位置不同罢了,Xe
除以 2n，只需把小数点左移 n位，小数点出现在最高位
数 n的前面。采用 kXe进行累加，累加结果大于 1，就有
溢出。若采用 Xe进行累加，超出寄存器容量 2n有溢出。
将溢出脉冲用来控制机床进给，其效果是一样的。在
被寄函数寄存器里可只存 Xe，而省略 k。
例如,Xe=100101在一个 6位寄存器中存放，若
k=1/26,kXe=0.100101也存放在 6位寄存器中，数字是
一样的，若进行一次累加，都有溢出，余数数字也相
同，只是小数点位置不同而已，因此可用 Xe替代 kXe
△ t
Δx ΔY
图 3-19为平面直线的插补框图
X函数寄存器 JVX
与门
X累加器 JRX
Y函数寄存器 JVY
与门
Y累加器 JRY
图 3-19为平面直线的插补框图, 它由两个数字积分器
组成, 每个坐标轴的积分器由累加器和被积函数寄存
器组成, 被积函数寄存器存放终点坐标值, 每经过一
个时间间隔 t,将被积函数值向各自的累加器中累加,
当累加结果超出寄存器容量时, 就溢出一个脉冲, 若
寄存器位数为 n,经过 2n次累加后, 每个坐标轴的溢出
脉冲总数就等于该坐标的被积函数值, 从而控制刀具
到达终点 。
例 3-3 设有一直线 OE,如图 3-20所示起点坐标 O(0，
0),终点坐标为 E（ 4,3）, 累加器和寄存器的位数为
3位, 其最大可寄存数值为 7（ J≥8时溢出 ） 。 若用二进
制计算, 起点坐标 O（ 000,000）, 终点坐标 E（ 100，
011）, J≥1000时溢出 。 试采用 DDA法对其进行插补 。
其插补运算过程见表 3-3。
表 3-3 DDA直线插补运算过程
累加次
数
( Δ t)
X 积分器 Y 积分器
终点
计数器
J E
J
VX
J
RX
Δ X J
VY
J
RY
Δ Y
0 4 0 3 0 0
100 01 1 000
1 4 0+ 4= 4 3 0+ 3= 3 1
100 000 + 100 = 100 01 1 000 + 01 1= 01 1 001
2 4 4+ 4= 8+ 0 1 3 3+ 3= 6 2
100 100 + 100 = 1 000 01 1 01 1+ 01 1= 1 10 010
3 4 0+ 4= 4 3 6+ 3= 8+ 1 1 3
100 000 + 100 = 100 01 1 1 10+ 01 1= 1 001 01 1
4 4 4+ 4= 8+ 0 1 3 1+ 3= 4 4
100 100 ＋ 100 ＝ 1 000 01 1 001 ＋ 01 1 ＝ 100 100
5 4 0 + 4 = 4 3 4 + 3 = 7 5
100 0 0 0 +1 0 0 =1 0 0 0 1 1 100 ＋ 0 1 1 ＝ 111 101
6 4 4 + 4 = 8 + 0 1 3 7 + 3 = 8 + 2 1 6
100 1 0 0 +1 0 0 = 1 000 0 1 1 111 ＋ 0 1 1 ＝ 1 010 1 1 0
7 4 0 + 4 = 4 3 2 + 3 = 5 7
100 0 0 0 +1 0 0 =1 0 0 0 1 1 010 ＋ 0 1 1 ＝ 101 111
8 4 4 + 4 = 8 + 0 1 3 5 + 3 = 8 + 0 1 8
100 1 0 0 +1 0 0 = 1 000 0 1 1 101 ＋ 0 1 1 ＝ 1 00 0 1 000
图 3-20 DDA直线插补实例 图 3-21 DDA圆弧插补
(3-21)
由于第一象限顺圆对应 Y坐标值逐渐减小, 所以式 (3-21)
中表达式中取负号, 即 Vx,Vy均取绝对值计算 。
2,数字积分法圆弧插补
第一象限顺圆如图 3-21,圆弧的圆心在坐标原点 O,起点
为 A（ Xa,Ya）, 终点为 B（ Xb,Yb） 。 圆弧插补时, 要求刀
具沿圆弧切线作等速运动, 设圆弧上某一点 P（ X,Y） 的速
度为 V,则在两个坐标方向的分速度为 Vx,Vy,根据图中几
何关系, 有如下关系式
(3-20)
对于时间增量而言, 在 X,Y坐标轴的位移增量分别为
kXVYVRV yx ???
tkXtVY
tkYtVX
y
x
???????
?????
与 DDA直线插补类似, 也可用两个积分器来实现圆弧插补, 如图 3-22
所示 。
Δt
○
○
Δx
Δy
图 3-22 第一象限顺圆弧插补器
X函数寄存器 JVX
与门
X累加器 JRX
Y函数寄存器 JVY
与门
Y累加器 JRY
DDA圆弧插补与直线插补的主要区别为：
（ 1） 圆弧插补中被积函数寄存器寄存的坐标值与对应坐
标轴积分器的关系恰好相反 。
（ 2） 圆弧插补中被积函数是变量, 直线插补的被积函数
是常数 。
（ 3） 圆弧插补终点判别需采用两个终点计数器 。 对于直
线插补, 如果寄存器位数为 n,无论直线长短都需迭代
2n次到达终点 。
例 3-4 设有第一象限顺圆 AB,如图 3-23所示, 起点
A（ 0,5）, 终点 B（ 5,0）, 所选寄存器位数 n=3。 若
用二进制计算, 起点坐标 A（ 000,101）, 终点坐标 B
（ 101,000）, 试用 DDA法对此圆弧进行插补 。
其插补运算过程见表 3-4。
累加次
数
( Δ t)
X 积分器 Y 积分器
J
VX
J
RX
Δ X J
EX
J
VY
J
RY
Δ Y J
EY
0 5 0 5 0 0 5
101 101 000 000 101
1 5 0+ 5= 5 5 0 0 ＋ 0 ＝ 0 5
101 000 ＋ 101 ＝ 101 101 000 000 ＋ 000 ＝ 000 101
2 5 5+ 5= 8+ 2 1 4 0 0 ＋ 0 ＝ 0 5
101 101 ＋ 101 ＝ 1 010 100 000 000 ＋ 000 ＝ 000 101
1
001
表 3-4 DDA圆弧插补运算过程
3 5 5+ 2= 7 4 1 1 5
101 101 ＋ 010 ＝ 111 100 001 001 ＋ 000 ＝ 001 101
4 5 5+ 7= 8+ 4 1 3 1 1+ 1= 2 5
101 101 ＋ 111 ＝ 1 100 01 1 001 001 ＋ 001 ＝ 010 101
2
010
5 5 5+ 4= 8 ＋ 1 1 2 2 2+ 2= 4 5
101 101 ＋ 100 ＝ 1 001 010 010 010 ＋ 010 ＝ 100 101
3
01 1
6 5 5 + 1 = 6 2 3 3 + 4 = 7 5
101 101 ＋ 001 ＝ 1 1 0 010 0 1 1 0 1 1 ＋ 100 ＝ 111 101
7 5 5 + 6 = 8 + 3 1 1 3 3 + 7 = 8 + 2 1 4
101 101 ＋ 1 1 0 ＝ 1 0 1 1 001 0 1 1 0 1 1 ＋ 111 ＝ 1 010 100
4 4
100 100
8 4 4 + 3 = 7 1 4 4 + 2 = 6 4
100 100 ＋ 0 1 1 ＝ 111 001 100 100 ＋ 010 ＝ 1 1 0 100
9 4 4+ 7= 8+ 3 1 0 4 4+ 6= 8+ 2 1 3
100 100 ＋ 111 ＝ 1 01 1 000 100 100 ＋ 1 10 ＝ 1 010 01 1
3 5
01 1 101
10 3 停止 5 5+ 2= 7 3
01 1 101 101 ＋ 010 ＝ 111 01 1
11 3 5 5+ 7= 8+ 4 1 2
01 1 101 101 ＋ 111 ＝ 1 100 010
2
010
12 2 5 5+ 4= 8+ 1 1 1
010 101 101 +100= 1 001 001
1
001
13 1 5 5+ 1= 6 1
001 101 101 ＋ 001 ＝ 1 10 001
14 1 5 5+ 6= 8+ 3 1 0
001 101 101 +1 10= 1 01 1 000
0
000
15 0 5 停止
101
A (0,5 )
4
2
3
5
4
Y
O
1 2 3
X
B (5,0 )
5
1
图 3-23 DDA圆弧插补实例
3,数字积分法插补的象限处理
DDA插补不同象限直线和圆弧时, 用绝对
值进行累加, 把进给方向另做讨论 。
DDA插补是沿着工件切线方向移动, 四个
象限直线进给方向如图 3-24所示 。
圆弧插补时被积函数是动点坐标, 在插补过
程中要进行修正, 坐标值的修改要看动点运动
是使该坐标绝对值是增加还是减少, 来确定是
加 1还是减 1。 四个象限直线进给方向和圆弧插
补的坐标修改及进给方向如表 3-5所示 。
Y
Y
L2 L1 NR2 NR1
SR2 SR1
X X
SR3 SR4
L3 L4 NR3 NR4
图 3-24 四象限直线插补进给方向
图 3-25四象限圆弧插补进给方向
内容 L1 L2 L3 L4
进给 ΔX + - - +
修正 JVY
进给 ΔY + + - -
修正 JVX
表 3-5 直线进给方向,
NR1 NR2 NR3 NR4 SR1 SR2 SR3 SR4
- - + + + + - -
-1 +1 -1 +1 +1 -1 +1 -1
+ - - + - + + -
+1 -1 +1 -1 -1 +1 -1 +1
表 3-5 圆弧插补进给方向及坐标修改
4,数字积分法合成进给速度
数字积分法的特点是, 脉冲源每产生一个脉冲, 作一
次累加计算, 如果脉冲源频率为 fg（ Hz）, 插补直线
的终点坐标为 E（ Xe,Ye）, 则 X,Y方向的平均进给频
率 fx,fy为
(3-22)
式中 m—累加次数 。
假设脉冲当量为 （ mm/脉冲 ）, 可求得 X和 Y方向进给速
度 （ mm/min）
g
e
y
g
e
x
f
m
Y
f
f
m
X
f
?
?
m
Y
ffV
m
X
ffV
e
gyy
e
gxx
??
??
6060
6060
??
??
nm 2?
假设脉冲当量为 （ mm/脉冲 ）, 可求得 X和 Y方向进给速度
（ mm/min）
(3-23)
合成进给速度为
(3-24)
式中 L—被插补直线长度, ; 若插补圆弧, L应为
圆弧半径 R。
Vg—脉冲源速度, 。
m
Y
ffV
m
X
ffV
e
gyy
e
gxx
??
??
6060
6060
??
??
m
LVVVV
gyx ??? 22
22 ee YXL ＋＝
gg fV ?60?
数控加工程序中 F代码指定进给速度后, fg基本维持不
变 。 这样合成进给速度 V与被插补直线的长度或圆弧的
半径成正比 。 如图 3-26所示, 如果寄存器位数是 n,加
工直线 L1,L2都要经过 m＝ 2n累加运算, L1直线短, 进
给慢, 速度低； L2直线长, 进给快, 速度高 。 加工 L1
生产效率低；加工 L2零件表面质量差 。
L1 V1
L2
V2
图 3-26 进给速度与直线长度的关系
5,数字积分法稳速控制
(1) 左移规格化
,左移规格化, 就是将被积函数寄存器中存放数值的前
零移去 。
直线插补时, 当被积函数寄存器中所存放最大数的最高
位为 1时, 称为规格化数, 反之, 若最高位为零, 称为
非规格化数 。
直线插补左移规格化数的处理方法是：将 X轴与 Y轴被积
函数寄存器里的数值同时左移 （ 最低位移入零 ）, 直
到其中之一最高位为 1时为止 。
若被积函数左移 i位成为规格化数, 其函数值扩大 2i倍,
为了保持溢出的总脉冲数不变, 就要减少累加次数 。
in
i
nk ??? 2
12
2
1 inm ?? 2
被积函数扩大一倍, 累加次数减少一倍 。 具体实现,
当被积函数左移 i位时, 终点判别计数器右移 （ 最高位
移入 1）, 使终点计数器 JE使用长度减少 i位, 实现累加
次数减少的目的 。 如果直线终点坐标为 （ 10,6）, 寄
存器与累加器位数是 8,其规格化前后情况如下所示：
规格化前 规格化后
Xe=00001010 Xe=10100000
Ye=00000110 Ye=01100000
JE=00000000 JE=11110000
圆弧插补左移规格化与直线不同之处：被积函数寄存器
存放最大数值的次高位是 1为规格化数 。
圆弧左移规格化后, 扩大了寄存器中存放的数值 。
左移 i位, 相当于乘 2i,即 X轴与 Y轴被积函数寄
存器存放的数据变为 2iY,2iX,这样, 假设 Y轴
有脉冲溢出时, 则 X轴被积函数寄存器中存放
的坐标被修正为
上式指明, 规格化处理后, 插补中的坐标修正
加 1或减 1,变成了加 2i或减 2i。
直线和圆弧插补时规格化数处理方式不同, 但均
能提高溢出速度, 并能使溢出脉冲变得比较均
匀 。
iiii YYY 22)1(22 ????
(2) 按进给速率数 FRN编程
为实现不同长度程序段的恒速加工, 在编程时考虑被
加工直线长度或圆弧半径, 采用 FRN来表示, F”功能,
（ 直线 ）, 或 （ 圆弧 ）
式中 V—要求的加工切削速度；
L—被加工直线长度；
R—被加工圆弧半径 。
因为
所以 （ 3-25）
由上式可见, FRN编程, 其实质是控制迭代频率 fg,fg与
V/L（ 直线插补 ） 或 V/R（ 圆弧插补 ） 成正比, 当插补
尺寸 L或 R不同时, 使迭代频率作相应改变, 以保证所
选定的进给速度 。
F R NmLVmf g ?? 6060 ??
m
LfV
g?60?
L
VFRN ＝
R
VFRN ＝
(3) 提高插补精度的措施
对于 DDA圆弧插补, 径向误差可能大于一个脉
冲当量, 因数字积分器溢出脉冲的频率与被积
函数寄存器中的数值成正比, 在坐标轴附近进
行累加时, 一个积分器的被积函数值接近零,
而另一个积分器的被积函数接近于最大值, 累
加时后者连续溢出, 前者几乎没有, 两个积分
器的溢出脉冲频率相差很大, 致使插补轨迹偏
离给定圆弧距离较大, 使圆弧误差增大 。
减少误差的方法有：减小脉冲当量, 误差减少,
但寄存器容量增大, 累加次数增加 。 而且要获
得同样的进给速度, 需要提高插补速度 。
还可采用余数寄存器预置数法, 即在 DDA插补之前,
累加器又称余数寄存器 JRX,JRY的初值不置零, 而是预
置 2n/2,若用二进制表示, 其最高有效位置, 1”,其它
各位置零, 若再累加 100… 000,余数寄存器就可以产
生第一个溢出脉冲, 使积分器提前溢出 。 这种处理方
式称为, 半加载,, 在被积函数值较小, 不能很快产
生溢出脉冲的情况下, 可使脉冲提前溢出, 改变了溢
出脉冲的时间分布, 达到减少插补误差的目的 。
例 3-5 加工第一象限顺圆 AB,如图 3-27,起点 A（ 0，
5）, 终点 B（ 0,5） 选用寄存器位数 n=3,经过, 半
加载, 处理后, 试用 DDA法进行插补计算 。
其插补运算过程见表 3-5。
X 积分器 Y 积分器
累加
次数
( Δ t)
J
VX
J
RX
Δ X J
EX
J
VY
J
RY
Δ Y J
EY
0 5 4 5 0 4 5
1 5 5 ＋ 4 ＝ 8 ＋ 1 1 4 0
1
0 ＋ 4 ＝ 4 5
2 5 5 ＋ 1 ＝ 6 4 1 1 ＋ 4 ＝ 5 5
3 5 5 ＋ 6 ＝ 8 ＋ 3 1 3 1
2
1 ＋ 5 ＝ 6 5
4 5
4
5 ＋ 3 ＝ 8 ＋ 0 1 2 2
3
2 ＋ 6 ＝ 8 ＋ 0 1 4
5 4 4 ＋ 0 ＝ 4 2 3 3 ＋ 0 ＝ 3 4
6 4 4 ＋ 4 ＝ 8 ＋ 0 1 1 3
4
3 ＋ 3 ＝ 6 4
7 4
3
4 ＋ 0 ＝ 4 1 4 4 ＋ 6 ＝ 8+ 2 1 3
8 3 3 ＋ 4 ＝ 7 1 4 4 ＋ 2 ＝ 6 3
9 3
2
3+ 7 ＝ 8+ 2 1 0 4
5
4 ＋ 6 ＝ 8+ 2 1 2
10 2
停止
5 5 ＋ 2 ＝ 7 2
11 2
1
5 5 ＋ 7 ＝ 8+ 4 1 1
12 1
0
5 5 ＋ 4 ＝ 8+ 1 1 0
停止
图 3-27,半加载, 后 DDA圆弧插补实例
4
2
A (0,5 )
3
5
4
y
O
1 2 3
x
B (5,0 )
5
1
二,数据采样法
（一） 数据采样法原理
数据采样插补又称为时间分割法，与基准脉冲
插补法不同，数据采样插补法得出的不是进给脉冲，
而是用二进制表示的进给量。这种方法是根据程编进
给速度 F，将给定轮廓曲线按插补周期 T（某一单位时
间间隔）分割为插补进给段（轮廓步长），即用一系
列首尾相连的微小线段来逼近给定曲线。每经过一个
插补周期就进行一次插补计算，算出下一个插补点，
即算出插补周期内各坐标轴的进给量，如等，得出下
一个插补点的指令位置。
插补周期越长，插补计算误差越大，插补周期
应尽量选得小一些。 CNC系统在进行轮廓插补控制时，
除完成插补计算外，数控装置还必须处理一些其它任
务，如显示、监控、位置采样及控制等。
因此，插补周期应大于插补运算时间和其它实
时任务所需时间之和。插补周期大约在 8ms左右。
采样是指由时间上连续信号取出不连续信号,
对时间上连续的信号进行采样, 就是通过一个采样开
关 K（ 这个开关 K每隔一定的周期 TC闭合一次 ） 后, 在
采样开关的输出端形成一连串的脉冲信号 。 这种把时
间上连续的信号转变成时间上离散的脉冲系列的过程
称为采样过程, 周期 TC叫采样周期 。
计算机定时对坐标的实际位置进行采样，采样
数据与指令位置进行比较，得出位置误差用来控制电
动机，使实际位置跟随指令位置。对于给定的某个数
控系统，插补周期 T和采样周期 TC是固定的，通常 T≥ TC，
一般要求 T是 TC的整数倍。
对于直线插补，不会造成轨迹误差。在圆弧插
补中，会带来轨迹误差。
如图 3-28所示, 用弦线逼近圆弧, 其最大径向误
差 er为
(3-26)
式中 R—被插补圆弧半径 （ mm） ；
—角步距, 在一个插补周期内逼近弦所对应的圆心角 。
将式 (3-26)中的 用幂级数展开, 得
(3-27)
)2c o s1( ??? Re r
?
)2/c o s (?
)2c o s1( ??? Re r
? ? ? ?
??
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????? ?
22
!4
2/
!2
2/11 ??R
R8
2?
?
设 T为插补周期, F为进给速度, 则轮廓步长为
(3-28)
用轮廓步长代替弦长, 有
(3-29)
将 (3-29)代入式 （ 3-27）,得
(3-30)
可见, 圆弧插补过程中, 用弦线逼近圆弧时, 插补误差 er
与程编进给速度 F的平方, 插补周期 T的平方成正比,
与圆弧半径 R成反比 。
TFl ?
?? Rl? RTF
R
TFe
r 8
)( 2?
图 3-28 弦线逼近圆弧 图 3-29 直线插补原理
(二 ) 直线函数法
1,直线插补
设要加工图 3-29所示直线 OE,起点在坐标原点 O,终点
为 E（ ）, 直线与 X轴夹角为, 则有
若已计算出轮廓步长, 从而求得本次插补周期内各坐标
轴进给量为
(3-31)
e
e
X
Ytg ??
?
?
21
1co s
tg?
?
x
X
Y
Y
lX
e
e ???
?? ?c o s
2,圆弧插补
圆弧插补, 需先根据指令中的进给速度 F,计算出轮
廓步长 l,再进行插补计算 。 以弦线逼近圆弧, 就是以
轮廓步长为圆弧上相邻两个插补点之间的弦长, 由前
一个插补点的坐标和轮廓步长, 计算后一插补点, 实
质上是求后一插补点到前一插补点两个坐标轴的进给
量 ΔX,ΔY。 如图 3-30 所示, A(Xi,Yi)为当前点,
B(Xi+1,Yi+1） 为插补后到达的点, 图中 AB弦正是圆弧插
补时在一个插补周期的步长 l,需计算 x轴和 y轴的进给
量 ΔX=Xi+1-Xi, ΔY=Yi+1-Yi 。 AP是 A点的切线, M是
弦的中点, OM⊥ AB,ME ⊥ AG,E为 AG的中点 。 圆心
角计算如下
式中 δ—轮廓步长所对应的圆心角增量, 也称为角步距 。
??? ??? ii 1
图 3-30 圆弧插补
因为 OA AP (AP为圆弧切线 )
所以 △ AOC∽ △ PAG
则 ∠ AOC＝ ∠ GAP＝
因为 ∠ PAB+∠ OAM=900
所以 ∠ PAB＝ ∠ AOM=∠ AOB＝
设 ＝ ∠ GAB＝ ∠ GAP＋ ∠ PAB＝
△ MOD中
将 DH=Xi,OC＝ Yi,HM＝,
CD＝
代入上式, 则有
?21
? ??
2
1?
i
CDOC
HMDH
OD
DMtg
i ?
???
?
??
?
? ? ＝??
2
1
Xl ?? 21c o s ?
Yl ?? 21s i n21 ?
2
1
(3-32)
又因为
由此可以推出 的关系式
(3-33)
式 (3-33)反映了圆弧上任意相邻两插补点坐标之间
的关系, 只要求得 和, 就可以计算出新的插补点
YY
XX
lY
lX
tgtg
i
i
i
i
i
??
??
?
?
??
?
?
?
?
? ??
2
1
2
1
s i n
2
1
c o s
2
1
2
1
＝
?
?
???
X
Y
GA
GBtg
?
????
yxyx ii ??,）与，（
?
?
s i n
2
1
c o s
2
1
2
1
2
1
lY
lX
YY
XX
X
Y
i
i
i
i
?
?
?
??
??
?
?
?
YYY
XXX
ii
ii
???
???
?
?
1
1
X? Y?
),( 11 ?? ii YXB
式 (3-33)中, 和 均为未知, 求解较困难 。 为此,
采用近似算法, 用 和 代替 和, 即
′与 不同, 从而造成了 的偏差, 在 处偏
差较大 。 如图 3-31所示, 由于角 成为 ′,因而影
响到 值, 使之为 ′
(3-34)
为保证下一个插补点仍在圆弧上, ′的计算应按下
式进行
?
?
45s i n
2
1
45c o s
2
1
'
lY
lX
tg
i
i
?
?
??
?tg ?tg ?0＝?
?
?
X? X?
ATlX ????? ?c o s
Y?
? ? ? ? 2222 YYXXYX iiii ?????????
?
?
?
经展开整理得
(3-35)
由式 (3-35) 可用迭代法解出 。
采用近似算法可保证每次插补点均在圆弧上, 引起的偏
差仅是 。 这种算法仅
造成每次插补进给量的微小变化, 而使进给速度有偏
差, 实际进给速度的变化小于指令进给速度的 1％, 在
加工中是允许的 。
XY
XXY
Y
i
i
???
???
?
?
?
?
? ?
??
???
2
1
2
1
Y??
llASABYYXX ??????????? 即,,
图 3-31 近似处理引起的进给速度偏差
Δ X
Δ X′
A
O
B
S
T F
Δ Y′ Δ Y
Y
X
α
α ′
直线函数法, 用弦线逼近圆弧, 因此插补误差主要为半
径的绝对误差 。 因插补周期是固定的, 该误差取决于进给速
度和圆弧半径, 当加工的圆弧半径确定后, 为了使径向绝对
误差不超过允许值, 对进给速度要有一个限制 。
T
ReF r8?
(三 ) 扩展 DDA数据采样插补
1,扩展 DDA直线插补
Y E(Xe,Ye)
V
vy
Vx
O X
图 3-32 扩展 DDA直线插补
假设根据编程进给速度, 要在时间段 T1内走完图 3-32
所示直线, 其起点为坐标原点 O,终点坐标为 E（ Xe，
Ye）, V为进给速度 （ 零件加工程序中记为 F）, Vx与
Vy分别为 X,Y坐标的分速度 。 则有
(3-36)
将时间 T1用插补周期 T分割为 n个子区间 （ n取 ≥ 最接
近的整数 ）, 从而在每个插补周期 T内的坐标增量分别为
V
YX
Y
V
V
YX
X
V
ee
e
y
ee
e
x
22
22
?
?
?
?
TT1
T
T1
式中 V—编程的进给速度 （ mm/min） ;
T—插补周期 （ ms） ;
—根据插补周期换算后的时间常数,
FRN—进给速率数,
式中 L—插补直线长度 (mm)。
ete
ee
x XFRNTX
YX
VTVX ??
?
???
22
ete
ee
y YF R NTY
YX
VTVY ??
?
???
22
60/10* 3?? Tt?
L
V
YX
VF R N
ee
＝22
?
?
t?
对于同一直线来说, 由于 V和 Xe,Ye,以及 均为常数,
可以记作, 称为步长系数 。
（ 3-37）
故同一条直线在每个采样周期内增量 的常
数均相同, 在每个插补周期内算出 后, 就
可以得到本插补周期末的刀具位置坐标值
(3-38)
由于插补中每次迭代形成的子线段斜率 （ ） 等于
给定直线斜率, 从而保证了轨迹要求 。
t?
ed
ed
YY
XX
?
?
??
??
YX ?? 和
11 ?? ii YX 和
YYY
XXX
ii
ii
???
???
?
?
1
1
XY ?? /
YX ?? 和
2,扩展 DDA圆弧插补
如图 3-33所示为第一象限顺圆弧 AiQ,圆心在坐标原
点 O,半径为 R。 设刀具处在 Ai（ Xi,Yi） 点位置 。 若在
一个插补周期 T内, 用 DDA插补法沿切线方向进给的步
长为, 一个插补周期后达到 C点, 即 。 由图可
见, 它的径向误差较大 。 扩展 DDA插补算法, 就是将
切线逼近圆弧转化为割线逼近圆弧, 以减少插补误差,
具体步骤如下：
先通过 AiC微小线段的中点 B作以 OB为半径的圆弧的
切线 BD,再通过 Ai点作 BD的平行线 AiH,即 AiH ∥ BD,
并在 AiH上截取, 如果 OB与 AiH的交点
为 M,在直角 △ AiMB中, 斜边, 直角
边,,所以 Ai+1点落在圆弧外侧 。 扩展 DDA
用割线 线段代替切线, 使径向误差减少了 。
lCAi ?
lCAAA iii ??? 1
lMAi 21?
1?ii AA
lCAAA iii ??? 1
图 3-33 扩展 DDA圆弧插补
下面计算在插补周期 T内轮廓进给步长 l的坐标分量 △ X和
Y,△ 就可以得到本次插补周期后到达的位置 Ai+1
由图 3-33可见, 在直角 △ OEAi中, OAi和 AiE的夹角为 α，
则
(3-39)
(3-40)
设刀具以恒速进给, 即在每个插补周期 T内的进给速度均
为 V,则 。 过 B点作 X轴的平行线 BF交 Y
轴于 F点, 交 AiE线段于 G点 。 过 Ai+1点作 Ai+1N平行 X轴,
交 AiE于 N点 。 由图 3-33可以看出, 直角 △ OFB与直角
△ AiNAi+1相似, 从而有比例关系：
(3-41)
R
x
OA
OE i
i
???s i n
R
y
OA
EA i
i
i ???c o s
OB
OF
AA
NA
ii
i ?
?
?
1
1
VTlAA ii ??? 1
式中
在直角 △ AiGB中
因此
在直角 △ OAiB中
XNA i ??? 1
VTlAA ii ?? ＝1
?? s i n21s i n lBAGA ii ??
?s i n21 lYGAEAOF iii ???＝
? ? ? ? 2
2
22
2
1 RlOABAOB
ii ???
??
?
????
将以上各式代入式 （ 3-41） 有
将式 （ 3-39） 代入上式并整理, 得
2
2
2
1
s i n
2
1
Rl
ly
l
x i
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
2
2
1
2
1
Rl
R
x
lyl
x
i
i
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
因为 l<<R,故将 略去不计, 则上式变为
若令
则 (3-42)
?????? ???????? ??? ititii xRVyRVRxlyRlx ?? 2121
60/10* 3?? Tt?
ttd F R NR
V ??? ??
?
?
??
?
? ???
idid xyx ?? 2
1
另外, 从直角 △ OFB与直角 △ AiNAi+1相似, 还可
以得出
即
已知 =
OB
FB
AA
NA
ii
i ?
? 1
OB
GBFG
AA
NA
ii
i ??
? 1
VTl ?
1?ii AA
2
2
2
1 RlOB ??
?
??
?
??
由直角 △ AiGB得
而
2
2
2
1
2
1
Rl
R
y
lxl
NAy
i
i
i
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
ixFG ?
R
ylBAGB i
i 2
1c o s ?? ?
同理, 因 l<<R,故 略去不计, 则
仍令
则 （ 3-43）
2
2
1 ?
?
??
?
? l
???
?
???
? ???
R
ylx
R
ly i
i 2
1
ttd F R NR
V ??? ??
60/10* 3?? Tt?
?
?
??
?
? ???
idid yxy ?? 2
1
由于 Ai(Xi,Yi)为已知, 故用式 （ 3-42） 和 （ 3-43）
求得 Δ X和 Δ Y,因而可算出本次插补周期刀具应达到的
坐标位置 xi+1,yi+1值, 即
YYY
XXX
ii
ii
???
???
?
?
1
1
第三节 刀具补偿原理
一, 为什么要进行刀具补偿
如图 3-34所示, 在铣床上用半径为 r的刀具加工外
形轮廓为 A的工件时, 刀具中心沿着与轮廓 A距离为 r的
轨迹 B移动 。 我们要根据轮廓 A的坐标参数和刀具半径 r
值计算出刀具中心轨迹 B的坐标参数, 然后再编制程序
进行加工, 因控制系统控制的是刀具中心的运动 。 在
轮廓加工中, 由于刀具总有一定的半径, 如铣刀半径
或线切割机的钼丝半径等 。 刀具中心 （ 刀位点 ） 的运
动轨迹并不等于所加工零件的实际轨迹 （ 直接按零件
廓形编程所得轨迹 ）, 数控系统的刀具半径补偿就是
把零件轮廓轨迹转换成刀具中心轨迹 。
r 刀具
A
r B
图 3-34 刀具半径补偿
当实际刀具长度与编程长度不一致时, 利用刀具
长度补偿功能可以实现对刀具长度差额的补偿 。
加工中心：一个重要组成部分就是自动换刀装置,
在一次加工中使用多把长度不同的刀具, 需要有刀具
长度补偿功能 。
轮廓铣削加工：为刀具中心沿所需轨迹运动, 需
要有刀具半径补偿功能 。
车削加工：可以使用多种刀具, 数控系统具备了
刀具长度和刀具半径补偿功能, 使数控程序与刀具形
状和刀具尺寸尽量无关, 可大大简化编程 。
具有刀具补偿功能, 在编制加工程序时, 可以按
零件实际轮廓编程, 加工前测量实际的刀具半径, 长
度等, 作为刀具补偿参数输入数控系统, 可以加工出
合乎尺寸要求的零件轮廓 。
刀具补偿功能还可以满足加工工艺等其他一些要
求, 可以通过逐次改变刀具半径补偿值大小的办法,
调整每次进给量, 以达到利用同一程序实现粗, 精加
工循环 。 另外, 因刀具磨损, 重磨而使刀具尺寸变化
时, 若仍用原程序, 势必造成加工误差, 用刀具长度
补偿可以解决这个问题 。
二, 刀具补偿原理
刀具补偿一般分为刀具长度补偿和刀具半径补偿 。
铣刀主要是刀具半径补偿；
钻头只需长度补偿；
车刀需要两坐标长度补偿和刀具半径补偿 。
1,刀具长度补偿
以数控车床为例进行说明, 数控装置控制的是刀架参考
点的位置, 实际切削时是利用刀尖来完成, 刀具长度
补偿是用来实现刀尖轨迹与刀架参考点之间的转换 。
如图 3-35所示, P为刀尖, Q为刀架参考点, 假设刀尖
圆弧半径为零 。 利用刀具长度测量装置测出刀尖点相
对于刀架参考点的坐标 xpq,zpq,存入刀补内存表中 。
零件轮廓轨迹是由刀尖切出的, 编程时以刀尖点 P来编程,
设刀尖 P点坐标为 xp,zp,刀架参考点坐标 Q（ xq,zq）
可由下式求出：
(3-45)
这样, 零件轮廓轨迹通过式 (3-45)补偿后, 就能通过控制
刀架参考点 Q来实现 。
pqpq
pqpq
zzz
xxx
??
??
图 3-35 刀具长度补偿
P (x
p
,z
p
)
Q
z
pq
x
pq
加工中心上常用刀具长度补偿, 首先将刀具装
入刀柄, 再用对刀仪测出每个刀具前端到刀柄基准面
的距离, 然后将此值按刀具号码输入到控制装置的刀
补内存表中, 进行补偿计算 。 刀具长度补偿是用来实
现刀尖轨迹与刀柄基准点之间的转换 。
在数控立式镗铣床和数控钻床上, 因刀具磨损,
重磨等而使长度发生改变时, 不必修改程序中的坐标
值, 可通过刀具长度补偿, 伸长或缩短一个偏置量来
补偿其尺寸的变化, 以保证加工精度 。
刀具长度补偿原理比较简单, 由 G43,G44及 H
（ D） 代码指定 。
2,刀具半径补偿
ISO标准规定, 当刀具中心轨迹在编程轨迹 （ 零件轮廓
ABCD） 前进方向的左侧时, 称为左刀补, 用 G41表示 。
反之, 当刀具处于轮廓前进方向的右侧时称为右刀补,
用 G42表示, 如图 3-36所示 。 G40为取消刀具补偿指令 。
y y
B C D C
刀补进行
A D A B 刀补
刀补建立 刀补撤销 进行
刀补撤销 刀补建立
O x O x
a) G41左刀补 b) G42右刀补
图 3-36 刀具补偿方向
在切削过程中, 刀具半径补偿的补偿过程分为三
个步骤：
（ 1） 刀补建立 刀具从起刀点接近工件, 在原来的
程序轨迹基础上伸长或缩短一个刀具半径值, 即刀具
中心从与编程轨迹重合过渡到与编程轨迹距离一个刀
具半径值 。 在该段中, 动作指令只能用 G00或 G01。
（ 2） 刀具补偿进行 刀具补偿进行期间, 刀具中心
轨迹始终偏离编程轨迹一个刀具半径的距离 。 在此状
态下, G00,G01,G02,G03都可使用 。
（ 3） 刀补撤销 刀具撤离工件, 返回原点 。 即刀具
中心轨迹从与编程轨迹相距一个刀具半径值过渡到与
编程轨迹重合 。 此时也只能用 G00,G01。
三, 刀具半径补偿算法
刀具半径补偿计算：根据零件尺寸和刀具半径值
计算出刀具中心轨迹 。 对于一般的 CNC装置, 所能实现
的轮廓仅限于直线和圆弧 。 刀具半径补偿分 B功能刀补
与 C功能刀补, B功能刀补能根据本段程序的轮廓尺寸
进行刀具半径补偿, 不能解决程序段之间的过渡问题,
编程人员必须先估计刀补后可能出现的间断点和交叉
点等情况, 进行人为处理 。 B功能刀补计算如下：
1,直线刀具补偿计算
对直线而言, 刀具补偿后的轨迹是与原直线平行
的直线, 只需要计算出刀具中心轨迹的起点和终点坐
标值 。
如图 3-37所示, 被加工直线段的起点在坐标原点, 终
点坐标为 A。 假定上一程序段加工完后, 刀具中心在 O′
点坐标已知 。 刀具半径为, 现要计算刀具右补偿后直
线段 O′A′的终点坐标 A′。 设刀具补偿矢量 AA′的投影坐
标为,则
(3-46)
(3-47)
YYY
XXX
????
????
?????? AKAx OA
22
s i n
YX
YrrX
?
??? ?
22c o s YX
XrrY
?
????? ?
(3-48)
(3-48)式为直线刀补计算公式, 是在增量编程下推导出的 。
对于绝对值编程, 仍可应用此公式计算, 所不同的是
应是绝对坐标 。
22 YX
rXYY
?
???
22 YX
rYXX
?
???
图 3-37 直线刀具补偿 图 3-38 圆弧刀具半径补偿
y
O
x
Δ X
y
α
K
A ′ (X ′,Y ′ )
r
α
Δ Y
A (X,Y )
B ′ (X
b
′,Y
b
′ )
A ′ (X
a
′,Y
a
′ )
Δ X
K
x
B （ X
b
,Y
b
）
Δ Y
O
O ′
R
K
β
A (X a,Y a )
r
2,圆弧刀具半径补偿计算
对于圆弧而言, 刀具补偿后的刀具中心轨迹是一个
与圆弧同心的一段圆弧 。 只需计算刀补后圆弧的起点
坐标和终点坐标值 。 如图 3-38所示, 被加工圆弧的圆
心坐标在坐标原点 O,圆弧半径为 R,圆弧起点 A,终
点 B,刀具半径为 r。
假定上一个程序段加工结束后刀具中心为 A′,其坐
标已知 。 那么圆弧刀具半径补偿计算的目的, 就是计
算出刀具中心轨迹的终点坐标 B′ 。 设 BB′在两个坐
标上的投影 为则
(3-49)
XX b ???bX?
YYY bb ????
?????? BKBB O x
?????? ?? bb YX,
YX ??,
(3-50)
(3-51)
R
Y
rrY
R
X
rrX
b
b
???
???
?
?
s i n
c o s
R
rY
YY
R
rX
XX
b
bb
b
bb
???
???
图 3-39 B刀补示例
加工如图 3-39外部轮廓零件 ABCD时, 由 AB直线段开始,
接着加工直线段 BC,根据给出的两个程序段, 按 B刀
补处理后可求出相应的刀心轨迹 A1B1和 B2C1。
y
D
1
A
D
2
O
B
2
B
C
x
C
2
A
1 B 1
D
C
1
A
2
事实上, 加工完第一个程序段, 刀具中心落在 B1点上,
而第二个程序段的起点为 B2,两个程序段之间出现了
断点, 只有刀具中心走一个从 B1至 B2的附加程序, 即
在两个间断点之间增加一个半径为刀具半径的过渡圆
弧 B1B2,才能正确加工出整个零件轮廓 。
可见, B刀补采用了读一段, 算一段, 再走一段的控
制方法, 这样, 无法预计到由于刀具半径所造成的下
一段加工轨迹对本程序段加工轨迹的影响 。 为解决下
一段加工轨迹对本段加工轨迹的影响, 在计算本程序
段轨迹后, 提前将下一段程序读入, 然后根据它们之
间转接的具体情况, 再对本段的轨迹作适当修正, 得
到本段正确加工轨迹, 这就是 C功能刀具补偿 。 C功能
刀补更为完善, 这种方法能根据相邻轮廓段的信息自
动处理两个程序段刀具中心轨迹的转换, 并自动在转
接点处插入过渡圆弧或直线从而避免刀具干涉和断点
情况 。
图 3-40a给出了普通数控系统的工作方法, 在系统内,
数据缓冲寄存区 BS用以存放下一个加工程序段的信息,
设置工作寄存区 AS,存放正在加工的程序段的信息,
其运算结果送到输出寄存区 OS,直接作为伺服系统的
控制信号 。
图 3-40b为 CNC系统中采用 C刀补方法的原理框图,
与 3-40a不同的是, CNC装置内部又增设了一个刀补缓
冲区 CS。 当系统启动后, 第一个程序段先被读入 BS，
在 BS中算得第一段刀具中心轨迹, 被送到 CS中暂存后,
又将第二个程序段读入 BS,算出第二个程序段的刀具
中心轨迹 。 接着对第一, 第二两段刀具中心轨迹的连
接方式进行判别, 根据判别结果, 再对第一段刀具中
心轨迹进行修正 。
修正结束后, 顺序地将修正后的第一段刀具中心
轨迹由 CS送入 AS中, 第二段刀具中心轨迹由
BS送入 CS中 。
然后, 由 CPU将 AS中的内容送到 OS中进行插补
运算, 运算结果送到伺服系统中予以执行 。 当
修正了的第一段刀具中心轨迹开始被执行后,
利用插补间隙, CPU又命令第三段程序读入 BS，
随后, 又根据 BS和 CS中的第三, 第二段轨迹
的连接情况, 对 CS中的第二程序段的刀具中心
轨迹进行修正 。 依此下去, 可见在刀补工作状
态, CNC内部总是同时存在三个程序段的信息 。
a)
b)
图 3-40 两种数控系统的工作流程
缓冲寄存区
BS
工作寄存区
AS
输出寄存区
OS
输出寄存区
OS
工作寄存区
AS
刀补缓冲区
CS
缓冲寄存区
BS
在 CNC装置中, 处理的基本廓形是直线和圆弧, 它
们之间的相互连接方式有, 直线与直线相接, 直线与
圆弧相接, 圆弧与直线相接, 圆弧与圆弧相接 。 在刀
具补偿执行的三个步骤中, 都会有转接过渡, 以直线
与直线转接为例来讨论刀补建立, 刀补进行过程中可
能碰到的三种转接形式 。 刀补撤销是刀补建立的逆过
程, 可参照刀补建立 。
图 3-41和 3-42表示了两个相邻程序段为直线与直线,
左刀补 G41的情况下, 刀具中心轨迹在连接处的过渡形
式 。 图中 α为工件侧转接处两个运动方向的夹角, 其变
化范围为 00<ɑ< 3600,对于轮廓段为圆弧时, 只要用其
在交点处的切线作为角度定义的对应直线即可 。
在图 3-42a中, 编程轨迹为 FG和 GH,刀具中心轨迹为 AB
和 BC,相对于编程轨迹缩短一个 BD与 BE的长度, 这种
转接为缩短型 。
图 3-42b中, 刀具中心轨迹 AB和 BC相对于编程轨迹 FG和
GH伸长一个 BD与 BE的长度, 这种转接为伸长型 。 图
3-42c中, 若采用伸长型, 刀心轨迹为 AM和 MC,相对
于编程轨迹 FG和 GH来说, 刀具空行程时间较长, 为
减少刀具非切削的空行程时间, 可在中间插入过渡直
线 BB1,并令 BD等于 B1E且等于刀具半径 r,这种转接为
插入型 。 根据转接角 α不同, 可以将 C刀补的各种转接
过渡形式分为三类：
（ 1） 当 1800< ɑ<3600时, 属缩短型, 见图 3-41a和 3-42a。
（ 2） 当 900≤ɑ<1800时, 属伸长型, 见图 3-41b和 3-42b。
（ 3） 当 00< ɑ<900时, 属插入型, 见图 3-41c和 3-42c。
图 3-41 G41刀补建立示意图
y
r
y
r
x
y
α
x O
r
x
r
O O
α
α
r
r
a) b) c)
图 3-42 刀补进行直线与直线转接情况
A
C
A
r
r
r
A
r
a) b)
c)
r
B
α r
α
C
B
α
r
B
C
B
1
M
r
D
E
F
G
H
F
H
G
D
E
F
D
E
G
H
四, 刀具补偿的几种特殊情况
1,在切削过程中改变刀补方向
如图 3-43所示, 切削轮廓 MN段采用 G42刀补, 而后加工 PQ
段, 改变了刀补方向, 应采用 G41刀补, 这时必须在 P
点产生一个具有长度为刀具半径的垂直矢量以获得一
段过渡圆弧 AB。
A G42
B
r1 r2 r2
P G41 N M r1
Q
N11 N12
图 3-43 刀补方向改变的切削实例 图 3-44 刀补半径改变的实例
2,改变刀具半径值
在零件切削过程中刀具半径值改变了, 则新的补偿
值在下个程序段中产生影响 。 如图 3-44所示, N10段补
偿用刀具半径 r1,N11段变为 r2后, 则开始建立新的刀
补, 进入 N12段后即按新刀补 r2进行补偿 。 刀具半径的
改变可通过改变刀具号或通过操作面板等方法来实现 。
3,过切问题
（ 1） 刀具半径补偿可使刀具中心轨迹在走刀平面
（ 如 xy面 ） 内偏移零件轮廓一个刀具半径值 。 在刀补
建立后的刀补进行中, 如果存在有二段以上没有移动
指令或存在非指定平面轴的移动指令段, 则可能产生
过切 。 如图 3-45所示, 设刀具开始位置距工件
表面上方 50mm,切削深度为 8mm。 z轴垂直于走刀平
面 （ xy面 ）, 则按下述方法编程, 会产生过切 。
N01 G91 G41 G00 X20.0 Y10.0 H01 ;
N02 Z-48.0 ;
N03 G01 Z-10.0 F200 ;
N04 Y30.0 ;
N05 X30.0 ;
N06 Y-20.0 ;
N07 X-40.0 ;
N08 G00 Z58.0 ;
N09 G40 X-10.0 Y-20.0 ;
N10 M02 ;
图 3-45 过切现象
当 N01段进入刀补建立阶段后, 读入 N02和
N03两个程序段, 这两个程序段是 Z轴进给指令,
不是刀补平面轴的移动指令, 作不出矢量, 确
定不了前进方向 。 尽管用 G41进入到了刀补状
态, 但刀具中心却未加上刀补, 而直接移动到
了程序给定点 A,当在 A点执行完二, 三程序段
后, 再执行 N04段, 刀具中心由 A点移动到 B，
产生了过切 。
（ 2） 在两个运动指令之间有一个位移为零的运
动指令时 。 因为运动为零的程序段没有零件轮
廓信息, 所以刀补时可能产生过切 。
（ 3） 在两个运动指令之间有两个辅助功能程序
段, 也可能造成过切, 假设有如下加工程序：
……
N05 G91 X60.0 ;
N06 M08 ; r
N07 M09 ; A B S
N08 Y-15.0 ;
N09 X40,0 ; C D
…… 图 3-46 过切实例
如图 3-46所示, 当 N05程序段加工 AB轮廓, 同时读入
N06和 N07两段, 因这两段为辅助功能指令, 作不出沿
BC轮廓垂直矢量, 而直接到达 S点, 造成过切现象 。
第三节 进给速度控制原理
一, 为什么要控制进给速度
对于任何一个数控机床来说, 都要求能够对进给
速度进行控制, 它不仅直接影响到加工零件的表面粗
糙度和精度, 而且与刀具和机床的寿命和生产效率密
切相关 。
按照加工工艺的需要, 进给速度的给定一般是将
所需的进给速度用 F代码编入程序 。 对于不同材料的零
件, 需根据切削速度, 切削深度, 表面粗糙度和精度
的要求, 选择合适的进给速度 。
在进给过程中, 还可能发生各种不能确定或没有
意料到的情况, 需要随时改变进给速度, 因此还应有
操作者可以手动调节进给速度的功能 。 数控系统能提
供足够的速度范围和灵活的指定方法 。
另外, 在机床加工过程中, 由于进给状态的变化,
如起动, 升速, 降速和停止, 为了防止产生冲击, 失
步, 超程或振荡等, 保证运动平稳和准确定位, 必须
按一定规律完成升速和降速的过程 。
二, 基准脉冲法进给速度控制和加减速控制
1,速度控制
进给速度控制方法和所采用的插补算法有关 。 基准
脉冲插补多用于以步进电机作为执行元件的开环数控
系统中, 各坐标的进给速度是通过控制向步进电机发
出脉冲的频率来实现的, 所以进给速度处理是根据程
编的进给速度值来确定脉冲源频率的过程 。 进给速度 F
与脉冲源频率 f之间关系为
(3-52)
式中 —为脉冲当量 (mm/脉冲 )；
f—脉冲源频率 (Hz)；
F—进给速度 (mm/min)。
脉冲源频率为
fF ?60＝
? ??60Ff ?
下面介绍程序计时法, 利用调用延时子程序的方法
来实现速度控制 。
根据要求的进给速度 F,求出与之对应的脉冲频率 f，
再计算出两个进给脉冲的时间间隔 （ 插补周
期 ）,
在控制软件中, 只要控制两个脉冲的间隔时间, 就
可以方便地实现速度控制 。 进给脉冲的间隔时间长, 进
给速度慢；反之, 进给速度快 。 这一间隔时间, 通常由
插补运算时间 tch和程序计时时间 tj两部分组成,
即, 由于插补运算所需时间一般来说是固
定的, 因此只要改变程序计时时间就可控制进给速度的
快慢 。 程序计时时间 （ 每次插补运算后的等待时间 ）,
可用空运转循环来实现 。 用 CPU执行延时子程序的方法控
制空运转循环时间, 延时子程序的循环次数少, 空运转
等待时间短, 进给脉冲间隔时间短, 速度就快；延时子
程序的循环次数多, 空运转等待时间长, 进给脉冲间隔
时间长, 速度就慢 。
fT 1?
jch ttT ＋＝
例 3-5 已知系统脉冲当量 δ＝ 0.01mm/脉冲, 进给速度 F＝
300mm/min,插补运算时间 tch＝ 0.1ms,延时子程序延
时时间为 ty＝ 0.1ms,求延时子程序循环次数 。
脉冲源频率
插补周期
程序计时时间 tj＝ T－ tch＝ 1.9(ms)
循环次数 n=tj/ty＝ 19
程序计时法比较简单, 但占用 CPU时间较长, 适合于较
简单的控制过程 。
)1(500601.060 30060 sFf ????? ?
)(2)(002.01 mssfT ???
2,加减速控制
因为步进电机的启动频率比它的最高运行频率低得多,
为了减少定位时间, 通过加速使电机在接近最高的速
度运行 。 随着目标位置的接近, 为使电机平稳的停止,
再使频率降下来 。 因此步进电机开环控制系统过程中,
运行速度都需要有一个加速 -恒速 -减速 -低恒速 -停止的
过程, 如图 3-47所示 。
图 3-47速度曲线
频率
FK 0
A
时间或距离
FK
FK 1
B
C
x
加速 减速
恒速
低速
O
三, 数据采样法进给速度控制和加减速控制
1,速度控制
数据采样插补方式多用于以直流电机或交流电机作为执
行元件的闭环和半闭环数控系统中, 速度计算的任务
是确定一个插补周期的轮廓步长, 即一个插补周期 T内
的位移量 。
式中 F—程编给出的合成进给速度 （ mm/min） ；
T—插补周期 （ ms） ；
ΔL—每个插补周期小直线段的长度 （ μm） 。
以上给出的是稳定状态下的进给速度处理关系 。 当机床
起动, 停止或加工过程中改变进给速度时, 系统应自
动进行加减速处理 。
FTL 601??
2,加减速控制
自动加减速处理可按常用的指数加减速或直线加减速规
律进行 。 加减速控制多数采用软件来实现 。
V(t) V(t)
Vc A B
t1 t2
O 加速 匀速 减速 t O 加速 匀速 减速 C t
图 3-48 指数加减速 图 3-49 直线加减速
指数加减速控制的目的是将起动或停止时的速度突变变
成随时间按指数规律加速或减速, 如图 3-48所示 。 指
数加减速的速度与时间的关系为
加速时 (3-53)
式中 —时间常数；
Vc—稳定速度 。
匀速时 (3-54)
减速时 (3-55)
直线加减速控制算法使机床在起动和停止时, 速度沿一
定斜率的直线上升或下降, 如图 3-49所示, 速度变化
曲线是 OABC。
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
t
c eVtV 1)(
cVtV ?)(
?
t
c eVtV
??)(
进行加减速控制, 首先要计算出稳定速度和瞬时速度 。
所谓稳定速度, 就是系统处于稳定进给状态时, 每插
补一次 （ 一个插补周期 ） 的进给量 。 在数据采样系统
中, 零件程序段中速度命令 （ 或快速进给 ） 的 F值
（ mm/min）, 需要转换成每个插补周期的进给量 。 另
外为了调速方便, 设置了快速和切削进给二种倍率开
关, 一般 CNC系统允许通过操作面板上进给速度倍率
修调旋钮, 进行进给速度倍率修调 。
稳定速度的计算公式如下：
(3-56)
式中 Vw—稳定速度 （ mm/插补周期 ） ;
T—插补周期 （ ms） ；
F—程编指令速度 （ mm/min） ；
K—速度系数, 调节范围在 0~200%之间, 它包括快速
倍率, 切削进给倍率等 。
1 0 0 060 ??
T K FV
w
稳定速度计算完之后, 进行速度限制检查, 如果稳
定速度超过由参数设定的最高速度, 则取限制的最高
速度为稳定速度 。
所谓瞬时速度 Vi,即系统在每一瞬时, 每个插补周期
的进给量 。 当系统处于稳定进给状态时, Vi＝ Vw；当
系统处于加速状态时, Vi<Vw；当系统处于减速状态时
Vi>Vw。
现以直线加减速说明其计算方法 。
线性加减速的加速度可按下式计算
(3-57)
式中 F—进给速度 （ mm/min） ；
t—加速时间 （ ms） ；
—加速度 （ mm/(ms)2） 。
t
Fa 51067.1 ???
a
加速时, 系统每插补一次都要进行稳定速度, 瞬时速度
和加速处理 。 当上一个插补周期瞬时进给速度 Vi小于
当前稳定速度 Vw时, 则要加速, 每加速一次, 瞬时速
度为
(3-58)
新的瞬时速度 Vi+1参加插补计算, 对各坐标轴进行分配 。
当上一个插补周期瞬时进给速度 Vi大于当前稳定速度 Vw时,
则要减速 。 减速时, 首先计算出减速区域长度 S,当稳
定速度 Vw和设定的加速度确定后, S可由下式求得
(3-59)
aTVV ii ??? 1
2
2
2 aT
VS w?
减速时, 系统每进行一次插补计算, 都要进行终点判别,
计算出离开终点的瞬时距离 Si。 若本程序段要减速, 且
Si≤S,开始减速处理 。 每减速一次, 瞬时速度为
(3-60)
新的瞬时速度 Vi+1参加插补运算, 对各坐标轴进行分配 。
一直减速到新的稳定速度或减到零 。 若要提前一段距
离开始减速, 将提前量 ΔS作为参数预先设置好, 由下
式计算
(3-61)
aTVV ii ??? 1
S
aT
VS w ??
2
2
2
＝
在每次插补结束后, 系统都要根据求出的各轴的插补进
给量, 来计算刀具中心离开本程序段终点的距离 Si,然
后进行终点判别 。
直线插补时 Si的计算应用公式
(3-62)
计算其各坐标分量值, 取其长轴 （ 如 X轴 ）, 则瞬时点 A
离终点 E距离 Si为
(3-63)
式中 —X轴 （ 长轴 ） 与直线的夹角, 见图 3-50所示 。
YYY
XXX
ii
ii
???
???
?
?
1
1
?c o s
1???
iei XXS
?
y
E(Xe,Ye)
Ye
A(Xi,Yi) α
Yi
O Xi Xe x
图 3-50 直线插补终点判别
圆弧插补时 Si的计算分圆弧所对应圆心角小于 π和
大于 π两种情况 。 小于 π时, 瞬时点离圆弧终点
的直线距离越来越小, 如图 3-51a所示 。 A（ Xi，
Yi） 为顺圆插补上某一瞬时点, B（ Xb,Yb） 为
圆弧的终点； AP为 A点在 X方向上离终点的距
离, ； PB为 A在 Y方向离终点的
距离, ； AB=Si。 以 PB为基准 。
则 A点离终点的距离为
(3-64)
ib XXAP －＝
ib YYPB ??
?? c o s
1
c o s
1 ?????
ibi YYPBS
y y
A(Xi,Yi) A
P C
D
O x O x
α
α
B(Xb,Yb) B
a)
圆心角小于 π b) 圆心角大于 π
图 3-51 圆弧插补终点判别
大于 π时, 设 A点为圆弧 AB的起点, C点为离
终点的弧长所对应的圆心角等于 π时的分界点,
D点为插补到离终点的弧长所对应的圆心角小
于 π的某一瞬时点, 如图 3-51b所示 。 显然, 此
时瞬时点离圆弧终点的距离 Si的变化规律是,
当从圆弧起点 A开始, 插补到 C点时, Si越来越
大, 直到 Si等于直径；当插补越过分界点 C后,
Si越来越小, 与图 3-51a的情况相同 。 为此, 计
算 Si时首先判别 Si的变化趋势 。 Si若变大, 则不
进行终点判别处理, 直到越过分界点；若 Si变
小, 再进行终点判别处理 。
返回课件首页返回本章首页
第一节 数控装置的工作过程
CNC装置的工作是在硬件的支持下执行软件的过程。
下面简要说明 CNC装置的工作情况。
一,程序输入
将编写好的数控加工程序输入给 CNC装置的方式有：
纸带阅读机输入、键盘输入、磁盘输入、通讯接口输入及连接
上一级计算机的 DNC(Direct Numerical Control)接口输入。
CNC装置在输入过程中还要完成校验和代码转换等工作，
输入的全部信息都放到 CNC装置的内部存储器中。
返回课件首页
二、译码
在输入的工件加工程序中含有工件的轮廓信息（起点、
终点、直线、圆弧等）、加工速度（ F代码）及其它辅
助功能（ M,S,T）信息等，译码程序以一个程序段
为单位，按一定规则将这些信息翻译成计算机内部能
识别的数据形式，并以约定的格式存放在指定的内存
区间。
三、数据处理
数据处理程序一般包括刀具半径补偿、速度计算以及
辅助功能处理。
刀具半径补偿是把零件轮廓轨迹转化成刀具中心轨迹，
编程员只需按零件轮廓轨迹编程，减轻了工作量。
速度计算是解决该加工程序段以什么样的速度运动
的问题 。 编程所给的进给速度是合成速度, 速度计算
是根据合成速度来计算各坐标运动方向的分速度 。 另
外对机床允许的最低速度和最高速度的限制进行判断
并处理 。
辅助功能诸如换刀, 主轴启停, 切削液开关等一些
开关量信号也在此程序中处理 。 辅助功能处理的主要
工作是识别标志, 在程序执行时发出信号, 让机床相
应部件执行这些动作 。
四, 插补
插补的任务是通过插补计算程序在已知有限信息的
基础上进行“数据点的密化”工作，即在起点和终点
之间插入一些中间点。
五, 位置控制
它的主要任务是在每个采样周期内, 将插补计算的
理论位置与实际反馈位置相比较, 用其差值去控制进
给电动机, 进而控制工作台或刀具的位移 。
六, 输入 /输出 （ I/O） 处理控制
I/O处理主要处理 CNC系统和机床之间的来往信号
的输入和输出控制 。
七, 显示
CNC系统的显示主要是为操作者提供方便，通常有：
零件程序显示、参数设置、刀具位置显示、机床状态
显示、报警显示、刀具加工轨迹动态模拟显示以及在
线编程时的图形显示等
八, 诊断
主要是指 CNC系统利用内装诊断程序进行自诊断,
主要有启动诊断和在线诊断 。
启动诊断是指 CNC系统每次从通电开始进入正常的
运行准备状态中, 系统相应的内诊断程序通过扫描自
动检查系统硬件, 软件及有关外设是否正常 。 只有当
检查的每个项目都确认正确无误之后, 整个系统才能
进入正常的准备状态 。 否则, CNC系统将通过报警方
式指出故障的信息, 此时, 启动诊断过程不能结束,
系统不能投入运行 。
在线诊断程序是指在系统处于正常运行状态中，由
系统相应的内装诊断程序，通过定时中断周期扫描检
查 CNC系统本身以及各外设。只要系统不停电，在线
诊断就不会停止。
第一节 插补原理
一, 概述
在数控加工中, 一般已知运动轨迹的起点坐标,
终点坐标和曲线方程, 如何使切削加工运动沿着预定
轨迹移动呢？ 数控系统根据这些信息实时地计算出各
个中间点的坐标, 通常把这个过程称为, 插补, 。
插补实质上是根据有限的信息完成, 数据点的密化,
工作 。
加工各种形状的零件轮廓时, 必须控制刀具相对
工件以给定的速度沿指定的路径运动, 即控制各坐标
轴依某一规律协调运动, 这一功能为插补功能 。
平面曲线的运动轨迹需要两个运动来协调；
空间曲线或立体曲面则要求三个以上的坐标产生协
调运动。
插补工作可由硬件逻辑电路或执行软件程序来完成,
在 CNC系统中, 插补工作一般由软件完成, 软件插补
结构简单, 灵活易变, 可靠性好 。
目前普遍应用的两类插补方法为基准脉冲插补和
数据采样插补 。
（ 一 ） 基准脉冲插补
基准脉冲插补又称脉冲增量插补, 这类插补算法
是以脉冲形式输出, 每插补运算一次, 最多给每一轴
一个进给脉冲 。 把每次插补运算产生的指令脉冲输出
到伺服系统, 以驱动工作台运动, 每发出一个脉冲,
工作台移动一个基本长度单位, 也叫脉冲当量, 脉冲
当量是脉冲分配的基本单位 。
（ 二 ） 数据采样插补
数据采样插补又称时间增量插补, 这类算法插补结
果输出的不是脉冲, 而是标准二进制数 。 根据程编进
给速度, 把轮廓曲线按插补周期将其分割为一系列微
小直线段, 然后将这些微小直线段对应的位置增量数
据进行输出, 以控制伺服系统实现坐标轴的进给 。
插补计算是计算机数控系统中实时性很强的一项
工作, 为了提高计算速度, 缩短计算时间, 按以下三
种结构方式进行改进 。
1,采用软 /硬件结合的两级插补方案 。
2,采用多 CPU的分布式处理方案 。
3,采用单台高性能微型计算机方案 。
二, 基准脉冲插补
(一 ) 逐点比较法
加工图 3-1所示圆弧 AB,如果刀具在起始点 A,假
设让刀具先从 A点沿－ Y方向走一步, 刀具处在圆内 1点 。
为使刀具逼近圆弧, 同时又向终点移动, 需沿＋ X方向
走一步, 刀具到达 2点, 仍位于圆弧内, 需再沿＋ X方
向走一步, 到达圆弧外 3点, 然后再沿－ Y方向走一步,
如此继续移动, 走到终点 。
Y Y
A
3
1 2 E
2 3
B
O X O 1 X
图 3-1 圆弧插补轨迹 图 3-2 直线插补轨迹
加工图 3-2所示直线 OE也一样, 先从 O点沿＋ X向
进给一步, 刀具到达直线下方的 1点, 为逼近直线, 第
二步应沿＋ Y方向移动, 到达直线上方的 2点, 再沿＋ X
向进给, 直到终点 。
所谓逐点比较法, 就是每走一步都要和给定轨迹比
较一次, 根据比较结果来决定下一步的进给方向, 使
刀具向减小偏差的方向并趋向终点移动, 刀具所走的
轨迹应该和给定轨迹非常相, 象, 。
终点判别
结束
Y
N
偏差判别
开始
坐标进给
y
x
2
E ( 4,3 )
O
1 3 4
1
2
3
给
偏差计算
1,插补原理
一般来说，逐点比较法插补过程可按以下四个步骤进行：
图 3-3 逐点比较法工作循环图
偏差判别：根据刀具当前位置, 确定进给方向 。
坐标进给：使加工点向给定轨迹趋进, 即向减少误 差
方向移动 。
偏差计算：计算新加工点与给定轨迹之间的偏差,
作为下一步判别依据 。
终点判别：判断是否到达终点, 若到达, 结束插补；
否则, 继续以上四个步骤 （ 如图 3-3所示 ） 。
2,直线插补
图 3-4所示第一象限直线 OE,起点 O为坐标原点,
用户编程时, 给出直线的终点坐标 E（ Xe,Ye）, 直线
方程为
XeY－ XYe＝ 0 (3-1)
直线 OE 为给定轨迹, P（ X,Y） 为动点坐标, 动
点与直线的位置关系有三种情况：动点在直线上方,
直线上, 直线下方 。
（ 1） 若 P1点在直线上方, 则有 Y
XeY－ XYe>0 E(Xe,Ye)
（ 2） 若 P点在直线上, 则有 P1
XeY－ XYe＝ 0
（ 3） 若 P2点在直线下方, 则有 P (X,Y)
XeY－ XYe<0 P2
O X
因此, 可以构造偏差函数为 图 3-4 动点与直线位置关系
(3-2)
ee XYYXF ??
eiiei YXYXF ??
对于第一象限直线，其偏差符号与进给方向的关系为
F＝ 0时，表示动点在 OE上，如点 P，可向＋ X向进给，也可
向＋ Y向进给。
F>0时，表示动点在 OE上方，如点 P1，应向＋ X向进给。
F<0时，表示动点在 OE下方，如点 P2，应向＋ Y向进给。
这里规定动点在直线上时，可归入 F>0的情况一同考虑。
插补工作从起点开始，走一步，算一步,判别一次，再走
一步，当沿两个坐标方向走的步数分别等于 Xe和 Ye时，停止插
补。
下面将 F的运算采用递推算法予以简化，动点 Pi(Xi,Yi)的
Fi值为
ei
eeiie
eiie
eiiei
YF
YYXYX
YXYX
YXYXF
??
???
???
?? ???
)1(
111
eii YFF ??? 1
ei
eeiie
eiie
eiiei
XF
XYXYX
YXYX
YXYXF
??
???
???
?? ???
)1(
111
若 Fi≥0，表明 Pi(Xi,Yi)点在 OE直线上方或在直线上，应沿
＋ X向走一步，假设坐标值的单位为脉冲当量，走步后新
的坐标值为（ Xi+1,Yi+1），且 Xi+1=Xi+1,Yi+1=Yi,新点偏差
为
即 (3-3)
若 Fi<0，表明 Pi（ Xi,Yi）点在 OE 的下方，应向
＋ Y方向进给一步，新点坐标值为 (Xi+1,Yi+1)，且
Xi+1=Xi,Yi+1＝ Yi＋ 1，新点的偏差为
即 (3-4)
开始加工时, 将刀具移到起点, 刀具正好处于直线
上, 偏差为零, 即 F＝ 0,根据这一点偏差可求出新一
点偏差, 随着加工的进行, 每一新加工点的偏差都可
由前一点偏差和终点坐标相加或相减得到 。
在插补计算, 进给的同时还要进行终点判别 。 常
用终点判别方法, 是设置一个长度计数器, 从直线的
起点走到终点, 刀具沿 X轴应走的步数为 X e,沿 Y轴走
的步数为 Ye,计数器中存入 X和 Y两坐标进给步数总和 ∑
＝ ∣ Xe∣ ＋ ∣ Ye∣, 当 X或 Y坐标进给时, 计数长度减
一, 当计数长度减到零时, 即 ∑＝ 0时, 停止插补, 到
达终点 。
eii XFF ??? 1
例 3-1 加工第一象限直线 OE,如图 3-5所示, 起点为坐
标原点, 终点坐标为 E（ 4,3） 。 试用逐点比较法对该
段直线进行插补, 并画出插补轨迹 。
图 3-5 直线插补轨迹过程实例
Y
X 2
E (4,3 )
O
1 3 4
1
2
3
表 3-1 直线插补运算过程
序号 偏差判别 坐标进给 偏差计算 终点判别
起点
0
0
?F
∑ =7
1 F
0
=0 +X
3
01
????
e
YFF
∑ =6
2 F
1
<0 +Y
1
12
???
e
XFF
∑ =5
3 F
2
>0 +X
2
23
????
e
YFF
∑ =4
4 F
3
<0 +Y
2
34
???
e
XFF
∑ =3
5 F
3
> 0 +X
1
45
????
e
YFF
∑ =2
6 F
5
<0 +Y
3
56
???
e
XFF
∑ =1
7 F
6
>0 +X
0
67
???
e
YFF
∑ =0
3,四象限的直线插补
假设有第三象限直线 OE′（图 3-6），起点坐标在原
点 O，终点坐标为 E′（－ Xe，－ Ye），在第一象限有一
条和它对称于原点的直线，其终点坐标为 E（ Xe,Ye），
按第一象限直线进行插补时，从 O点开始把沿 X轴正向
进给改为 X轴负向进给，沿 Y轴正向改为 Y轴负向进给，
这时实际插补出的就是第三象限直线，其偏差计算公
式与第一象限直线的偏差计算公式相同，仅仅是进给
方向不同，输出驱动，应使 X和 Y轴电机反向旋转。
图 3-6 第三象限直线插补
Y
X
E (X
e
,Y
e
)
)
O
E ′ ( - X
e
,- Y
e
)
四个象限直线的偏差符号和插补进给方向如图 3-7所示，
用 L1,L2,L3,L4分别表示第 Ⅰ, Ⅱ, Ⅲ, Ⅳ 象限的直线。
为适用于四个象限直线插补，插补运算时用 ∣ X∣, ∣ Y∣
代替 X,Y，偏差符号确定可将其转化到第一象限，动点与
直线的位置关系按第一象限判别方式进行判别。
由图 3-7可见，靠近 Y轴区域偏差大于零，靠近 X轴区
域偏差小于零。 F≥0时，进给都是沿 X轴，不管是＋ X向还
是－ X向,X的绝对值增大； F<0时，进给都是沿 Y轴，不
论＋ Y向还是－ Y向,Y的绝对值增大。
图 3-8为四象限直线插补流程图。
y
x
L1
F ? 0
L2
L3
F ? 0
F ? 0 F ? 0
L4
F< 0
F< 0
F< 0
F< 0
图 3-7 四象限直线偏差符号和进给方向
开始
初始化 |Xe|,
|Ye|
∑ ＝ |Xe|＋ |Ye|
F≥ 0
F← F－ ∣ Ye∣
沿 Xe向走一步
∑= 0
F← F＋ ∣ Xe∣
沿 Ye向走一步
结束
∑ ＝ ∑ -1
图 3-7 四象限直线偏差符号和进给方向
222 RYXF ???
4,圆弧插补
在圆弧加工过程中，可用动点到圆心的距离来描述刀具位置与
被加工圆弧之间关系。设圆弧圆心在坐标原点，已知圆弧起点 A
（ Xa,Ya），终点 B（ Xb,Yb），圆弧半径为 R。加工点可能在三种
情况出现，即圆弧上、圆弧外、圆弧内。当动点 P（ X,Y）位于圆
弧上时有
X2＋ Y2－ R2=0
P点在圆弧外侧时，则 OP大于圆弧半径 R，即
X2＋ Y2－ R2>0
P点在圆弧内侧时，则 OP小于圆弧半径 R，即
X2＋ Y2－ R2<0
用 F表示 P点的偏差值，定义圆弧偏差函数判别式为
（ 3-5）
当动点落在圆弧上时，一般约定将其和 F>0一并考虑。
Y Y
A
F≥0 D
SR1 NR1
F≥0
F<0
F<0
B
O X C
O X
a) 顺圆弧 b) 逆圆弧
图 3-9 第一象限顺, 逆圆弧
222
22
1
2
11
)1( RYX
RYXF
ii
iii
???
??? ???
＝
121 ???? YFF ii
图 3-9a中 AB为第一象限顺圆弧 SR1，若 F≥0时，动点在圆弧
上或圆弧外，向－ Y向进给，计算出新点的偏差；若 F<0，
表明动点在圆内，向＋ X向进给，计算出新一点的偏差，如
此走一步，算一步，直至终点。
由于偏差计算公式中有平方值计算，下面采用递推公式
给予简化，对第一象限顺圆,Fi≥0，动点 Pi(Xi,Yi)应向－ Y
向进给，新的动点坐标为 (Xi＋ 1,Yi＋ 1)，且 Xi＋ 1＝ Xi,Yi＋ 1＝ Yi
－ 1，则新点的偏差值为
即 (3-6)
121 ???? iii XFF
222
22
1
2
11
)1( RYX
RYXF
ii
iii
????
??? ???
若 Fi<0时，沿＋ X向前进一步，到达（ Xi＋ 1,Yi）点，新点
的偏差值为
(3-7)
即
进给后新点的偏差计算公式除与前一点偏差值有关
外，还与动点坐标有关，动点坐标值随着插补的进行是变
化的，所以在圆弧插补的同时，还必须修正新的动点坐标。
圆弧插补终点判别：将 X,Y轴走的步数总和存入一
个计数器,∑＝ ∣ Xb－ Xa∣ ＋ ∣ Yb－ Ya∣,每走一步 ∑减一，
当 ∑＝ 0发出停止信号。
X
Y
3
2
1
1 2 3
4
4 O
A ( 0,4 )
B ( 4,0 )
例 3-2 现欲加工第一象限顺圆弧 AB，如图 3-11所示，起
点 A（ 0,4），终点 B（ 4,0），试用逐点比较法进行插
补。
图 3-11 圆弧插补实例
表 3-2圆弧插补过程
步数 偏差判别 坐标进给 偏差计算 坐标计算 终点判别
起点
0
0
?F
X
0
= 0,Y
0
=4 ∑ =8
1 F
0
=0 - Y
712
001
????? YFF
X
1
= 0,Y
1
=3 ∑ =7
2 F
1
<0 +X
612
112
????? XFF
X
2
= 1,Y
2
= 3 ∑ =6
3 F
2
<0 +X
312
223
????? XFF
X
3
= 2,Y
3
=3 ∑ =5
4 F
3
<0 +X
212
334
???? XFF
X
4
= 3,Y
4
=3 ∑ =4
5 F
4
>0 - Y
312
445
????? YFF
X
5
= 3,Y
5
=2 ∑ =3
6 F
5
<0 +X
412
556
???? XFF
X
6
= 4,Y
6
=2 ∑ =2
7 F
6
>0 - Y
112
667
???? YFF
X
7
= 4,Y
7
=1 ∑ =1
8 F
7
>0 - Y
012
778
???? YFF
X
7
= 4,Y
7
=0 ∑ =0
121 ??? iii XFF ＝
121 ＋＋＝ iii YFF ?
5,四个象限中圆弧插补
参照图 3-9b，第一象限逆圆弧 CD的运动趋势是 X轴
绝对值减少,Y轴绝对值增大，当动点在圆弧上或圆弧外，
即 Fi≥0时,X轴沿负向进给，新动点的偏差函数为
(3-8)
Fi<0时,Y轴沿正向进给，新动点的偏差函数为
(3-9)
Y Y
NR2 NR1 SR2 SR1
O
X X
NR3 NR4 SR3 SR4
a) 逆圆弧
图 3-12 四个象限圆弧进给方向
C
A
y
如果插补计算都用坐标的绝对值，将进给方向另做处理，四个象
限插补公式可以统一起来，当对第一象限顺圆插补时，将 X轴正向进给
改为 X轴负向进给，则走出的是第二象限逆圆，若将 X轴沿负向,Y轴
沿正向进给，则走出的是第三象限顺圆。
如图 3-12a,b所示，用 SR1,SR2,SR3,SR4分别表示第 Ⅰ, Ⅱ,
Ⅲ, Ⅳ 象限的顺时针圆弧，用 NR1,NR2,NR3,NR4分别表示第 Ⅰ,
Ⅱ, Ⅲ, Ⅳ 象限的逆时针圆弧，四个象限圆弧的进给方向表示在图 3-
12中。
B
O X
图 3-13 跨象限圆弧
圆弧过象限, 即圆弧的起点和终点不在同一象限
内 。 若坐标采用绝对值进行插补运算, 应先进行过象
限判断, 当 X＝ 0或 Y＝ 0时过象限 。 如图 3-13所示, 需
将圆弧 AC分成两段圆弧 AB 和 BC,到 X＝ 0时, 进行处
理, 对应调用顺圆 2和顺圆 1的插补程序 。
若用带符号的坐标值进行插补计算, 在插补的同时,
比较动点坐标和终点坐标的代数值, 若两者相等, 插
补结束, 其计算过程见表 3-3。
进给 坐标计算 偏差计算 终点判别
+X
1
1
??
? ii
XX 12
1
???
? iii
XFF 0
1
??
?ie
XX
- X
1
1
??
? ii
XX 12
1
???
? iii
XFF 0
1
??
?ie
XX
+Y
1
1
??
? ii
YY 12
1
???
? iii
YFF 0
1
??
?ie
YY
- Y
1
1
??
? ii
YY
12
1
???
? iii
YFF
0
1
??
?ie
YY
表 3-3 圆弧插补计算过程
6,逐点比较法合成进给速度
逐点比较法的特点是脉冲源每发出一个脉冲, 就进
给一步, 不是发向 X轴, 就是发向 Y轴, 如果 fg为脉冲
源频率 (Hz),fx,fy 分别为 X轴和 Y轴进给频率 (Hz),则
(3-10)
从而 X轴和 Y轴的进给速度 (mm/min) 为
式中 —脉冲当量 （ mm/脉冲 ） 。
合成进给速度为
(3-11)
式 (3-11)中若 fx=0或 fy=0时, 也就是刀具沿平行于坐标
轴的方向切削, 这时对应切削速度最大, 相应的速度
称为脉冲源速度 vg,脉冲源速度与程编进给速度相同 。
2222 60 yxyx ffvvv ???? ?
yxg fff ??
xx fv ?60? yy
fv ?60?
(3-12)
合成进给速度与脉冲源速度之比为：
(3-13)
由式 3-13可见, 程编进给速度确定了脉冲源频率 fg后,
实际获得的合成进给速度 v并不总等于脉冲源的速度 vg，
与角有关 。 插补直线时, 为加工直线与 X轴的夹角；插
补圆弧时, 为圆心与动点连线和 X轴夹角 。 根据上式可
作出 v/vg随而变化的曲线 。 如图 3-14所示, v/vg=0.707~1，
最大合成进给速度与最小合成进给速度之比为
vmax/vmin=1.414,一般机床来讲可以满足要求, 认为逐
点比较法的进给速度是比较平稳的 。
?? c o ss i n
12
2
2
2
22
?
?
?
?
?
?
?
?
v
vv
v
v
v
v
vv
vv
v
v
yx
yx
yx
yx
g
gg fv ?60?
v/vg
1
0.707
O 450 900 α
图 3-14 逐点比较法进给速度
(二 ) 数字积分法
数字积分法又称数字微分分析法 DDA(Digital
differential Analyzer)，是在数字积分器的基础上建立起来
的一种插补算法。数字积分法的优点是，易于实现多坐标
联动，较容易地实现二次曲线、高次曲线的插补，并具有
运算速度快，应用广泛等特点。
如图 3-15所示，设有一函数 Y＝ f(t)，求此函数在
t0~tn区间的积分，就是求出此函数曲线与横坐标 t在区间
（ t0,tn）所围成的面积。如果将横坐标区间段划分为间
隔为 t的很多小区间，当 t取足够小时，此面积可近似地视
为曲线下许多小矩形面积之和。
(3-14)
式中 Yi为 t=ti时 f(t)的值, 这个公式说明, 求积分的过程
也可以用累加的方式来近似 。 在数学运算时, 取 t为基
本单位, 1”,则上式可简化为
(3-15)
数字积分器通常由函数寄存器, 累加器和与门等组成 。
其工作过程为：每隔 t时间发一个脉冲, 与门打开一次,
将函数寄存器中的函数值送累加器里累加一次, 令累
加器的容量为一个单位面积, 当累加和超过累加器的
容量一个单位面积时, 便发出溢出脉冲, 这样累加过
程中产生的溢出脉冲总数就等于所求的总面积, 也就
是所求积分值 。 数字积分器结构框图见图 3-16。
??
?
?
???
1
00
n
i
i
t
t
tYY d tS n
?
?
?
?
1
0
n
i
iYS
Y Y=f(t) △ s
Yi △ t
t0 ti tn t
图 3-15函数 Y=f(t)的积分 图 3-16数字积分器结构框图
累加器
函数寄存器
与门
1,数字积分法直线插补
若要产生直线 OE,其起点为坐标原点 O,终点坐标
为 E(7,4)。 设寄存器和累加器容量为 1,将 Xe＝ 7,Ye
＝ 4分别分成 8段, 每一段分别为 7/8,4/8,将其存入 X
和 Y函数寄存器中 。
第一个时钟脉冲来到时, 累加器里的值分别为
7/8,4/8,因不大于累加器容量, 没有溢出脉冲 。
第二个时钟脉冲来到时, X累加器累加结果为
7/8+7/8＝ 1+6/8,因累加器容量为 1,满 1就溢出一个
脉冲, 则往 X方向发出一进给脉冲, 余下的 6/8仍寄存
在累加器里, 累加器又称余数寄存器 。 Y累加器中累加
为 4/8+4/8,其结果等于 1,Y方向也进给一步 。
第三个脉冲到来时, 仍继续累加, X累积器为
6/8+7/8,大于 1,X方向再走一步, Y累加器中为 0+4/8，
其结果小于 1,无溢出脉冲, Y向不走步 。
Y
E(7,4)
0 X
图 3-17 直线插补走步过程
如此下去, 直到输入第 8个脉冲时, 积分器工作一个
周期, X方向溢出脉冲总数为 7/88=7,Y方向溢出
脉冲总数为 4/88=4,到达终点 E（ 如图 3-17） 。
图 3-18 DDA直线插补
Y
X
V
y V
V
x
E (X
e
,Y
e
)
O
?
若要加工第一象限直线 OE,如图 3-18所示, 起点为坐标
原点 O,终点坐标为 E（ Xe,Ye）, 刀具以匀速 V由起点
移向终点, 其 X,Y坐标的速度分量为 Vx,Vy,则有
(k为常数 ) (3-16)
各坐标轴的位移量为
(3-17)
数字积分法是求式 （ 3-17） 从 O到 E区间的定积分 。 此积
分值等于由 O到 E的坐标增量, 因积分是从原点开始的,
所以坐标增量即是终点坐标 。
kYVXVOEV
e
y
e
x ???
dtkYdtVY
dtkXdtVX
ey
ex
? ?
??
??
??
数字积分法是求式 （ 3-17） 从 O到 E区间的定积分 。 此积
分值等于由 O到 E的坐标增量, 因积分是从原点开始的,
所以坐标增量即是终点坐标 。
(3-18)
式 (3-18)中 t0对应直线起点的时间, tn对应终点时间 。
用累加来代替积分, 刀具在 X,Y方向移动的微小增量分
别为
(3-19)
0
0
0
0
YYdtkY
XXdtkX
t
t ee
t
t ee
n
n
－?
?
?
??
tkYtVY
tkXtVX
ey
ex
?????
?????
动点从原点出发走向终点的过程, 可以看作是各坐
标轴每经过一个单位时间间隔 t,分别以增量 kXe及 kYe
同时累加的结果 。
取 （ 一个单位时间间隔 ）, 则
若经过 m次累加后, X,Y都到达终点 E（ Xe,Ye）,
下式成立
??
??
??
?
????
????
m
i
ie
m
i
i
i
m
i
e
m
i
i
tkYYY
tkXXX
11
11 ＝
1?? it
e
m
i
ie
m
i
eie
k m YtkYY
k m XtkXX
???
???
?
?
?
?
1
1
可见累加次数与比例系数之间有如下关系
或
两者互相制约, 不能独立选择, m是累加次数, 取整
数, k取小数 。 即先将直线终点坐标 Xe,Ye缩小到 kXe，
kYe,然后再经 m次累加到达终点 。 另外还要保证沿坐
标轴每次进给脉冲不超过一个, 保证插补精度, 应使
下式成立
ee
ee
Yk m YY
Xk m XX
??
??
1
1
???
???
e
e
kYY
kXX
km /1?1?km
如果存放 Xe,Ye寄存器的位数是 n,对应最大允许数字
量为 （ 各位均为 1）, 所以 Xe,Ye最大寄存数值为
则
为使上式成立, 不妨取 代入得
累加次数
上式表明, 若寄存器位数是 n,则直线整个插补过程要进
行 2n次累加才能到达终点 。
12 ?n
12 ?n
12
1
1)12(
?
?
??
n
n
k
k
nk 2
1?
1
2
12 ??
n
n
n
km 2
1 ??
对于二进制数来说，一个 n位寄存器中存放 Xe和存放
kXe的数字是一样的，只是小数点的位置不同罢了,Xe
除以 2n，只需把小数点左移 n位，小数点出现在最高位
数 n的前面。采用 kXe进行累加，累加结果大于 1，就有
溢出。若采用 Xe进行累加，超出寄存器容量 2n有溢出。
将溢出脉冲用来控制机床进给，其效果是一样的。在
被寄函数寄存器里可只存 Xe，而省略 k。
例如,Xe=100101在一个 6位寄存器中存放，若
k=1/26,kXe=0.100101也存放在 6位寄存器中，数字是
一样的，若进行一次累加，都有溢出，余数数字也相
同，只是小数点位置不同而已，因此可用 Xe替代 kXe
△ t
Δx ΔY
图 3-19为平面直线的插补框图
X函数寄存器 JVX
与门
X累加器 JRX
Y函数寄存器 JVY
与门
Y累加器 JRY
图 3-19为平面直线的插补框图, 它由两个数字积分器
组成, 每个坐标轴的积分器由累加器和被积函数寄存
器组成, 被积函数寄存器存放终点坐标值, 每经过一
个时间间隔 t,将被积函数值向各自的累加器中累加,
当累加结果超出寄存器容量时, 就溢出一个脉冲, 若
寄存器位数为 n,经过 2n次累加后, 每个坐标轴的溢出
脉冲总数就等于该坐标的被积函数值, 从而控制刀具
到达终点 。
例 3-3 设有一直线 OE,如图 3-20所示起点坐标 O(0，
0),终点坐标为 E（ 4,3）, 累加器和寄存器的位数为
3位, 其最大可寄存数值为 7（ J≥8时溢出 ） 。 若用二进
制计算, 起点坐标 O（ 000,000）, 终点坐标 E（ 100，
011）, J≥1000时溢出 。 试采用 DDA法对其进行插补 。
其插补运算过程见表 3-3。
表 3-3 DDA直线插补运算过程
累加次
数
( Δ t)
X 积分器 Y 积分器
终点
计数器
J E
J
VX
J
RX
Δ X J
VY
J
RY
Δ Y
0 4 0 3 0 0
100 01 1 000
1 4 0+ 4= 4 3 0+ 3= 3 1
100 000 + 100 = 100 01 1 000 + 01 1= 01 1 001
2 4 4+ 4= 8+ 0 1 3 3+ 3= 6 2
100 100 + 100 = 1 000 01 1 01 1+ 01 1= 1 10 010
3 4 0+ 4= 4 3 6+ 3= 8+ 1 1 3
100 000 + 100 = 100 01 1 1 10+ 01 1= 1 001 01 1
4 4 4+ 4= 8+ 0 1 3 1+ 3= 4 4
100 100 ＋ 100 ＝ 1 000 01 1 001 ＋ 01 1 ＝ 100 100
5 4 0 + 4 = 4 3 4 + 3 = 7 5
100 0 0 0 +1 0 0 =1 0 0 0 1 1 100 ＋ 0 1 1 ＝ 111 101
6 4 4 + 4 = 8 + 0 1 3 7 + 3 = 8 + 2 1 6
100 1 0 0 +1 0 0 = 1 000 0 1 1 111 ＋ 0 1 1 ＝ 1 010 1 1 0
7 4 0 + 4 = 4 3 2 + 3 = 5 7
100 0 0 0 +1 0 0 =1 0 0 0 1 1 010 ＋ 0 1 1 ＝ 101 111
8 4 4 + 4 = 8 + 0 1 3 5 + 3 = 8 + 0 1 8
100 1 0 0 +1 0 0 = 1 000 0 1 1 101 ＋ 0 1 1 ＝ 1 00 0 1 000
图 3-20 DDA直线插补实例 图 3-21 DDA圆弧插补
(3-21)
由于第一象限顺圆对应 Y坐标值逐渐减小, 所以式 (3-21)
中表达式中取负号, 即 Vx,Vy均取绝对值计算 。
2,数字积分法圆弧插补
第一象限顺圆如图 3-21,圆弧的圆心在坐标原点 O,起点
为 A（ Xa,Ya）, 终点为 B（ Xb,Yb） 。 圆弧插补时, 要求刀
具沿圆弧切线作等速运动, 设圆弧上某一点 P（ X,Y） 的速
度为 V,则在两个坐标方向的分速度为 Vx,Vy,根据图中几
何关系, 有如下关系式
(3-20)
对于时间增量而言, 在 X,Y坐标轴的位移增量分别为
kXVYVRV yx ???
tkXtVY
tkYtVX
y
x
???????
?????
与 DDA直线插补类似, 也可用两个积分器来实现圆弧插补, 如图 3-22
所示 。
Δt
○
○
Δx
Δy
图 3-22 第一象限顺圆弧插补器
X函数寄存器 JVX
与门
X累加器 JRX
Y函数寄存器 JVY
与门
Y累加器 JRY
DDA圆弧插补与直线插补的主要区别为：
（ 1） 圆弧插补中被积函数寄存器寄存的坐标值与对应坐
标轴积分器的关系恰好相反 。
（ 2） 圆弧插补中被积函数是变量, 直线插补的被积函数
是常数 。
（ 3） 圆弧插补终点判别需采用两个终点计数器 。 对于直
线插补, 如果寄存器位数为 n,无论直线长短都需迭代
2n次到达终点 。
例 3-4 设有第一象限顺圆 AB,如图 3-23所示, 起点
A（ 0,5）, 终点 B（ 5,0）, 所选寄存器位数 n=3。 若
用二进制计算, 起点坐标 A（ 000,101）, 终点坐标 B
（ 101,000）, 试用 DDA法对此圆弧进行插补 。
其插补运算过程见表 3-4。
累加次
数
( Δ t)
X 积分器 Y 积分器
J
VX
J
RX
Δ X J
EX
J
VY
J
RY
Δ Y J
EY
0 5 0 5 0 0 5
101 101 000 000 101
1 5 0+ 5= 5 5 0 0 ＋ 0 ＝ 0 5
101 000 ＋ 101 ＝ 101 101 000 000 ＋ 000 ＝ 000 101
2 5 5+ 5= 8+ 2 1 4 0 0 ＋ 0 ＝ 0 5
101 101 ＋ 101 ＝ 1 010 100 000 000 ＋ 000 ＝ 000 101
1
001
表 3-4 DDA圆弧插补运算过程
3 5 5+ 2= 7 4 1 1 5
101 101 ＋ 010 ＝ 111 100 001 001 ＋ 000 ＝ 001 101
4 5 5+ 7= 8+ 4 1 3 1 1+ 1= 2 5
101 101 ＋ 111 ＝ 1 100 01 1 001 001 ＋ 001 ＝ 010 101
2
010
5 5 5+ 4= 8 ＋ 1 1 2 2 2+ 2= 4 5
101 101 ＋ 100 ＝ 1 001 010 010 010 ＋ 010 ＝ 100 101
3
01 1
6 5 5 + 1 = 6 2 3 3 + 4 = 7 5
101 101 ＋ 001 ＝ 1 1 0 010 0 1 1 0 1 1 ＋ 100 ＝ 111 101
7 5 5 + 6 = 8 + 3 1 1 3 3 + 7 = 8 + 2 1 4
101 101 ＋ 1 1 0 ＝ 1 0 1 1 001 0 1 1 0 1 1 ＋ 111 ＝ 1 010 100
4 4
100 100
8 4 4 + 3 = 7 1 4 4 + 2 = 6 4
100 100 ＋ 0 1 1 ＝ 111 001 100 100 ＋ 010 ＝ 1 1 0 100
9 4 4+ 7= 8+ 3 1 0 4 4+ 6= 8+ 2 1 3
100 100 ＋ 111 ＝ 1 01 1 000 100 100 ＋ 1 10 ＝ 1 010 01 1
3 5
01 1 101
10 3 停止 5 5+ 2= 7 3
01 1 101 101 ＋ 010 ＝ 111 01 1
11 3 5 5+ 7= 8+ 4 1 2
01 1 101 101 ＋ 111 ＝ 1 100 010
2
010
12 2 5 5+ 4= 8+ 1 1 1
010 101 101 +100= 1 001 001
1
001
13 1 5 5+ 1= 6 1
001 101 101 ＋ 001 ＝ 1 10 001
14 1 5 5+ 6= 8+ 3 1 0
001 101 101 +1 10= 1 01 1 000
0
000
15 0 5 停止
101
A (0,5 )
4
2
3
5
4
Y
O
1 2 3
X
B (5,0 )
5
1
图 3-23 DDA圆弧插补实例
3,数字积分法插补的象限处理
DDA插补不同象限直线和圆弧时, 用绝对
值进行累加, 把进给方向另做讨论 。
DDA插补是沿着工件切线方向移动, 四个
象限直线进给方向如图 3-24所示 。
圆弧插补时被积函数是动点坐标, 在插补过
程中要进行修正, 坐标值的修改要看动点运动
是使该坐标绝对值是增加还是减少, 来确定是
加 1还是减 1。 四个象限直线进给方向和圆弧插
补的坐标修改及进给方向如表 3-5所示 。
Y
Y
L2 L1 NR2 NR1
SR2 SR1
X X
SR3 SR4
L3 L4 NR3 NR4
图 3-24 四象限直线插补进给方向
图 3-25四象限圆弧插补进给方向
内容 L1 L2 L3 L4
进给 ΔX + - - +
修正 JVY
进给 ΔY + + - -
修正 JVX
表 3-5 直线进给方向,
NR1 NR2 NR3 NR4 SR1 SR2 SR3 SR4
- - + + + + - -
-1 +1 -1 +1 +1 -1 +1 -1
+ - - + - + + -
+1 -1 +1 -1 -1 +1 -1 +1
表 3-5 圆弧插补进给方向及坐标修改
4,数字积分法合成进给速度
数字积分法的特点是, 脉冲源每产生一个脉冲, 作一
次累加计算, 如果脉冲源频率为 fg（ Hz）, 插补直线
的终点坐标为 E（ Xe,Ye）, 则 X,Y方向的平均进给频
率 fx,fy为
(3-22)
式中 m—累加次数 。
假设脉冲当量为 （ mm/脉冲 ）, 可求得 X和 Y方向进给速
度 （ mm/min）
g
e
y
g
e
x
f
m
Y
f
f
m
X
f
?
?
m
Y
ffV
m
X
ffV
e
gyy
e
gxx
??
??
6060
6060
??
??
nm 2?
假设脉冲当量为 （ mm/脉冲 ）, 可求得 X和 Y方向进给速度
（ mm/min）
(3-23)
合成进给速度为
(3-24)
式中 L—被插补直线长度, ; 若插补圆弧, L应为
圆弧半径 R。
Vg—脉冲源速度, 。
m
Y
ffV
m
X
ffV
e
gyy
e
gxx
??
??
6060
6060
??
??
m
LVVVV
gyx ??? 22
22 ee YXL ＋＝
gg fV ?60?
数控加工程序中 F代码指定进给速度后, fg基本维持不
变 。 这样合成进给速度 V与被插补直线的长度或圆弧的
半径成正比 。 如图 3-26所示, 如果寄存器位数是 n,加
工直线 L1,L2都要经过 m＝ 2n累加运算, L1直线短, 进
给慢, 速度低； L2直线长, 进给快, 速度高 。 加工 L1
生产效率低；加工 L2零件表面质量差 。
L1 V1
L2
V2
图 3-26 进给速度与直线长度的关系
5,数字积分法稳速控制
(1) 左移规格化
,左移规格化, 就是将被积函数寄存器中存放数值的前
零移去 。
直线插补时, 当被积函数寄存器中所存放最大数的最高
位为 1时, 称为规格化数, 反之, 若最高位为零, 称为
非规格化数 。
直线插补左移规格化数的处理方法是：将 X轴与 Y轴被积
函数寄存器里的数值同时左移 （ 最低位移入零 ）, 直
到其中之一最高位为 1时为止 。
若被积函数左移 i位成为规格化数, 其函数值扩大 2i倍,
为了保持溢出的总脉冲数不变, 就要减少累加次数 。
in
i
nk ??? 2
12
2
1 inm ?? 2
被积函数扩大一倍, 累加次数减少一倍 。 具体实现,
当被积函数左移 i位时, 终点判别计数器右移 （ 最高位
移入 1）, 使终点计数器 JE使用长度减少 i位, 实现累加
次数减少的目的 。 如果直线终点坐标为 （ 10,6）, 寄
存器与累加器位数是 8,其规格化前后情况如下所示：
规格化前 规格化后
Xe=00001010 Xe=10100000
Ye=00000110 Ye=01100000
JE=00000000 JE=11110000
圆弧插补左移规格化与直线不同之处：被积函数寄存器
存放最大数值的次高位是 1为规格化数 。
圆弧左移规格化后, 扩大了寄存器中存放的数值 。
左移 i位, 相当于乘 2i,即 X轴与 Y轴被积函数寄
存器存放的数据变为 2iY,2iX,这样, 假设 Y轴
有脉冲溢出时, 则 X轴被积函数寄存器中存放
的坐标被修正为
上式指明, 规格化处理后, 插补中的坐标修正
加 1或减 1,变成了加 2i或减 2i。
直线和圆弧插补时规格化数处理方式不同, 但均
能提高溢出速度, 并能使溢出脉冲变得比较均
匀 。
iiii YYY 22)1(22 ????
(2) 按进给速率数 FRN编程
为实现不同长度程序段的恒速加工, 在编程时考虑被
加工直线长度或圆弧半径, 采用 FRN来表示, F”功能,
（ 直线 ）, 或 （ 圆弧 ）
式中 V—要求的加工切削速度；
L—被加工直线长度；
R—被加工圆弧半径 。
因为
所以 （ 3-25）
由上式可见, FRN编程, 其实质是控制迭代频率 fg,fg与
V/L（ 直线插补 ） 或 V/R（ 圆弧插补 ） 成正比, 当插补
尺寸 L或 R不同时, 使迭代频率作相应改变, 以保证所
选定的进给速度 。
F R NmLVmf g ?? 6060 ??
m
LfV
g?60?
L
VFRN ＝
R
VFRN ＝
(3) 提高插补精度的措施
对于 DDA圆弧插补, 径向误差可能大于一个脉
冲当量, 因数字积分器溢出脉冲的频率与被积
函数寄存器中的数值成正比, 在坐标轴附近进
行累加时, 一个积分器的被积函数值接近零,
而另一个积分器的被积函数接近于最大值, 累
加时后者连续溢出, 前者几乎没有, 两个积分
器的溢出脉冲频率相差很大, 致使插补轨迹偏
离给定圆弧距离较大, 使圆弧误差增大 。
减少误差的方法有：减小脉冲当量, 误差减少,
但寄存器容量增大, 累加次数增加 。 而且要获
得同样的进给速度, 需要提高插补速度 。
还可采用余数寄存器预置数法, 即在 DDA插补之前,
累加器又称余数寄存器 JRX,JRY的初值不置零, 而是预
置 2n/2,若用二进制表示, 其最高有效位置, 1”,其它
各位置零, 若再累加 100… 000,余数寄存器就可以产
生第一个溢出脉冲, 使积分器提前溢出 。 这种处理方
式称为, 半加载,, 在被积函数值较小, 不能很快产
生溢出脉冲的情况下, 可使脉冲提前溢出, 改变了溢
出脉冲的时间分布, 达到减少插补误差的目的 。
例 3-5 加工第一象限顺圆 AB,如图 3-27,起点 A（ 0，
5）, 终点 B（ 0,5） 选用寄存器位数 n=3,经过, 半
加载, 处理后, 试用 DDA法进行插补计算 。
其插补运算过程见表 3-5。
X 积分器 Y 积分器
累加
次数
( Δ t)
J
VX
J
RX
Δ X J
EX
J
VY
J
RY
Δ Y J
EY
0 5 4 5 0 4 5
1 5 5 ＋ 4 ＝ 8 ＋ 1 1 4 0
1
0 ＋ 4 ＝ 4 5
2 5 5 ＋ 1 ＝ 6 4 1 1 ＋ 4 ＝ 5 5
3 5 5 ＋ 6 ＝ 8 ＋ 3 1 3 1
2
1 ＋ 5 ＝ 6 5
4 5
4
5 ＋ 3 ＝ 8 ＋ 0 1 2 2
3
2 ＋ 6 ＝ 8 ＋ 0 1 4
5 4 4 ＋ 0 ＝ 4 2 3 3 ＋ 0 ＝ 3 4
6 4 4 ＋ 4 ＝ 8 ＋ 0 1 1 3
4
3 ＋ 3 ＝ 6 4
7 4
3
4 ＋ 0 ＝ 4 1 4 4 ＋ 6 ＝ 8+ 2 1 3
8 3 3 ＋ 4 ＝ 7 1 4 4 ＋ 2 ＝ 6 3
9 3
2
3+ 7 ＝ 8+ 2 1 0 4
5
4 ＋ 6 ＝ 8+ 2 1 2
10 2
停止
5 5 ＋ 2 ＝ 7 2
11 2
1
5 5 ＋ 7 ＝ 8+ 4 1 1
12 1
0
5 5 ＋ 4 ＝ 8+ 1 1 0
停止
图 3-27,半加载, 后 DDA圆弧插补实例
4
2
A (0,5 )
3
5
4
y
O
1 2 3
x
B (5,0 )
5
1
二,数据采样法
（一） 数据采样法原理
数据采样插补又称为时间分割法，与基准脉冲
插补法不同，数据采样插补法得出的不是进给脉冲，
而是用二进制表示的进给量。这种方法是根据程编进
给速度 F，将给定轮廓曲线按插补周期 T（某一单位时
间间隔）分割为插补进给段（轮廓步长），即用一系
列首尾相连的微小线段来逼近给定曲线。每经过一个
插补周期就进行一次插补计算，算出下一个插补点，
即算出插补周期内各坐标轴的进给量，如等，得出下
一个插补点的指令位置。
插补周期越长，插补计算误差越大，插补周期
应尽量选得小一些。 CNC系统在进行轮廓插补控制时，
除完成插补计算外，数控装置还必须处理一些其它任
务，如显示、监控、位置采样及控制等。
因此，插补周期应大于插补运算时间和其它实
时任务所需时间之和。插补周期大约在 8ms左右。
采样是指由时间上连续信号取出不连续信号,
对时间上连续的信号进行采样, 就是通过一个采样开
关 K（ 这个开关 K每隔一定的周期 TC闭合一次 ） 后, 在
采样开关的输出端形成一连串的脉冲信号 。 这种把时
间上连续的信号转变成时间上离散的脉冲系列的过程
称为采样过程, 周期 TC叫采样周期 。
计算机定时对坐标的实际位置进行采样，采样
数据与指令位置进行比较，得出位置误差用来控制电
动机，使实际位置跟随指令位置。对于给定的某个数
控系统，插补周期 T和采样周期 TC是固定的，通常 T≥ TC，
一般要求 T是 TC的整数倍。
对于直线插补，不会造成轨迹误差。在圆弧插
补中，会带来轨迹误差。
如图 3-28所示, 用弦线逼近圆弧, 其最大径向误
差 er为
(3-26)
式中 R—被插补圆弧半径 （ mm） ；
—角步距, 在一个插补周期内逼近弦所对应的圆心角 。
将式 (3-26)中的 用幂级数展开, 得
(3-27)
)2c o s1( ??? Re r
?
)2/c o s (?
)2c o s1( ??? Re r
? ? ? ?
??
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????? ?
22
!4
2/
!2
2/11 ??R
R8
2?
?
设 T为插补周期, F为进给速度, 则轮廓步长为
(3-28)
用轮廓步长代替弦长, 有
(3-29)
将 (3-29)代入式 （ 3-27）,得
(3-30)
可见, 圆弧插补过程中, 用弦线逼近圆弧时, 插补误差 er
与程编进给速度 F的平方, 插补周期 T的平方成正比,
与圆弧半径 R成反比 。
TFl ?
?? Rl? RTF
R
TFe
r 8
)( 2?
图 3-28 弦线逼近圆弧 图 3-29 直线插补原理
(二 ) 直线函数法
1,直线插补
设要加工图 3-29所示直线 OE,起点在坐标原点 O,终点
为 E（ ）, 直线与 X轴夹角为, 则有
若已计算出轮廓步长, 从而求得本次插补周期内各坐标
轴进给量为
(3-31)
e
e
X
Ytg ??
?
?
21
1co s
tg?
?
x
X
Y
Y
lX
e
e ???
?? ?c o s
2,圆弧插补
圆弧插补, 需先根据指令中的进给速度 F,计算出轮
廓步长 l,再进行插补计算 。 以弦线逼近圆弧, 就是以
轮廓步长为圆弧上相邻两个插补点之间的弦长, 由前
一个插补点的坐标和轮廓步长, 计算后一插补点, 实
质上是求后一插补点到前一插补点两个坐标轴的进给
量 ΔX,ΔY。 如图 3-30 所示, A(Xi,Yi)为当前点,
B(Xi+1,Yi+1） 为插补后到达的点, 图中 AB弦正是圆弧插
补时在一个插补周期的步长 l,需计算 x轴和 y轴的进给
量 ΔX=Xi+1-Xi, ΔY=Yi+1-Yi 。 AP是 A点的切线, M是
弦的中点, OM⊥ AB,ME ⊥ AG,E为 AG的中点 。 圆心
角计算如下
式中 δ—轮廓步长所对应的圆心角增量, 也称为角步距 。
??? ??? ii 1
图 3-30 圆弧插补
因为 OA AP (AP为圆弧切线 )
所以 △ AOC∽ △ PAG
则 ∠ AOC＝ ∠ GAP＝
因为 ∠ PAB+∠ OAM=900
所以 ∠ PAB＝ ∠ AOM=∠ AOB＝
设 ＝ ∠ GAB＝ ∠ GAP＋ ∠ PAB＝
△ MOD中
将 DH=Xi,OC＝ Yi,HM＝,
CD＝
代入上式, 则有
?21
? ??
2
1?
i
CDOC
HMDH
OD
DMtg
i ?
???
?
??
?
? ? ＝??
2
1
Xl ?? 21c o s ?
Yl ?? 21s i n21 ?
2
1
(3-32)
又因为
由此可以推出 的关系式
(3-33)
式 (3-33)反映了圆弧上任意相邻两插补点坐标之间
的关系, 只要求得 和, 就可以计算出新的插补点
YY
XX
lY
lX
tgtg
i
i
i
i
i
??
??
?
?
??
?
?
?
?
? ??
2
1
2
1
s i n
2
1
c o s
2
1
2
1
＝
?
?
???
X
Y
GA
GBtg
?
????
yxyx ii ??,）与，（
?
?
s i n
2
1
c o s
2
1
2
1
2
1
lY
lX
YY
XX
X
Y
i
i
i
i
?
?
?
??
??
?
?
?
YYY
XXX
ii
ii
???
???
?
?
1
1
X? Y?
),( 11 ?? ii YXB
式 (3-33)中, 和 均为未知, 求解较困难 。 为此,
采用近似算法, 用 和 代替 和, 即
′与 不同, 从而造成了 的偏差, 在 处偏
差较大 。 如图 3-31所示, 由于角 成为 ′,因而影
响到 值, 使之为 ′
(3-34)
为保证下一个插补点仍在圆弧上, ′的计算应按下
式进行
?
?
45s i n
2
1
45c o s
2
1
'
lY
lX
tg
i
i
?
?
??
?tg ?tg ?0＝?
?
?
X? X?
ATlX ????? ?c o s
Y?
? ? ? ? 2222 YYXXYX iiii ?????????
?
?
?
经展开整理得
(3-35)
由式 (3-35) 可用迭代法解出 。
采用近似算法可保证每次插补点均在圆弧上, 引起的偏
差仅是 。 这种算法仅
造成每次插补进给量的微小变化, 而使进给速度有偏
差, 实际进给速度的变化小于指令进给速度的 1％, 在
加工中是允许的 。
XY
XXY
Y
i
i
???
???
?
?
?
?
? ?
??
???
2
1
2
1
Y??
llASABYYXX ??????????? 即,,
图 3-31 近似处理引起的进给速度偏差
Δ X
Δ X′
A
O
B
S
T F
Δ Y′ Δ Y
Y
X
α
α ′
直线函数法, 用弦线逼近圆弧, 因此插补误差主要为半
径的绝对误差 。 因插补周期是固定的, 该误差取决于进给速
度和圆弧半径, 当加工的圆弧半径确定后, 为了使径向绝对
误差不超过允许值, 对进给速度要有一个限制 。
T
ReF r8?
(三 ) 扩展 DDA数据采样插补
1,扩展 DDA直线插补
Y E(Xe,Ye)
V
vy
Vx
O X
图 3-32 扩展 DDA直线插补
假设根据编程进给速度, 要在时间段 T1内走完图 3-32
所示直线, 其起点为坐标原点 O,终点坐标为 E（ Xe，
Ye）, V为进给速度 （ 零件加工程序中记为 F）, Vx与
Vy分别为 X,Y坐标的分速度 。 则有
(3-36)
将时间 T1用插补周期 T分割为 n个子区间 （ n取 ≥ 最接
近的整数 ）, 从而在每个插补周期 T内的坐标增量分别为
V
YX
Y
V
V
YX
X
V
ee
e
y
ee
e
x
22
22
?
?
?
?
TT1
T
T1
式中 V—编程的进给速度 （ mm/min） ;
T—插补周期 （ ms） ;
—根据插补周期换算后的时间常数,
FRN—进给速率数,
式中 L—插补直线长度 (mm)。
ete
ee
x XFRNTX
YX
VTVX ??
?
???
22
ete
ee
y YF R NTY
YX
VTVY ??
?
???
22
60/10* 3?? Tt?
L
V
YX
VF R N
ee
＝22
?
?
t?
对于同一直线来说, 由于 V和 Xe,Ye,以及 均为常数,
可以记作, 称为步长系数 。
（ 3-37）
故同一条直线在每个采样周期内增量 的常
数均相同, 在每个插补周期内算出 后, 就
可以得到本插补周期末的刀具位置坐标值
(3-38)
由于插补中每次迭代形成的子线段斜率 （ ） 等于
给定直线斜率, 从而保证了轨迹要求 。
t?
ed
ed
YY
XX
?
?
??
??
YX ?? 和
11 ?? ii YX 和
YYY
XXX
ii
ii
???
???
?
?
1
1
XY ?? /
YX ?? 和
2,扩展 DDA圆弧插补
如图 3-33所示为第一象限顺圆弧 AiQ,圆心在坐标原
点 O,半径为 R。 设刀具处在 Ai（ Xi,Yi） 点位置 。 若在
一个插补周期 T内, 用 DDA插补法沿切线方向进给的步
长为, 一个插补周期后达到 C点, 即 。 由图可
见, 它的径向误差较大 。 扩展 DDA插补算法, 就是将
切线逼近圆弧转化为割线逼近圆弧, 以减少插补误差,
具体步骤如下：
先通过 AiC微小线段的中点 B作以 OB为半径的圆弧的
切线 BD,再通过 Ai点作 BD的平行线 AiH,即 AiH ∥ BD,
并在 AiH上截取, 如果 OB与 AiH的交点
为 M,在直角 △ AiMB中, 斜边, 直角
边,,所以 Ai+1点落在圆弧外侧 。 扩展 DDA
用割线 线段代替切线, 使径向误差减少了 。
lCAi ?
lCAAA iii ??? 1
lMAi 21?
1?ii AA
lCAAA iii ??? 1
图 3-33 扩展 DDA圆弧插补
下面计算在插补周期 T内轮廓进给步长 l的坐标分量 △ X和
Y,△ 就可以得到本次插补周期后到达的位置 Ai+1
由图 3-33可见, 在直角 △ OEAi中, OAi和 AiE的夹角为 α，
则
(3-39)
(3-40)
设刀具以恒速进给, 即在每个插补周期 T内的进给速度均
为 V,则 。 过 B点作 X轴的平行线 BF交 Y
轴于 F点, 交 AiE线段于 G点 。 过 Ai+1点作 Ai+1N平行 X轴,
交 AiE于 N点 。 由图 3-33可以看出, 直角 △ OFB与直角
△ AiNAi+1相似, 从而有比例关系：
(3-41)
R
x
OA
OE i
i
???s i n
R
y
OA
EA i
i
i ???c o s
OB
OF
AA
NA
ii
i ?
?
?
1
1
VTlAA ii ??? 1
式中
在直角 △ AiGB中
因此
在直角 △ OAiB中
XNA i ??? 1
VTlAA ii ?? ＝1
?? s i n21s i n lBAGA ii ??
?s i n21 lYGAEAOF iii ???＝
? ? ? ? 2
2
22
2
1 RlOABAOB
ii ???
??
?
????
将以上各式代入式 （ 3-41） 有
将式 （ 3-39） 代入上式并整理, 得
2
2
2
1
s i n
2
1
Rl
ly
l
x i
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
2
2
1
2
1
Rl
R
x
lyl
x
i
i
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
因为 l<<R,故将 略去不计, 则上式变为
若令
则 (3-42)
?????? ???????? ??? ititii xRVyRVRxlyRlx ?? 2121
60/10* 3?? Tt?
ttd F R NR
V ??? ??
?
?
??
?
? ???
idid xyx ?? 2
1
另外, 从直角 △ OFB与直角 △ AiNAi+1相似, 还可
以得出
即
已知 =
OB
FB
AA
NA
ii
i ?
? 1
OB
GBFG
AA
NA
ii
i ??
? 1
VTl ?
1?ii AA
2
2
2
1 RlOB ??
?
??
?
??
由直角 △ AiGB得
而
2
2
2
1
2
1
Rl
R
y
lxl
NAy
i
i
i
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
ixFG ?
R
ylBAGB i
i 2
1c o s ?? ?
同理, 因 l<<R,故 略去不计, 则
仍令
则 （ 3-43）
2
2
1 ?
?
??
?
? l
???
?
???
? ???
R
ylx
R
ly i
i 2
1
ttd F R NR
V ??? ??
60/10* 3?? Tt?
?
?
??
?
? ???
idid yxy ?? 2
1
由于 Ai(Xi,Yi)为已知, 故用式 （ 3-42） 和 （ 3-43）
求得 Δ X和 Δ Y,因而可算出本次插补周期刀具应达到的
坐标位置 xi+1,yi+1值, 即
YYY
XXX
ii
ii
???
???
?
?
1
1
第三节 刀具补偿原理
一, 为什么要进行刀具补偿
如图 3-34所示, 在铣床上用半径为 r的刀具加工外
形轮廓为 A的工件时, 刀具中心沿着与轮廓 A距离为 r的
轨迹 B移动 。 我们要根据轮廓 A的坐标参数和刀具半径 r
值计算出刀具中心轨迹 B的坐标参数, 然后再编制程序
进行加工, 因控制系统控制的是刀具中心的运动 。 在
轮廓加工中, 由于刀具总有一定的半径, 如铣刀半径
或线切割机的钼丝半径等 。 刀具中心 （ 刀位点 ） 的运
动轨迹并不等于所加工零件的实际轨迹 （ 直接按零件
廓形编程所得轨迹 ）, 数控系统的刀具半径补偿就是
把零件轮廓轨迹转换成刀具中心轨迹 。
r 刀具
A
r B
图 3-34 刀具半径补偿
当实际刀具长度与编程长度不一致时, 利用刀具
长度补偿功能可以实现对刀具长度差额的补偿 。
加工中心：一个重要组成部分就是自动换刀装置,
在一次加工中使用多把长度不同的刀具, 需要有刀具
长度补偿功能 。
轮廓铣削加工：为刀具中心沿所需轨迹运动, 需
要有刀具半径补偿功能 。
车削加工：可以使用多种刀具, 数控系统具备了
刀具长度和刀具半径补偿功能, 使数控程序与刀具形
状和刀具尺寸尽量无关, 可大大简化编程 。
具有刀具补偿功能, 在编制加工程序时, 可以按
零件实际轮廓编程, 加工前测量实际的刀具半径, 长
度等, 作为刀具补偿参数输入数控系统, 可以加工出
合乎尺寸要求的零件轮廓 。
刀具补偿功能还可以满足加工工艺等其他一些要
求, 可以通过逐次改变刀具半径补偿值大小的办法,
调整每次进给量, 以达到利用同一程序实现粗, 精加
工循环 。 另外, 因刀具磨损, 重磨而使刀具尺寸变化
时, 若仍用原程序, 势必造成加工误差, 用刀具长度
补偿可以解决这个问题 。
二, 刀具补偿原理
刀具补偿一般分为刀具长度补偿和刀具半径补偿 。
铣刀主要是刀具半径补偿；
钻头只需长度补偿；
车刀需要两坐标长度补偿和刀具半径补偿 。
1,刀具长度补偿
以数控车床为例进行说明, 数控装置控制的是刀架参考
点的位置, 实际切削时是利用刀尖来完成, 刀具长度
补偿是用来实现刀尖轨迹与刀架参考点之间的转换 。
如图 3-35所示, P为刀尖, Q为刀架参考点, 假设刀尖
圆弧半径为零 。 利用刀具长度测量装置测出刀尖点相
对于刀架参考点的坐标 xpq,zpq,存入刀补内存表中 。
零件轮廓轨迹是由刀尖切出的, 编程时以刀尖点 P来编程,
设刀尖 P点坐标为 xp,zp,刀架参考点坐标 Q（ xq,zq）
可由下式求出：
(3-45)
这样, 零件轮廓轨迹通过式 (3-45)补偿后, 就能通过控制
刀架参考点 Q来实现 。
pqpq
pqpq
zzz
xxx
??
??
图 3-35 刀具长度补偿
P (x
p
,z
p
)
Q
z
pq
x
pq
加工中心上常用刀具长度补偿, 首先将刀具装
入刀柄, 再用对刀仪测出每个刀具前端到刀柄基准面
的距离, 然后将此值按刀具号码输入到控制装置的刀
补内存表中, 进行补偿计算 。 刀具长度补偿是用来实
现刀尖轨迹与刀柄基准点之间的转换 。
在数控立式镗铣床和数控钻床上, 因刀具磨损,
重磨等而使长度发生改变时, 不必修改程序中的坐标
值, 可通过刀具长度补偿, 伸长或缩短一个偏置量来
补偿其尺寸的变化, 以保证加工精度 。
刀具长度补偿原理比较简单, 由 G43,G44及 H
（ D） 代码指定 。
2,刀具半径补偿
ISO标准规定, 当刀具中心轨迹在编程轨迹 （ 零件轮廓
ABCD） 前进方向的左侧时, 称为左刀补, 用 G41表示 。
反之, 当刀具处于轮廓前进方向的右侧时称为右刀补,
用 G42表示, 如图 3-36所示 。 G40为取消刀具补偿指令 。
y y
B C D C
刀补进行
A D A B 刀补
刀补建立 刀补撤销 进行
刀补撤销 刀补建立
O x O x
a) G41左刀补 b) G42右刀补
图 3-36 刀具补偿方向
在切削过程中, 刀具半径补偿的补偿过程分为三
个步骤：
（ 1） 刀补建立 刀具从起刀点接近工件, 在原来的
程序轨迹基础上伸长或缩短一个刀具半径值, 即刀具
中心从与编程轨迹重合过渡到与编程轨迹距离一个刀
具半径值 。 在该段中, 动作指令只能用 G00或 G01。
（ 2） 刀具补偿进行 刀具补偿进行期间, 刀具中心
轨迹始终偏离编程轨迹一个刀具半径的距离 。 在此状
态下, G00,G01,G02,G03都可使用 。
（ 3） 刀补撤销 刀具撤离工件, 返回原点 。 即刀具
中心轨迹从与编程轨迹相距一个刀具半径值过渡到与
编程轨迹重合 。 此时也只能用 G00,G01。
三, 刀具半径补偿算法
刀具半径补偿计算：根据零件尺寸和刀具半径值
计算出刀具中心轨迹 。 对于一般的 CNC装置, 所能实现
的轮廓仅限于直线和圆弧 。 刀具半径补偿分 B功能刀补
与 C功能刀补, B功能刀补能根据本段程序的轮廓尺寸
进行刀具半径补偿, 不能解决程序段之间的过渡问题,
编程人员必须先估计刀补后可能出现的间断点和交叉
点等情况, 进行人为处理 。 B功能刀补计算如下：
1,直线刀具补偿计算
对直线而言, 刀具补偿后的轨迹是与原直线平行
的直线, 只需要计算出刀具中心轨迹的起点和终点坐
标值 。
如图 3-37所示, 被加工直线段的起点在坐标原点, 终
点坐标为 A。 假定上一程序段加工完后, 刀具中心在 O′
点坐标已知 。 刀具半径为, 现要计算刀具右补偿后直
线段 O′A′的终点坐标 A′。 设刀具补偿矢量 AA′的投影坐
标为,则
(3-46)
(3-47)
YYY
XXX
????
????
?????? AKAx OA
22
s i n
YX
YrrX
?
??? ?
22c o s YX
XrrY
?
????? ?
(3-48)
(3-48)式为直线刀补计算公式, 是在增量编程下推导出的 。
对于绝对值编程, 仍可应用此公式计算, 所不同的是
应是绝对坐标 。
22 YX
rXYY
?
???
22 YX
rYXX
?
???
图 3-37 直线刀具补偿 图 3-38 圆弧刀具半径补偿
y
O
x
Δ X
y
α
K
A ′ (X ′,Y ′ )
r
α
Δ Y
A (X,Y )
B ′ (X
b
′,Y
b
′ )
A ′ (X
a
′,Y
a
′ )
Δ X
K
x
B （ X
b
,Y
b
）
Δ Y
O
O ′
R
K
β
A (X a,Y a )
r
2,圆弧刀具半径补偿计算
对于圆弧而言, 刀具补偿后的刀具中心轨迹是一个
与圆弧同心的一段圆弧 。 只需计算刀补后圆弧的起点
坐标和终点坐标值 。 如图 3-38所示, 被加工圆弧的圆
心坐标在坐标原点 O,圆弧半径为 R,圆弧起点 A,终
点 B,刀具半径为 r。
假定上一个程序段加工结束后刀具中心为 A′,其坐
标已知 。 那么圆弧刀具半径补偿计算的目的, 就是计
算出刀具中心轨迹的终点坐标 B′ 。 设 BB′在两个坐
标上的投影 为则
(3-49)
XX b ???bX?
YYY bb ????
?????? BKBB O x
?????? ?? bb YX,
YX ??,
(3-50)
(3-51)
R
Y
rrY
R
X
rrX
b
b
???
???
?
?
s i n
c o s
R
rY
YY
R
rX
XX
b
bb
b
bb
???
???
图 3-39 B刀补示例
加工如图 3-39外部轮廓零件 ABCD时, 由 AB直线段开始,
接着加工直线段 BC,根据给出的两个程序段, 按 B刀
补处理后可求出相应的刀心轨迹 A1B1和 B2C1。
y
D
1
A
D
2
O
B
2
B
C
x
C
2
A
1 B 1
D
C
1
A
2
事实上, 加工完第一个程序段, 刀具中心落在 B1点上,
而第二个程序段的起点为 B2,两个程序段之间出现了
断点, 只有刀具中心走一个从 B1至 B2的附加程序, 即
在两个间断点之间增加一个半径为刀具半径的过渡圆
弧 B1B2,才能正确加工出整个零件轮廓 。
可见, B刀补采用了读一段, 算一段, 再走一段的控
制方法, 这样, 无法预计到由于刀具半径所造成的下
一段加工轨迹对本程序段加工轨迹的影响 。 为解决下
一段加工轨迹对本段加工轨迹的影响, 在计算本程序
段轨迹后, 提前将下一段程序读入, 然后根据它们之
间转接的具体情况, 再对本段的轨迹作适当修正, 得
到本段正确加工轨迹, 这就是 C功能刀具补偿 。 C功能
刀补更为完善, 这种方法能根据相邻轮廓段的信息自
动处理两个程序段刀具中心轨迹的转换, 并自动在转
接点处插入过渡圆弧或直线从而避免刀具干涉和断点
情况 。
图 3-40a给出了普通数控系统的工作方法, 在系统内,
数据缓冲寄存区 BS用以存放下一个加工程序段的信息,
设置工作寄存区 AS,存放正在加工的程序段的信息,
其运算结果送到输出寄存区 OS,直接作为伺服系统的
控制信号 。
图 3-40b为 CNC系统中采用 C刀补方法的原理框图,
与 3-40a不同的是, CNC装置内部又增设了一个刀补缓
冲区 CS。 当系统启动后, 第一个程序段先被读入 BS，
在 BS中算得第一段刀具中心轨迹, 被送到 CS中暂存后,
又将第二个程序段读入 BS,算出第二个程序段的刀具
中心轨迹 。 接着对第一, 第二两段刀具中心轨迹的连
接方式进行判别, 根据判别结果, 再对第一段刀具中
心轨迹进行修正 。
修正结束后, 顺序地将修正后的第一段刀具中心
轨迹由 CS送入 AS中, 第二段刀具中心轨迹由
BS送入 CS中 。
然后, 由 CPU将 AS中的内容送到 OS中进行插补
运算, 运算结果送到伺服系统中予以执行 。 当
修正了的第一段刀具中心轨迹开始被执行后,
利用插补间隙, CPU又命令第三段程序读入 BS，
随后, 又根据 BS和 CS中的第三, 第二段轨迹
的连接情况, 对 CS中的第二程序段的刀具中心
轨迹进行修正 。 依此下去, 可见在刀补工作状
态, CNC内部总是同时存在三个程序段的信息 。
a)
b)
图 3-40 两种数控系统的工作流程
缓冲寄存区
BS
工作寄存区
AS
输出寄存区
OS
输出寄存区
OS
工作寄存区
AS
刀补缓冲区
CS
缓冲寄存区
BS
在 CNC装置中, 处理的基本廓形是直线和圆弧, 它
们之间的相互连接方式有, 直线与直线相接, 直线与
圆弧相接, 圆弧与直线相接, 圆弧与圆弧相接 。 在刀
具补偿执行的三个步骤中, 都会有转接过渡, 以直线
与直线转接为例来讨论刀补建立, 刀补进行过程中可
能碰到的三种转接形式 。 刀补撤销是刀补建立的逆过
程, 可参照刀补建立 。
图 3-41和 3-42表示了两个相邻程序段为直线与直线,
左刀补 G41的情况下, 刀具中心轨迹在连接处的过渡形
式 。 图中 α为工件侧转接处两个运动方向的夹角, 其变
化范围为 00<ɑ< 3600,对于轮廓段为圆弧时, 只要用其
在交点处的切线作为角度定义的对应直线即可 。
在图 3-42a中, 编程轨迹为 FG和 GH,刀具中心轨迹为 AB
和 BC,相对于编程轨迹缩短一个 BD与 BE的长度, 这种
转接为缩短型 。
图 3-42b中, 刀具中心轨迹 AB和 BC相对于编程轨迹 FG和
GH伸长一个 BD与 BE的长度, 这种转接为伸长型 。 图
3-42c中, 若采用伸长型, 刀心轨迹为 AM和 MC,相对
于编程轨迹 FG和 GH来说, 刀具空行程时间较长, 为
减少刀具非切削的空行程时间, 可在中间插入过渡直
线 BB1,并令 BD等于 B1E且等于刀具半径 r,这种转接为
插入型 。 根据转接角 α不同, 可以将 C刀补的各种转接
过渡形式分为三类：
（ 1） 当 1800< ɑ<3600时, 属缩短型, 见图 3-41a和 3-42a。
（ 2） 当 900≤ɑ<1800时, 属伸长型, 见图 3-41b和 3-42b。
（ 3） 当 00< ɑ<900时, 属插入型, 见图 3-41c和 3-42c。
图 3-41 G41刀补建立示意图
y
r
y
r
x
y
α
x O
r
x
r
O O
α
α
r
r
a) b) c)
图 3-42 刀补进行直线与直线转接情况
A
C
A
r
r
r
A
r
a) b)
c)
r
B
α r
α
C
B
α
r
B
C
B
1
M
r
D
E
F
G
H
F
H
G
D
E
F
D
E
G
H
四, 刀具补偿的几种特殊情况
1,在切削过程中改变刀补方向
如图 3-43所示, 切削轮廓 MN段采用 G42刀补, 而后加工 PQ
段, 改变了刀补方向, 应采用 G41刀补, 这时必须在 P
点产生一个具有长度为刀具半径的垂直矢量以获得一
段过渡圆弧 AB。
A G42
B
r1 r2 r2
P G41 N M r1
Q
N11 N12
图 3-43 刀补方向改变的切削实例 图 3-44 刀补半径改变的实例
2,改变刀具半径值
在零件切削过程中刀具半径值改变了, 则新的补偿
值在下个程序段中产生影响 。 如图 3-44所示, N10段补
偿用刀具半径 r1,N11段变为 r2后, 则开始建立新的刀
补, 进入 N12段后即按新刀补 r2进行补偿 。 刀具半径的
改变可通过改变刀具号或通过操作面板等方法来实现 。
3,过切问题
（ 1） 刀具半径补偿可使刀具中心轨迹在走刀平面
（ 如 xy面 ） 内偏移零件轮廓一个刀具半径值 。 在刀补
建立后的刀补进行中, 如果存在有二段以上没有移动
指令或存在非指定平面轴的移动指令段, 则可能产生
过切 。 如图 3-45所示, 设刀具开始位置距工件
表面上方 50mm,切削深度为 8mm。 z轴垂直于走刀平
面 （ xy面 ）, 则按下述方法编程, 会产生过切 。
N01 G91 G41 G00 X20.0 Y10.0 H01 ;
N02 Z-48.0 ;
N03 G01 Z-10.0 F200 ;
N04 Y30.0 ;
N05 X30.0 ;
N06 Y-20.0 ;
N07 X-40.0 ;
N08 G00 Z58.0 ;
N09 G40 X-10.0 Y-20.0 ;
N10 M02 ;
图 3-45 过切现象
当 N01段进入刀补建立阶段后, 读入 N02和
N03两个程序段, 这两个程序段是 Z轴进给指令,
不是刀补平面轴的移动指令, 作不出矢量, 确
定不了前进方向 。 尽管用 G41进入到了刀补状
态, 但刀具中心却未加上刀补, 而直接移动到
了程序给定点 A,当在 A点执行完二, 三程序段
后, 再执行 N04段, 刀具中心由 A点移动到 B，
产生了过切 。
（ 2） 在两个运动指令之间有一个位移为零的运
动指令时 。 因为运动为零的程序段没有零件轮
廓信息, 所以刀补时可能产生过切 。
（ 3） 在两个运动指令之间有两个辅助功能程序
段, 也可能造成过切, 假设有如下加工程序：
……
N05 G91 X60.0 ;
N06 M08 ; r
N07 M09 ; A B S
N08 Y-15.0 ;
N09 X40,0 ; C D
…… 图 3-46 过切实例
如图 3-46所示, 当 N05程序段加工 AB轮廓, 同时读入
N06和 N07两段, 因这两段为辅助功能指令, 作不出沿
BC轮廓垂直矢量, 而直接到达 S点, 造成过切现象 。
第三节 进给速度控制原理
一, 为什么要控制进给速度
对于任何一个数控机床来说, 都要求能够对进给
速度进行控制, 它不仅直接影响到加工零件的表面粗
糙度和精度, 而且与刀具和机床的寿命和生产效率密
切相关 。
按照加工工艺的需要, 进给速度的给定一般是将
所需的进给速度用 F代码编入程序 。 对于不同材料的零
件, 需根据切削速度, 切削深度, 表面粗糙度和精度
的要求, 选择合适的进给速度 。
在进给过程中, 还可能发生各种不能确定或没有
意料到的情况, 需要随时改变进给速度, 因此还应有
操作者可以手动调节进给速度的功能 。 数控系统能提
供足够的速度范围和灵活的指定方法 。
另外, 在机床加工过程中, 由于进给状态的变化,
如起动, 升速, 降速和停止, 为了防止产生冲击, 失
步, 超程或振荡等, 保证运动平稳和准确定位, 必须
按一定规律完成升速和降速的过程 。
二, 基准脉冲法进给速度控制和加减速控制
1,速度控制
进给速度控制方法和所采用的插补算法有关 。 基准
脉冲插补多用于以步进电机作为执行元件的开环数控
系统中, 各坐标的进给速度是通过控制向步进电机发
出脉冲的频率来实现的, 所以进给速度处理是根据程
编的进给速度值来确定脉冲源频率的过程 。 进给速度 F
与脉冲源频率 f之间关系为
(3-52)
式中 —为脉冲当量 (mm/脉冲 )；
f—脉冲源频率 (Hz)；
F—进给速度 (mm/min)。
脉冲源频率为
fF ?60＝
? ??60Ff ?
下面介绍程序计时法, 利用调用延时子程序的方法
来实现速度控制 。
根据要求的进给速度 F,求出与之对应的脉冲频率 f，
再计算出两个进给脉冲的时间间隔 （ 插补周
期 ）,
在控制软件中, 只要控制两个脉冲的间隔时间, 就
可以方便地实现速度控制 。 进给脉冲的间隔时间长, 进
给速度慢；反之, 进给速度快 。 这一间隔时间, 通常由
插补运算时间 tch和程序计时时间 tj两部分组成,
即, 由于插补运算所需时间一般来说是固
定的, 因此只要改变程序计时时间就可控制进给速度的
快慢 。 程序计时时间 （ 每次插补运算后的等待时间 ）,
可用空运转循环来实现 。 用 CPU执行延时子程序的方法控
制空运转循环时间, 延时子程序的循环次数少, 空运转
等待时间短, 进给脉冲间隔时间短, 速度就快；延时子
程序的循环次数多, 空运转等待时间长, 进给脉冲间隔
时间长, 速度就慢 。
fT 1?
jch ttT ＋＝
例 3-5 已知系统脉冲当量 δ＝ 0.01mm/脉冲, 进给速度 F＝
300mm/min,插补运算时间 tch＝ 0.1ms,延时子程序延
时时间为 ty＝ 0.1ms,求延时子程序循环次数 。
脉冲源频率
插补周期
程序计时时间 tj＝ T－ tch＝ 1.9(ms)
循环次数 n=tj/ty＝ 19
程序计时法比较简单, 但占用 CPU时间较长, 适合于较
简单的控制过程 。
)1(500601.060 30060 sFf ????? ?
)(2)(002.01 mssfT ???
2,加减速控制
因为步进电机的启动频率比它的最高运行频率低得多,
为了减少定位时间, 通过加速使电机在接近最高的速
度运行 。 随着目标位置的接近, 为使电机平稳的停止,
再使频率降下来 。 因此步进电机开环控制系统过程中,
运行速度都需要有一个加速 -恒速 -减速 -低恒速 -停止的
过程, 如图 3-47所示 。
图 3-47速度曲线
频率
FK 0
A
时间或距离
FK
FK 1
B
C
x
加速 减速
恒速
低速
O
三, 数据采样法进给速度控制和加减速控制
1,速度控制
数据采样插补方式多用于以直流电机或交流电机作为执
行元件的闭环和半闭环数控系统中, 速度计算的任务
是确定一个插补周期的轮廓步长, 即一个插补周期 T内
的位移量 。
式中 F—程编给出的合成进给速度 （ mm/min） ；
T—插补周期 （ ms） ；
ΔL—每个插补周期小直线段的长度 （ μm） 。
以上给出的是稳定状态下的进给速度处理关系 。 当机床
起动, 停止或加工过程中改变进给速度时, 系统应自
动进行加减速处理 。
FTL 601??
2,加减速控制
自动加减速处理可按常用的指数加减速或直线加减速规
律进行 。 加减速控制多数采用软件来实现 。
V(t) V(t)
Vc A B
t1 t2
O 加速 匀速 减速 t O 加速 匀速 减速 C t
图 3-48 指数加减速 图 3-49 直线加减速
指数加减速控制的目的是将起动或停止时的速度突变变
成随时间按指数规律加速或减速, 如图 3-48所示 。 指
数加减速的速度与时间的关系为
加速时 (3-53)
式中 —时间常数；
Vc—稳定速度 。
匀速时 (3-54)
减速时 (3-55)
直线加减速控制算法使机床在起动和停止时, 速度沿一
定斜率的直线上升或下降, 如图 3-49所示, 速度变化
曲线是 OABC。
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
t
c eVtV 1)(
cVtV ?)(
?
t
c eVtV
??)(
进行加减速控制, 首先要计算出稳定速度和瞬时速度 。
所谓稳定速度, 就是系统处于稳定进给状态时, 每插
补一次 （ 一个插补周期 ） 的进给量 。 在数据采样系统
中, 零件程序段中速度命令 （ 或快速进给 ） 的 F值
（ mm/min）, 需要转换成每个插补周期的进给量 。 另
外为了调速方便, 设置了快速和切削进给二种倍率开
关, 一般 CNC系统允许通过操作面板上进给速度倍率
修调旋钮, 进行进给速度倍率修调 。
稳定速度的计算公式如下：
(3-56)
式中 Vw—稳定速度 （ mm/插补周期 ） ;
T—插补周期 （ ms） ；
F—程编指令速度 （ mm/min） ；
K—速度系数, 调节范围在 0~200%之间, 它包括快速
倍率, 切削进给倍率等 。
1 0 0 060 ??
T K FV
w
稳定速度计算完之后, 进行速度限制检查, 如果稳
定速度超过由参数设定的最高速度, 则取限制的最高
速度为稳定速度 。
所谓瞬时速度 Vi,即系统在每一瞬时, 每个插补周期
的进给量 。 当系统处于稳定进给状态时, Vi＝ Vw；当
系统处于加速状态时, Vi<Vw；当系统处于减速状态时
Vi>Vw。
现以直线加减速说明其计算方法 。
线性加减速的加速度可按下式计算
(3-57)
式中 F—进给速度 （ mm/min） ；
t—加速时间 （ ms） ；
—加速度 （ mm/(ms)2） 。
t
Fa 51067.1 ???
a
加速时, 系统每插补一次都要进行稳定速度, 瞬时速度
和加速处理 。 当上一个插补周期瞬时进给速度 Vi小于
当前稳定速度 Vw时, 则要加速, 每加速一次, 瞬时速
度为
(3-58)
新的瞬时速度 Vi+1参加插补计算, 对各坐标轴进行分配 。
当上一个插补周期瞬时进给速度 Vi大于当前稳定速度 Vw时,
则要减速 。 减速时, 首先计算出减速区域长度 S,当稳
定速度 Vw和设定的加速度确定后, S可由下式求得
(3-59)
aTVV ii ??? 1
2
2
2 aT
VS w?
减速时, 系统每进行一次插补计算, 都要进行终点判别,
计算出离开终点的瞬时距离 Si。 若本程序段要减速, 且
Si≤S,开始减速处理 。 每减速一次, 瞬时速度为
(3-60)
新的瞬时速度 Vi+1参加插补运算, 对各坐标轴进行分配 。
一直减速到新的稳定速度或减到零 。 若要提前一段距
离开始减速, 将提前量 ΔS作为参数预先设置好, 由下
式计算
(3-61)
aTVV ii ??? 1
S
aT
VS w ??
2
2
2
＝
在每次插补结束后, 系统都要根据求出的各轴的插补进
给量, 来计算刀具中心离开本程序段终点的距离 Si,然
后进行终点判别 。
直线插补时 Si的计算应用公式
(3-62)
计算其各坐标分量值, 取其长轴 （ 如 X轴 ）, 则瞬时点 A
离终点 E距离 Si为
(3-63)
式中 —X轴 （ 长轴 ） 与直线的夹角, 见图 3-50所示 。
YYY
XXX
ii
ii
???
???
?
?
1
1
?c o s
1???
iei XXS
?
y
E(Xe,Ye)
Ye
A(Xi,Yi) α
Yi
O Xi Xe x
图 3-50 直线插补终点判别
圆弧插补时 Si的计算分圆弧所对应圆心角小于 π和
大于 π两种情况 。 小于 π时, 瞬时点离圆弧终点
的直线距离越来越小, 如图 3-51a所示 。 A（ Xi，
Yi） 为顺圆插补上某一瞬时点, B（ Xb,Yb） 为
圆弧的终点； AP为 A点在 X方向上离终点的距
离, ； PB为 A在 Y方向离终点的
距离, ； AB=Si。 以 PB为基准 。
则 A点离终点的距离为
(3-64)
ib XXAP －＝
ib YYPB ??
?? c o s
1
c o s
1 ?????
ibi YYPBS
y y
A(Xi,Yi) A
P C
D
O x O x
α
α
B(Xb,Yb) B
a)
圆心角小于 π b) 圆心角大于 π
图 3-51 圆弧插补终点判别
大于 π时, 设 A点为圆弧 AB的起点, C点为离
终点的弧长所对应的圆心角等于 π时的分界点,
D点为插补到离终点的弧长所对应的圆心角小
于 π的某一瞬时点, 如图 3-51b所示 。 显然, 此
时瞬时点离圆弧终点的距离 Si的变化规律是,
当从圆弧起点 A开始, 插补到 C点时, Si越来越
大, 直到 Si等于直径；当插补越过分界点 C后,
Si越来越小, 与图 3-51a的情况相同 。 为此, 计
算 Si时首先判别 Si的变化趋势 。 Si若变大, 则不
进行终点判别处理, 直到越过分界点；若 Si变
小, 再进行终点判别处理 。
返回课件首页返回本章首页
