理
工
数
学
实
验理工数学实验
线性代数
基础实验 1 矩阵的基本运算 基础实验 2 矩阵的初等变换
基础实验 3 行列式的运算 基础实验 4 求解方程组
基础实验 5 特征值、特征向量
专题实验 1 工资问题 专题实验 2 动物繁殖问题
专题实验 3 作物育种方案的预测问题
专题实验 4 食谱问题
理
工
数
学
实
验
—— 矩阵的基本运算
线性代数基础实验 1
理工数学实验
理
工
数
学
实
验一、实验内容
矩阵的运算（加法、数乘、乘法、转置、逆）
二、实验目的
熟悉 Mathematica软件中关于矩阵运算的各
种命令
理
工
数
学
实
验三、常用命令
1,MatrixForm[A]
功能,把矩阵 A屏幕输入,
2,Transpose［ A］
功能,乘矩阵 A的转置矩阵,
3,A+B
功能,求矩阵 A与 B的和运算,
4,A-B
功能,求矩阵 A与 B的减运算,
5,K*A
功能,求常数 K乘以矩阵 A．
6,A*B
功能,求矩阵 A与矩阵 B的对应元素相乘,
7,Inverse［ A］
功能,求矩阵 A的 逆 矩阵,
理
工
数
学
实
验四、例子
求：（ 1）屏幕输出 A与 B；（ 2） A的转置 A′ ；
（ 3）求 A+B的值；（ 4）求 A-B的值；（ 5）
求 4A；（ 6）求 A× B；（ 7）求 A-1．
已知矩阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
321
212
113
A
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
101
012
111
B
理
工
数
学
实
验
In[1]:=A={{3,1,1},{2,1,2},{1,2,3}}
MatrixForm[A]
Out[1]:={{3,1,1},{2,1,2},{1,2,3}}
Out[2]//MatrixForm=
简单操作步骤
??
?
?
?
??
?
?
?
321
212
113
In[3]:=B={{1,1,-1},{2,-1,0},{1,0,1}}
MatrixForm[B]
Out[3]:={{1,1,-1},{2,-1,0},{1,0,1}}
Out[4]//MatrixForm=
??
?
?
?
??
?
?
?
?
?
101
012
111
四、例子
理
工
数
学
实
验
In[5]:=Transpose[A]
Out[5]:={{3,2,1},{1,1,2},{1,2,3}}
In[6]:=X={{3,2,1},{1,1,2},{1,2,3}}
MatrixForm[X]
Out[6]:={{3,2,1},{1,1,2},{1,2,3}}
Out[7]//MatrixForm=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
321
211
123
In[8]:=Z=A+B
MatrixForm[Z]
Out[8]:={{4,2,0},{4,0,2},{2,2,4}}
Out[9]//MatrixForm=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
422
204
024
四、例子
理
工
数
学
实
验
In[10]:=W=A-B
MatrixForm[W]
Out[10]={{2,0,2},{0,2,2},{0,2,2}}
Out[11]//MatrixForm=
??
?
?
?
??
?
?
?
220
220
202
In[12]:=K=4
V=K*A
MatrixForm[V]
Out[12]:=4
Out[13]:={{12,4,4},{8,4,8},{4,8,12}}
Out[14]//MatrixForm= ???
?
?
??
?
?
?
1284
848
4412
In[15]:=U=A*B
MatrixForm[U]
Out[15]:={{3,1,-1},{4,-1,0},{1,0,3}
四、例子
理
工
数
学
实
验
Out[16]//MatrixForm=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
301
014
113
In[17]:=P=Inverse[A]
MatrixForm[P]
Out[17]:=
Out[18]//MatrixForm=
}}41,45,43{},1,2,1{},41,41,41{{ ????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
4
1
4
5
4
3
121
4
1
4
1
4
1
Out[20]:= }}
4
3,
2
5,
4
3{},2,2,2{},
4
1,
4
1,
4
3{{ ????
四、例子
理
工
数
学
实
验五、思考与练习
已知矩阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
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???
???
?
?
?
031948
118763
8126542
861741
1647056
1091143
A
?
?
?
?
?
?
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?
?
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?
?
?
?
?
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503642
23725361912
9113281510
55120118
7851697
236421
B
求：（ 1） Ａ＇； （ 2）Ａ -１ ；（３）Ａ *B．
理
工
数
学
实
验
—— 矩阵初等变换
线性代数基础实验 2
理工数学实验
理
工
数
学
实
验一、实验内容
对矩阵作各种变化,初等变换
二、实验目的
1.复习并掌握矩阵初等变换的方法,
2.掌握 Mathematic软件中关于矩阵初等变
换的相关命令．
理
工
数
学
实
验三、常用命令
1,U［［ i,j］］ 或 a［ i,j］
功能：列出 U=Array［ a,{m,n}］ 的第 i行, 第 j列元素,
2,U［［ i］］
功能：列出 U的第 i行的 n个元素,
3,Transpose［ U］ ［［ j］］
功能：列出 U的第 j列的 m个元素,
4,U［［ {i1,i2,2…,ip},{j1,j2,…,jq}］］
功能：由行 {i1,i2,…,ip}和列 {j1,j2,…,jq}组成的矩
阵,
5,U［［ Range［ {i0,i1}］,Range［ {j0,j1}］］
功能：求行从 i0到 i1,列从 j0到 j1组成的子矩阵,
6,MatrixQ［ expr］
功能：判别 expr是否为矩阵, 若是则其值为 True,否
则为 False.
7,Dimension［ expr］
功能：给出矩阵 expr的维数,
理
工
数
学
实
验四、例子
已知一个 3行, 4列的矩阵 U,它的元素为
a(i,j)；
求,(1)给 1行 1列元素赋值 11,1行, 2列
元素赋值 12；
(2)取 U的第 1行元素, 以及 U转置以
后的第 1列元素；
(3)判断 {{x,y,z},{1,2}}是否为矩
阵,
理
工
数
学
实
验
简单操作过程
In［ 1］,=a［ 1,1］ =11（ *给位于矩阵第 1行, 第 1列的元素赋值 *）
In［ 2］,=U［ 1,2］ =12（ *表示给矩阵赋值, 其中 U［［ 1,2］］ 与 a［ 1,2］
表示同一个矩阵元素 ）
In［ 3］,=U［［ 1］］ （ *U的第 1行元素 *）
Out［ 3］,={11,12,a［ 1,3］ }（ *对没有赋值的 a［ 1,3］ 按原样显示 ）
In［ 4］,=Transpose［ U］ ［［ 1］］ （ *U的第 1列元素, Transpost［ U］ 是
U的转置矩阵 *）
Out［ 4］, {11,a［ 2,1］,a{3,1}}
In［ 5］, U［［ {1,3},{2,3}］］ （ *取 U的 1,3行和 2,3列组成于矩阵 *）
Out［ 5］,={{12,a［ 1,3］ },{a［ 3,2］,a［ 3,3］ }}
In［ 8］,=MatrixQ［ {x,y,z},{1,2}］
Out［ 8］,=False（ *同一矩阵中每行元素个数相同）
四、例子
理
工
数
学
实
验五、思考与练习
1．已知矩阵;
3
0
2
150
311
101
??
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?A
(1)求 A的行向量组 a1,a2,a3,以及列向量组 b1,b2,b3,b4
(2)求 A的一，三，五行，二，三，四列交叉点上的元素做出
子矩阵．
2,判断下列向量组是否线性相关
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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1
2
1
1a
?
?
?
?
?
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1
3
0
2a
?
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3
1
2
3a
?
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1
1
1
2a
?
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?
1
1
2
1a
?
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1
3
5
3a
理
工
数
学
实
验
—— 行列式运算
线性代数基础实验 3
理工数学实验
理
工
数
学
实
验一、实验内容
行列式的计算
二、实验目的
1,复习矩阵的行列式的求法, 矩阵初等变
换方法,
2,熟悉 Mathematic软件中关于求一个矩阵
的行列式的命令把矩阵进行初等变换的
理
工
数
学
实
验三、常用命令
1,MatrixForm［ A］
功能：把矩阵 A屏幕输出,
2,Det［ A］
功能：求矩阵 A的行列式,
3,A.B
功能,A左乘以 B或 B右乘以 A.
理
工
数
学
实
验四、例子
的行列式的值,1.求矩阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
??
?
10782
5513
71391
3152
A
2.已知 B=Ａ ′,求Ａ × Ｂ，以及Ｂ × Ａ,
3.利用 Cramer法则求解方程组
?
?
?
?
?
?
?
????
???
????
????
522
963
0674
852
432
421
4321
4321
xxx
xxx
xxxx
xxxx
理
工
数
学
实
验
简单操作过程
1.In[1]:=A={{-2,5,-1,3},{1,-9,13,7},{3,-1,5,-5},{2,8,-7,-10}}
MatrixForm[A]
Out[1]:={{-2,5,-1,3},{1,-9,13,7},{3,-1,5,-5},{2,8,-7,-10}}
Out[2]//MatrixForm=
?
?
?
?
?
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??
?
??
10782
5513
71391
3152
2.In[4],B=Transpose[A]
MatrixForm[B]
Out[4]:={{-2,1,3,2},{5,-9,-1,8},{-1,13,5,-7},{3,7,-5,-10}}
Out[5]//MatrixForm=
?
?
?
?
?
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?
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?
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??
??
??
?
10573
75131
8195
2312
In[3]:=Det[A]
Out[3]:=312
四、例子
理
工
数
学
实
验
In[6]:=X=A.B
MatrixForm[X]
Out[6]:={{39,-39,-31,13},{-39,300,42,-231},
{-31,42,60,13},{13,-231,13,217}}
Out[7]//MatrixForm=
?
?
?
?
?
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?
?
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?
?
?
??
??
2171323113
13604231
2314230039
13313939
In[8]:=Y=B.A
MatrixForm[Y]
Out[8]:={{18,-6,16,-34},{-6,171,-183,-123},
{16,-183,244,133},{-34,-123,133,183}}
Out[9]//MatrixForm=
?
?
?
?
?
?
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?
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?
?
?
??
?
???
??
1 8 31 3 31 2 334
1 3 32 4 41 8 316
1 2 31 8 31 7 16
3416618
四、例子
理
工
数
学
实
验
3.In[10]:=a={{2,1,-5,1},{1,4,-7,6},{1,-3,0,-6},{0,2,-1,2}}
MatrixForm[a]
Det[a]
Out[10]:={{2,1,-5,1},{1,4,-7,6},{1,-3,0,-6},{0,2,-1,2}}
Out[11]//MatrixForm=
?
?
?
?
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?
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??
?
?
2120
6031
6741
1512
Out[12]:=27
In[13],d1={{8,1,-5,1},{0,4,-7,6},{9,-3,0,-6},{-5,2,-1,2}}
MatrixForm[d1]
Det[d1]
Out[13]:={{8,1,-5,1},{0,4,-7,6},{9,-3,0,-6},{-5,2,-1,2}}
Out[14]//MatrixForm=
?
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?
?
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?
?
??
??
?
?
2125
6039
6740
1518
四、例子
理
工
数
学
实
验
Out[15]:=81
In[16]:=d2={[2,8,-5,1],{1,0,-7,6},{1,9,0,-6},{0,-5,-1,2}}
MatrixForm[d2]
Det[d2]
Out[16]:={{2,8,-5,1},{1,0,-7,6},{1,9,0,-6},{0,-5,-1,2}}
Out[17]//MatrixForm=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
2150
6091
6701
1582
Out[18]:=-108
In[19]:=d3={{2,1,8,1},{1,4,0,6},{1,-3,9,-6},{0,2,-5,2}}
MatrixForm[d3]
Det[d3]
Out[19]:={{2,1,8,1},{1,4,0,6},{1,-3,9,-6},{0,2,-5,2}}
Out[20]//MatrixForm=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
2520
6931
6041
1812
四、例子
理
工
数
学
实
验
Out[21]:=-27
In[22]:=d4={{2,1,-5,8},{1,4,-7,0},{1,-3,0,9},{0,2,-3,-5}}
MatrixForm[d4]
Det[d4]
Out[22]:={{2,1,-5,8},{1,4,-7,0},{1,-3,0,9},{0,2,-3,-5}}
Out[23]//MatrixForm=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
5320
9031
0741
8512
Out[24]:=41
In[25],x1=Det[d1]/Det[a]
Out[25]:=3
In[26]:=x2=Det[d2]/Det[a]
Out[26]:=-4
In[27]:=x3=Det[d3]/Det[a]
Out[27]:=-1
In[28]:=x4=Det[d4]/Det[a]
Out[28]:=
2741
四、例子
理
工
数
学
实
验五、思考与练习
2.利用克莱姆法则求解下列线性方程组
1,求行列式 (共 10阶 )的值
??
????
????
?
?
?
1000
001
000
?
??????
?
?
(1)
?
?
?
?
??
?
?
?
??????
?????
?????
?????
??????
332
222434
323
82432
1422
54321
54321
54321
54221
53321
xxxxx
xxxxx
xxxxx
xxxxx
xxxxx
(2)
?
?
?
?
??
?
?
?
??
???
???
???
??
15
065
065
065
165
54
543
432
321
21
xx
xxx
xxx
xxx
xx
理
工
数
学
实
验
2.已知,
验证：｜Ａ × Ｂ｜ =｜Ａ｜ × ｜Ｂ｜,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
876
174
114
A
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
614
475
914
B
五、思考与练习
理
工
数
学
实
验
—— 求解方程组
线性代数基础实验 4
理工数学实验
理
工
数
学
实
验一、实验内容
求 AX=B的通解
二、实验目的
通过本实验,使学生认识到虽然在, 线性代
数, 中求 AX=B 的通解比较繁, 但在
Mathematica软件中却是比较简单的,
理
工
数
学
实
验三、常用命令
(1) RowReduce［ A］
功能：作行的线性组合化简 A,A为 m行, n
列矩阵,
(2) Linearsolve［ A,B］
功能：计算满足 AX=B的一个解, A为方阵,
(3) Nullspace［ A］
功能：计算方程组 AX=0的基础解系的向量
表, A为方阵,
理
工
数
学
实
验四、例子
1,已知 计算 A的秩, 并计算 AX=0的基础解系,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
3123
3113
1101
1111
A
2,解方程组
??
?
?
?
????
????
????
6895
4433
13
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
理
工
数
学
实
验
简单操作过程
1.In[1]:=A={{1,1,1,1},{1,0,-1,1},{3,1,-1,3},{3,2,1,3}}；
In[2]:=RowReduce[A]
Out[2]:={{1,0,-1,1},{0,1,2,0},{0,0,0,0},{0,0,0,0}}
（ *显然, A的秩是 2*）
In[3]:=NullSpace[A]
Out[3]:={{-1,0,0,1},{1,-2,1,0}（ *A的两个线性无关解 *）
2.In[4]:=M={{1,-3,-1,1},{3,-1,-3,4},{1,5,-9,-8}}；
In[5]:=B={1,4,6}；
In[6]:=LinearSolve[M.B]
Out[6]:= （ *方程组 MX=B的一个特解 *）
In[7]:=NullSpace[M]
Out[7]:= （ *解向量组成一个矩阵, M只有一个解 *）
}0,21,81,87{ ?
}}11,45,81,821{{ ???
四、例子
理
工
数
学
实
验
In[8]:=x=c%[[1]]+%% （ *x为 MX=B的全部解 *）
Out[8]:= （ *c为任意实数 *） },
4
5
2
1,
88
1
8
21
8
7{ cccc ????
四、例子
理
工
数
学
实
验五、思考与练习
1.求下列矩阵的秩,
(1)
（ 2）
??
?
?
?
??
?
?
?
??
??
?
?
25341
43123
11112
A
??
?
?
?
??
?
?
?
??
?
??
?
18951
34113
14311
B
2.解下列线性方程组,
(1)
（ 2）
??
?
?
?
??
?
?
?
?
??
?
5121
1121
1121
?
?
?
?
?
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?
?
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??
?
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?
?
?
?
?
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5
5
1
4
3
2
1
x
x
x
x
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
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???
1111
1452
1214
2121
?
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?
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?
?
?
?
?
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?
3/1
0
3
2
4
3
2
1
x
x
x
x
理
工
数
学
实
验
—— 特征值, 特征向量
线性代数基础实验 5
理工数学实验
理
工
数
学
实
验一、实验内容
计算已知矩阵的特征值和属于每一个特征值
的特征向量
二、实验目的
1.复习线代中的特征值与特征向量的求法,
2.比较 Mathematic软件与普通方法的异同
之处,
理
工
数
学
实
验三、常用命令
(1) Eigenvalues［ A］
功能：求矩阵 A的特征值表,
(2) Eigenvectors［ A］
功能：求矩阵 A的特征向量表,
(3) Eigensystem［ A］
功能：求 A的所有特征值, 特征向量组成的表,
理
工
数
学
实
验四、例子
已知矩阵,
求 (1)矩阵 A的特征值表；
(2)求矩阵 A的特征向量表；
(3)求 A的所有特征值，特征向量组成的表,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
240
121
121
A
理
工
数
学
实
验
简单操作过程
1.In[1]:=A={{1,2,1},{0,4,2}}；
In[2]:=A=Eigenvalues[A]
Out[2]:={0,2,3}
2.In[3]:=Eigenvectors[A]
Out[3]:={{0,-1,2},{1,0,1},{3,1,4}
3.In[4]:=Eigensystem[A]
Out[4]:={{0,2,3},{{0,-1,2},{1,0,1},{3,1,4}}}
四、例子
理
工
数
学
实
验五、思考与练习
求出下列矩阵的全部特征值与特征向量,
1.
??
?
??
?
?? 0
0
a
aA
2.
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
001
010
100
B
3,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
1111
1111
1111
1111
C
理
工
数
学
实
验
—— 工资问题
线性代数专题实验 1
理工数学实验
理
工
数
学
实
验一、实验内容
现有一个木工, 一个电工和一个油漆工, 三人相互同意彼此装修他们自
己的房子, 在装修之前, 他们达成了如下协议,（ 1） 每人总共工作 10
天 （ 包括给自己家干活在内 ） ； （ 2） 每人的日工资根据一般的市价
60~80元之间； （ 3） 每人的日工资数应使得每人的总收入与总支出相
等, 表 1是他们协商后制定出的工作天数的分配方案, 如何计算出他们
每人应得的工资？
表 1
工种
天数
木工 电工 油漆工
在木工家的工作天数 2 1 6
在电工家的工作天数 4 5 1
在油漆工家的工作天数 4 4 3
理
工
数
学
实
验二、实验目的
从实际问题出发, 建立线性代数方程组, 应用求齐次方程组
通解方法, 寻求符合实际情况的答案,
三、预备知识
线性代数方程组理论，齐次方程组有非零解的条件及基础解
系求解的方法．
理
工
数
学
实
验四、实验内容与要求
1,建立线性代数方程组描述问题, 以 x1表示木工的
日工资； x2表示电工的日工资； x3表示油漆工的日工
资, 根据协议中每人总支出与总收入相等的原则, 分
别考虑木工, 电工及油漆工的总收入和总支出, 木工
的日工资为 x1,则木工的 10个工作日总收入为 10x1，
而木工, 电工及油漆工三人在木工家工作的天数分别
为,2 天, 1 天, 6 天, 则木工的总支出为
2x1+x2+6x3,于是木工的收支平衡关系可描述为：
2x1+x2+6x3=10x1,依照上面木工收支平衡关系建立的
过程, 试建立描述电工, 油漆工各自的收支平衡关系
的另外两个等式, 以补充完善成描述实际问题的三个
方程的方程组,
理
工
数
学
实
验
2,整理描述收支平衡关系的三个等式为三元一次齐次线性方程组,
写出齐次方程组的系数矩阵如下：
??
?
?
?
??
?
?
?
?
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
3,在 Matlab环境下输入 A,键入
其中 aij为矩阵 A的元素具体数据, 利用 RowReduce[A]求解线性方程组的解,
? ?333231232221131211 ;; aaaaaaaaaA ?
，
四、实验内容与要求
4,若你所填写上面 A的的第一行第三列元素数据为 a13,第二行第三列元
素为 a23根据齐次方程组基础解系的理论, 在 （ 2） 中的列出齐次方程组的
通解可以表示为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
23
13
3
2
1
a
a
k
x
x
x
X
其中 k为任意实数
最后，请你选择适当的 k以确定木工、电工及油漆工每人每天的日工
资 60~80元．
理
工
数
学
实
验五、练习内容
考虑有一个木工, 一个电工, 一个油漆工, 以及一个
装修工四人相互同意彼此装修他们自己的房子, 在装
修之前, 他们约定每人总共工作 13天 （ 包括给自己家
干活在内 ） ；每人的日工资根据一般的市价不超过 100
元；每人的日工资数应使得每人的总收入与总支出相
等, 请为他们制定出一张工作天数的分配方案表, 并
根据分配方案表确定他们的日工资,
理
工
数
学
实
验
—— 动物繁殖问题
线性代数专题实验 2
理工数学实验
理
工
数
学
实
验一、实验内容
某农场饲养的某种动物所能达到的最大年龄为 15岁, 将
其分成三个年龄组：第一组, 0~5岁；第二组, 6~10岁；第
三组, 11~15岁, 动物从第二年龄组起开始繁殖后代, 经过
长期统计, 第二年龄组的动物在其年龄平均繁殖 4个后代,
第三年龄组的动物在其年龄段平均繁殖 3个后代, 第一年龄
组和第二年龄组的动物能顺利进入下一个年龄组的存活率分
别为 1/2和 1/4,假设农场现有三个年龄段的动物各 1000头,
问 15年后农场三个年龄段的动物各有多少头？
理
工
数
学
实
验二、实验目的
巩固线性代数的有关知识, 培养学生用矩阵知识解
决实际问题的能力,
三、预备知识
线性代数的矩阵知识．
理
工
数
学
实
验四、实验内容与要求
1.建立动物各年龄段数量预测模型,
2.利用所建模型, 用数学软件计算 15年后各年龄段动
物数量,
理
工
数
学
实
验
1.研究本问题中当时间无限长时各年龄段动物数量比
例的极限状况,
2.将此模型推广到研究关于年龄分布的人口预测模
型,
五, 思考问题
理
工
数
学
实
验
—— 作物育种方案的预测问题
线性代数专题实验 3
理工数学实验
理
工
数
学
实
验一、实验内容
假定一个植物园要培育一片作物, 它由三种可能基因型 AA,Aa及 aa的某
种分布组成, 植物园的管理者要求采用的育种方案是：子代总体中的每
种作物总是用基因型 AA的作物来授粉, 子代的基因型的分布如表 1,问：
在任何一个子代总体中三种可能基因型的分布表达式如何表示？
表 1
亲代的基因型
ＡＡ－ＡＡ ＡＡ－Ａａ ＡＡ－ａａ Ａａ－Ａａ Ａａ－ａａ ａａ－ａａ
子代
的基
因型
ＡＡ １ １／２ ０ １／４ ０ ０
Ａａ ０ １／２ １ １／２ １／２ ０
ａａ ０ ０ ０ １／４ １／２ １
理
工
数
学
实
验二、实验目的
通过本实验进一步巩固, 线性代数, 中关于矩阵特征值, 特征向量
及矩阵对角化的知识, 培养学生把实际问题转化为数学问题来求解的能
力, 三、预备知识
1.特征值, 特征向量的概述,
2.特征值, 特征向量的解法,
3.生物遗传规律,
若亲代的基因型为 AA,Aa及 aa（ 其中 A为显性基因, a为隐性基因 ）
,而产生子代时, 都用 AA型亲代去配对, 则子代的基因型就有如下分布：
AA与 AA配对, 子代中只有 AA型
AA与 Aa配对, 子代中有 AA,Aa两种基因型, 且出现的概率都为 1/2
AA与 aa配对, 子代中只有 Aa型
4.在实际计算中, 我们采用数值计算方法, 这类计算方法有很多,
如幂法, 雅可比方法等, Mathmatica软件提供了现成的软件包：
函数 Eigenvalues[A]该函数的结果为矩阵 A的特征值组成的表,
函数 Eigenvectors[A]该函数的结果为矩阵 A的特征向量组成的表,
理
工
数
学
实
验四、实验内容与要求
1.建立第 n代基因型的分布表达式,
本实验是利用遗传规律及所给的表, 写出第 n代和第 n— 1
代的基因关系, 然后通过矩阵知识, 找到第 n代基因型与
初始基因型的直接关系, 最后由初始基因型求第 n代基因
型的分布表达式,
不妨令 an,bn,cn分别表示在第 n代中 AA,Aa,aa基因作物
所占的分数； a0,b0,c0表示对应基因型的初始分布, 则
有
理
工
数
学
实
验四、实验内容与要求
由上递推式可求出 an,bn,cn与 a0,b0,c0的关系．
2.利用矩阵的特征值, 特征向量的知识,
3.编写 Mathematica程序,
?
?
?
?
??
?
?
?
?
??
??
??
??
0
2
1
2
1
11
11
n
nnn
nnn
c
bcb
baa
理
工
数
学
实
验
假设一片作物是由 AA,Aa及 aa基因型的某种分布组成，
且作物总体中每种作物不是全部都用基因型 AA授粉，而
是用每种作物自身的基因型来授粉．求任何一个后代总
体中三种可能基因型的分布表达式．
五, 思考问题
理
工
数
学
实
验
—— 食谱问题
线性代数专题实验 4
理工数学实验
理
工
数
学
实
验一、实验内容
某公司饲养实验用的动物以供出售, 已知这些动物的生
长对饲料中三种营养成分：蛋白质, 矿物质, 维生素特别敏
感, 每个动物每天至少需要蛋白质 70g,矿物质 3g,维生维
10mg,该公司能买到 5种不同的饲料, 每种饲料 1kg所含营养
成分如表 1所示, 每种饲料 1kg的成本如表 2所示 。 求既能
满足动物生长需要, 又使总成本最低的饲料配方 。
理
工
数
学
实
验
表 2 五种饲料单位重量 (1kg)成本
饲料 A1 A2 A3 A4 A5
成本（元） ０．２ ０．７ ０．４ ０．３ ０．５
表 1 五种饲料单位重量 (1kg)所含营养成分
饲料 蛋白质 (g) 矿物质 (g) 维生素 (mg)
A1 ０．３０ ０．１０ ０．０５
A2 ２．００ ０．０５ ０．１０
A3 １．００ ０．０２ ０．０２
A4 ０．６０ ０．２０ ０．２０
A5 １．８０ ０．０５ ０．０８
一、实验内容
理
工
数
学
实
验二、问题分析
模型评述
设有 n种食物, 每种食物中含有 m种营养成分,用 aij表示一个单位的第 j种食
物中含有第 i种营养的数量, 用 bi表示每人每天对第 i种营养的最低需求量, cj表
示第 j种食品的单价, xj表示所用的第 j种食品的数量, 一方面满足 m种营养成分
的需要同时使事物的总成本最低,
一般的食谱问题的线性规划模型为
??? nj jj xcf 1m in
??
?
?
?
??
???
?
njx
mibxa
ts
j
n
j
ijij
,,2,1,0
,,2,1,
.,1
?
?
)5,4,3,2,1( ?jx j设 表示混合饲料中所含的第种饲料的数量,由于提供的蛋白质总数必须满足每天的最低需求量 70g,故应有
7080.160.000.100.230.0 54321 ????? xxxxx
理
工
数
学
实
验二、问题分析
同理, 考虑矿物质和维生素的需要, 应有
305.020.002.005.010.0 54321 ????? xxxxx
1008.020.002.010.005.0 54321 ????? xxxxx
f混合饲料成本的目标函数 为
54321 5.03.04.07.02.0 xxxxxf ?????
决策变量 非负, jx
由于希望调配出来的混合饲料成本最低, 所以该饲料配比问题是一个线性规划模
型：
54321 5.03.04.07.02.0m i n xxxxxf ?????
?
?
?
?
?
?
?
??
?????
?????
?????
5,2,1,0
1008.020.002.010.005.0
305.020.002.005.010.0
7080.160.000.100.230.0
..
54321
54321
54321
?jx
xxxxx
xxxxx
xxxxx
ts
j
理
工
数
学
实
验三、问题解答
In[1]:=c={0.2,0.7,0.4,0.3,0.5}
A={{0.30,2.00,1.00,0.60,1.80},
{0.10,0.05,0.02,0.20,0.05},
{0.05,0.10,0.02,0.20,0.08}};
b={70,3,10};
result=LinearProgramming[c,A,b]
f=c.result
Out[4]:={0,0,0,39.7436,25.641}
Out[5]:=24.7436
或
In[1]:=ConstrainedMin[0.2x1+0.7x2+0.4x3+0.3x4+0.5x5,
{0.3x1+2.0x2+1.0x3+0.6x4+1.8x5>=70,
0.1x1+0.05x2+0.02x3+0.2x4+0.05x5>=3,
0.05x1+0.1x2+0.02x3+0.2x4+0.08x5>=10},
{x1,x2,x3,x4,x5}]
Out[1]:={24.7436,{x1?0,x2?0,x3?0,X4?39.7436,x5?25.641}}
理
工
数
学
实
验四、结果分析
可以看出, 用两个不同函数 LinearProgramming 和
ConstrainedMin求得相同的解, 即：该公司可分别购买第四
种饲料 39.74(kg)和第五种饲料 25.64(kg)配成混合饲料；所耗
成本 24.74(元 )为满足营养条件下的最低成本,
理
工
数
学
实
验五, 思考问题
某工厂生产四种不同型号的产品, 而每件产品的生产要经过三个车间
的加工, 根据该厂现有设备和劳动力等生产条件, 可以确定各车间每日
的生产能力 (我们把它们折合成有效工时数来表示 ).各车间每日可利用的有
效工时数, 每个产品在各车间加工时所花费的工时数以及每件产品可获
得的利润见表 3问每种产品每季度各应该生产多少, 才能使这个工厂每季
度生产总值最大?
表 3
车间 每件产品所需的加工工时 有效工时 (h/d)
1＃ 2＃ 3＃ 4＃
I ０．８ ０．８ １．１ １．２ １６０
II ０．６ ０．８ ０．７ ０．８ １２０
III ０．４ ０．５ ０．７ ０．７ １００
利润 (元 /件 ) ６ ８ ９ １０
工
数
学
实
验理工数学实验
线性代数
基础实验 1 矩阵的基本运算 基础实验 2 矩阵的初等变换
基础实验 3 行列式的运算 基础实验 4 求解方程组
基础实验 5 特征值、特征向量
专题实验 1 工资问题 专题实验 2 动物繁殖问题
专题实验 3 作物育种方案的预测问题
专题实验 4 食谱问题
理
工
数
学
实
验
—— 矩阵的基本运算
线性代数基础实验 1
理工数学实验
理
工
数
学
实
验一、实验内容
矩阵的运算（加法、数乘、乘法、转置、逆）
二、实验目的
熟悉 Mathematica软件中关于矩阵运算的各
种命令
理
工
数
学
实
验三、常用命令
1,MatrixForm[A]
功能,把矩阵 A屏幕输入,
2,Transpose［ A］
功能,乘矩阵 A的转置矩阵,
3,A+B
功能,求矩阵 A与 B的和运算,
4,A-B
功能,求矩阵 A与 B的减运算,
5,K*A
功能,求常数 K乘以矩阵 A．
6,A*B
功能,求矩阵 A与矩阵 B的对应元素相乘,
7,Inverse［ A］
功能,求矩阵 A的 逆 矩阵,
理
工
数
学
实
验四、例子
求：（ 1）屏幕输出 A与 B；（ 2） A的转置 A′ ；
（ 3）求 A+B的值；（ 4）求 A-B的值；（ 5）
求 4A；（ 6）求 A× B；（ 7）求 A-1．
已知矩阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
321
212
113
A
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
101
012
111
B
理
工
数
学
实
验
In[1]:=A={{3,1,1},{2,1,2},{1,2,3}}
MatrixForm[A]
Out[1]:={{3,1,1},{2,1,2},{1,2,3}}
Out[2]//MatrixForm=
简单操作步骤
??
?
?
?
??
?
?
?
321
212
113
In[3]:=B={{1,1,-1},{2,-1,0},{1,0,1}}
MatrixForm[B]
Out[3]:={{1,1,-1},{2,-1,0},{1,0,1}}
Out[4]//MatrixForm=
??
?
?
?
??
?
?
?
?
?
101
012
111
四、例子
理
工
数
学
实
验
In[5]:=Transpose[A]
Out[5]:={{3,2,1},{1,1,2},{1,2,3}}
In[6]:=X={{3,2,1},{1,1,2},{1,2,3}}
MatrixForm[X]
Out[6]:={{3,2,1},{1,1,2},{1,2,3}}
Out[7]//MatrixForm=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
321
211
123
In[8]:=Z=A+B
MatrixForm[Z]
Out[8]:={{4,2,0},{4,0,2},{2,2,4}}
Out[9]//MatrixForm=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
422
204
024
四、例子
理
工
数
学
实
验
In[10]:=W=A-B
MatrixForm[W]
Out[10]={{2,0,2},{0,2,2},{0,2,2}}
Out[11]//MatrixForm=
??
?
?
?
??
?
?
?
220
220
202
In[12]:=K=4
V=K*A
MatrixForm[V]
Out[12]:=4
Out[13]:={{12,4,4},{8,4,8},{4,8,12}}
Out[14]//MatrixForm= ???
?
?
??
?
?
?
1284
848
4412
In[15]:=U=A*B
MatrixForm[U]
Out[15]:={{3,1,-1},{4,-1,0},{1,0,3}
四、例子
理
工
数
学
实
验
Out[16]//MatrixForm=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
301
014
113
In[17]:=P=Inverse[A]
MatrixForm[P]
Out[17]:=
Out[18]//MatrixForm=
}}41,45,43{},1,2,1{},41,41,41{{ ????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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??
?
?
4
1
4
5
4
3
121
4
1
4
1
4
1
Out[20]:= }}
4
3,
2
5,
4
3{},2,2,2{},
4
1,
4
1,
4
3{{ ????
四、例子
理
工
数
学
实
验五、思考与练习
已知矩阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
???
?
?
?
031948
118763
8126542
861741
1647056
1091143
A
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
503642
23725361912
9113281510
55120118
7851697
236421
B
求：（ 1） Ａ＇； （ 2）Ａ -１ ；（３）Ａ *B．
理
工
数
学
实
验
—— 矩阵初等变换
线性代数基础实验 2
理工数学实验
理
工
数
学
实
验一、实验内容
对矩阵作各种变化,初等变换
二、实验目的
1.复习并掌握矩阵初等变换的方法,
2.掌握 Mathematic软件中关于矩阵初等变
换的相关命令．
理
工
数
学
实
验三、常用命令
1,U［［ i,j］］ 或 a［ i,j］
功能：列出 U=Array［ a,{m,n}］ 的第 i行, 第 j列元素,
2,U［［ i］］
功能：列出 U的第 i行的 n个元素,
3,Transpose［ U］ ［［ j］］
功能：列出 U的第 j列的 m个元素,
4,U［［ {i1,i2,2…,ip},{j1,j2,…,jq}］］
功能：由行 {i1,i2,…,ip}和列 {j1,j2,…,jq}组成的矩
阵,
5,U［［ Range［ {i0,i1}］,Range［ {j0,j1}］］
功能：求行从 i0到 i1,列从 j0到 j1组成的子矩阵,
6,MatrixQ［ expr］
功能：判别 expr是否为矩阵, 若是则其值为 True,否
则为 False.
7,Dimension［ expr］
功能：给出矩阵 expr的维数,
理
工
数
学
实
验四、例子
已知一个 3行, 4列的矩阵 U,它的元素为
a(i,j)；
求,(1)给 1行 1列元素赋值 11,1行, 2列
元素赋值 12；
(2)取 U的第 1行元素, 以及 U转置以
后的第 1列元素；
(3)判断 {{x,y,z},{1,2}}是否为矩
阵,
理
工
数
学
实
验
简单操作过程
In［ 1］,=a［ 1,1］ =11（ *给位于矩阵第 1行, 第 1列的元素赋值 *）
In［ 2］,=U［ 1,2］ =12（ *表示给矩阵赋值, 其中 U［［ 1,2］］ 与 a［ 1,2］
表示同一个矩阵元素 ）
In［ 3］,=U［［ 1］］ （ *U的第 1行元素 *）
Out［ 3］,={11,12,a［ 1,3］ }（ *对没有赋值的 a［ 1,3］ 按原样显示 ）
In［ 4］,=Transpose［ U］ ［［ 1］］ （ *U的第 1列元素, Transpost［ U］ 是
U的转置矩阵 *）
Out［ 4］, {11,a［ 2,1］,a{3,1}}
In［ 5］, U［［ {1,3},{2,3}］］ （ *取 U的 1,3行和 2,3列组成于矩阵 *）
Out［ 5］,={{12,a［ 1,3］ },{a［ 3,2］,a［ 3,3］ }}
In［ 8］,=MatrixQ［ {x,y,z},{1,2}］
Out［ 8］,=False（ *同一矩阵中每行元素个数相同）
四、例子
理
工
数
学
实
验五、思考与练习
1．已知矩阵;
3
0
2
150
311
101
??
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?A
(1)求 A的行向量组 a1,a2,a3,以及列向量组 b1,b2,b3,b4
(2)求 A的一，三，五行，二，三，四列交叉点上的元素做出
子矩阵．
2,判断下列向量组是否线性相关
?
?
?
?
?
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1
2
1
1a
?
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1
3
0
2a
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3
1
2
3a
?
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1
1
1
2a
?
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1
1
2
1a
?
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1
3
5
3a
理
工
数
学
实
验
—— 行列式运算
线性代数基础实验 3
理工数学实验
理
工
数
学
实
验一、实验内容
行列式的计算
二、实验目的
1,复习矩阵的行列式的求法, 矩阵初等变
换方法,
2,熟悉 Mathematic软件中关于求一个矩阵
的行列式的命令把矩阵进行初等变换的
理
工
数
学
实
验三、常用命令
1,MatrixForm［ A］
功能：把矩阵 A屏幕输出,
2,Det［ A］
功能：求矩阵 A的行列式,
3,A.B
功能,A左乘以 B或 B右乘以 A.
理
工
数
学
实
验四、例子
的行列式的值,1.求矩阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
??
?
10782
5513
71391
3152
A
2.已知 B=Ａ ′,求Ａ × Ｂ，以及Ｂ × Ａ,
3.利用 Cramer法则求解方程组
?
?
?
?
?
?
?
????
???
????
????
522
963
0674
852
432
421
4321
4321
xxx
xxx
xxxx
xxxx
理
工
数
学
实
验
简单操作过程
1.In[1]:=A={{-2,5,-1,3},{1,-9,13,7},{3,-1,5,-5},{2,8,-7,-10}}
MatrixForm[A]
Out[1]:={{-2,5,-1,3},{1,-9,13,7},{3,-1,5,-5},{2,8,-7,-10}}
Out[2]//MatrixForm=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
??
10782
5513
71391
3152
2.In[4],B=Transpose[A]
MatrixForm[B]
Out[4]:={{-2,1,3,2},{5,-9,-1,8},{-1,13,5,-7},{3,7,-5,-10}}
Out[5]//MatrixForm=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
?
10573
75131
8195
2312
In[3]:=Det[A]
Out[3]:=312
四、例子
理
工
数
学
实
验
In[6]:=X=A.B
MatrixForm[X]
Out[6]:={{39,-39,-31,13},{-39,300,42,-231},
{-31,42,60,13},{13,-231,13,217}}
Out[7]//MatrixForm=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
2171323113
13604231
2314230039
13313939
In[8]:=Y=B.A
MatrixForm[Y]
Out[8]:={{18,-6,16,-34},{-6,171,-183,-123},
{16,-183,244,133},{-34,-123,133,183}}
Out[9]//MatrixForm=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
???
??
1 8 31 3 31 2 334
1 3 32 4 41 8 316
1 2 31 8 31 7 16
3416618
四、例子
理
工
数
学
实
验
3.In[10]:=a={{2,1,-5,1},{1,4,-7,6},{1,-3,0,-6},{0,2,-1,2}}
MatrixForm[a]
Det[a]
Out[10]:={{2,1,-5,1},{1,4,-7,6},{1,-3,0,-6},{0,2,-1,2}}
Out[11]//MatrixForm=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
2120
6031
6741
1512
Out[12]:=27
In[13],d1={{8,1,-5,1},{0,4,-7,6},{9,-3,0,-6},{-5,2,-1,2}}
MatrixForm[d1]
Det[d1]
Out[13]:={{8,1,-5,1},{0,4,-7,6},{9,-3,0,-6},{-5,2,-1,2}}
Out[14]//MatrixForm=
?
?
?
?
?
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?
?
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?
?
??
??
?
?
2125
6039
6740
1518
四、例子
理
工
数
学
实
验
Out[15]:=81
In[16]:=d2={[2,8,-5,1],{1,0,-7,6},{1,9,0,-6},{0,-5,-1,2}}
MatrixForm[d2]
Det[d2]
Out[16]:={{2,8,-5,1},{1,0,-7,6},{1,9,0,-6},{0,-5,-1,2}}
Out[17]//MatrixForm=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
2150
6091
6701
1582
Out[18]:=-108
In[19]:=d3={{2,1,8,1},{1,4,0,6},{1,-3,9,-6},{0,2,-5,2}}
MatrixForm[d3]
Det[d3]
Out[19]:={{2,1,8,1},{1,4,0,6},{1,-3,9,-6},{0,2,-5,2}}
Out[20]//MatrixForm=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
2520
6931
6041
1812
四、例子
理
工
数
学
实
验
Out[21]:=-27
In[22]:=d4={{2,1,-5,8},{1,4,-7,0},{1,-3,0,9},{0,2,-3,-5}}
MatrixForm[d4]
Det[d4]
Out[22]:={{2,1,-5,8},{1,4,-7,0},{1,-3,0,9},{0,2,-3,-5}}
Out[23]//MatrixForm=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
5320
9031
0741
8512
Out[24]:=41
In[25],x1=Det[d1]/Det[a]
Out[25]:=3
In[26]:=x2=Det[d2]/Det[a]
Out[26]:=-4
In[27]:=x3=Det[d3]/Det[a]
Out[27]:=-1
In[28]:=x4=Det[d4]/Det[a]
Out[28]:=
2741
四、例子
理
工
数
学
实
验五、思考与练习
2.利用克莱姆法则求解下列线性方程组
1,求行列式 (共 10阶 )的值
??
????
????
?
?
?
1000
001
000
?
??????
?
?
(1)
?
?
?
?
??
?
?
?
??????
?????
?????
?????
??????
332
222434
323
82432
1422
54321
54321
54321
54221
53321
xxxxx
xxxxx
xxxxx
xxxxx
xxxxx
(2)
?
?
?
?
??
?
?
?
??
???
???
???
??
15
065
065
065
165
54
543
432
321
21
xx
xxx
xxx
xxx
xx
理
工
数
学
实
验
2.已知,
验证：｜Ａ × Ｂ｜ =｜Ａ｜ × ｜Ｂ｜,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
876
174
114
A
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
614
475
914
B
五、思考与练习
理
工
数
学
实
验
—— 求解方程组
线性代数基础实验 4
理工数学实验
理
工
数
学
实
验一、实验内容
求 AX=B的通解
二、实验目的
通过本实验,使学生认识到虽然在, 线性代
数, 中求 AX=B 的通解比较繁, 但在
Mathematica软件中却是比较简单的,
理
工
数
学
实
验三、常用命令
(1) RowReduce［ A］
功能：作行的线性组合化简 A,A为 m行, n
列矩阵,
(2) Linearsolve［ A,B］
功能：计算满足 AX=B的一个解, A为方阵,
(3) Nullspace［ A］
功能：计算方程组 AX=0的基础解系的向量
表, A为方阵,
理
工
数
学
实
验四、例子
1,已知 计算 A的秩, 并计算 AX=0的基础解系,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
3123
3113
1101
1111
A
2,解方程组
??
?
?
?
????
????
????
6895
4433
13
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
理
工
数
学
实
验
简单操作过程
1.In[1]:=A={{1,1,1,1},{1,0,-1,1},{3,1,-1,3},{3,2,1,3}}；
In[2]:=RowReduce[A]
Out[2]:={{1,0,-1,1},{0,1,2,0},{0,0,0,0},{0,0,0,0}}
（ *显然, A的秩是 2*）
In[3]:=NullSpace[A]
Out[3]:={{-1,0,0,1},{1,-2,1,0}（ *A的两个线性无关解 *）
2.In[4]:=M={{1,-3,-1,1},{3,-1,-3,4},{1,5,-9,-8}}；
In[5]:=B={1,4,6}；
In[6]:=LinearSolve[M.B]
Out[6]:= （ *方程组 MX=B的一个特解 *）
In[7]:=NullSpace[M]
Out[7]:= （ *解向量组成一个矩阵, M只有一个解 *）
}0,21,81,87{ ?
}}11,45,81,821{{ ???
四、例子
理
工
数
学
实
验
In[8]:=x=c%[[1]]+%% （ *x为 MX=B的全部解 *）
Out[8]:= （ *c为任意实数 *） },
4
5
2
1,
88
1
8
21
8
7{ cccc ????
四、例子
理
工
数
学
实
验五、思考与练习
1.求下列矩阵的秩,
(1)
（ 2）
??
?
?
?
??
?
?
?
??
??
?
?
25341
43123
11112
A
??
?
?
?
??
?
?
?
??
?
??
?
18951
34113
14311
B
2.解下列线性方程组,
(1)
（ 2）
??
?
?
?
??
?
?
?
?
??
?
5121
1121
1121
?
?
?
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?
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?
?
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??
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?
?
?
?
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5
5
1
4
3
2
1
x
x
x
x
?
?
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?
?
?
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?
?
?
?
?
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???
1111
1452
1214
2121
?
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?
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?
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?
?
?
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?
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?
3/1
0
3
2
4
3
2
1
x
x
x
x
理
工
数
学
实
验
—— 特征值, 特征向量
线性代数基础实验 5
理工数学实验
理
工
数
学
实
验一、实验内容
计算已知矩阵的特征值和属于每一个特征值
的特征向量
二、实验目的
1.复习线代中的特征值与特征向量的求法,
2.比较 Mathematic软件与普通方法的异同
之处,
理
工
数
学
实
验三、常用命令
(1) Eigenvalues［ A］
功能：求矩阵 A的特征值表,
(2) Eigenvectors［ A］
功能：求矩阵 A的特征向量表,
(3) Eigensystem［ A］
功能：求 A的所有特征值, 特征向量组成的表,
理
工
数
学
实
验四、例子
已知矩阵,
求 (1)矩阵 A的特征值表；
(2)求矩阵 A的特征向量表；
(3)求 A的所有特征值，特征向量组成的表,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
240
121
121
A
理
工
数
学
实
验
简单操作过程
1.In[1]:=A={{1,2,1},{0,4,2}}；
In[2]:=A=Eigenvalues[A]
Out[2]:={0,2,3}
2.In[3]:=Eigenvectors[A]
Out[3]:={{0,-1,2},{1,0,1},{3,1,4}
3.In[4]:=Eigensystem[A]
Out[4]:={{0,2,3},{{0,-1,2},{1,0,1},{3,1,4}}}
四、例子
理
工
数
学
实
验五、思考与练习
求出下列矩阵的全部特征值与特征向量,
1.
??
?
??
?
?? 0
0
a
aA
2.
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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001
010
100
B
3,
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
1111
1111
1111
1111
C
理
工
数
学
实
验
—— 工资问题
线性代数专题实验 1
理工数学实验
理
工
数
学
实
验一、实验内容
现有一个木工, 一个电工和一个油漆工, 三人相互同意彼此装修他们自
己的房子, 在装修之前, 他们达成了如下协议,（ 1） 每人总共工作 10
天 （ 包括给自己家干活在内 ） ； （ 2） 每人的日工资根据一般的市价
60~80元之间； （ 3） 每人的日工资数应使得每人的总收入与总支出相
等, 表 1是他们协商后制定出的工作天数的分配方案, 如何计算出他们
每人应得的工资？
表 1
工种
天数
木工 电工 油漆工
在木工家的工作天数 2 1 6
在电工家的工作天数 4 5 1
在油漆工家的工作天数 4 4 3
理
工
数
学
实
验二、实验目的
从实际问题出发, 建立线性代数方程组, 应用求齐次方程组
通解方法, 寻求符合实际情况的答案,
三、预备知识
线性代数方程组理论，齐次方程组有非零解的条件及基础解
系求解的方法．
理
工
数
学
实
验四、实验内容与要求
1,建立线性代数方程组描述问题, 以 x1表示木工的
日工资； x2表示电工的日工资； x3表示油漆工的日工
资, 根据协议中每人总支出与总收入相等的原则, 分
别考虑木工, 电工及油漆工的总收入和总支出, 木工
的日工资为 x1,则木工的 10个工作日总收入为 10x1，
而木工, 电工及油漆工三人在木工家工作的天数分别
为,2 天, 1 天, 6 天, 则木工的总支出为
2x1+x2+6x3,于是木工的收支平衡关系可描述为：
2x1+x2+6x3=10x1,依照上面木工收支平衡关系建立的
过程, 试建立描述电工, 油漆工各自的收支平衡关系
的另外两个等式, 以补充完善成描述实际问题的三个
方程的方程组,
理
工
数
学
实
验
2,整理描述收支平衡关系的三个等式为三元一次齐次线性方程组,
写出齐次方程组的系数矩阵如下：
??
?
?
?
??
?
?
?
?
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
3,在 Matlab环境下输入 A,键入
其中 aij为矩阵 A的元素具体数据, 利用 RowReduce[A]求解线性方程组的解,
? ?333231232221131211 ;; aaaaaaaaaA ?
，
四、实验内容与要求
4,若你所填写上面 A的的第一行第三列元素数据为 a13,第二行第三列元
素为 a23根据齐次方程组基础解系的理论, 在 （ 2） 中的列出齐次方程组的
通解可以表示为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
23
13
3
2
1
a
a
k
x
x
x
X
其中 k为任意实数
最后，请你选择适当的 k以确定木工、电工及油漆工每人每天的日工
资 60~80元．
理
工
数
学
实
验五、练习内容
考虑有一个木工, 一个电工, 一个油漆工, 以及一个
装修工四人相互同意彼此装修他们自己的房子, 在装
修之前, 他们约定每人总共工作 13天 （ 包括给自己家
干活在内 ） ；每人的日工资根据一般的市价不超过 100
元；每人的日工资数应使得每人的总收入与总支出相
等, 请为他们制定出一张工作天数的分配方案表, 并
根据分配方案表确定他们的日工资,
理
工
数
学
实
验
—— 动物繁殖问题
线性代数专题实验 2
理工数学实验
理
工
数
学
实
验一、实验内容
某农场饲养的某种动物所能达到的最大年龄为 15岁, 将
其分成三个年龄组：第一组, 0~5岁；第二组, 6~10岁；第
三组, 11~15岁, 动物从第二年龄组起开始繁殖后代, 经过
长期统计, 第二年龄组的动物在其年龄平均繁殖 4个后代,
第三年龄组的动物在其年龄段平均繁殖 3个后代, 第一年龄
组和第二年龄组的动物能顺利进入下一个年龄组的存活率分
别为 1/2和 1/4,假设农场现有三个年龄段的动物各 1000头,
问 15年后农场三个年龄段的动物各有多少头？
理
工
数
学
实
验二、实验目的
巩固线性代数的有关知识, 培养学生用矩阵知识解
决实际问题的能力,
三、预备知识
线性代数的矩阵知识．
理
工
数
学
实
验四、实验内容与要求
1.建立动物各年龄段数量预测模型,
2.利用所建模型, 用数学软件计算 15年后各年龄段动
物数量,
理
工
数
学
实
验
1.研究本问题中当时间无限长时各年龄段动物数量比
例的极限状况,
2.将此模型推广到研究关于年龄分布的人口预测模
型,
五, 思考问题
理
工
数
学
实
验
—— 作物育种方案的预测问题
线性代数专题实验 3
理工数学实验
理
工
数
学
实
验一、实验内容
假定一个植物园要培育一片作物, 它由三种可能基因型 AA,Aa及 aa的某
种分布组成, 植物园的管理者要求采用的育种方案是：子代总体中的每
种作物总是用基因型 AA的作物来授粉, 子代的基因型的分布如表 1,问：
在任何一个子代总体中三种可能基因型的分布表达式如何表示？
表 1
亲代的基因型
ＡＡ－ＡＡ ＡＡ－Ａａ ＡＡ－ａａ Ａａ－Ａａ Ａａ－ａａ ａａ－ａａ
子代
的基
因型
ＡＡ １ １／２ ０ １／４ ０ ０
Ａａ ０ １／２ １ １／２ １／２ ０
ａａ ０ ０ ０ １／４ １／２ １
理
工
数
学
实
验二、实验目的
通过本实验进一步巩固, 线性代数, 中关于矩阵特征值, 特征向量
及矩阵对角化的知识, 培养学生把实际问题转化为数学问题来求解的能
力, 三、预备知识
1.特征值, 特征向量的概述,
2.特征值, 特征向量的解法,
3.生物遗传规律,
若亲代的基因型为 AA,Aa及 aa（ 其中 A为显性基因, a为隐性基因 ）
,而产生子代时, 都用 AA型亲代去配对, 则子代的基因型就有如下分布：
AA与 AA配对, 子代中只有 AA型
AA与 Aa配对, 子代中有 AA,Aa两种基因型, 且出现的概率都为 1/2
AA与 aa配对, 子代中只有 Aa型
4.在实际计算中, 我们采用数值计算方法, 这类计算方法有很多,
如幂法, 雅可比方法等, Mathmatica软件提供了现成的软件包：
函数 Eigenvalues[A]该函数的结果为矩阵 A的特征值组成的表,
函数 Eigenvectors[A]该函数的结果为矩阵 A的特征向量组成的表,
理
工
数
学
实
验四、实验内容与要求
1.建立第 n代基因型的分布表达式,
本实验是利用遗传规律及所给的表, 写出第 n代和第 n— 1
代的基因关系, 然后通过矩阵知识, 找到第 n代基因型与
初始基因型的直接关系, 最后由初始基因型求第 n代基因
型的分布表达式,
不妨令 an,bn,cn分别表示在第 n代中 AA,Aa,aa基因作物
所占的分数； a0,b0,c0表示对应基因型的初始分布, 则
有
理
工
数
学
实
验四、实验内容与要求
由上递推式可求出 an,bn,cn与 a0,b0,c0的关系．
2.利用矩阵的特征值, 特征向量的知识,
3.编写 Mathematica程序,
?
?
?
?
??
?
?
?
?
??
??
??
??
0
2
1
2
1
11
11
n
nnn
nnn
c
bcb
baa
理
工
数
学
实
验
假设一片作物是由 AA,Aa及 aa基因型的某种分布组成，
且作物总体中每种作物不是全部都用基因型 AA授粉，而
是用每种作物自身的基因型来授粉．求任何一个后代总
体中三种可能基因型的分布表达式．
五, 思考问题
理
工
数
学
实
验
—— 食谱问题
线性代数专题实验 4
理工数学实验
理
工
数
学
实
验一、实验内容
某公司饲养实验用的动物以供出售, 已知这些动物的生
长对饲料中三种营养成分：蛋白质, 矿物质, 维生素特别敏
感, 每个动物每天至少需要蛋白质 70g,矿物质 3g,维生维
10mg,该公司能买到 5种不同的饲料, 每种饲料 1kg所含营养
成分如表 1所示, 每种饲料 1kg的成本如表 2所示 。 求既能
满足动物生长需要, 又使总成本最低的饲料配方 。
理
工
数
学
实
验
表 2 五种饲料单位重量 (1kg)成本
饲料 A1 A2 A3 A4 A5
成本（元） ０．２ ０．７ ０．４ ０．３ ０．５
表 1 五种饲料单位重量 (1kg)所含营养成分
饲料 蛋白质 (g) 矿物质 (g) 维生素 (mg)
A1 ０．３０ ０．１０ ０．０５
A2 ２．００ ０．０５ ０．１０
A3 １．００ ０．０２ ０．０２
A4 ０．６０ ０．２０ ０．２０
A5 １．８０ ０．０５ ０．０８
一、实验内容
理
工
数
学
实
验二、问题分析
模型评述
设有 n种食物, 每种食物中含有 m种营养成分,用 aij表示一个单位的第 j种食
物中含有第 i种营养的数量, 用 bi表示每人每天对第 i种营养的最低需求量, cj表
示第 j种食品的单价, xj表示所用的第 j种食品的数量, 一方面满足 m种营养成分
的需要同时使事物的总成本最低,
一般的食谱问题的线性规划模型为
??? nj jj xcf 1m in
??
?
?
?
??
???
?
njx
mibxa
ts
j
n
j
ijij
,,2,1,0
,,2,1,
.,1
?
?
)5,4,3,2,1( ?jx j设 表示混合饲料中所含的第种饲料的数量,由于提供的蛋白质总数必须满足每天的最低需求量 70g,故应有
7080.160.000.100.230.0 54321 ????? xxxxx
理
工
数
学
实
验二、问题分析
同理, 考虑矿物质和维生素的需要, 应有
305.020.002.005.010.0 54321 ????? xxxxx
1008.020.002.010.005.0 54321 ????? xxxxx
f混合饲料成本的目标函数 为
54321 5.03.04.07.02.0 xxxxxf ?????
决策变量 非负, jx
由于希望调配出来的混合饲料成本最低, 所以该饲料配比问题是一个线性规划模
型：
54321 5.03.04.07.02.0m i n xxxxxf ?????
?
?
?
?
?
?
?
??
?????
?????
?????
5,2,1,0
1008.020.002.010.005.0
305.020.002.005.010.0
7080.160.000.100.230.0
..
54321
54321
54321
?jx
xxxxx
xxxxx
xxxxx
ts
j
理
工
数
学
实
验三、问题解答
In[1]:=c={0.2,0.7,0.4,0.3,0.5}
A={{0.30,2.00,1.00,0.60,1.80},
{0.10,0.05,0.02,0.20,0.05},
{0.05,0.10,0.02,0.20,0.08}};
b={70,3,10};
result=LinearProgramming[c,A,b]
f=c.result
Out[4]:={0,0,0,39.7436,25.641}
Out[5]:=24.7436
或
In[1]:=ConstrainedMin[0.2x1+0.7x2+0.4x3+0.3x4+0.5x5,
{0.3x1+2.0x2+1.0x3+0.6x4+1.8x5>=70,
0.1x1+0.05x2+0.02x3+0.2x4+0.05x5>=3,
0.05x1+0.1x2+0.02x3+0.2x4+0.08x5>=10},
{x1,x2,x3,x4,x5}]
Out[1]:={24.7436,{x1?0,x2?0,x3?0,X4?39.7436,x5?25.641}}
理
工
数
学
实
验四、结果分析
可以看出, 用两个不同函数 LinearProgramming 和
ConstrainedMin求得相同的解, 即：该公司可分别购买第四
种饲料 39.74(kg)和第五种饲料 25.64(kg)配成混合饲料；所耗
成本 24.74(元 )为满足营养条件下的最低成本,
理
工
数
学
实
验五, 思考问题
某工厂生产四种不同型号的产品, 而每件产品的生产要经过三个车间
的加工, 根据该厂现有设备和劳动力等生产条件, 可以确定各车间每日
的生产能力 (我们把它们折合成有效工时数来表示 ).各车间每日可利用的有
效工时数, 每个产品在各车间加工时所花费的工时数以及每件产品可获
得的利润见表 3问每种产品每季度各应该生产多少, 才能使这个工厂每季
度生产总值最大?
表 3
车间 每件产品所需的加工工时 有效工时 (h/d)
1＃ 2＃ 3＃ 4＃
I ０．８ ０．８ １．１ １．２ １６０
II ０．６ ０．８ ０．７ ０．８ １２０
III ０．４ ０．５ ０．７ ０．７ １００
利润 (元 /件 ) ６ ８ ９ １０
