空间分析基础
周 晓 光
Zxg@mail.csu.edu.cn
测绘与国土信息工程系
内 容
? 绪论
? 空间数据
? 空间位置
? 空间分布
? 空间形态
空间分析的概念与含义
? 空间分析是基于地理对象的位置和形态特
征 （ 分布, 关系 ） 的空间数据分析技术,
其目的在于提取和传输空间信息 (郭仁忠 ） 。
– 空间分析无处不在；
– 空间分析的内含与外延目前难以界定；
– 空间分析的对象,
– 空间分析的根本目的；在于提取和传输空间
信息
?注意：数据不等于信息
从例子中看空间分析的含义
中国大陆 SARS病例分布分析 -2003/5/14
从例子中看空间分析的含义 2
? 例 1,1854年, 英国琼,斯诺博士根据霍乱
病死者居住位置分布图分析霍乱病源所在
地的例子 。
? 例 2,1949年, 解放战争三大战役的 （ 地形,
距离, 连通性等 ）
? 例 3：日常生活中找目标：知道图书馆寻找
一办公楼、二办公楼等（邻近关系、方位
关系）。
空间分析的分类
? 空间数据的分析,在分析过程中一般不考
虑数据抽样点的空间位置, 但描述的仍然
是空间过程, 揭示的也必然是空间规律和
空间机制 。
? 数据的空间分析：是直接从空间物体的空
间位置, 联系等方面去研究事物, 以期对
空间事物作出定量的描述 。
空间分析的内容
? 空间位置
? 空间分布
? 空间形态
? 空间关系
– 度量关系
– 空间拓扑关系
– 序关系
– 相似和相关等。
? 空间位置：空间位置是借助于空间坐标系
来传递空间物体的个体信息 。
空间位置
? 空间分布,反映了同类空间事物的群体定位
信息 。 描述空间分布的参数和方法多种多
样, 常用的有分布中心, 标准距离, 分布
密度, 分布轴线, 空间聚类, 趋势面等 。
空间分布
? 空间形态是空间物体的几何特征 。 空间物
体的形态计算主要就物体的几何特征进行
描述, 如：线状物体的长度, 弯曲程度,
分数维, 面状物体的轴线, 形心, 周长,
面积, 外接圆, 凸包等, 曲面的坡度, 坡
向, 结构线等
空间形态
空间分析与地理信息系统
?空间分析是地理信息系统 （ GIS） 的主要特征,
也是评价一个 GIS功能的主要指标之一 。
?空间分析是基于地理对象的位置和形态特征的
数据分析技术, 其目的在于提取和传输空间信
息 。
?空间分析是各类综合性地学分析模型的基础,
为人们建立复杂的空间应用模型提供了基本工
具 。
?空间分析与应用模型之间的关系是, 零件, 与
,机器, 的关系 。
空 间 数 据
空间数据是描述地球表层 （ 有一
定厚度 ） 一定范围内的地理事物
及其关系的数据 。
– 空间分析的对象是空间数据
地理空间与分析空间
? 地理空间是人类赖以生存的地球表层具有
一定厚度的连续空间域，是一个空心的椭
球体。通过投影，地理空间被变换为包含
二维投影面的三维欧氏空间，通常用三维
实数予以描述。
? 分析空间：通常为二维欧氏空间，或三维
欧氏空间。
空间物体
? 空间物体是指具有确定的位置和形态特征并具有
地理意义的地理空间的物体 。
– 确定的位置：指至少在给定的时刻, 空间物体具有确
定的位置；
– 确定的形状：并不意味着空间物体必须是可见的, 可
触及的实体, 亦可以是不可见的概念上的东西, 如境
界, 航线等 。
– 地理意义：指特定的地学应用环境中，被认为具有确
认和分析的必要。排除了诸如办公室里的一张桌子和
桌子上的一本书作为空间物体来研究的可能。
空间物体的维数与延展度
? 空间物体的维数：随应用环境而定, 取决
于分析空间的维数 。
? 空间物体的延展度反映了空间物体的空间
延展特性 。
– 点, 线, 面, 曲面 （ 体 ） 的延展度分别为 0,1，
2,3。
空间物体的维数与延展度的意义
? 空间物体的维数和延展度构成了对空间物体的特
征的概括与描述 。 是对空间物体以数值表示的坐
标串的补充, 可以用来进行空间分析运算, 语法
正确性和数据正确性的检验 。
– 例 1：延展度为 2的空间物体的坐标串必须闭合, 三维
物体的坐标必须是三元组 。
– 例 2：在二维分析空间中, 坐标串闭合的空间对象可
能是线对象, 也可能是面对象, 怎么区别呢？ 可以看
其空间延展度 。
数据的基本特性
? 数据是对事物的描述, 可以文字, 数字,
图形, 影像, 声音等多种方式存在, 但是
数据不是事物本身 。
– 1） 数据只能从有限的方面去描述事物, 而不
可能也没必要全面, 详尽, 保真的复制事物本
身 。
– 2） 数据是以诸如人工统计, 仪器测量, 社会
调查等多种方式获得的, 这就必然导致甚至可
能是必然存在的各种误差 。
数据的基本特性
? 1） 选择性
? 2） 可靠性
? 3） 时间性
? 4） 完备性：指数据是否系统, 是否缺失
– 时间, 空间及主题的完备性 。
? 5） 详细性,
数据的详细性
? 空间详细性,
? 时间详细性：指统计的周期, 时间间隔的
大小 。
? 质量详细性：是指分类指标体系的详细性 。
? 数量详细性：指计量的单位, 分级情况,
使用的量等 。
空间详细性
? 空间详细性：是指统计单元的级别高低, 在非空
间数据中, 空间详细性可指统计 （ 抽样 ） 的基本
单位 。
– 统计单元的大小,
– 地图比例尺,
– 图像分辨率,
– 格网和抽样点的密度等 。
? 数据的空间详细性是地理信息系统领域的一个重
要研究方向 。 如何实现数据的自动综合以减少数
据采集的成本是地理信息系统领域一个迫切需要
解决的难题 。
空间详细性举例
Level-1
Level-2
Intersection
数据的尺度
? 名义尺度
? 有序尺度
? 间隔尺度
? 比率尺度
? 尺度间的转换,
? 名义 有序 间隔 比率
名义尺度
? 描述事物名义上的差别，这种差别往往是
质的差别。只回答“异”、“同”的问题。
– 如：民族：回, 汉, 藏, 蒙古族等；
– 陆地地貌：山地、高原、丘陵、平原、盆地等。
有序尺度
? 表示事物的等级和次序的概念 。 这种等级
或次序比名义尺度稍具量的色彩 。 例如,
– 人口按年龄分组：老, 中, 青, 少, 幼；
– 土壤类别：一, 二, 三等等级；
– 有序是指具有, 反对称性, 和, 传递性, 。
间隔尺度
? 反映事物之间的相对关系，在间隔尺度系
统中，数值的零点的设置具有随意性。
– 温度,250C 和 500C 只具有对比性，不能说
500C 是 250C 的两倍。
比率尺度
? 比率尺度比间隔尺度更进了一步，它除了
具有间隔尺度描述事物差异的一切能力外，
还可以明确描述事物间的比率关系。
– 如人口,100万是 50万的两倍。
空间位置
地理空间数字基准框架
? 空间数字基准框架包括,
– 参考椭球模型
– 平面基准
– 高程基准
– 重力基准
– 地图投影系统
? 作用：提供一个统一的三维、动态、实用、高精
度、时空的空间定位基准，实现多源数据的无缝
无边的连接和整合，保证地理空间数据的一致性、
兼容性或可转换性。
地图投影系统
圆锥、圆柱和方位投影示意图
按照变形性质的投影分类
? 等角 （ conformal） 投影,正形投影, 保证投影
后, 任意两条微分线段构成的角度不产生变形 。
? 等面积投影：保证投影前后面积保持不变, 但形
状变形却随远离中心的程度而逐渐增大, 对于专
题图：人口密度图, 土地利用图, 经济图等
? 任意投影：投影后既不保持角度也不保持面积不
变 。 同时存在角度, 长度和面积变形 。
地图投影变形的图解示例
（ 摩尔维特投影－等积伪圆柱投影 ）
长度变形
角度变形
地图投影变形的图解示例
（ UTM－ 横轴等角割圆柱投影）
面积变形和长度变形
投影变形示意图
我国主要类型地图所采用的地图投影系统
地图类型
所用投影
主要技术指标
中国全图
斜轴等面积 方位 投影
斜轴等角方位投影
投影中心,
中国全图（青海诸岛做插
图）
正轴等面积割 圆锥 投影
（ lambert 投影）
标准纬线,
正轴等面积割圆锥投影
正轴等角割圆锥投影
各省（区）图分别采用各
自标准纬线
中国分省（区）地图（海
南省）
正轴等角 园柱 投影
国家基本比例尺地形图系
列（ 1,100万）
正轴等角割圆锥投影
按国际统一 40 * 60 分幅
国家基本比例尺地形图系
列（ 1,5万 - 50万）
高斯 -克吕格投影
（ 60 带）
投影带号（ N）,13-23
中央经线,
国家基本比例尺地形图系 列（ 1,5000 – 2.5万）
高斯 -克吕格投影
（ 30 带）
投影带号（ N）,24-46
中央经线,
城市图系列
（ 1,500 –5000）
城市平面局于域投影或城
市局部坐标的高斯投影
中国分省（区）地图
（海南省除外）
高斯 —克吕格投影示意图
城市测量与工程测量基准
? 高斯平面坐标系：投影带宽，投影带中央子午线，
投影面
? 投影长度变形值不大于 2.5cm/km为原则,
– 统一 3带的平面直角坐标系 （ 当长度变形值不大于
2.5cm/km时 ）
– 投影于抵偿高程面 （ 当长度变形值大于 2.5cm/km时 ）
– 采用任意 3度面 （ 当长度变形值大于 2.5cm/km时 ）
– 不经投影采用平面直角坐标系（面积小于 25平方公里
的市镇，县城）
局部测量基准的不同可能造成
地理数据之间的不吻合
A B
P1
P2
现代 GPS卫星定位的时空基准
? 1984年的世界大地坐标系（ World
Geodesy System） (WGS-84)
? 理论上：地球质心为原点, Z轴指向由 BIH
定义的国际协议 原点 CIO,X轴指向由
BIH1984定义的零度子午面与赤道的交点
? 特点：与时间密切相关；不需要平差基准
GPS卫星定位系统的时间基准
? 时间基准：时间的单位 （ 尺度 ）, 原点
? 时间系统：世界时系统 （ UT）, 原子时 （ AT）,
力学时 （ DT）, 协调世界时 （ UTC）,
? 原子时：位于海平面上的铯 133原子基态两个超
精细能级, 在零磁场中跃迁辐射振荡 9192631770
周所持续的时间, 为一原子秒；原点为 1958年 1
月 1日 0时－ 0.0039s
? GPS时间系统是一种原子时系统, 秒长与原子时
相同但原点不同,IAT－ GPST＝ 19s
地理坐标系
? 对于地球上的任意一点 P,其在椭球表面
的位置（地理位置）是由（ ?,?）来表示
的,?为地理纬度,?为地理经度
讨 论
? 多坐标系统之间的坐标转换问题
? 坐标系统转换中的精度问题
? 带与带之间的快速衔接, 转换问题
? 梯形图幅的接边问题
空间分布
?空间分布是从总体的, 全局的角度
来描述空间度量和空间物体的特征 。
?分布对象：是我们所研究的空间物
体和对象；
?分布区域：是分布对象所占据的空
间域, 定义域 。
空间分布类型
点
线
面
线
离散
连续
离散
连续
离散
连续
1
2
河流上的防
护堤坝，城
市街道的林
荫道（ 3）
×
×
×
面
离散
连续
离散
连续
离散
连续
4
5
6
空间连续分布
的动态特征：
污染扩散，大
气运动。（ 7）
8
9
空间分布的参数描述
? 分布密度
? 平均值
? 极值
? 离差
分布密度
? 分布密度,是指单位分布区域内的分布对象
的数量,是两个比率尺数据的比值 。 一般是
针对离散分布现象的分布概率而言, 即单
位区域内的发生频数 。
? 分布密度 = 分布对象的数量 / 分布区域
分布密度分子、分母的计算
分布密度 = 分布对象的数量 / 分布区域
分子的计算
– 对点状要素以频数计
– 对线状要素以长度计
– 对面状要素以面积计
分母的计算,
– 对线状要素以长度计
– 对面状要素以面积计
均 值
? 均值：是针对分布现象及其属性的 。 如人
口平均密度, 城市平均规模, 平均气温,
平均高程 。
– 注意：在不同的应用中，应该注意均值本身
的含义，如：平均人口 =总人口 /总面积。
分布中心
? 一般用来表示沿面状分布的离散点的总体
分布位置,
– 算术平均中心
– 加权平均中心
– 中位中心
算术平均中心、加权平均中心
? 1,算术平均中心,（ ）
? 2,加权平均中心 （ ）
YX,
nXX i /?? nYY i /??
WW YX,
? ??? )(/)( iiiW PWPWXX
? ??? )(/)( iiiW PWPWYY
中位中心（ Xm,Ym）
? 中位中心 (median center) 是这样一个点位，
它使到所有点 Pi 的路程（距离）之和为最
短
?
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n
i
mimi YYXX
1
22 m i n)()(
中位中心的应用：如：在商业点的选址过程中，应力求使
其到附近居民点的距离之和为最小。中位中心也有 权 的概
念，在商业点的选址过程中，还应该考虑各个居民点的人
口数
问题：权如何考虑？
极值中心（ Xe,Ye ）
? 极值中心 （ Xe,Ye ）, 在 n个离散点构成
的点群中, 极值中心 （ Xe,Ye ） 到各点的
最大距离比任何其他点相对于点群中最远
点的距离都要小 。
))()(m a x ())()(m a x ( 2222 ieieii yyxxyyxx ???????
m i n))()(m a x ( 22 ???? ieie yyxx
极值中心的计算相当复杂, 点群的极值中心就是点群的最小外接圆的圆
心；
对两个点状群体之间关系的最简单的描述就是其分布中心的距离 。 如长
沙与武汉, 北京之间的距离 。
分布轴线
? 离散点群在空间的分布趋势可以用走向来描述，
而走向的确定则要通过分布轴线来计算。
? 对于离散点群 Pi（ Xi,Yi ） (I =1,2,…,n),可
以拟合一条直线 L,AX+BY+C=0点群相对于 L的距
离反映了离散点在点群走向上的离散程度，而 L
的走向则描述了点群的总体走向。确定 L的方法
一般有如下三种（ 距离最小）,
– 水平距离 dh,
– 正交距离 dp
– 垂直距离 dy最小。
分布轴线的计算
? 由 垂直距离 dy最小 确定的 L0与点群分布椭
圆的长轴重合，因此 L0是点群分布轴线的
最佳表示。
L0 dh
dy
dp
X
O Y
11 bYaYA
B
A
CX ?????
22 bXaYB
A
B
CY ?????
离 散 度
? 离散度是面状区域上离散点的分布情况，
是对分布中心和分布轴线的补充。离散度
同时又是分布密度的补充。
分布轴线 分布密度
表达离散度的四种方法
? 平均距离
– 离散点到分布中心的 距离的平均值 。 分布中心一般用
中位中心,
–
? 标准距离 ds
– 一般指离散点到分布中心的距离的平均值 。 分布中心
一般用 算术平均中心 。
? 极植距离 de
? 平均邻近距离 dn
?
? ????
)(
)()()(
22
i
iii
PW
YYXXPW
d
平均邻近距离
? 对于任意离散点 Pi 计算它与 n-1个点之间
的距离, 取其极小值, 该值表明了 Pi 点与
其最邻近点的距离, dn 的计算公式,
?
?
???
n
i
ijn njjidnd
1
),,2,1,|( m i n ()/1( ?
空间聚类
? 空间聚类的目的是对空间物体的集群性进
行分析，将其分为几个不同的子群（类）。
子群的形成可以揭示某种地理机制，另外，
子群也可以作为其它分析的基础。
空间聚类方法的分类
? 系统聚类：在分析之初假设 n个点自成一类, 然
后逐步合并, 这样在聚类的过程中, 分类将越来
越少, 直至聚至一个合适的分类数目 。
? 逐步分解：在聚类之初, 将 n个点合成一类, 然
后逐步分解, 这样在聚类的过程中, 分类将越来
越多, 直至聚至一个合适的分类数目 。
? 判别聚类：先确定 若干个聚类中心, 然后逐点比
较, 以确定离散点的归宿 。
聚类统计量的计算
? 距离、离差
– A,最短距离
– B,最大距离
– C,重心距离
– 一般认为最小距离和 重心 距离更符合人们的思维习惯
22 )()(
jijiij YYXXd ????
重心距离
离 差
在任意一点群 T,其群内离差 （ 平方和 ） 的计算
如下,
全部点群的群内离差平方之总和为
– 聚类分析的目的是使 E尽可能的小，使 E减小的途径有
两种：改变点群的分群数量，子群调整（将某一点从
一个子群剔除，归入另一子群）
])()[( 2
1
2
ti
n
i
tit YYXXE
t
???? ?
?
?? tt EE
空间聚类小结
? 距离和离差是从不同的角度出发考虑问题
的，离差具有平衡各点群含点数的特征，
而距离反映的是个体之间的亲疏程度
趋势面分析
? 趋势面是揭示面状区域上连续分布现象空间变化
规律的理想工具 。
? 趋势面分析在数学上实际上是一个曲面拟合的问
题 。 在测量中用得比较多的是数字地面模型的曲
面拟合 。 一般用多项式的曲面拟合方法 。
? 趋势面分析还可以用于人口密度, 人均产值, 总
产值等非连续分布现象的的分析, 称作所谓, 伪
等值线, 的方法 。
问题与讨论
? 能不能将空间聚类的方法用于制图综合？
将某一区域的 1,500地图缩至 1,5000大
小, 先人工按制图综合的要求进行 1,500
至 1,5000的制图综合, 然后按照空间聚
类的思想设计 1,500至 1,5000的综合算
法, 用此方法分析同一地图的综合结果,
比较两种方法得出相应结论 。
空 间 形 态
线状物体的空间形态
面状物体的空间形态
曲面的空间形态
线状物体的形态特征参数
? 长度
– 矢量方式下的长度计算
– 栅格格式的曲线长度计算
? 分数维数
? 曲率和弯曲度
? 相等和相似
矢量方式下的 长度 计算
? 线状物体 L表示为坐标串 （ Xi,Yi ） 或 （ Xi,Yi,
Zi ）,其长度 L,
? 或者
??
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?
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i
iiiii
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1
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2/12
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1
0
2
1 ])()[(
栅格格式的曲线长度计算
? 八方向连接的骨架线长度计算公式为
DNNl id )2( ??
– 由上式计算的曲
线长度比曲线的实
际长度要长，误差
最大可达 8%以上
分数维数
? 分形几何 （ Fractal Geometry） 是由法国
数学家 B.B.Mendelbrot 建立的一种新的几
何学 。
– 根据欧式几何理论, 几何物体可以区分为 0,1、
2,3维, 物体的维数是用整数表示的 。
– 整数表示的维数往往不能反映几何物体的特性,
如一条曲线和一条直线一样都是一维, 而事实
上, 其形态有很大的差异 。
– 整数的维数不能反映曲线的形态和空间延展性 。
? 分数维：用分数表示的空间物体的维数 。
曲线的分数维的计算
? 其中 N为用步长为 d的尺度去量测曲线时的步长
总数, r为比例因子, 1/r为步长为 d的生成线两
端端与步长之比 。
? 根据分数维理论, 平面内的曲线的维数大于等于
1,而小于等于 2。 直线的维数等于 1,Peano曲线
的维数等于 2。
? 曲线的分数维反映了曲线的复杂程度，反映了其
对空间的占有能力
rND f
1l o g/l o g?
Peano曲线
分数维测度与相应的尺度之间的关系
? 其中 K为常数, D为分数维数, M（ X） 表
示分数维的一种测度 （ 如一维时表示长度,
二维时表示面积 ） X表示相应的量测尺度,
f(Df)则为分数维 Df的一个简单函数 。
)()( fDfKXXM ?
分数维的应用
? 1,分数维的一个重要特征就是分数维的, 自相
似性,, 也就是整体与局部的相似 。 这一特性可
用于对诸如山地的起伏, 河网的结构, 海岸线的
形态, 居民地的分布等复杂的自然景观进行定量
地分析与描述 。
? 2,如将比例尺也视为一种量测尺度的话, 它也
遵循分形学理论 。 线状要素的量册长度 l与比例
尺 m间满足如下关系,
? f(Df)也是关于分数维 Df的一个简单函数 。
)( fDfKml ?
曲率和弯曲度
? 线状物体的曲率由数学分析定义为：曲线切线方
向角相对于弧长的转动率, 曲率反映曲线的局部
弯曲特征, 为了反映曲线的整体弯曲特征, 应计
算曲线的平均曲率 。
? 弯曲度：弯曲度是描述曲线弯曲程度的另一个参
数 。 它定义为曲线长度与曲线两端点定义的线段
长度之比值 。
– S=L/l L
l
曲率和弯曲度的应用
? 曲率：在道路设计中, 规范对道路的曲率
提出严格的控制要求；在交通管理中, 在
曲率较大的拐弯处往往要设置指示牌, 要
求车辆减速行驶 。
? 弯曲度：反映了曲线的迂回特性，在交通
运输时，为了降低运输成本，结点对之间
通道的弯曲度越小越好。
面状物体的形态参数
? 面积与周长
? 一维测度
? 最大内切圆与最小外接圆
? 最小凸包
矢量方式的面积计算
))((
2
1))((
2
1))((
2
1
2
1
00112210110
1
0 11
nn
n
i ii
ii yyxxyyxxyyxx
YX
YX
S ??????????? ?
?
? ??
? ?
栅格方式的面积计算
? 对于栅格方式表示的面状物体，其面积可
以直接通过栅格计数来获取，边界上的像
元的面积，根据边界线的走向予以分配。
栅格方式边界像元的计算
边界像元的计算
A B A
B
A
B
A
B
A B A B
D
C
a,A=B=1/2 b,A=B=1/2
c,A=3/8,B=5/8 d,A=1/4,B=3/4
e,A=1/4,B=3/4
d,A=B=C=D=1
一维测度
? 设面状物体 A为一平面连通闭集, 在 A上可
定义一维测度：长轴 LA,短轴 WA和大地
长度 GA。
长轴、短轴
? 长轴 LA,设 A的重心为 C,A中相距直线距离最
远的两点间连线记为 L’A,沿 L’A垂直方向平移
L’A至 C得 LA。
? 短轴 WA,以 LA为长边方向作 A的外接矩形, WA
为过 C点并垂直于 LA 且长度等于矩形短边的直线
段 。
LA
L’ A
WA
大地距离
? 大地距离 Gd 和大地长度 GA,设 X1,X2 为
A中任意相异两点，其间的大地距离 Gd为
包含于 A中的两点间通道的最短者,GA为
A中 任意点对间 大地距离的最长者
GA
意义：在大多数情
况下,LA WA可以
描述 A的空间延展
性和走向。大地长
度和距离反映了 A
中的实地距离
最小凸包
? 对简单（连通）多边形 P而言，其最小凸包 PC是
这样一个凸多边形，如果存在包含 P的另一凸多
边形 P0,则 PC? P0,因此 P0是包含 PC的最小凸多
边形
最大内切圆、最小外接圆的应用
? 最大内切圆,
– 用于空间项目的选址；
– 多边形内点状符号的自动设置, 如多边形注记 。
? 最小外接圆,
– 应用于平面点集的分布形态分析，其圆心即点集的最
小、最大中心，在一些选址定位分析中非常有用。如：
一个中学的选址就应当保证所有村庄的学生到该中学
的直线距离尽可能短，这个中学的最优位置就是该村
庄的集合的最小外接圆圆心
空间曲面形态参数
? 分数维
? 表面积计算
? 体积
? 坡度
? 坡向
? 曲面结构线
分数维、表面积、体积
? 分数维,空间曲面的分数维的值域为 2~3,该值
描述了空间曲面的复杂程度, 当 Df=2时, 表现为
一平面, 当 Df=3时, 表现为一非常复杂的曲面 。
地形表面分数维的计算及应用
? 空间曲面的表面积计算总可以归结为三角形格网
和正方形格网的表面积计算 。
? 所谓体积通常是指空间曲面与一基准平面之间的
空间的体积, 在绝大多数情况下, 基准平面是一
水平面 。
– 体积计算的应用一般为挖填土方。体积为正时为挖方，
体积为负时为填方
坡度,坡向
? 曲面上某点的坡度一般定义
为曲面上该点的法线方向 N与
垂直方向 Z之间的夹角
? 基于 DEM的坡向一般定义为：
过格网单元所拟合的曲面片
上某点的切平面的法线的正
方向在平面在平面上的投影
与正北方向的夹角，即法方
向水平投影响亮的方位
曲面的结构线
? 曲面结构线指地表曲面的结构线, 一般认
为地表结构线包括山脊线, 山谷线和鞍部 。
– Yoeli 认为谷线是由连续的高程极小值点构成；
脊线是由连续的高程极大值点构成 。
平三角形
? 平三角形（ flat triangles） 的概念,是指在
对等高线进行三角化内插（一般是
Delaunay内插）时，三个顶点均在同一条
等高线上的三角形。
? 产生平三角形的位置一般是在山脊、山谷、
山顶处，如下面三幅图所示。平三角形的
中轴线一般都对应着地形特征线，如山脊
线、山谷线等。
平 三 角 形 举 例
平三角形
周 晓 光
Zxg@mail.csu.edu.cn
测绘与国土信息工程系
内 容
? 绪论
? 空间数据
? 空间位置
? 空间分布
? 空间形态
空间分析的概念与含义
? 空间分析是基于地理对象的位置和形态特
征 （ 分布, 关系 ） 的空间数据分析技术,
其目的在于提取和传输空间信息 (郭仁忠 ） 。
– 空间分析无处不在；
– 空间分析的内含与外延目前难以界定；
– 空间分析的对象,
– 空间分析的根本目的；在于提取和传输空间
信息
?注意：数据不等于信息
从例子中看空间分析的含义
中国大陆 SARS病例分布分析 -2003/5/14
从例子中看空间分析的含义 2
? 例 1,1854年, 英国琼,斯诺博士根据霍乱
病死者居住位置分布图分析霍乱病源所在
地的例子 。
? 例 2,1949年, 解放战争三大战役的 （ 地形,
距离, 连通性等 ）
? 例 3：日常生活中找目标：知道图书馆寻找
一办公楼、二办公楼等（邻近关系、方位
关系）。
空间分析的分类
? 空间数据的分析,在分析过程中一般不考
虑数据抽样点的空间位置, 但描述的仍然
是空间过程, 揭示的也必然是空间规律和
空间机制 。
? 数据的空间分析：是直接从空间物体的空
间位置, 联系等方面去研究事物, 以期对
空间事物作出定量的描述 。
空间分析的内容
? 空间位置
? 空间分布
? 空间形态
? 空间关系
– 度量关系
– 空间拓扑关系
– 序关系
– 相似和相关等。
? 空间位置：空间位置是借助于空间坐标系
来传递空间物体的个体信息 。
空间位置
? 空间分布,反映了同类空间事物的群体定位
信息 。 描述空间分布的参数和方法多种多
样, 常用的有分布中心, 标准距离, 分布
密度, 分布轴线, 空间聚类, 趋势面等 。
空间分布
? 空间形态是空间物体的几何特征 。 空间物
体的形态计算主要就物体的几何特征进行
描述, 如：线状物体的长度, 弯曲程度,
分数维, 面状物体的轴线, 形心, 周长,
面积, 外接圆, 凸包等, 曲面的坡度, 坡
向, 结构线等
空间形态
空间分析与地理信息系统
?空间分析是地理信息系统 （ GIS） 的主要特征,
也是评价一个 GIS功能的主要指标之一 。
?空间分析是基于地理对象的位置和形态特征的
数据分析技术, 其目的在于提取和传输空间信
息 。
?空间分析是各类综合性地学分析模型的基础,
为人们建立复杂的空间应用模型提供了基本工
具 。
?空间分析与应用模型之间的关系是, 零件, 与
,机器, 的关系 。
空 间 数 据
空间数据是描述地球表层 （ 有一
定厚度 ） 一定范围内的地理事物
及其关系的数据 。
– 空间分析的对象是空间数据
地理空间与分析空间
? 地理空间是人类赖以生存的地球表层具有
一定厚度的连续空间域，是一个空心的椭
球体。通过投影，地理空间被变换为包含
二维投影面的三维欧氏空间，通常用三维
实数予以描述。
? 分析空间：通常为二维欧氏空间，或三维
欧氏空间。
空间物体
? 空间物体是指具有确定的位置和形态特征并具有
地理意义的地理空间的物体 。
– 确定的位置：指至少在给定的时刻, 空间物体具有确
定的位置；
– 确定的形状：并不意味着空间物体必须是可见的, 可
触及的实体, 亦可以是不可见的概念上的东西, 如境
界, 航线等 。
– 地理意义：指特定的地学应用环境中，被认为具有确
认和分析的必要。排除了诸如办公室里的一张桌子和
桌子上的一本书作为空间物体来研究的可能。
空间物体的维数与延展度
? 空间物体的维数：随应用环境而定, 取决
于分析空间的维数 。
? 空间物体的延展度反映了空间物体的空间
延展特性 。
– 点, 线, 面, 曲面 （ 体 ） 的延展度分别为 0,1，
2,3。
空间物体的维数与延展度的意义
? 空间物体的维数和延展度构成了对空间物体的特
征的概括与描述 。 是对空间物体以数值表示的坐
标串的补充, 可以用来进行空间分析运算, 语法
正确性和数据正确性的检验 。
– 例 1：延展度为 2的空间物体的坐标串必须闭合, 三维
物体的坐标必须是三元组 。
– 例 2：在二维分析空间中, 坐标串闭合的空间对象可
能是线对象, 也可能是面对象, 怎么区别呢？ 可以看
其空间延展度 。
数据的基本特性
? 数据是对事物的描述, 可以文字, 数字,
图形, 影像, 声音等多种方式存在, 但是
数据不是事物本身 。
– 1） 数据只能从有限的方面去描述事物, 而不
可能也没必要全面, 详尽, 保真的复制事物本
身 。
– 2） 数据是以诸如人工统计, 仪器测量, 社会
调查等多种方式获得的, 这就必然导致甚至可
能是必然存在的各种误差 。
数据的基本特性
? 1） 选择性
? 2） 可靠性
? 3） 时间性
? 4） 完备性：指数据是否系统, 是否缺失
– 时间, 空间及主题的完备性 。
? 5） 详细性,
数据的详细性
? 空间详细性,
? 时间详细性：指统计的周期, 时间间隔的
大小 。
? 质量详细性：是指分类指标体系的详细性 。
? 数量详细性：指计量的单位, 分级情况,
使用的量等 。
空间详细性
? 空间详细性：是指统计单元的级别高低, 在非空
间数据中, 空间详细性可指统计 （ 抽样 ） 的基本
单位 。
– 统计单元的大小,
– 地图比例尺,
– 图像分辨率,
– 格网和抽样点的密度等 。
? 数据的空间详细性是地理信息系统领域的一个重
要研究方向 。 如何实现数据的自动综合以减少数
据采集的成本是地理信息系统领域一个迫切需要
解决的难题 。
空间详细性举例
Level-1
Level-2
Intersection
数据的尺度
? 名义尺度
? 有序尺度
? 间隔尺度
? 比率尺度
? 尺度间的转换,
? 名义 有序 间隔 比率
名义尺度
? 描述事物名义上的差别，这种差别往往是
质的差别。只回答“异”、“同”的问题。
– 如：民族：回, 汉, 藏, 蒙古族等；
– 陆地地貌：山地、高原、丘陵、平原、盆地等。
有序尺度
? 表示事物的等级和次序的概念 。 这种等级
或次序比名义尺度稍具量的色彩 。 例如,
– 人口按年龄分组：老, 中, 青, 少, 幼；
– 土壤类别：一, 二, 三等等级；
– 有序是指具有, 反对称性, 和, 传递性, 。
间隔尺度
? 反映事物之间的相对关系，在间隔尺度系
统中，数值的零点的设置具有随意性。
– 温度,250C 和 500C 只具有对比性，不能说
500C 是 250C 的两倍。
比率尺度
? 比率尺度比间隔尺度更进了一步，它除了
具有间隔尺度描述事物差异的一切能力外，
还可以明确描述事物间的比率关系。
– 如人口,100万是 50万的两倍。
空间位置
地理空间数字基准框架
? 空间数字基准框架包括,
– 参考椭球模型
– 平面基准
– 高程基准
– 重力基准
– 地图投影系统
? 作用：提供一个统一的三维、动态、实用、高精
度、时空的空间定位基准，实现多源数据的无缝
无边的连接和整合，保证地理空间数据的一致性、
兼容性或可转换性。
地图投影系统
圆锥、圆柱和方位投影示意图
按照变形性质的投影分类
? 等角 （ conformal） 投影,正形投影, 保证投影
后, 任意两条微分线段构成的角度不产生变形 。
? 等面积投影：保证投影前后面积保持不变, 但形
状变形却随远离中心的程度而逐渐增大, 对于专
题图：人口密度图, 土地利用图, 经济图等
? 任意投影：投影后既不保持角度也不保持面积不
变 。 同时存在角度, 长度和面积变形 。
地图投影变形的图解示例
（ 摩尔维特投影－等积伪圆柱投影 ）
长度变形
角度变形
地图投影变形的图解示例
（ UTM－ 横轴等角割圆柱投影）
面积变形和长度变形
投影变形示意图
我国主要类型地图所采用的地图投影系统
地图类型
所用投影
主要技术指标
中国全图
斜轴等面积 方位 投影
斜轴等角方位投影
投影中心,
中国全图（青海诸岛做插
图）
正轴等面积割 圆锥 投影
（ lambert 投影）
标准纬线,
正轴等面积割圆锥投影
正轴等角割圆锥投影
各省（区）图分别采用各
自标准纬线
中国分省（区）地图（海
南省）
正轴等角 园柱 投影
国家基本比例尺地形图系
列（ 1,100万）
正轴等角割圆锥投影
按国际统一 40 * 60 分幅
国家基本比例尺地形图系
列（ 1,5万 - 50万）
高斯 -克吕格投影
（ 60 带）
投影带号（ N）,13-23
中央经线,
国家基本比例尺地形图系 列（ 1,5000 – 2.5万）
高斯 -克吕格投影
（ 30 带）
投影带号（ N）,24-46
中央经线,
城市图系列
（ 1,500 –5000）
城市平面局于域投影或城
市局部坐标的高斯投影
中国分省（区）地图
（海南省除外）
高斯 —克吕格投影示意图
城市测量与工程测量基准
? 高斯平面坐标系：投影带宽，投影带中央子午线，
投影面
? 投影长度变形值不大于 2.5cm/km为原则,
– 统一 3带的平面直角坐标系 （ 当长度变形值不大于
2.5cm/km时 ）
– 投影于抵偿高程面 （ 当长度变形值大于 2.5cm/km时 ）
– 采用任意 3度面 （ 当长度变形值大于 2.5cm/km时 ）
– 不经投影采用平面直角坐标系（面积小于 25平方公里
的市镇，县城）
局部测量基准的不同可能造成
地理数据之间的不吻合
A B
P1
P2
现代 GPS卫星定位的时空基准
? 1984年的世界大地坐标系（ World
Geodesy System） (WGS-84)
? 理论上：地球质心为原点, Z轴指向由 BIH
定义的国际协议 原点 CIO,X轴指向由
BIH1984定义的零度子午面与赤道的交点
? 特点：与时间密切相关；不需要平差基准
GPS卫星定位系统的时间基准
? 时间基准：时间的单位 （ 尺度 ）, 原点
? 时间系统：世界时系统 （ UT）, 原子时 （ AT）,
力学时 （ DT）, 协调世界时 （ UTC）,
? 原子时：位于海平面上的铯 133原子基态两个超
精细能级, 在零磁场中跃迁辐射振荡 9192631770
周所持续的时间, 为一原子秒；原点为 1958年 1
月 1日 0时－ 0.0039s
? GPS时间系统是一种原子时系统, 秒长与原子时
相同但原点不同,IAT－ GPST＝ 19s
地理坐标系
? 对于地球上的任意一点 P,其在椭球表面
的位置（地理位置）是由（ ?,?）来表示
的,?为地理纬度,?为地理经度
讨 论
? 多坐标系统之间的坐标转换问题
? 坐标系统转换中的精度问题
? 带与带之间的快速衔接, 转换问题
? 梯形图幅的接边问题
空间分布
?空间分布是从总体的, 全局的角度
来描述空间度量和空间物体的特征 。
?分布对象：是我们所研究的空间物
体和对象；
?分布区域：是分布对象所占据的空
间域, 定义域 。
空间分布类型
点
线
面
线
离散
连续
离散
连续
离散
连续
1
2
河流上的防
护堤坝，城
市街道的林
荫道（ 3）
×
×
×
面
离散
连续
离散
连续
离散
连续
4
5
6
空间连续分布
的动态特征：
污染扩散，大
气运动。（ 7）
8
9
空间分布的参数描述
? 分布密度
? 平均值
? 极值
? 离差
分布密度
? 分布密度,是指单位分布区域内的分布对象
的数量,是两个比率尺数据的比值 。 一般是
针对离散分布现象的分布概率而言, 即单
位区域内的发生频数 。
? 分布密度 = 分布对象的数量 / 分布区域
分布密度分子、分母的计算
分布密度 = 分布对象的数量 / 分布区域
分子的计算
– 对点状要素以频数计
– 对线状要素以长度计
– 对面状要素以面积计
分母的计算,
– 对线状要素以长度计
– 对面状要素以面积计
均 值
? 均值：是针对分布现象及其属性的 。 如人
口平均密度, 城市平均规模, 平均气温,
平均高程 。
– 注意：在不同的应用中，应该注意均值本身
的含义，如：平均人口 =总人口 /总面积。
分布中心
? 一般用来表示沿面状分布的离散点的总体
分布位置,
– 算术平均中心
– 加权平均中心
– 中位中心
算术平均中心、加权平均中心
? 1,算术平均中心,（ ）
? 2,加权平均中心 （ ）
YX,
nXX i /?? nYY i /??
WW YX,
? ??? )(/)( iiiW PWPWXX
? ??? )(/)( iiiW PWPWYY
中位中心（ Xm,Ym）
? 中位中心 (median center) 是这样一个点位，
它使到所有点 Pi 的路程（距离）之和为最
短
?
?
????
n
i
mimi YYXX
1
22 m i n)()(
中位中心的应用：如：在商业点的选址过程中，应力求使
其到附近居民点的距离之和为最小。中位中心也有 权 的概
念，在商业点的选址过程中，还应该考虑各个居民点的人
口数
问题：权如何考虑？
极值中心（ Xe,Ye ）
? 极值中心 （ Xe,Ye ）, 在 n个离散点构成
的点群中, 极值中心 （ Xe,Ye ） 到各点的
最大距离比任何其他点相对于点群中最远
点的距离都要小 。
))()(m a x ())()(m a x ( 2222 ieieii yyxxyyxx ???????
m i n))()(m a x ( 22 ???? ieie yyxx
极值中心的计算相当复杂, 点群的极值中心就是点群的最小外接圆的圆
心；
对两个点状群体之间关系的最简单的描述就是其分布中心的距离 。 如长
沙与武汉, 北京之间的距离 。
分布轴线
? 离散点群在空间的分布趋势可以用走向来描述，
而走向的确定则要通过分布轴线来计算。
? 对于离散点群 Pi（ Xi,Yi ） (I =1,2,…,n),可
以拟合一条直线 L,AX+BY+C=0点群相对于 L的距
离反映了离散点在点群走向上的离散程度，而 L
的走向则描述了点群的总体走向。确定 L的方法
一般有如下三种（ 距离最小）,
– 水平距离 dh,
– 正交距离 dp
– 垂直距离 dy最小。
分布轴线的计算
? 由 垂直距离 dy最小 确定的 L0与点群分布椭
圆的长轴重合，因此 L0是点群分布轴线的
最佳表示。
L0 dh
dy
dp
X
O Y
11 bYaYA
B
A
CX ?????
22 bXaYB
A
B
CY ?????
离 散 度
? 离散度是面状区域上离散点的分布情况，
是对分布中心和分布轴线的补充。离散度
同时又是分布密度的补充。
分布轴线 分布密度
表达离散度的四种方法
? 平均距离
– 离散点到分布中心的 距离的平均值 。 分布中心一般用
中位中心,
–
? 标准距离 ds
– 一般指离散点到分布中心的距离的平均值 。 分布中心
一般用 算术平均中心 。
? 极植距离 de
? 平均邻近距离 dn
?
? ????
)(
)()()(
22
i
iii
PW
YYXXPW
d
平均邻近距离
? 对于任意离散点 Pi 计算它与 n-1个点之间
的距离, 取其极小值, 该值表明了 Pi 点与
其最邻近点的距离, dn 的计算公式,
?
?
???
n
i
ijn njjidnd
1
),,2,1,|( m i n ()/1( ?
空间聚类
? 空间聚类的目的是对空间物体的集群性进
行分析，将其分为几个不同的子群（类）。
子群的形成可以揭示某种地理机制，另外，
子群也可以作为其它分析的基础。
空间聚类方法的分类
? 系统聚类：在分析之初假设 n个点自成一类, 然
后逐步合并, 这样在聚类的过程中, 分类将越来
越少, 直至聚至一个合适的分类数目 。
? 逐步分解：在聚类之初, 将 n个点合成一类, 然
后逐步分解, 这样在聚类的过程中, 分类将越来
越多, 直至聚至一个合适的分类数目 。
? 判别聚类：先确定 若干个聚类中心, 然后逐点比
较, 以确定离散点的归宿 。
聚类统计量的计算
? 距离、离差
– A,最短距离
– B,最大距离
– C,重心距离
– 一般认为最小距离和 重心 距离更符合人们的思维习惯
22 )()(
jijiij YYXXd ????
重心距离
离 差
在任意一点群 T,其群内离差 （ 平方和 ） 的计算
如下,
全部点群的群内离差平方之总和为
– 聚类分析的目的是使 E尽可能的小，使 E减小的途径有
两种：改变点群的分群数量，子群调整（将某一点从
一个子群剔除，归入另一子群）
])()[( 2
1
2
ti
n
i
tit YYXXE
t
???? ?
?
?? tt EE
空间聚类小结
? 距离和离差是从不同的角度出发考虑问题
的，离差具有平衡各点群含点数的特征，
而距离反映的是个体之间的亲疏程度
趋势面分析
? 趋势面是揭示面状区域上连续分布现象空间变化
规律的理想工具 。
? 趋势面分析在数学上实际上是一个曲面拟合的问
题 。 在测量中用得比较多的是数字地面模型的曲
面拟合 。 一般用多项式的曲面拟合方法 。
? 趋势面分析还可以用于人口密度, 人均产值, 总
产值等非连续分布现象的的分析, 称作所谓, 伪
等值线, 的方法 。
问题与讨论
? 能不能将空间聚类的方法用于制图综合？
将某一区域的 1,500地图缩至 1,5000大
小, 先人工按制图综合的要求进行 1,500
至 1,5000的制图综合, 然后按照空间聚
类的思想设计 1,500至 1,5000的综合算
法, 用此方法分析同一地图的综合结果,
比较两种方法得出相应结论 。
空 间 形 态
线状物体的空间形态
面状物体的空间形态
曲面的空间形态
线状物体的形态特征参数
? 长度
– 矢量方式下的长度计算
– 栅格格式的曲线长度计算
? 分数维数
? 曲率和弯曲度
? 相等和相似
矢量方式下的 长度 计算
? 线状物体 L表示为坐标串 （ Xi,Yi ） 或 （ Xi,Yi,
Zi ）,其长度 L,
? 或者
??
?
??
?
?
? ???????
n
i
iiiii
n
i
ii lZZYYXXL
1
2/12
1
2
1
1
0
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1 ])()()[(
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?
?
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n
i
iii
n
i
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1
2/12
1
1
0
2
1 ])()[(
栅格格式的曲线长度计算
? 八方向连接的骨架线长度计算公式为
DNNl id )2( ??
– 由上式计算的曲
线长度比曲线的实
际长度要长，误差
最大可达 8%以上
分数维数
? 分形几何 （ Fractal Geometry） 是由法国
数学家 B.B.Mendelbrot 建立的一种新的几
何学 。
– 根据欧式几何理论, 几何物体可以区分为 0,1、
2,3维, 物体的维数是用整数表示的 。
– 整数表示的维数往往不能反映几何物体的特性,
如一条曲线和一条直线一样都是一维, 而事实
上, 其形态有很大的差异 。
– 整数的维数不能反映曲线的形态和空间延展性 。
? 分数维：用分数表示的空间物体的维数 。
曲线的分数维的计算
? 其中 N为用步长为 d的尺度去量测曲线时的步长
总数, r为比例因子, 1/r为步长为 d的生成线两
端端与步长之比 。
? 根据分数维理论, 平面内的曲线的维数大于等于
1,而小于等于 2。 直线的维数等于 1,Peano曲线
的维数等于 2。
? 曲线的分数维反映了曲线的复杂程度，反映了其
对空间的占有能力
rND f
1l o g/l o g?
Peano曲线
分数维测度与相应的尺度之间的关系
? 其中 K为常数, D为分数维数, M（ X） 表
示分数维的一种测度 （ 如一维时表示长度,
二维时表示面积 ） X表示相应的量测尺度,
f(Df)则为分数维 Df的一个简单函数 。
)()( fDfKXXM ?
分数维的应用
? 1,分数维的一个重要特征就是分数维的, 自相
似性,, 也就是整体与局部的相似 。 这一特性可
用于对诸如山地的起伏, 河网的结构, 海岸线的
形态, 居民地的分布等复杂的自然景观进行定量
地分析与描述 。
? 2,如将比例尺也视为一种量测尺度的话, 它也
遵循分形学理论 。 线状要素的量册长度 l与比例
尺 m间满足如下关系,
? f(Df)也是关于分数维 Df的一个简单函数 。
)( fDfKml ?
曲率和弯曲度
? 线状物体的曲率由数学分析定义为：曲线切线方
向角相对于弧长的转动率, 曲率反映曲线的局部
弯曲特征, 为了反映曲线的整体弯曲特征, 应计
算曲线的平均曲率 。
? 弯曲度：弯曲度是描述曲线弯曲程度的另一个参
数 。 它定义为曲线长度与曲线两端点定义的线段
长度之比值 。
– S=L/l L
l
曲率和弯曲度的应用
? 曲率：在道路设计中, 规范对道路的曲率
提出严格的控制要求；在交通管理中, 在
曲率较大的拐弯处往往要设置指示牌, 要
求车辆减速行驶 。
? 弯曲度：反映了曲线的迂回特性，在交通
运输时，为了降低运输成本，结点对之间
通道的弯曲度越小越好。
面状物体的形态参数
? 面积与周长
? 一维测度
? 最大内切圆与最小外接圆
? 最小凸包
矢量方式的面积计算
))((
2
1))((
2
1))((
2
1
2
1
00112210110
1
0 11
nn
n
i ii
ii yyxxyyxxyyxx
YX
YX
S ??????????? ?
?
? ??
? ?
栅格方式的面积计算
? 对于栅格方式表示的面状物体，其面积可
以直接通过栅格计数来获取，边界上的像
元的面积，根据边界线的走向予以分配。
栅格方式边界像元的计算
边界像元的计算
A B A
B
A
B
A
B
A B A B
D
C
a,A=B=1/2 b,A=B=1/2
c,A=3/8,B=5/8 d,A=1/4,B=3/4
e,A=1/4,B=3/4
d,A=B=C=D=1
一维测度
? 设面状物体 A为一平面连通闭集, 在 A上可
定义一维测度：长轴 LA,短轴 WA和大地
长度 GA。
长轴、短轴
? 长轴 LA,设 A的重心为 C,A中相距直线距离最
远的两点间连线记为 L’A,沿 L’A垂直方向平移
L’A至 C得 LA。
? 短轴 WA,以 LA为长边方向作 A的外接矩形, WA
为过 C点并垂直于 LA 且长度等于矩形短边的直线
段 。
LA
L’ A
WA
大地距离
? 大地距离 Gd 和大地长度 GA,设 X1,X2 为
A中任意相异两点，其间的大地距离 Gd为
包含于 A中的两点间通道的最短者,GA为
A中 任意点对间 大地距离的最长者
GA
意义：在大多数情
况下,LA WA可以
描述 A的空间延展
性和走向。大地长
度和距离反映了 A
中的实地距离
最小凸包
? 对简单（连通）多边形 P而言，其最小凸包 PC是
这样一个凸多边形，如果存在包含 P的另一凸多
边形 P0,则 PC? P0,因此 P0是包含 PC的最小凸多
边形
最大内切圆、最小外接圆的应用
? 最大内切圆,
– 用于空间项目的选址；
– 多边形内点状符号的自动设置, 如多边形注记 。
? 最小外接圆,
– 应用于平面点集的分布形态分析，其圆心即点集的最
小、最大中心，在一些选址定位分析中非常有用。如：
一个中学的选址就应当保证所有村庄的学生到该中学
的直线距离尽可能短，这个中学的最优位置就是该村
庄的集合的最小外接圆圆心
空间曲面形态参数
? 分数维
? 表面积计算
? 体积
? 坡度
? 坡向
? 曲面结构线
分数维、表面积、体积
? 分数维,空间曲面的分数维的值域为 2~3,该值
描述了空间曲面的复杂程度, 当 Df=2时, 表现为
一平面, 当 Df=3时, 表现为一非常复杂的曲面 。
地形表面分数维的计算及应用
? 空间曲面的表面积计算总可以归结为三角形格网
和正方形格网的表面积计算 。
? 所谓体积通常是指空间曲面与一基准平面之间的
空间的体积, 在绝大多数情况下, 基准平面是一
水平面 。
– 体积计算的应用一般为挖填土方。体积为正时为挖方，
体积为负时为填方
坡度,坡向
? 曲面上某点的坡度一般定义
为曲面上该点的法线方向 N与
垂直方向 Z之间的夹角
? 基于 DEM的坡向一般定义为：
过格网单元所拟合的曲面片
上某点的切平面的法线的正
方向在平面在平面上的投影
与正北方向的夹角，即法方
向水平投影响亮的方位
曲面的结构线
? 曲面结构线指地表曲面的结构线, 一般认
为地表结构线包括山脊线, 山谷线和鞍部 。
– Yoeli 认为谷线是由连续的高程极小值点构成；
脊线是由连续的高程极大值点构成 。
平三角形
? 平三角形（ flat triangles） 的概念,是指在
对等高线进行三角化内插（一般是
Delaunay内插）时，三个顶点均在同一条
等高线上的三角形。
? 产生平三角形的位置一般是在山脊、山谷、
山顶处，如下面三幅图所示。平三角形的
中轴线一般都对应着地形特征线，如山脊
线、山谷线等。
平 三 角 形 举 例
平三角形
