第六章：离散时间信号与系统的 z域分析
Chapter8
本章要点
F
F
F
F Z变换
常用序列的 Z变换
Z变换的性质
反 Z变换
Z变换与傅里叶变换、拉普拉斯变换的关系
离散时间系统的 Z域分析
离散时间系统的频率响应
F
F
F
引言
与连续系统类似，离散系统也可用变换域法
进行分析。
差分方程
Z变换
代数方程
一 Z变换的定义
1,由抽样信号的拉氏变换引出 z变换定义。
6.1 Z变换
)(tf
t
t
??
???
??
k
T kTtt )()( ??
)(1
0 T T2
)(tfs
t
0
0
? ?
)(tT?
??
???
????
k
Ts kTttfttftf )()()()()( ??
? ???? ?
???
???
k
tsts dekTttfsF )()()( ???
???
??
k
sk TekTf )(
??
???
????
k
Ts kTttfttftf )()()()()( ??
?
?
???
??
??
k
k
sT
zkfzF
z
T
sezz
)()(
ln
1
则上式变为
或，令引入一个新的复变量
通常记为 ? ? ? ?F z Z f k? ????
? ? ? ?1f k Z F z?? ????
或 ? ? ? ?f k F z?
变换的双边上式称为序列 Zkf )(
变换的单边称为序列则
为因果序列，若
zkfzkfzF
kf
k
k )()()(
)(
0
?
?
?
??
T
ez
ezeeeez
z
T
jTjTTjsT
??
?
?????
?
?
?????
? )(
2 平面间的对应关系平面和,s
?j
平面s
?
]Im[z
平面z
]Re[z
)([)( kfZzFz ?变换，记做单边以后我们的讨论将限于
绝对可和条件
变换存在的充要条件是
的幂级数，变换是
变换的收敛域二、
??
?
?
?
?
???
?
?
???
?
k
k
k
k
zkf
z
zkfzFzz
z
)(
)()(
。取值范围，称为收敛域的
收敛变换的收敛域：使、
z
zkfzFz
k
k?
?
???
?? )()(1
不定
时，级数发散，时，级数收敛，当
而
级数通项①比值判据：若有
方法、判别级数收敛的两种
1
11
lim
2
1
?
??
?
?
?
??
?
???
?
?
??
?
k
k
k
k
k
a
a
a
不定时，级数发散，时，级数收敛，当
②根植判别法：
111
lim
???
?
??
???
?k k
k
a
?
?
?
?
?
?
? ??
?
2
1
)()(
0
)(
)(
3
21
k
kk
k
zkfzF
kkkkf
kf
其它
、有限长序列的收敛域
????????
???
????
zzzkk
zkk
z
0,,00,0
00,0
0
21
21
不含则只有正幂项，若
则存在负幂项，若
最小收敛域为为有限项之和，?
的圆外部分。
是半径为可见右边序列的收敛域
变化存在（收敛）则
即
由根值法：如果
）的收敛域、右边序列（有始序列
1
1
0
)(lim
1)(lim
)()(
4
x
x
k
k
k
k
k
k
k
R
z
Rkfz
zkf
zkfzF
??
?
?
??
?
??
?
?
?
?
1xR
]Im[z
]Re[z
的圆内部分。
半径为故左边序列的收敛域是
即
由根值法：若满足
、左边序列的收敛域
2
2
1
1
)(lim
1
1)(lim
)()()(
5
x
x
k
k
k
k
k
k
k
k
k
R
R
kf
z
zkf
zkfzkfzF
?
?
?
??
???
??
??
?
?
?
???
?
??
称为左边序列
)()()( 1??? kkfkf ?
平面z
2xR
???
?
???
?
?
?
?
?
???
? ???
1
0
)()()()(
6
k
k
k
k
k
k zkfzkfzkfzF
、双边序列
平面z
2xR
1xR
21
21
xx
xx
RzR
z
RR
??
?
收敛域为
。变换存在
，时两个收敛域才有重叠故只有
右边序列 左边序列左
1xRz ? 2xRz ?
变换的、求单位序列例 zk )(1 ?
平面收敛域为全即
解：
zk
zzkkZ
n
n
1)(
1)0()()]([ 0
0
?
??? ?
?
?
?
?
???
6.2 常用序列的 Z变换
变换的、求单位阶跃序列例 zn )(?2
1
1
)(
1
11
1
)]([
)1(,1
1)()]([
1
1
21
0
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?????
?
?
??
?
?
?
?
z
z
z
n
z
z
z
z
nZ
zzq
zzznnZ
n
n
?
?
??
即
和公式，得收敛。根据等比级数求
时，级数即当上式的公比
解,?
变换的、求指数序列例 zka k )(?3
||||)(
|,|||
1
1
)]([
||1
)()]([
00
az
az
z
ka
az
az
z
z
a
kaZ
az
z
a
z
a
zakaZ
k
k
k
kk
k
kk
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?? ??
?
?
?
?
?
?
?
?
即
时，有即当
解：
? ?fk ? ?Fz
? ?k?
? ?k? 1zz?
? ?kak? zza?
? ?kek? ?
z
ze??
? ?kk? ? ?
21
z
z?
序号
1 1
2
3
4
5
表 6.1常用序列的 Z变换
上面给出的是右边序列的 Z变换，至于左边序列 Z变换的求法与左边函数的
拉普拉斯变换相类似。
以上介绍的一些常用序列都是右边序列。至于左边序列 Z变换与左边函数
的拉普拉斯变换相类似，可按下列步骤求取：
? ?fn? ? ?Fw
1wz?? ? ?Fw
? ?Fz
（ 1）对左边序列 ? ?fk ? ?fk k
n? ? ?fn?
求反，即将 中的 改为,构成右边序列
（ 2）对右边序列 求单边 Z变换，得
（ 3）对所得的单边 Z变换中的复变量求倒数，即令 代入
，从而得出左边序列的 Z变换,同时标注出其收敛域。
? ? kf k a? ? ?1a?例 6.1 求双边序列 的 Z变换，并确定它的收敛域。
解：双边指数序列可写为右边序列和左边序列之和，即 ? ? ? ?
1k kka a k a k?? ?? ? ? ?
? ?kak? ? ?aFz右边序列 的 Z变换 ? ?,
a
zF z z a
za???
? ?1kak?? ??
? ?bFz
左边序列 的 Z变换 可按下列步骤求得
（ 1）令 kn?? 构成右边序列 ? ? ? ? ? ? ? ?1
nnf n a n a n n? ? ?? ? ? ?
（ 2）对 ? ?fn 求单边 Z变换，
? ? 1waFw w a w a? ? ???
（ 3）令 1wz?? 代入上式得
? ? 111,b azF z z az a z a ???? ? ? ???
1a? 1a z a ??? ? ?fk因为,所以,则 的双边 Z变换存在
? ? ? ?? ?
1
1 21 1
a a zzzFz
z a z a z a a z
?
? ?
?? ? ?
?? ? ? ?1a z a ???
若 1a?,则由于左边序列与右边序列的 Z变换没有公共的收敛域，此时该序列不
存在双边 Z变换。
、线性性质1
if
then
)()( 11 zFkf ? )()( 22 zFkf ?
)()()()( 22112211 zFazFakfakfa ???
1c o s2
)c o s(
][
2
1
)]([ c o s
)(][
2
1
)(c o s
)(c o s1
2
??
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
??
???
??
??
??
zz
zz
ez
z
ez
z
kkZ
keekk
zkk
jj
kjkj
解：由于
变换。的、求序列例
敛区的重叠部分
变换收是原两个
变换的收敛区的
常数。叠加后新
为任意式中
z
z
aa 21,
6.3 Z变换的性质
)()]([ zFznkfZ n??则
)()]([ zFznkfZ n???
)()]([)(
)1(
zFkfZzkf
z
?变换为是双边序列，其双边若
变换双边
2,移位特性
)()()()()2( zFkkfzkf z ??变换为是双边序列，其单边若 变换单边
])()([)()(
])()([)()(
1
1
0
?
?
?
??
??
?
?
?
???
???
mk
km
m
k
km
zkfzFzkmkf
zkfzFzkmkf
?
?
右移后
则左移后
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
1
0
)()()]()([
)()]()([
)()()()()3(
m
k
kmm
m
zkfzzFzkmkfZ
zFzkmkfZ
zFkkfzkf
?
?
?
－
常用
变换为是因果序列，其单边若
)1()0()()]()2([
)0()()]()1([
22 zffzzFzkkfZ
zfzzFkkfZ
????
???
?
?
例如：
)()(
)(
)(
)(
)()()(
3
3
1
1
1
1
1
4
1
42
z
z
z
kf
zz
k
z
z
k
zkkkf
?
?
?
?
??
?
?
???
?
?
?? 变换。的、求序列例
)()(
)()(
a
z
Fkfa
zFkf
z
k ?
?
则
若
域尺度变换、3
2
2 )(
)1(
)(:
az
az
a
z
a
z
kka
k
?
?
?
??解
F
变换的求序列、已知例 zkka
z
zkkZ k )(,
)1(
)]([3 2 ??
?
?
)()(
)()(
zF
d
d
zkkf
zFkf
z
??
?
则
若
、序列线性加权4
2)1(
)
1
()]([
?
?
?
??
z
z
z
z
d
d
zkkZ
z
?解：
变换的求斜变序列、若已知例 zkk
z
z
kz )(,
1
)]([4 ??
?
?
(Z域微分性质 )
)()()()(
)()()()(
zFzFkfkf
zFkfzFkf
2121
2211
5
??
??
则
若
、卷积定理
看下页例题
2
22
2
2
2
2
2
)1(
(
)1(1)1(
(()1((
)1(
()1(
)1(11
(*(
1
(
?
??
?
?
?
?
?
????
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
z
z
kk
z
z
z
z
z
z
kkkkk
z
z
kk
z
z
z
z
z
z
kk
z
z
k
）
）））
）
））
）
?
???
?
??
?
变换。）的求）））已知例 zkkkkkk (,()1((*(.5 ???? ??
解：
故
又
)(lim)( zFf z ???06,初值定理
)()(l i m)(l i m zFzkf zk 17 1 ?? ???、终值定理
一,幂级数展开法 (长除法）
如果 z变换 F(z)能表示成幂级数的形式,则
可以直接看出序列 f(k)是 的系数，
??
???
??
k
kzkfzF )()(
6.4 反 Z变换
例 1,求 的逆变换 f(k)
解,由收敛域看出 f(k)应为因果序列
利用幂级数公式
立即可看出
)l n ()( 11 ??? azzF za?
n
xxxxx nn 132 )1(
32)1l n (
???????? ?
11 ??? x
??
?
???
?
1
11
k
kkk
k
zazF )()(
)1()1()( 1 ???? ? kkakf
k
k ?
121 21)(.2 21
1
??? ?? ??
?
zzz zZF求例
321
21
21
1
21
484
4
21
21
.....741
???
??
??
?
??
??
?
??
?
???
zzz
zz
zz
z
zz
解：
2121 ?? ?? zz
由收敛域知 f(k)是右边序列 )()13()( kkkf ????
z
z
zF
rz
z
z
rz
z
kr
z
z
kk
zD
zN
zF
k
乘以展成部分分式，然后再故先把
要形式变换的基本变换式的主和反
由
二、部分分式展开法
)(
)(,
1
)(,1)(
)(
)(
)(
?
?
?
?
??
?
???
)()()()(
)(
)(
,,,)(
110
1
1
0
1
10
21
krBkrBkBkf
rz
zB
rz
zB
BzF
rz
B
rz
B
z
B
z
zF
rrrnzf
kk
nn
n
n
n
n
n
??? ?
?
?
?
????
?
?
?
??
?
?
?
??
时个单极点有若
|||| rz ?
6.5 Z变换与傅里叶变换、拉普拉斯变换的关系
前面所讨论的傅立叶变换、拉普拉斯变换和 Z变换这三种变换域分析法
之间有着密切的联系，在一定条件下可以相互转换。
一,Z变换与傅里叶变换的关系
考虑单位圆上的 Z变换，即
jze??
? ? ? ? ? ? ? ?j j j kze
k
F z F e f k e F j? ?? ? ?? ??
? ? ?
? ? ??
? ?fk
??ft
上式表明离散序列 在单位圆上的 Z变换等于与此序列相对应的连续时间函数
进行理想抽样后函数的傅里叶变换。
二,Z变换与拉普拉斯变换的关系
当令
sTze?
时，
? ? ? ?sTzeF z F s?? ?
上式说明，此时的 Z变换就是相应的连续时间函数 经过理想抽样后的函
数的拉普拉斯变换。
??ft
Z变换和拉氏变换的关系还可以由两者在 Z平面和 S平面的对应关系来说明
sj???? sTze?
将 代入
得
? ?jT T j T jz e e e z e?? ? ? ??? ? ?Tze
T
?
??
?? ?
?
? ??不妨，令 1T?,有
ze?
??
?? ?
??
??
Tezezeeeez TjTjTTjsT ???????? ??????? ? )(
?j
平面s
?
]Im[z
平面z
]Re[z
由此得出 s平面和 Z平面的映射关系：
? ?0,sj???? 1,z ????（ 1） s平面的虚轴 映射为 Z平面上的单位圆（ ）；
0?? 1z ?（ 2）左半 s平面（ ）映射为 Z平面上单位圆内的部分（ ）；
0? ? 1z ?（ 3）右半 s平面（ ）映射为 Z平面上单位圆外的部分（ ）；
??
??
???
M
m
m
N
n
n mkfbnkya
N
00
)()(
的一般形式为阶线性常系数差分方程
求解法一、差分方程的变换域
??? ?
?
??
?? ??
??
M
0m
1N
0n
00
＝＝
上式可简化为时，考虑到
)(])()([
,)(
zFzbzryzYza
kfk
m
m
nr
rn
n
])()([])()([
1M
0m
1N
0n
????
?
??
??
?
??
?? ???
ms
sm
m
nr
rn
n zsfzFzbzryzYza
zz
＝＝
变换位移特性得变换，利用将等式两边取单边
6.6 离散时间系统的 Z域分析
?
? ?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
?
?
??
N
n
n
n
N
n nr
rn
n
N
n
n
n
M
m
m
m
za
zryza
zF
za
zb
zY
0
0
1
0
0
)(
)()(
将上式整理得
)()()(
)(
kykyky
kyz
zizs ??
变换。可以求得全响应对上式进行逆
零状态响应)( zY zs 零输入响应)( zY
zi
零状态响应和全响应。求系统的零输入响应、
初始状态已知激励
分方程为：若描述离散系统的差例
,)(,)(),()(
)()()()(
02112
2
2
1
1
2
1
1
?????
?????
yykkf
kfkykyky
k
?
)()(
)(
2
1
2
1
1
1
2
1
2
1
1
)2(
2
1
)1)(1(
2
1
)(
)()]2()1()([
2
1
)]1()([
2
1
)(
2121
1
121
zYzY
zF
zzzz
yzy
zY
zFyyzzYzyzYzzY
z
zszi
??
??
?
??
????
?
?????????
????
?
???
将上式整理，得
得
变换两边取解：第一步将差分方程
2
1
6
1
1
3
2
)
2
1
)(1(
)1(
2
1
2
1
2
1
)1(
2
1
2
1
2
1
1
)1(
2
1
)(
)(0)2(,1)1(
)(
221
1
?
?
?
?
?
??
??
?
??
??
?
??
?
?
????
??
?
z
z
z
z
zz
zz
zz
zz
zz
z
zY
zYyy
zY
zi
zi
zi
表达式中得代入将
象函数第二步求零输入响应的
)(])
2
1(
6
1)1(
3
2[)(
)(
kky
zzY
kk
zi
zi
?????查表得
变换的逆第三步，求
)(])2(
9
2
)
2
1
(
18
1
)1(
9
4
[)()()(
)(])2(
9
8
)
2
1
(
9
1
)1(
9
2
[)(
2
9
8
2
1
9
1
1
9
2
2
2
1
2
1
)(
2
1
2
1
1
1
)(
2
)(
)(),(),(),(
2
2
21
kkykyky
kky
z
z
z
z
z
z
z
z
zz
z
zF
zz
zY
z
z
zF
kykyzYzY
kkk
zszi
kkk
zs
zs
zszs
?
?
???????
????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
?
?
??
全响应为
故
，得代入零状态响应象函数将
及第四步：同理求
011
1222
??
?????
)(,)(
)()()()(
yoy
kkykykyz
已知
的解变换法求差分方程、用例 ?
0]
2
1
4
3
[)1(
4
1
)(
)1(2
1
14
3
14
1
)1(11)1()1(
)(
1
)(]1)([2]1)([
0)1(,1)0(
1
)(])()([2])()([
2
2
211
2
23
2
0
0
1
0
2
?????
?
??
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
?????
??
?
????? ??
?
?
?
?
kkky
z
z
z
z
z
z
z
zB
z
zB
z
zA
zz
zzz
zY
z
z
zYzYzzYz
yy
z
z
zYznyzYzznyzYz
z
k
n
n
n
n
故
代入上式，整理得将
变换，得解：将方程两边取
)()1()(
)()1()(
)(
)(
)(1
01
01
mkfbkfbkfb
Nkyakyaky
N
zF
zY
zH
mm
N
zs
??????
?????
?
?
?
?
?
一般形式为阶离散系统的差分方程描述
、定义
二、系统函数
)()(
)(
)(
)(
)(
1
)(
)()()()1(
.0)()2()1(
.0)(,0)(
0
1
1
0
1
1
0
1
10
1
1
zFzH
zF
zD
zN
zF
zaza
zbzbb
zY
zFzbzbbzYzaza
z
NNyyy
kfkkf
N
N
m
mm
zs
m
mmzs
N
N
??
??
??
???
?
??????
???????
??
??
?
??
?
??
?
??
?
?
?
??
?
由上式可得
变换，得取
两边阶离散系统的差分方程对
，同时，在零状态情况下时为因果序列，即若
)]()([)(
0)(
)(
)(
)(
)(
1
zFzHZky
zD
zH
zD
zN
zH
zs
??
?
????
?
对上式求逆变换可得
程，其根称为特征根。称为离散系统的特征方
仅由系统的特性所决定其中
)()()(
)()()()()(
2
zFzHzY
khkfkfkhky
zs
zs
??
????
再由时域卷积定理，得
道由上一章学习，我们知
函数、单位样值响应与系统
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
)]([)(2
1
)(
)()(
)]([)(
)]([)()(
1)(,)(
1
1
zHZkh
kh
zHkh
khZzH
zHZkykh
zFk
zs
、
、化为零输入响应
的求解方法
和
时当输入为 ?
)(
)()()()()(
kh
kfkfkykyky
求系统的单位样值响应
程为、描述某系统的差分方例
122
6
1
1
6
1
3
???????
)(2)()(61)(61)( 121 zFzzFzYzzYzzY
z
zszszs
??? ????
变换，得为零，对方程两边取解：设系统的初始状态
)(])
3
1
(2)
2
1
(3[)(
3
1
2
2
1
3
6
1
6
1
2
6
1
6
1
1
21
)(
)(
)(
2
2
21
1
kkh
z
z
z
z
zz
zz
zz
z
zF
zY
zH
kk
zs
????
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
??
??
?
故单位样值响应
由上式可得
.
)()()()()(
)(
列列时，求零状态响应序又当激励为单位阶跃序
位冲击响应、求下列差分方程的单例
12
6
1
1
6
5
4
??????? kfkfkykyky
kh
21
1
0
0
6
1
6
5
1
1
)(
)(
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
zz
z
zH
za
zb
zH
N
n
n
n
M
m
m
m
解：①求系统函数
)(])21(3)31(4[)()( kkhzH kk ???逆变换得②求
1)()()()(
)(
????? z
zzHzFzHzY
zY
zs
zs态响应③求阶跃输入时的零状
)(])21(3)31(2[)()( kkyzY kkzs ????逆变换④求
为有限大正值。、其中则称该系统是稳定的，
其零状态响应满足
若
义①离散系统的稳定性定
、系统的稳定性
yf
yzs
f
MM
Mky
Mkf
?
?
)(
)(
3
的极点所决定的函数形式由
即
果系统有满足绝对可和，对于因即
必要条件是②离散系统稳定的充分
)()(
)]([)(
0)(l i m
)(
)(
)(
0
zHkh
khZzH
kh
kh
kh
kh
k
k
k
?
?
?
??
??
??
?
?
?
???
?
?
?
的极点
的零点
的关系的极点与③
)()2,1(
)()2,1(
)(
)(
)(
)()(
1
1
0
1
1
0
1
1
zHNiz
zHmjz
zz
zzb
azaz
bzbzb
zH
khzH
i
j
N
i
i
m
j
jm
N
N
N
m
m
m
m
?????
?????
?
?
?
???
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
)()]([)(
)(
1
1
1
kzkzHZkh
zz
zk
zH
N
i
ii
N
i i
i
k
??
?
?
?
?
??
?
?
单位样值响应
可得
法，极点，由部分分式展开假设所有的极点都是单
则系统不稳定
的极点在单位圆外时，，即当
则系统稳定
的极点在单位圆内时，，即当;)(lim
)(1;0)(lim)(lim
)(1
1
??
?
??
?
??
?
????
?
kh
zHz
kzkkh
zHz
k
i
N
i
k
ii
kk
i
?
（ 1）
（ 2）
1iz ? ? ?Hz ? ?Hz
? ?hk ? ?Hz ? ?hk
（ 3） 当,即 的极点在单位圆上，若 的极点为实极点，则
为阶跃序列；若 的极点为共轭复数极点，则 为等幅振荡序列。
? ?Hz ? ?hk
的极点位置与 波形的示意图
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? 响应曲线。粗略的绘出系统的幅频；求判断系统是否稳定，并
，并绘出其零极图；求系统函数
的系统模拟图；画出只用两个延时单元
：，有下列差分方程描述一线性非移变因果系统例
4
3
2
1
1
3
1
2
8
1
1
4
3
2
.5
kh
ZH
kekekykyky ????????
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
图如下：由以上两式画出模拟框
则
满足下式设中间变量解：
1
3
1
2
8
1
1
4
3
2
1
????
?????
kqkqky
kekqkqkq
kq
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
变换对原差分方程两边取
得令
得由系统差分方程令
已知
Z
eyk
yek
kykkeK
11.1
000,2
0,0,0,0)2(
???
????
????
∑ ∑
D??
kq
? ?1?kq? ?2?kq??ke ? ?ky+
－
＋ D
43
81
31
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
2
1
3
10
4
1
3
7
2
1
3
10
4
1
3
7
2
1
4
1
3
1
2
1
4
1
3
1
8
1
4
3
3
1
3
1
1
8
1
4
3
1
2
2
2
22
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
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??
?
?
?
?
?
?
?
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??
?
??
??????
z
z
z
z
zH
zzzz
z
z
zH
zz
zz
zz
zz
zE
zY
zH
zzEzezEzzYzzYzyzYz
整理上式得
31? 41 21
)(Im z
)Re(z
收敛域 收敛域41? 21?
收敛域 21|| ?z
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?
? ?
? ?下节讨论。
稳定。平面单位园内，故系统位于，的极点因
4
2
1
4
1
2
1
3
10
4
1
3
7
3
21
1
zzzzH
KKzHZkh
KK
??
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
???
?
??
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ?
KTj
K
tj
K
s
K
Ts
eKTf
dteKTttfjF
KTttfttftf
?
?
??
??
?
?
???
?
?
??
?
???
?
???
?
? ?
?
?
??
???
换—抽样信号的傅立叶变—
—抽样信号—
序列的傅立叶变换.一
6.7 离散时间系统的频率响应
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ??
?
?
?
?
?
?
j
eZ
z
T
jS
ezS
eFzFjF
ZT
jFzF
zFjF
j
Tj
??
?
?
?
?
?
?
变换求得由，序列的傅立叶变换可通常令
故
1
ln
1
变换的关系序列的傅立叶变换与二 z.
? ? ? ?
? ? ? ?KfKTfze
eKTfjF
Tj
KTj
K
s
?? ???
? ?
?
???
?
记为令,?
??
? ? ? ? 变换—序列的—上式记为 zzKfzF K
K
?
?
???
??
? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ?
? ?
? ?
s
j
ss
j
jjj
kj
K
eZ
j
K
K
j
eH
T
T
eH
eee
ekhZHeH
ZkhZH
eH
j
?
??
?
?
?
?
????
??
?
?
率的周期是序列的重复频
，则令若
是周期函数
是周期函数又
是周期函数
21,
2
.2
2
???
?
?
??
?
?
?
?
???
?
?
?
???
?
??
? ? 响应。决定了离散系统的频率同连续系统一样，
率的变化情况。用下稳态响应随信号频离散系统在正弦序列作
离散系统频率响应
义离散系统频率响应的意三
?jeH
.1
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ? ??
?
?
?
?
?
?
??
?
?
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?
?
?
???
??
??
?
?
?
?
?
?
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?
N
k
k
M
r
r
j
kk
j
j
rr
j
k
N
K
r
M
rj
jj
K
j
N
K
r
j
M
rj
K
N
K
r
M
r
k
r
eAPe
eBZe
A
B
eH
eeH
Pe
ze
eH
Pz
zz
zH
11
1
1
1
1
1
1
???
?
??
?
???
?
?
?
相位响应
于是幅度响应
则
若
频率响应的几何确定法四,
极点
零点
?
?
k
r
P
z
F动画演示
? ?zjIm
1A
2B
D
E
+1
C2A
1B
? ?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
1
4
1
3
1
56
zz
zz
zH中的幅频响应，已知求例例,
?je
]Re[
)(
z
0??
2s
??? ??
3
1?
4
1
2
1
9
32
2
1
4
3
1
3
4
)(
2
1
2
1
1,
4
3
4
1
1
101,
3
4
3
1
1,0
0
21
21
?
?
?
?
????????
?????????
j
jj
jj
eH
pepe
zeze
??
??
?
? ?2
? ??jeH
?0
45
16
9
32
五, 单边指数信号作用下的稳态响应
六, 正弦信号作用下的稳态响应
Chapter8
本章要点
F
F
F
F Z变换
常用序列的 Z变换
Z变换的性质
反 Z变换
Z变换与傅里叶变换、拉普拉斯变换的关系
离散时间系统的 Z域分析
离散时间系统的频率响应
F
F
F
引言
与连续系统类似，离散系统也可用变换域法
进行分析。
差分方程
Z变换
代数方程
一 Z变换的定义
1,由抽样信号的拉氏变换引出 z变换定义。
6.1 Z变换
)(tf
t
t
??
???
??
k
T kTtt )()( ??
)(1
0 T T2
)(tfs
t
0
0
? ?
)(tT?
??
???
????
k
Ts kTttfttftf )()()()()( ??
? ???? ?
???
???
k
tsts dekTttfsF )()()( ???
???
??
k
sk TekTf )(
??
???
????
k
Ts kTttfttftf )()()()()( ??
?
?
???
??
??
k
k
sT
zkfzF
z
T
sezz
)()(
ln
1
则上式变为
或，令引入一个新的复变量
通常记为 ? ? ? ?F z Z f k? ????
? ? ? ?1f k Z F z?? ????
或 ? ? ? ?f k F z?
变换的双边上式称为序列 Zkf )(
变换的单边称为序列则
为因果序列，若
zkfzkfzF
kf
k
k )()()(
)(
0
?
?
?
??
T
ez
ezeeeez
z
T
jTjTTjsT
??
?
?????
?
?
?????
? )(
2 平面间的对应关系平面和,s
?j
平面s
?
]Im[z
平面z
]Re[z
)([)( kfZzFz ?变换，记做单边以后我们的讨论将限于
绝对可和条件
变换存在的充要条件是
的幂级数，变换是
变换的收敛域二、
??
?
?
?
?
???
?
?
???
?
k
k
k
k
zkf
z
zkfzFzz
z
)(
)()(
。取值范围，称为收敛域的
收敛变换的收敛域：使、
z
zkfzFz
k
k?
?
???
?? )()(1
不定
时，级数发散，时，级数收敛，当
而
级数通项①比值判据：若有
方法、判别级数收敛的两种
1
11
lim
2
1
?
??
?
?
?
??
?
???
?
?
??
?
k
k
k
k
k
a
a
a
不定时，级数发散，时，级数收敛，当
②根植判别法：
111
lim
???
?
??
???
?k k
k
a
?
?
?
?
?
?
? ??
?
2
1
)()(
0
)(
)(
3
21
k
kk
k
zkfzF
kkkkf
kf
其它
、有限长序列的收敛域
????????
???
????
zzzkk
zkk
z
0,,00,0
00,0
0
21
21
不含则只有正幂项，若
则存在负幂项，若
最小收敛域为为有限项之和，?
的圆外部分。
是半径为可见右边序列的收敛域
变化存在（收敛）则
即
由根值法：如果
）的收敛域、右边序列（有始序列
1
1
0
)(lim
1)(lim
)()(
4
x
x
k
k
k
k
k
k
k
R
z
Rkfz
zkf
zkfzF
??
?
?
??
?
??
?
?
?
?
1xR
]Im[z
]Re[z
的圆内部分。
半径为故左边序列的收敛域是
即
由根值法：若满足
、左边序列的收敛域
2
2
1
1
)(lim
1
1)(lim
)()()(
5
x
x
k
k
k
k
k
k
k
k
k
R
R
kf
z
zkf
zkfzkfzF
?
?
?
??
???
??
??
?
?
?
???
?
??
称为左边序列
)()()( 1??? kkfkf ?
平面z
2xR
???
?
???
?
?
?
?
?
???
? ???
1
0
)()()()(
6
k
k
k
k
k
k zkfzkfzkfzF
、双边序列
平面z
2xR
1xR
21
21
xx
xx
RzR
z
RR
??
?
收敛域为
。变换存在
，时两个收敛域才有重叠故只有
右边序列 左边序列左
1xRz ? 2xRz ?
变换的、求单位序列例 zk )(1 ?
平面收敛域为全即
解：
zk
zzkkZ
n
n
1)(
1)0()()]([ 0
0
?
??? ?
?
?
?
?
???
6.2 常用序列的 Z变换
变换的、求单位阶跃序列例 zn )(?2
1
1
)(
1
11
1
)]([
)1(,1
1)()]([
1
1
21
0
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?????
?
?
??
?
?
?
?
z
z
z
n
z
z
z
z
nZ
zzq
zzznnZ
n
n
?
?
??
即
和公式，得收敛。根据等比级数求
时，级数即当上式的公比
解,?
变换的、求指数序列例 zka k )(?3
||||)(
|,|||
1
1
)]([
||1
)()]([
00
az
az
z
ka
az
az
z
z
a
kaZ
az
z
a
z
a
zakaZ
k
k
k
kk
k
kk
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?? ??
?
?
?
?
?
?
?
?
即
时，有即当
解：
? ?fk ? ?Fz
? ?k?
? ?k? 1zz?
? ?kak? zza?
? ?kek? ?
z
ze??
? ?kk? ? ?
21
z
z?
序号
1 1
2
3
4
5
表 6.1常用序列的 Z变换
上面给出的是右边序列的 Z变换，至于左边序列 Z变换的求法与左边函数的
拉普拉斯变换相类似。
以上介绍的一些常用序列都是右边序列。至于左边序列 Z变换与左边函数
的拉普拉斯变换相类似，可按下列步骤求取：
? ?fn? ? ?Fw
1wz?? ? ?Fw
? ?Fz
（ 1）对左边序列 ? ?fk ? ?fk k
n? ? ?fn?
求反，即将 中的 改为,构成右边序列
（ 2）对右边序列 求单边 Z变换，得
（ 3）对所得的单边 Z变换中的复变量求倒数，即令 代入
，从而得出左边序列的 Z变换,同时标注出其收敛域。
? ? kf k a? ? ?1a?例 6.1 求双边序列 的 Z变换，并确定它的收敛域。
解：双边指数序列可写为右边序列和左边序列之和，即 ? ? ? ?
1k kka a k a k?? ?? ? ? ?
? ?kak? ? ?aFz右边序列 的 Z变换 ? ?,
a
zF z z a
za???
? ?1kak?? ??
? ?bFz
左边序列 的 Z变换 可按下列步骤求得
（ 1）令 kn?? 构成右边序列 ? ? ? ? ? ? ? ?1
nnf n a n a n n? ? ?? ? ? ?
（ 2）对 ? ?fn 求单边 Z变换，
? ? 1waFw w a w a? ? ???
（ 3）令 1wz?? 代入上式得
? ? 111,b azF z z az a z a ???? ? ? ???
1a? 1a z a ??? ? ?fk因为,所以,则 的双边 Z变换存在
? ? ? ?? ?
1
1 21 1
a a zzzFz
z a z a z a a z
?
? ?
?? ? ?
?? ? ? ?1a z a ???
若 1a?,则由于左边序列与右边序列的 Z变换没有公共的收敛域，此时该序列不
存在双边 Z变换。
、线性性质1
if
then
)()( 11 zFkf ? )()( 22 zFkf ?
)()()()( 22112211 zFazFakfakfa ???
1c o s2
)c o s(
][
2
1
)]([ c o s
)(][
2
1
)(c o s
)(c o s1
2
??
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
??
???
??
??
??
zz
zz
ez
z
ez
z
kkZ
keekk
zkk
jj
kjkj
解：由于
变换。的、求序列例
敛区的重叠部分
变换收是原两个
变换的收敛区的
常数。叠加后新
为任意式中
z
z
aa 21,
6.3 Z变换的性质
)()]([ zFznkfZ n??则
)()]([ zFznkfZ n???
)()]([)(
)1(
zFkfZzkf
z
?变换为是双边序列，其双边若
变换双边
2,移位特性
)()()()()2( zFkkfzkf z ??变换为是双边序列，其单边若 变换单边
])()([)()(
])()([)()(
1
1
0
?
?
?
??
??
?
?
?
???
???
mk
km
m
k
km
zkfzFzkmkf
zkfzFzkmkf
?
?
右移后
则左移后
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
1
0
)()()]()([
)()]()([
)()()()()3(
m
k
kmm
m
zkfzzFzkmkfZ
zFzkmkfZ
zFkkfzkf
?
?
?
－
常用
变换为是因果序列，其单边若
)1()0()()]()2([
)0()()]()1([
22 zffzzFzkkfZ
zfzzFkkfZ
????
???
?
?
例如：
)()(
)(
)(
)(
)()()(
3
3
1
1
1
1
1
4
1
42
z
z
z
kf
zz
k
z
z
k
zkkkf
?
?
?
?
??
?
?
???
?
?
?? 变换。的、求序列例
)()(
)()(
a
z
Fkfa
zFkf
z
k ?
?
则
若
域尺度变换、3
2
2 )(
)1(
)(:
az
az
a
z
a
z
kka
k
?
?
?
??解
F
变换的求序列、已知例 zkka
z
zkkZ k )(,
)1(
)]([3 2 ??
?
?
)()(
)()(
zF
d
d
zkkf
zFkf
z
??
?
则
若
、序列线性加权4
2)1(
)
1
()]([
?
?
?
??
z
z
z
z
d
d
zkkZ
z
?解：
变换的求斜变序列、若已知例 zkk
z
z
kz )(,
1
)]([4 ??
?
?
(Z域微分性质 )
)()()()(
)()()()(
zFzFkfkf
zFkfzFkf
2121
2211
5
??
??
则
若
、卷积定理
看下页例题
2
22
2
2
2
2
2
)1(
(
)1(1)1(
(()1((
)1(
()1(
)1(11
(*(
1
(
?
??
?
?
?
?
?
????
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
z
z
kk
z
z
z
z
z
z
kkkkk
z
z
kk
z
z
z
z
z
z
kk
z
z
k
）
）））
）
））
）
?
???
?
??
?
变换。）的求）））已知例 zkkkkkk (,()1((*(.5 ???? ??
解：
故
又
)(lim)( zFf z ???06,初值定理
)()(l i m)(l i m zFzkf zk 17 1 ?? ???、终值定理
一,幂级数展开法 (长除法）
如果 z变换 F(z)能表示成幂级数的形式,则
可以直接看出序列 f(k)是 的系数，
??
???
??
k
kzkfzF )()(
6.4 反 Z变换
例 1,求 的逆变换 f(k)
解,由收敛域看出 f(k)应为因果序列
利用幂级数公式
立即可看出
)l n ()( 11 ??? azzF za?
n
xxxxx nn 132 )1(
32)1l n (
???????? ?
11 ??? x
??
?
???
?
1
11
k
kkk
k
zazF )()(
)1()1()( 1 ???? ? kkakf
k
k ?
121 21)(.2 21
1
??? ?? ??
?
zzz zZF求例
321
21
21
1
21
484
4
21
21
.....741
???
??
??
?
??
??
?
??
?
???
zzz
zz
zz
z
zz
解：
2121 ?? ?? zz
由收敛域知 f(k)是右边序列 )()13()( kkkf ????
z
z
zF
rz
z
z
rz
z
kr
z
z
kk
zD
zN
zF
k
乘以展成部分分式，然后再故先把
要形式变换的基本变换式的主和反
由
二、部分分式展开法
)(
)(,
1
)(,1)(
)(
)(
)(
?
?
?
?
??
?
???
)()()()(
)(
)(
,,,)(
110
1
1
0
1
10
21
krBkrBkBkf
rz
zB
rz
zB
BzF
rz
B
rz
B
z
B
z
zF
rrrnzf
kk
nn
n
n
n
n
n
??? ?
?
?
?
????
?
?
?
??
?
?
?
??
时个单极点有若
|||| rz ?
6.5 Z变换与傅里叶变换、拉普拉斯变换的关系
前面所讨论的傅立叶变换、拉普拉斯变换和 Z变换这三种变换域分析法
之间有着密切的联系，在一定条件下可以相互转换。
一,Z变换与傅里叶变换的关系
考虑单位圆上的 Z变换，即
jze??
? ? ? ? ? ? ? ?j j j kze
k
F z F e f k e F j? ?? ? ?? ??
? ? ?
? ? ??
? ?fk
??ft
上式表明离散序列 在单位圆上的 Z变换等于与此序列相对应的连续时间函数
进行理想抽样后函数的傅里叶变换。
二,Z变换与拉普拉斯变换的关系
当令
sTze?
时，
? ? ? ?sTzeF z F s?? ?
上式说明，此时的 Z变换就是相应的连续时间函数 经过理想抽样后的函
数的拉普拉斯变换。
??ft
Z变换和拉氏变换的关系还可以由两者在 Z平面和 S平面的对应关系来说明
sj???? sTze?
将 代入
得
? ?jT T j T jz e e e z e?? ? ? ??? ? ?Tze
T
?
??
?? ?
?
? ??不妨，令 1T?,有
ze?
??
?? ?
??
??
Tezezeeeez TjTjTTjsT ???????? ??????? ? )(
?j
平面s
?
]Im[z
平面z
]Re[z
由此得出 s平面和 Z平面的映射关系：
? ?0,sj???? 1,z ????（ 1） s平面的虚轴 映射为 Z平面上的单位圆（ ）；
0?? 1z ?（ 2）左半 s平面（ ）映射为 Z平面上单位圆内的部分（ ）；
0? ? 1z ?（ 3）右半 s平面（ ）映射为 Z平面上单位圆外的部分（ ）；
??
??
???
M
m
m
N
n
n mkfbnkya
N
00
)()(
的一般形式为阶线性常系数差分方程
求解法一、差分方程的变换域
??? ?
?
??
?? ??
??
M
0m
1N
0n
00
＝＝
上式可简化为时，考虑到
)(])()([
,)(
zFzbzryzYza
kfk
m
m
nr
rn
n
])()([])()([
1M
0m
1N
0n
????
?
??
??
?
??
?? ???
ms
sm
m
nr
rn
n zsfzFzbzryzYza
zz
＝＝
变换位移特性得变换，利用将等式两边取单边
6.6 离散时间系统的 Z域分析
?
? ?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
?
?
??
N
n
n
n
N
n nr
rn
n
N
n
n
n
M
m
m
m
za
zryza
zF
za
zb
zY
0
0
1
0
0
)(
)()(
将上式整理得
)()()(
)(
kykyky
kyz
zizs ??
变换。可以求得全响应对上式进行逆
零状态响应)( zY zs 零输入响应)( zY
zi
零状态响应和全响应。求系统的零输入响应、
初始状态已知激励
分方程为：若描述离散系统的差例
,)(,)(),()(
)()()()(
02112
2
2
1
1
2
1
1
?????
?????
yykkf
kfkykyky
k
?
)()(
)(
2
1
2
1
1
1
2
1
2
1
1
)2(
2
1
)1)(1(
2
1
)(
)()]2()1()([
2
1
)]1()([
2
1
)(
2121
1
121
zYzY
zF
zzzz
yzy
zY
zFyyzzYzyzYzzY
z
zszi
??
??
?
??
????
?
?????????
????
?
???
将上式整理，得
得
变换两边取解：第一步将差分方程
2
1
6
1
1
3
2
)
2
1
)(1(
)1(
2
1
2
1
2
1
)1(
2
1
2
1
2
1
1
)1(
2
1
)(
)(0)2(,1)1(
)(
221
1
?
?
?
?
?
??
??
?
??
??
?
??
?
?
????
??
?
z
z
z
z
zz
zz
zz
zz
zz
z
zY
zYyy
zY
zi
zi
zi
表达式中得代入将
象函数第二步求零输入响应的
)(])
2
1(
6
1)1(
3
2[)(
)(
kky
zzY
kk
zi
zi
?????查表得
变换的逆第三步，求
)(])2(
9
2
)
2
1
(
18
1
)1(
9
4
[)()()(
)(])2(
9
8
)
2
1
(
9
1
)1(
9
2
[)(
2
9
8
2
1
9
1
1
9
2
2
2
1
2
1
)(
2
1
2
1
1
1
)(
2
)(
)(),(),(),(
2
2
21
kkykyky
kky
z
z
z
z
z
z
z
z
zz
z
zF
zz
zY
z
z
zF
kykyzYzY
kkk
zszi
kkk
zs
zs
zszs
?
?
???????
????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
?
?
??
全响应为
故
，得代入零状态响应象函数将
及第四步：同理求
011
1222
??
?????
)(,)(
)()()()(
yoy
kkykykyz
已知
的解变换法求差分方程、用例 ?
0]
2
1
4
3
[)1(
4
1
)(
)1(2
1
14
3
14
1
)1(11)1()1(
)(
1
)(]1)([2]1)([
0)1(,1)0(
1
)(])()([2])()([
2
2
211
2
23
2
0
0
1
0
2
?????
?
??
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
?????
??
?
????? ??
?
?
?
?
kkky
z
z
z
z
z
z
z
zB
z
zB
z
zA
zz
zzz
zY
z
z
zYzYzzYz
yy
z
z
zYznyzYzznyzYz
z
k
n
n
n
n
故
代入上式，整理得将
变换，得解：将方程两边取
)()1()(
)()1()(
)(
)(
)(1
01
01
mkfbkfbkfb
Nkyakyaky
N
zF
zY
zH
mm
N
zs
??????
?????
?
?
?
?
?
一般形式为阶离散系统的差分方程描述
、定义
二、系统函数
)()(
)(
)(
)(
)(
1
)(
)()()()1(
.0)()2()1(
.0)(,0)(
0
1
1
0
1
1
0
1
10
1
1
zFzH
zF
zD
zN
zF
zaza
zbzbb
zY
zFzbzbbzYzaza
z
NNyyy
kfkkf
N
N
m
mm
zs
m
mmzs
N
N
??
??
??
???
?
??????
???????
??
??
?
??
?
??
?
??
?
?
?
??
?
由上式可得
变换，得取
两边阶离散系统的差分方程对
，同时，在零状态情况下时为因果序列，即若
)]()([)(
0)(
)(
)(
)(
)(
1
zFzHZky
zD
zH
zD
zN
zH
zs
??
?
????
?
对上式求逆变换可得
程，其根称为特征根。称为离散系统的特征方
仅由系统的特性所决定其中
)()()(
)()()()()(
2
zFzHzY
khkfkfkhky
zs
zs
??
????
再由时域卷积定理，得
道由上一章学习，我们知
函数、单位样值响应与系统
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
)]([)(2
1
)(
)()(
)]([)(
)]([)()(
1)(,)(
1
1
zHZkh
kh
zHkh
khZzH
zHZkykh
zFk
zs
、
、化为零输入响应
的求解方法
和
时当输入为 ?
)(
)()()()()(
kh
kfkfkykyky
求系统的单位样值响应
程为、描述某系统的差分方例
122
6
1
1
6
1
3
???????
)(2)()(61)(61)( 121 zFzzFzYzzYzzY
z
zszszs
??? ????
变换，得为零，对方程两边取解：设系统的初始状态
)(])
3
1
(2)
2
1
(3[)(
3
1
2
2
1
3
6
1
6
1
2
6
1
6
1
1
21
)(
)(
)(
2
2
21
1
kkh
z
z
z
z
zz
zz
zz
z
zF
zY
zH
kk
zs
????
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
??
??
?
故单位样值响应
由上式可得
.
)()()()()(
)(
列列时，求零状态响应序又当激励为单位阶跃序
位冲击响应、求下列差分方程的单例
12
6
1
1
6
5
4
??????? kfkfkykyky
kh
21
1
0
0
6
1
6
5
1
1
)(
)(
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
zz
z
zH
za
zb
zH
N
n
n
n
M
m
m
m
解：①求系统函数
)(])21(3)31(4[)()( kkhzH kk ???逆变换得②求
1)()()()(
)(
????? z
zzHzFzHzY
zY
zs
zs态响应③求阶跃输入时的零状
)(])21(3)31(2[)()( kkyzY kkzs ????逆变换④求
为有限大正值。、其中则称该系统是稳定的，
其零状态响应满足
若
义①离散系统的稳定性定
、系统的稳定性
yf
yzs
f
MM
Mky
Mkf
?
?
)(
)(
3
的极点所决定的函数形式由
即
果系统有满足绝对可和，对于因即
必要条件是②离散系统稳定的充分
)()(
)]([)(
0)(l i m
)(
)(
)(
0
zHkh
khZzH
kh
kh
kh
kh
k
k
k
?
?
?
??
??
??
?
?
?
???
?
?
?
的极点
的零点
的关系的极点与③
)()2,1(
)()2,1(
)(
)(
)(
)()(
1
1
0
1
1
0
1
1
zHNiz
zHmjz
zz
zzb
azaz
bzbzb
zH
khzH
i
j
N
i
i
m
j
jm
N
N
N
m
m
m
m
?????
?????
?
?
?
???
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
)()]([)(
)(
1
1
1
kzkzHZkh
zz
zk
zH
N
i
ii
N
i i
i
k
??
?
?
?
?
??
?
?
单位样值响应
可得
法，极点，由部分分式展开假设所有的极点都是单
则系统不稳定
的极点在单位圆外时，，即当
则系统稳定
的极点在单位圆内时，，即当;)(lim
)(1;0)(lim)(lim
)(1
1
??
?
??
?
??
?
????
?
kh
zHz
kzkkh
zHz
k
i
N
i
k
ii
kk
i
?
（ 1）
（ 2）
1iz ? ? ?Hz ? ?Hz
? ?hk ? ?Hz ? ?hk
（ 3） 当,即 的极点在单位圆上，若 的极点为实极点，则
为阶跃序列；若 的极点为共轭复数极点，则 为等幅振荡序列。
? ?Hz ? ?hk
的极点位置与 波形的示意图
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? 响应曲线。粗略的绘出系统的幅频；求判断系统是否稳定，并
，并绘出其零极图；求系统函数
的系统模拟图；画出只用两个延时单元
：，有下列差分方程描述一线性非移变因果系统例
4
3
2
1
1
3
1
2
8
1
1
4
3
2
.5
kh
ZH
kekekykyky ????????
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
图如下：由以上两式画出模拟框
则
满足下式设中间变量解：
1
3
1
2
8
1
1
4
3
2
1
????
?????
kqkqky
kekqkqkq
kq
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
变换对原差分方程两边取
得令
得由系统差分方程令
已知
Z
eyk
yek
kykkeK
11.1
000,2
0,0,0,0)2(
???
????
????
∑ ∑
D??
kq
? ?1?kq? ?2?kq??ke ? ?ky+
－
＋ D
43
81
31
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
2
1
3
10
4
1
3
7
2
1
3
10
4
1
3
7
2
1
4
1
3
1
2
1
4
1
3
1
8
1
4
3
3
1
3
1
1
8
1
4
3
1
2
2
2
22
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
??????
z
z
z
z
zH
zzzz
z
z
zH
zz
zz
zz
zz
zE
zY
zH
zzEzezEzzYzzYzyzYz
整理上式得
31? 41 21
)(Im z
)Re(z
收敛域 收敛域41? 21?
收敛域 21|| ?z
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?
? ?
? ?下节讨论。
稳定。平面单位园内，故系统位于，的极点因
4
2
1
4
1
2
1
3
10
4
1
3
7
3
21
1
zzzzH
KKzHZkh
KK
??
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
???
?
??
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ?
KTj
K
tj
K
s
K
Ts
eKTf
dteKTttfjF
KTttfttftf
?
?
??
??
?
?
???
?
?
??
?
???
?
???
?
? ?
?
?
??
???
换—抽样信号的傅立叶变—
—抽样信号—
序列的傅立叶变换.一
6.7 离散时间系统的频率响应
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ??
?
?
?
?
?
?
j
eZ
z
T
jS
ezS
eFzFjF
ZT
jFzF
zFjF
j
Tj
??
?
?
?
?
?
?
变换求得由，序列的傅立叶变换可通常令
故
1
ln
1
变换的关系序列的傅立叶变换与二 z.
? ? ? ?
? ? ? ?KfKTfze
eKTfjF
Tj
KTj
K
s
?? ???
? ?
?
???
?
记为令,?
??
? ? ? ? 变换—序列的—上式记为 zzKfzF K
K
?
?
???
??
? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ?
? ?
? ?
s
j
ss
j
jjj
kj
K
eZ
j
K
K
j
eH
T
T
eH
eee
ekhZHeH
ZkhZH
eH
j
?
??
?
?
?
?
????
??
?
?
率的周期是序列的重复频
，则令若
是周期函数
是周期函数又
是周期函数
21,
2
.2
2
???
?
?
??
?
?
?
?
???
?
?
?
???
?
??
? ? 响应。决定了离散系统的频率同连续系统一样，
率的变化情况。用下稳态响应随信号频离散系统在正弦序列作
离散系统频率响应
义离散系统频率响应的意三
?jeH
.1
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ? ??
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
???
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
N
k
k
M
r
r
j
kk
j
j
rr
j
k
N
K
r
M
rj
jj
K
j
N
K
r
j
M
rj
K
N
K
r
M
r
k
r
eAPe
eBZe
A
B
eH
eeH
Pe
ze
eH
Pz
zz
zH
11
1
1
1
1
1
1
???
?
??
?
???
?
?
?
相位响应
于是幅度响应
则
若
频率响应的几何确定法四,
极点
零点
?
?
k
r
P
z
F动画演示
? ?zjIm
1A
2B
D
E
+1
C2A
1B
? ?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
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五, 单边指数信号作用下的稳态响应
六, 正弦信号作用下的稳态响应
