第七章 系统的状态变量分析法
Chapter7
系统的状态变量描述法
本章要点
引言
由输入 -输出方程求状态方程
F
F
F
7.1 引 言
状态变量法,分析多输入 -输出系统,或非线性,时变系统
时域法,n维矢量的一阶微分方程求解,
便于计算机求解,
系统分析的方法,
经典法,求解微分方程困难,时域法
拉氏变换法,微分方程变为代数方程,变换域法
缺点 (1)只适合于线性定常系统
(2)H(s)只适合于单输入单输出系统
(3)很多情况下要求系统的某种性能是最优的
此法无效,
7.2 系统的状态变量描述
状态,是指系统过去,现在和将来的状况,
状态变量,描述系统内部状态所需用的最少一组变量,
一,状态,状态变量
例如,质点作直线运动,任一时刻的状态由 和 确定,)(tv )(ts
)(tv
)(ts
已知质点在每一个时刻的位置 和速度 则质点在任一时刻
的状态就确定了,
)(tv)(ts
因为位置相同,速度不同,代表的运动状况不一样,
例 1列写图示电路的状态方程
u(s) c
+
-
LR
i(t)
u(c)
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作为状态变量选
作为状态变量选
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c
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dx
id txid tRLix
s
选
上例说明, 状态变量的选择不是唯一的,但对于一个具体
系统而言,不论如何选择,状态变量的个数总是
相等的,
常态网络,变量个数 n=储能元件数
病态网络,
tn
.:
:
)(
纯电感割集数
纯电容回路数
L
c
Lct
n
n
nnnn ???
网络的状态变量的个数,
状态向量 (矢量 )
Tn txtxtxtX )]()()([)( 21 ??
状态矢量可以用多维空间中的点
来表示,这个多维空间称为状态空间
z
x
y
)(1tz
)(2tz
状态轨迹
其中方程组左边是状态变量的一阶导数,右边是只包含
系统参数,状态变量和激励的一般函数表达式,其中没右
变量的微分和积分运算,
二,状态方程和输出方程
状态方程,描述系统状态变量与系统输入之间关系的一阶微分方程
组称为状态方程,
例 6:列出图示电路的状态方程和输出方程 为响应变量)(),( 21 tyty
)(1tf
c
L
)(11 tyR
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)(2tx
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)(2tf
? ?)(1tx )(2ty
)(1tf
c
L
)(11 tyR
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)(2tx
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)(2tf
? ?)(1tx )(2ty
)(1tf
单连支回路
单树支割集
解, 选一特有树 树支,电源,电容
连支,电流源,电感
)()(),()(.)(2),(1 21 tutxtitxtxtx cL ??为状态变量选
)](
1
)(
1
)(
)]()([
1
)(
)(
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12
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tx
R
tx
tftx
R
tx
ty
R
txtcxKCL
???
???
??得列单树支割集
)(1)(1)(1)(' 2
2
2
2
12 tfcRtxcRtxctx ???故
)]()([)()(')(,111112 txtfRtytLxtxK V L ????得列单连支回路
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tf
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L
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CRC
LL
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tx
tx
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L
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L
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L
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tx故
)()()(2
)]()([)(:
22
1111
tftxty
txtfRty
??
??输出方程
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)(
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11
2
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tf
tfR
tx
txR
ty
ty
三,状态方程和输出方程得一般形式
假设有一个系统
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21
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'
'
'
,
,
,
个输出有
个激励源有
个状态变量有
1?n nn? 1?n ln? 1?l
eBAXX ????
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ke
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kx
kx
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kx
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程和输出方程离散时间系统的状态方四
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11211
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2
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ke
ke
ke
ddd
ddd
ddd
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kx
kx
kx
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)()()(
)()()1(
keDkCXky
keBkAXkX
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???
7.3 由输入－输出方程求状态方程
由于状态方程更便于用计算机进行计算，有时就会要求从输入－输
出方程去写出状态方程。
一,由系统的模拟框图列写
方法是选取积分器的输出信号作为状态变量。
例 1：如图以 为状态变量，以 为响应写出状态方程和输出
方程
? ?
)(
'
2tx
q? ?
)('
''
2 tx
q??te
??ty
q
1a?
0a?
? ? 0b? ?
1b
??ty)(),( 21 txtx
)(1tx
01
01
0101
01
0101
2
1
10
2
1
102
1
2110
21102
21
2
)(
)(
)(
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'
)('''')(''
)(
)(
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)(10
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)('
)()()(
)()()()('
)()('
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sY
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tebtebyayay
qbbqy
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tx
tx
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知输入－输出方程为
由框图，求
解：
方程。试写出状态方程和输出
系统的差分方程为例二：一个
)()1()2()()1()2()3( 012012 kebkebkebkyakyakyaky
L S I
???????????
画框图如下：
解：引入辅助函数
)()1()2()(
)()1()2()()3(
)(
012
012
kqbkqbkqbky
kqakqakqakekq
kq
?????
???????
)( )2(3 kx kq ?)1(
)3(
3 ?
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kx
kq??ke
? ?ky)(
)(
1kx
kq
1a?
D D
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2 kx
kq ? D
1b
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)1(
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)()()()()1(
)()1(
)()1(
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2
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1021323
32
21
kx
kx
kx
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kx
kx
kx
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kx
kx
kxbkxbkxbky
kxakxakxakekx
kxkx
kxkx
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输出离散时间系统选移位器
输出连续时间系统选积分器
数状态变量选择各辅助函
时当
为对应
（
阶系统：一个
态方程。或微分方程直接写出状由二
q
nm
asasas
bsbsbsb
sH
sH
tebpbpbpbtyapapap
n
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n
n
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m
m
m
m
m
m
m
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)1(')(),()1(),()1('),()(
)(')(),()(),()('),()(
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xtx
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x
x
x
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x
x
x
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)(
1
0
0
0
00100
00100
00010
'
'
'
'
。矩阵为
。个元素均为的负值，其
分子多项式的系数行个元素即为＋前矩阵：
。，其余均为最后一行为矩阵：
。外，其余均为的元素为
角线右边的负值，其它各行除对
分母多项式的系数行的元素即为第矩阵：
写状态方程的规律：由
0
01,
)(1.1
01.1
01
,
)(.
)(
10
110
D
mnbbb
sHmnC
nB
aaa
sHnnnA
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n
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2
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3
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2
2
3
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asasas
bsbsbsb
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???例三：已知一系统函数
nm ?解：此时：
??se
??sy
1a?
s1 s
1
0b
? ?s1
1b
2b
0a?
2a?
3b
)()(3
3
ssxsqs )( )(3
2
sx sqs )()(2sx ssq )()(1sxsq
)(
)(
)(
)(
][
)()()()()]()()([)(
)()()()()(
)(
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)(
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)('
)('
3
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10213233
3
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1
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2
1
teb
tx
tx
tx
babbabbab
txbtxbtxbtebtxatxatxabty
sxbsxbsxbssxbsy
te
tx
tx
tx
aaatx
tx
tx
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D矩阵不为零
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2
2
3
01
2
2
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azazaz
bzbzbzbzH
???
????
状态方程和输出方程例四：写出下列系统的
)](][[
)(
)(
)(
][)(
)(
1
0
0
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)(
)(
100
010
)3(
)2(
)1(
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kx
kx
kx
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kx
kx
kx
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则
出信号为状态变量解：选单位延时器的输
出方程。响应，写状态方程和输为状态变量，以例五：如图以 )()(),(),( 321 tytxtxtx
??sF ??sy?
21?s 10
5?s
??sW ? ?sX2 ??sX1
11?s
? ?sX3
)](][0[
)(
)(
)(
]001[)]([
)()(
)]([
0
1
0
)(
)(
)(
101
120
0510
)('
)('
)('
)()()(2)(
)]()([
2
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2
1
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)()()()(
1
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)(5)(10)()(
10
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)(
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1
1
3
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1
3
2
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322
32
13313
21121
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tx
tx
tx
ty
txty
tf
tx
tx
tx
tx
tx
tx
sFsXsXsSX
sFsX
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sW
s
sX
sXsXsSXsX
s
sX
sXsXsSXsX
s
sX
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????
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????
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－
－
故：
＝
解：
Chapter7
系统的状态变量描述法
本章要点
引言
由输入 -输出方程求状态方程
F
F
F
7.1 引 言
状态变量法,分析多输入 -输出系统,或非线性,时变系统
时域法,n维矢量的一阶微分方程求解,
便于计算机求解,
系统分析的方法,
经典法,求解微分方程困难,时域法
拉氏变换法,微分方程变为代数方程,变换域法
缺点 (1)只适合于线性定常系统
(2)H(s)只适合于单输入单输出系统
(3)很多情况下要求系统的某种性能是最优的
此法无效,
7.2 系统的状态变量描述
状态,是指系统过去,现在和将来的状况,
状态变量,描述系统内部状态所需用的最少一组变量,
一,状态,状态变量
例如,质点作直线运动,任一时刻的状态由 和 确定,)(tv )(ts
)(tv
)(ts
已知质点在每一个时刻的位置 和速度 则质点在任一时刻
的状态就确定了,
)(tv)(ts
因为位置相同,速度不同,代表的运动状况不一样,
例 1列写图示电路的状态方程
u(s) c
+
-
LR
i(t)
u(c)
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????
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L
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L
R
u
Ldt
di
i
cdt
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1
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11
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)(),()1(
作为状态变量选
作为状态变量选
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21
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x
L
R
x
Ldt
dx
x
c
u
dt
dx
id txid tRLix
s
选
上例说明, 状态变量的选择不是唯一的,但对于一个具体
系统而言,不论如何选择,状态变量的个数总是
相等的,
常态网络,变量个数 n=储能元件数
病态网络,
tn
.:
:
)(
纯电感割集数
纯电容回路数
L
c
Lct
n
n
nnnn ???
网络的状态变量的个数,
状态向量 (矢量 )
Tn txtxtxtX )]()()([)( 21 ??
状态矢量可以用多维空间中的点
来表示,这个多维空间称为状态空间
z
x
y
)(1tz
)(2tz
状态轨迹
其中方程组左边是状态变量的一阶导数,右边是只包含
系统参数,状态变量和激励的一般函数表达式,其中没右
变量的微分和积分运算,
二,状态方程和输出方程
状态方程,描述系统状态变量与系统输入之间关系的一阶微分方程
组称为状态方程,
例 6:列出图示电路的状态方程和输出方程 为响应变量)(),( 21 tyty
)(1tf
c
L
)(11 tyR
?
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)(2tx
?
?
?
?
)(2tf
? ?)(1tx )(2ty
)(1tf
c
L
)(11 tyR
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?
)(2tx
?
?
?
?
)(2tf
? ?)(1tx )(2ty
)(1tf
单连支回路
单树支割集
解, 选一特有树 树支,电源,电容
连支,电流源,电感
)()(),()(.)(2),(1 21 tutxtitxtxtx cL ??为状态变量选
)](
1
)(
1
)(
)]()([
1
)(
)(
1
)()('
2
2
2
2
1
22
2
1
2
2
12
tf
R
tx
R
tx
tftx
R
tx
ty
R
txtcxKCL
???
???
??得列单树支割集
)(1)(1)(1)(' 2
2
2
2
12 tfcRtxcRtxctx ???故
)]()([)()(')(,111112 txtfRtytLxtxK V L ????得列单连支回路
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)()(
1
)()('
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1
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1
1
tf
tf
CR
L
R
tx
tx
CRC
LL
R
tx
tx
tf
L
R
tx
L
tx
L
R
tx故
)()()(2
)]()([)(:
22
1111
tftxty
txtfRty
??
??输出方程
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??
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)(
10
0
)(
)(
2
11
2
11
2
1
tf
tfR
tx
txR
ty
ty
三,状态方程和输出方程得一般形式
假设有一个系统
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11211
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21
21
21
'
'
'
'
,
,
,
个输出有
个激励源有
个状态变量有
1?n nn? 1?n ln? 1?l
eBAXX ????
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1?m nm? 1?n lm? 1?l
edcXy ????
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22221
11211
3
2
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ke
ke
ke
ke
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bbb
bbb
kx
kx
kx
kx
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aaa
aaa
kx
kx
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程和输出方程离散时间系统的状态方四
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21
22221
11211
3
2
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ke
ke
ke
ke
ddd
ddd
ddd
kx
kx
kx
kx
ccc
ccc
ccc
ky
ky
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)()()(
)()()1(
keDkCXky
keBkAXkX
?
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??
???
7.3 由输入－输出方程求状态方程
由于状态方程更便于用计算机进行计算，有时就会要求从输入－输
出方程去写出状态方程。
一,由系统的模拟框图列写
方法是选取积分器的输出信号作为状态变量。
例 1：如图以 为状态变量，以 为响应写出状态方程和输出
方程
? ?
)(
'
2tx
q? ?
)('
''
2 tx
q??te
??ty
q
1a?
0a?
? ? 0b? ?
1b
??ty)(),( 21 txtx
)(1tx
01
01
0101
01
0101
2
1
10
2
1
102
1
2110
21102
21
2
)(
)(
)(
)()(''''
'
)('''')(''
)(
)(
)(
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)(
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)(
)(10
)('
)('
)()()(
)()()()('
)()('
asas
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sE
sY
sH
tebtebyayay
qbbqy
teqaqaqqaqateq
SH
tx
tx
bbty
te
tx
tx
aatx
tx
txbtxbty
tetxatxatx
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????
?
知输入－输出方程为
由框图，求
解：
方程。试写出状态方程和输出
系统的差分方程为例二：一个
)()1()2()()1()2()3( 012012 kebkebkebkyakyakyaky
L S I
???????????
画框图如下：
解：引入辅助函数
)()1()2()(
)()1()2()()3(
)(
012
012
kqbkqbkqbky
kqakqakqakekq
kq
?????
???????
)( )2(3 kx kq ?)1(
)3(
3 ?
?
kx
kq??ke
? ?ky)(
)(
1kx
kq
1a?
D D
0b
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2 kx
kq ? D
1b
2b
0a?
2a?
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)(
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)1(
)1(
)()()()(
)()()()()1(
)()1(
)()1(
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2
1
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3
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2
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322110
1021323
32
21
kx
kx
kx
bbbky
ke
kx
kx
kx
aaakx
kx
kx
kxbkxbkxbky
kxakxakxakekx
kxkx
kxkx
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输出离散时间系统选移位器
输出连续时间系统选积分器
数状态变量选择各辅助函
时当
为对应
（
阶系统：一个
态方程。或微分方程直接写出状由二
q
nm
asasas
bsbsbsb
sH
sH
tebpbpbpbtyapapap
n
sH
n
n
n
m
m
m
m
m
m
m
m
n
n
n
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01
1
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1
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1
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)(
)(
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)(.
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)1(')(),()1(),()1('),()(
)(')(),()(),()('),()(
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n
n
n
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xtx
xtx
kxnkqkxnkqkxkqkxkq
txtqtxtqtxtqtxtq
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x
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x
x
x
x
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x
x
x
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]00[
)(
1
0
0
0
00100
00100
00010
'
'
'
'
。矩阵为
。个元素均为的负值，其
分子多项式的系数行个元素即为＋前矩阵：
。，其余均为最后一行为矩阵：
。外，其余均为的元素为
角线右边的负值，其它各行除对
分母多项式的系数行的元素即为第矩阵：
写状态方程的规律：由
0
01,
)(1.1
01.1
01
,
)(.
)(
10
110
D
mnbbb
sHmnC
nB
aaa
sHnnnA
sH
m
n
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01
2
2
3
01
2
2
3
3
asasas
bsbsbsb
???
???例三：已知一系统函数
nm ?解：此时：
??se
??sy
1a?
s1 s
1
0b
? ?s1
1b
2b
0a?
2a?
3b
)()(3
3
ssxsqs )( )(3
2
sx sqs )()(2sx ssq )()(1sxsq
)(
)(
)(
)(
][
)()()()()]()()([)(
)()()()()(
)(
1
0
0
)(
)(
)(
100
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)('
)('
)('
3
3
2
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10213233221103
10213233
3
2
1
2103
2
1
teb
tx
tx
tx
babbabbab
txbtxbtxbtebtxatxatxabty
sxbsxbsxbssxbsy
te
tx
tx
tx
aaatx
tx
tx
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D矩阵不为零
01
2
2
3
01
2
2
3
3)(
azazaz
bzbzbzbzH
???
????
状态方程和输出方程例四：写出下列系统的
)](][[
)(
)(
)(
][)(
)(
1
0
0
)(
)(
)(
100
010
)3(
)2(
)1(
3
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232131030
3
2
1
2103
2
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kx
kx
kx
abbabbabbky
ke
kx
kx
kx
aaakx
kx
kx
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则
出信号为状态变量解：选单位延时器的输
出方程。响应，写状态方程和输为状态变量，以例五：如图以 )()(),(),( 321 tytxtxtx
??sF ??sy?
21?s 10
5?s
??sW ? ?sX2 ??sX1
11?s
? ?sX3
)](][0[
)(
)(
)(
]001[)]([
)()(
)]([
0
1
0
)(
)(
)(
101
120
0510
)('
)('
)('
)()()(2)(
)]()([
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1
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2
1
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)()()()(
1
1
)(
)(5)(10)()(
10
5
)(
3
2
1
1
3
2
1
3
2
1
322
32
13313
21121
tf
tx
tx
tx
ty
txty
tf
tx
tx
tx
tx
tx
tx
sFsXsXsSX
sFsX
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sW
s
sX
sXsXsSXsX
s
sX
sXsXsSXsX
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－
－
故：
＝
解：
