第五章：离散时间信号与系统的时域分析
Chapter5 Discrete systems
本章要点
离散时间系统的描述和模拟
离散时间系统的单位样值响应
F
F
F
F
F 抽样信号与抽样定理
常用典型序列及基本运算
离散时间系统的响应
卷积和F
引言
)(kX )(kY
激励是离散
时间信号
响应是离散
时间信号
离散系统
连续系统模拟
卷积定理
连续傅立叶变换
拉氏变换
卷积积分
微分方程
连续时间系统
离散系统模拟
卷积定理
离散傅立叶变换
变换
卷积和
差分方程
离散时间系统
Z
连续信号的数字化
?
)(tfs
5.1 抽样信号与抽样定理
)(tf
连续信号
抽样
抽样信号 数字信号
量化编码
抽样脉冲
)(tp
)(tp
)(tfs
)(tf
0 Ts t
)(tf
t0
)(tfs
)(tf
)(tfs
)(tP
电子开关
问题,
1 是否保留了原信号 的全部信
息？
2 在什么条件下，可以从 中无失
真地恢复出原连续信号？
)(tfs
)(tfs
)(tf
)(tf
)(tp
0
sT
t
?
当 时0??
??
???
???
n
sT nTtttp )()()( ????
)()()()( tptftftf ss ??的数学模型
1
)(?F
m??
0 m? ?
1
)(tf
0
)(?SF
0 ?
sT1
s?
)(??T
s?? s?
)( s?
0 ?
由频域卷积定理
)(t??
sT2? sT2ST? sT0 t
理想抽样
t
)(tfs
sT2? sT2ST? sT0 t
? ?? )(1)( sss nFTF ???
m?
ms ?? 2?
)(?SF
0 m? ?
sT1
s?s??
m?? m?0
1
)(?G
?
实际中无法实现
)]()([)(1)( ttftgtf T
s
?? ???
m?? m?
1
?
)(?F
)]()()[(
1
)()]()([
2
1
)()(
????
?
????
?
??
T
s
Ts
ss
FG
GFT
GFT
??
???
?
由时域卷积定理
)(tfs
0
t
)(tg
m?1? m?1
0
t
抽样函数
ms ?? 2?
（
mf m?
2sm???
2smff?
由此引出了著名的 香农抽样定理,对于一个有限频宽（最高频率为
或 ）信号进行理想抽样，当抽样频率
）时，抽样值唯一确定；当此抽样信号通过截止频率
c? m c s m? ? ? ?? ? ?
（ ）的理想低通滤波器后，原信号能完全重建。
时域抽样定理,一个频谱受限的信号, 如果频谱只占
据 的范围,则信号 可以用等间隔的抽样
值唯一的表示。而抽样间隔必须不大于
或者说，最低抽样频率为 。
最低抽样频率 称为“奈奎斯特频率”。
)(tf
mm ?? ~? )(tf
mf2
1
mm f?? 2?
?? ms ff 2
（其中 )
mf2
F
一、离散时间信号
1
1
2
2
3
3
4 k
)(1 kf
1 2 3 4 k
)(2 kf
数字信号 )( 均匀采样采样信号
? ?
出现的序号表示各函数值在序列中
为整数
示为，则全部信号序列可表表示为
项的第列表示，如果序列离散系统中，信号用序
k
kkkff
kf
kf
??????? )(
)(
5.2 常用典型序列及基本运算
、常用序列介绍1
?)(
)(
k?定义：
单位冲激序列1
00
01
?
?
k
k
)(k?
k
1
0 1 2
)( ik??
k
1
i0 1 2
)()()()()()( ifikifikkfk ???? ??? 的性质：
?)(
)2(
k?
单位阶跃序列
00
01
?
?
k
k
)(k?
0 1 2 3
??
1
k
)2( ?k?
0 1 2 3
??
1
k4 5
?
???
?
???
k
n
nk
kkk
)()(
)1()()(
??
???显然：
)()(
)3(
kakx k ??
单边指数序列
k
)(kx
0 1 2 3
?? kkx s in)(
)4( 正弦序列
8
2
4
?
?
?
?
?
?
? —正弦序列的角频率—
0 1 2 3
4
5 6 7 8 k
)(kx
为周期序列故 )(
s i n)s i n (
)s i n ()s i n ()()(
kx
kk
kkkxkx
???
?
???
???
???????
2
4
888
列都是周期序列。注意：并非所有正弦序
正整数，称为周期。为使上式成立的最小实
周期序列定义：
N
rNkxkx )()( ??
)s i n()s i n()s i n( ???? NkNkk ????依周期序列的定义：
列都是周期序列说明：并非所有正弦序
?
??? kNkN 2,2 ??要使上式成立：则
为非周期序列。为无理数时，当
为最小整数的值，取使为有理数时，当
序列周期令为整数时当讨论：
)(
2
)3(
222
)2(
,
2
,1,
2
)1(
kx
k
N
k
k
Nk
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
N为正整数,K为任意整数
(5) 复指数序列
? ? c o s s i njkf k e k j k? ??? ? ?
同正弦序列一样，若复指数序列是一个周期序列，则 2?
?
应为整数或有理数，否则不是周期序列。
2,序列的基本运算与波形变换
(1)．序列的相加
12( ) ( ) ( )f k f k f k??
k
0
1()fk
1 2 3- 3 - 2 - 1
1
k
0
2 ()fk
1 2 3
- 3 - 2 - 1
1
2
3
k
0
12( ) ( )f k f k?
1 2 3
- 3 - 2 - 1
1
2
3
（ a） （ b）
（ c）
序列的相加
(2)．序列的相乘
12( ) ( ) ( )f k f k f k??
k
0
1()fk
1 2 3
1?
- 1
k
0
2()fk
1 2 3
1
2
3?
- 1
k
0
12( ) ( )f k f k?
1 2 3
1
2
3?
- 1
（ a） （ b） （ c）
(3)．信号的差分
对离散时间信号而言，信号的差分运算表示的是相邻两
个序列值的变化率。定义为
前向差分,( ) ( 1 ) ( )f k f k f k? ? ? ?
后向差分,( ) ( ) ( 1 )f k f k f k? ? ? ?
(4)．序列的累加
对离散时间信号而言，信号的累加定义为
( ) ( )k
n
y k f n
? ? ?
? ?
即累加后产生的序列在 k时刻的值是原序列在该时刻及以前所有时刻的序列值之和。
k
)(kx
3? 2? 1? 0 1 2 k
)( kx ?
32? 1? 0 1 2
k
)(kx
3? 2? 1? 0 1 2 k
)( 1?kx
32? 1? 0 1 2
k
)1( ?kx
32? 1? 0 1 23?4?
序列反转)5(
序列平移)6(
右移 左移
(7),序列的尺度变换
序列的尺度变换与连续时间信号的尺度变换不同。
? ? ? ?y k f a k? （ 1a? ），是 ? ?fk a
k a
序列每隔 点取一点形成的，即时间轴
压缩了 倍。
k
0
()fk
1
321
.?
- 1
k
0
(2 )fk
1
321
.
.,
?
- 1
? ? ? ?y k f ak? 01a?? ? ?fk 1 1a?????
??
k 1a
（ ），是 序列每两相邻序列值之间加
个零值点形成的，即时间轴 扩展了 倍。
k
0
()fk
1
321
.?
- 1
k
0
()2kf
1
654321
.?
- 1
(8) 信号的分解
)()()( mkmxkx
m
?? ?
?
???
?
? ?? t dtxtx 0 )()()( ????
比较
(9) 序列的能量
2
)(?
?
???
?
??
k
kx
主要讨论线性非移变系统。
线性系统：
if
)()( 11 kk ye ?
)()()()( 22112211 kkkk ycycecec ???
then
)(2)(2 kk ye ?
二 离散时间系统
非移变系统
)()( kk ye ?
)()( ikyike ???
If
then
离散时间系统
线性
非线性
时不变
时变
5.3 离散时间系统的描述和模拟
最常用的是“线性,时不变系统”
)()( 2211 kk xcxc ? LTI )()( 2211 kk ycyc ?
LTI
)(1 kx )(1 kyLTI LTI)(2 kx )(2 ky
LTI)(kx )(ky )( Nkx ? )( Nky ?
一 线性时不变系统的特性
二, 离散时间系统的数学描述 — 差分方程
? 例 1,求图示 RC低通网络的响应 y(n) 所满足的差分
方程
)(nTx
T2T0
t
)(nTy
0 T tT3T2 T4
)(nTx )(nTy
? ?
??
R
c
)()()( txtydt tdyRC ???
当 T足够小时，
T
nTyTny
dt
tdy )(])[()( ??? 1
)()()(])[( nTxnTyT nTyTnyRC ????? 1
)()()()( nxnyT nynyRC ????? 1
)()()()( nxRCTnyRCTny ???? 11
利用计算机来求解
微分方程就是根据
这一原理来实现的
)()(
)()(
nynTy
nxnTx
简写
简写
?
?
)()()()(
)()()()(
)()()()(
1112
0011
1110
x
RC
T
y
RC
T
y
x
RC
T
y
RC
T
y
x
RC
T
y
RC
T
y
???
???
?????
这一递归关系式称为常系数差分方程,因 y(n)自 n以递增方式给出，
称为前向形式的差分方程,否则为后向形式的差分方程。
，故为一阶差分方程。的阶数。此例中
之差称为差分方程式的最高序号与最低序号未知序列
11 ??? nn
ny
)(
)(
)()(41)1(21)2( nxnynyny ?????前向差分
)()2(41)1(21)( nxnynyny ?????后向差分方程
)(kx )1( ?kxD
（ a）单位延时器
?
)(kx )(kax
a
?)(kx
)()( kykx ?
)(ky
（ b）加法器
a
)(kx )(kax
)(kx a )(kax
（ c）标量乘法器
二 离散时间系统的模拟
1,基本模拟元件
2．一阶系统的描述与模拟
描述一阶系统的后向差分方程为 0( ) ( 1 ) ( )y k a y k e k? ? ?
描述一阶系统的前向差分方程为
0( 1 ) ( ) ( )y k a y k e k? ? ?
()ek ()ykD? 0a??
()ek ()ykD? 0a??( 1 )?yk
3,N 阶系统后向差分方程的描述与模拟
对于描述一个 n阶系统的后向差分方程
10( ) ( 1 ) ( ) ( )ny k a y k a y k n e k?? ? ? ? ? ?
可改写为
10( ) ( ) ( 1 ) ( )ny k e k a y k a y k n?? ? ? ? ? ?
可得其模拟框图，如下图所示。
()ek ()ykD?
0a?
D
11n
a ???
4,N 阶系统前向差分方程的描述与模拟
对于描述一个 n阶系统的前向差分方程
10( ) ( 1 ) ( ) ( )ny k n a y k n a y k e k?? ? ? ? ? ? ?
可改写为
10( ) ( ) ( 1 ) ( )ny k n e k a y k n a y k?? ? ? ? ? ? ?
可得其模拟框图，如下图所示。
()ek ()ykD?
0a?
D
11na ??
?( 1 )?yk??()?y k n
若描述系统的差分方程中含有输入函数的移位项，如
1 0 1 0( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( 1 ) ( )n m my k n a y k n a y k b e k m b e k m b e k??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ()qk且 m n 时，需引入一个辅助函数,使其满足
? ?10( ) ( 1 ) ( )nq k n a q k n a q k e k?? ? ? ? ? ? ?
? ? 10( ) ( 1 ) ( )mmy k b q k m b q k m b q k?? ? ? ? ? ? ?
就有
于是，其模拟图如下图所示。
()ek D?
0a?
D
1a?
1na ??
? 0b ?1?nb? 1b ()yk?()qk( 1 )??q k n()?q k n( 1 )?qk
一般 n阶 系 统 的模 拟图
一个系统的模拟图与描述其系统的差分方程一一对应，因此可由系统的差分方程作出模拟图，也可
由模拟图求出描述系统的差分方程。
程。，写出该系统的差分方、某离散系统如图所示例 2
)(nx
)(ny
?
)( 1?ny
D D
)( 2?ny
4
1
21? ?
?
)(a
)(b
)(nx
)(ny
?
)1( ?ny
D D
)2( ?ny
4
1
21? ?
?
后向差分方程
为二阶差分方程2)2(
)()2(
4
1
)1(
2
1
)(
)2(
4
1
)1(
2
1
)()()(
???
?????
?????
nn
nxnynyny
nynynxnya
（前向差分）二阶差分方程,
)()(
4
1
)1(
2
1
)2(
)(
4
1
)1(
2
1
)()2()(
nxnynyny
nynynxnyb
?????
?????
图输出延时两位。
图较下，响应形式相同，但有所不同。在相同输入
端别，仅输出信号的取出这两个系统没有本质区讨论：
)()( ab
1
数字滤波器描述）。
差分方程比较方便（如、一般因果系统用后向2
程。惯用前向形式的差分方、在状态变量分析中习3
似。方法与后向差分方程类、前向差分方程的求解4
)()()()(
)()()()(
kyakyakxky
kxkyakyaky
01
01
12
12
?????
?????
、差分方程的模拟。例 3
)(kx
)(ky
?
)1( ?ky
D D
)2( ?ky
?
1a?
0a?
一,常系数线性差分方程的求解
一般形式
)(.,,,)1()(
)(.,,,,)1()(
01
01
mkebkebkeb
nkyakyaky
mm
n
?????
?????
?
?
简写成
? ? ???
? ?
n
i
m
j
jkebikya ji
0 0
)()(
其中
1?na
5.4 离散时间系统的响应
4、变换域法（ Z变换法）
逐次代入求解,概念清楚,比较简便,适用于计算机，
缺点是不能得出通式解答。
1、迭代法
2、时域经典法
3、全响应＝零输入响应＋零状态响应
零输入响应求解与齐次通解方法相同
零状态响应求解利用卷积和法求解，十分重要
求解过程比较麻烦,不宜采用。
求解常系数线性差分方程的方法一般有以下几种
全响应＝齐次通解 ＋ 特解
自由响应 强迫响应
二,齐次通解
例 1：一阶齐次方程的解
0)()1( 0 ??? kyaky
由原方程得：
?
?
?
?
?
?
?
??
????
??
k
ayky
ayayy
ayy
))(0()(
))(0())(1()2(
))(0()1(
0
2
00
0
?
解,方法一（ 迭代法）
0)(
)1( a
ky
ky ???? )(ky?
0a?
kacky )()( 0???
cacy ??? 00 )()0(
)0(yc ?
的几何级数
方法二：
故
c是待定常数，有边界条件决定
是个公比为
方法三：
对应特征方程为
0)()1( 0 ??? kyaky
00 ?? a?
0a???
特征根
kacky )()( 0??? 齐次通解
Ay ?)0( Ac?已知 则
kc??
kk
kr
r
kr
r
ckc
kckc
??
??
01
2
1
1
1
???
? ????
?
)(ky
?? jpejba ?? ??2,1
特征根
单实根
重实根
齐次解
?
)c o s (
]s inc o s[
??
??
?
?
kAp
kDkcp
k
k
或
不同特征根所对应的齐次解
r
。已知边界条件
－
次解：求下示差分方程的齐例
1)5(,1)3(,0)2(,1)1(
0)4()3(2)2(2)1(2)(
2
????
????????
yyyy
kykykykyky
011
01222
22
234
???
?????
)()( ??
????解：特征方程：
)(,
)(1
43
21
共轭复根
重根特征根
jj ???
??
??
??
)(,
)
2
s in ()
2
c o s (
)()()1)(()(
4343
21
2
4
2
321
4321
ccjQccP
k
Q
k
Pckc
ececckc
jcjcckcky
jkjk
kkk
????
????
????
??????
?
??
??
利用边界条件得
Qccy
Qccy
Pccy
Qccy
????
????
????
????
21
21
21
21
5)5(1
3)3(1
2)2(0
)1(1
0,1,1,0 21 ???? QPcc求解得
)c o s ()( 21 ?kky ??故
稳定。，从而可判断系统是否决定了系统的时域特性
在复平面的分布可知，特征根从以上求解零输入响应 ?
km
m
m
m
kkkm
m
km
m
jkkj
k
ckckckc
ckckckcm
ece
c
?
?????
???
??
?? ??
)( 01
2
2
1
1
01
2
2
1
1
?????
?????
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?齐次解重根特征根是
齐次解特征根是复根
齐次解特征根是单实根
圆内。值确定的点是否在单位看故系统是否稳定，就是
统不稳定。则响应是增长变化，系
统稳定。则响应是衰减变化，系当
?
?
?
,
,
1
1
?
?
例,求下列差分方程的完全解
)1()()1(2)( ????? kxkxkyky
其中激励函数, 且已知
2)( kkx ? 1)1( ???y
解,特征方程, 02 ??? 2???
齐次通解,
kc )2(?
将 代入方程右端,得)(kx
三,特解
12)1()1()( 22 ??????? kkkkxkx
设特解为 形式,代入方程得
21 DkD ?
12])1([2 221 1 ?????? KDkDDkD
比较两边系数得
?
?
?
???
?
123
23
12
1
DD
D 解得
321 ?D 912 ?D
完全解为
9
1
3
2)2()( ???? kcky k
代入边界条件, 求1)1( ???y c
9
1)1(
3
2)2(1 1 ??????? ?c
9
8?c
得
9
1
3
2)2(
9
8)( ???? kky k
一般情况不同激励所对应的特解
激励 特解
)(kf
)(ky
mk
][ 0111
01
1
1
pkpkpkpk
pkpkpkp
m
m
m
m
r
m
m
m
m
???
????
?
?
?
? ?
ka
kkkr
r
kr
r
kk
k
apkapakpakp
apkap
pa
01
1
1
01
????
?
?
? ?
特征根 1?
r重等于 1的特征根
特征根
特征单根
?a
?a
ra ? 重特征根
例 5.2 描述一个线性时不变离散时间系统的差分方程为
? ? ? ? ? ? ? ?2 1 2 2 ky k y k y k k?? ? ? ? ?
? ? ? ?0 1 2yy??且初始状态,求系统的响应。
解：特征方程 2 2 1 0??? ? ? 特征根为
1,2 1? ?
由此可得出齐次解的形式为
10()hy k C k C??
根据激励函数的形式及齐次方程的特征根，确定特解的形式。
当激励 ? ? ? ?2kf k k?? 时,特解为 ? ?( ) 2 kpy k p?
将特解代入原差分方程，得 ? ? ? ? ? ?122 2 2 2 2k k k kp p p??? ? ?
通过平衡方程两边系数，求出特解的系数 4p?,得出特解
? ?( ) 4 2 kpyk ?
从而系统的全解 ? ?
10( ) ( ) ( ) 4 2 khpy k y k y k C k C? ? ? ? ?
将系统的初始状态代入方程的全解，即
? ?
? ? ? ?
0
1
10
0 4 2
1 4 2 2
yC
y C C
? ? ?
? ? ? ?
从而求出齐次解的系数为
012,4CC? ? ? ?
则系统的响应就是方程的全解，即
? ?( ) ( ) ( ) 4 2 4 2,0khpy k y k y k k k? ? ? ? ? ? ?
与连续时间系统时域分析类似，离散时间系统响应中，齐次解的形
式仅依赖于系统本身的特征，而与激励信号的形式无关，因此在系统分
析中 齐次解 常称为系统的 自由响应 或固有响应。但应注意齐次解的系数
是与激励有关的。 特解 的形式取决于激励信号，常称为 强迫响应。
四．零输入响应和零状态响应 (自学）
( ) ( ) ( )zi zsy k y k y k??
? ? ? ? ? ?
1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
ii
n n n
k k k
z i z s i i p z i i z s i p
i i i
y k y k y k C y k C C y k? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ? ? ?? ? ?
自 由 响 应 零 输 入 响 应强 迫 响 应
零 状 态 响 应
? ? ? ? ? ?
1 1 1 i
n n nk k k
i i z i i z s i
i i i
C C C? ? ?
? ? ?
??? ? ?
零输入响应 零状态响应
（二） 离散时间系统的单位函数响应
例 1,系统的差分方程式为
求系统的单位样值响应
解,
)()3()2(3)1(3)( kxkykykyky ???????
)()3()2(3)1(3)( kkhkhkhkh ????????
（零状态）
单位冲激响应
??
?
化为零输入响应
迭代法求出
5.5 离散时间系统的单位样值响应 ? ?hk
(1)求齐次解 特征方程
三重根
0133 23 ???? ???
1321 ??? ???
齐次解
321
2 ckckc ??
（ 2） 由初始条件,求 1C 2C 3C
由零状态
??? 1)0()0( ?h 激励作用化为一个起始条件
?
?
?
?
?
???
???
?
321
321
3
240
0
1
ccc
ccc
c
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
2
3
2
1
3
2
1
c
c
c
,0)1()2( ???? hh
（ 3） ?)(kh
?
?
?
??
?
?
??
0
23
2
1 2
)( kk
0
0
?
?
h
h
例 2,已知系统的差分方程模型
)2(3)()2(6)1(5)( ??????? kxkxkykyky
求系统的单位样值响应。
解, （ 1） 求齐次解
3,2065 212 ????? ????
齐次解为
nn cc 23 21 ?
（ 2） 假设只有 x(k)作用,求对应响应
)(1 kh
0)1(,1)0( 11 ??? hh
?
?
?
?
?
?
?
??
??
21
21
2
1
3
1
0
1
cc
cc
??
?
??
?
2
3
2
1
c
c
?)(1 kh
?
?
?
?
?? ??
)0(0
)0(23 11
k
kkk
（ 3） 只考虑 项的作用,求
由线性时不变性
)2(3 ?? kx )(
2 kh
???? )2(3)( 12 khkh
??
?
?
?
?
??? ??
)2(0
)2()23(3 11
k
kkk
（ 4） )()()()( khkhkxkx
2123 ????
)()()()(
)()()]()()()[(
)()()()(
)()()(
223215
22332123
223323
1
1111
1111
21
???????
?????????
?????
??
?
????
????
kkk
kkkk
kk
khkhkh
kk
kkkk
kkkk
???
????
??
讨论,1,离散 LTI系统作为因果系统的充要条件是 （当 k<0时）
2,稳定系统的充要条件是 h(k)绝对可和,即
0)( ?kh
???
?
???k
kh )(
)(kx
)()( kykx ?
??
???
???
m
ikhixky )()()(
??
???
??
m
ikxih )()(
称为卷积和
2、由线性时不变性,得
5.6 卷积和
1,任意激励信号 可以表示为单位样值加权取和的形式
??
???
??
i
ikixkx )()()( ?
设
)(k? )(kh
LTI
一、卷积和的定义
简记为 ? ???? )()()()()( ikhixkhkxky
??
??
??? )()()(*)( ikxihkxkh
卷积和运算满足交换律,分配律,结合律
)()()( kxkxk ???
（ 1）交换律 ? ? ? ? ? ? ? ?
1 2 2 1f k f k f k f k? ? ?
（ 2）结合律 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 3 1 2 3f k f k f k f k f k f k? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?
（ 3）分配律 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
1 2 3 1 2 1 3f k f k f k f k f k f k f k? ? ? ? ? ?????
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 2
i
f k f k f k f i f k i?
? ? ?
? ? ? ??
?
?
? ??
?
?
其余
式中计算：已知序列例
0
2,1,01
)(
).(*)()(),(),(1
1
2121
kk
kf
kfkfkfkfkf
??
? ??
其余0
3,2,1,01)(
2
kkf
用图示的方法求卷积和：反褶，平移，相乘，取和
-1 1 2
)(1 kf
i
2
3
1
-1 1 2
)(2 kf
i43
1
二、卷积和的计算方法
1．图解法
-1 1-2
)(2 if ?
i-4 -3
1
反褶
-1 1-2
)1(2 if ?
i-3
1
-1 1-2
)2(2 if ?
i
1
2
解：
0?k 1?k
2?k
平移
平移
2 31
)5(2 if ?
i4 5
5?k
平移
2 3 6
)6(2 if ?
i4 5
6?k
)(*)( 21 kfkf
2 3 6 k4 51
5
3
66
3
1
相乘，取和
-1 1 2
)(1 if
i
2
3
1
-1 1-2
)(2 if ?
i-4 -3
1 0?k
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 2
i
f k f k f k f i f k i?
? ? ?
? ? ? ??
例 1,已知某离散系统的单位序列响应
试求当激励 时,系统的零状态响 应
)()21()( kkh k ??
)()( kkf ?? )(kyzs
解,由于 时,,, 故 和
均称为因果序列。 由卷积和公式得
0?k 0)( ?kf 0)( ?kh )(kf
)(kh
??
??
???? )()()()()( mkfmhkfkhky zs
2．解析法
图解法较为直观，但难以得到闭合形式的解，而解析法可以解决这个问题。通常是
利用数列求和公式，求得序列的卷积和。表 5.2中列出了几种常用序列的卷积和。
解,由于 时,,, 故 和
均称为因果序列。 由卷积和公式得
0?k 0)( ?kf 0)( ?kh )(kf
)(kh
??
??
???? )()()()()( mkfmhkfkhky zs
])
2
1
(1[2
)
2
1
(1
)
2
1
(1
)
2
1
(
)()()
2
1
()()(
1
1
0
0 0
?
?
?
? ?
??
?
?
??
????
?
? ?
k
k
k
m
m
m
k
m
k
m
mkmmkfmh ??
0?k
数列求和
离散时间系统与连续时域分析法的比较
1、数学模型
微分方程 差分方程
2、分析线性时不变系统的基础
叠加性和齐次性，时不变性
全响应＝零输入＋零状态
＝齐次通解＋特解
3、两种系统的特征根的意义不尽相同。
对于连续系统，特征根出现在指数函数的幂数中，稳定的
系统特征根是位于 s平面的左半平内，对于离散系统，特
征根出现在指数函数的底数，稳定的系统特征根位于 z平
面中的系统圆内。
4、零状态响应
? ????
??
)()()()()(
)()()(
mkxmhkhkxky
thtetr
连续系统
离散系统
科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果
说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么
这种“偶然的机遇”只能给那些学有素养的人，给
那些善于独立思考的人，给那些具有锲而不舍的
精神的人，而不会给懒汉。
---华罗庚（中国）
Chapter5 Discrete systems
本章要点
离散时间系统的描述和模拟
离散时间系统的单位样值响应
F
F
F
F
F 抽样信号与抽样定理
常用典型序列及基本运算
离散时间系统的响应
卷积和F
引言
)(kX )(kY
激励是离散
时间信号
响应是离散
时间信号
离散系统
连续系统模拟
卷积定理
连续傅立叶变换
拉氏变换
卷积积分
微分方程
连续时间系统
离散系统模拟
卷积定理
离散傅立叶变换
变换
卷积和
差分方程
离散时间系统
Z
连续信号的数字化
?
)(tfs
5.1 抽样信号与抽样定理
)(tf
连续信号
抽样
抽样信号 数字信号
量化编码
抽样脉冲
)(tp
)(tp
)(tfs
)(tf
0 Ts t
)(tf
t0
)(tfs
)(tf
)(tfs
)(tP
电子开关
问题,
1 是否保留了原信号 的全部信
息？
2 在什么条件下，可以从 中无失
真地恢复出原连续信号？
)(tfs
)(tfs
)(tf
)(tf
)(tp
0
sT
t
?
当 时0??
??
???
???
n
sT nTtttp )()()( ????
)()()()( tptftftf ss ??的数学模型
1
)(?F
m??
0 m? ?
1
)(tf
0
)(?SF
0 ?
sT1
s?
)(??T
s?? s?
)( s?
0 ?
由频域卷积定理
)(t??
sT2? sT2ST? sT0 t
理想抽样
t
)(tfs
sT2? sT2ST? sT0 t
? ?? )(1)( sss nFTF ???
m?
ms ?? 2?
)(?SF
0 m? ?
sT1
s?s??
m?? m?0
1
)(?G
?
实际中无法实现
)]()([)(1)( ttftgtf T
s
?? ???
m?? m?
1
?
)(?F
)]()()[(
1
)()]()([
2
1
)()(
????
?
????
?
??
T
s
Ts
ss
FG
GFT
GFT
??
???
?
由时域卷积定理
)(tfs
0
t
)(tg
m?1? m?1
0
t
抽样函数
ms ?? 2?
（
mf m?
2sm???
2smff?
由此引出了著名的 香农抽样定理,对于一个有限频宽（最高频率为
或 ）信号进行理想抽样，当抽样频率
）时，抽样值唯一确定；当此抽样信号通过截止频率
c? m c s m? ? ? ?? ? ?
（ ）的理想低通滤波器后，原信号能完全重建。
时域抽样定理,一个频谱受限的信号, 如果频谱只占
据 的范围,则信号 可以用等间隔的抽样
值唯一的表示。而抽样间隔必须不大于
或者说，最低抽样频率为 。
最低抽样频率 称为“奈奎斯特频率”。
)(tf
mm ?? ~? )(tf
mf2
1
mm f?? 2?
?? ms ff 2
（其中 )
mf2
F
一、离散时间信号
1
1
2
2
3
3
4 k
)(1 kf
1 2 3 4 k
)(2 kf
数字信号 )( 均匀采样采样信号
? ?
出现的序号表示各函数值在序列中
为整数
示为，则全部信号序列可表表示为
项的第列表示，如果序列离散系统中，信号用序
k
kkkff
kf
kf
??????? )(
)(
5.2 常用典型序列及基本运算
、常用序列介绍1
?)(
)(
k?定义：
单位冲激序列1
00
01
?
?
k
k
)(k?
k
1
0 1 2
)( ik??
k
1
i0 1 2
)()()()()()( ifikifikkfk ???? ??? 的性质：
?)(
)2(
k?
单位阶跃序列
00
01
?
?
k
k
)(k?
0 1 2 3
??
1
k
)2( ?k?
0 1 2 3
??
1
k4 5
?
???
?
???
k
n
nk
kkk
)()(
)1()()(
??
???显然：
)()(
)3(
kakx k ??
单边指数序列
k
)(kx
0 1 2 3
?? kkx s in)(
)4( 正弦序列
8
2
4
?
?
?
?
?
?
? —正弦序列的角频率—
0 1 2 3
4
5 6 7 8 k
)(kx
为周期序列故 )(
s i n)s i n (
)s i n ()s i n ()()(
kx
kk
kkkxkx
???
?
???
???
???????
2
4
888
列都是周期序列。注意：并非所有正弦序
正整数，称为周期。为使上式成立的最小实
周期序列定义：
N
rNkxkx )()( ??
)s i n()s i n()s i n( ???? NkNkk ????依周期序列的定义：
列都是周期序列说明：并非所有正弦序
?
??? kNkN 2,2 ??要使上式成立：则
为非周期序列。为无理数时，当
为最小整数的值，取使为有理数时，当
序列周期令为整数时当讨论：
)(
2
)3(
222
)2(
,
2
,1,
2
)1(
kx
k
N
k
k
Nk
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
N为正整数,K为任意整数
(5) 复指数序列
? ? c o s s i njkf k e k j k? ??? ? ?
同正弦序列一样，若复指数序列是一个周期序列，则 2?
?
应为整数或有理数，否则不是周期序列。
2,序列的基本运算与波形变换
(1)．序列的相加
12( ) ( ) ( )f k f k f k??
k
0
1()fk
1 2 3- 3 - 2 - 1
1
k
0
2 ()fk
1 2 3
- 3 - 2 - 1
1
2
3
k
0
12( ) ( )f k f k?
1 2 3
- 3 - 2 - 1
1
2
3
（ a） （ b）
（ c）
序列的相加
(2)．序列的相乘
12( ) ( ) ( )f k f k f k??
k
0
1()fk
1 2 3
1?
- 1
k
0
2()fk
1 2 3
1
2
3?
- 1
k
0
12( ) ( )f k f k?
1 2 3
1
2
3?
- 1
（ a） （ b） （ c）
(3)．信号的差分
对离散时间信号而言，信号的差分运算表示的是相邻两
个序列值的变化率。定义为
前向差分,( ) ( 1 ) ( )f k f k f k? ? ? ?
后向差分,( ) ( ) ( 1 )f k f k f k? ? ? ?
(4)．序列的累加
对离散时间信号而言，信号的累加定义为
( ) ( )k
n
y k f n
? ? ?
? ?
即累加后产生的序列在 k时刻的值是原序列在该时刻及以前所有时刻的序列值之和。
k
)(kx
3? 2? 1? 0 1 2 k
)( kx ?
32? 1? 0 1 2
k
)(kx
3? 2? 1? 0 1 2 k
)( 1?kx
32? 1? 0 1 2
k
)1( ?kx
32? 1? 0 1 23?4?
序列反转)5(
序列平移)6(
右移 左移
(7),序列的尺度变换
序列的尺度变换与连续时间信号的尺度变换不同。
? ? ? ?y k f a k? （ 1a? ），是 ? ?fk a
k a
序列每隔 点取一点形成的，即时间轴
压缩了 倍。
k
0
()fk
1
321
.?
- 1
k
0
(2 )fk
1
321
.
.,
?
- 1
? ? ? ?y k f ak? 01a?? ? ?fk 1 1a?????
??
k 1a
（ ），是 序列每两相邻序列值之间加
个零值点形成的，即时间轴 扩展了 倍。
k
0
()fk
1
321
.?
- 1
k
0
()2kf
1
654321
.?
- 1
(8) 信号的分解
)()()( mkmxkx
m
?? ?
?
???
?
? ?? t dtxtx 0 )()()( ????
比较
(9) 序列的能量
2
)(?
?
???
?
??
k
kx
主要讨论线性非移变系统。
线性系统：
if
)()( 11 kk ye ?
)()()()( 22112211 kkkk ycycecec ???
then
)(2)(2 kk ye ?
二 离散时间系统
非移变系统
)()( kk ye ?
)()( ikyike ???
If
then
离散时间系统
线性
非线性
时不变
时变
5.3 离散时间系统的描述和模拟
最常用的是“线性,时不变系统”
)()( 2211 kk xcxc ? LTI )()( 2211 kk ycyc ?
LTI
)(1 kx )(1 kyLTI LTI)(2 kx )(2 ky
LTI)(kx )(ky )( Nkx ? )( Nky ?
一 线性时不变系统的特性
二, 离散时间系统的数学描述 — 差分方程
? 例 1,求图示 RC低通网络的响应 y(n) 所满足的差分
方程
)(nTx
T2T0
t
)(nTy
0 T tT3T2 T4
)(nTx )(nTy
? ?
??
R
c
)()()( txtydt tdyRC ???
当 T足够小时，
T
nTyTny
dt
tdy )(])[()( ??? 1
)()()(])[( nTxnTyT nTyTnyRC ????? 1
)()()()( nxnyT nynyRC ????? 1
)()()()( nxRCTnyRCTny ???? 11
利用计算机来求解
微分方程就是根据
这一原理来实现的
)()(
)()(
nynTy
nxnTx
简写
简写
?
?
)()()()(
)()()()(
)()()()(
1112
0011
1110
x
RC
T
y
RC
T
y
x
RC
T
y
RC
T
y
x
RC
T
y
RC
T
y
???
???
?????
这一递归关系式称为常系数差分方程,因 y(n)自 n以递增方式给出，
称为前向形式的差分方程,否则为后向形式的差分方程。
，故为一阶差分方程。的阶数。此例中
之差称为差分方程式的最高序号与最低序号未知序列
11 ??? nn
ny
)(
)(
)()(41)1(21)2( nxnynyny ?????前向差分
)()2(41)1(21)( nxnynyny ?????后向差分方程
)(kx )1( ?kxD
（ a）单位延时器
?
)(kx )(kax
a
?)(kx
)()( kykx ?
)(ky
（ b）加法器
a
)(kx )(kax
)(kx a )(kax
（ c）标量乘法器
二 离散时间系统的模拟
1,基本模拟元件
2．一阶系统的描述与模拟
描述一阶系统的后向差分方程为 0( ) ( 1 ) ( )y k a y k e k? ? ?
描述一阶系统的前向差分方程为
0( 1 ) ( ) ( )y k a y k e k? ? ?
()ek ()ykD? 0a??
()ek ()ykD? 0a??( 1 )?yk
3,N 阶系统后向差分方程的描述与模拟
对于描述一个 n阶系统的后向差分方程
10( ) ( 1 ) ( ) ( )ny k a y k a y k n e k?? ? ? ? ? ?
可改写为
10( ) ( ) ( 1 ) ( )ny k e k a y k a y k n?? ? ? ? ? ?
可得其模拟框图，如下图所示。
()ek ()ykD?
0a?
D
11n
a ???
4,N 阶系统前向差分方程的描述与模拟
对于描述一个 n阶系统的前向差分方程
10( ) ( 1 ) ( ) ( )ny k n a y k n a y k e k?? ? ? ? ? ? ?
可改写为
10( ) ( ) ( 1 ) ( )ny k n e k a y k n a y k?? ? ? ? ? ? ?
可得其模拟框图，如下图所示。
()ek ()ykD?
0a?
D
11na ??
?( 1 )?yk??()?y k n
若描述系统的差分方程中含有输入函数的移位项，如
1 0 1 0( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( 1 ) ( )n m my k n a y k n a y k b e k m b e k m b e k??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ()qk且 m n 时，需引入一个辅助函数,使其满足
? ?10( ) ( 1 ) ( )nq k n a q k n a q k e k?? ? ? ? ? ? ?
? ? 10( ) ( 1 ) ( )mmy k b q k m b q k m b q k?? ? ? ? ? ? ?
就有
于是，其模拟图如下图所示。
()ek D?
0a?
D
1a?
1na ??
? 0b ?1?nb? 1b ()yk?()qk( 1 )??q k n()?q k n( 1 )?qk
一般 n阶 系 统 的模 拟图
一个系统的模拟图与描述其系统的差分方程一一对应，因此可由系统的差分方程作出模拟图，也可
由模拟图求出描述系统的差分方程。
程。，写出该系统的差分方、某离散系统如图所示例 2
)(nx
)(ny
?
)( 1?ny
D D
)( 2?ny
4
1
21? ?
?
)(a
)(b
)(nx
)(ny
?
)1( ?ny
D D
)2( ?ny
4
1
21? ?
?
后向差分方程
为二阶差分方程2)2(
)()2(
4
1
)1(
2
1
)(
)2(
4
1
)1(
2
1
)()()(
???
?????
?????
nn
nxnynyny
nynynxnya
（前向差分）二阶差分方程,
)()(
4
1
)1(
2
1
)2(
)(
4
1
)1(
2
1
)()2()(
nxnynyny
nynynxnyb
?????
?????
图输出延时两位。
图较下，响应形式相同，但有所不同。在相同输入
端别，仅输出信号的取出这两个系统没有本质区讨论：
)()( ab
1
数字滤波器描述）。
差分方程比较方便（如、一般因果系统用后向2
程。惯用前向形式的差分方、在状态变量分析中习3
似。方法与后向差分方程类、前向差分方程的求解4
)()()()(
)()()()(
kyakyakxky
kxkyakyaky
01
01
12
12
?????
?????
、差分方程的模拟。例 3
)(kx
)(ky
?
)1( ?ky
D D
)2( ?ky
?
1a?
0a?
一,常系数线性差分方程的求解
一般形式
)(.,,,)1()(
)(.,,,,)1()(
01
01
mkebkebkeb
nkyakyaky
mm
n
?????
?????
?
?
简写成
? ? ???
? ?
n
i
m
j
jkebikya ji
0 0
)()(
其中
1?na
5.4 离散时间系统的响应
4、变换域法（ Z变换法）
逐次代入求解,概念清楚,比较简便,适用于计算机，
缺点是不能得出通式解答。
1、迭代法
2、时域经典法
3、全响应＝零输入响应＋零状态响应
零输入响应求解与齐次通解方法相同
零状态响应求解利用卷积和法求解，十分重要
求解过程比较麻烦,不宜采用。
求解常系数线性差分方程的方法一般有以下几种
全响应＝齐次通解 ＋ 特解
自由响应 强迫响应
二,齐次通解
例 1：一阶齐次方程的解
0)()1( 0 ??? kyaky
由原方程得：
?
?
?
?
?
?
?
??
????
??
k
ayky
ayayy
ayy
))(0()(
))(0())(1()2(
))(0()1(
0
2
00
0
?
解,方法一（ 迭代法）
0)(
)1( a
ky
ky ???? )(ky?
0a?
kacky )()( 0???
cacy ??? 00 )()0(
)0(yc ?
的几何级数
方法二：
故
c是待定常数，有边界条件决定
是个公比为
方法三：
对应特征方程为
0)()1( 0 ??? kyaky
00 ?? a?
0a???
特征根
kacky )()( 0??? 齐次通解
Ay ?)0( Ac?已知 则
kc??
kk
kr
r
kr
r
ckc
kckc
??
??
01
2
1
1
1
???
? ????
?
)(ky
?? jpejba ?? ??2,1
特征根
单实根
重实根
齐次解
?
)c o s (
]s inc o s[
??
??
?
?
kAp
kDkcp
k
k
或
不同特征根所对应的齐次解
r
。已知边界条件
－
次解：求下示差分方程的齐例
1)5(,1)3(,0)2(,1)1(
0)4()3(2)2(2)1(2)(
2
????
????????
yyyy
kykykykyky
011
01222
22
234
???
?????
)()( ??
????解：特征方程：
)(,
)(1
43
21
共轭复根
重根特征根
jj ???
??
??
??
)(,
)
2
s in ()
2
c o s (
)()()1)(()(
4343
21
2
4
2
321
4321
ccjQccP
k
Q
k
Pckc
ececckc
jcjcckcky
jkjk
kkk
????
????
????
??????
?
??
??
利用边界条件得
Qccy
Qccy
Pccy
Qccy
????
????
????
????
21
21
21
21
5)5(1
3)3(1
2)2(0
)1(1
0,1,1,0 21 ???? QPcc求解得
)c o s ()( 21 ?kky ??故
稳定。，从而可判断系统是否决定了系统的时域特性
在复平面的分布可知，特征根从以上求解零输入响应 ?
km
m
m
m
kkkm
m
km
m
jkkj
k
ckckckc
ckckckcm
ece
c
?
?????
???
??
?? ??
)( 01
2
2
1
1
01
2
2
1
1
?????
?????
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?齐次解重根特征根是
齐次解特征根是复根
齐次解特征根是单实根
圆内。值确定的点是否在单位看故系统是否稳定，就是
统不稳定。则响应是增长变化，系
统稳定。则响应是衰减变化，系当
?
?
?
,
,
1
1
?
?
例,求下列差分方程的完全解
)1()()1(2)( ????? kxkxkyky
其中激励函数, 且已知
2)( kkx ? 1)1( ???y
解,特征方程, 02 ??? 2???
齐次通解,
kc )2(?
将 代入方程右端,得)(kx
三,特解
12)1()1()( 22 ??????? kkkkxkx
设特解为 形式,代入方程得
21 DkD ?
12])1([2 221 1 ?????? KDkDDkD
比较两边系数得
?
?
?
???
?
123
23
12
1
DD
D 解得
321 ?D 912 ?D
完全解为
9
1
3
2)2()( ???? kcky k
代入边界条件, 求1)1( ???y c
9
1)1(
3
2)2(1 1 ??????? ?c
9
8?c
得
9
1
3
2)2(
9
8)( ???? kky k
一般情况不同激励所对应的特解
激励 特解
)(kf
)(ky
mk
][ 0111
01
1
1
pkpkpkpk
pkpkpkp
m
m
m
m
r
m
m
m
m
???
????
?
?
?
? ?
ka
kkkr
r
kr
r
kk
k
apkapakpakp
apkap
pa
01
1
1
01
????
?
?
? ?
特征根 1?
r重等于 1的特征根
特征根
特征单根
?a
?a
ra ? 重特征根
例 5.2 描述一个线性时不变离散时间系统的差分方程为
? ? ? ? ? ? ? ?2 1 2 2 ky k y k y k k?? ? ? ? ?
? ? ? ?0 1 2yy??且初始状态,求系统的响应。
解：特征方程 2 2 1 0??? ? ? 特征根为
1,2 1? ?
由此可得出齐次解的形式为
10()hy k C k C??
根据激励函数的形式及齐次方程的特征根，确定特解的形式。
当激励 ? ? ? ?2kf k k?? 时,特解为 ? ?( ) 2 kpy k p?
将特解代入原差分方程，得 ? ? ? ? ? ?122 2 2 2 2k k k kp p p??? ? ?
通过平衡方程两边系数，求出特解的系数 4p?,得出特解
? ?( ) 4 2 kpyk ?
从而系统的全解 ? ?
10( ) ( ) ( ) 4 2 khpy k y k y k C k C? ? ? ? ?
将系统的初始状态代入方程的全解，即
? ?
? ? ? ?
0
1
10
0 4 2
1 4 2 2
yC
y C C
? ? ?
? ? ? ?
从而求出齐次解的系数为
012,4CC? ? ? ?
则系统的响应就是方程的全解，即
? ?( ) ( ) ( ) 4 2 4 2,0khpy k y k y k k k? ? ? ? ? ? ?
与连续时间系统时域分析类似，离散时间系统响应中，齐次解的形
式仅依赖于系统本身的特征，而与激励信号的形式无关，因此在系统分
析中 齐次解 常称为系统的 自由响应 或固有响应。但应注意齐次解的系数
是与激励有关的。 特解 的形式取决于激励信号，常称为 强迫响应。
四．零输入响应和零状态响应 (自学）
( ) ( ) ( )zi zsy k y k y k??
? ? ? ? ? ?
1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
ii
n n n
k k k
z i z s i i p z i i z s i p
i i i
y k y k y k C y k C C y k? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ? ? ?? ? ?
自 由 响 应 零 输 入 响 应强 迫 响 应
零 状 态 响 应
? ? ? ? ? ?
1 1 1 i
n n nk k k
i i z i i z s i
i i i
C C C? ? ?
? ? ?
??? ? ?
零输入响应 零状态响应
（二） 离散时间系统的单位函数响应
例 1,系统的差分方程式为
求系统的单位样值响应
解,
)()3()2(3)1(3)( kxkykykyky ???????
)()3()2(3)1(3)( kkhkhkhkh ????????
（零状态）
单位冲激响应
??
?
化为零输入响应
迭代法求出
5.5 离散时间系统的单位样值响应 ? ?hk
(1)求齐次解 特征方程
三重根
0133 23 ???? ???
1321 ??? ???
齐次解
321
2 ckckc ??
（ 2） 由初始条件,求 1C 2C 3C
由零状态
??? 1)0()0( ?h 激励作用化为一个起始条件
?
?
?
?
?
???
???
?
321
321
3
240
0
1
ccc
ccc
c
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
2
3
2
1
3
2
1
c
c
c
,0)1()2( ???? hh
（ 3） ?)(kh
?
?
?
??
?
?
??
0
23
2
1 2
)( kk
0
0
?
?
h
h
例 2,已知系统的差分方程模型
)2(3)()2(6)1(5)( ??????? kxkxkykyky
求系统的单位样值响应。
解, （ 1） 求齐次解
3,2065 212 ????? ????
齐次解为
nn cc 23 21 ?
（ 2） 假设只有 x(k)作用,求对应响应
)(1 kh
0)1(,1)0( 11 ??? hh
?
?
?
?
?
?
?
??
??
21
21
2
1
3
1
0
1
cc
cc
??
?
??
?
2
3
2
1
c
c
?)(1 kh
?
?
?
?
?? ??
)0(0
)0(23 11
k
kkk
（ 3） 只考虑 项的作用,求
由线性时不变性
)2(3 ?? kx )(
2 kh
???? )2(3)( 12 khkh
??
?
?
?
?
??? ??
)2(0
)2()23(3 11
k
kkk
（ 4） )()()()( khkhkxkx
2123 ????
)()()()(
)()()]()()()[(
)()()()(
)()()(
223215
22332123
223323
1
1111
1111
21
???????
?????????
?????
??
?
????
????
kkk
kkkk
kk
khkhkh
kk
kkkk
kkkk
???
????
??
讨论,1,离散 LTI系统作为因果系统的充要条件是 （当 k<0时）
2,稳定系统的充要条件是 h(k)绝对可和,即
0)( ?kh
???
?
???k
kh )(
)(kx
)()( kykx ?
??
???
???
m
ikhixky )()()(
??
???
??
m
ikxih )()(
称为卷积和
2、由线性时不变性,得
5.6 卷积和
1,任意激励信号 可以表示为单位样值加权取和的形式
??
???
??
i
ikixkx )()()( ?
设
)(k? )(kh
LTI
一、卷积和的定义
简记为 ? ???? )()()()()( ikhixkhkxky
??
??
??? )()()(*)( ikxihkxkh
卷积和运算满足交换律,分配律,结合律
)()()( kxkxk ???
（ 1）交换律 ? ? ? ? ? ? ? ?
1 2 2 1f k f k f k f k? ? ?
（ 2）结合律 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 3 1 2 3f k f k f k f k f k f k? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?
（ 3）分配律 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
1 2 3 1 2 1 3f k f k f k f k f k f k f k? ? ? ? ? ?????
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 2
i
f k f k f k f i f k i?
? ? ?
? ? ? ??
?
?
? ??
?
?
其余
式中计算：已知序列例
0
2,1,01
)(
).(*)()(),(),(1
1
2121
kk
kf
kfkfkfkfkf
??
? ??
其余0
3,2,1,01)(
2
kkf
用图示的方法求卷积和：反褶，平移，相乘，取和
-1 1 2
)(1 kf
i
2
3
1
-1 1 2
)(2 kf
i43
1
二、卷积和的计算方法
1．图解法
-1 1-2
)(2 if ?
i-4 -3
1
反褶
-1 1-2
)1(2 if ?
i-3
1
-1 1-2
)2(2 if ?
i
1
2
解：
0?k 1?k
2?k
平移
平移
2 31
)5(2 if ?
i4 5
5?k
平移
2 3 6
)6(2 if ?
i4 5
6?k
)(*)( 21 kfkf
2 3 6 k4 51
5
3
66
3
1
相乘，取和
-1 1 2
)(1 if
i
2
3
1
-1 1-2
)(2 if ?
i-4 -3
1 0?k
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 2
i
f k f k f k f i f k i?
? ? ?
? ? ? ??
例 1,已知某离散系统的单位序列响应
试求当激励 时,系统的零状态响 应
)()21()( kkh k ??
)()( kkf ?? )(kyzs
解,由于 时,,, 故 和
均称为因果序列。 由卷积和公式得
0?k 0)( ?kf 0)( ?kh )(kf
)(kh
??
??
???? )()()()()( mkfmhkfkhky zs
2．解析法
图解法较为直观，但难以得到闭合形式的解，而解析法可以解决这个问题。通常是
利用数列求和公式，求得序列的卷积和。表 5.2中列出了几种常用序列的卷积和。
解,由于 时,,, 故 和
均称为因果序列。 由卷积和公式得
0?k 0)( ?kf 0)( ?kh )(kf
)(kh
??
??
???? )()()()()( mkfmhkfkhky zs
])
2
1
(1[2
)
2
1
(1
)
2
1
(1
)
2
1
(
)()()
2
1
()()(
1
1
0
0 0
?
?
?
? ?
??
?
?
??
????
?
? ?
k
k
k
m
m
m
k
m
k
m
mkmmkfmh ??
0?k
数列求和
离散时间系统与连续时域分析法的比较
1、数学模型
微分方程 差分方程
2、分析线性时不变系统的基础
叠加性和齐次性，时不变性
全响应＝零输入＋零状态
＝齐次通解＋特解
3、两种系统的特征根的意义不尽相同。
对于连续系统，特征根出现在指数函数的幂数中，稳定的
系统特征根是位于 s平面的左半平内，对于离散系统，特
征根出现在指数函数的底数，稳定的系统特征根位于 z平
面中的系统圆内。
4、零状态响应
? ????
??
)()()()()(
)()()(
mkxmhkhkxky
thtetr
连续系统
离散系统
科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果
说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么
这种“偶然的机遇”只能给那些学有素养的人，给
那些善于独立思考的人，给那些具有锲而不舍的
精神的人，而不会给懒汉。
---华罗庚（中国）
