理
工
数
学
实
验理工数学实验
综合实验
综合实验 1 估计水塔的水流量 综合实验 2 轧钢中的浪费问题
综合实验 3 锁具装箱问题 综合实验 4 檐沟问题
综合实验 5 快餐店问题 综合实验 6 最佳泻洪方案
综合实验 7 钻井问题布井模型 综合实验 8 食品加工问题
综合实验 9 块匹配运动位移估值算法设计
综合实验 10 矢量量化编码的 LBG算法及其实现
综合实验 11 圆的扫描转换算法 — 中点画圆法
综合实验 12 大熊猫栖息地环境质量综合评价
理
工
数
学
实
验
综合实验 1 估计水塔的水流量
理工数学实验
理
工
数
学
实
验一、实验内容
美国某州的各公用水管理机构要求各社区提供各个时刻
的用水率以及每天所用的总用水量．但许多社区并没有
测量流入或流出当地水塔的水量的设备，他们只能代之
以每小时测量水塔中的水位．更为重要的是，无论什么
时候，只要水塔中的水位下降到某一最低水位 L时，水
泵就启动向水塔重新充水直到某一最高水位Ｈ，但也无
法得到水泵的供水量的测量数据．因此，在水泵正在工
作时，人们不容易建立水塔中水位与水泵工作时的用水
量之间的关系．水泵每天向水塔充水一次或两次，每次
大约二小时．试估计在任何时候，甚至包括水泵正在工
作的时间内，水从水塔流出的流量，并估计一天的总用
水量．表１给出了某个小镇某一天的真实数据．
理
工
数
学
实
验一、实验内容
表１．某小镇某天的水塔水位
时间（秒） 水位 (0.01英尺 ) 时间（秒） 水位 (0.01英尺 ) 时间（秒） 水位 (0.01英尺 )
0 3175 35932 水泵工作 68535 2842
3316 3110 39332 水泵工作 71854 2767
6635 3054 39435 3550 75021 2697
10619 2994 43318 3445 79154 水泵工作
13937 2947 46636 3350 82649 水泵工作
17921 2892 49953 3260 85968 3475
21240 2850 53936 3167 89953 3397
25223 2797 57254 3087 93270 3340
28543 2752 60574 3012
32284 2697 64554 2927
理
工
数
学
实
验一、实验内容
表１给出了从第一次测量开始的以秒为单位的时刻，
以及该时刻的高度单位为百分之一英尺的水塔中水位的
测量值，例如 3316秒后，水塔中的水位达到 31.10英
尺．水塔是一个垂直圆形柱体，高为 40英尺，直径为 57
英尺．
理
工
数
学
实
验二、问题分析
我们很容易想到应通过对所给的数据进行数值拟合来建
模．在讨论具体的建模方法以前，我们应先给出一些合理
的假设．
(1)影响水从水塔中流出的流量的唯一因素是公众对水的传统要
求．因为表１只给出了某一天（近 26小时）水塔的水位数
据，并没有对这些数据的产生有影响的因素作出具体的说
明，我们只能假定所给数据反映了有代表性的一天，而不
包括任何特殊情况，如自然灾害、火灾、水塔溢水、水塔
漏水等对水的特殊要求．
(2)水塔中的水位不影响水流量的大小，气候条件、温度变化等
也不影响水流量．
(3)水泵工作起止时间有它的水位决定，每次充水时间大约为两
个小时．
理
工
数
学
实
验二、问题分析
(4)水泵充水速度恒定，且水泵充水的水流量远大于水塔的水流
量，以保证人们对水的需求．水泵工作时不需要维修，也
不中途停止工作．
(5)水塔的水流量与水泵状态独立，并不因水泵工作而增加或减
少水流量的大小．
(6)水塔的水流量曲线可以用一条光滑的曲线了逼近．这时，在
每一个数据点，水流量的两阶导数是连续的．因为水的消
耗量是基于社区公众一天的活动，如洗澡、做饭、洗衣服
等，每一个使用者的要求与整个社区的要求相比是微不足
道的，而整个社区的需求是不可能同时增加或减少的，由
于水的消耗的自然性，可以假设水流量曲线是一条连续光
滑的曲线．
(7)表１的数据是准确的
理
工
数
学
实
验二、问题分析
对所给的问题，其建模方法是经典的，基本上是分成三步：
首先由所给数据得到在各数据点处的水流量，然后找出一
个水从水塔流出的水流量的光滑拟合逼近，最后处理水泵
工作时的充水水量以及一天该小镇公众的总用水量，同时
也重建了水泵工作时所缺的数据．所给数据的初步处理,
我们把表１所给的数据作为时间的函数画成图１（程序见
实验解答中程序一）
理
工
数
学
实
验二、问题分析
图 1．时间与水位的关系图
理
工
数
学
实
验二、问题分析
从图１可以看出，最大的困难是要解决如何描述水塔充水
期间的水流量的行为，为此，我们先分析一下水泵充水期
间的观察数据，要解决两个问题：一是两次充水准确的起
始时间和停止时间，如果无法得到准确时间的话，以哪一
时刻作为起止时间比较合理；二是充水期间的水流量如何
描述．
从所给的数据自然无法知道水泵开始和停止的准确时间，但是
已知第一次充水前的最后一个数据为 32284秒时水位为 26.97
英尺,充水中第二个数据为 39332秒时．而 39332-
32284=7048秒，即约为 1.96小时，由水泵每次充水要大约２
小时可知，水泵是在 32284秒时开始充水的．停止时间在
39332秒与 39435秒之间，但这两个时刻的差距为 103秒，约
0.028小时，很短的时间，所以我们可以假定水泵停止工作
时间为 39332秒．充水开始时水塔水位为 26.97英尺，可以认
为 L大约为 27.00英尺．
理
工
数
学
实
验二、问题分析
１、水流量曲线的拟合
表１给出的是水位与时间的关系，而题目要求我们求
出的是水流量与时间的关系，因此，我们先将表１的数据
转化为水塔中水的体积与时间的关系，然后再转化为水流
量与时间的关系．表２、图２代表水的体积与时间的关系
（程序见实验解答中程序二）
理
工
数
学
实
验二、问题分析
表 2．时间与体积的关系
时间（秒） 体积 (立方英尺 ) 时间（秒） 体积 (立方英尺 ) 时间（秒） 体积 (立方英尺 )
0 81018.337 35932 working 68535 72520.98
3316 79359.693 39332 working 71854 70607.161
6635 77930.709 39435 90587.431 75021 68820.93
10619 76399.653 43318 87908.085 79154 working
13937 75200.327 46636 85483.914 82649 working
17921 73796.86 49953 83187.331 85968 88673.612
21240 72725.121 53936 80814.196 89953 86683.241
25223 71372.689 57254 78772.789 93270 85228.738
28543 70224.398 60574 76858.97
32284 68820.93 64554 74689.975
理
工
数
学
实
验二、问题分析
图 2．时间与体积的关系图
理
工
数
学
实
验二、问题分析
我们用 从水的体积与时间的关系得到水流量与时间的
关系（由于在充水时，没有水的体积与时间的关系，所以也没
有水流量与时间的关系）．我们采用差分法来解决这个问题．
由于水泵充水两次，数据被分割成三组，因而我们也分三组来
处理数据．对每一组数据，我们采用中心差分公式
dtdVtf ?)(
dtdVtf ?)(
)(12
88
1
2112
ii
iiii
i tt
VVVVf
?
?????
?
????
理
工
数
学
实
验二、问题分析
来计算每一组中间数据点的水流量．而对每组前两个和最
后两个数据点，采用如下的公式来计算
)(2
43
1
21
ii
iii
i tt
VVVf
?
????
?
??
)(2
43
1
21
ii
iii
i tt
VVVf
?
????
?
??
11
11
2
2
??
??
??
???
iii
iii
i ttt
VVVf
对于最后的倒数第二个数据，我们用下面的公式计算：
理
工
数
学
实
验二、问题分析
(4)水泵充水速度恒定，且水泵充水的水流量远大于水塔的水流
量，以保证人们对水的需求．水泵工作时不需要维修，也
不中途停止工作．
(5)水塔的水流量与水泵状态独立，并不因水泵工作而增加或减
少水流量的大小．
(6)水塔的水流量曲线可以用一条光滑的曲线了逼近．这时，在
每一个数据点，水流量的两阶导数是连续的．因为水的消
耗量是基于社区公众一天的活动，如洗澡、做饭、洗衣服
等，每一个使用者的要求与整个社区的要求相比是微不足
道的，而整个社区的需求是不可能同时增加或减少的，由
于水的消耗的自然性，可以假设水流量曲线是一条连续光
滑的曲线．
(7)表１的数据是准确的
理
工
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学
实
验二、问题分析
计算结果见表３和图３（程序见实验解答中程序三）．
表 3．时间与流量的关系
时间（秒） 流量 (立方英尺 /秒 ) 时间（秒） 流量 (立方英尺 /秒 ) 时间（秒） 流量 (立方英尺 /秒 )
0 0.534823 35932 working 68535 0.61827
3316 0.41517 39332 working 71854,0.0896973
6635 0.373626 39435 0.722878 75021 0.090645
10619 0.408886 43318 0.749839 79154 working
13937 0.326656 46636 0.703266 82649 working
17921 0.370962 49953 0.590477 85968 0.566702
21240 0.301645 53936 0.670369 89953 0.00310462
25223 0.377255 57254 0.580935 93270 0.0596205
28543 0.0525211 60574 0.510245
32284 0.0682106 64554 0.55552
理
工
数
学
实
验二、问题分析
图 3．时间与流量的关系
理
工
数
学
实
验二、问题分析
下面用 Methematica中的 Fit命令（程序见实验解答中程序四）
来拟合水流量的曲线，得到拟合函数。拟合函数图形如下
从上图可以看出关于流量的数据点具有一定的周期性，所
以考虑用三角函数来拟合它．其周期大约为 4000，所以选
择拟合函数系
30000sin ?x 30000cos ?x 15000sin ?x 15000cos ?x 10000sin ?x 10000cos ?x1
理
工
数
学
实
验二、问题分析
２、估计该镇一天的总用水量
我们可以用水流量拟合曲线在 [0,93270]上积分来求出该镇
在 93270秒（即约 25.92小时）的总用水量，然后乘以 25.92
得到该镇一天的总用水量，约 34551.9立方英尺（程序见实
验解答中程序五）
理
工
数
学
实
验三、问题解答
程序见教材
理
工
数
学
实
验四、思考与提高
请对本模型的优点和确定作出评价。在充水时的数据
还可以如何处理？
理
工
数
学
实
验理工数学实验
综合实验 2 轧钢中的浪费问题
理
工
数
学
实
验一、实验内容
轧钢中的浪费问题：用连续热轧方法生产钢材一般要经过
两道工序，第一道是热轧（粗轧），形成钢材的雏形；第二
道是冷轧（精轧），得到最后的成品,由于受设备、环境等方
面随机因素的影响，钢材经热轧再冷轧后的长度大致上服从
正态分布，其均值可以在轧制过程中由轧机调整，而其均方
差则是由设备的精度决定的，无法随意改变,冷轧时把多出规
定长度的部分切除，但是，若热轧后的钢材已经比规定长度
短，则整根钢材报废,冷轧设备的精度很高，轧出的成品材可
以认为是完全符合规定长度要求的,
根据轧制工艺的要求，要在成品材规定长度 L=2米，热轧
后钢材长度的均方差 b＝ 0.1的条件下，确定热轧后钢材长度
的均值 m，使得当轧机调整到 m进行热轧，再通过冷轧以得到
成品材时的浪费最少,
理
工
数
学
实
验二、问题分析
1.设定 x为热轧后钢材的长度，依题意 x为一随机变量，且
服从正态分布 N(m,b2)，概率密度函数为：
，（－ ∞<x<＋ ∞）,b>0为已知,m待定
当成品材的长度 L给定后，记：
P＝ P(x≥L)＝ P`＝ P( x<L) ＝ 故而有
P＋ P`＝ 1.
分析题意可知，轧制钢材的过程中产生的浪费 Y由两部分
组成：
（ 1） x≥L时，冷轧切去多余部分，长度为（ x－ L）；
（ 2） x<L时，整根钢材报废，长度为 x；
Y＝ ＝ m－ LP
2
2
2 )(21)( bmxebxf ??? ?
??L dxxf )( ???L dxxf )(
?? ??? ?? LL dxxxfdxxfLx )()()(
理
工
数
学
实
验二、问题分析
)(mPm
2.上式中的 Y即为每热轧一根钢材所浪费的平均长度，所以
热轧 N根钢材，得到 N P根成品材，浪费总长度为（ mN－
LN P），因此每得到一根成品材所浪费钢材的平均长度 J1
为：
J1＝ 由以上分析，可将上式的第一项作为
目标函数 J(m)：
J(m)＝, P(m)表示概率 P＝ P(x≥L)是 m的函数
3.求函数 J(m)的最小值点即可,
4.问题的简化：设 F(x)为正态分布 N(m,b2)的分布函数，
Φ(x)为标准正态分布的分布函数，则，
J(m)＝ ＝ ＝ 令 c＝, d＝, z＝ d－ c
则上式可简化为：
J(z)＝
LPmPNLP NmN ???
)(mPm )(1 LFm? )(1
b
mLm ??? bm bL
)(1 zbzL???
理
工
数
学
实
验三、问题解答
n[1]:= <<Statistics`ContinuousDistributions`
In[2]:=L=2
Out[2]:=2
In[3]:= b=0.1
Out[3]:=0.1
In[4]:= c=m/b
Out[4]:= 10.m
In[5]:=d=L/b
Out[5]:=20
In[6]:= z=d-c
Out[6]:= 20.-10.m
In[7]:= gdist=NormalDistribution[0,1]
Out[7]:= NormalDistribution[0,1]
理
工
数
学
实
验三、问题解答
In[8]:= F[x_]:=CDF[gdist,x]
将简化后的目标函数表示成以 m为自变量的函数：
In[9]:= J=(L-b*z)/(1-F[z])
Out[9]:=
通过图形直观显示目标函数的最小值点：
In[10]:= Plot[J,{m,2,3}]
])2,10.20[1(211
).10.20(1.02 m
E rf
m?
???
??
2.2 2.4 2.6 2.8 3
2.4
2.6
2.8
3.2
3.4
理
工
数
学
实
验三、问题解答
针对图形的特点寻找目标函数的最小值点（在 m＝ 2附
近）：
In[11]:= FindMinimum[J,{m,2}]
Out[11]:= {2.2502,{ m－ >2.20951}}
In[12]:= m=2.20951；
In[13]:= P=1-F[z]
Out[13]:=0.981919
In[14]:=J1=m/P-L
Out[14]:= 0.250196
即为每得到一根成品材（ L＝ 2米）所浪费钢材的平均长
度 J1＝ 0.250196米
理
工
数
学
实
验四、思考与提高
试就本题的条件考虑能否利用微积分的方法求解？
理
工
数
学
实
验五、练习内容
某糖果生产厂将产品包装成 500克一袋出售，在众多因
素的影响下包装封口后一袋的重量是随机变量，设其服从
正态分布 N(m,b2)，其中 b已知,m可以在包装时调整，出
厂检验时精确地称量每袋重量，多余 500克的仍按 500克一
袋出售，因而厂家吃亏；不足 500克的降价处理，或打开封
口返工，或直接报废，这样厂方损失更大，问如何调整 m
的值使得厂方损失最小？
理
工
数
学
实
验
综合实验 3 锁具装箱问题
理工数学实验
理
工
数
学
实
验一、实验内容
某厂生产一种弹子锁具，每个锁具的钥匙有 5个槽，每个槽
的高度从 {1,2,3,4,5,6}这 6个数（单位略）中任取一数．由于工
艺及其它原因，制造锁具时 5个槽的高度还有两个限制：至少有
3个不同的数；相邻两槽的高度之差不能为 5．满足以上条件制
造出来的所有互不相同的锁具称为一批,
从顾客的利益出发，自然希望在每批锁具中不能互开，但是
在当前工艺条件下，对于同一批中两个锁具是否能够互开，有
以下实验结果：若二者对应的 5个槽的高度中有 4个相同，另一
个槽的高度差为 1，则可能互开；在其它情形下，不可能互开．
销售部门在一批锁具中任意地取每 60个装一箱出售,团体顾客往
往购买几箱到几十箱，他们抱怨购得的锁具会出现互开的情
形．
理
工
数
学
实
验一、实验内容
现问：
1．每一批锁具有多少个，装多少箱？
2．按照原来的装箱方案，如何定量地衡量团体顾客抱怨互开
的程度（试对购开一箱者给出具体结果）．
理
工
数
学
实
验二、问题分析
某厂生产一种弹子锁具，由于其钥匙有 5个槽，所以用五元数组
来刻划一个锁具,Key=(h1,h2,h3,h4,h5,),hi表示第 i个槽的高度，
i=1,2,3,4,5．因此，五元数组 Key应满足下述条件：
条件 1,hi∈ (1,2,3,4,5,6),i=1,2,3,4,5．
条件 2：对于任意一个槽高排列 h1,h2,h3,h4,h5至少有三个不同的
槽高．
条件 3：对于任意一个槽高排列 h1,h2,h3,h4,h5有：
2,3,4,5.
而两个锁具可以互开的条件为：两个锁具有四个槽高相同，其余
一槽高相差为 1．
??? ? i5,|hh| 1ii
??? ? i5,|hh| 1ii
理
工
数
学
实
验三、建立模型
1．一批锁具个数的计算．
记一批锁具集合为 K={h1,h2,h3,h4,h5}|hi∈ {1,2,3,4,5,6},
i=1,2,3,4,5,且（ h1,h2,h3,h4,h5）为一锁具 }其个数小于 65
个．可采用逐一检验条件 1,2,3来求锁具的个数．
2．顾客抱怨程度的刻划
因为如果采用互开总对数来刻划抱怨程度则存在这样的情况：
购买得越多，则互开的总对数就越大，按照假设则顾客的抱怨
程度越大，但事实上这样的情况对顾客而言也是能接受的，所
以不会有很多的抱怨，且顾客所不能容忍的是购买少量的锁具
而出现互开现象．因此，应用平均互开总对数来刻划抱怨度．
记：
S={(h1,h2,h3,h4,h5) / (h1,h2,h3,h4,h5)∈ K,且 为偶数 }
T={(h1,h2,h3,h4,h5) / (h1,h2,h3,h4,h5)∈ K,且 为奇数 }
??51hii
??51hii
理
工
数
学
实
验
三、建立模型
则在一批锁具中，设能够互开的两锁具的槽高排列为
和,其各槽高度之和 与,因为互开的两锁具具
有四个槽高度相同，仅有一个槽高度差 1，那么高度之和 与
必为两个相邻的自然数，故与具有不同的奇偶性．这样，能够互开
的锁具一定分属于奇类与偶类,即是能够互开的锁具分别属于和 T这
两个集合．且 S中的锁具不能互开,T中的锁具不能互开．判断时，
我们将 S和 T中的锁具分别标号为 0与 1，便可提高计算速度．
54321,,,,hhhhh
54321,,,,hhhhh ????? ??? 51i hiH ?? ??? 51i ihH
??? 51i hiH ?? ??? 51i ihH
理
工
数
学
实
验四、问题解答
1．对（ ）的所有排列逐个检验条件 2,3，判
断其是否为锁具，将锁具放在数组 key中，若 为奇数，
标号为 1；若 为偶数，标号为 0，并记数 Count．
2．输出一批锁具的总个数 Count．
3．多次用随机数来模拟销售一箱的情形．计算平均互开
总对数．
4．输出一箱平均互开总对数 Average．
程序具体可以见教材,
结果为,Count=5880,Average=2.362
54321,,,,hhhhh
??51i hi
?
?
5
1i
hi
理
工
数
学
实
验
综合实验 4 檐沟问题
理工数学实验
理
工
数
学
实
验一、实验内容
市政府的建筑处需要明确与屋顶配套的檐沟的规格。一
个新开发区的房屋的屋顶都是矩形，长 12米，从屋脊到檐沟
的宽为 6米，屋顶对水平面的倾角还未确定，但大致将在
20° 和 50° 之间。一家檐沟生产公司急欲与市政府签订供货
合同。该公司声称他们的新型塑料槽沟经久耐用，无论什么
样的天气情况都能有效地满足要求，对这批屋顶，设计的檐
沟横截面是半径为 7.5厘米的半圆，用一条直径为 10厘米的
排水管就够了，市政府的建筑专家不能确信檐沟供应单位的
声称，因此让你建一个数学模型，在批量定货前对此作一个
全面分析，其中至关重要的是这种尺寸在暴雨时是否足以正
常排水。
理
工
数
学
实
验二、问题分析
这是一种输入输出模型，它在诸如水箱中、河流或水
库中水的流入流出问题也会得到应用。在本例中，输入是
倾斜屋顶上流下的雨水，输出则是从垂直的排水管中流出
的水，关键的问题是檐沟是否能容纳所有的雨水而不溢出，
这就意味着我们关心的是在特定时期檐沟中水的高度。当
檐沟的横截面是半圆时，那么水的高度与半径相等时将发
生外溢。
1．变量引入
根据对问题的全面分析，我们引入如下变量：
理
工
数
学
实
验二、问题分析
变 量 符 号 单 位
雨的强度 r ms -1
时 间 t s
屋顶倾角 α deg
屋顶长度 d m
屋顶宽度（屋脊到檐沟） b m
檐沟半径 a m
檐沟内水的高度 h m
詹沟内水的体积 v m3
流入檐沟的流量 Qi m3s-1
流出檐沟的流量 Q0 m3s-1
排水管的横截面积 A m2
重力加速度 g ms -2
理
工
数
学
实
验二、问题分析
2．假设提取
作关于水流的假设如下：
① 所有落在屋顶的雨水都流进檐沟
② 直接落入檐沟的雨水忽略不计
③ 排水系统不含出现意外的堵塞
④ 雨直接落在屋顶上
⑤ 雨撞击屋顶时不溅走
理
工
数
学
实
验3．模型的构建
为便于分析和构建模型，我们画出下面 3个示意图分别表示
屋顶与檐沟的关系（图 1），水流的状态（图 2）以及檐沟中水
量状态（图 3）。
α
d
b
屋顶
雨
雨
b
α
理
工
数
学
实
验二、问题分析
① 檐沟系统中水的流量有如下形式：
檐沟中水量变化率＝流入量速率－流出量速率
即 v′(t)=Qi-Q0 （ 1）
其中 Qi和 Q0是当 r以 ms-1测量的线性速度时的水流体积变化
率。
② 屋顶面积为 bd，但由于屋顶的倾斜，雨水下落的面积是
bdcosα。当雨的强度为 r(t)时，落在屋顶的降雨量体积变化
量是
r(t)× 面积＝ r(t) bdcosα （ 2）
而且屋顶的倾斜还会影响注入檐沟的流速，屋顶越陡、流速
越大，由图 2有雨水流入檐沟的流量为：
Qi=r(t)bdcosαsinα （ 3）
理
工
数
学
实
验二、问题分析
aha /)(c os ???
③ 由图 3，根据檐沟中水的横截面，可算出任一时刻檐沟中水
的体积，体积公式为：
水的体积＝水的横截面积 × 檐沟长 d
水的横截面是半圆的一部分，由图 3可见，用 θ表示 ∠ AOC，水
的横截面由下式给出：
而 所以 故
（ 4）
实际上要求的是 v(t)的变化率
v′(t)=(dv/dh)(dh/dt)，另外对方程（ 4）求微分能得到 dv/dh，运
算后得到
（ 5）
)co ss in(
2s in21221
2
22
???
??
??
???
a
aa面积
ahah /2s in 2???
???
?
???
? ????? ?
2
212 2)()(c o s)(
a
hahha
a
hadatv
22)(2)( hahdthtv ????
理
工
数
学
实
验二、问题分析
④ 通过垂直排水管的水量就是从檐沟的输出流量。输出
流速与檐沟中水的高度有关，通常的关系是适用关于能量守
恒的托尔希里定律得到，定理叙述由于高度 h(t)减少引起的势
能损失与进入管道前获得的功能平衡。因而水从檐沟流出的
速度为，排水管的横截面积记为 A，那么输出流量为：
Q0 （ 6）
返回到方程（ 1），代入流量可得到微分方程
即,（ 7）
ghA 2?
22)(22c o ss i n)( hahthghAbdtr ??????
222
2c o ss i n)()(
hahd
ghAbdtrth
?
??? ??
理
工
数
学
实
验三、问题解答
（ 8）
求解微分方程（ 8）可得任一时刻檐沟中水的深度 h(t)，
现在的问题是已知雨水强度 r（ t），求水的深度 h(t)。假定
雨的强度 r(t)＝常数，即在长时间内，下雨是均匀恒量，
持续不断的情形。此时可能由于排水不及，雨水从檐沟溢
出，也可能檐沟中水的高度 h(t)保持在一个小于 0.075米的
稳定值上，是动态平衡状态，在方程（ 8）中，令，可推
算出处于平衡状态时的高度值 h。有 即
例如当 时，在 处是稳定状态。
215.0
0 1 4 5.02 9 9.1)(
hh
hrth
?
???
hr 0145.0299.1 ?
27.802 5 rh ?
1025.0 ?? cmsr cmh 5?
理
工
数
学
实
验四、思考与提高
1．方程（ 7）是一阶微分方程，相应的初始条件可以
是 h(0)=0，即开始下雨时檐沟内是干的。此时方程（ 7）
在 h=0是奇异的。即当我们把 h=0代入方程时不能得到的值，
问此时该如何处理。
2．若雨水强度 r(t)是短时阵性大雨的情形，如在 20分
钟达到最大，然后在 40分钟时衰减至 0。问此时应如何刻
划雨水强度以及此时 h随 t的变化图形如何。
理
工
数
学
实
验五、练习内容
1．利用 Mathematica求解微分方程。
2．利用 Mathematica 画出在 r(t)已知情况下 h随 t的变化
图形。
理
工
数
学
实
验
综合实验 5 快餐店问题
理工数学实验
理
工
数
学
实
验一、实验内容
随着日常生活的高效率、高节奏、快餐风靡全球，快餐业
处于市场激烈竞争之下，如何吸收更多的顾客以获得更高的
利润是每一位快餐店老板最关心的问题。除了增加花色、提
高品味、保证营养、降低成本之外，快餐店应在其基本特点
“快”字上下工夫，有人向老板建议，公开向顾客宣布：如
果让哪位顾客等待超过一定时间（譬如三分钟），那么他可
以免费享用所订的饭菜，提建议者认为这必将招揽更多的顾
客，由此带来的利润一定大于免费奉送造成的损失。但是老
板希望对于利弊有一个定量的分析，告诉他在什么条件下作
这种承诺才不会亏本，更进一步，他希望知道应该具体地作
几分钟的承诺，利润能增加多少。
理
工
数
学
实
验二、问题分析
对于该问题关键有如下几点：
一是对顾客到达、服务时间、排队规则等作怎样的假设。
二是当宣布“服务慢了将免费供餐”以后，承诺的时间与顾
客的增多之间的关系应该用什么规则来描述。
模型假设：
1、顾客在快餐店的服务服从 M/M/1模型，顾客的平均到达
率为,c为平均到达间隔，平均服务为, d为平均服务时
间,d<c,在未宣布承诺时 。
2、店方承诺等待时间 超过的顾客免费享用订餐,越小则顾客
越多，这时 c会越小，这样就可以认为 c与 成正比，也可设定
的一个最大值, 当承诺对顾客无吸引力，这时相当于不作
承诺，可以认为此时 。
c1?? d1??
0cc?
?
?
?
?
0?
0cc?
理
工
数
学
实
验三、问题解答
???
模型建立：
顾客在该系统中的逗留时间 T在 M/M/1情况下服从参数为
的负指数分布,其分布函数为
则对于等待时间为 T的顾客设店方获得的利润为 Q(T),在宣布
承诺时间为 U的情况下
所以利润的期望值为：
又因为顾客到达的平均间隔为 C,单位时间利润的期望值为：
.01)( )( ??? ?? tetF tT ??
.)( )()( 11 tt cdeetTP ???? ???? ??
??? ?? ??? ??Tq TqpTQ )(
??? )( 11}{)(}{)()}({ cdpeqpTPqTPqpTQE ???????????
][1)(1)( )( 11 ucdpeqpcQEcuF ??????
理
工
数
学
实
验三、问题解答
下面是确定承诺的时间 U,使得单位时间 F(u)最大,
设 c与 u有关 c=c(u) 可有 c(0)=0-------------------(u->0时，顾客无穷多 )
当 时,--------------------------------------（相当与不作承诺）
设 c与 u成正比,c=ku
又因为的 d<c，所以,即 。
将 c(u)代入 F(u)中得到
0uu? 0)( cucc ??
uucck ucuc 0000 )( ?????
duuc ?00 00cduu?
??
?
?
????
00
00000)( uuc uuuuc udcuc
?
?
?
???
?
????
?????
?
??
?
0
)(
0
0
0
0
]1[
)1()(
)(
0
11
0
00
0
uueqp pc qp
uueeqp puc qpu
uF
u
c
du
cd
d
u
c
u
理
工
数
学
实
验三、问题解答
简单操作过程：（因 p,q,u0,c0,d都不为具体数只写出大致过程）
Int[1]=F1[u_]:=(u0*(p-q)/(c0*u))*(1-(p/(p-q))Exp[u0/c0]Exp[-u/d])
Int[2]=Plot[F1[u],{u,d*uo/c0,u0}]--找出 F1[u]最大值点的大致位置 s1
Int[3]=m1==FindMaximum[F1[u],{u,s1}]
Int[4]=F2[u_]:=((p-q)/c0)*(1-(p/(p-q))*Exp[-(1/d-1/c0)u])
Int[5]=D[F2[u],u]
通过图形显然可见 F2[u]单调递增，最大值为无穷大。
Int[6]=m2==Limit[F1[u],{u->Infinity}]
Out[6]=所以当 u0/(s1+d)>1有 F[si]
Int[7]=F[si]
为利润增加部分
m1
m2 1
理
工
数
学
实
验
四、思考与提高
利用上述方法可以进一步求出 p,qc0,u0,在取不同值的时候
是承诺还是不承诺进行改组，
例如：当 p/q=1.25,c0=2分,u0=5分,d=50,
s1=60
F[60]=6
所以 d<u0/(1+F[si])/(5*60/7)=43
即平均服务时间为 d<43秒，而平均服务时间为 50秒，故不能
承诺。
理
工
数
学
实
验五、练习内容
对于上述问题，当 p/q=1.25,c0=2分,u0=5分,d=50秒，若店
方有能力将服务时间缩短到 d=30秒钟，问否承诺，承诺的时间
最优值 s1多大，利润可以比目前增加多少？
理
工
数
学
实
验
综合实验 6 最佳泄洪方案
理工数学实验
理
工
数
学
实
验一、实验内容
洪水来临时，如果让他它破堤淹没两岸，将会造成巨大的损
失。在实际情况中，如果能预测洪水量，则往往能够采取主动
破堤的方法，从而减少总的损失。本文给出解决这一问题的数
学模型，并用它找出了特定洪水量的最佳泄洪方法。
有一条河流由于河床泥沙淤积，每当上游发洪水时，就会破
堤淹没两岸，造成人员和财产的损失。为了减少总的损失，人
门采取破堤泄洪的方法。图一所示的是就是这条河流的信息。
在该区域边界上有很高的山。使该区域成为封闭的区域。区域
内分成十五个小区，没个小区内标有三个数字，分别表示该小
区的海拔高度 h(m),面积 s(k㎡ )和被完全淹没时土地、房屋和财产
等的损失总数 k(百万元 )。
———— —— ——— —— ———
—— —— 河 流 —— —— ——— ———
理
工
数
学
实
验一、实验内容
:3.6
S:6.1
K:1.4
H:4.0
S:8.4
K:7.0
H
:4.7
S
:7.0
K
:5.8
H:
4.4
S:
9.3
K:
3.3
H:3.8
S:4.8
K”2.0
H:3.3
S:3.6
K:9.4
H:3.
2
S:0.
9
K:0.
9
H:2.
5
S:8.
5
K:6.
0
H:
5.0
S:
1.8
K:
7.2
H:4.4
S:9.1
K:1.6
H:3.0 S:4.8
K:3.0
H:3.
5
S:1.
5
K:4.
1
H:2.
4
S:2.
3
K:4.
1
H
:3.8
S
:8.8
K
:5.3
H:3.8
S:1.3
K4.4
理
工
数
学
实
验
一、实验内容
求,
（ 1）整个区域全部受损失的最小洪水量 Q
（ 2）当洪水量为 Q/6,Q/3，时，分别制定泄洪方案，使总
的损失达到最小。需要计算出方案的损失数。
理
工
数
学
实
验二、问题分析
符号系统及说明
H(i):第 i区的海拔高度,
A:15个小区关系矩阵（ H(i)>=H(j)且第 i区与第 j区邻接时，
a(i,j)=1；反之,a(i,j)=0）,
K:指第 k区,
C(i):第 i区的被认为覆盖时的损失数,
S(i):第 i区的面积,
D(i):表示第区受害时的损失数。
M(k):掘开第 k区后的总损失数。
Qmax:最大泄洪量。
A^k:A的 k次矩阵，且为 0-1矩阵。
（ 1）假设各小区之间引有相对高度为⒈ 2米的小堤互相隔离。
理
工
数
学
实
验二、问题分析
（ 2）假设当洪水淹没一个小区且水位高过该小区高度
p(m)时，该小区的损失为该小区的 k和 p的函数。
（ 3）假设决堤口可选在大堤和小堤的任何地方，决堤口
数目不受限制。但一旦决开堤口，就不能在补合。从河流
经过大堤决口流入小区的洪水量按决堤口数成比例分配。
如果在小区之间开一个决口，则假设这段小堤不存在，若
水位高过小堤，则向邻近的最低的一个小区泄洪若这样的
小堤有几块时，就平均泄洪
在此问题中，我们把河流与 15小区作为结点，以其相互之
间的关系作出网络图。（如图）
??
? ? ??? 1 10 pp pkpP
理
工
数
学
实
验二、问题分析
在此问题中，我们把河流与 15小区作为结点，以其相互之
间的关系作出网络图。（如图）
理
工
数
学
实
验二、问题分析
以洪水流向为有向边，也即根据每一个小区的高度来决定它们
将流向相邻的那个小区（结点）。
再在拓朴图的基础上，作出图的关系矩阵：
A=[1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0;
1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0；
0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0;
0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0;
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;
0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0;
0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0;
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0;
0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0;
0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1;
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0;
理
工
数
学
实
验二、问题分析
0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0;
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0;
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1;
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1]
该矩阵中的 0,1只有相互间的高差来决定。
当 H(i)>=H(j),而且 i区与 j区相邻,记 A(i,j)=1.反之，若
H(i)<H(j),或者，两者不相邻，均记为 A(i,j)=0.
进入洪水期后，在与河流相邻的第 k区中，破堤泄洪，其洪
水按照从高到低的方向排洪。且只要与之相邻，比之相低，则
均会流经。
在泄洪过程中，若洪水到达第 i区，则其流向的区域应为第 j
区，所满足条件为：
A(i,j)=1 (j=0,1,2…n)
理
工
数
学
实
验二、问题分析
然后以 j(j不一定一个值，可以是两个，三个或更多值 )为行
标。寻找与之想配且邻接值为 1的列标。依次类推。最终得到其
泄洪的路径，，并记录下来，用于判断其损失数 M(k),
洪水的路径及其淹没区与泄洪量的大小相关。
若泄洪量小时，其路径即为最终受灾区，而泄洪量大时，水
平面会整体上，其结果是导致洪水沿其原路径的反方向朔流回
灌，而且会淹没原路径不包括的并与原路径中的小区（结点）
相邻接的，海拔相对较底的新小区。
基于此，我们运用穷举法解决问题。对每个与河流相邻的小
区进行破堤假设，从而找出最佳破堤方案。其模型的数学语言
表达为
,.,,, )3,2,1(;),(),())(),(())(( 1!
!
,1
??? ?
?
?
?
? kjiAjiAjcjiAM i nkMM i n kknj
ij
j
k
理
工
数
学
实
验二、问题分析
A(i,j)也即为其各小区的关系矩阵 R
有关系的合成中的定义 1：设 R1是从 A到 B的关系,R2是从 B是
从 C的关系，从 A到 C的合成关系为 R1R2.
定义 2：关系 R的与自身合成任意次而形成 A上的一个新关系为
R^k.
定理：设 X={x1,x2…xm},Y={y1,y2,…yn},Z={z1,z2…zp},R 是 X
到 Y的关系 M(R)=[Aij]是 m*n矩阵,S是 Y到 Z的关系。 Ms=[bij]
是 n*p矩阵则
M(R*S)=C[ij]=M(R)*M(S)
A(i,j)^k是指第 i区与相隔 (k-1)个区而相邻接的关系矩阵，并且
将所有非零数值化为 1。对于 A(i,j)^k!=A(i,j)^(k-1).
pjnibaC kjiknkij,.,,3,2,1;.,,3,2,11 ????? ?
理
工
数
学
实
验二、问题分析
因为 j区可能会与 i区相隔（ k-1）区相邻，也可能与 k区相
邻。用 A(i,j)^k!=A(i,j)^(k-1)进行控制以避免重复计算。
对某一区域的最大泄洪量，即为淹没最高点是此区的容水量
j
n
i
ij SHM a xHM a x Q *))((
1
?
?
??
理
工
数
学
实
验三、问题解答
在求解过程，我们使用软件包 Matmatics来实现的。
H=[3.6 4.0 4.7 4.4 3.8 %各小区的海拔高度
3.3 3.2 2.5 5.0 4.4
3.0 3.5 2.4 3.8 3.8]
s=[6.1 8.4 7.0 9.3 4.8 %各小区的面积
3.6 0.9 8.5 1.8 9.1
4.6 1.5 2.3 5.8 1.3]
s=10^6*s;
k=[4.8 7.0 5.8 3.3 2.0 %各小区的完全被淹没时的受灾的总损失
9.4 0.9 6.0 7.2 1.6
3.0 4.1 4.1 7.0 4.4]
Qmax=Sum[sum[(5-h).*s]] % 全部被淹没时，洪水的总体积
Qmax6=Qmax/6 %1/6Qmax的洪水体积
Qmax3=Qmax/3 % 1/3Qmax的洪水体积
理
工
数
学
实
验三、问题解答
问题一：求得 Qmax=90780000立方米；
问题二：
第 1区 第 2区 第 3区 第 4区 第 5区
Qmax/6 23.4 28.2 54.4 24.8 24.8
Qmax/3 53.7 53.7 63.0 58.2 58.2
从表中可以看出：
如果洪水量为 Qmax/3,我们选择以第 1区或第 2区为洪水破堤
引洪处；如果洪水量为 Qmax/6,选择第 1区为洪水破堤引洪处。
可使财产损失最小。
理
工
数
学
实
验四、思考与提高
上述方法可以进一步改进吗？怎样改进？
理
工
数
学
实
验五、练习内容
当洪水量为 Q/2时，制定泄洪方案，使总的损失达到最小。
需要计算出方案的损失数。
理
工
数
学
实
验
综合实验 7 钻井问题布局模型
理工数学实验
理
工
数
学
实
验一、实验内容
勘探部门在某地区初步勘探时期已钻了 n个井位，取得了地
质资料，在系统勘探时期，通过布置网格来确定井位。如果能
够利用旧井位少打新井，将节约许多勘探费用。勘探部门需要
合理的布置整个网格，网格可以在平面上任意移动，使旧井位
尽可能的被利用。旧井位被利用的条件是：旧井位与网格节点
的距离不超过给定误差（ d=0.05单位）。
为进行辅助决策，勘探部门要求我们研究如下问题：
1、假定网格的横向和纵向是固定的（比如东西和南北向），
并规定两点的距离为其横向距离（横坐标之差绝对值）及纵向
距离（纵坐标之差绝对值）的最大值。在平面上平行移动网格 N
使可利用的旧井数尽可能大。试提供数值计算方法，并对下面
的数值例子用计算机进行计算。
2、在欧氏距离的误差意义下，考虑网格的横向和纵向不固
定（可以旋转）的情形，给出算法及计算结果。
理
工
数
学
实
验一、实验内容
数值例子 n＝ 12个点的坐标如下表所示：
I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
ai 0.50 1.41 3.00 3.37 3.40 4.72 4.72 5.43 7.57 8.38 8.98 9.50
bi 2.00 3.50 1.50 3.51 5.50 2.00 6.24 4.10 2.01 4.50 3.41 0.80
理
工
数
学
实
验二、问题分析
布局问题是一定约束条件下的最优化问题，勘探部门要求尽
可能多的利用旧井，因此我们必须围绕这个问题来移动网格。
对于问题（ 1）：网格横向和纵向是固定的，网格只能平移，
如果考虑网格上所有的结点通过平移后与旧井位的距离，由于网
格结点数较多，运算量较大，虽然可以解决问题，但并非一个好
的解法。因此我们从旧井位考虑，通过四舍五入法找到与其相邻
的网格结点（相互关系如图所示），然后我们通过两个控制变量
（角度和距离）对这些节点进行平移，使网格结点尽可能多的与
旧井位重合。
对于问题（ 2）：网格不固定移动，需要我们考虑平移和旋转，
对于旋转我们同样从旧井位出发，通过旧井位与网格结点的相对
关系，不难得出，旧井位的旋转是网格旋转的逆过程，因此我们
利用旧井位旋转来替代网格的旋转问题，然后，根据问题
理
工
数
学
实
验二、问题分析
（ 1）的方法，再解决网格平移问题，这样就将网格的移动问题简
化成为了旧井位的旋转问题和网格的平移问题。
对于问题（ 3）：以上两个问题都是在正方形网格情况下进行的
求解，在此问中我们不妨假设网格是长方形的,通过调整长和
宽的比例关系使 n个旧井位都可以被利用。因此问题（ 3），就
是在问题（ 2）的基础上，使 n个旧井位都可以被利用的长方形
的长、宽比例问题。具体实现方法如下：把目标函数值定为 12，
通过对问题（ 2）的反向求解来确定长方形的长、宽比例。
模型假设：
1、若一个旧井位与某个网格结点不超过 0.05单位则视为重合。
网格是足够大且平铺的。
２、模型采用直角坐标系，在网格未移动时，网格的横向和纵向
就是直角坐标系
理
工
数
学
实
验二、问题分析
３、模型采用直角坐标系，在网格未移动时，网格的横向和
纵向就是直角坐标 系的两坐标轴方向。
4、针旋转为正，顺时针方向为负。
5、长方形网格的长为 1单位。
符号说明：
i--------------------i旧井位,i=1,2,……12
Pi-------------------第 i个旧井位
ai,bi---------------第 i个旧井位的横、纵坐标
Ai,Bi---------------第 i个旧井位旋转后的横、纵坐标
Wi--------------------与第 i个旧井位相邻的网格结点
xi,yi-------------与第 i个旧井位相邻的网格结点的横、纵坐标
x1i,y1i----------与第 i个旧井位相邻的网格结点移动后的横、纵
坐标
理
工
数
学
实
验二、问题分析
di-------------------第 i个旧井位与其相邻的网格结点的距离
s--------------------网格平移长度
an------------------网格平移角度
bn------------------旧井位点旋转角度
pi------------------第 i个旧井位到坐标原点的距离
qi------------------第 i个旧井位与坐标原点连线的倾角
T ------------------可被利用旧井数
ti------------------ 第 i个旧井数是否被利用的函数（ 1表示可被利用，
0表示不可被利用）
c-------------------长方形的宽与长的比例
um,tm-------------分别为宽与长之比的上、下线
理
工
数
学
实
验三、问题解答
我们的目标是使旧井位利用数最多 T,它由 ti(d)决定，即
T=(d), 而 ti(d)是关于 di的分段函数，可表示如下：
1 0 ≤ d（ i） ≤0.05
ti（ d） =
０ 其它
d（ i）的表达式在下面给出。
由于问题（ 1）是问题（ 2）的特殊情况，所以这里只给出问
题（ 2）的模型。我们先将旧井位进行旋转。
第 i个 旧井位到原点的距离为,p（ i） = 第 i个旧井位
与坐标原点连线的倾角为,q（ i） =arctan（ b（ i） /a（ i））
所以第 i个旧井位旋转后的坐为,A(i)=p(i)cos[q(i)+bn(i)]
B(i)=p(i)sin[q(i)+bn(i)] （ bn 旧井位的旋转角
度）
22 )()( ibia ?
理
工
数
学
实
验三、问题解答
然后用四舍五入求旧井位的相邻网格结点坐标：
x(i)=[A(i)+0.5]
y(i)=[B(i)+0.5]
由此得出网格结点平移后的坐标为,x1(i)=x(i)+s*cos(an)
y1(i)=y(i)+s*sin(an)
所以，网格结点与旧井位的误差距离为：
d(i) = 综上,本题模型可
表示如下,
目标函数,max(T=(d) )
22 )]()(1[)]()(1[ iBiyiAix ???
理
工
数
学
实
验三、问题解答
约束条件：
1 0 ≤ d（ i） ≤0.05
ti（ d） =
0 其它
d(i)＝
x1(i)=x(i)+s*cos(an)
y1(i)=y(i)+s*sin(an)
x(i)=[A(i)+0.5]
y(i)=[B(i)+0.5]
A(i)=p(i)cos[q(i)+bn(i)]
B(i)=p(i)sin[q(i)+bn(i)]
p（ i） = q（ i） =arctan（ b（ i） /a
（ i））
22 )]()(1[)]()(1[ iBiyiAix ???
22 )]()(1[)]()(1[ iBiyiAix ???
理
工
数
学
实
验
（模型说明：当 bn=0,d(i)=max(|x1(i)-A(i)|,|y1(i)-B(i)|) 时，目
标函数的解为问题（ 1）的解）
理
工
数
学
实
验模型求解
我们的目标是使目标函数最大化，这是一个有约束的优化
问题，我们采用穷举法，来求的极值，所谓穷举法就是逐点确
定寻优方向，然后利用固定的步长，进行搜索的方法。为了使
目标函数值最大，我们列出主要步骤如下：
1、定一个能包含所有解的初始范围与固定的搜索步
2、据运行时间，再对搜索步长对穷举法进行精度调整。
根据这种方法我们得到了问题的答案：问题（ 1）最多可利用的
旧井数 t=4，网格的平移方向 an0=5.400000（弧度），平移距离
s0=0.583000（单位）；
问题（ 2）最多可利用的旧井数 t=6，网格的平移方向：
an0=2.760000（弧度）；网格的平移距离,s0=0.230000（单位）；
网格旋转角度,bn0=－ 0.78（弧度）（旧井点的相对旋转角度为：
5.5000弧度）；
理
工
数
学
实
验四、思考与提高
上述方法可以进一步改进吗？怎样改进？
理
工
数
学
实
验五、练习内容
如果有 n口井，给出判定这些井均可以利用的条件和算法（你
可以任意选定一种距离）。
理
工
数
学
实
验
综合实验 8 食品加工问题
理工数学实验
理
工
数
学
实
验
一项食品加工业，为将几种粗油精炼，然后加以混合成为成品
油。原料油有两大类，共 5种：植物油 2种，分别记为 V1和 V2；
非植物油 3种，记为 O1,O2,O3。各种原料油均从市场采购。
现在（一月份）和未来半年中，市场价格（元 /吨）如下表所示：
原料油
月份
V1 V2 O1 O2 O3
一 1100 1200 1300 1100 1150
二 1300 1300 1100 900 1150
三 1100 1400 1300 1000 950
四 1200 1100 1200 1200 1250
五 1000 1200 1500 1100 1050
六 900 1000 1400 800 1350
一、实验内容
理
工
数
学
实
验一、实验内容
成品油售价 1500元 /吨。
植物油和非植物油要在不同的生产线精炼。每个月最多可精炼植
物油 200吨，非植物油 250吨。
每种原料油最多可存贮 1000吨备用。存贮费为每吨每月 50元。
成品油和经过精炼的原油不能存贮。
对成品油限定其硬度在 3至 6单位之间。各种原料油的硬度如下
表所示：
油 V1 V2 O1 O2 03
硬度 8.8 6.1 2.0 4.2 5.0
理
工
数
学
实
验一、实验内容
为使公司获得最大利润，应采取什么样的采购和加工方案？
现存有 5种原料油每种 500吨。要求在 6月底仍然有这样多
存货。
研究总利润和采购与加工方案适应不同的未来市场价格
应如何变化。考虑如下的价格变化方式,2月份植物油价上升
x%,非植物油价上升 2x%； 3月份植物油价上升 2x%，非植物
油价上升 4x%；其余月份保持这种线性的上升势头。对不同
的 x值（直到 20），就方案的必要性的变化及对总利润的影响，
作出全面计划。
理
工
数
学
实
验二、问题分析
ij
1、（ 1）成品油的销售不会因为某种成分的减少而变化，
每月生产的成品油都可以在市场上销售完。
（ 2）假设硬度是线性地混合的。硬度可以用各主份在成品由中
的比例与它们的硬度乘积之和表示。
（ 3）精炼过程中没有重量损失。精练费用可以忽略。
（ 4）存储过程中不会有原料油的损失。
（ 5）精练过的原油都生产为成品油。
2,z为总利润,代表第 i个月第 j种原料的的用量,代表第 i个
月第 j种原料的采购量,M 代表第 i个月第 j种原料的采购价，
△ = △ - 代表第 i个月第 j种原料的存储量,
其中 i=(1,2,3,4,5,6) 代表第一个月到第六个月,j=(1,2,3,4,5)分
别代表原料油 v1,v2,o1,o2o3。
ijy ijx
ijx ?ijx jix 1? ijy
理
工
数
学
实
验三、问题解答
（ 1）：目标函数的确立；
首先在给定每个月的原料油的采购价下，公司获利由 3部分决
定：销售总额、总采购价及存储费用；
目标函数,max z=1500* - Mij* -50*△
Mij =[1100 1200 1300 1100 1150;
1300 1300 1100 900 1150;
1100 1400 1300 1000 950 ;
1200 1100 1200 1200 1250;
1000 1200 1500 1100 1050;
900 1000 1400 800 1350]
??51j ijx ijy ijx
理
工
数
学
实
验
ijy
S.T:△ xij<=1000(i,j=1…5)
△ xij=500(i=6,j=1…5)
<=200(i=1….6)
<=250(i=1….6)
y1j<=500+x1j
yij <=xij+ △ x(i-1)j
△ (i=2…6,j=1…5)
3 <= <= 6 (=[8.8 6.1 2.0 4.2 5.0]’i=1…6)
??21j ijy
?
?
5
3j
ijy
?
?
5
1j
ijy jA ?
?
5
1j ijy;0;0 ???? ijij yx
理
工
数
学
实
验四、思考与提高
我们的模型通过严密的推理和科学的计算解决出了该模
型的最优解。该解法有应用方便，实用性强等优点。但是
难免有点不足之处。能不能加以改进？
理
工
数
学
实
验五、练习内容
考虑如下的价格变化方式,2月份植物油价下降 x%,非植物
油价下降 2x%； 3月份植物油价下降 2x%，非植物油价下降 4x%；
其余月份保持这种线性的上升势头。对不同的 x值（直到 20），
就方案的必要性的变化及对总利润的影响，作出全面计划。
理
工
数
学
实
验
综合实验 9
块匹配运动位移估值算法设计
理工数学实验
理
工
数
学
实
验一、实验内容
电视信号的帧内编码利用图像信号的空间相关性实现信息压
缩，而帧间编码则是利用图像信号在时间轴上的相关性来实现信
息压缩。统计测量表明，当景物不含剧烈运动，不发生场景切换
以及摄象机不做明显运动如推镜头（ zooming）、摇镜头
（ panning）时，电视信号的帧差信号（相邻帧间空间位置对应的
像素差值）比帧内相邻像素间的差值信号具有更为尖锐的，以 0
为中心的 Laplace分布，即表现出更强的相关性。
但是，由于电视信号中运动事件的存在，直接利用帧差信号
编码也带来一些问题。当场景中有快速运动物体存在时，由空间
几何位置对应的像素值相减得到的帧差信号的幅度会剧烈增加。
如图 1所示，第 K-1帧里，中心点为的运动物体，若在第 K帧移动
到中心点为的位置，其位移矢量。如果直接求两帧间的差值，则
由于第 K帧的点（运动物体）与第 K-1帧的对应点（背景部分）
间相关性极小，所得差值幅度很大。
理
工
数
学
实
验
与此同时，第 K帧的点（背景部分）与第 K-1帧对应点（运动
部分）求差值，也出现同样的问题。但是，若能对运动物体的
位移量进行运动补偿，即在图 1中将第 K帧点的运动物体移回到
点，再与第 K-1帧求差值，显然会使相关性增大，差值信号减小，
从而提高压缩比。为了实现这一目的，必须事先估测场景中运
动物体的位移量，即进行运动位移估值。
本实验要求设计一种运动位移估值的算法，并通过运动的序
列图像进行检验。
一、实验内容
理
工
数
学
实
验
运动物体
x1,y1
X1,y1
X1+dx,y1+dy
图 1 运动物体的帧间位移
一、实验内容
理
工
数
学
实
验二、问题分析
实际物体的运动是十分复杂的三维运动，既有平动，又有转
动，如果再考虑到物体的非刚性和运动中光照的变化，将使运
动模型的建立和运动参量的估值十分复杂。在电视图像编码中，
由于实时运算的要求，在目前所采用的运动估值算法中仅考虑
物体运动在电视画面内的平动部分。
在电视信号编码方面，运动位移估值的两个主要应用是运动补
偿帧间预测与运动自适应帧内插。在图像编码领域目前使用的
运动估值算法有块匹配法、像素递归法、相位相关法以及针对
由摄象机运动引起图像全局运动的全局运动参数估值等。其中
块匹配法是最常用的一种方法，在运动视频编码的国际标准
H.261,CCIR723,MPEG1,MPEG2中实际都采用块匹配法做
运动估值。
理
工
数
学
实
验
块匹配算法将当前帧划分成尺寸为 M× N个像素的一个个
像块，并假设一个像块内所有的像素作速度相同的平移运动。
对当前帧中每一个像块 B，在以前一帧的对应位置为中心，上
下左右四个方向偏开相等距离 dm的范围内，即 （ M+2dm） ×
（ N+2dm） 个像素的搜索区内进行搜索，寻求与其最匹配的
像块 B’。这一对像块在水平和垂直方向的距离即是求得的运
动位移矢量（ dx,dy）。图 2示出 M× N像块与搜索区的关系。
二、问题分析
理
工
数
学
实
验
图 2 M× N像块与搜索区的几何关系
二、问题分析
理
工
数
学
实
验
衡量最佳匹配的准则有很多种，如均方误差（ MSE）、
归一化互相关函数（ NCCF）、平均绝对帧差（ MAD）。
研究表明，各种准则性能差别不显著，而 MAD运算量最小，
便于硬件实现，所以用得最多。 MAD定义为：
式中 为第 K帧位于的像素值； i,j分别为水平和
垂直方向的偏移量，取值范围为 。
? ?? ? ? ???? Mm Nn KK jnimSnmSMNjiM A D 1 1 1 |),(),(|1),(
dmjidm ???,
),( nmSK
二、问题分析
理
工
数
学
实
验三、问题解答
最细致的搜索方法是全搜索，即在搜索区内逐点计算一次
MAD，当 MAD达到最小值时，求得最佳匹配像块。全搜索需
要计算 MAD的次数是 （ M+2dm） × （ N+2dm）,运算量很大，
为了实时运算，必须采取并行处理。同时，为了减少搜索次数，
提出了多种快速搜索方法，如三步法、正交搜索法、共轭方向
法、二维对数法等。这些快速搜索算法的共同之处在于它们把
使准则函数趋于极小的方向视为最小失真方向，并假定准则函
数在偏离最小失真方向时是单调增加的，即认为它在整个搜索
区内 (i,j) 是的单极点函数，有唯一极小值，而快速搜索是从
任一猜测点开始沿最小失真方向进行的。因此，这些快速搜索
算法在实质上都是统一的梯度搜索法，所不同的是搜索路径和
步长有所区别。
理
工
数
学
实
验
下面通过图 3说明三步法的搜索过程。第一步，以起始点 (i、
j)为中心，由 MAD准则检测包括中心和外围 8个方向共 9个搜索
点（在图 3中以圆黑点表示），这一步中搜索间隔相对较粗，即
步长较大。在图 3中设点 (i+3,j+3)在第一步中通过 MAD准则检
测，它的 MAD值最小，而被视为位移矢量的一级近似（在图 3
中标以 1）。第二步，围绕点 (i+3,j+3)周围再搜索 8个点（在图
3中以黑方块表示），而搜索间隔缩小一些，找到二级近似点
(i+3,j+5) （在图 3中标以 2）。如此一直重复直到所要求的精度
为止。在最大搜索位移为，要求位移估值精度为一个像素时，
经过三步得到最终的位移矢量，图 3中，最终得到的最佳匹配像
块的位置在 (i+2,j+6),三次搜索步长分别为 3,2,1。在图 3中
通过不同标示了三步法的搜索过程。显然，随着所要求的搜索
范围的扩大和估值精度的提高，这种搜索方式的步骤可以不止
三步，而做相应的增加。
三、问题解答
理
工
数
学
实
验
图 3 三步法搜索过程示意
三、问题解答
理
工
数
学
实
验四、思考与提高
1．设计出其它新的近似块匹配搜索算法和相应的快速算法。
2．思考新的判断准则，并与 MAD准则比较，说明其优劣。
理
工
数
学
实
验五、练习内容
1．利用 Mathematica实现三步法的搜索过程。
2．利用 Mathematica实现思考和提高中所设计的新的算法
并和三步法对比。
理
工
数
学
实
验
综合实验 10
矢量量化编码的 LBG算法及其实现
理工数学实验
理
工
数
学
实
验一、实验内容
矢量量化压缩编码是图像和视频数据压缩的一种有效方法。
其基本思想是：把图像看成是一串数据，设这一串数据大小为 m，
把它截成 M段（一般每段相等，例如为 k），即把 m个数据变成了
M个矢量，再把这 M个矢量分成 N组，对每个组挑选一个数据矢
量作为这个组的代表，例如第 j个组的代表为 yj,j=0,1,…, N-
1。而压缩，就是图像中的数据矢量，如果属于第 j个组，则这个
数据矢量就用这个组的代表矢量 yj代替，这时的编码就是在相应
的位置上记下编号 j，而不必记下矢量 yj本身。集合 {yj,j=0，
1,…, N-1}称为码书。其中 N称为码书长度，或码书大小。
要求设计一个生成码书的算法或近似算法，同时针对某一种
类型的图像（如位图图像,bmp格式图形）进行实验验证，使得
所设计的算法能够找到对应图形的码书，并使得经过算法运算得
到的还原图形能够在视觉上可接受。
理
工
数
学
实
验二、问题分析
从数学的观点，矢量量化可以定义为从 k维欧几里德空间 Rk
到其一个有限子集 C的映射，即 Q,Rk->C，其中
C={C1,C2,…,CN | CiRk }称为码书。 Ci称为码字。该映射满足：
Q（ V|VRk, V=（ v1,v2,…,vk）） = Ci，其中 Ci=（ Ci1,Ci2,…,
Cik）为码书 C中的码字，并满足 。其中，
为矢量 V与码字 Cj之间的失真测度。常见的失真测度
为均方误差。定义为 。
)),((m in),( 1 jNji CVdCVd ???
),( jCVd
?? ?? ki ijij cvCVd 1 2)(),(
理
工
数
学
实
验
如上所述，在数据与图像的压缩中，当 k确定后，问题就
变成了如何分组及如何对每个组挑选代表的问题。这也就是
矢量量化（ VQ）的关键问题：码书设计。目前并没有一种通
用的方法能够设计出一种在“全局”意义下“最优”的码书。
由矢量量化的基本原理和其数学实质可见，码书设计实际就
是一个聚类问题，可用模式识别中的动态聚类来解决。在模
式识别中，有种称为 K -均值的算法，在矢量量化中就是经典
的码书设计算法 LBG算法。 LBG算法需要一个足够大的训练
样本集，它能大致反映输入矢量的概率分布情况。由于受计
算量的限制，无法使用很大的训练样本集，通常的做法是假
设图像是各态经历的，因而可取若干副典型的图像作为训练
图像。
二、问题分析
理
工
数
学
实
验
LBG算法是 Y.Linde,A.Buzo与 R.M.Gray在 1980年给出的矢
量量化算法，以后有许多人进行了改进。其思想是：对于一个
训练序列，先找出其中心，再用分裂法产生一个初始码书，再
把训练序列按码书中的元素分组，对这一分组再找每组的中心
得到新的码书，转而把新码书作为初始码书再进行上述过程直
到满意为止。
三 问题解答
理
工
数
学
实
验四、思考与提高
1．由 LBG算法的数学本质可知,LBG算法实质上解决的是一
个全局寻优的问题。而在 LBG具体实现时，所采用的是动态聚类
的思想，所以，不可避免地会存在陷入局部最优的“陷阱”中，
如何对 LBG算法进行改进，使得其搜索性能能够跳出局部最优而
逼近全局最优是一项很有价值的工作。一种可行的方案是使 LBG
算法和模拟退火算法相结合。问应该如何结合或者说如何改进
LBG算法才能达到上述效果。
2．由于 LBG算法的数学实质是聚类中的全局寻优问题，能否
设计一种新的算法也能实现 LBG算法相同的效果也是一个很有意
义的思考方向，其中与神经网络和遗传算法方向考虑是可行的。
问具体应该如何实现？
理
工
数
学
实
验五、练习内容
1．应用 Mathematica实现 LBG算法。
2．采用一个类型的图形（如位图），应用 Mathematica的图
形处理功能和文件操作功能，应用 LBG算法对图形进行处理，
寻找其码书，并应用码书还原图形，对比两种图形的差异，
同时思索思考和提高部分中的两个问题。
理
工
数
学
实
验
综合实验 11
圆的扫描转换算法－ 中点画圆法
理工数学实验
理
工
数
学
实
验一、实验内容
考虑中心在原点, 半径为整数 R的圆 x2+y2=R2,要求设计一个
算法, 使得计算机依照此算法可以在屏幕上把这个圆的图形近似
地画出来,
理
工
数
学
实
验二、问题分析
在设计圆的扫描转换算法时，首先应注意只要能生成 8分
圆，那么圆的其它部分可通过一系列的简单反射变换得到，如
图 1所示，假设已知一个圆心在原点的圆上一点（ x,y），根据
对称性可得另外七个 8分圆上的对应点（ y,x），（ y，－ x），
（ x，－ y），（－ x，－ y），（－ y，－ x），（－ y,x），
（－ x,y），因此只需讨论 8分圆的扫描转换．
考虑中心在原点，半径为 R的圆的第二 8分圆，如图 2所示．我们
来讨论如何从（ 0,R）到（ R/,R/）顺时针地确定最佳逼近于
该圆弧的象素序列．。
理
工
数
学
实
验
图 1 圆的对称性 图 2 第二个 8分圆 图 3 当前象素与
下一象素的选取
二、问题分析
理
工
数
学
实
验
假定 x坐标为 xp的象素中与该圆弧最近者的确定，为 p（ xp，
yp），那么下一个象素只能是正右方向 p1（ xp+1,yp）或右下
方的 p2（ xp+1,yp-1）两者之一，如图 3所示．
构造函数,F（ x,y） =x2+y2-R2，对于圆上的点,F（ x,y）
＝ 0；对于圆外的点,F（ x,y）＞ 0；而对于圆内的点,F（ x，
y）＜ 0，假设 M是 P1和 P2的中点，即 M=(xp+1,yp-0.5)，那么，
当 F（ m） <0时,M在圆内，这说明 P1距离圆弧更近，应取 P1作
为下一象素．而当 F（ M） >0时,P2离圆弧更近，应取 P2．当 F
（ M）＝ 0时，在 P1与 P2之中随便取一个即可，我们约定取 P2
二、问题分析
理
工
数
学
实
验
构造判别式,d=F(M)=F(xp+1,yp-0.5)＝ (xp+1)2+(yp-0.5)2-R2，
若 d<0，则应取 P1为下一象素，而且再下一象素的判别式为：
所以，沿正右方向 d的增量为 2xp+3．
而若 d≥0，则 P2是下一象素，而且再下一象素的判别式为：
所以，沿右下方向，判别式 d的增量为 2(xp-yp)+5
由于这里讨论的是按照顺时针方向生成第二个 8分圆，因此，和
一象素是（ 0,R），判别式 d的初始值为,d=F（ 1,R-0.5）
=1.25-R
32)5.0()2()5.0,2( 222 ???????????? xpdRypxpypxpFd
)22()32()5.1()2()5.1,2( 222 ??????????????? ypxpdRypxpypxpFd
二、问题分析
理
工
数
学
实
验三、问题解答
根据前面分析，即可写出中点画圆算法如下：
第一步：赋初值,x=0； y=r； d=1.25-r；
第二步：画新始点象素（ x,y）
第三步：如果 x<y转第（四）步，否则转第（五）步；
第四步：如果 d<0,d取增量 2x+3，即 d=d+2x+3；
x增加 1，即 x=x+1；
如果 d≥0,d取增量,2(x-y)+5，即 d=d+2(x-y)+5;
x增加 1，即 x=x+1;
y减少 1，即 y=y-1;
转第三步
第五步：结束
理
工
数
学
实
验四、思考与提高
1．如果中心不在原点，此时该作如何处理？
2．如果不是第二个 8分圆，而是其它任意一个 8分圆，此
时算法的初值以及判别式又是如何？
3．怎样修改算法由 8分圆得到整个圆的图形？
4．怎样由圆的扫描算法迁移到椭圆的扫描算法．
理
工
数
学
实
验五、练习内容
利用 Mathematica软件的动画和图形处理能力以及程序功
能实现中点画圆算法．
理
工
数
学
实
验
综合实验 12
大熊猫栖息地环境质量综合评价
理工数学实验
理
工
数
学
实
验一、实验内容
影响大熊猫栖息地环境质量的因素有很多, 从大的方面讲
有：竹子质量因素, 生物群落结构因素, 地表植被因素, 干扰因
素, 地理环境因素等等, 其中竹子质量因素又包括竹子更新指数,
竹高相对生长指数, 竹径相对生长指数, 成竹盖度, 成竹密度
等, 生物群落结构因素包括森林郁闭度, 草本层盖度, 草本层高
度, 凋落物盖度, 凋落物厚度；地表植被因素包括平均高, 苔藓
厚度, 苔藓盖度等；干扰因素包括人口密度, 农林土地比例, 砍
伐, 放牧与狩猎等；地理环境因素包括海拔高度等, 现在林业部
门需要掌握每一因素在影响大熊猫栖息地环境质量中的作用或地
位如何, 问怎样才能得到这些定量的权重结果信息,
理
工
数
学
实
验二、问题分析
由于本问题涉及到较多的定性因素，而最终需要的是定量的结
果，同时由于已知的定性因素之间内部关系比较复杂，所以在
此我们考虑用层次分析法把各种因素及其关系理清，建立一递
阶层次结构，再求解出我们所需的各因素的影响权重．
1．递阶层次结构的建立
经过对问题的全面分析、建立如下递阶层次结构．
理
工
数
学
实
验
大熊猫栖息地环境质量评
价 A
竹子质量因
素
B1
竹
子
更
新
指
数
c1
竹
高
相
对
生
长
指
数
c2
竹
径
相
对
生
长
指
数
c1
成
竹
盖
度
c4
成
竹
密
度
c5
生物群落结构因素
B2
地表植被因
素
B3
森
林
郁
闭
度
c6
草
本
层
厚
度
c7
草
本
层
高
度
c8
调
落
物
盖
度
c9
调
落
物
厚
度
c10
平
均
高
c11
苔
藓
厚
度
c1
2
苔
鲜
盖
度
c1
3
土
层
厚
度
c1
4
人
口
密
试
c15
农
林
土
地
比
例
c1
6
砍
伐
放
射、
狩
猎
c17
海
拔
高
度
c18
其
它
大
型
野
生
动
物
活
动
情
况
c19
干扰因素
B4
地理环
境
因素 B5
二、问题分析
理
工
数
学
实
验
图 1 圆的对称性 图 2 第二个 8分圆 图 3 当前象素与
下一象素的选取
二、问题分析
理
工
数
学
实
验
2．两两比较判断矩阵的构造
在此，我们只构造第一层和第二层之间的判断矩阵．
21
71
319
1
51
31
91 71
51
21
A B1 B2 B3 B4 B5
B1 1 5 7 9 9
B2 1 3 5 7
B3 1 3 5
B4 1 2
B5 1
二、问题分析
理
工
数
学
实
验三、问题解答
1．单一准则下元素相对排序权重计算及判断矩阵一致性
检验计算得到上述构造的两两判断矩阵的最大特征值为：
5.3142；
其对应的特征向量为（ 0.9237,0.3316,0.1686,0.0760,
0.0514）；
经过归化得到权重向量为：（ 0.5954,0.2137,0.1087,0.0490,
0.0331）；
一致性比率为 0.0701<0.1，通过一致性检验．
理
工
数
学
实
验
2．计算各层元素对目标层的总排序权重
由层次分析模型的构造，我们只分析第一层和第二层元素
间的关系以及它们的权重分配，此时对应的权重向量为：
（ 0.5954,0.2137,0.1087,0.0490,0.0331）
即竹子质量因素在影响大熊猫栖息地环境质量中占 59.54%、
生物群落结构因素占 21.37%、地表植被因素占 10.87%、干
扰因素占 4.9％、地理环境因素占 3.31%．
三、问题解答
理
工
数
学
实
验四、思考与提高
1．构造出第三层和第二层之间元素对应的比较矩阵，并
求出其权重向量，并作一致性检验和组合一致性检验．
2．如何确保层次分析中的递阶层次结构建立的合理性以
及比较矩阵构造的合理性．
理
工
数
学
实
验五、练习内容
1．利用 Mathematica软件计算所构造的两两比
较矩阵的最大特征值及其对应的特征向量以及归
一化之后的权重向量．
2．利用层次分析法解决即将毕业时所面临选择
的工作岗位问题，此时要考虑的准则有：能够发
挥自己的才干为国家做贡献；丰厚的收入；适合
个人的兴趣及发展；良好的声誉；人际关系；地
理位置等．试根据你自身的情况，建立层次模型
并确定可供选择的工作的优先顺序．
工
数
学
实
验理工数学实验
综合实验
综合实验 1 估计水塔的水流量 综合实验 2 轧钢中的浪费问题
综合实验 3 锁具装箱问题 综合实验 4 檐沟问题
综合实验 5 快餐店问题 综合实验 6 最佳泻洪方案
综合实验 7 钻井问题布井模型 综合实验 8 食品加工问题
综合实验 9 块匹配运动位移估值算法设计
综合实验 10 矢量量化编码的 LBG算法及其实现
综合实验 11 圆的扫描转换算法 — 中点画圆法
综合实验 12 大熊猫栖息地环境质量综合评价
理
工
数
学
实
验
综合实验 1 估计水塔的水流量
理工数学实验
理
工
数
学
实
验一、实验内容
美国某州的各公用水管理机构要求各社区提供各个时刻
的用水率以及每天所用的总用水量．但许多社区并没有
测量流入或流出当地水塔的水量的设备，他们只能代之
以每小时测量水塔中的水位．更为重要的是，无论什么
时候，只要水塔中的水位下降到某一最低水位 L时，水
泵就启动向水塔重新充水直到某一最高水位Ｈ，但也无
法得到水泵的供水量的测量数据．因此，在水泵正在工
作时，人们不容易建立水塔中水位与水泵工作时的用水
量之间的关系．水泵每天向水塔充水一次或两次，每次
大约二小时．试估计在任何时候，甚至包括水泵正在工
作的时间内，水从水塔流出的流量，并估计一天的总用
水量．表１给出了某个小镇某一天的真实数据．
理
工
数
学
实
验一、实验内容
表１．某小镇某天的水塔水位
时间（秒） 水位 (0.01英尺 ) 时间（秒） 水位 (0.01英尺 ) 时间（秒） 水位 (0.01英尺 )
0 3175 35932 水泵工作 68535 2842
3316 3110 39332 水泵工作 71854 2767
6635 3054 39435 3550 75021 2697
10619 2994 43318 3445 79154 水泵工作
13937 2947 46636 3350 82649 水泵工作
17921 2892 49953 3260 85968 3475
21240 2850 53936 3167 89953 3397
25223 2797 57254 3087 93270 3340
28543 2752 60574 3012
32284 2697 64554 2927
理
工
数
学
实
验一、实验内容
表１给出了从第一次测量开始的以秒为单位的时刻，
以及该时刻的高度单位为百分之一英尺的水塔中水位的
测量值，例如 3316秒后，水塔中的水位达到 31.10英
尺．水塔是一个垂直圆形柱体，高为 40英尺，直径为 57
英尺．
理
工
数
学
实
验二、问题分析
我们很容易想到应通过对所给的数据进行数值拟合来建
模．在讨论具体的建模方法以前，我们应先给出一些合理
的假设．
(1)影响水从水塔中流出的流量的唯一因素是公众对水的传统要
求．因为表１只给出了某一天（近 26小时）水塔的水位数
据，并没有对这些数据的产生有影响的因素作出具体的说
明，我们只能假定所给数据反映了有代表性的一天，而不
包括任何特殊情况，如自然灾害、火灾、水塔溢水、水塔
漏水等对水的特殊要求．
(2)水塔中的水位不影响水流量的大小，气候条件、温度变化等
也不影响水流量．
(3)水泵工作起止时间有它的水位决定，每次充水时间大约为两
个小时．
理
工
数
学
实
验二、问题分析
(4)水泵充水速度恒定，且水泵充水的水流量远大于水塔的水流
量，以保证人们对水的需求．水泵工作时不需要维修，也
不中途停止工作．
(5)水塔的水流量与水泵状态独立，并不因水泵工作而增加或减
少水流量的大小．
(6)水塔的水流量曲线可以用一条光滑的曲线了逼近．这时，在
每一个数据点，水流量的两阶导数是连续的．因为水的消
耗量是基于社区公众一天的活动，如洗澡、做饭、洗衣服
等，每一个使用者的要求与整个社区的要求相比是微不足
道的，而整个社区的需求是不可能同时增加或减少的，由
于水的消耗的自然性，可以假设水流量曲线是一条连续光
滑的曲线．
(7)表１的数据是准确的
理
工
数
学
实
验二、问题分析
对所给的问题，其建模方法是经典的，基本上是分成三步：
首先由所给数据得到在各数据点处的水流量，然后找出一
个水从水塔流出的水流量的光滑拟合逼近，最后处理水泵
工作时的充水水量以及一天该小镇公众的总用水量，同时
也重建了水泵工作时所缺的数据．所给数据的初步处理,
我们把表１所给的数据作为时间的函数画成图１（程序见
实验解答中程序一）
理
工
数
学
实
验二、问题分析
图 1．时间与水位的关系图
理
工
数
学
实
验二、问题分析
从图１可以看出，最大的困难是要解决如何描述水塔充水
期间的水流量的行为，为此，我们先分析一下水泵充水期
间的观察数据，要解决两个问题：一是两次充水准确的起
始时间和停止时间，如果无法得到准确时间的话，以哪一
时刻作为起止时间比较合理；二是充水期间的水流量如何
描述．
从所给的数据自然无法知道水泵开始和停止的准确时间，但是
已知第一次充水前的最后一个数据为 32284秒时水位为 26.97
英尺,充水中第二个数据为 39332秒时．而 39332-
32284=7048秒，即约为 1.96小时，由水泵每次充水要大约２
小时可知，水泵是在 32284秒时开始充水的．停止时间在
39332秒与 39435秒之间，但这两个时刻的差距为 103秒，约
0.028小时，很短的时间，所以我们可以假定水泵停止工作
时间为 39332秒．充水开始时水塔水位为 26.97英尺，可以认
为 L大约为 27.00英尺．
理
工
数
学
实
验二、问题分析
１、水流量曲线的拟合
表１给出的是水位与时间的关系，而题目要求我们求
出的是水流量与时间的关系，因此，我们先将表１的数据
转化为水塔中水的体积与时间的关系，然后再转化为水流
量与时间的关系．表２、图２代表水的体积与时间的关系
（程序见实验解答中程序二）
理
工
数
学
实
验二、问题分析
表 2．时间与体积的关系
时间（秒） 体积 (立方英尺 ) 时间（秒） 体积 (立方英尺 ) 时间（秒） 体积 (立方英尺 )
0 81018.337 35932 working 68535 72520.98
3316 79359.693 39332 working 71854 70607.161
6635 77930.709 39435 90587.431 75021 68820.93
10619 76399.653 43318 87908.085 79154 working
13937 75200.327 46636 85483.914 82649 working
17921 73796.86 49953 83187.331 85968 88673.612
21240 72725.121 53936 80814.196 89953 86683.241
25223 71372.689 57254 78772.789 93270 85228.738
28543 70224.398 60574 76858.97
32284 68820.93 64554 74689.975
理
工
数
学
实
验二、问题分析
图 2．时间与体积的关系图
理
工
数
学
实
验二、问题分析
我们用 从水的体积与时间的关系得到水流量与时间的
关系（由于在充水时，没有水的体积与时间的关系，所以也没
有水流量与时间的关系）．我们采用差分法来解决这个问题．
由于水泵充水两次，数据被分割成三组，因而我们也分三组来
处理数据．对每一组数据，我们采用中心差分公式
dtdVtf ?)(
dtdVtf ?)(
)(12
88
1
2112
ii
iiii
i tt
VVVVf
?
?????
?
????
理
工
数
学
实
验二、问题分析
来计算每一组中间数据点的水流量．而对每组前两个和最
后两个数据点，采用如下的公式来计算
)(2
43
1
21
ii
iii
i tt
VVVf
?
????
?
??
)(2
43
1
21
ii
iii
i tt
VVVf
?
????
?
??
11
11
2
2
??
??
??
???
iii
iii
i ttt
VVVf
对于最后的倒数第二个数据，我们用下面的公式计算：
理
工
数
学
实
验二、问题分析
(4)水泵充水速度恒定，且水泵充水的水流量远大于水塔的水流
量，以保证人们对水的需求．水泵工作时不需要维修，也
不中途停止工作．
(5)水塔的水流量与水泵状态独立，并不因水泵工作而增加或减
少水流量的大小．
(6)水塔的水流量曲线可以用一条光滑的曲线了逼近．这时，在
每一个数据点，水流量的两阶导数是连续的．因为水的消
耗量是基于社区公众一天的活动，如洗澡、做饭、洗衣服
等，每一个使用者的要求与整个社区的要求相比是微不足
道的，而整个社区的需求是不可能同时增加或减少的，由
于水的消耗的自然性，可以假设水流量曲线是一条连续光
滑的曲线．
(7)表１的数据是准确的
理
工
数
学
实
验二、问题分析
计算结果见表３和图３（程序见实验解答中程序三）．
表 3．时间与流量的关系
时间（秒） 流量 (立方英尺 /秒 ) 时间（秒） 流量 (立方英尺 /秒 ) 时间（秒） 流量 (立方英尺 /秒 )
0 0.534823 35932 working 68535 0.61827
3316 0.41517 39332 working 71854,0.0896973
6635 0.373626 39435 0.722878 75021 0.090645
10619 0.408886 43318 0.749839 79154 working
13937 0.326656 46636 0.703266 82649 working
17921 0.370962 49953 0.590477 85968 0.566702
21240 0.301645 53936 0.670369 89953 0.00310462
25223 0.377255 57254 0.580935 93270 0.0596205
28543 0.0525211 60574 0.510245
32284 0.0682106 64554 0.55552
理
工
数
学
实
验二、问题分析
图 3．时间与流量的关系
理
工
数
学
实
验二、问题分析
下面用 Methematica中的 Fit命令（程序见实验解答中程序四）
来拟合水流量的曲线，得到拟合函数。拟合函数图形如下
从上图可以看出关于流量的数据点具有一定的周期性，所
以考虑用三角函数来拟合它．其周期大约为 4000，所以选
择拟合函数系
30000sin ?x 30000cos ?x 15000sin ?x 15000cos ?x 10000sin ?x 10000cos ?x1
理
工
数
学
实
验二、问题分析
２、估计该镇一天的总用水量
我们可以用水流量拟合曲线在 [0,93270]上积分来求出该镇
在 93270秒（即约 25.92小时）的总用水量，然后乘以 25.92
得到该镇一天的总用水量，约 34551.9立方英尺（程序见实
验解答中程序五）
理
工
数
学
实
验三、问题解答
程序见教材
理
工
数
学
实
验四、思考与提高
请对本模型的优点和确定作出评价。在充水时的数据
还可以如何处理？
理
工
数
学
实
验理工数学实验
综合实验 2 轧钢中的浪费问题
理
工
数
学
实
验一、实验内容
轧钢中的浪费问题：用连续热轧方法生产钢材一般要经过
两道工序，第一道是热轧（粗轧），形成钢材的雏形；第二
道是冷轧（精轧），得到最后的成品,由于受设备、环境等方
面随机因素的影响，钢材经热轧再冷轧后的长度大致上服从
正态分布，其均值可以在轧制过程中由轧机调整，而其均方
差则是由设备的精度决定的，无法随意改变,冷轧时把多出规
定长度的部分切除，但是，若热轧后的钢材已经比规定长度
短，则整根钢材报废,冷轧设备的精度很高，轧出的成品材可
以认为是完全符合规定长度要求的,
根据轧制工艺的要求，要在成品材规定长度 L=2米，热轧
后钢材长度的均方差 b＝ 0.1的条件下，确定热轧后钢材长度
的均值 m，使得当轧机调整到 m进行热轧，再通过冷轧以得到
成品材时的浪费最少,
理
工
数
学
实
验二、问题分析
1.设定 x为热轧后钢材的长度，依题意 x为一随机变量，且
服从正态分布 N(m,b2)，概率密度函数为：
，（－ ∞<x<＋ ∞）,b>0为已知,m待定
当成品材的长度 L给定后，记：
P＝ P(x≥L)＝ P`＝ P( x<L) ＝ 故而有
P＋ P`＝ 1.
分析题意可知，轧制钢材的过程中产生的浪费 Y由两部分
组成：
（ 1） x≥L时，冷轧切去多余部分，长度为（ x－ L）；
（ 2） x<L时，整根钢材报废，长度为 x；
Y＝ ＝ m－ LP
2
2
2 )(21)( bmxebxf ??? ?
??L dxxf )( ???L dxxf )(
?? ??? ?? LL dxxxfdxxfLx )()()(
理
工
数
学
实
验二、问题分析
)(mPm
2.上式中的 Y即为每热轧一根钢材所浪费的平均长度，所以
热轧 N根钢材，得到 N P根成品材，浪费总长度为（ mN－
LN P），因此每得到一根成品材所浪费钢材的平均长度 J1
为：
J1＝ 由以上分析，可将上式的第一项作为
目标函数 J(m)：
J(m)＝, P(m)表示概率 P＝ P(x≥L)是 m的函数
3.求函数 J(m)的最小值点即可,
4.问题的简化：设 F(x)为正态分布 N(m,b2)的分布函数，
Φ(x)为标准正态分布的分布函数，则，
J(m)＝ ＝ ＝ 令 c＝, d＝, z＝ d－ c
则上式可简化为：
J(z)＝
LPmPNLP NmN ???
)(mPm )(1 LFm? )(1
b
mLm ??? bm bL
)(1 zbzL???
理
工
数
学
实
验三、问题解答
n[1]:= <<Statistics`ContinuousDistributions`
In[2]:=L=2
Out[2]:=2
In[3]:= b=0.1
Out[3]:=0.1
In[4]:= c=m/b
Out[4]:= 10.m
In[5]:=d=L/b
Out[5]:=20
In[6]:= z=d-c
Out[6]:= 20.-10.m
In[7]:= gdist=NormalDistribution[0,1]
Out[7]:= NormalDistribution[0,1]
理
工
数
学
实
验三、问题解答
In[8]:= F[x_]:=CDF[gdist,x]
将简化后的目标函数表示成以 m为自变量的函数：
In[9]:= J=(L-b*z)/(1-F[z])
Out[9]:=
通过图形直观显示目标函数的最小值点：
In[10]:= Plot[J,{m,2,3}]
])2,10.20[1(211
).10.20(1.02 m
E rf
m?
???
??
2.2 2.4 2.6 2.8 3
2.4
2.6
2.8
3.2
3.4
理
工
数
学
实
验三、问题解答
针对图形的特点寻找目标函数的最小值点（在 m＝ 2附
近）：
In[11]:= FindMinimum[J,{m,2}]
Out[11]:= {2.2502,{ m－ >2.20951}}
In[12]:= m=2.20951；
In[13]:= P=1-F[z]
Out[13]:=0.981919
In[14]:=J1=m/P-L
Out[14]:= 0.250196
即为每得到一根成品材（ L＝ 2米）所浪费钢材的平均长
度 J1＝ 0.250196米
理
工
数
学
实
验四、思考与提高
试就本题的条件考虑能否利用微积分的方法求解？
理
工
数
学
实
验五、练习内容
某糖果生产厂将产品包装成 500克一袋出售，在众多因
素的影响下包装封口后一袋的重量是随机变量，设其服从
正态分布 N(m,b2)，其中 b已知,m可以在包装时调整，出
厂检验时精确地称量每袋重量，多余 500克的仍按 500克一
袋出售，因而厂家吃亏；不足 500克的降价处理，或打开封
口返工，或直接报废，这样厂方损失更大，问如何调整 m
的值使得厂方损失最小？
理
工
数
学
实
验
综合实验 3 锁具装箱问题
理工数学实验
理
工
数
学
实
验一、实验内容
某厂生产一种弹子锁具，每个锁具的钥匙有 5个槽，每个槽
的高度从 {1,2,3,4,5,6}这 6个数（单位略）中任取一数．由于工
艺及其它原因，制造锁具时 5个槽的高度还有两个限制：至少有
3个不同的数；相邻两槽的高度之差不能为 5．满足以上条件制
造出来的所有互不相同的锁具称为一批,
从顾客的利益出发，自然希望在每批锁具中不能互开，但是
在当前工艺条件下，对于同一批中两个锁具是否能够互开，有
以下实验结果：若二者对应的 5个槽的高度中有 4个相同，另一
个槽的高度差为 1，则可能互开；在其它情形下，不可能互开．
销售部门在一批锁具中任意地取每 60个装一箱出售,团体顾客往
往购买几箱到几十箱，他们抱怨购得的锁具会出现互开的情
形．
理
工
数
学
实
验一、实验内容
现问：
1．每一批锁具有多少个，装多少箱？
2．按照原来的装箱方案，如何定量地衡量团体顾客抱怨互开
的程度（试对购开一箱者给出具体结果）．
理
工
数
学
实
验二、问题分析
某厂生产一种弹子锁具，由于其钥匙有 5个槽，所以用五元数组
来刻划一个锁具,Key=(h1,h2,h3,h4,h5,),hi表示第 i个槽的高度，
i=1,2,3,4,5．因此，五元数组 Key应满足下述条件：
条件 1,hi∈ (1,2,3,4,5,6),i=1,2,3,4,5．
条件 2：对于任意一个槽高排列 h1,h2,h3,h4,h5至少有三个不同的
槽高．
条件 3：对于任意一个槽高排列 h1,h2,h3,h4,h5有：
2,3,4,5.
而两个锁具可以互开的条件为：两个锁具有四个槽高相同，其余
一槽高相差为 1．
??? ? i5,|hh| 1ii
??? ? i5,|hh| 1ii
理
工
数
学
实
验三、建立模型
1．一批锁具个数的计算．
记一批锁具集合为 K={h1,h2,h3,h4,h5}|hi∈ {1,2,3,4,5,6},
i=1,2,3,4,5,且（ h1,h2,h3,h4,h5）为一锁具 }其个数小于 65
个．可采用逐一检验条件 1,2,3来求锁具的个数．
2．顾客抱怨程度的刻划
因为如果采用互开总对数来刻划抱怨程度则存在这样的情况：
购买得越多，则互开的总对数就越大，按照假设则顾客的抱怨
程度越大，但事实上这样的情况对顾客而言也是能接受的，所
以不会有很多的抱怨，且顾客所不能容忍的是购买少量的锁具
而出现互开现象．因此，应用平均互开总对数来刻划抱怨度．
记：
S={(h1,h2,h3,h4,h5) / (h1,h2,h3,h4,h5)∈ K,且 为偶数 }
T={(h1,h2,h3,h4,h5) / (h1,h2,h3,h4,h5)∈ K,且 为奇数 }
??51hii
??51hii
理
工
数
学
实
验
三、建立模型
则在一批锁具中，设能够互开的两锁具的槽高排列为
和,其各槽高度之和 与,因为互开的两锁具具
有四个槽高度相同，仅有一个槽高度差 1，那么高度之和 与
必为两个相邻的自然数，故与具有不同的奇偶性．这样，能够互开
的锁具一定分属于奇类与偶类,即是能够互开的锁具分别属于和 T这
两个集合．且 S中的锁具不能互开,T中的锁具不能互开．判断时，
我们将 S和 T中的锁具分别标号为 0与 1，便可提高计算速度．
54321,,,,hhhhh
54321,,,,hhhhh ????? ??? 51i hiH ?? ??? 51i ihH
??? 51i hiH ?? ??? 51i ihH
理
工
数
学
实
验四、问题解答
1．对（ ）的所有排列逐个检验条件 2,3，判
断其是否为锁具，将锁具放在数组 key中，若 为奇数，
标号为 1；若 为偶数，标号为 0，并记数 Count．
2．输出一批锁具的总个数 Count．
3．多次用随机数来模拟销售一箱的情形．计算平均互开
总对数．
4．输出一箱平均互开总对数 Average．
程序具体可以见教材,
结果为,Count=5880,Average=2.362
54321,,,,hhhhh
??51i hi
?
?
5
1i
hi
理
工
数
学
实
验
综合实验 4 檐沟问题
理工数学实验
理
工
数
学
实
验一、实验内容
市政府的建筑处需要明确与屋顶配套的檐沟的规格。一
个新开发区的房屋的屋顶都是矩形，长 12米，从屋脊到檐沟
的宽为 6米，屋顶对水平面的倾角还未确定，但大致将在
20° 和 50° 之间。一家檐沟生产公司急欲与市政府签订供货
合同。该公司声称他们的新型塑料槽沟经久耐用，无论什么
样的天气情况都能有效地满足要求，对这批屋顶，设计的檐
沟横截面是半径为 7.5厘米的半圆，用一条直径为 10厘米的
排水管就够了，市政府的建筑专家不能确信檐沟供应单位的
声称，因此让你建一个数学模型，在批量定货前对此作一个
全面分析，其中至关重要的是这种尺寸在暴雨时是否足以正
常排水。
理
工
数
学
实
验二、问题分析
这是一种输入输出模型，它在诸如水箱中、河流或水
库中水的流入流出问题也会得到应用。在本例中，输入是
倾斜屋顶上流下的雨水，输出则是从垂直的排水管中流出
的水，关键的问题是檐沟是否能容纳所有的雨水而不溢出，
这就意味着我们关心的是在特定时期檐沟中水的高度。当
檐沟的横截面是半圆时，那么水的高度与半径相等时将发
生外溢。
1．变量引入
根据对问题的全面分析，我们引入如下变量：
理
工
数
学
实
验二、问题分析
变 量 符 号 单 位
雨的强度 r ms -1
时 间 t s
屋顶倾角 α deg
屋顶长度 d m
屋顶宽度（屋脊到檐沟） b m
檐沟半径 a m
檐沟内水的高度 h m
詹沟内水的体积 v m3
流入檐沟的流量 Qi m3s-1
流出檐沟的流量 Q0 m3s-1
排水管的横截面积 A m2
重力加速度 g ms -2
理
工
数
学
实
验二、问题分析
2．假设提取
作关于水流的假设如下：
① 所有落在屋顶的雨水都流进檐沟
② 直接落入檐沟的雨水忽略不计
③ 排水系统不含出现意外的堵塞
④ 雨直接落在屋顶上
⑤ 雨撞击屋顶时不溅走
理
工
数
学
实
验3．模型的构建
为便于分析和构建模型，我们画出下面 3个示意图分别表示
屋顶与檐沟的关系（图 1），水流的状态（图 2）以及檐沟中水
量状态（图 3）。
α
d
b
屋顶
雨
雨
b
α
理
工
数
学
实
验二、问题分析
① 檐沟系统中水的流量有如下形式：
檐沟中水量变化率＝流入量速率－流出量速率
即 v′(t)=Qi-Q0 （ 1）
其中 Qi和 Q0是当 r以 ms-1测量的线性速度时的水流体积变化
率。
② 屋顶面积为 bd，但由于屋顶的倾斜，雨水下落的面积是
bdcosα。当雨的强度为 r(t)时，落在屋顶的降雨量体积变化
量是
r(t)× 面积＝ r(t) bdcosα （ 2）
而且屋顶的倾斜还会影响注入檐沟的流速，屋顶越陡、流速
越大，由图 2有雨水流入檐沟的流量为：
Qi=r(t)bdcosαsinα （ 3）
理
工
数
学
实
验二、问题分析
aha /)(c os ???
③ 由图 3，根据檐沟中水的横截面，可算出任一时刻檐沟中水
的体积，体积公式为：
水的体积＝水的横截面积 × 檐沟长 d
水的横截面是半圆的一部分，由图 3可见，用 θ表示 ∠ AOC，水
的横截面由下式给出：
而 所以 故
（ 4）
实际上要求的是 v(t)的变化率
v′(t)=(dv/dh)(dh/dt)，另外对方程（ 4）求微分能得到 dv/dh，运
算后得到
（ 5）
)co ss in(
2s in21221
2
22
???
??
??
???
a
aa面积
ahah /2s in 2???
???
?
???
? ????? ?
2
212 2)()(c o s)(
a
hahha
a
hadatv
22)(2)( hahdthtv ????
理
工
数
学
实
验二、问题分析
④ 通过垂直排水管的水量就是从檐沟的输出流量。输出
流速与檐沟中水的高度有关，通常的关系是适用关于能量守
恒的托尔希里定律得到，定理叙述由于高度 h(t)减少引起的势
能损失与进入管道前获得的功能平衡。因而水从檐沟流出的
速度为，排水管的横截面积记为 A，那么输出流量为：
Q0 （ 6）
返回到方程（ 1），代入流量可得到微分方程
即,（ 7）
ghA 2?
22)(22c o ss i n)( hahthghAbdtr ??????
222
2c o ss i n)()(
hahd
ghAbdtrth
?
??? ??
理
工
数
学
实
验三、问题解答
（ 8）
求解微分方程（ 8）可得任一时刻檐沟中水的深度 h(t)，
现在的问题是已知雨水强度 r（ t），求水的深度 h(t)。假定
雨的强度 r(t)＝常数，即在长时间内，下雨是均匀恒量，
持续不断的情形。此时可能由于排水不及，雨水从檐沟溢
出，也可能檐沟中水的高度 h(t)保持在一个小于 0.075米的
稳定值上，是动态平衡状态，在方程（ 8）中，令，可推
算出处于平衡状态时的高度值 h。有 即
例如当 时，在 处是稳定状态。
215.0
0 1 4 5.02 9 9.1)(
hh
hrth
?
???
hr 0145.0299.1 ?
27.802 5 rh ?
1025.0 ?? cmsr cmh 5?
理
工
数
学
实
验四、思考与提高
1．方程（ 7）是一阶微分方程，相应的初始条件可以
是 h(0)=0，即开始下雨时檐沟内是干的。此时方程（ 7）
在 h=0是奇异的。即当我们把 h=0代入方程时不能得到的值，
问此时该如何处理。
2．若雨水强度 r(t)是短时阵性大雨的情形，如在 20分
钟达到最大，然后在 40分钟时衰减至 0。问此时应如何刻
划雨水强度以及此时 h随 t的变化图形如何。
理
工
数
学
实
验五、练习内容
1．利用 Mathematica求解微分方程。
2．利用 Mathematica 画出在 r(t)已知情况下 h随 t的变化
图形。
理
工
数
学
实
验
综合实验 5 快餐店问题
理工数学实验
理
工
数
学
实
验一、实验内容
随着日常生活的高效率、高节奏、快餐风靡全球，快餐业
处于市场激烈竞争之下，如何吸收更多的顾客以获得更高的
利润是每一位快餐店老板最关心的问题。除了增加花色、提
高品味、保证营养、降低成本之外，快餐店应在其基本特点
“快”字上下工夫，有人向老板建议，公开向顾客宣布：如
果让哪位顾客等待超过一定时间（譬如三分钟），那么他可
以免费享用所订的饭菜，提建议者认为这必将招揽更多的顾
客，由此带来的利润一定大于免费奉送造成的损失。但是老
板希望对于利弊有一个定量的分析，告诉他在什么条件下作
这种承诺才不会亏本，更进一步，他希望知道应该具体地作
几分钟的承诺，利润能增加多少。
理
工
数
学
实
验二、问题分析
对于该问题关键有如下几点：
一是对顾客到达、服务时间、排队规则等作怎样的假设。
二是当宣布“服务慢了将免费供餐”以后，承诺的时间与顾
客的增多之间的关系应该用什么规则来描述。
模型假设：
1、顾客在快餐店的服务服从 M/M/1模型，顾客的平均到达
率为,c为平均到达间隔，平均服务为, d为平均服务时
间,d<c,在未宣布承诺时 。
2、店方承诺等待时间 超过的顾客免费享用订餐,越小则顾客
越多，这时 c会越小，这样就可以认为 c与 成正比，也可设定
的一个最大值, 当承诺对顾客无吸引力，这时相当于不作
承诺，可以认为此时 。
c1?? d1??
0cc?
?
?
?
?
0?
0cc?
理
工
数
学
实
验三、问题解答
???
模型建立：
顾客在该系统中的逗留时间 T在 M/M/1情况下服从参数为
的负指数分布,其分布函数为
则对于等待时间为 T的顾客设店方获得的利润为 Q(T),在宣布
承诺时间为 U的情况下
所以利润的期望值为：
又因为顾客到达的平均间隔为 C,单位时间利润的期望值为：
.01)( )( ??? ?? tetF tT ??
.)( )()( 11 tt cdeetTP ???? ???? ??
??? ?? ??? ??Tq TqpTQ )(
??? )( 11}{)(}{)()}({ cdpeqpTPqTPqpTQE ???????????
][1)(1)( )( 11 ucdpeqpcQEcuF ??????
理
工
数
学
实
验三、问题解答
下面是确定承诺的时间 U,使得单位时间 F(u)最大,
设 c与 u有关 c=c(u) 可有 c(0)=0-------------------(u->0时，顾客无穷多 )
当 时,--------------------------------------（相当与不作承诺）
设 c与 u成正比,c=ku
又因为的 d<c，所以,即 。
将 c(u)代入 F(u)中得到
0uu? 0)( cucc ??
uucck ucuc 0000 )( ?????
duuc ?00 00cduu?
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????
00
00000)( uuc uuuuc udcuc
?
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?
???
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?????
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??
?
0
)(
0
0
0
0
]1[
)1()(
)(
0
11
0
00
0
uueqp pc qp
uueeqp puc qpu
uF
u
c
du
cd
d
u
c
u
理
工
数
学
实
验三、问题解答
简单操作过程：（因 p,q,u0,c0,d都不为具体数只写出大致过程）
Int[1]=F1[u_]:=(u0*(p-q)/(c0*u))*(1-(p/(p-q))Exp[u0/c0]Exp[-u/d])
Int[2]=Plot[F1[u],{u,d*uo/c0,u0}]--找出 F1[u]最大值点的大致位置 s1
Int[3]=m1==FindMaximum[F1[u],{u,s1}]
Int[4]=F2[u_]:=((p-q)/c0)*(1-(p/(p-q))*Exp[-(1/d-1/c0)u])
Int[5]=D[F2[u],u]
通过图形显然可见 F2[u]单调递增，最大值为无穷大。
Int[6]=m2==Limit[F1[u],{u->Infinity}]
Out[6]=所以当 u0/(s1+d)>1有 F[si]
Int[7]=F[si]
为利润增加部分
m1
m2 1
理
工
数
学
实
验
四、思考与提高
利用上述方法可以进一步求出 p,qc0,u0,在取不同值的时候
是承诺还是不承诺进行改组，
例如：当 p/q=1.25,c0=2分,u0=5分,d=50,
s1=60
F[60]=6
所以 d<u0/(1+F[si])/(5*60/7)=43
即平均服务时间为 d<43秒，而平均服务时间为 50秒，故不能
承诺。
理
工
数
学
实
验五、练习内容
对于上述问题，当 p/q=1.25,c0=2分,u0=5分,d=50秒，若店
方有能力将服务时间缩短到 d=30秒钟，问否承诺，承诺的时间
最优值 s1多大，利润可以比目前增加多少？
理
工
数
学
实
验
综合实验 6 最佳泄洪方案
理工数学实验
理
工
数
学
实
验一、实验内容
洪水来临时，如果让他它破堤淹没两岸，将会造成巨大的损
失。在实际情况中，如果能预测洪水量，则往往能够采取主动
破堤的方法，从而减少总的损失。本文给出解决这一问题的数
学模型，并用它找出了特定洪水量的最佳泄洪方法。
有一条河流由于河床泥沙淤积，每当上游发洪水时，就会破
堤淹没两岸，造成人员和财产的损失。为了减少总的损失，人
门采取破堤泄洪的方法。图一所示的是就是这条河流的信息。
在该区域边界上有很高的山。使该区域成为封闭的区域。区域
内分成十五个小区，没个小区内标有三个数字，分别表示该小
区的海拔高度 h(m),面积 s(k㎡ )和被完全淹没时土地、房屋和财产
等的损失总数 k(百万元 )。
———— —— ——— —— ———
—— —— 河 流 —— —— ——— ———
理
工
数
学
实
验一、实验内容
:3.6
S:6.1
K:1.4
H:4.0
S:8.4
K:7.0
H
:4.7
S
:7.0
K
:5.8
H:
4.4
S:
9.3
K:
3.3
H:3.8
S:4.8
K”2.0
H:3.3
S:3.6
K:9.4
H:3.
2
S:0.
9
K:0.
9
H:2.
5
S:8.
5
K:6.
0
H:
5.0
S:
1.8
K:
7.2
H:4.4
S:9.1
K:1.6
H:3.0 S:4.8
K:3.0
H:3.
5
S:1.
5
K:4.
1
H:2.
4
S:2.
3
K:4.
1
H
:3.8
S
:8.8
K
:5.3
H:3.8
S:1.3
K4.4
理
工
数
学
实
验
一、实验内容
求,
（ 1）整个区域全部受损失的最小洪水量 Q
（ 2）当洪水量为 Q/6,Q/3，时，分别制定泄洪方案，使总
的损失达到最小。需要计算出方案的损失数。
理
工
数
学
实
验二、问题分析
符号系统及说明
H(i):第 i区的海拔高度,
A:15个小区关系矩阵（ H(i)>=H(j)且第 i区与第 j区邻接时，
a(i,j)=1；反之,a(i,j)=0）,
K:指第 k区,
C(i):第 i区的被认为覆盖时的损失数,
S(i):第 i区的面积,
D(i):表示第区受害时的损失数。
M(k):掘开第 k区后的总损失数。
Qmax:最大泄洪量。
A^k:A的 k次矩阵，且为 0-1矩阵。
（ 1）假设各小区之间引有相对高度为⒈ 2米的小堤互相隔离。
理
工
数
学
实
验二、问题分析
（ 2）假设当洪水淹没一个小区且水位高过该小区高度
p(m)时，该小区的损失为该小区的 k和 p的函数。
（ 3）假设决堤口可选在大堤和小堤的任何地方，决堤口
数目不受限制。但一旦决开堤口，就不能在补合。从河流
经过大堤决口流入小区的洪水量按决堤口数成比例分配。
如果在小区之间开一个决口，则假设这段小堤不存在，若
水位高过小堤，则向邻近的最低的一个小区泄洪若这样的
小堤有几块时，就平均泄洪
在此问题中，我们把河流与 15小区作为结点，以其相互之
间的关系作出网络图。（如图）
??
? ? ??? 1 10 pp pkpP
理
工
数
学
实
验二、问题分析
在此问题中，我们把河流与 15小区作为结点，以其相互之
间的关系作出网络图。（如图）
理
工
数
学
实
验二、问题分析
以洪水流向为有向边，也即根据每一个小区的高度来决定它们
将流向相邻的那个小区（结点）。
再在拓朴图的基础上，作出图的关系矩阵：
A=[1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0;
1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0；
0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0;
0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0;
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;
0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0;
0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0;
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0;
0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0;
0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1;
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0;
理
工
数
学
实
验二、问题分析
0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0;
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0;
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1;
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1]
该矩阵中的 0,1只有相互间的高差来决定。
当 H(i)>=H(j),而且 i区与 j区相邻,记 A(i,j)=1.反之，若
H(i)<H(j),或者，两者不相邻，均记为 A(i,j)=0.
进入洪水期后，在与河流相邻的第 k区中，破堤泄洪，其洪
水按照从高到低的方向排洪。且只要与之相邻，比之相低，则
均会流经。
在泄洪过程中，若洪水到达第 i区，则其流向的区域应为第 j
区，所满足条件为：
A(i,j)=1 (j=0,1,2…n)
理
工
数
学
实
验二、问题分析
然后以 j(j不一定一个值，可以是两个，三个或更多值 )为行
标。寻找与之想配且邻接值为 1的列标。依次类推。最终得到其
泄洪的路径，，并记录下来，用于判断其损失数 M(k),
洪水的路径及其淹没区与泄洪量的大小相关。
若泄洪量小时，其路径即为最终受灾区，而泄洪量大时，水
平面会整体上，其结果是导致洪水沿其原路径的反方向朔流回
灌，而且会淹没原路径不包括的并与原路径中的小区（结点）
相邻接的，海拔相对较底的新小区。
基于此，我们运用穷举法解决问题。对每个与河流相邻的小
区进行破堤假设，从而找出最佳破堤方案。其模型的数学语言
表达为
,.,,, )3,2,1(;),(),())(),(())(( 1!
!
,1
??? ?
?
?
?
? kjiAjiAjcjiAM i nkMM i n kknj
ij
j
k
理
工
数
学
实
验二、问题分析
A(i,j)也即为其各小区的关系矩阵 R
有关系的合成中的定义 1：设 R1是从 A到 B的关系,R2是从 B是
从 C的关系，从 A到 C的合成关系为 R1R2.
定义 2：关系 R的与自身合成任意次而形成 A上的一个新关系为
R^k.
定理：设 X={x1,x2…xm},Y={y1,y2,…yn},Z={z1,z2…zp},R 是 X
到 Y的关系 M(R)=[Aij]是 m*n矩阵,S是 Y到 Z的关系。 Ms=[bij]
是 n*p矩阵则
M(R*S)=C[ij]=M(R)*M(S)
A(i,j)^k是指第 i区与相隔 (k-1)个区而相邻接的关系矩阵，并且
将所有非零数值化为 1。对于 A(i,j)^k!=A(i,j)^(k-1).
pjnibaC kjiknkij,.,,3,2,1;.,,3,2,11 ????? ?
理
工
数
学
实
验二、问题分析
因为 j区可能会与 i区相隔（ k-1）区相邻，也可能与 k区相
邻。用 A(i,j)^k!=A(i,j)^(k-1)进行控制以避免重复计算。
对某一区域的最大泄洪量，即为淹没最高点是此区的容水量
j
n
i
ij SHM a xHM a x Q *))((
1
?
?
??
理
工
数
学
实
验三、问题解答
在求解过程，我们使用软件包 Matmatics来实现的。
H=[3.6 4.0 4.7 4.4 3.8 %各小区的海拔高度
3.3 3.2 2.5 5.0 4.4
3.0 3.5 2.4 3.8 3.8]
s=[6.1 8.4 7.0 9.3 4.8 %各小区的面积
3.6 0.9 8.5 1.8 9.1
4.6 1.5 2.3 5.8 1.3]
s=10^6*s;
k=[4.8 7.0 5.8 3.3 2.0 %各小区的完全被淹没时的受灾的总损失
9.4 0.9 6.0 7.2 1.6
3.0 4.1 4.1 7.0 4.4]
Qmax=Sum[sum[(5-h).*s]] % 全部被淹没时，洪水的总体积
Qmax6=Qmax/6 %1/6Qmax的洪水体积
Qmax3=Qmax/3 % 1/3Qmax的洪水体积
理
工
数
学
实
验三、问题解答
问题一：求得 Qmax=90780000立方米；
问题二：
第 1区 第 2区 第 3区 第 4区 第 5区
Qmax/6 23.4 28.2 54.4 24.8 24.8
Qmax/3 53.7 53.7 63.0 58.2 58.2
从表中可以看出：
如果洪水量为 Qmax/3,我们选择以第 1区或第 2区为洪水破堤
引洪处；如果洪水量为 Qmax/6,选择第 1区为洪水破堤引洪处。
可使财产损失最小。
理
工
数
学
实
验四、思考与提高
上述方法可以进一步改进吗？怎样改进？
理
工
数
学
实
验五、练习内容
当洪水量为 Q/2时，制定泄洪方案，使总的损失达到最小。
需要计算出方案的损失数。
理
工
数
学
实
验
综合实验 7 钻井问题布局模型
理工数学实验
理
工
数
学
实
验一、实验内容
勘探部门在某地区初步勘探时期已钻了 n个井位，取得了地
质资料，在系统勘探时期，通过布置网格来确定井位。如果能
够利用旧井位少打新井，将节约许多勘探费用。勘探部门需要
合理的布置整个网格，网格可以在平面上任意移动，使旧井位
尽可能的被利用。旧井位被利用的条件是：旧井位与网格节点
的距离不超过给定误差（ d=0.05单位）。
为进行辅助决策，勘探部门要求我们研究如下问题：
1、假定网格的横向和纵向是固定的（比如东西和南北向），
并规定两点的距离为其横向距离（横坐标之差绝对值）及纵向
距离（纵坐标之差绝对值）的最大值。在平面上平行移动网格 N
使可利用的旧井数尽可能大。试提供数值计算方法，并对下面
的数值例子用计算机进行计算。
2、在欧氏距离的误差意义下，考虑网格的横向和纵向不固
定（可以旋转）的情形，给出算法及计算结果。
理
工
数
学
实
验一、实验内容
数值例子 n＝ 12个点的坐标如下表所示：
I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
ai 0.50 1.41 3.00 3.37 3.40 4.72 4.72 5.43 7.57 8.38 8.98 9.50
bi 2.00 3.50 1.50 3.51 5.50 2.00 6.24 4.10 2.01 4.50 3.41 0.80
理
工
数
学
实
验二、问题分析
布局问题是一定约束条件下的最优化问题，勘探部门要求尽
可能多的利用旧井，因此我们必须围绕这个问题来移动网格。
对于问题（ 1）：网格横向和纵向是固定的，网格只能平移，
如果考虑网格上所有的结点通过平移后与旧井位的距离，由于网
格结点数较多，运算量较大，虽然可以解决问题，但并非一个好
的解法。因此我们从旧井位考虑，通过四舍五入法找到与其相邻
的网格结点（相互关系如图所示），然后我们通过两个控制变量
（角度和距离）对这些节点进行平移，使网格结点尽可能多的与
旧井位重合。
对于问题（ 2）：网格不固定移动，需要我们考虑平移和旋转，
对于旋转我们同样从旧井位出发，通过旧井位与网格结点的相对
关系，不难得出，旧井位的旋转是网格旋转的逆过程，因此我们
利用旧井位旋转来替代网格的旋转问题，然后，根据问题
理
工
数
学
实
验二、问题分析
（ 1）的方法，再解决网格平移问题，这样就将网格的移动问题简
化成为了旧井位的旋转问题和网格的平移问题。
对于问题（ 3）：以上两个问题都是在正方形网格情况下进行的
求解，在此问中我们不妨假设网格是长方形的,通过调整长和
宽的比例关系使 n个旧井位都可以被利用。因此问题（ 3），就
是在问题（ 2）的基础上，使 n个旧井位都可以被利用的长方形
的长、宽比例问题。具体实现方法如下：把目标函数值定为 12，
通过对问题（ 2）的反向求解来确定长方形的长、宽比例。
模型假设：
1、若一个旧井位与某个网格结点不超过 0.05单位则视为重合。
网格是足够大且平铺的。
２、模型采用直角坐标系，在网格未移动时，网格的横向和纵向
就是直角坐标系
理
工
数
学
实
验二、问题分析
３、模型采用直角坐标系，在网格未移动时，网格的横向和
纵向就是直角坐标 系的两坐标轴方向。
4、针旋转为正，顺时针方向为负。
5、长方形网格的长为 1单位。
符号说明：
i--------------------i旧井位,i=1,2,……12
Pi-------------------第 i个旧井位
ai,bi---------------第 i个旧井位的横、纵坐标
Ai,Bi---------------第 i个旧井位旋转后的横、纵坐标
Wi--------------------与第 i个旧井位相邻的网格结点
xi,yi-------------与第 i个旧井位相邻的网格结点的横、纵坐标
x1i,y1i----------与第 i个旧井位相邻的网格结点移动后的横、纵
坐标
理
工
数
学
实
验二、问题分析
di-------------------第 i个旧井位与其相邻的网格结点的距离
s--------------------网格平移长度
an------------------网格平移角度
bn------------------旧井位点旋转角度
pi------------------第 i个旧井位到坐标原点的距离
qi------------------第 i个旧井位与坐标原点连线的倾角
T ------------------可被利用旧井数
ti------------------ 第 i个旧井数是否被利用的函数（ 1表示可被利用，
0表示不可被利用）
c-------------------长方形的宽与长的比例
um,tm-------------分别为宽与长之比的上、下线
理
工
数
学
实
验三、问题解答
我们的目标是使旧井位利用数最多 T,它由 ti(d)决定，即
T=(d), 而 ti(d)是关于 di的分段函数，可表示如下：
1 0 ≤ d（ i） ≤0.05
ti（ d） =
０ 其它
d（ i）的表达式在下面给出。
由于问题（ 1）是问题（ 2）的特殊情况，所以这里只给出问
题（ 2）的模型。我们先将旧井位进行旋转。
第 i个 旧井位到原点的距离为,p（ i） = 第 i个旧井位
与坐标原点连线的倾角为,q（ i） =arctan（ b（ i） /a（ i））
所以第 i个旧井位旋转后的坐为,A(i)=p(i)cos[q(i)+bn(i)]
B(i)=p(i)sin[q(i)+bn(i)] （ bn 旧井位的旋转角
度）
22 )()( ibia ?
理
工
数
学
实
验三、问题解答
然后用四舍五入求旧井位的相邻网格结点坐标：
x(i)=[A(i)+0.5]
y(i)=[B(i)+0.5]
由此得出网格结点平移后的坐标为,x1(i)=x(i)+s*cos(an)
y1(i)=y(i)+s*sin(an)
所以，网格结点与旧井位的误差距离为：
d(i) = 综上,本题模型可
表示如下,
目标函数,max(T=(d) )
22 )]()(1[)]()(1[ iBiyiAix ???
理
工
数
学
实
验三、问题解答
约束条件：
1 0 ≤ d（ i） ≤0.05
ti（ d） =
0 其它
d(i)＝
x1(i)=x(i)+s*cos(an)
y1(i)=y(i)+s*sin(an)
x(i)=[A(i)+0.5]
y(i)=[B(i)+0.5]
A(i)=p(i)cos[q(i)+bn(i)]
B(i)=p(i)sin[q(i)+bn(i)]
p（ i） = q（ i） =arctan（ b（ i） /a
（ i））
22 )]()(1[)]()(1[ iBiyiAix ???
22 )]()(1[)]()(1[ iBiyiAix ???
理
工
数
学
实
验
（模型说明：当 bn=0,d(i)=max(|x1(i)-A(i)|,|y1(i)-B(i)|) 时，目
标函数的解为问题（ 1）的解）
理
工
数
学
实
验模型求解
我们的目标是使目标函数最大化，这是一个有约束的优化
问题，我们采用穷举法，来求的极值，所谓穷举法就是逐点确
定寻优方向，然后利用固定的步长，进行搜索的方法。为了使
目标函数值最大，我们列出主要步骤如下：
1、定一个能包含所有解的初始范围与固定的搜索步
2、据运行时间，再对搜索步长对穷举法进行精度调整。
根据这种方法我们得到了问题的答案：问题（ 1）最多可利用的
旧井数 t=4，网格的平移方向 an0=5.400000（弧度），平移距离
s0=0.583000（单位）；
问题（ 2）最多可利用的旧井数 t=6，网格的平移方向：
an0=2.760000（弧度）；网格的平移距离,s0=0.230000（单位）；
网格旋转角度,bn0=－ 0.78（弧度）（旧井点的相对旋转角度为：
5.5000弧度）；
理
工
数
学
实
验四、思考与提高
上述方法可以进一步改进吗？怎样改进？
理
工
数
学
实
验五、练习内容
如果有 n口井，给出判定这些井均可以利用的条件和算法（你
可以任意选定一种距离）。
理
工
数
学
实
验
综合实验 8 食品加工问题
理工数学实验
理
工
数
学
实
验
一项食品加工业，为将几种粗油精炼，然后加以混合成为成品
油。原料油有两大类，共 5种：植物油 2种，分别记为 V1和 V2；
非植物油 3种，记为 O1,O2,O3。各种原料油均从市场采购。
现在（一月份）和未来半年中，市场价格（元 /吨）如下表所示：
原料油
月份
V1 V2 O1 O2 O3
一 1100 1200 1300 1100 1150
二 1300 1300 1100 900 1150
三 1100 1400 1300 1000 950
四 1200 1100 1200 1200 1250
五 1000 1200 1500 1100 1050
六 900 1000 1400 800 1350
一、实验内容
理
工
数
学
实
验一、实验内容
成品油售价 1500元 /吨。
植物油和非植物油要在不同的生产线精炼。每个月最多可精炼植
物油 200吨，非植物油 250吨。
每种原料油最多可存贮 1000吨备用。存贮费为每吨每月 50元。
成品油和经过精炼的原油不能存贮。
对成品油限定其硬度在 3至 6单位之间。各种原料油的硬度如下
表所示：
油 V1 V2 O1 O2 03
硬度 8.8 6.1 2.0 4.2 5.0
理
工
数
学
实
验一、实验内容
为使公司获得最大利润，应采取什么样的采购和加工方案？
现存有 5种原料油每种 500吨。要求在 6月底仍然有这样多
存货。
研究总利润和采购与加工方案适应不同的未来市场价格
应如何变化。考虑如下的价格变化方式,2月份植物油价上升
x%,非植物油价上升 2x%； 3月份植物油价上升 2x%，非植物
油价上升 4x%；其余月份保持这种线性的上升势头。对不同
的 x值（直到 20），就方案的必要性的变化及对总利润的影响，
作出全面计划。
理
工
数
学
实
验二、问题分析
ij
1、（ 1）成品油的销售不会因为某种成分的减少而变化，
每月生产的成品油都可以在市场上销售完。
（ 2）假设硬度是线性地混合的。硬度可以用各主份在成品由中
的比例与它们的硬度乘积之和表示。
（ 3）精炼过程中没有重量损失。精练费用可以忽略。
（ 4）存储过程中不会有原料油的损失。
（ 5）精练过的原油都生产为成品油。
2,z为总利润,代表第 i个月第 j种原料的的用量,代表第 i个
月第 j种原料的采购量,M 代表第 i个月第 j种原料的采购价，
△ = △ - 代表第 i个月第 j种原料的存储量,
其中 i=(1,2,3,4,5,6) 代表第一个月到第六个月,j=(1,2,3,4,5)分
别代表原料油 v1,v2,o1,o2o3。
ijy ijx
ijx ?ijx jix 1? ijy
理
工
数
学
实
验三、问题解答
（ 1）：目标函数的确立；
首先在给定每个月的原料油的采购价下，公司获利由 3部分决
定：销售总额、总采购价及存储费用；
目标函数,max z=1500* - Mij* -50*△
Mij =[1100 1200 1300 1100 1150;
1300 1300 1100 900 1150;
1100 1400 1300 1000 950 ;
1200 1100 1200 1200 1250;
1000 1200 1500 1100 1050;
900 1000 1400 800 1350]
??51j ijx ijy ijx
理
工
数
学
实
验
ijy
S.T:△ xij<=1000(i,j=1…5)
△ xij=500(i=6,j=1…5)
<=200(i=1….6)
<=250(i=1….6)
y1j<=500+x1j
yij <=xij+ △ x(i-1)j
△ (i=2…6,j=1…5)
3 <= <= 6 (=[8.8 6.1 2.0 4.2 5.0]’i=1…6)
??21j ijy
?
?
5
3j
ijy
?
?
5
1j
ijy jA ?
?
5
1j ijy;0;0 ???? ijij yx
理
工
数
学
实
验四、思考与提高
我们的模型通过严密的推理和科学的计算解决出了该模
型的最优解。该解法有应用方便，实用性强等优点。但是
难免有点不足之处。能不能加以改进？
理
工
数
学
实
验五、练习内容
考虑如下的价格变化方式,2月份植物油价下降 x%,非植物
油价下降 2x%； 3月份植物油价下降 2x%，非植物油价下降 4x%；
其余月份保持这种线性的上升势头。对不同的 x值（直到 20），
就方案的必要性的变化及对总利润的影响，作出全面计划。
理
工
数
学
实
验
综合实验 9
块匹配运动位移估值算法设计
理工数学实验
理
工
数
学
实
验一、实验内容
电视信号的帧内编码利用图像信号的空间相关性实现信息压
缩，而帧间编码则是利用图像信号在时间轴上的相关性来实现信
息压缩。统计测量表明，当景物不含剧烈运动，不发生场景切换
以及摄象机不做明显运动如推镜头（ zooming）、摇镜头
（ panning）时，电视信号的帧差信号（相邻帧间空间位置对应的
像素差值）比帧内相邻像素间的差值信号具有更为尖锐的，以 0
为中心的 Laplace分布，即表现出更强的相关性。
但是，由于电视信号中运动事件的存在，直接利用帧差信号
编码也带来一些问题。当场景中有快速运动物体存在时，由空间
几何位置对应的像素值相减得到的帧差信号的幅度会剧烈增加。
如图 1所示，第 K-1帧里，中心点为的运动物体，若在第 K帧移动
到中心点为的位置，其位移矢量。如果直接求两帧间的差值，则
由于第 K帧的点（运动物体）与第 K-1帧的对应点（背景部分）
间相关性极小，所得差值幅度很大。
理
工
数
学
实
验
与此同时，第 K帧的点（背景部分）与第 K-1帧对应点（运动
部分）求差值，也出现同样的问题。但是，若能对运动物体的
位移量进行运动补偿，即在图 1中将第 K帧点的运动物体移回到
点，再与第 K-1帧求差值，显然会使相关性增大，差值信号减小，
从而提高压缩比。为了实现这一目的，必须事先估测场景中运
动物体的位移量，即进行运动位移估值。
本实验要求设计一种运动位移估值的算法，并通过运动的序
列图像进行检验。
一、实验内容
理
工
数
学
实
验
运动物体
x1,y1
X1,y1
X1+dx,y1+dy
图 1 运动物体的帧间位移
一、实验内容
理
工
数
学
实
验二、问题分析
实际物体的运动是十分复杂的三维运动，既有平动，又有转
动，如果再考虑到物体的非刚性和运动中光照的变化，将使运
动模型的建立和运动参量的估值十分复杂。在电视图像编码中，
由于实时运算的要求，在目前所采用的运动估值算法中仅考虑
物体运动在电视画面内的平动部分。
在电视信号编码方面，运动位移估值的两个主要应用是运动补
偿帧间预测与运动自适应帧内插。在图像编码领域目前使用的
运动估值算法有块匹配法、像素递归法、相位相关法以及针对
由摄象机运动引起图像全局运动的全局运动参数估值等。其中
块匹配法是最常用的一种方法，在运动视频编码的国际标准
H.261,CCIR723,MPEG1,MPEG2中实际都采用块匹配法做
运动估值。
理
工
数
学
实
验
块匹配算法将当前帧划分成尺寸为 M× N个像素的一个个
像块，并假设一个像块内所有的像素作速度相同的平移运动。
对当前帧中每一个像块 B，在以前一帧的对应位置为中心，上
下左右四个方向偏开相等距离 dm的范围内，即 （ M+2dm） ×
（ N+2dm） 个像素的搜索区内进行搜索，寻求与其最匹配的
像块 B’。这一对像块在水平和垂直方向的距离即是求得的运
动位移矢量（ dx,dy）。图 2示出 M× N像块与搜索区的关系。
二、问题分析
理
工
数
学
实
验
图 2 M× N像块与搜索区的几何关系
二、问题分析
理
工
数
学
实
验
衡量最佳匹配的准则有很多种，如均方误差（ MSE）、
归一化互相关函数（ NCCF）、平均绝对帧差（ MAD）。
研究表明，各种准则性能差别不显著，而 MAD运算量最小，
便于硬件实现，所以用得最多。 MAD定义为：
式中 为第 K帧位于的像素值； i,j分别为水平和
垂直方向的偏移量，取值范围为 。
? ?? ? ? ???? Mm Nn KK jnimSnmSMNjiM A D 1 1 1 |),(),(|1),(
dmjidm ???,
),( nmSK
二、问题分析
理
工
数
学
实
验三、问题解答
最细致的搜索方法是全搜索，即在搜索区内逐点计算一次
MAD，当 MAD达到最小值时，求得最佳匹配像块。全搜索需
要计算 MAD的次数是 （ M+2dm） × （ N+2dm）,运算量很大，
为了实时运算，必须采取并行处理。同时，为了减少搜索次数，
提出了多种快速搜索方法，如三步法、正交搜索法、共轭方向
法、二维对数法等。这些快速搜索算法的共同之处在于它们把
使准则函数趋于极小的方向视为最小失真方向，并假定准则函
数在偏离最小失真方向时是单调增加的，即认为它在整个搜索
区内 (i,j) 是的单极点函数，有唯一极小值，而快速搜索是从
任一猜测点开始沿最小失真方向进行的。因此，这些快速搜索
算法在实质上都是统一的梯度搜索法，所不同的是搜索路径和
步长有所区别。
理
工
数
学
实
验
下面通过图 3说明三步法的搜索过程。第一步，以起始点 (i、
j)为中心，由 MAD准则检测包括中心和外围 8个方向共 9个搜索
点（在图 3中以圆黑点表示），这一步中搜索间隔相对较粗，即
步长较大。在图 3中设点 (i+3,j+3)在第一步中通过 MAD准则检
测，它的 MAD值最小，而被视为位移矢量的一级近似（在图 3
中标以 1）。第二步，围绕点 (i+3,j+3)周围再搜索 8个点（在图
3中以黑方块表示），而搜索间隔缩小一些，找到二级近似点
(i+3,j+5) （在图 3中标以 2）。如此一直重复直到所要求的精度
为止。在最大搜索位移为，要求位移估值精度为一个像素时，
经过三步得到最终的位移矢量，图 3中，最终得到的最佳匹配像
块的位置在 (i+2,j+6),三次搜索步长分别为 3,2,1。在图 3中
通过不同标示了三步法的搜索过程。显然，随着所要求的搜索
范围的扩大和估值精度的提高，这种搜索方式的步骤可以不止
三步，而做相应的增加。
三、问题解答
理
工
数
学
实
验
图 3 三步法搜索过程示意
三、问题解答
理
工
数
学
实
验四、思考与提高
1．设计出其它新的近似块匹配搜索算法和相应的快速算法。
2．思考新的判断准则，并与 MAD准则比较，说明其优劣。
理
工
数
学
实
验五、练习内容
1．利用 Mathematica实现三步法的搜索过程。
2．利用 Mathematica实现思考和提高中所设计的新的算法
并和三步法对比。
理
工
数
学
实
验
综合实验 10
矢量量化编码的 LBG算法及其实现
理工数学实验
理
工
数
学
实
验一、实验内容
矢量量化压缩编码是图像和视频数据压缩的一种有效方法。
其基本思想是：把图像看成是一串数据，设这一串数据大小为 m，
把它截成 M段（一般每段相等，例如为 k），即把 m个数据变成了
M个矢量，再把这 M个矢量分成 N组，对每个组挑选一个数据矢
量作为这个组的代表，例如第 j个组的代表为 yj,j=0,1,…, N-
1。而压缩，就是图像中的数据矢量，如果属于第 j个组，则这个
数据矢量就用这个组的代表矢量 yj代替，这时的编码就是在相应
的位置上记下编号 j，而不必记下矢量 yj本身。集合 {yj,j=0，
1,…, N-1}称为码书。其中 N称为码书长度，或码书大小。
要求设计一个生成码书的算法或近似算法，同时针对某一种
类型的图像（如位图图像,bmp格式图形）进行实验验证，使得
所设计的算法能够找到对应图形的码书，并使得经过算法运算得
到的还原图形能够在视觉上可接受。
理
工
数
学
实
验二、问题分析
从数学的观点，矢量量化可以定义为从 k维欧几里德空间 Rk
到其一个有限子集 C的映射，即 Q,Rk->C，其中
C={C1,C2,…,CN | CiRk }称为码书。 Ci称为码字。该映射满足：
Q（ V|VRk, V=（ v1,v2,…,vk）） = Ci，其中 Ci=（ Ci1,Ci2,…,
Cik）为码书 C中的码字，并满足 。其中，
为矢量 V与码字 Cj之间的失真测度。常见的失真测度
为均方误差。定义为 。
)),((m in),( 1 jNji CVdCVd ???
),( jCVd
?? ?? ki ijij cvCVd 1 2)(),(
理
工
数
学
实
验
如上所述，在数据与图像的压缩中，当 k确定后，问题就
变成了如何分组及如何对每个组挑选代表的问题。这也就是
矢量量化（ VQ）的关键问题：码书设计。目前并没有一种通
用的方法能够设计出一种在“全局”意义下“最优”的码书。
由矢量量化的基本原理和其数学实质可见，码书设计实际就
是一个聚类问题，可用模式识别中的动态聚类来解决。在模
式识别中，有种称为 K -均值的算法，在矢量量化中就是经典
的码书设计算法 LBG算法。 LBG算法需要一个足够大的训练
样本集，它能大致反映输入矢量的概率分布情况。由于受计
算量的限制，无法使用很大的训练样本集，通常的做法是假
设图像是各态经历的，因而可取若干副典型的图像作为训练
图像。
二、问题分析
理
工
数
学
实
验
LBG算法是 Y.Linde,A.Buzo与 R.M.Gray在 1980年给出的矢
量量化算法，以后有许多人进行了改进。其思想是：对于一个
训练序列，先找出其中心，再用分裂法产生一个初始码书，再
把训练序列按码书中的元素分组，对这一分组再找每组的中心
得到新的码书，转而把新码书作为初始码书再进行上述过程直
到满意为止。
三 问题解答
理
工
数
学
实
验四、思考与提高
1．由 LBG算法的数学本质可知,LBG算法实质上解决的是一
个全局寻优的问题。而在 LBG具体实现时，所采用的是动态聚类
的思想，所以，不可避免地会存在陷入局部最优的“陷阱”中，
如何对 LBG算法进行改进，使得其搜索性能能够跳出局部最优而
逼近全局最优是一项很有价值的工作。一种可行的方案是使 LBG
算法和模拟退火算法相结合。问应该如何结合或者说如何改进
LBG算法才能达到上述效果。
2．由于 LBG算法的数学实质是聚类中的全局寻优问题，能否
设计一种新的算法也能实现 LBG算法相同的效果也是一个很有意
义的思考方向，其中与神经网络和遗传算法方向考虑是可行的。
问具体应该如何实现？
理
工
数
学
实
验五、练习内容
1．应用 Mathematica实现 LBG算法。
2．采用一个类型的图形（如位图），应用 Mathematica的图
形处理功能和文件操作功能，应用 LBG算法对图形进行处理，
寻找其码书，并应用码书还原图形，对比两种图形的差异，
同时思索思考和提高部分中的两个问题。
理
工
数
学
实
验
综合实验 11
圆的扫描转换算法－ 中点画圆法
理工数学实验
理
工
数
学
实
验一、实验内容
考虑中心在原点, 半径为整数 R的圆 x2+y2=R2,要求设计一个
算法, 使得计算机依照此算法可以在屏幕上把这个圆的图形近似
地画出来,
理
工
数
学
实
验二、问题分析
在设计圆的扫描转换算法时，首先应注意只要能生成 8分
圆，那么圆的其它部分可通过一系列的简单反射变换得到，如
图 1所示，假设已知一个圆心在原点的圆上一点（ x,y），根据
对称性可得另外七个 8分圆上的对应点（ y,x），（ y，－ x），
（ x，－ y），（－ x，－ y），（－ y，－ x），（－ y,x），
（－ x,y），因此只需讨论 8分圆的扫描转换．
考虑中心在原点，半径为 R的圆的第二 8分圆，如图 2所示．我们
来讨论如何从（ 0,R）到（ R/,R/）顺时针地确定最佳逼近于
该圆弧的象素序列．。
理
工
数
学
实
验
图 1 圆的对称性 图 2 第二个 8分圆 图 3 当前象素与
下一象素的选取
二、问题分析
理
工
数
学
实
验
假定 x坐标为 xp的象素中与该圆弧最近者的确定，为 p（ xp，
yp），那么下一个象素只能是正右方向 p1（ xp+1,yp）或右下
方的 p2（ xp+1,yp-1）两者之一，如图 3所示．
构造函数,F（ x,y） =x2+y2-R2，对于圆上的点,F（ x,y）
＝ 0；对于圆外的点,F（ x,y）＞ 0；而对于圆内的点,F（ x，
y）＜ 0，假设 M是 P1和 P2的中点，即 M=(xp+1,yp-0.5)，那么，
当 F（ m） <0时,M在圆内，这说明 P1距离圆弧更近，应取 P1作
为下一象素．而当 F（ M） >0时,P2离圆弧更近，应取 P2．当 F
（ M）＝ 0时，在 P1与 P2之中随便取一个即可，我们约定取 P2
二、问题分析
理
工
数
学
实
验
构造判别式,d=F(M)=F(xp+1,yp-0.5)＝ (xp+1)2+(yp-0.5)2-R2，
若 d<0，则应取 P1为下一象素，而且再下一象素的判别式为：
所以，沿正右方向 d的增量为 2xp+3．
而若 d≥0，则 P2是下一象素，而且再下一象素的判别式为：
所以，沿右下方向，判别式 d的增量为 2(xp-yp)+5
由于这里讨论的是按照顺时针方向生成第二个 8分圆，因此，和
一象素是（ 0,R），判别式 d的初始值为,d=F（ 1,R-0.5）
=1.25-R
32)5.0()2()5.0,2( 222 ???????????? xpdRypxpypxpFd
)22()32()5.1()2()5.1,2( 222 ??????????????? ypxpdRypxpypxpFd
二、问题分析
理
工
数
学
实
验三、问题解答
根据前面分析，即可写出中点画圆算法如下：
第一步：赋初值,x=0； y=r； d=1.25-r；
第二步：画新始点象素（ x,y）
第三步：如果 x<y转第（四）步，否则转第（五）步；
第四步：如果 d<0,d取增量 2x+3，即 d=d+2x+3；
x增加 1，即 x=x+1；
如果 d≥0,d取增量,2(x-y)+5，即 d=d+2(x-y)+5;
x增加 1，即 x=x+1;
y减少 1，即 y=y-1;
转第三步
第五步：结束
理
工
数
学
实
验四、思考与提高
1．如果中心不在原点，此时该作如何处理？
2．如果不是第二个 8分圆，而是其它任意一个 8分圆，此
时算法的初值以及判别式又是如何？
3．怎样修改算法由 8分圆得到整个圆的图形？
4．怎样由圆的扫描算法迁移到椭圆的扫描算法．
理
工
数
学
实
验五、练习内容
利用 Mathematica软件的动画和图形处理能力以及程序功
能实现中点画圆算法．
理
工
数
学
实
验
综合实验 12
大熊猫栖息地环境质量综合评价
理工数学实验
理
工
数
学
实
验一、实验内容
影响大熊猫栖息地环境质量的因素有很多, 从大的方面讲
有：竹子质量因素, 生物群落结构因素, 地表植被因素, 干扰因
素, 地理环境因素等等, 其中竹子质量因素又包括竹子更新指数,
竹高相对生长指数, 竹径相对生长指数, 成竹盖度, 成竹密度
等, 生物群落结构因素包括森林郁闭度, 草本层盖度, 草本层高
度, 凋落物盖度, 凋落物厚度；地表植被因素包括平均高, 苔藓
厚度, 苔藓盖度等；干扰因素包括人口密度, 农林土地比例, 砍
伐, 放牧与狩猎等；地理环境因素包括海拔高度等, 现在林业部
门需要掌握每一因素在影响大熊猫栖息地环境质量中的作用或地
位如何, 问怎样才能得到这些定量的权重结果信息,
理
工
数
学
实
验二、问题分析
由于本问题涉及到较多的定性因素，而最终需要的是定量的结
果，同时由于已知的定性因素之间内部关系比较复杂，所以在
此我们考虑用层次分析法把各种因素及其关系理清，建立一递
阶层次结构，再求解出我们所需的各因素的影响权重．
1．递阶层次结构的建立
经过对问题的全面分析、建立如下递阶层次结构．
理
工
数
学
实
验
大熊猫栖息地环境质量评
价 A
竹子质量因
素
B1
竹
子
更
新
指
数
c1
竹
高
相
对
生
长
指
数
c2
竹
径
相
对
生
长
指
数
c1
成
竹
盖
度
c4
成
竹
密
度
c5
生物群落结构因素
B2
地表植被因
素
B3
森
林
郁
闭
度
c6
草
本
层
厚
度
c7
草
本
层
高
度
c8
调
落
物
盖
度
c9
调
落
物
厚
度
c10
平
均
高
c11
苔
藓
厚
度
c1
2
苔
鲜
盖
度
c1
3
土
层
厚
度
c1
4
人
口
密
试
c15
农
林
土
地
比
例
c1
6
砍
伐
放
射、
狩
猎
c17
海
拔
高
度
c18
其
它
大
型
野
生
动
物
活
动
情
况
c19
干扰因素
B4
地理环
境
因素 B5
二、问题分析
理
工
数
学
实
验
图 1 圆的对称性 图 2 第二个 8分圆 图 3 当前象素与
下一象素的选取
二、问题分析
理
工
数
学
实
验
2．两两比较判断矩阵的构造
在此，我们只构造第一层和第二层之间的判断矩阵．
21
71
319
1
51
31
91 71
51
21
A B1 B2 B3 B4 B5
B1 1 5 7 9 9
B2 1 3 5 7
B3 1 3 5
B4 1 2
B5 1
二、问题分析
理
工
数
学
实
验三、问题解答
1．单一准则下元素相对排序权重计算及判断矩阵一致性
检验计算得到上述构造的两两判断矩阵的最大特征值为：
5.3142；
其对应的特征向量为（ 0.9237,0.3316,0.1686,0.0760,
0.0514）；
经过归化得到权重向量为：（ 0.5954,0.2137,0.1087,0.0490,
0.0331）；
一致性比率为 0.0701<0.1，通过一致性检验．
理
工
数
学
实
验
2．计算各层元素对目标层的总排序权重
由层次分析模型的构造，我们只分析第一层和第二层元素
间的关系以及它们的权重分配，此时对应的权重向量为：
（ 0.5954,0.2137,0.1087,0.0490,0.0331）
即竹子质量因素在影响大熊猫栖息地环境质量中占 59.54%、
生物群落结构因素占 21.37%、地表植被因素占 10.87%、干
扰因素占 4.9％、地理环境因素占 3.31%．
三、问题解答
理
工
数
学
实
验四、思考与提高
1．构造出第三层和第二层之间元素对应的比较矩阵，并
求出其权重向量，并作一致性检验和组合一致性检验．
2．如何确保层次分析中的递阶层次结构建立的合理性以
及比较矩阵构造的合理性．
理
工
数
学
实
验五、练习内容
1．利用 Mathematica软件计算所构造的两两比
较矩阵的最大特征值及其对应的特征向量以及归
一化之后的权重向量．
2．利用层次分析法解决即将毕业时所面临选择
的工作岗位问题，此时要考虑的准则有：能够发
挥自己的才干为国家做贡献；丰厚的收入；适合
个人的兴趣及发展；良好的声誉；人际关系；地
理位置等．试根据你自身的情况，建立层次模型
并确定可供选择的工作的优先顺序．
