理
工
数
学
实
验理工数学实验
概率论与数理统计
基础实验 1 离散型随机变量 基础实验 2 连续型随机变量
基础实验 3 数字特征 基础实验 4 估计理论
基础实验 5 假设检验
专题实验 1 线性回归问题 专题实验 2 沙岩体空间分布
专题实验 3 Buffon实验 专题实验 4 订票问题
专题实验 5 童售票策略问题 专题实验 6独家销售商品广告问题
专题实验 7 最佳检验中 N的确定 专题实验 8 毒品走私问题
理
工
数
学
实
验
概率论与数理统计基础实验 1
—— 离散型随机变量及其相关知识
理工数学实验
理
工
数
学
实
验一、实验内容
排列、组合的计算，几种离散型随机变量
的产生及其相关内容,
理
工
数
学
实
验二, 预期目标
1.熟练掌握 Mathematical软件的基本操
作,
2.熟悉与排列, 组合, 离散型随机变量有
关的操作命令,
3.掌握利用 Mathematical软件处理简
单的概率问题．
理
工
数
学
实
验三、常用命令
1.n！
功能：计算整数 n的阶乘 n(n-1)… 2× 1．
2.n！！
功能：计算整数 n的双阶乘 n(n-2)(n-4)… 4× 2．
3.Binomial[ n,m ]
功能：计算组合数的结果,
4.Multinomial[ n1,n2,…,np ]
功能：计算组合数 （ 其中要求 N=n1+ n2+… +np）,
理
工
数
学
实
验
5.BinomialDistribution[ n,p ]
功能：生成以 n,p为参数服从二项分布的随机变量,
6.GeometricDistribution[ p ]
功能：生成以 p为参数服从几何分布的随机变量,
7.PoissonDistribution[ p ]
功能：生成以 p为参数服从泊松分布的随机变量,
8.PDF[bdist,x]
功能：将离散型随机变量 bdist的分布律拟合为 x的函数,
三、常用命令
理
工
数
学
实
验四、例子
1.计算下列结果
（ 1） 10！ （ 2） 20！！ （ 3）
2.计算下列排列组合式的结果
（ 1） （ 2）
（ 3） （ 4）
3 4.生成以 n=30,p=0.3为参数服从二项分布的随机变量 bdist,将其分布
律拟合为 x的函数 f(x)并图形显示,
4 5.生成以 p=0.2为参数服从几何分布的随机变量 bdist,将其分布律拟合
为 x的函数 f(x)并图形显示,
5 6.生成以 p=0.1为参数服从泊松分布的随机变量 bdist,将其分布律拟合
为 x的函数 f(x)并图形显示,
理
工
数
学
实
验
概率论与数理统计基础实验 2
—— 连续型随机变量及其相关知识
理工数学实验
理
工
数
学
实
验一、实验内容
连续型随机变量的产生及其相关内容．
理
工
数
学
实
验二, 预期目标
1.熟练掌握几种连续型随机变量产生
的有关操作命令,
2.掌握利用软件对连续型随机变量进
行分析的方法,
3.掌握利用软件处理简单的概率问
题,
理
工
数
学
实
验三、常用命令
1.UniformDistribution[ min,max]
功能：生成在区间 [min,max]上服从均匀分布的连续型随机变
量,
2.NormalDistribution[ mu,sigma]
功能：生成以 μ和 σ为参数服从正态分布的连续型随机变量,
3.ExponentialDistribution[ lambda]
功能：生成以 λ为参数服从指数分布的连续型随机变量,
4.StudentTDistribution[ n]
功能：生成以 n为自由度服从 t分布的连续型随机变量,
理
工
数
学
实
验
5.ChiSquareDistribution[ n]
功能：生成以 n为自由度服从 χ2分布的连续型随机变量,
6.FratioDistribution[ n1,n2 ]
功能：生成以 n1和 n2为第一, 二自由度服从 F分布的连续型随机
变量,
7.WeibullDistribution[ alpha,beta]
功能：生成以 α和 β为参数服从威布尔分布的连续型随机变量,
8.CauchyDistribution[ a,b]
功能：生成以 a和 b为参数服从柯西分布的连续型随机变量,
三、常用命令
理
工
数
学
实
验
9.MultinormalDistribution[ mu,sigma ]
功能：生成以 μ和 σ为参数服从二维正态分布的连续型随机变量,
10.PDF[ dist,x ]
功能：生成连续型随机变量 dist的概率密度函数 f(x)．
11.CDF[ dist,x ]
功能：生成连续型随机变量 dist的分布函数 F(x)=P{dist≤x}．
三、常用命令
理
工
数
学
实
验四、例子
1.（ 1） 生成在区间 [0,1]上服从均匀分布的连续型随机变量 gdist．
（ 2） 生成连续型随机变量 gdist的概率密度函数 f(x)并图形显示,
（ 3） 生成连续型随机变量 gdist的分布函数 F(x)并图形显示,
2.生成以 μ=1和 σ=2为参数服从正态分布的连续型随机变量 gdist及其概率
密度函数, 分布函数并图形显示；试求概率 P{0<gdist<1.6}．
3.生成以 λ=241为参数服从指数分布的连续型随机变量 gdist及其概率密
度函数, 分布函数并图形显示,
4.生成以 n=12为自由度服从 t分布的连续型随机变量 gdist及其概率密度函
数, 分布函数并图形显示,
5.生成以 n=12为自由度服从 χ2分布的连续型随机变量 gdist及其概率密度
函数, 分布函数并图形显示,
6.生成以 μ1,2=0和 σ1,2=1服从二维正态分布的连续型随机变量 ndist及其概
率密度函数并图形显示,
理
工
数
学
实
验
概率论与数理统计基础实验 3
—— 数字特征
理工数学实验
理
工
数
学
实
验一、实验内容
随机变量的数字特征及其相关内容．
理
工
数
学
实
验二, 预期目标
1.熟练掌握随机变量数字特征的有关
操作命令,
2.掌握利用软件对随机变量的特征函
数 (母函数 )的求解,
3.掌握利用软件处理简单的概率
问题,
理
工
数
学
实
验三、常用命令
1.Mean[dist]
功能：求随机变量 dist的数学期望,
2.Variance[dist]
功能：求随机变量 dist的方差,
3.StandardDeviation[dist]
功能：求随机变量 dist的标准差,
4.ExpectedValue[f,dist,x]
功能：求随机变量 dist的函数 f(x)的数学期望,
理
工
数
学
实
验
5.CharacteristicFunction[dist,t]
功能：求随机变量 dist的特征函数 φ(t)．
6.Median[data]
功能：求数据 data的中位数,
7.Mode[data]
功能：求数据 data的众数 （ 出现频率最大的数 ）,
8.GeometricMean[data]
功能：求数据 data的几何平均值,nn
i
ix
1
1
)(?
?
三、常用命令
理
工
数
学
实
验
9.HarmonicMean[data]
功能：求数据 data的调和平均值,
10.Covariance[data]
功能,data的协方差,
11.CovarianceMatrix[data]
功能,data的协方差矩阵,
12.Correlation[xlist,ylist]
功能,xlist和 ylist的相关系数,
13.CorrelationMatrix[xlist,ylist]
功能,xlist和 ylist的相关系数矩阵,
?
?
n
i ix
n
1
1/
三、常用命令
理
工
数
学
实
验四、例子
1.（ 1） 求以 n=34,p=0.3为参数服从二项分布的随机变量的数学期望,
（ 2） 求上述随机变量函数 （ f(x)=x3） 的数学期望,
（ 3） 求以 n,p为参数服从二项分布的随机变量的数学期望和方差,
（ 4） 求服从标准正态分布的随机变量的特征函数,
2.（ 1） 若样本 data={6.5,3.8,6.6,5.7,6.0,6.4,5.3},求样本均值, 调和
均值和中位数,
(2) 若二维总体的样本 data={{1232,4175},{1115,6652},{2205,
7612},{1897,10914},{1932,10850},{1612,7627},{1598,6954},{1804,
8365},{1752,9469},{2067,6410},{2365,10327},{1646,7320},{1579,
8196},{1880,9709},{1773,10370},{1712,7749},{1932,6818},{1820,
9307},{1900,6457},{2426,10102},{1558,7414},{1470,7556},{1858,
7833},{1587,8309},{2208,9559},{1487,6255},{2206,10723},{2332,
5430},{2540,12090},{2322,10072}},求样本均值向量, 中位数向量,
方差向量和协方差矩阵,
理
工
数
学
实
验
概率论与数理统计基础实验 4
—— 估计理论
理工数学实验
理
工
数
学
实
验一、实验内容
单个和两个总体均值、方差的估计．
理
工
数
学
实
验二, 预期目标
1.熟练掌握估计理论的相关操作命
令,
2.熟练掌握利用 Mathematical软件对
总体均值, 方差进行估计,
3.掌握利用 Mathematical软件处理
估计理论相关的实际问题,
理
工
数
学
实
验三、常用命令
1.Mean[data]
功能：总体均值的无偏估计 （ 样本均值 ）,,
2.Variance[data]
功能：总体方差的无偏估计,．
3.VarianceMLE[data]
功能：总体方差的极大似然估计,．
4.CentralMoment[data,r]
功能：总体 r阶中心矩,．
??ni ixn 11
?? ?? ni i xxn 1 2)(11
?? ?ni i xxn 1 2)(1
?? ?ni ri xxn 1 )(1
理
工
数
学
实
验
5.StandardDeviation[data]
功能：总体标准差的无偏估计,
6.StandardDeviationMLE[data]
功能：总体标准差的极大似然估计,
7.MeanCI[ data ]
功能：求数据 data对应总体在方差未知时均值的置信区间 （ 默认
置信度为 0.95）,
8.MeanCI[ data,KnownVariance->var]
功能：求数据 data对应总体在方差已知时均值的置信区间 （ 默认
置信度为 0.95）,
三、常用命令
理
工
数
学
实
验
9.MeanDifferenceCI[ data1,data2 ]
功能：求数据 data1与 data2对应总体在方差未知时均值之差的置
信区间
（ 默认置信度为 0.95）,
10,MeanDifferenceCI[ data1,data2,KnownVariance->{var1,var2}]
功能：求数据 data1与 data2对应总体在方差已知时均值之差的置
信区间
（ 默认置信度为 0.95）,
三、常用命令
理
工
数
学
实
验
11.VarianceCI[ data ]
功能：求数据 data对应总体方差的置信区间 （ 默认置信度为
0.95）,
12.VarianceRatioCI[ data1,data2 ]
功能：求数据 data1与 data2对应总体方差之比值的置信区间 （ 默
认置信度为 0.95）,
三、常用命令
理
工
数
学
实
验四、例子
11.若样本 data = {6.5,3.8,6.6,5.7,6.0,6.4,5.3}来自正态总体, 求总体均
值的无偏估计, 总体方差的无偏估计, 总体方差的极大似然估计, 总体
r阶中心矩,
22.若样本
data1={506,508,499,503,504,510,497,512,514,505,493,496,506,502,509,496}
来自正态总体, 总体方差未知, 设置信度为 0.95：
（ 1） 求出总体均值的置信区间；
（ 2） 求出总体方差的置信区间
理
工
数
学
实
验
3.若样本
data2={507,507,497,506,503,511,498,510,514,510,493,491,507,501,510,495}
来自正态总体, 设置信度为 0.95：
（ 1） 若总体方差为 40,总体均值的置信区间；
（ 2） 若 data1与 data2的总体方差都未知, 均值之差的置信区间 （ 置信度
为 0.95） ；
（ 3） 若 data1与 data2的总体方差都为 40,均值之差的置信区间 （ 置信度
为 0.95） ；
（ 4） data1与 data2的总体方差之比值的置信区间 （ 置信度为 0.95）,
四、例子
理
工
数
学
实
验
概率论与数理统计基础实验 5
—— 假设检验
理工数学实验
理
工
数
学
实
验一、实验内容
对单个和两个总体均值、方差的假设检
验．
理
工
数
学
实
验二, 预期目标
1.熟练掌握假设检验有关的操作命
令,
2.熟练掌握利用 Mathematical软件对
单个总体均值, 方差的假设检验,
3.掌握利用 Mathematical软件对两
个总体均值, 方差有关的假设检
验,
理
工
数
学
实
验三、常用命令
1.MeanTest[data,mu,SignificanceLevel->1-alpha,FullReport->True]
功能：单个总体方差未知时对均值的假设检验 （ 单边, 显著性水平为
alpha）,
2.MeanTest[data,mu,KnownVariance->var,TwoSided->True,
SignificanceLevel->alpha,FullReport->True]
功能：单个总体方差已知时对均值的假设检验 （ 双边, 显著性水平为
alpha）,
3.MeanDifferenceTest[data1,data2,diff,TwoSided->True,
SignificanceLevel->1-alpha]
功能：两个总体方差未知时对均值之差的假设检验 （ 双边, 显著性水平
为 alpha）,
理
工
数
学
实
验
4.MeanDifferenceTest[data1,data2,diff,EqualVariance->True]
功能：两个总体方差相等时对均值之差的假设检验,
5.MeanDifferenceTest[data1,data2,diff,KnownVariance->{var1,var2}]
功能：两个总体方差已知 (var1,var2)时对均值之差的假设检验,
6.VarianceTest[data,var,option]
功能：单个总体方差的假设检验 (参数 option同上 )．
7.VarianceTest[data1,data2,ratio,option]
功能：两个总体方差之比值的假设检验 (参数 option同上 )．
8.NormalPValue[test]
功能：求标准正态分布有关概率 P{ndist>test}．
三、常用命令
理
工
数
学
实
验
9.StudentTPValue[test,n]
功能：求自由度为 n的 t分布有关概率 P{ndist>test}．
10.ChiSquarePValue[test,n]
功能：求自由度为 n的 χ2分布有关概率 P{ndist>test}．
11.FRatioPValue[test,n1,n2]
功能：求第一, 二自由度为 n1,n2的 F分布有关概率
P{ndist>test}．
三、常用命令
理
工
数
学
实
验四、例子
11.若样本 data= {0.497,0.506,0.518,0.524,0.498,0.511,0.520,0.515,0.512}来
自正态总体, 总体方差未知, 对均值为 0.5进行检验 （ 显著性水平为
0.05）,
22.若样本 data1= {34,37,44,31,41,42,38,45,42,38}来自正态总体, 总体方
差为 8,对均值为 39进行检验 （ 显著性水平为 0.05）,
33.若样本 data2= {39,40,34,45,44,38,42,39,47,41}来自正态总体 （ 显著性
水平为 0.05）,
（ 1） 两个总体方差未知时对均值之差的假设检验；
（ 2） 两个总体方差为 8时对均值之差的假设检验,
理
工
数
学
实
验
44.若样本 data3= {41.0,42.4,42.5,40.6,45.6,34.4}来自正态总体, 当显
著性水平为 0.05时对方差为 8进行检验,
55.data1和 data2方差之比值的假设检验,
66.求标准正态分布有关概率 P{ndist>1.96}．
四、例子
理
工
数
学
实
验
概率论与数理统计专题实验 1
—— 线性回归分析
理工数学实验
理
工
数
学
实
验一、实验内容
炼钢是个氧化脱碳的过程,因为钢液含碳量 x与精炼时间 y有一定的关
系，现将某平炉共炼 34炉钢记录下来的含碳量 x与精炼时间 y的数据列
如下表：试分析 y与 x的相互关系,
编 号 含碳量 x(％ ) 精炼时间 y(分 ) 编 号 含碳量 x(％ ) 精炼时间 y(分 )
1 1.80 200 18 1.16 100
2 1.04 100 19 1.23 110
3 1.34 135 20 1.51 180
4 1.41 125 21 1.10 130
5 2.04 235 22 1.08 110
6 1.50 170 23 1.58 130
7 1.20 125 24 1.07 115
8 1.51 135 25 1.80 240
9 1.47 155 26 1.27 135
10 1.45 165 27 1.15 120
11 1.41 135 28 1.91 205
12 1.44 160 29 1.90 220
13 1.90 190 30 1.53 145
14 1.90 210 31 1.55 160
15 1.61 145 32 1.77 185
16 1.65 195 33 1.77 205
17 1.54 150 34 1.43 160
理
工
数
学
实
验二、实验目的
1.熟练掌握回归分析的有关操作命
令,
2.掌握利用 Mathematical软件解
决实际问题,
理
工
数
学
实
验三、预备知识
1.Regress[ data,{1,x,x^2},x]
功能：求数据 data的回归方程,
2.Regress[ data,{1,x1,x2,x1x2,},{x1,x2}]
功能：求数据 data的回归方程,
理
工
数
学
实
验四、实验的简单操作程序
1.对数据进行分析：
In[1]:=<<Statistics`LinearRegression`
In[2]:=data={{1.80,200},{1.04,100},{1.34,135},{1.41,125},
{2.04,235},{1.50,170},{1.20,125},{1.51,135},{1.47,155},
{1.45,165},{1.41,135},{1.44,160},{1.90,190},{1.90,210},
{1.61,145},{1.65,195},{1.54,150},{1.16,100},{1.23,110},
{1.51,180},{1.10,130},{1.08,110},{1.58,130},{1.07,115},
{1.80,240},{1.27,135},{1.15,120},{1.91,205},{1.90,220},
{1.53,145},{1.55,160},{1.77,185},{1.77,205},{1.43,160}}
Out[2]:={{1.80,200},{1.04,100},{1.34,135},{1.41,125},
{2.04,235},{1.50,170},{1.20,125},{1.51,135},{1.47,155},
{1.45,165},{1.41,135},{1.44,160},{1.90,190},{1.90,210},
{1.61,145},{1.65,195},{1.54,150},{1.16,100},{1.23,110},
{1.51,180},{1.10,130},{1.08,110},{1.58,130},{1.07,115},
{1.80,240},{1.27,135},{1.15,120},{1.91,205},{1.90,220},
{1.53,145},{1.55,160},{1.77,185},{1.77,205},{1.43,160}}
理
工
数
学
实
验
In[3]:= dplot=ListPlot[data]
四、实验的简单操作程序
理
工
数
学
实
验
2.针对数据散点图的特征，考虑采用二次回归：
In[4]:= r=Regress[data,{1,x^2},x]
Out[4]:=
9ParameterTable ?
Estimate SE TStat PValue
1 60.431770405804519` 8.3462304542135115` 7.24060649143663948` 3.16732386984597269`*^-8
x
2
42.0329583326294287` 3.37783923378586115` 12.4437415233403947` 8.37108160567368031`*^-14
,
RSquared ? 0.828736608839578892`,
AdjustedRSquared ? 0.823384627865815588`,EstimatedVariance ? 268.10276454451225`,ANOVATable ?
DF SumOfSq MeanSq FRatio PValue
Model 1 41514.8291816344361` 41514.8291816344361` 154.846703099705873` 8.37108160567368031`*^-14
Error 32 8579.28846542439238` 268.10276454451225`
Total 33 50094.1176470588267`=
四、实验的简单操作程序
理
工
数
学
实
验
In[5]:= Chop[r,10^(-6)]
9ParameterTable ?
Estimate SE TStat PValue
1 60.431770405804519` 8.3462304542135115` 7.24060649143663948` 0
x 2 42.0329583326294287` 3.37783923378586115` 12.4437415233403947` 0
,
RSquared ? 0.828736608839578892`,
AdjustedRSquared ? 0.823384627865815588`,EstimatedVariance ? 268.10276454451225`,ANOVATable ?
DF SumOfSq MeanSq FRatio PValue
Model 1 41514.8291816344361` 41514.8291816344361` 154.846703099705873` 0
Error 32 8579.28846542439238` 268.10276454451225`
Total 33 50094.1176470588267`=
In[6]:= func=Fit[data,{1,x^2},x]
Out[6]:= 60.4318 + 42.033 x2
In[7]:= Plot[func,{x,0,2}]
0.5 1 1.5 2
100
125
150
175
200
225
四、实验的简单操作程序
理
工
数
学
实
验
In[8]:= re=Regress[data,{1,x^2},x,RegressionReport->
{FitResiduals,SinglePredictionCITable,
ParameterConfidenceRegion}]
Out[8]:=
83.38144459647614326`,- 5.89461813837651504`,
- 0.906150387873935869`,- 18.9974948669050718`,- 0.356129802875130963`,14.9940733457792703`,
4.04076959520909895`,- 21.2711187000328738`,3.73920993321655714`,16.1939346998421163`,
- 8.99749486690507183`,12.4086871956550903`,- 22.1707499865967472`,- 2.17074998659674633`,
- 24.3854016998132561`,20.1335005336118788`,- 10.1171343874684671`,- 16.9913191381906747`,
- 14.023433067239579`,23.7288812999671261`,18.7083500117138612`,0.540986995016510263`,
- 35.362847587380628`,6.44469559916805678`,43.3814445964761397`,6.77327109949746386`,
3.9796421992930675`,- 8.77220569906992864`,7.82925001340325366`,- 13.8267225666567416`,
- 1.41595279994672296`,- 7.11682556609926564`,12.8831744339007347`,13.6150330998015656` <
In[9]:= errors=FitResiduals/.re
四、实验的简单操作程序
理
工
数
学
实
验
In[10]:= {observed,predicted,se,ci}= Transpose[
(SinglePredictionCITable/.re)[[1]]]；
In[11]:= (xval = Map[First,data]；
predicted = Transpose[{xval,predicted}]；
lowerCI = Transpose[{xval,Map[First,ci]}]；
upperCI = Transpose[{xval,Map[Last,ci]}])；
In[12]:= <<Graphics`MultipleListPlot`
In[13]:= MultipleListPlot[data,predicted,lowerCI,upperCI,
SymbolShape -> {PlotSymbol[Diamond],None,None,None},
PlotJoined ->{False,True,True,True},
PlotStyle -> {Automatic,Automatic,Dashing[{.05,.05}],
Dashing[{.05,.05}]}]
四、实验的简单操作程序
理
工
数
学
实
验
1.2 1.4 1.6 1.8
100
150
200
250
四、实验的简单操作程序
理
工
数
学
实
验五、练习内容
对本数据进行一次回归，并将结果
与上述结果进行比较,
理
工
数
学
实
验
概率论与数理统计专题实验 2
—— 沙岩体空间分布
理工数学实验
理
工
数
学
实
验一、实验内容
根据某浅层天然气开发公司所提供的某地区浅层十几口深井沙岩体主
状图和井位图标，数据如下表，要求建立该地区的沙岩体空间分布数
学模型，并在计算机上摸泥沙岩体的空间分布数学三维图形及其等纸
线图．进而为该地区油气勘探提供一些可行的绝测依据．,
表 1某地区浅层各静坐标记沙层厚度
井号 坐标 砂岩厚度
z(m)横 x(m) 纵 y(m)
1 0.7 7.2 17.3
2 2.2 5.2 22.4
3 1.7 2.5 25.1
4 0.3 0.8 20.7
5 5.7 3.0 27.5
6 4.7 5.3 20.2
7 5.7 7.0 22.2
8 9.3 6.5 21.3
9 10.7 7.5 22.4
10 13.8 7.5 15.9
11 8.3 4.0 20.9
12 12.1 5.1 23.4
13 10.9 3.2 27.8
14 13.8 3.2 17.2
15 7.8 0.9 18.3
16 10.4 0.9 20.3
17 13.1 1.1 18.2
理
工
数
学
实
验二、预备知识
1.Fit[{ f1,f2,… },{1,x,x^2},x]
功能：如果自变量取值 1,2,… 时, 相应的函数为 f1，
f2,… 用此命令可以求得这一函数的一个二次多项式拟合,
即 f(x)=a0+ a1x+ a2x 2,其中 ai是实数,
2,掌握 Fit[{{x1,t1 },{ x1,t2 },… },{1,x,x^2},x]
功能：求数据表 {x1,f1},{ x2,f2},… 的一个二次多项式
拟合,
理
工
数
学
实
验三,实验步骤
分析：若利用 Fit命令构造一次，二次，三次，二元插值多项式
分别作出它们所对应的三维图形及其等直线图．
理
工
数
学
实
验
f=11.3438-0.290327x+0.171397x^2-0.0124941x^3+10.5135y
-2.61761y^2+0.18307y^3
三维图：
三,实验步骤
理
工
数
学
实
验
等值线图
三,实验步骤
理
工
数
学
实
验
2.针对数据散点图的特征，考虑采用二次回归：
In[4]:= r=Regress[data,{1,x^2},x]
Out[4]:=
9ParameterTable ?
Estimate SE TStat PValue
1 60.431770405804519` 8.3462304542135115` 7.24060649143663948` 3.16732386984597269`*^-8
x
2
42.0329583326294287` 3.37783923378586115` 12.4437415233403947` 8.37108160567368031`*^-14
,
RSquared ? 0.828736608839578892`,
AdjustedRSquared ? 0.823384627865815588`,EstimatedVariance ? 268.10276454451225`,ANOVATable ?
DF SumOfSq MeanSq FRatio PValue
Model 1 41514.8291816344361` 41514.8291816344361` 154.846703099705873` 8.37108160567368031`*^-14
Error 32 8579.28846542439238` 268.10276454451225`
Total 33 50094.1176470588267`=
三,实验步骤
理
工
数
学
实
验四,思考与提高
1.能否计算出该空间曲面各点的曲
率,
2.能否将所计算法推广到石油、
煤资源分布确定？
理
工
数
学
实
验五,练习内容
在土豆生长期间，施用不同量的氮（ N）和钾（ K）肥进行试验，
测得施肥量与产量的如下一批数据：
试验情况
序号
氮 N
（ kg/ha）
钾 K
(kg/ha)
产量 y
(t/ha)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
200
200
200
260
260
260
320
320
320
270
370
470
270
370
470
270
370
470
48
37
49
44
42
52
49
43
59
求施肥量与产量间的对应关系，并对结果进行回归分析,
理
工
数
学
实
验
概率论与数理统计专题实验 3
—— Buffon实验
理工数学实验
理
工
数
学
实
验一、实验内容
利用著名的 Huffon实验可以求得 π 的近似值．在一大张纸
上面出一组间距为 2个单位的平行线，用一根长度恰好等
于 2的针扔到纸面上，针可能与平行线相交，也可能不与
平行线相交而位于相邻两线之间．法国科学家 Buffon指出：
如果你不断的扔掷这根针，那么扔掷总次数的两倍除以针
与平行线相交的总次数所得的商就是 π 的近似值．这是为
什么呢？我们能否用这个思想来求 π 的近似值？,
理
工
数
学
实
验二、实验目的
1.熟练掌握随机数的有关操作命令；
2.掌握利用 Mathematical软件处
理实际问题的能力,
理
工
数
学
实
验三、预备知识
1.Clear[x1,x2,…,xn]
功能：清除变量 x1,x2,…, xn原来的数值,
2.Random[Real,{min,max},n]
功能：生成区间 [min,max]内精度为小数点后 n位的随机数,
3.Sum[f,{i,imin,imax}]
功能：求和 （ 变量 i从 imin到 imax）,
理
工
数
学
实
验四、实验的简单操作程序
1.问题分析
设落在纸面上的针的中心位置到其最近的平行线距离为 y，而
针与平行线的夹角（取较小的那一个）为 x，那么从图一容易
看出：落针是否与平行线相交取决于 y是否小于 sinx.换一个等
价的说法：落针是否与平行线相交取决于点（ x,y）是否落在
图二的阴影区域Ｄ 1，即 y=f(x)=sinx（ 0≤x≤ π /2）下方的曲
边梯形上．由于每一次扔掷针是独立的，而落针的距离 y和角
度 x分别是服从区间 [0,1]和 [0,π /2]上的均匀分布的随机变量，
或者说（ X,Y）是服从区域 D={0≤x≤ π /2,0≤y≤1} 上均匀分
布的二维随机变量，显然每一次掷针，（ xi,yi）落在区域 D1的
概率 p等于 D1的面积除以 D的面积．根据大数定律，则（ xi,yi）
落在区域 D1的频率将依概率收敛于 p，容易求出
??
?
2
2
s in2
01 ??? ?
x d x
S
S
p
D
D
理
工
数
学
实
验
故只要试验 （ 掷针 ） 次数 n足够多, 那么就可以作
为 π 的近似值, 这就是 Buffon实验的原理,
利用这个原理我们来求 π 的近似值．当然，我们不
可能真的掷针，采用的方法是在正方形 Q＝
{(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1} 内产生 n个随机点
（ xi,yi），而考察其落在四分之一圆 H＝ {(x,y)|
(x,y)∈Q,x 2+y2≤1} 上的频率，显然，在 n充分大时，
其接近 H与 Q的面积之比，从而
?
?
?
n
n4
四、实验的简单操作程序
理
工
数
学
实
验
2.Mathematical软件实现：
In[1]:=Clear[m,t,s]
In[2]:=m=100000
Out[2]:=100000
In[3]:=t=Table[{x=Random[Real,{0,1},10 ]；
y=Random[Real,{0,1},10 ]；
If[ x^2 + y^2 <1,1,0 ] },{ k,m }]；
In[4]:= s=4*Sum[ t[ [ k ] ],{ k,1,m } ] / m //N
Out[4]:=3.1486
四、实验的简单操作程序
理
工
数
学
实
验五、练习内容
在区域 H＝ {(x,y)| (x,y)∈Q,x 2+y2≤1},Q
＝ {(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1} 上考虑计算二
重积分（利用 Monte-carlo法）：
?? ?
?
?
H
d xd y
yx
yx
I
)s i n (
理
工
数
学
实
验
概率论与数理统计专题实验 4
—— 订票问题
理工数学实验
理
工
数
学
实
验一、实验内容
航空公司的机票可采用预定的方式．在某一航班上，
根据经验知道：预定了机票而届时又不能如期到机场的旅
客占预定机票旅客数的 p＝ 3％，为减少因此而产生的损失，
航空公司准备适当扩大机票预定数额，即允许预定票数略
超出航班容量（客机可载旅客数），然而这样就可能有些
预定了机票且如期到达机场的旅客无法登机，公司必须给
这些乘客以赔偿．初步确定赔偿费为机票费的 k＝ 10％，
另外，公司的形象顾问认为每次航班这部分旅客的数目超
过 5名的概率 P(5)必须控制在 5％以内．现在已知航班容量
为 N＝ 300(人 )，飞行一次的成本 C为全部机票 (300张 )款额
的 60％，为使公司的支出获得尽可能大的利润，试确定该
航班机票预定额度为多少？假定旅客是否如期到机场是相
互独立的．
理
工
数
学
实
验二、实验目的
1.熟练掌握离散型随机变量的有关
操作命令；
2.掌握利用 Mathematical软件处
理实际问题的能力,
理
工
数
学
实
验三、预备知识
1.Clear[x1,x2,…,xn]
功能：清除变量 x1,x2,…, xn原来的数值,
2.BinomialDistribution[m,p]
功能：生成以 n,p为参数的服从二项分布的随机变量,
3.Sum[f,{i,imin,imax}]
功能：求和 （ 变量 i从 imin到 imax）,
理
工
数
学
实
验四、实验的简单操作程序
1.问题分析
设每次飞行的利润为 L，单张机票的价格为 g，预定
机票数为 m，预定机票而又未能如期到机场的旅客数
为 n的概率为 Pn，那么
??
?
????????
??????
300,1.0)300(3006.0300
300,3006.0)(
nmgnmgg
nmggnmL
所以该航班平均利润为
E(L)＝ ??
?
??????2 9 9
0
]1.0)300(3006.0300[m
n n
Pgnmgg
??? ???nmn nPggnm3 0 0 ]3006.0)[(＋
理
工
数
学
实
验
故而公司在该航班支出所获的平均利润为 E(L)／ 180g
2.Mathematical软件实现：
In[1]:= <<Statistics`DiscreteDistributions`
In[2]:= Clear[ m,b,L,e1,p4 ]
In[3]:= b=BinomialDistribution[ m,0.03 ]
Out[3]:=BinomialDistribution[ m,0.03 ]
In[4]:= L[n_]:=If[ m－ n<=300,(m-n)－ 0.6*300,
300－ 0.6*300－ (m－ n－ 300)*0.1 ]；
In[5]:=e1=Sum[ L[n]*PDF[ b,n ],{n,0,m }]/(300*0.6)
Out[5]:=
In[6]:= p4=CDF[b,m-305]；
In[7]:= result=Table[{m,e1,p4},{m,304,350}]；
In[8]:= TableForm[result,TableHeadings->{Automatic,
{"m","EF/f","p4"}}]
Out[8]//TableForm= m EF/f p4
??mn nbP D FnL0 ],[][0 0 5 5 5 5 5 6.0
四、实验的简单操作程序
理
工
数
学
实
验
1 304 0.63807244101566134` 0
2 305 0.643173079258580582` 0.0000923376784214585022`
3 306 0.647949491285953982` 0.000937227435977832001`
4 307 0.652231458334620839` 0.00481527142316085399`
5 308 0.655864996111212583` 0.0167208664638143433`
6 309 0.658752029688326778` 0.0442227910077158092`
7 310 0.660872652287311712` 0.0952113591121320901`
8 311 0.662282811909570501` 0.174243639673988726`
9 312 0.663092307378779466` 0.279582379337098352`
10 313 0.663434786468990989` 0.402828704742965282`
11 314 0.663441013766325404` 0.531415704249750042`
12 315 0.663221712182579636` 0.652544657785141613`
13 316 0.662860778461515742` 0.756605440595091494`
14 317 0.66241619325934824` 0.838813459014952123`
15 318 0.661924960054777322` 0.898951786335942415`
16 319 0.661409081155602684` 0.939931760810388716`
17 320 0.660880827523453451` 0.966076984525085613`
18 321 0.66034665258157652` 0.98176411875390368`
19 322 0.659809770755252067` 0.990650418908228225`
20 323 0.659271704051780904` 0.995419399991049047`
21 324 0.658733139699908321` 0.997851580343287736`
22 325 0.658194374422493666` 0.999033619994475863`
23 326 0.65765553102522789` 0.999582424118241519`
24 327 0.657116658333018222` 0.999826392496897575`
25 328 0.656577775029528964` 0.999930450314054652`
26 329 0.656038888008301945` 0.999973114019089237`
27 330 0.655499999725607995` 0.999989957649836647`
28 331 0.65496111102789154` 0.999996371186159827`
29 332 0.654422222197635328` 0.999998729942296371`
30 333 0.653883333326251126` 0.999999568985550801`
31 334 0.653344444442452854` 0.999999858021485543`
四、实验的简单操作程序
理
工
数
学
实
验
In[9]:= For[m=304,p4<=0.05,m++,nel=N[e1,7]；
Print[TableForm[Transpose[{{m},{nel},{p4}}]]]]
304 0.63807244101566134` 0
305 0.643173079258580582` 0.0000923376784214585022`
306 0.647949491285953982` 0.000937227435977832001`
307 0.652231458334620839` 0.00481527142316085399`
308 0.655864996111212583` 0.0167208664638143433`
309 0.658752029688326778` 0.0442227910077158092`
四、实验的简单操作程序
理
工
数
学
实
验
概率论与数理统计专题实验 5
—— 报童售报策略问题
理工数学实验
理
工
数
学
实
验一、实验内容
报童每天清晨从报站批发报纸零售，晚上将没有卖完
的报纸退回。设每份报纸的批发价为 b，零售价为 a，退回
价为 c，且设 a>b>c>0。因此，报童每售出一份报纸赚钱
（ a－ b），退回一份报纸赔（ b－ c）。报童每天如果批发
的报纸太少，不够卖的话就会少赚钱，如果批发的报纸太
多，卖不完的话就会赔钱。报童应如何确定他每天批发的
报纸的数量，才能获得最大的收益？
理
工
数
学
实
验二、实验目的
学习离散问题的连续化处理方法
理
工
数
学
实
验三、预备知识
变 (上, 下 )限积分的求导方法, 期望的含义及其计算
理
工
数
学
实
验四、实验的简单操作程序
建立本问题的数学模型, 即通过已知变量 a,b,c的某种关系式表示出
报童每天的最优批发量
显然, 应该根据需求量来确定批发量, 一种报纸的需求量是一随机变量,
假定报童通过自己的实践经验或其他方式掌握了需求量的随机规律, 即
在他的销售范围内每天报纸的需求量为份的概率为, 于是, 通过和就可
以建立关于批发量的优化模型,
设每天批发量为份, 因为需求量是随机的, 故可以小于, 等于或者大于,
从而报童每天的收入也是随机的, 因此, 作为优化模型的目标函数, 应
该考虑的是他长期 （ 半年, 一年 ） 卖报的日平均收入, 根据概率论中的
大数定律, 这相当于报童每天收入的期望 （ 以下简称平均收入 ）,
设报童每天批发进份报纸时的平均收入为, 若某一天需求量, 则他售出
份, 退回份；若这天需求量, 则份报纸全部卖出, 因需求量为的概率为,
故平均收入
?
?
?????? n
x
xpxncbxbanS
0
)()])(()[()( ?
?
??
?
1
)()(
nx
xnpba
理
工
数
学
实
验
所需考虑的问题变为当及已知时, 求使达到最大值的,
为了便于分析和计算，同时考虑需求量的取值与批发量
都相当大，故可将视为连续变量，这时概率转化为概率
密度函数的表达式变为
? ? ? ??????? n n xxnfbaxxfxncbxbanS 0 d)()(d)()])(()[()(
? ? ? ???????? n n xxfbannfbaxxfcbnnfban nS 0 d)()()()(d)()()()(d )(d
? ? ?????? n n xxfbaxxfcb 0 d)()(d)()(
0d )(d ?nnS
四、实验的简单操作程序
理
工
数
学
实
验
cb
ba
xxf
xxf
n
n
?
??
?
?
?
d)(
d)(
0
n
因此，使报童日平均收入达到最大值的批发
量 应满足上式．
因为, 故 （ 1） 又可以写成
对于实验要求而言, 若令
1d)(0 ??? xxf
ca baxxfn ????0 d)(
?? ??? nn xxfPxxfP d)(,d)( 201
（ 1）
四、实验的简单操作程序
理
工
数
学
实
验
则当批发进份报纸时, 是需求量不超过的概率, 即卖不完的概率；是需
求量超过的概率, 即卖完的概率, 所以, 由 （ 1） 知批发的报纸份数应
使得卖不完与卖完的概率之比, 等于卖出一份报纸赚的钱 （ ） 与退回一
份赔的钱 （ ） 之比, 所以, 当每份报纸赚钱与赔钱之比越大时, 报童批
发进的报纸份数就应该越多,
另外, 从数学模型的角度看, 本问题实际上是需求为连续型随机变量的
存储模型, 所以解答过程可以推广到满足此条件的各种物质的存储问
题, 同时, 对于需求为离散型随机变量的存储问题也可以类似处理, 只
是收益期望值的计算是离散型随机变量而已,
四、实验的简单操作程序
理
工
数
学
实
验五、练习内容
应用上面的分析结论解决如下实际问题：
一煤炭部门煤的进价为 65元／ t,零售价为
70元／ t,若当年卖不出去, 则第二年削价
20%处理掉, 如供应短缺, 有关部门每吨罚
款 10元, 已知顾客对煤炭年需求量 x服从均
匀分布, 分布函数为
求一年煤炭最优存储策略。
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
8 0 0 0 0,1
8 0 0 0 02 0 0 0 0,
6 0 0 0 0
2 0 0 0 0
2 0 0 0 0,0
)(
x
x
x
x
xF
理
工
数
学
实
验
概率论与数理统计专题实验 6
—— 独家销售商品广告问题
理工数学实验
理
工
数
学
实
验一、实验内容
对于独家销售商品广告而言, 我们假定商品销售与广告之间满足如下
条件：
1,商品的销售速度是因为做广告而增加, 但这种增加有一定限度,
当商品在市场上趋于饱和时, 销售速度将趋于它的极限值, 当速度达
到它的极限值时, 无论再用何种形式做广告, 销售速度都将减慢,
2,自然衰减是销售速度的一种性质, 即商品销售速度随商品的销售
率增加而减小,
3．令为时刻商品销售速度；为时刻广告水平（以费用表示）； M
为销售的饱和水平，即市场对商品的最大容纳能力，它表示销售速度
的上极限；为衰减因子，即广告作用随时间增长而自然衰减的速度，
为常数，试问广告与销售之间的内在联系（数学关系式）如何？如何
评价不同时期的广告效果？
理
工
数
学
实
验二、实验目的
学会分析问题, 建立问题的数学表
达式并加以求解和推广, 体会数学
建模的整个过程,
理
工
数
学
实
验三、预备知识
常微分方程, 参数估计, 最小二乘法,
理
工
数
学
实
验四、实验的简单操作程序
1.根据独家销售广告问题中的三个假设条件, 我
们引入响应系数, 即对的影响能力, 为常数, 从
而有反映销售和广告的如下关系式：
（ 1）
由式（ 1）可以看出，当时或时，都有,
2,利用（ 1）中的结论和给出的数据（某种肥皂
从 1997年 2月至 1998年 1月在某城市内做广告费用
和销售量的调查数据，见下图）来估计参数 M及
和可能引入的其他参数．
)()(1)(dd tsMtstPAts ???????? ??
sts ???dd
理
工
数
学
实
验
为了解 （ 1） 式, 我们选择一种广告策略
（ 2）
在 （ ） 时间内, 用于广告花费为, 则,
代入 （ 1） 式有
??
?
?
??
?
?
t
tAtA
,0
0,)( ＜常量，
?,0 a ?/aA?
四、实验的简单操作程序
理
工
数
学
实
验
???
aPsa
M
P
t
s ????
?
??
?
? ???dd
baMP ??? ??
kaP ???
??
???
?
?????
?
??
??
?
?? tls
tlslbkts
t
MM
)(
0
)(
0)1()(
s(t)的图形如图 所示．
四、实验的简单操作程序
理
工
数
学
实
验
对于实验要求 （ 2） 的参数处理计算过程如下：
为便于估计参数，我们将（ 3.1）离散化，得
)()(1)()()1( nsM nsnPAnsns ???
?
??
?
? ????
四、实验的简单操作程序
理
工
数
学
实
验
上式关于数 p,M,λ是线性方程, 把 11个月调查结果代入上式, 利
用最小二乘法可以得到 p=1.207,M=11817,λ=0.341．
（ 说明：由于图形上没有给出具体的数据, 从而参数 p,M,λ的结
果可能会有所不同, 这是允许的, ）
把参数代入 （ 3.1） 得到关于肥皂的广告与销售关系式：
)(3 4 1.01 1 8 1 7)(1)(2 0 7.1dd tststAts ??
?
??
?
? ??
四、实验的简单操作程序
理
工
数
学
实
验五、练习内容
我们可以假设广告策略公式是一个具体的
简单函数关系式．但事实上广告策略公式
并不能轻易得到．如果我们只有一组在不
同时刻所花费的广告费用的调查数
据,） )，试问此时刻该如
何得到广告策略公式．
,(it )( itA ni,,2,1,0( ??
理
工
数
学
实
验
概率论与数理统计专题实验 7
—— 最佳检验中 N的确定
理工数学实验
理
工
数
学
实
验一、实验内容
a
?
假设总体 X服从正态, 其中 为未知参数, 为已知,
记为, 提出假设检验问题：
其中 ;在给定犯两类错误的概率 及 的大小，用最
佳检验法判断这个假设，试问子样容量 n应多大？
),( 2?aN ?
0?
1100 ;;,aaHaaH ??
10 aa ? ?
理
工
数
学
实
验二、实验目的
学会分析问题, 建立问题的数学表
达式并加以求解 。
理
工
数
学
实
验三、预备知识
Solve[f[x]==0,x]
功能：解方程 f(x)=0．
Solve[{f[x,y]==0,g[x,y]==0},{x,y}]
功能：解方程组 f(x,y)=0,g(x,y)=0．
理
工
数
学
实
验四、实验的简单操作程序
X
我们知道，对于上述假设检验问题，最佳否定域为 。
当原假设为真子集，子样平均 服从正态 ；若
不为真，即备选假设 为真，则子样平均 服从正
态 。因而有方程组：
kX?
X ),( 00 naN ? 0H
1H
),( 01 naN ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
? ??
?
??
?
??
?
?
Xde
n
Xde
n
k
n
aX
k
n
aX
2
0
2
1
2
0
2
0
)/(2
)(
0
)/(2
)(
0
)/(2
1
)/(2
1
将子样平均 标准正态化, 作变换
U服从正态分布 N(0,1),则上面的方程组可以化为：
X
n
aXU
/0
0
?
??
理
工
数
学
实
验
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
due
due
n
ak u
n
ak
u
/ 2
/
2
0
1
2
0
0
2
2
1
2
1
查表可得对于给定的 有,
对于给定的 有
简单过程；
? ?
? ??
?? }{,
/0
0 aa uUP
n
akU 使得
? ?? ?? ???? }{,/
0
1 uUPnakU 使得
In[1]=Solve[{,},{n,k}]
Out[1]={{,}}
nakU /0 1?? ??? nakUa /0 0? ???
201
202
)( )( aa uun a ??? ?? ?? ?uu uauak a ??? 01
四、实验的简单操作程序
理
工
数
学
实
验五、练习内容
上述方法可以进一步改进吗？怎样
改进？
理
工
数
学
实
验
概率论与数理统计专题实验 8
—— 毒品走私船问题
理工数学实验
理
工
数
学
实
验一、实验内容
相距 5.43哩的两个监听站收到一个短暂的无线电讯号，收到讯号时测
向仪分别定位于 111度和 119度，测向仪的精度为 2度，据推测讯号来
源处有一只机动船正等着有人来取毒品，一架飞行速度是走私船 3倍
的装有探照灯侦察仪器的小型直升飞机从 1飞往走私船。,
试问飞行员能够找到毒品走私船的最小区域，并为其寻找一个最佳的搜索方案。
理
工
数
学
实
验二、实验目的
1,学会分析问题, 建立问题的数
学表达式并加以求解 。
２, 熟练利用 Mathematica软件处理
实际问题的能力 。
理
工
数
学
实
验三、预备知识
1,Clear[x1,x2,…,xn ]
功能；清除变量 x1,x2,…,xn 原来的数值 。
2.Random[Real,{min,max},n]
功能：生成区间 [min,max]内精度为小数点后 n的随机数 。
理
工
数
学
实
验四、实验的简单操作程序
问题假设：
1,缉私人员可发现探照灯覆盖的以 225英尺为半径的圆内所有物
体；
2,直升飞机不返回基地加油；
3,飞行高度不变, 且贴近于海平面飞行；
4,缉私人员不能发现在探照灯范围外的船；
5,当毒贩子听到飞机的声音时也能判断出飞机的飞行方向；
6,走私船逃跑方式是最科学的,听到声音后就延飞机的垂直方向
跑；
7,直升飞机的飞行速度为 180英尺 /秒；
8、探照灯可快速任意旋转（ 180度内），并且旋转时间可忽略。
理
工
数
学
实
验
问题的分析：
收到讯号时测向仪分别定位于 111度和 119度，测向仪的
精度为 2度，根据这些数据就可算出走私船所在大概的
位置（在一个四边形内），这就为飞机的飞行方向确定
了目标。当缉私人员未发现走私船，而毒贩子已听到了
飞机的声音时，走私船就要逃跑，但往哪个方向逃跑呢，
最可能逃走的是沿着与飞机飞行路线垂直的方向，由此
就可算出飞行员找到走私船的最小区域。在搜索过程中，
飞机不可能一直沿着直线飞行，因此就要考虑到很多的
因素：飞机的速度，走私船所在位置范围的大小等等。
飞机可以沿着 Z形,S形、圆形、四边形 …… 这就要通过
建立模型，求解模型，比较模型，从中得出精度大于
95%的最佳搜索方案。
四、实验的简单操作程序
理
工
数
学
实
验
问题求解
确定走私船的区域及船位置模拟的数据如图：
四、实验的简单操作程序
理
工
数
学
实
验
1．
3x
x
y
θ
500
四、实验的简单操作程序
理
工
数
学
实
验
在我们假设条件下 — 走私船逃跑方式是最科学的,听
到声音后就延飞机的垂直方向跑, 通过几何知识就可得上面
的图形：
x+y=225;tan(θ )=y/3x;y+(3x)=250000
2 解方程可得 θ =6.8*pi/180; y=119.4 （ 英尺 ） ;
其中 y是我们要求的飞行员能够找到毒品走私船的最小区域；
2,我们通过计算机模拟出 100艘船的位置 （ 服从正态分布
:μ x=17.7,ρ x=9.0;μ y=31.90,ρ y=1.804*9.0）, 考虑圆
形搜索和平行于确定的区域各边并以一定的宽度搜索 。 通过
比较得到较好的方式 。
（ 1）圆形搜索,
四、实验的简单操作程序
理
工
数
学
实
验四、实验的简单操作程序
理
工
数
学
实
验
一是我们模拟的搜索的方式, 二是在该搜索方式下所覆盖的区域
（ 绿色 ）, 船所在的位置 （ 蓝点 ）, 四条直线代表船位置的所有可
能的范围 ;（ 该图是船不动条件下的 ） 。
从图中很明显看的出该方式的弊端：所能及范围很小,
在此我们就不去算它能捕捉到多少船和船的会动条件下的情况；
因此我们考虑一种范围广的搜索方式：平行于确定的区域各边并以
一定的宽度搜索
(2)平行于确定的区域各边并以一定的宽度搜索 。
下图是该搜索方式的图形：
四、实验的简单操作程序
理
工
数
学
实
验
船的运动方式还是在最科学的条件下，通过调整不
同的宽度我们就可得到一组数据：
（反映在 100艘船中搜索到的数目）
宽度 119 200 500 1000
I->O 30 15 9 6
O->I 28 17 10 8
四、实验的简单操作程序
理
工
数
学
实
验
I->O代表由里向外搜索； O->I代表由外向里搜索,数字代表 100艘船中捕获的
数目,
相对来说第二种搜索方式效果更好 。
3,由于我们无法找到一种更科学的方法可以使精度达到 95%
从现实中也可以知道追捕走私船也不是件容易的事 。 精度这样高也是不
现实的 。
模型检验：我们主要就速度比对捕获带的影响做灵敏度分析：
当速度比从 3降到 2时, 捕获宽带从 119.4英尺减到 25英尺 。
因此速度比是个关键 。 要想达到一个很高的精度我们就要求一个
较大的速度比 。
模型的讨论
本模型假设走私船听到声音后，沿与直升飞机垂直的方向逃跑，虽然不太现
实，但这是最坏的考虑，即最有可能逃掉的方式，所以还是可行的。由于模
型大都是通过计算机模拟而得出来的，因此比较方便，操作又较为简单，适
应性较好。
四、实验的简单操作程序
理
工
数
学
实
验
模型中没有算出其它搜索方案的搜索效果, 也许有欠科学性, 但是
在我们的讨论过程中已经把它们否定掉了, 因为它们的搜索效果都不
理想, 所以无须进一步的求解, 可以减少求解步骤 。
最佳搜索方案的求解问题一般都是较难的, 所以就得有个判断标准
,即搜索的精度, 精度越高, 搜索方案就越佳, 因此只要满足要求,
就可以把其定为最佳的 。
模型的推广
本模型虽然是从毒品走私船问题中得出来的, 但它的适用范围还是
很广泛的 。 特别是在军事上, 当收到敌军的讯号时, 可判断出他们可
能的地方, 并根据我军的军火杀伤力, 进行如上的搜索方式对敌军轰
炸 。 但还是有不同的所在, 直升飞机的速度是船的 3倍, 而敌军的逃跑
速度相对于导弹是可忽略的 。 所以就得对模型进行改进, 可以假设目
标静止不动 。
为了使本模型的精度更高, 还可以考虑到一些现实的因素, 走私船
逃跑后, 监听站也有可能再次收到讯号, 并与飞行员进行联络 。 飞行
员还可以根据走私船逃跑的痕迹 — 波痕来判断走私船的去向 。
四、实验的简单操作程序
理
工
数
学
实
验五、练习内容
相距 5.43哩的两个监听站收到一个短暂
的无线电讯号，收到讯号时测向仪分别定
位于 111度和 119度，如果测向仪的精度为
1度，此时飞行员能够找到毒品走私船的
最小区域，搜索方案如何？
工
数
学
实
验理工数学实验
概率论与数理统计
基础实验 1 离散型随机变量 基础实验 2 连续型随机变量
基础实验 3 数字特征 基础实验 4 估计理论
基础实验 5 假设检验
专题实验 1 线性回归问题 专题实验 2 沙岩体空间分布
专题实验 3 Buffon实验 专题实验 4 订票问题
专题实验 5 童售票策略问题 专题实验 6独家销售商品广告问题
专题实验 7 最佳检验中 N的确定 专题实验 8 毒品走私问题
理
工
数
学
实
验
概率论与数理统计基础实验 1
—— 离散型随机变量及其相关知识
理工数学实验
理
工
数
学
实
验一、实验内容
排列、组合的计算，几种离散型随机变量
的产生及其相关内容,
理
工
数
学
实
验二, 预期目标
1.熟练掌握 Mathematical软件的基本操
作,
2.熟悉与排列, 组合, 离散型随机变量有
关的操作命令,
3.掌握利用 Mathematical软件处理简
单的概率问题．
理
工
数
学
实
验三、常用命令
1.n！
功能：计算整数 n的阶乘 n(n-1)… 2× 1．
2.n！！
功能：计算整数 n的双阶乘 n(n-2)(n-4)… 4× 2．
3.Binomial[ n,m ]
功能：计算组合数的结果,
4.Multinomial[ n1,n2,…,np ]
功能：计算组合数 （ 其中要求 N=n1+ n2+… +np）,
理
工
数
学
实
验
5.BinomialDistribution[ n,p ]
功能：生成以 n,p为参数服从二项分布的随机变量,
6.GeometricDistribution[ p ]
功能：生成以 p为参数服从几何分布的随机变量,
7.PoissonDistribution[ p ]
功能：生成以 p为参数服从泊松分布的随机变量,
8.PDF[bdist,x]
功能：将离散型随机变量 bdist的分布律拟合为 x的函数,
三、常用命令
理
工
数
学
实
验四、例子
1.计算下列结果
（ 1） 10！ （ 2） 20！！ （ 3）
2.计算下列排列组合式的结果
（ 1） （ 2）
（ 3） （ 4）
3 4.生成以 n=30,p=0.3为参数服从二项分布的随机变量 bdist,将其分布
律拟合为 x的函数 f(x)并图形显示,
4 5.生成以 p=0.2为参数服从几何分布的随机变量 bdist,将其分布律拟合
为 x的函数 f(x)并图形显示,
5 6.生成以 p=0.1为参数服从泊松分布的随机变量 bdist,将其分布律拟合
为 x的函数 f(x)并图形显示,
理
工
数
学
实
验
概率论与数理统计基础实验 2
—— 连续型随机变量及其相关知识
理工数学实验
理
工
数
学
实
验一、实验内容
连续型随机变量的产生及其相关内容．
理
工
数
学
实
验二, 预期目标
1.熟练掌握几种连续型随机变量产生
的有关操作命令,
2.掌握利用软件对连续型随机变量进
行分析的方法,
3.掌握利用软件处理简单的概率问
题,
理
工
数
学
实
验三、常用命令
1.UniformDistribution[ min,max]
功能：生成在区间 [min,max]上服从均匀分布的连续型随机变
量,
2.NormalDistribution[ mu,sigma]
功能：生成以 μ和 σ为参数服从正态分布的连续型随机变量,
3.ExponentialDistribution[ lambda]
功能：生成以 λ为参数服从指数分布的连续型随机变量,
4.StudentTDistribution[ n]
功能：生成以 n为自由度服从 t分布的连续型随机变量,
理
工
数
学
实
验
5.ChiSquareDistribution[ n]
功能：生成以 n为自由度服从 χ2分布的连续型随机变量,
6.FratioDistribution[ n1,n2 ]
功能：生成以 n1和 n2为第一, 二自由度服从 F分布的连续型随机
变量,
7.WeibullDistribution[ alpha,beta]
功能：生成以 α和 β为参数服从威布尔分布的连续型随机变量,
8.CauchyDistribution[ a,b]
功能：生成以 a和 b为参数服从柯西分布的连续型随机变量,
三、常用命令
理
工
数
学
实
验
9.MultinormalDistribution[ mu,sigma ]
功能：生成以 μ和 σ为参数服从二维正态分布的连续型随机变量,
10.PDF[ dist,x ]
功能：生成连续型随机变量 dist的概率密度函数 f(x)．
11.CDF[ dist,x ]
功能：生成连续型随机变量 dist的分布函数 F(x)=P{dist≤x}．
三、常用命令
理
工
数
学
实
验四、例子
1.（ 1） 生成在区间 [0,1]上服从均匀分布的连续型随机变量 gdist．
（ 2） 生成连续型随机变量 gdist的概率密度函数 f(x)并图形显示,
（ 3） 生成连续型随机变量 gdist的分布函数 F(x)并图形显示,
2.生成以 μ=1和 σ=2为参数服从正态分布的连续型随机变量 gdist及其概率
密度函数, 分布函数并图形显示；试求概率 P{0<gdist<1.6}．
3.生成以 λ=241为参数服从指数分布的连续型随机变量 gdist及其概率密
度函数, 分布函数并图形显示,
4.生成以 n=12为自由度服从 t分布的连续型随机变量 gdist及其概率密度函
数, 分布函数并图形显示,
5.生成以 n=12为自由度服从 χ2分布的连续型随机变量 gdist及其概率密度
函数, 分布函数并图形显示,
6.生成以 μ1,2=0和 σ1,2=1服从二维正态分布的连续型随机变量 ndist及其概
率密度函数并图形显示,
理
工
数
学
实
验
概率论与数理统计基础实验 3
—— 数字特征
理工数学实验
理
工
数
学
实
验一、实验内容
随机变量的数字特征及其相关内容．
理
工
数
学
实
验二, 预期目标
1.熟练掌握随机变量数字特征的有关
操作命令,
2.掌握利用软件对随机变量的特征函
数 (母函数 )的求解,
3.掌握利用软件处理简单的概率
问题,
理
工
数
学
实
验三、常用命令
1.Mean[dist]
功能：求随机变量 dist的数学期望,
2.Variance[dist]
功能：求随机变量 dist的方差,
3.StandardDeviation[dist]
功能：求随机变量 dist的标准差,
4.ExpectedValue[f,dist,x]
功能：求随机变量 dist的函数 f(x)的数学期望,
理
工
数
学
实
验
5.CharacteristicFunction[dist,t]
功能：求随机变量 dist的特征函数 φ(t)．
6.Median[data]
功能：求数据 data的中位数,
7.Mode[data]
功能：求数据 data的众数 （ 出现频率最大的数 ）,
8.GeometricMean[data]
功能：求数据 data的几何平均值,nn
i
ix
1
1
)(?
?
三、常用命令
理
工
数
学
实
验
9.HarmonicMean[data]
功能：求数据 data的调和平均值,
10.Covariance[data]
功能,data的协方差,
11.CovarianceMatrix[data]
功能,data的协方差矩阵,
12.Correlation[xlist,ylist]
功能,xlist和 ylist的相关系数,
13.CorrelationMatrix[xlist,ylist]
功能,xlist和 ylist的相关系数矩阵,
?
?
n
i ix
n
1
1/
三、常用命令
理
工
数
学
实
验四、例子
1.（ 1） 求以 n=34,p=0.3为参数服从二项分布的随机变量的数学期望,
（ 2） 求上述随机变量函数 （ f(x)=x3） 的数学期望,
（ 3） 求以 n,p为参数服从二项分布的随机变量的数学期望和方差,
（ 4） 求服从标准正态分布的随机变量的特征函数,
2.（ 1） 若样本 data={6.5,3.8,6.6,5.7,6.0,6.4,5.3},求样本均值, 调和
均值和中位数,
(2) 若二维总体的样本 data={{1232,4175},{1115,6652},{2205,
7612},{1897,10914},{1932,10850},{1612,7627},{1598,6954},{1804,
8365},{1752,9469},{2067,6410},{2365,10327},{1646,7320},{1579,
8196},{1880,9709},{1773,10370},{1712,7749},{1932,6818},{1820,
9307},{1900,6457},{2426,10102},{1558,7414},{1470,7556},{1858,
7833},{1587,8309},{2208,9559},{1487,6255},{2206,10723},{2332,
5430},{2540,12090},{2322,10072}},求样本均值向量, 中位数向量,
方差向量和协方差矩阵,
理
工
数
学
实
验
概率论与数理统计基础实验 4
—— 估计理论
理工数学实验
理
工
数
学
实
验一、实验内容
单个和两个总体均值、方差的估计．
理
工
数
学
实
验二, 预期目标
1.熟练掌握估计理论的相关操作命
令,
2.熟练掌握利用 Mathematical软件对
总体均值, 方差进行估计,
3.掌握利用 Mathematical软件处理
估计理论相关的实际问题,
理
工
数
学
实
验三、常用命令
1.Mean[data]
功能：总体均值的无偏估计 （ 样本均值 ）,,
2.Variance[data]
功能：总体方差的无偏估计,．
3.VarianceMLE[data]
功能：总体方差的极大似然估计,．
4.CentralMoment[data,r]
功能：总体 r阶中心矩,．
??ni ixn 11
?? ?? ni i xxn 1 2)(11
?? ?ni i xxn 1 2)(1
?? ?ni ri xxn 1 )(1
理
工
数
学
实
验
5.StandardDeviation[data]
功能：总体标准差的无偏估计,
6.StandardDeviationMLE[data]
功能：总体标准差的极大似然估计,
7.MeanCI[ data ]
功能：求数据 data对应总体在方差未知时均值的置信区间 （ 默认
置信度为 0.95）,
8.MeanCI[ data,KnownVariance->var]
功能：求数据 data对应总体在方差已知时均值的置信区间 （ 默认
置信度为 0.95）,
三、常用命令
理
工
数
学
实
验
9.MeanDifferenceCI[ data1,data2 ]
功能：求数据 data1与 data2对应总体在方差未知时均值之差的置
信区间
（ 默认置信度为 0.95）,
10,MeanDifferenceCI[ data1,data2,KnownVariance->{var1,var2}]
功能：求数据 data1与 data2对应总体在方差已知时均值之差的置
信区间
（ 默认置信度为 0.95）,
三、常用命令
理
工
数
学
实
验
11.VarianceCI[ data ]
功能：求数据 data对应总体方差的置信区间 （ 默认置信度为
0.95）,
12.VarianceRatioCI[ data1,data2 ]
功能：求数据 data1与 data2对应总体方差之比值的置信区间 （ 默
认置信度为 0.95）,
三、常用命令
理
工
数
学
实
验四、例子
11.若样本 data = {6.5,3.8,6.6,5.7,6.0,6.4,5.3}来自正态总体, 求总体均
值的无偏估计, 总体方差的无偏估计, 总体方差的极大似然估计, 总体
r阶中心矩,
22.若样本
data1={506,508,499,503,504,510,497,512,514,505,493,496,506,502,509,496}
来自正态总体, 总体方差未知, 设置信度为 0.95：
（ 1） 求出总体均值的置信区间；
（ 2） 求出总体方差的置信区间
理
工
数
学
实
验
3.若样本
data2={507,507,497,506,503,511,498,510,514,510,493,491,507,501,510,495}
来自正态总体, 设置信度为 0.95：
（ 1） 若总体方差为 40,总体均值的置信区间；
（ 2） 若 data1与 data2的总体方差都未知, 均值之差的置信区间 （ 置信度
为 0.95） ；
（ 3） 若 data1与 data2的总体方差都为 40,均值之差的置信区间 （ 置信度
为 0.95） ；
（ 4） data1与 data2的总体方差之比值的置信区间 （ 置信度为 0.95）,
四、例子
理
工
数
学
实
验
概率论与数理统计基础实验 5
—— 假设检验
理工数学实验
理
工
数
学
实
验一、实验内容
对单个和两个总体均值、方差的假设检
验．
理
工
数
学
实
验二, 预期目标
1.熟练掌握假设检验有关的操作命
令,
2.熟练掌握利用 Mathematical软件对
单个总体均值, 方差的假设检验,
3.掌握利用 Mathematical软件对两
个总体均值, 方差有关的假设检
验,
理
工
数
学
实
验三、常用命令
1.MeanTest[data,mu,SignificanceLevel->1-alpha,FullReport->True]
功能：单个总体方差未知时对均值的假设检验 （ 单边, 显著性水平为
alpha）,
2.MeanTest[data,mu,KnownVariance->var,TwoSided->True,
SignificanceLevel->alpha,FullReport->True]
功能：单个总体方差已知时对均值的假设检验 （ 双边, 显著性水平为
alpha）,
3.MeanDifferenceTest[data1,data2,diff,TwoSided->True,
SignificanceLevel->1-alpha]
功能：两个总体方差未知时对均值之差的假设检验 （ 双边, 显著性水平
为 alpha）,
理
工
数
学
实
验
4.MeanDifferenceTest[data1,data2,diff,EqualVariance->True]
功能：两个总体方差相等时对均值之差的假设检验,
5.MeanDifferenceTest[data1,data2,diff,KnownVariance->{var1,var2}]
功能：两个总体方差已知 (var1,var2)时对均值之差的假设检验,
6.VarianceTest[data,var,option]
功能：单个总体方差的假设检验 (参数 option同上 )．
7.VarianceTest[data1,data2,ratio,option]
功能：两个总体方差之比值的假设检验 (参数 option同上 )．
8.NormalPValue[test]
功能：求标准正态分布有关概率 P{ndist>test}．
三、常用命令
理
工
数
学
实
验
9.StudentTPValue[test,n]
功能：求自由度为 n的 t分布有关概率 P{ndist>test}．
10.ChiSquarePValue[test,n]
功能：求自由度为 n的 χ2分布有关概率 P{ndist>test}．
11.FRatioPValue[test,n1,n2]
功能：求第一, 二自由度为 n1,n2的 F分布有关概率
P{ndist>test}．
三、常用命令
理
工
数
学
实
验四、例子
11.若样本 data= {0.497,0.506,0.518,0.524,0.498,0.511,0.520,0.515,0.512}来
自正态总体, 总体方差未知, 对均值为 0.5进行检验 （ 显著性水平为
0.05）,
22.若样本 data1= {34,37,44,31,41,42,38,45,42,38}来自正态总体, 总体方
差为 8,对均值为 39进行检验 （ 显著性水平为 0.05）,
33.若样本 data2= {39,40,34,45,44,38,42,39,47,41}来自正态总体 （ 显著性
水平为 0.05）,
（ 1） 两个总体方差未知时对均值之差的假设检验；
（ 2） 两个总体方差为 8时对均值之差的假设检验,
理
工
数
学
实
验
44.若样本 data3= {41.0,42.4,42.5,40.6,45.6,34.4}来自正态总体, 当显
著性水平为 0.05时对方差为 8进行检验,
55.data1和 data2方差之比值的假设检验,
66.求标准正态分布有关概率 P{ndist>1.96}．
四、例子
理
工
数
学
实
验
概率论与数理统计专题实验 1
—— 线性回归分析
理工数学实验
理
工
数
学
实
验一、实验内容
炼钢是个氧化脱碳的过程,因为钢液含碳量 x与精炼时间 y有一定的关
系，现将某平炉共炼 34炉钢记录下来的含碳量 x与精炼时间 y的数据列
如下表：试分析 y与 x的相互关系,
编 号 含碳量 x(％ ) 精炼时间 y(分 ) 编 号 含碳量 x(％ ) 精炼时间 y(分 )
1 1.80 200 18 1.16 100
2 1.04 100 19 1.23 110
3 1.34 135 20 1.51 180
4 1.41 125 21 1.10 130
5 2.04 235 22 1.08 110
6 1.50 170 23 1.58 130
7 1.20 125 24 1.07 115
8 1.51 135 25 1.80 240
9 1.47 155 26 1.27 135
10 1.45 165 27 1.15 120
11 1.41 135 28 1.91 205
12 1.44 160 29 1.90 220
13 1.90 190 30 1.53 145
14 1.90 210 31 1.55 160
15 1.61 145 32 1.77 185
16 1.65 195 33 1.77 205
17 1.54 150 34 1.43 160
理
工
数
学
实
验二、实验目的
1.熟练掌握回归分析的有关操作命
令,
2.掌握利用 Mathematical软件解
决实际问题,
理
工
数
学
实
验三、预备知识
1.Regress[ data,{1,x,x^2},x]
功能：求数据 data的回归方程,
2.Regress[ data,{1,x1,x2,x1x2,},{x1,x2}]
功能：求数据 data的回归方程,
理
工
数
学
实
验四、实验的简单操作程序
1.对数据进行分析：
In[1]:=<<Statistics`LinearRegression`
In[2]:=data={{1.80,200},{1.04,100},{1.34,135},{1.41,125},
{2.04,235},{1.50,170},{1.20,125},{1.51,135},{1.47,155},
{1.45,165},{1.41,135},{1.44,160},{1.90,190},{1.90,210},
{1.61,145},{1.65,195},{1.54,150},{1.16,100},{1.23,110},
{1.51,180},{1.10,130},{1.08,110},{1.58,130},{1.07,115},
{1.80,240},{1.27,135},{1.15,120},{1.91,205},{1.90,220},
{1.53,145},{1.55,160},{1.77,185},{1.77,205},{1.43,160}}
Out[2]:={{1.80,200},{1.04,100},{1.34,135},{1.41,125},
{2.04,235},{1.50,170},{1.20,125},{1.51,135},{1.47,155},
{1.45,165},{1.41,135},{1.44,160},{1.90,190},{1.90,210},
{1.61,145},{1.65,195},{1.54,150},{1.16,100},{1.23,110},
{1.51,180},{1.10,130},{1.08,110},{1.58,130},{1.07,115},
{1.80,240},{1.27,135},{1.15,120},{1.91,205},{1.90,220},
{1.53,145},{1.55,160},{1.77,185},{1.77,205},{1.43,160}}
理
工
数
学
实
验
In[3]:= dplot=ListPlot[data]
四、实验的简单操作程序
理
工
数
学
实
验
2.针对数据散点图的特征，考虑采用二次回归：
In[4]:= r=Regress[data,{1,x^2},x]
Out[4]:=
9ParameterTable ?
Estimate SE TStat PValue
1 60.431770405804519` 8.3462304542135115` 7.24060649143663948` 3.16732386984597269`*^-8
x
2
42.0329583326294287` 3.37783923378586115` 12.4437415233403947` 8.37108160567368031`*^-14
,
RSquared ? 0.828736608839578892`,
AdjustedRSquared ? 0.823384627865815588`,EstimatedVariance ? 268.10276454451225`,ANOVATable ?
DF SumOfSq MeanSq FRatio PValue
Model 1 41514.8291816344361` 41514.8291816344361` 154.846703099705873` 8.37108160567368031`*^-14
Error 32 8579.28846542439238` 268.10276454451225`
Total 33 50094.1176470588267`=
四、实验的简单操作程序
理
工
数
学
实
验
In[5]:= Chop[r,10^(-6)]
9ParameterTable ?
Estimate SE TStat PValue
1 60.431770405804519` 8.3462304542135115` 7.24060649143663948` 0
x 2 42.0329583326294287` 3.37783923378586115` 12.4437415233403947` 0
,
RSquared ? 0.828736608839578892`,
AdjustedRSquared ? 0.823384627865815588`,EstimatedVariance ? 268.10276454451225`,ANOVATable ?
DF SumOfSq MeanSq FRatio PValue
Model 1 41514.8291816344361` 41514.8291816344361` 154.846703099705873` 0
Error 32 8579.28846542439238` 268.10276454451225`
Total 33 50094.1176470588267`=
In[6]:= func=Fit[data,{1,x^2},x]
Out[6]:= 60.4318 + 42.033 x2
In[7]:= Plot[func,{x,0,2}]
0.5 1 1.5 2
100
125
150
175
200
225
四、实验的简单操作程序
理
工
数
学
实
验
In[8]:= re=Regress[data,{1,x^2},x,RegressionReport->
{FitResiduals,SinglePredictionCITable,
ParameterConfidenceRegion}]
Out[8]:=
83.38144459647614326`,- 5.89461813837651504`,
- 0.906150387873935869`,- 18.9974948669050718`,- 0.356129802875130963`,14.9940733457792703`,
4.04076959520909895`,- 21.2711187000328738`,3.73920993321655714`,16.1939346998421163`,
- 8.99749486690507183`,12.4086871956550903`,- 22.1707499865967472`,- 2.17074998659674633`,
- 24.3854016998132561`,20.1335005336118788`,- 10.1171343874684671`,- 16.9913191381906747`,
- 14.023433067239579`,23.7288812999671261`,18.7083500117138612`,0.540986995016510263`,
- 35.362847587380628`,6.44469559916805678`,43.3814445964761397`,6.77327109949746386`,
3.9796421992930675`,- 8.77220569906992864`,7.82925001340325366`,- 13.8267225666567416`,
- 1.41595279994672296`,- 7.11682556609926564`,12.8831744339007347`,13.6150330998015656` <
In[9]:= errors=FitResiduals/.re
四、实验的简单操作程序
理
工
数
学
实
验
In[10]:= {observed,predicted,se,ci}= Transpose[
(SinglePredictionCITable/.re)[[1]]]；
In[11]:= (xval = Map[First,data]；
predicted = Transpose[{xval,predicted}]；
lowerCI = Transpose[{xval,Map[First,ci]}]；
upperCI = Transpose[{xval,Map[Last,ci]}])；
In[12]:= <<Graphics`MultipleListPlot`
In[13]:= MultipleListPlot[data,predicted,lowerCI,upperCI,
SymbolShape -> {PlotSymbol[Diamond],None,None,None},
PlotJoined ->{False,True,True,True},
PlotStyle -> {Automatic,Automatic,Dashing[{.05,.05}],
Dashing[{.05,.05}]}]
四、实验的简单操作程序
理
工
数
学
实
验
1.2 1.4 1.6 1.8
100
150
200
250
四、实验的简单操作程序
理
工
数
学
实
验五、练习内容
对本数据进行一次回归，并将结果
与上述结果进行比较,
理
工
数
学
实
验
概率论与数理统计专题实验 2
—— 沙岩体空间分布
理工数学实验
理
工
数
学
实
验一、实验内容
根据某浅层天然气开发公司所提供的某地区浅层十几口深井沙岩体主
状图和井位图标，数据如下表，要求建立该地区的沙岩体空间分布数
学模型，并在计算机上摸泥沙岩体的空间分布数学三维图形及其等纸
线图．进而为该地区油气勘探提供一些可行的绝测依据．,
表 1某地区浅层各静坐标记沙层厚度
井号 坐标 砂岩厚度
z(m)横 x(m) 纵 y(m)
1 0.7 7.2 17.3
2 2.2 5.2 22.4
3 1.7 2.5 25.1
4 0.3 0.8 20.7
5 5.7 3.0 27.5
6 4.7 5.3 20.2
7 5.7 7.0 22.2
8 9.3 6.5 21.3
9 10.7 7.5 22.4
10 13.8 7.5 15.9
11 8.3 4.0 20.9
12 12.1 5.1 23.4
13 10.9 3.2 27.8
14 13.8 3.2 17.2
15 7.8 0.9 18.3
16 10.4 0.9 20.3
17 13.1 1.1 18.2
理
工
数
学
实
验二、预备知识
1.Fit[{ f1,f2,… },{1,x,x^2},x]
功能：如果自变量取值 1,2,… 时, 相应的函数为 f1，
f2,… 用此命令可以求得这一函数的一个二次多项式拟合,
即 f(x)=a0+ a1x+ a2x 2,其中 ai是实数,
2,掌握 Fit[{{x1,t1 },{ x1,t2 },… },{1,x,x^2},x]
功能：求数据表 {x1,f1},{ x2,f2},… 的一个二次多项式
拟合,
理
工
数
学
实
验三,实验步骤
分析：若利用 Fit命令构造一次，二次，三次，二元插值多项式
分别作出它们所对应的三维图形及其等直线图．
理
工
数
学
实
验
f=11.3438-0.290327x+0.171397x^2-0.0124941x^3+10.5135y
-2.61761y^2+0.18307y^3
三维图：
三,实验步骤
理
工
数
学
实
验
等值线图
三,实验步骤
理
工
数
学
实
验
2.针对数据散点图的特征，考虑采用二次回归：
In[4]:= r=Regress[data,{1,x^2},x]
Out[4]:=
9ParameterTable ?
Estimate SE TStat PValue
1 60.431770405804519` 8.3462304542135115` 7.24060649143663948` 3.16732386984597269`*^-8
x
2
42.0329583326294287` 3.37783923378586115` 12.4437415233403947` 8.37108160567368031`*^-14
,
RSquared ? 0.828736608839578892`,
AdjustedRSquared ? 0.823384627865815588`,EstimatedVariance ? 268.10276454451225`,ANOVATable ?
DF SumOfSq MeanSq FRatio PValue
Model 1 41514.8291816344361` 41514.8291816344361` 154.846703099705873` 8.37108160567368031`*^-14
Error 32 8579.28846542439238` 268.10276454451225`
Total 33 50094.1176470588267`=
三,实验步骤
理
工
数
学
实
验四,思考与提高
1.能否计算出该空间曲面各点的曲
率,
2.能否将所计算法推广到石油、
煤资源分布确定？
理
工
数
学
实
验五,练习内容
在土豆生长期间，施用不同量的氮（ N）和钾（ K）肥进行试验，
测得施肥量与产量的如下一批数据：
试验情况
序号
氮 N
（ kg/ha）
钾 K
(kg/ha)
产量 y
(t/ha)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
200
200
200
260
260
260
320
320
320
270
370
470
270
370
470
270
370
470
48
37
49
44
42
52
49
43
59
求施肥量与产量间的对应关系，并对结果进行回归分析,
理
工
数
学
实
验
概率论与数理统计专题实验 3
—— Buffon实验
理工数学实验
理
工
数
学
实
验一、实验内容
利用著名的 Huffon实验可以求得 π 的近似值．在一大张纸
上面出一组间距为 2个单位的平行线，用一根长度恰好等
于 2的针扔到纸面上，针可能与平行线相交，也可能不与
平行线相交而位于相邻两线之间．法国科学家 Buffon指出：
如果你不断的扔掷这根针，那么扔掷总次数的两倍除以针
与平行线相交的总次数所得的商就是 π 的近似值．这是为
什么呢？我们能否用这个思想来求 π 的近似值？,
理
工
数
学
实
验二、实验目的
1.熟练掌握随机数的有关操作命令；
2.掌握利用 Mathematical软件处
理实际问题的能力,
理
工
数
学
实
验三、预备知识
1.Clear[x1,x2,…,xn]
功能：清除变量 x1,x2,…, xn原来的数值,
2.Random[Real,{min,max},n]
功能：生成区间 [min,max]内精度为小数点后 n位的随机数,
3.Sum[f,{i,imin,imax}]
功能：求和 （ 变量 i从 imin到 imax）,
理
工
数
学
实
验四、实验的简单操作程序
1.问题分析
设落在纸面上的针的中心位置到其最近的平行线距离为 y，而
针与平行线的夹角（取较小的那一个）为 x，那么从图一容易
看出：落针是否与平行线相交取决于 y是否小于 sinx.换一个等
价的说法：落针是否与平行线相交取决于点（ x,y）是否落在
图二的阴影区域Ｄ 1，即 y=f(x)=sinx（ 0≤x≤ π /2）下方的曲
边梯形上．由于每一次扔掷针是独立的，而落针的距离 y和角
度 x分别是服从区间 [0,1]和 [0,π /2]上的均匀分布的随机变量，
或者说（ X,Y）是服从区域 D={0≤x≤ π /2,0≤y≤1} 上均匀分
布的二维随机变量，显然每一次掷针，（ xi,yi）落在区域 D1的
概率 p等于 D1的面积除以 D的面积．根据大数定律，则（ xi,yi）
落在区域 D1的频率将依概率收敛于 p，容易求出
??
?
2
2
s in2
01 ??? ?
x d x
S
S
p
D
D
理
工
数
学
实
验
故只要试验 （ 掷针 ） 次数 n足够多, 那么就可以作
为 π 的近似值, 这就是 Buffon实验的原理,
利用这个原理我们来求 π 的近似值．当然，我们不
可能真的掷针，采用的方法是在正方形 Q＝
{(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1} 内产生 n个随机点
（ xi,yi），而考察其落在四分之一圆 H＝ {(x,y)|
(x,y)∈Q,x 2+y2≤1} 上的频率，显然，在 n充分大时，
其接近 H与 Q的面积之比，从而
?
?
?
n
n4
四、实验的简单操作程序
理
工
数
学
实
验
2.Mathematical软件实现：
In[1]:=Clear[m,t,s]
In[2]:=m=100000
Out[2]:=100000
In[3]:=t=Table[{x=Random[Real,{0,1},10 ]；
y=Random[Real,{0,1},10 ]；
If[ x^2 + y^2 <1,1,0 ] },{ k,m }]；
In[4]:= s=4*Sum[ t[ [ k ] ],{ k,1,m } ] / m //N
Out[4]:=3.1486
四、实验的简单操作程序
理
工
数
学
实
验五、练习内容
在区域 H＝ {(x,y)| (x,y)∈Q,x 2+y2≤1},Q
＝ {(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1} 上考虑计算二
重积分（利用 Monte-carlo法）：
?? ?
?
?
H
d xd y
yx
yx
I
)s i n (
理
工
数
学
实
验
概率论与数理统计专题实验 4
—— 订票问题
理工数学实验
理
工
数
学
实
验一、实验内容
航空公司的机票可采用预定的方式．在某一航班上，
根据经验知道：预定了机票而届时又不能如期到机场的旅
客占预定机票旅客数的 p＝ 3％，为减少因此而产生的损失，
航空公司准备适当扩大机票预定数额，即允许预定票数略
超出航班容量（客机可载旅客数），然而这样就可能有些
预定了机票且如期到达机场的旅客无法登机，公司必须给
这些乘客以赔偿．初步确定赔偿费为机票费的 k＝ 10％，
另外，公司的形象顾问认为每次航班这部分旅客的数目超
过 5名的概率 P(5)必须控制在 5％以内．现在已知航班容量
为 N＝ 300(人 )，飞行一次的成本 C为全部机票 (300张 )款额
的 60％，为使公司的支出获得尽可能大的利润，试确定该
航班机票预定额度为多少？假定旅客是否如期到机场是相
互独立的．
理
工
数
学
实
验二、实验目的
1.熟练掌握离散型随机变量的有关
操作命令；
2.掌握利用 Mathematical软件处
理实际问题的能力,
理
工
数
学
实
验三、预备知识
1.Clear[x1,x2,…,xn]
功能：清除变量 x1,x2,…, xn原来的数值,
2.BinomialDistribution[m,p]
功能：生成以 n,p为参数的服从二项分布的随机变量,
3.Sum[f,{i,imin,imax}]
功能：求和 （ 变量 i从 imin到 imax）,
理
工
数
学
实
验四、实验的简单操作程序
1.问题分析
设每次飞行的利润为 L，单张机票的价格为 g，预定
机票数为 m，预定机票而又未能如期到机场的旅客数
为 n的概率为 Pn，那么
??
?
????????
??????
300,1.0)300(3006.0300
300,3006.0)(
nmgnmgg
nmggnmL
所以该航班平均利润为
E(L)＝ ??
?
??????2 9 9
0
]1.0)300(3006.0300[m
n n
Pgnmgg
??? ???nmn nPggnm3 0 0 ]3006.0)[(＋
理
工
数
学
实
验
故而公司在该航班支出所获的平均利润为 E(L)／ 180g
2.Mathematical软件实现：
In[1]:= <<Statistics`DiscreteDistributions`
In[2]:= Clear[ m,b,L,e1,p4 ]
In[3]:= b=BinomialDistribution[ m,0.03 ]
Out[3]:=BinomialDistribution[ m,0.03 ]
In[4]:= L[n_]:=If[ m－ n<=300,(m-n)－ 0.6*300,
300－ 0.6*300－ (m－ n－ 300)*0.1 ]；
In[5]:=e1=Sum[ L[n]*PDF[ b,n ],{n,0,m }]/(300*0.6)
Out[5]:=
In[6]:= p4=CDF[b,m-305]；
In[7]:= result=Table[{m,e1,p4},{m,304,350}]；
In[8]:= TableForm[result,TableHeadings->{Automatic,
{"m","EF/f","p4"}}]
Out[8]//TableForm= m EF/f p4
??mn nbP D FnL0 ],[][0 0 5 5 5 5 5 6.0
四、实验的简单操作程序
理
工
数
学
实
验
1 304 0.63807244101566134` 0
2 305 0.643173079258580582` 0.0000923376784214585022`
3 306 0.647949491285953982` 0.000937227435977832001`
4 307 0.652231458334620839` 0.00481527142316085399`
5 308 0.655864996111212583` 0.0167208664638143433`
6 309 0.658752029688326778` 0.0442227910077158092`
7 310 0.660872652287311712` 0.0952113591121320901`
8 311 0.662282811909570501` 0.174243639673988726`
9 312 0.663092307378779466` 0.279582379337098352`
10 313 0.663434786468990989` 0.402828704742965282`
11 314 0.663441013766325404` 0.531415704249750042`
12 315 0.663221712182579636` 0.652544657785141613`
13 316 0.662860778461515742` 0.756605440595091494`
14 317 0.66241619325934824` 0.838813459014952123`
15 318 0.661924960054777322` 0.898951786335942415`
16 319 0.661409081155602684` 0.939931760810388716`
17 320 0.660880827523453451` 0.966076984525085613`
18 321 0.66034665258157652` 0.98176411875390368`
19 322 0.659809770755252067` 0.990650418908228225`
20 323 0.659271704051780904` 0.995419399991049047`
21 324 0.658733139699908321` 0.997851580343287736`
22 325 0.658194374422493666` 0.999033619994475863`
23 326 0.65765553102522789` 0.999582424118241519`
24 327 0.657116658333018222` 0.999826392496897575`
25 328 0.656577775029528964` 0.999930450314054652`
26 329 0.656038888008301945` 0.999973114019089237`
27 330 0.655499999725607995` 0.999989957649836647`
28 331 0.65496111102789154` 0.999996371186159827`
29 332 0.654422222197635328` 0.999998729942296371`
30 333 0.653883333326251126` 0.999999568985550801`
31 334 0.653344444442452854` 0.999999858021485543`
四、实验的简单操作程序
理
工
数
学
实
验
In[9]:= For[m=304,p4<=0.05,m++,nel=N[e1,7]；
Print[TableForm[Transpose[{{m},{nel},{p4}}]]]]
304 0.63807244101566134` 0
305 0.643173079258580582` 0.0000923376784214585022`
306 0.647949491285953982` 0.000937227435977832001`
307 0.652231458334620839` 0.00481527142316085399`
308 0.655864996111212583` 0.0167208664638143433`
309 0.658752029688326778` 0.0442227910077158092`
四、实验的简单操作程序
理
工
数
学
实
验
概率论与数理统计专题实验 5
—— 报童售报策略问题
理工数学实验
理
工
数
学
实
验一、实验内容
报童每天清晨从报站批发报纸零售，晚上将没有卖完
的报纸退回。设每份报纸的批发价为 b，零售价为 a，退回
价为 c，且设 a>b>c>0。因此，报童每售出一份报纸赚钱
（ a－ b），退回一份报纸赔（ b－ c）。报童每天如果批发
的报纸太少，不够卖的话就会少赚钱，如果批发的报纸太
多，卖不完的话就会赔钱。报童应如何确定他每天批发的
报纸的数量，才能获得最大的收益？
理
工
数
学
实
验二、实验目的
学习离散问题的连续化处理方法
理
工
数
学
实
验三、预备知识
变 (上, 下 )限积分的求导方法, 期望的含义及其计算
理
工
数
学
实
验四、实验的简单操作程序
建立本问题的数学模型, 即通过已知变量 a,b,c的某种关系式表示出
报童每天的最优批发量
显然, 应该根据需求量来确定批发量, 一种报纸的需求量是一随机变量,
假定报童通过自己的实践经验或其他方式掌握了需求量的随机规律, 即
在他的销售范围内每天报纸的需求量为份的概率为, 于是, 通过和就可
以建立关于批发量的优化模型,
设每天批发量为份, 因为需求量是随机的, 故可以小于, 等于或者大于,
从而报童每天的收入也是随机的, 因此, 作为优化模型的目标函数, 应
该考虑的是他长期 （ 半年, 一年 ） 卖报的日平均收入, 根据概率论中的
大数定律, 这相当于报童每天收入的期望 （ 以下简称平均收入 ）,
设报童每天批发进份报纸时的平均收入为, 若某一天需求量, 则他售出
份, 退回份；若这天需求量, 则份报纸全部卖出, 因需求量为的概率为,
故平均收入
?
?
?????? n
x
xpxncbxbanS
0
)()])(()[()( ?
?
??
?
1
)()(
nx
xnpba
理
工
数
学
实
验
所需考虑的问题变为当及已知时, 求使达到最大值的,
为了便于分析和计算，同时考虑需求量的取值与批发量
都相当大，故可将视为连续变量，这时概率转化为概率
密度函数的表达式变为
? ? ? ??????? n n xxnfbaxxfxncbxbanS 0 d)()(d)()])(()[()(
? ? ? ???????? n n xxfbannfbaxxfcbnnfban nS 0 d)()()()(d)()()()(d )(d
? ? ?????? n n xxfbaxxfcb 0 d)()(d)()(
0d )(d ?nnS
四、实验的简单操作程序
理
工
数
学
实
验
cb
ba
xxf
xxf
n
n
?
??
?
?
?
d)(
d)(
0
n
因此，使报童日平均收入达到最大值的批发
量 应满足上式．
因为, 故 （ 1） 又可以写成
对于实验要求而言, 若令
1d)(0 ??? xxf
ca baxxfn ????0 d)(
?? ??? nn xxfPxxfP d)(,d)( 201
（ 1）
四、实验的简单操作程序
理
工
数
学
实
验
则当批发进份报纸时, 是需求量不超过的概率, 即卖不完的概率；是需
求量超过的概率, 即卖完的概率, 所以, 由 （ 1） 知批发的报纸份数应
使得卖不完与卖完的概率之比, 等于卖出一份报纸赚的钱 （ ） 与退回一
份赔的钱 （ ） 之比, 所以, 当每份报纸赚钱与赔钱之比越大时, 报童批
发进的报纸份数就应该越多,
另外, 从数学模型的角度看, 本问题实际上是需求为连续型随机变量的
存储模型, 所以解答过程可以推广到满足此条件的各种物质的存储问
题, 同时, 对于需求为离散型随机变量的存储问题也可以类似处理, 只
是收益期望值的计算是离散型随机变量而已,
四、实验的简单操作程序
理
工
数
学
实
验五、练习内容
应用上面的分析结论解决如下实际问题：
一煤炭部门煤的进价为 65元／ t,零售价为
70元／ t,若当年卖不出去, 则第二年削价
20%处理掉, 如供应短缺, 有关部门每吨罚
款 10元, 已知顾客对煤炭年需求量 x服从均
匀分布, 分布函数为
求一年煤炭最优存储策略。
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
8 0 0 0 0,1
8 0 0 0 02 0 0 0 0,
6 0 0 0 0
2 0 0 0 0
2 0 0 0 0,0
)(
x
x
x
x
xF
理
工
数
学
实
验
概率论与数理统计专题实验 6
—— 独家销售商品广告问题
理工数学实验
理
工
数
学
实
验一、实验内容
对于独家销售商品广告而言, 我们假定商品销售与广告之间满足如下
条件：
1,商品的销售速度是因为做广告而增加, 但这种增加有一定限度,
当商品在市场上趋于饱和时, 销售速度将趋于它的极限值, 当速度达
到它的极限值时, 无论再用何种形式做广告, 销售速度都将减慢,
2,自然衰减是销售速度的一种性质, 即商品销售速度随商品的销售
率增加而减小,
3．令为时刻商品销售速度；为时刻广告水平（以费用表示）； M
为销售的饱和水平，即市场对商品的最大容纳能力，它表示销售速度
的上极限；为衰减因子，即广告作用随时间增长而自然衰减的速度，
为常数，试问广告与销售之间的内在联系（数学关系式）如何？如何
评价不同时期的广告效果？
理
工
数
学
实
验二、实验目的
学会分析问题, 建立问题的数学表
达式并加以求解和推广, 体会数学
建模的整个过程,
理
工
数
学
实
验三、预备知识
常微分方程, 参数估计, 最小二乘法,
理
工
数
学
实
验四、实验的简单操作程序
1.根据独家销售广告问题中的三个假设条件, 我
们引入响应系数, 即对的影响能力, 为常数, 从
而有反映销售和广告的如下关系式：
（ 1）
由式（ 1）可以看出，当时或时，都有,
2,利用（ 1）中的结论和给出的数据（某种肥皂
从 1997年 2月至 1998年 1月在某城市内做广告费用
和销售量的调查数据，见下图）来估计参数 M及
和可能引入的其他参数．
)()(1)(dd tsMtstPAts ???????? ??
sts ???dd
理
工
数
学
实
验
为了解 （ 1） 式, 我们选择一种广告策略
（ 2）
在 （ ） 时间内, 用于广告花费为, 则,
代入 （ 1） 式有
??
?
?
??
?
?
t
tAtA
,0
0,)( ＜常量，
?,0 a ?/aA?
四、实验的简单操作程序
理
工
数
学
实
验
???
aPsa
M
P
t
s ????
?
??
?
? ???dd
baMP ??? ??
kaP ???
??
???
?
?????
?
??
??
?
?? tls
tlslbkts
t
MM
)(
0
)(
0)1()(
s(t)的图形如图 所示．
四、实验的简单操作程序
理
工
数
学
实
验
对于实验要求 （ 2） 的参数处理计算过程如下：
为便于估计参数，我们将（ 3.1）离散化，得
)()(1)()()1( nsM nsnPAnsns ???
?
??
?
? ????
四、实验的简单操作程序
理
工
数
学
实
验
上式关于数 p,M,λ是线性方程, 把 11个月调查结果代入上式, 利
用最小二乘法可以得到 p=1.207,M=11817,λ=0.341．
（ 说明：由于图形上没有给出具体的数据, 从而参数 p,M,λ的结
果可能会有所不同, 这是允许的, ）
把参数代入 （ 3.1） 得到关于肥皂的广告与销售关系式：
)(3 4 1.01 1 8 1 7)(1)(2 0 7.1dd tststAts ??
?
??
?
? ??
四、实验的简单操作程序
理
工
数
学
实
验五、练习内容
我们可以假设广告策略公式是一个具体的
简单函数关系式．但事实上广告策略公式
并不能轻易得到．如果我们只有一组在不
同时刻所花费的广告费用的调查数
据,） )，试问此时刻该如
何得到广告策略公式．
,(it )( itA ni,,2,1,0( ??
理
工
数
学
实
验
概率论与数理统计专题实验 7
—— 最佳检验中 N的确定
理工数学实验
理
工
数
学
实
验一、实验内容
a
?
假设总体 X服从正态, 其中 为未知参数, 为已知,
记为, 提出假设检验问题：
其中 ;在给定犯两类错误的概率 及 的大小，用最
佳检验法判断这个假设，试问子样容量 n应多大？
),( 2?aN ?
0?
1100 ;;,aaHaaH ??
10 aa ? ?
理
工
数
学
实
验二、实验目的
学会分析问题, 建立问题的数学表
达式并加以求解 。
理
工
数
学
实
验三、预备知识
Solve[f[x]==0,x]
功能：解方程 f(x)=0．
Solve[{f[x,y]==0,g[x,y]==0},{x,y}]
功能：解方程组 f(x,y)=0,g(x,y)=0．
理
工
数
学
实
验四、实验的简单操作程序
X
我们知道，对于上述假设检验问题，最佳否定域为 。
当原假设为真子集，子样平均 服从正态 ；若
不为真，即备选假设 为真，则子样平均 服从正
态 。因而有方程组：
kX?
X ),( 00 naN ? 0H
1H
),( 01 naN ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
? ??
?
??
?
??
?
?
Xde
n
Xde
n
k
n
aX
k
n
aX
2
0
2
1
2
0
2
0
)/(2
)(
0
)/(2
)(
0
)/(2
1
)/(2
1
将子样平均 标准正态化, 作变换
U服从正态分布 N(0,1),则上面的方程组可以化为：
X
n
aXU
/0
0
?
??
理
工
数
学
实
验
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
due
due
n
ak u
n
ak
u
/ 2
/
2
0
1
2
0
0
2
2
1
2
1
查表可得对于给定的 有,
对于给定的 有
简单过程；
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0 aa uUP
n
akU 使得
? ?? ?? ???? }{,/
0
1 uUPnakU 使得
In[1]=Solve[{,},{n,k}]
Out[1]={{,}}
nakU /0 1?? ??? nakUa /0 0? ???
201
202
)( )( aa uun a ??? ?? ?? ?uu uauak a ??? 01
四、实验的简单操作程序
理
工
数
学
实
验五、练习内容
上述方法可以进一步改进吗？怎样
改进？
理
工
数
学
实
验
概率论与数理统计专题实验 8
—— 毒品走私船问题
理工数学实验
理
工
数
学
实
验一、实验内容
相距 5.43哩的两个监听站收到一个短暂的无线电讯号，收到讯号时测
向仪分别定位于 111度和 119度，测向仪的精度为 2度，据推测讯号来
源处有一只机动船正等着有人来取毒品，一架飞行速度是走私船 3倍
的装有探照灯侦察仪器的小型直升飞机从 1飞往走私船。,
试问飞行员能够找到毒品走私船的最小区域，并为其寻找一个最佳的搜索方案。
理
工
数
学
实
验二、实验目的
1,学会分析问题, 建立问题的数
学表达式并加以求解 。
２, 熟练利用 Mathematica软件处理
实际问题的能力 。
理
工
数
学
实
验三、预备知识
1,Clear[x1,x2,…,xn ]
功能；清除变量 x1,x2,…,xn 原来的数值 。
2.Random[Real,{min,max},n]
功能：生成区间 [min,max]内精度为小数点后 n的随机数 。
理
工
数
学
实
验四、实验的简单操作程序
问题假设：
1,缉私人员可发现探照灯覆盖的以 225英尺为半径的圆内所有物
体；
2,直升飞机不返回基地加油；
3,飞行高度不变, 且贴近于海平面飞行；
4,缉私人员不能发现在探照灯范围外的船；
5,当毒贩子听到飞机的声音时也能判断出飞机的飞行方向；
6,走私船逃跑方式是最科学的,听到声音后就延飞机的垂直方向
跑；
7,直升飞机的飞行速度为 180英尺 /秒；
8、探照灯可快速任意旋转（ 180度内），并且旋转时间可忽略。
理
工
数
学
实
验
问题的分析：
收到讯号时测向仪分别定位于 111度和 119度，测向仪的
精度为 2度，根据这些数据就可算出走私船所在大概的
位置（在一个四边形内），这就为飞机的飞行方向确定
了目标。当缉私人员未发现走私船，而毒贩子已听到了
飞机的声音时，走私船就要逃跑，但往哪个方向逃跑呢，
最可能逃走的是沿着与飞机飞行路线垂直的方向，由此
就可算出飞行员找到走私船的最小区域。在搜索过程中，
飞机不可能一直沿着直线飞行，因此就要考虑到很多的
因素：飞机的速度，走私船所在位置范围的大小等等。
飞机可以沿着 Z形,S形、圆形、四边形 …… 这就要通过
建立模型，求解模型，比较模型，从中得出精度大于
95%的最佳搜索方案。
四、实验的简单操作程序
理
工
数
学
实
验
问题求解
确定走私船的区域及船位置模拟的数据如图：
四、实验的简单操作程序
理
工
数
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实
验
1．
3x
x
y
θ
500
四、实验的简单操作程序
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学
实
验
在我们假设条件下 — 走私船逃跑方式是最科学的,听
到声音后就延飞机的垂直方向跑, 通过几何知识就可得上面
的图形：
x+y=225;tan(θ )=y/3x;y+(3x)=250000
2 解方程可得 θ =6.8*pi/180; y=119.4 （ 英尺 ） ;
其中 y是我们要求的飞行员能够找到毒品走私船的最小区域；
2,我们通过计算机模拟出 100艘船的位置 （ 服从正态分布
:μ x=17.7,ρ x=9.0;μ y=31.90,ρ y=1.804*9.0）, 考虑圆
形搜索和平行于确定的区域各边并以一定的宽度搜索 。 通过
比较得到较好的方式 。
（ 1）圆形搜索,
四、实验的简单操作程序
理
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实
验四、实验的简单操作程序
理
工
数
学
实
验
一是我们模拟的搜索的方式, 二是在该搜索方式下所覆盖的区域
（ 绿色 ）, 船所在的位置 （ 蓝点 ）, 四条直线代表船位置的所有可
能的范围 ;（ 该图是船不动条件下的 ） 。
从图中很明显看的出该方式的弊端：所能及范围很小,
在此我们就不去算它能捕捉到多少船和船的会动条件下的情况；
因此我们考虑一种范围广的搜索方式：平行于确定的区域各边并以
一定的宽度搜索
(2)平行于确定的区域各边并以一定的宽度搜索 。
下图是该搜索方式的图形：
四、实验的简单操作程序
理
工
数
学
实
验
船的运动方式还是在最科学的条件下，通过调整不
同的宽度我们就可得到一组数据：
（反映在 100艘船中搜索到的数目）
宽度 119 200 500 1000
I->O 30 15 9 6
O->I 28 17 10 8
四、实验的简单操作程序
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验
I->O代表由里向外搜索； O->I代表由外向里搜索,数字代表 100艘船中捕获的
数目,
相对来说第二种搜索方式效果更好 。
3,由于我们无法找到一种更科学的方法可以使精度达到 95%
从现实中也可以知道追捕走私船也不是件容易的事 。 精度这样高也是不
现实的 。
模型检验：我们主要就速度比对捕获带的影响做灵敏度分析：
当速度比从 3降到 2时, 捕获宽带从 119.4英尺减到 25英尺 。
因此速度比是个关键 。 要想达到一个很高的精度我们就要求一个
较大的速度比 。
模型的讨论
本模型假设走私船听到声音后，沿与直升飞机垂直的方向逃跑，虽然不太现
实，但这是最坏的考虑，即最有可能逃掉的方式，所以还是可行的。由于模
型大都是通过计算机模拟而得出来的，因此比较方便，操作又较为简单，适
应性较好。
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实
验
模型中没有算出其它搜索方案的搜索效果, 也许有欠科学性, 但是
在我们的讨论过程中已经把它们否定掉了, 因为它们的搜索效果都不
理想, 所以无须进一步的求解, 可以减少求解步骤 。
最佳搜索方案的求解问题一般都是较难的, 所以就得有个判断标准
,即搜索的精度, 精度越高, 搜索方案就越佳, 因此只要满足要求,
就可以把其定为最佳的 。
模型的推广
本模型虽然是从毒品走私船问题中得出来的, 但它的适用范围还是
很广泛的 。 特别是在军事上, 当收到敌军的讯号时, 可判断出他们可
能的地方, 并根据我军的军火杀伤力, 进行如上的搜索方式对敌军轰
炸 。 但还是有不同的所在, 直升飞机的速度是船的 3倍, 而敌军的逃跑
速度相对于导弹是可忽略的 。 所以就得对模型进行改进, 可以假设目
标静止不动 。
为了使本模型的精度更高, 还可以考虑到一些现实的因素, 走私船
逃跑后, 监听站也有可能再次收到讯号, 并与飞行员进行联络 。 飞行
员还可以根据走私船逃跑的痕迹 — 波痕来判断走私船的去向 。
四、实验的简单操作程序
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实
验五、练习内容
相距 5.43哩的两个监听站收到一个短暂
的无线电讯号，收到讯号时测向仪分别定
位于 111度和 119度，如果测向仪的精度为
1度，此时飞行员能够找到毒品走私船的
最小区域，搜索方案如何？
