第13章 矩阵位移法  学习目的和要求  　 　 矩阵位移法是以计算机为计算工具的现代化结构分析方法。基于该法的结构分析程序在结构设计中得到了广泛的应用。因此，以计算机进行结构分析是本章的学习目的。 矩阵位移法是以位移法为理论基础，以矩阵为表现形式，以计算机为为运算工具的综合分析方法。引入矩阵运算的目的是式计算过程程序化，便于计算机自动化处理尽管矩阵位移法运算模式呆板，过程繁杂，但这些正是计算机所需要的和十分容易解决的。矩阵位移法的特点是用“机算”代替“手算”。因此，学习本章是既要了解它与位移法的共同点，更要了解它的一些新手法和新思想。 本章的基本要求： 矩阵位移法包含两个基本环节：单元分析和整体分析。 在单元分析中，熟练掌握单元刚度矩阵和单元等效荷载的概念和形成。熟练掌握已知结点位移求单元杆端力的计算方法。 在整体分析中，熟练掌握结构整体刚度矩阵元素的物理意义和集成过程，熟练掌握结构综合结点荷载的集成过程。掌握单元 ????? 定位向量的建立，支撑条件的处理。 自由式单元的单元刚度矩阵不要求背记，但要领会其物理意义，并会有它推出特殊单元的单元刚度矩阵。   学习内容  　 　 有限单元法的基本概念，结构离散化。 平面杆系结构的单元分析：局部坐标系下的单元刚度矩阵和整体坐标系下的单元刚度矩阵。 平面杆系结构的整体分析：结构整体刚度矩阵和结构整体刚度方程。 边界条件的处理，单元内力计算。 矩阵位移法的计算步骤和应用举例。  §13.1? 矩阵位移法概述 ? 1、矩阵位移法的基本思路???????????????  　 矩阵位移法是以位移法作为理论基础，以矩阵作为数学表达形式，以电子计算机作为计算工具三位一体的分析方法。引入矩阵运算，使得公式排列紧凑，运算形式统一，便于计算过程程序化，适宜于计算机进行自动化处理。 矩阵位移法包含两个基本环节：单元分析和整体分析。 先将结构离散成有限个单元，按照单元的力学性质（物理关系），建立单元刚度方程，形成单元刚度矩阵；然后在满足变形条件和平衡条件的前提下，将这些单元集合成整体，即由单元刚度矩阵集成整体刚度矩阵，建立结构的位移法基本方程，进而求出结构的位移和内力。这样，在一撤一搭的过程中，使一个复杂结构的计算问题转化为有限个简单单元的分析与集成问题。  2、单元划分???????  　 在杆件结构矩阵分析中，一般是把杆件的转折点、汇交点、边界点、突变点或集中荷载作用点等列为结点，结点之间的杆件部分作为单元。如图1（a）所示。为了减少基本未知量的数目，跨间集中荷载作用点可不作为结点，但要计算跨间荷载的等效结点荷载；跨间结点也可不作为结点（如图1（b）所示），但要推导相应的单元刚度矩阵，编程序麻烦。 　   §13.2? 单元分析——局部坐标系下 单元分析的目的是建立单元刚度方程，形成单元刚度矩阵。 1、坐标系的选择: 在矩阵位移法中采用两种坐标系：局部坐标系和整体坐标系。 采用局部坐标系（以杆的轴线作为轴如图2），可直接由虎克定律、转角位移方程得到单元刚度方程，导出的单元刚度矩阵具有最简单的形式。 在局部坐标系中，杆端力及杆端位移的正方向如图2所示。单元刚度方程可表示为：?? ???????? 其中单元的杆端力列阵和杆端位移列阵为：??  ??????    2、局部坐标系中的单元刚度矩阵： 单元刚度矩阵为： （例子112） 3、单元刚度矩阵的特性?? （1）单元刚度系数的意义： 单刚中的每个元素称为单元刚度系数，代表由于单位杆端位移引起的杆端力。 如第i行第j列元素代表当第j个杆端位移分量=1（其它位移分量为零）时引起的第i个杆端力分量的值。 单刚中第j列元素代表当第j个杆端位移分量=1（其它位移分量为零）时引起的六个杆端力分量的值。 由图10-4可见，产生的单元变形及单元的杆端力与 产生的单元变形及单元的杆端力相同。 由此得到：单元刚度矩阵的第二列元素变符号即第五列元素，第一列元素变符号即第四列元素。第三列元素不变符号即第六列元素，但要注意 , 。由于单元刚度矩阵是对称矩阵，所以，各行元素之间也具有类似的关系。 （2）单元刚度矩阵是对称矩阵：由反力互等定理可知，单元刚度矩阵是对称矩阵。 （3）一般单元的单元刚度矩阵是奇异矩阵，不存在逆阵。因此上，由单元刚度方程，如已知杆端位移可求出杆端力，且是唯一解。但如已知杆端力，则求不出杆端位移，杆端位移可能无解，可能无唯一解。 （4）可按杆端将单元刚度方程写成分块形式： 4、特殊单元的单元刚度矩阵? 忽略轴向变形时梁单元在局部坐标系中的单元刚度矩阵。    连续梁单元的单元刚度矩阵。 桁架单元在局部坐标系中的单元刚度矩阵。 （刘老师：下边的 图都不好了） §13.3? 单元分析——整体坐标系下 选局部坐标系推导单元刚度矩阵方便且单元刚度矩阵的形式简单。但是，在一个复杂的结构中，各单元的局部坐标系不尽相同，很不统一。为了进行整体分析，必须选一个统一的坐标系（称为整体坐标系)。按这个统一的坐标系来建立各 单元的刚度矩阵。  1、单元坐标转换矩阵：??（例子113）???????  　 整体坐标系如图1中的oxy坐标系。 两种坐标系中单元的杆端力和杆端位移转换关系：  其中[T]称为单元坐标转换矩阵  单元坐标转换矩阵[T]是正交矩阵， 　   2、整体坐标系中的单元刚度矩阵：?（例子114）??????  　  　 整体坐标系中的单元刚度矩阵的特性： 整体坐标系中的单元刚度矩阵与局部坐标系中的单元刚度矩阵有类似的特性。 另外还有，局部坐标系中的单元刚度矩阵 ，只与单元的几何形状、物理常数有关，而与单元的位置和方位无关。整体坐标系中的单元刚度矩阵，与单元的几何形状、物理常数及单元的方位无有关   §13.4? 连续梁整体分析 整体分析的目的是建立整体刚度方程，导出整体刚度矩阵。具体作法有两种：一种是传统位移法，另一种是单元集成法（即刚度集成法或直接刚度法）。下面以连续梁为例，用传统位移法建立整体刚度方程，进而总结出单元集成法。 1、 连续梁的整体刚度矩阵：（例子115） 整体刚度方程是整体结构的结点力与结点位移之间的关系式，是通过考虑结构的变形连续条件和平衡条件建立起来的。如右图结构有： ?????  任何结构的整体刚度方程都具有统一的形式： ????????????  [K]是整体刚度矩阵，{Δ}结构的结点位移列向量，{F}结构的结点力列向量。 2、整体刚度矩阵的性质 ：? ①[K]中的元素Kij称为整体刚度系数，它表示当第j个结点位移分量Δj=1（其他结点位移分量为零）时所产生的第i个结点力Fi。 ②[K]是对称矩阵，是稀疏带状矩阵。 ③引入支承条件之前是奇异矩阵，引入支承条件之后是非奇异矩阵，存在逆阵。 3、直接刚度法：（例子116） 由变形连续条件知，结点发生单位位移，交与该结点的各单元的杆端也发生单位位移；由刚度系数的物理意义知，单位杆端位移产生的杆端力是单元刚度矩阵中的元素，单位结点位移产生的结点力是整体刚度矩阵中的元素；由平衡条件知交与某结点的各单元杆端力之和等于该结点的相应结点力。故整体刚度矩阵中的元素是由对应的单元刚度矩阵中的元素叠加而成。 ??? 综上所述，直接刚度法是根据单元的结点位移分量的局部码和总码之间的对应关系，由单元刚度矩阵集成结构整体刚度矩阵。 4、单元定位向量 ：? 集成整体刚度矩阵的关键，是确定单元刚度矩阵中的元素在整体刚度矩阵中的位置。 首先要知道单元的结点位移分量的局部码和总码之间的对应关系，即单元定位向量。单元定位向量是单元结点位移总码按局部码顺序排列而成的向量记为{λ}。 下图所示连续梁各单元的这种对应关系及各单元定位向量如下表。 其次，要注意在单元刚度矩阵中，元素按局部码排列，在整体刚度矩阵中，元素按总码排列。所以单元刚度矩阵中的元素在整体刚度矩阵中的定位原则是：将各单元的单刚的行列局部码（i）、（j）换成对应的结点位移总码λi、 λj，按此行列总码 将单刚元素送入总刚。即： 直接刚度法的实施过程如下： ①将[K]置零。 ②将单元定位向量写在单元刚度矩阵的上方和右侧，确定出单元刚度矩阵中的各元素在整体刚度矩阵[K]中的 ? 位置并累加到[K]。 ③对所有单元循环一边，最后得到整体刚度矩阵[K]。 2、单元定位向量 1）结点位移分量的统一编码——总码 平面刚架中的一个结点可能有一个、两个或三个结点位移，在进行结点位移分量编码时，应考虑每个结点的位移情况，对结构的所有结点位移分量进行统一编码。对每个结点的三个位移分量，按照先x轴方向，再y轴方向后转动 方向的顺序依次编码，编完一个结点再编下一个结点。对于已知为零的结点位移分量，其总码均编为0。如图（a）。 2）单元定位向量 图（a）所示各杆轴上的箭头表示各单元局部坐标系的轴的正方向，单元在始末两端的六个位移分量的局部码(1)、(2)、…(6)也是按着先x轴方向，再y轴方向后转动放顺序依次编码的，如图(b)所示。 ????? 单元定位向量仍然是由单元结点位移总码按局部码顺序排列而成的向量。各单元结点位移分量局部 码和总码之间的对应关系及单元定位向量如下表。 单元① 单元②  局部码→总码 单元定位向量 局部码→总码 单元定位向量  (1)→1 (2)→2 (3)→3 (4)→0 (5)→0 (6)→4  (1)→1 (2)→2 (3)→3 (4)→0 (5)→0 (6)→0 　   3、整刚集成过程：与连续梁整体刚度矩阵集成过程相同。（例子117） ①将[K]置零。 ②将单元定位向量写在单元刚度矩阵的上方和右侧，确定出单元刚度矩阵中的各元素在整体刚度矩阵[K]中的位置并累加到[K]。 ③对所有单元循环一边，最后得到整体刚度矩阵[K]。?? 4、铰结点的处理:?（例子118） 给结点位移分量进行统一编码时，考虑铰结点的特点。图11所示结构在铰结点处的两杆端结点应看作半独立的两个结点（C1和 C2）它们的线位移相同，编成同码，角位移不同，编成异码。 §13.6? 等效结点荷载 1、位移法基本方程 ：???  　 1）整体刚度矩阵  ?????? 　 　 　 前面讨论了结构的整体刚度矩阵，建立了整体刚度方程：F}=[K]{Δ} ……（a） 它表示由结点位移{Δ}推算结点力{F}的关系式。它只反映了结构的刚度性质，不涉及结构上的实际荷载。并不是用以分析原结构的位移法方程。  　 2）位移法基本方程  　 　 按位移法计算，就是将原结构分解为如图示位移法基本体系的两种状态：　  　 　   　 　 状态一只有荷载单独作用（结点位移为零）——此时在基本结构中引起的结点约束力，记为{FP }。 状态二只有结点位移单独作用（荷载为零）——此时在基本结构中引起的结点约束力为 ????????????? ……(b) 位移法基本方程是基本体系附加约束中的总反力 ????????????? ??  2、等效结点荷载：?????????????????  　  等效结点荷载定义：    　 　 原荷载可以是非结点荷载，或是结点荷载，或是两者的组合。现将原荷载换成与之等效的结点荷载{P }。 等效的原则是原荷载与等效结点荷载产生相同的结点位移。或说是原荷载与等效结点荷载在位移法基本体系中产生相同的结点约束力{FP}。由此及可得出如下的结论：等效结点荷载为?  位移法基本方程为 ??? 如将刚度方程(a)中的结点力{F}换成等效结点荷载{P }及得到位移法基本方程。  　  将非结点荷载化为等效结点荷载{P} 的具体作法：    　 　 ①求实际荷载产生的单元的固端力向量 ②形成局部坐标系中的单元等效结点荷载： 。 ③形成整体坐标系中的单元等效结点荷载： 。 ④依次将各单元的等效结点荷载{P } 中元素按单元定位向量在整体结构的等效结点荷载{P } 中进行定位累加，最后得到{P } 。 如果结构还作用着直接结点荷载，将结构等效结点荷载与直接结点荷载相累加，即得结构结点荷载列阵。  3、单元最后杆端力：（例子119）?????  　 ????????????   　  4、用矩阵位移法计算平面刚架的步骤如下：（例子120）????  ?????? 1）整理原始数据，进行局部编码和整体编码。 2）形成局部坐标系中的单元刚度矩阵。 3）形成整体坐标系中的单元刚度矩阵。 4）用单元集成法形成整体刚度矩阵[K]。 5）求局部坐标下的单元等效结点荷载和整体坐标系下的单元等效结点荷载。??????????????????????? 6）用单元集成法形成整体结构的等效结点荷载。 7）解方程[K]{Δ}={P}，求出结点位移{Δ}。 8）求各杆的杆端力。