第四章,连续时间系统的复频域分析
本章目录
F
F
F
F
F
F
F
F
F 拉普拉斯变换
拉普拉斯变换的性质
拉普拉斯反变换
连续时间系统的复频域分析
系统函数
系统函数的零、极点分布与系统的时域和频域特性
双边拉普拉斯变换
连续时间系统的 s域模拟
系统的稳定性
引言
)()()()()(
)]([)]([
trjRjHjEte
jRte ?
???
1?
????
FF
系统的零状态响应
时间系统的频域分析为由第四章学习，知连续
的过程比较繁琐。、付里叶分析求逆变换
的付里叶变换不存在。、有些
频域分析法缺点：
2
1 )( te
4.1 拉普拉斯变换
的付里叶变换存在。我们说信号
收敛。
其付里叶变换积分式
)(
)()(
tf
dtetfjF tj?? ?
?
???
?
时，
满足绝对可积条件当函数
边拉普拉斯变换一、从付里叶积分到双
???
?
??
dttf
tf
)(
)(
收敛。为实数但若
不存在付里叶变换时，当
或
或
)()(l i m
)(0)(l i m
?? t
t
t
t
t
etf
tftf
?
???
??
???
??
?
laplace transform
称为收敛因子—
即
t
t
e
dtetf
?
?
?
?
??
? ??? )(
)()()(])([
)(
)( ???????
?
jFdtetfdteetfetfF
etf
tjtjtt
t
???? ??
?
??
????
??
??
? 的付里叶变换为：满足绝对可积条件，它则
?
?
??
??
??
dtetfsF
js
st
b )()(
,则上式为令 ??
也称象函数。的双边拉普拉斯变换，为信号
轴的左右两边，故称因积分区间包含着时间
)(
)(
tf
sF b
—振荡因子—
—衰减因子—
?
?
的逆变换——
由
)()(
2
1
)(
.
)(
2
1
)(
)(
2
1
)(
sFdsesF
j
tf
jddsjs
desFtf
desFetf
b
j
j
st
b
st
b
tj
b
t
?
?
?
??
??
?
??
?
??
?
?
???
?
?
?
?
??
?
???
?
?
?
?
? ?
间，用来展开信号。
为基底构成函数空衰减振荡函数集
的基底，以变换重新选取函数空间
tje
L a p l a c e
)( ?? ??
函数。而电信号中大都为有始
为有始信号。则称时，若 )(,0)(0 tftft ??
0)(
2
1
)(
)()(
1
0
??
?
?
?
?
?
?
?
tdsesF
j
tf
dtetfsF
j
j
st
st
??
???
拉氏反变换
拉氏正变换
、定义
－
二、单边拉普拉斯变换 the unilateral Laplace transform
为自变量的复变函数是以
是复参量，①
说明：
ssF
jss
)(
?? ??
通常在电路分析
中所遇到的时间
函数都满足上述
条件
)()()]([)(
)()()]([)(
1 tfsFsFLtf
sFtftfLsF
??
??
? 或
或
形式⑤拉氏正反变换的简记
??
?
?
? ?
?
dtetf
ttftf
t
0
)(
0)()(
?分段连续，且满足下式
时在件：拉氏变换存在的充分条④
是有始函数。③ )( tf
。，是为了包括②积分下线定为 )(0 t??
s
e
s
dtedtettL
tL
st
stst
11
)()]([
)]([1
0
00
???
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?? ??
?
解：
、求例
1)()]([
)]([2
0
?? ?
? ?
?
dtettL
tL
st??
?
解：
、求例
]lim1[
1
)(
1
)()]([
)()(
0
)(
0
0
ts
t
ts
tssttt
e
s
e
s
dtedteteteL
??
???
??
??
??
??
??
?
??
?
???
?
?
?
??
?
??
?
?
?? ??
解：
tjt
t
ts
t
ee
e
???
?
???
??
??
??
?? )(
)(
lim
lim
0 ?
收敛轴
?
?j
右半平面
收敛坐标的
0 ?
?
?j
右半平面
收敛坐标的
??
?
?? ?
??
?
?
??? ?
? ???
?? ?
]R e[1)(
)()(,0lim
0
)(
s
s
sF
dtetfsFe stts
t
收敛域
积分收敛则此时时，当
，并讨论收敛域。、求例 )]([3 teL t???
拉普拉氏变换的收敛区
不存在。
拉氏变换区外，拉氏变换存在，在收敛在收敛区内，
值的范围称为收敛区，满足绝对可积条件的收敛区：使
)()(
)(
tftf
etf t ???
换存在。
，其拉斯变分段连续性质的通常指数阶函数且具有 )( tf
收敛条件。为质有关，
的性与的拉氏变换存在。那么
满足指数阶函数：若
)]([
)()(
,0)(l i m)(
0
0
tfL
tftf
etftf t
t
??
?
?
?
??
??
)( 0?? ?
ROC(region of convergence) of the Laplace transform
划分为两个区域：
平面的数值可将由以上分析可知，由 s0?
0 ?
收敛轴
?j
0?
收敛区
平面。，收敛区为全部其收敛坐标为
满足
在信号的拉氏变换一定存讨论：①有界的非周期
对于单边拉氏变换
s
dtetf
t
???
???
?
??
?
0
)(
?
?
平面的右半平面。收敛区为
②单位阶跃信号
s
00])([l i m
t
?
???
??
?? ? tet
收敛的问题。存在，故不再讨论是否
变换，其收敛区必定本书主要讨论单边拉氏
微分方程
的)(tf
的代数方程
)]([)( tfLsF ?
)0( ?f
起始条件
)(tf )(sF
时域法
逆变换
查表
拉氏变换
代数求解
?
?
?
?
?
?
?
?
?
s
e
t
s
t
t 1
1)(
1
)(记三对关系
4.2 拉普拉斯变换的性质
为实常数、其中
则
，若
一、线性性质
BA
sBFsAFtBftAfL
sFtfLsFtfL
)()()]()([
)()]([)()]([
2121
2211
???
??
22
1
2
11
2
1
][
2
1
][
2
1
)](
2
1
[][ c o s
][ c o s1
???
?
?
??
??
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
s
s
jsjs
eLeL
eeLtL
tL
tjtj
tjtj
解：
、求例
properties of laplace transform
? ?? ? ? ?
0
0
]R e [,0)(
1
)]([
]R e [
2
?
?
asa
a
s
F
a
atfL
ssFtfL
???
??
则
若
、尺度变换
)()]()([
)()]([
3
0
00 sFettttfL
sFtfL
st????
?
?则
若
、时移性质
换、求图示波形的拉氏变例 2
T
E
0 t
)(tf
)]([)]([)]([
)]()([)(:
TttL
T
E
ttL
T
E
tfL
Tttt
T
E
tf
???
???
??
??解
])1(1[
111
)]()()[(
1
)]([
2
22
2
sT
sTsT
eTs
Ts
E
e
s
E
s
e
T
E
sT
E
TtTTtTtL
T
E
sT
E
tfL
?
??
???
????
?????? ??
)()(
)()(
00
0
ttttf
tttf
???
?
?
?
注意
? ?? ?
)()]([
)(
?? ??
?
? sFtfeL
sFtfL
t则
若
、频域平移性质4
? ?
? ?
22
22
22
]s i n[
s i n
]co s[
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
??
?
?
?
??
?
?
?
?
s
teL
s
t
s
s
teL
t
t
得
同理由
解
]c os[3 teL t ???、求例
)()()()()]([
)()(]
)(
[
)()]([
?
?
?
?
?
?
?
??????
??
?
000
0
5
121 nnnnn
ffsfssFstfL
fssf
dt
tdf
L
sFtfL
?
则
若
、时域微分性质
2222
)1(
1
])( c o s
1
[][ s i n:
?
?
??
?
?
?
?
??
?
???
???
ss
s
s
tLtL解
][ s i n4 tL ?、求例
串联电路的电流响应。、求图示例 RL5
)(ti
H2
Vt)(3? ?4
?
?
Ai 5)0( ??
s
s
s
ssI
s
sIissI
ti
dt
di
103
10
3
)42)((
3
)(4)]0()([2
)(342
?
????
???
??
?
整理
方程两边取拉氏变换
解：列回路方程 ?
2
25.475.0
2
5
2
75.075.0
2
5
)2(
5.1
)2(2
103
)(
?
??
?
?
?
??
?
?
?
?
??
?
??
sssss
sssss
s
sI
)(25.4)(75.0)]([)( 21 tetsILti t?? ?? ???故
nn st
st
st
t
?
???
??
?
)(
)(
)(
1)(
2
?
?
?
?
?
?
?
?
t
s
sF
dttfL
sFtfL
0
6
)(
])([
)()]([
则
若
、时域积分性质
20
1
])([)]([
1
)()]([6
s
dttLttL
s
tttL
t
??
?
?
?
??
??
解：
、求例
)()()]()([
)()]([),()]([
7
2121
2211
sFsFtftfL
sFtfLsFtfL
???
??
则
若
、时域卷积定理
)(
)(
)(
)()()(
)()()(
7
sE
sR
sH
sHsEsR
thtetr
?
??
??
态响应、线性时不变系统零状例
)]()([
2
1
)]()([
)()]([),()]([
8
2121
2211
sFsF
j
tftfL
sFtfLsFtfL
??
??
?
则
若
、复卷积定理
)(l i m)(l i m)0(
)(
)()(
9
0
ssFtff
tf
tftf
st ???
? ??
?
?
的初值为则
存在，存在，并有及其导数设函数
、初值定理
LT
为真分式)( sF
)(l i m)(l i m)(
)()()(
10
0
ssFtff
s
sFtftf
st ???
???
?
则
处的单极点）左半平面内（包括原点位于
的所有极点都，且存在，并有及设
、终值定理
LT
能用此定理。存在，只有终值存在才
保证极点的限制主要是为了注意：对 )()( tfsF
t ??
lim
的初值和终值。所对应的、试求下列例 )()(8 tfsF
))(1(
32
)()3(
)3)(2)(1(
12
)()2(
)3)(2)(1(
12
)()1(
2
0
2
2
232
???
??
?
???
???
?
???
??
?
ss
ss
sF
sss
sss
sF
sss
ss
sF
终值不存在，故平面有极点在右半由于
解
)(1)(
1
)3)(2)(1(
12
lim)0()1(:
2
tfsssF
sss
ss
sf
s
?
?
???
??
??
??
?
32
2
23
23
0
0
23
2
6116
1
59
5
6116
595
)(
)(1
6116
595
1)()2(
sss
ss
sss
sss
ssF
sF
sss
ss
sF
???
??
??
???
??
??
??
???
??
??
先化为真分式
不为真分式，)( sF
终值不存在故
轴上有一对共轭极点在由于,
)(
)(
1)(lim)0()3(
0
tf
jsjsF
ssFf
s
?? ??
??
??
?
0
)3)(2)(1(
12
lim)(
5)(lim)0(
23
0
0
?
???
???
???
???
?
??
?
sss
sss
sf
ssFf
s
s
存在的和条件是：
，
或则
若
域微分与积分、
LT
11
t
tf
ttf
ds
sFd
tftLdssF
t
tf
L
ds
sdF
ttfL
ds
sdF
ttfL
sFtfL
s
n
n
s
n
)(
)(
)(
)]()[()(]
)(
[
)(
)]([
)(
)]([
)()]([
???
????
?
?
?
?? ??
?
?
?
?
?
2
1
2
1
),(]),([,][
),()],([
12
a
a
a
a
daasFdaatfL
a
F
a
f
L
asFatfL
则
若
、时参量微分积分
4.3 拉普拉斯反变换
01
1
1
01
1
1
.,,
.,,
)(
)(
)(
s
bsbsbsb
asasasa
sD
sN
sF n
n
n
n
m
m
m
m
????
???
?? ?
?
?
??
的有理函数拉氏变换一般是在线性电路中，响应的
2
3
,1
0)
2
3
)(1(2352)(
]
352
4
[1
21
2
2
1
????
???????
??
??
ss
sssssD
ss
s
L
有两个单实根
解：由
、求例
3
154
4
)(
)(
3
1
)
2
3
)(1(2
4
)1(
2
31352
4
1
11
21
2
?
???
?
?
?
?
??
??
??
?
???
?
?
?
?
??
?
?
ss
s
sssD
sN
k
s
ss
s
sk
s
k
s
k
ss
s
或
inverse laplace transform
0
2
5
3]
352
4
[
2
5
54
4
)(
)(
lim
2
3
2
1
2
3
2
2
???
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
??
?
tee
ss
s
L
s
s
sD
sN
k
t
t
s
ss
21
052)(
]
52
[2
21
2
2
2
1
jS
sssD
ss
se
L
s
???
????
??
?
?
、
解：令
、求例
?j
js
e
j
j
s
s
sssD
sN
k
ss
k
ss
k
ss
s
4
5
242
21
22)(
)(
52
21
1
1
2
2
1
1
2
?
???
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
?
?
jekk
tg
??
?
??
?
4
5
2
1
12
1
可以证明
)2(])2(2co s [
2
5
]
52
[
)co s (2
)2co s (
4
5
2]
52
[
)2(
2
2
1
1
2
1
????
??
?
??
???
??
??
?
?
??
tte
ss
se
L
tek
te
ss
s
L
t
s
t
t
??
??
?
?
)c o s (2
][
2
1
2
1
)()(
1
11
2
1
21
??
??
??
?
?????
??
??
?
?
?
?
?
?
??
?
??
??
???
?
tek
eeek
eekeek
js
js
t
tjtjt
tsjtsj
由时域平移性质
（重根）得解：
、求例
、,1,3,0,0)(
]
)3()1(
2
[3
4321
2
1
??????
??
??
ssssD
sss
s
L
12
1
)1(
2
3
2
)3()1(
2
)1()1(3)3()1(
2
3
22
0
21
32
2
3121
2
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
??
?
s
s
ss
s
k
ss
s
k
s
k
s
k
s
k
s
k
sss
s
0
12
1
]
2
3
[
2
1
3
2
]
)3()1(
2
[
4
3
]
)3(
2
[
2
1
)1(
)3()1(
2
3
2
1
1
32
1
2
2
31
?????
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
??
?
?
???
??
??
teet
sss
s
L
ss
s
ds
d
k
s
sss
s
k
tt
s
s
3
7
2
3
1
65
54
1)(
)(
:
]
65
11156
[4
2
2
23
1
?
?
?
?
???
??
?
???
?
??
???
?
ss
s
ss
s
ssF
sF
mn
ss
sss
L
项式相除，得中分子多项式与分母多将
。不能直接用部分分式法解
、求例
?
提出整式 真分式
037)()()]([ 231 ?????? ??? teettsFL tt??故
的展开时，当 )( )()( sD sNsFmn ??
ts
n
tsts
n
n
ssss
nn
n
n
k
k
n
n
n
ekekektf
sD
sN
sD
sN
ss
sD
sN
k
ss
k
ss
k
ss
k
sFsD
????
?
?
?
????
?
??
?
??
?
??
??
?21
21
1
1
)(
)(
)(
)(
)(
lim)(
)(
)(
.,,.,,)(,0)(1 有单实根，、
)c o s (2)(
)(
)(
)(
,0)(2
1
2
2
1
1
1
1
1211
21
1
??
????
?
??
??
?
?
?
?
?
???
?????
?
tektf
ss
k
ss
k
sF
sD
sN
kekkekk
jsjssD
t
jj
有一对共轭复根、
ts
p
pp
p
m
m
m
p
pp
ekt
p
kt
p
ktf
ss
sssF
ds
d
m
k
ss
k
ss
k
ss
k
sF
psD
1
]
)!2(
1
)!1(
1
[)(
]))(([
)!1(
1
...
)()(
)(
0)(3
1
2
12
1
11
1
11
1
1
1
1
1
1
12
1
11
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
重根有、
4.4 连续时间系统的复频域分析
式类约束关系的复频域形一、线性定常电路中两
??
??
??
??
??
??
m
k
k
m
k
k
m
k
k
m
k
k
sUsI
tuti
11
11
0)(0)(
0)(0)(
1
两边取拉氏变换得
由
域形式（运算形式）、基尔霍夫定律的复频
域模型元件的、、,sCLR2
i R
u
时域关系
Riu ?
R)(sI
)(sU
复频域关系
RsIsU )()( ?
i C
u
)(sU
)(sI
CS1
)0( ?cu
s
u )0( ?)(sI CS1
)(sU
? ?
)0()()(
)0()(][
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cusc s UsI
cusc s UiL
dt
du
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—复频域阻抗—CS1
)(ti L
)(tu
)0()(][
)()(
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?
LisL sIsU
dt
tdiLtu
LS)(sI
)(sU
)0( ?Li
? ?
)(sU
LS
)(sI si )0( ?
抗—电感元件的复频域阻—SL
。和全响应
，零状态响应的零输入响应试求输出电压
”，”到“由“时开关，：如图示电路已处稳态例
)(
)()()(
2101
0
000
tu
tututu
kt
zszi
?
K
"1"
"2"
?
?
? ?V9 V6
F2
H1
?2
Li
)(0tu
?1
Vu
Ai
L
69
21
2
)0(
3
21
9
)0(
)1(
0
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?
?
?
?
?
?
?
据题意求电路初始状态解：
s
tL
6
)](6[
)2(
??
求输入信号象函数
域模型电路画 s)3(
)(0 sU ?
?
)(b
)(0 sU zs
)(c
?
??
?
s
6 ?
?s
6
V3
?2
Ss21
?1
)(a
?
?
?
?s
6
V3
?2
Ss21
?1
)(0 sU zi
?
?s
6
?2
Ss21
?1
2
3
3
1
9
)32)(1(
2112
)(
2
3
12)()
2
1
2
1
1
(
)(
)4(
0
0
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??
?
?
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s
sss
s
sU
s
sU
s
s
b
zi
zi
解得：
列节点方程图
求响应象函数
2
3
2
1
64
)32)(1(
)2(6
)(
6
)()
2
1
21(
)(
0
0
?
?
?
??
??
?
?
?
?
??
s
sssss
s
sU
s
sU
s
s
c
zs
zs
解得：
列节点方程图
2
3
1
1
34
)32)(1(
122712
)(
2
3
12
6
)()
2
1
21(
)(
2
0
0
?
?
?
??
??
??
?
?
???
?
??
s
sssss
ss
sU
ss
sU
s
s
a
解得：
列节点方程图
)(]34[)()()(
)(]264[)]([)(
)(]39[)]([)(
)5(
5.1
000
5.1
0
1
0
5.1
0
1
0
teetututu
teesULtu
teesULtu
tt
zszi
tt
zszs
tt
zizi
?
?
?
??
???
???
??????
????
???
全响应
求拉氏逆变换，得
)(
)()(1
sE
sRsH ??
输入的象函数
零状态响应的象函数、定义
数）一、系统函数（网络函
系统的固有特性
反映了线性定常
网络函数全面地
在同一端口。和响应对于一端口网络，激励
的分类、
)()(
)(
trte
sH2
)(sH
)(sI
)(sU
—策动点导纳函数—②
—策动点阻抗函数—①
)(
)(
)(
)(
)(
)(
sU
sI
sH
sI
sU
sH
?
?
4.5 系统函数
)(sH
)(1 sI
)(1 sU
)(2 sU
)(2 sI
—转移电流比—⑥
—转移电压比—⑤
—转移导纳—④
—转移阻抗—③
不在同一端口。与对双口网络，当
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)()(
1
2
1
2
1
2
1
2
sI
sI
sH
sU
sU
sH
sU
sI
sH
sI
sU
sH
trte
?
?
?
?
始条件为零。电路为单电源作用，初
为响应象函数，，设函数：试求图示电路的网络例 )()(2 2 sIsH
)(sUs
?
?
1 2 SL
)(1 sI )(
2 sI2R
1R
)2(0)()()(2
)1()()()()
1
(1
22111
2111
?????
???
sISLRRsIR
sUsIRsIR
sc
s
：回路
：回路
解：列回路方程
2121
2
1
12
2121
2
1
1
2
)()(
)(
)(
)(
)(
)(
RRSLCRRL CSR
CSR
sU
sI
sH
RRSLCRRL CSR
sCS UR
sI
s
s
????
???
????
?
联立求解得
转移导纳函数
由网络结构和参数决定
无关，与 )()( sUsH s
sc1
)]([)()(
)()(),()(
1)(
)(
)(
)(:
)]([)()1(
)(3
1
1
sHLthtr
sHsRtte
sE
sE
sR
sH
sHLth
sH
?
?
??
??
??
?
故
此时
时当证
的一般性质。、
?
?
。响应、试求图示电路的冲激例 )(3 1 tu
)(tis
?
?
)(1 tu
F1 C
?2
1R
2R?2
H2
L
)(sIs
?
?
)(1 sU CS
1
1R
2R
SL
2
1
1
2
1
1
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
2
2
2
1
1
??
?
??
??
?
??
??
SS
S
CS
RLS
CS
RLS
RsH
sI
sU
sE
sR
sH
s
—策动点阻抗—解：
0)45
2
1
c o s ()(2)]([)(
45
2
1
12
1
)(
1
2)(
2
1
2
1
,0
2
1
)
2
1
1
1
1
2
2
1
1
21
2
11
?????
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???????
?
?
??
ttetsHLtu
S
S
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S
k
SS
k
SS
k
sH
jSSSsD
o
t
o
SSSS
?冲激响应
令
、
。求该系统的冲激响应
统的输入输出方程为、描述某线性时不变系例
)(
)(6)(6)(2)(6)(11)(6)(
4
th
tetetetrtrtrtr ???????????????
)(6)(6)(2)(6)(11)(6)(
0)0()0()0(
223 sEsSEsESsRsSRsRSsRS
rrr
??????
?????? ???
，得对方程两边取拉氏变换
即解：假设零状态条件，
)()32()]([)(
3
3
2
2
1
1
)3)(2)(1(
662
6116
662
)(
)(
)(
)(
)(
6116
662
)(
321
2
23
2
23
2
teeesHLth
SSS
SSS
SS
SSS
SS
sE
sR
sH
sH
sE
SSS
SS
sR
ttt
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?
?
?
?
?
?
???
??
?
???
??
??
???
??
?
故
定义，得由
解得
。或固有频率频率征根也称为系统的自然微分方程的特征根。特
出点就是对应系统输入输称为系统的极点，且极的根
称为系统的零点，的根的有理分式，为
)(
0)(
0)(
)(
)(
)()2(
j
i
psD
zsNs
sD
sN
sH
?
??
)1()()(
L T I
0
)(
0
)( ??
??
?
n
j
j
j
n
i
i
i tebtra
程的一般形式为系统的输入输出微分方证：描述
)1,0(0)0(0)(
0)0()0()0(
)(
)2()1(
mjette
rrr
j
nn
?
?
???
????
?
?????
时接入，在
若系统处于零状态
0
1
1
0
1
1
0
0
00
)(
)(
)(
)(][)(][
)1(
asasa
bsbsb
sa
sb
sE
sR
sH
sEsbsRsa
n
n
n
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j
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i
i
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?
?
??
?
?
式取拉氏变换得：对
分方程的特征根。的极点就是对应系统微故
的特征方程为微分方程
极点满足方程令
)(
0)1(
0,0)(
0
0
sH
a
pasD
n
i
i
n
i
i
i
i
?
??
?
?
?
?
?
求网络的全响应。
分别为应及其一阶导数的初值点如图所示。零输入响输入信号、系统的零极
，为常数、、，移函数、某线性定常网络的转例
.8)0(
,4)0(
)()(5 010
01
2
0
???
??
??
??
zi
zi
r
r
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bssH
j
1?
0
4?8?12?
)(a
24)]3()2([)1(4)( ??????? tttte ???
24
0 1 2 3 )(st
)(b
(4)
)()(5.0)]([)(
)12)(4(
8)(
1241 teesHLth
ss
ssH
tt ???? ????
??
??知解：由零、极点分布可
)(]
24
1
8
1
6
1
[
]
)12)(4(
8
[]
1
)([)(
1
)()()()(
124
11
tee
sss
s
L
s
sHLtr
s
sHsEsHsR
tt
?
??
??
???
??
?
???
????单位阶跃响应为
)3(]
8
24
6
24
[
)2(]
8
24
6
24
[
)1(][2)(
)3(12)3(4
)2(12)2(4
)1(12)1(4
????
????
???
????
????
????
tee
tee
teetr
tt
tt
tt
zs
?
?
?零状态响应
)()()(
)()5()(
1,58)0(4)0(
)(
124
124
trtrtr
teetr
BArr
BeAetr
zszi
tt
zi
zizi
tt
zi
??
????
????????
??
??
??
全响应
，求得，由
零输入响应
?
具有相同的形式。子与时域分析中的转移算 )()()3( pHsH
阶跃信号作用于 RLC串联电路的响应（自学）
R
?
?)(t?
L
0)0( ??i
)(ti C
0)0( ??cu
R
?
?s
1
SL )(sI
SC
1
?
???????
??
????
21
2
2
21
2
2
1
42
,0
1
1
1
)(
1
]
1
)[(
、
、
令
S
LCL
R
L
R
S
CL
S
L
R
S
CL
S
L
R
S
L
sI
SSC
SLRsI
C
L
R
C
L
R
C
L
R
2
2)(
2
?
?
?
共轭极点
二阶极点重根
不等实根
4.6 系统函数的零、极点分布与系统的时域和频域特性
的求解方法学习了
函数第五节我们定义了系统
)(
)(
)(
)(
sH
sE
sR
sH ?
)(
)(
)(
sH
sH
sH
、已知网络的方框图求
求、已知网络的微分方程
、已知网络结构参数求
3
2
1
)(
)(
sH
sH
由
：来分析线性系统的性质本节我们将学习如何由
确定系统的稳定性
确定系统的频率响应 容系统分析理论的主要内
综合打下基础。本节的学习是为了系统
适当的元件加以实现。
究如何用统函数的性质出发来研系统综合理论则是从系
一,系统函数极点和零点的分布
定对实轴成镜像对称。的极点和零点的分布必,)(1 sH
的根也是故
即
则
，若
设
由证：
0)(
0)()(
0)(
0)(
)(
)(
00
0
0
0
???
??
???
???
?
?
??
?
?
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sFjs
sFsF
scscsF
jssF
scsF
sa
sa
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i
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i
i
kk
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i
n
j
j
j
m
i
i
i
k
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?
极点、零点典
型的分布图
?
?
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?
??
??
?? ?
?
??
n
i
tp
i
n
i
i i
i
ek
ps
kLsHLth
01
11 ][)]([)(
2 应、极点、零点与冲激响
? ?
?
?
?
?
t
)(th
0
减幅的自由振荡
位于左半平面ip
为负实根ip 为正实根ip
位于虚轴上ip
?
?
t
)(th
0
)(等幅正弦振荡
?j
?
t
)(th
0
增幅的自由振荡
)c o s (2 1 ??? ?tek t
)(th
增长的指数函数
0 t
)(th
t
衰减的指数函数
0
Pi位于右半平面
0
则称该网络为稳定。逐渐衰减并趋向于零，过程随着时间的推移，
影响下，其过渡若电网络在初始条件的电网络稳定性的定义：
定。生有界响应，则系统稳稳定系统：有界激励产
位于左半面。
点一定系统，其系统函数的极结论：一个稳定的线性
。决定了电网络是否稳定
质决定了零输入响应的性自然频率的极点
?
??)( sH
二、系统函数的极点、零点与系统频率特性的关系
的变化情况。
应随信号频率弦信号激励之下稳态响频率特性是指系统在正
、频率特性1
相幅特性
幅频特性
率特性串联谐振电路的电流频例如 R L C
U
?
?
I
?
?
R Lj?
cj?
1
1?
o
0I
I
0?
?
1
2?
的选择性和通频带宽
频率特性决定了电路
频率特性
—转移电压比—
响应决定了系统变量的频率、
入
出
U
U
ejHjH
jH
j
?
?
?? )()()(
)(2
????
?
)](s i n [)(
2
)()(
2
)s i n (
)(
?????
??
??
?
?
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???
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??
tUjHU
e
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e
U
U
tUu
m
j
m
j
m
m
j
出
入出
入
则
设
?
??
?
也就确定了。
变化的曲线随，的幅、相频特性确定了故 ?? )()( 2 tujH
?
?
?
js
sHjHthF
jHsHsH
?
?? )()()]([
)()()(3
如下关系：
有与极点时，在虚轴上及右半平面无、当
)(246p 上册页
证明见郑君里书
)()(4 ??? 和、用零极点法分析 jH
))((
)(
)()(
))((
)(
)(
)()(
21
10
21
10
)(
pjpj
zjH
sHjH
psps
zsH
sH
ejHjH
js
j
??
?
??
??
?
?
?
?
??
?
?
??
?
??
设
由
3211
32
10
1
32
10
2111
11
0
1
111
)()(
))((
)(
)(
)()(
32
1
??????
??
?
?
?????
??
?
????
?
??
?
?
?
MM
MH
jH
eMeM
eMH
pjpj
zjH
jH
jH
jj
j
和，用作图法确定令
3
2
1
321
211
111
?
?
?
?
?
?
j
j
j
eMpj
eMpj
eMzj
??
??
??令
的大小了结论：零极点分布决定 )( ?jH
?j
3M
2M
1M
3? 2? 1
?
?
2p
1p 1z
1?j
低通网络、一阶例 RC1
1u 2u
Rc
s
Rc
sc
R
sc
sU
sU
sH
1
1
1
1
)(
)(
)(
1
2
?
?
?
??
Rcp
1
1 ??极点：
零点：无
析。
响特性入手分
研究需要从频
而滤波网络的
件是滤波网络，
重要的组成部
系统中，一种
在通信、控制
)(th
tRce
Rc
11 ?
t
时域特性
0
?j
?js?
零极点图
0
?
M
?
Rc1?
R
C
)( ?jH
?
频域特性
0
1
21
Rcc
1??
)(??
?
c?
o90?
o45?
内在联系。
具有率越低。由此可见：而其幅频特性的截至频
减越慢，虚轴，则其时域响应衰极点越靠近零极点图的
??,,c1p
全通网络、例 RC2
R
C C
R
1u 2u
cu
Rc
s
Rc
s
s R c
s R c
sc
R
R
sc
R
sc
sU
sU
sH
sU
sc
R
R
sU
sc
R
sc
sU
uuu
Rc
1
)
1
(
1
1
11
1
)(
)(
)(
)(
1
)(
1
1
)(
1
2
112
2
?
??
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
??
Rc
1?
Rc
1
?
M N
? ?
?j
零极点分布图
M
NjH ?)( ?
1
0 ?
幅频特性
???? ??)(
0180
0 ?
相频特性
090
c?
产生幅度失真。常用来作相位校正而不
络。这种网络—幅频特性为常数的网—全通网络
?
?
?
?
0
01(
bs
asa
sH ）
一般形式为
一阶网络函数的
0
1
0
0
01
0
1
0
0
)(
b
a
a
bs
bsa
bs
sa
bs
a
??
?
?
?
?
?j
?
p
?j
?
p
z
?j
?
p
z
低通
高通
全通
)( ?jH
0 ?
)( ?jH
0 ?
)( ?jH
0 ?
通网络还是全通网络。
网络，高零点决定了网络是低通总位于负实数轴上，其
络该极点一个极点，对于无源网由此可见一阶网络具有
F
?
??
??
?
01
2
01
2
2(
bsbs
asasa
sH ）
二阶网络函数
同理可推得
01
2
01
2
2
01
2
0
2
2
01
2
1
01
2
2
2
01
2
0
bsbs
asasa
bsbs
asa
bsbs
sa
bsbs
sa
bsbs
a
??
??
??
?
??
??
??
?j
?
1p
2p
21 zz、
?j
?1p
2p
z
?j
?1p
2p
1z
?j
?1p
2p
2z
1z
?1p
2p 2
z
?j
低通
)( ?jH
0 ?
高通
)( ?jH
0 ?)( ?jH
0 ?
带通
)( ?jH
0 ?
带阻
0w
全通
)( ?jH
0 ?轴互为镜像零点与极点对于 ?j
可由实验测得
确定系统结构参数求求零极点分布系统综合过程：依据
求频率特性求零极点分布系统分析过程：已知
)(
)()(
)()(
?
?
?
jH
sHjH
jHsH
???
??
F
4.7 双边拉普拉斯变换
在某些情况下，有时还要考虑双边时间函数，如周期信号、平稳随机过程等，或是
不符合因果律的理想系统，这时就需要用双边拉普拉斯变换来分析。
一、双边拉普拉斯变换
1、双边拉普拉斯变换的定义
? ? ? ? ? ? stddF s L f t f t e d t?? ????????? ?
??ft ? ?aft ??bft是一个双边函数，可将其分解为右边函数 和左边函数 之和，即
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?abf t f t t f t t??? ? ?
将 f(t)代入双边拉普拉斯变换的定义式，则有
? ? ? ? ? ? ? ?0 0s t s td d b aF s L f t f t e d t f t e d t??????? ? ????? ??
? ? ? ?baF s F s??
? ?aFs ? ?bFs ??ft若, 同时存在，且二者有公共收敛域，则 的双边拉氏变换为
??aft ? ?aFs ? ?bft ? ?bFs右边函数 的拉氏变换 和左边函数 拉氏变换 之和。
? ? ? ?baF s F s??)(sFd
? ?aFs ? ?bFs ??ft如 与 没有公共收敛域，则 的双边拉氏变换就不存在。
2、如何求左边函数的拉氏变换 ? ?
bFs
? ? ? ?0 stbbF s f t e d t???? ?
令 ???t,则上式成为 ? ? ? ?
0
??????? s
bbF s f e d
再令 ??sP,则上式成为 ? ? ? ?
0
???? ???? PbbF p f e d
综上所述，求取左边函数的拉氏变换 ? ?
bFs
可按下列三个步骤进行：
t ??? ? ???bf（ 1）令,构成右边函数 ；
? ???bf ? ?bFp（ 2）对 求单边拉氏变换得 ；
p ps?? ? ?bFs（ 3）对复变量 取反，即,就求得 。
? ? ? ? ? ????? ?? ? ?ttf t e t e t0??例 4.28 求双边指数函数, 的双边拉普拉斯变换。
解：首先求右边函数的拉氏变换 ? ?
aFs ? ? 1,aaFs s ??????
左边函数的拉氏变换 ? ?
bFs
求取如下：
（ 1） ? ? ? ? ? ?0??
?????? ? ? ?,b b tf f t e；
（ 2） ? ? ? ? 1???
?????? ? ? ??? ?? ?bbF p L f L e p
? ? ? ? 1 ?????? ? ? ? ??,p s bbbF s F p s（ 3）
0?? ? ?aFs ? ?
bFs ? ? ???<
因为,所以 和 有公共收敛域,
?j
???0
故 ? ?
dFs
存在并为
? ? ? ? ? ? 221 1 2,d a bF s F s F s s s s ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? <
二, 双边拉普拉斯反变换
例 4.29 求 ? ?
? ?? ?246?? ??dFs ss
，的时间原函数。收敛域分别为
46???（ 1） 6??（ 2） 4? ?（ 3）
1 4?p
2 6?p
解：（ 1）由极点分布和给定收敛域作下图。可见，左侧极点为,右侧极点为
。
??j 640??
0t? ? ?aft左侧的极点对应于 的右边函数
将 ? ?
dFs
展开成部分分式有 ? ? 11
46
???
??dFs ss
? ? ? ?141 4 taf t L e ts ?? ?????????
0t? ? ?
bft
右侧的极点对应于 的左边函数
1
6
?
?s ? ?bft ? ?bft
对应于 的是左边函数, 的求取如下
??sp 1166??? ? ???() sPFp sp① 令,得 ；
② 对 ()Fp 求单边拉氏反变换，得 ? ? ? ? ? ?16 ?? ? ????? ()
bf L F p e
③ 令 ?=-t,即 ? ? ? ? ? ?
6?????? ? ?tb b tf t f e t
最后得其解为
? ? ? ? ? ?46ttf t e t e t??? ? ?
三, 双边信号作用下线性系统的响应
? ? ? ? ? ?3 ttf t e t e t????? ? ? ? ? ? ?2 th t e t???例 4.30 已知激励信号,系统冲激响应为
，求系统的响应。
解：由双边拉氏变换有 ? ? ? ? ? ? ? ? 11 31
31 ???? ? ? ? ? ? ? ? ??? ??,d d a bF s L f t F s F s ss
? ? ? ? 1,22H s L h t s ?? ? ? ????? ?而
? ?dFs ? ?Hs 21?? ? ? ?可见,与 有公共收敛域, 故 ? ?Rs 存在，则有
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?21 2 3dR s F s H s s s s??? ? ? ?1 2 1,2 1s 1 s 2 s 3??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?
1s??由收敛域可知,为右侧极点，对应的左边时间函数为
? ? ? ?1 1 1 tbdr t L e ts ?? ????? ? ??????
23s,s? ? ? ?
? ? ? ? ? ?1 2321 223 ttadr t L e e tss ?? ?????? ? ? ???????
均为右侧极点，对应的右边时间函数为
故系统的响应
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 32 t t td a br t L R s r t r t e e t e t??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?????
4.8 连续时间系统的 s域模拟
则着重控制工程。计初步原理。应用背景系统性能分析或系统设
。从这节内容转向时域法和变换域方法基本求解方法
线性时不变系统的性能分析以及信号通过前面内容侧重讨论信号
)(
系统模型。
框图组合建立之一：即利用基本的方②解决上述矛盾的方法
得要领。
十分繁琐或不法是不行的，研究过程在实际中只依赖这种方
统分析，方法方程或差分方程）的系①建立数学模型（微分
为什么要模拟？
。或仿真的方法称为系统模拟
图运算单元给出系统方框利用线性微分方程基本
一、何谓系统的模拟
)(
到系统设计（综合）。有助于从系统分析过渡
与互联的研究方法也特征的实质，系统分解这种方法容易理解性能
简化。统时，分析过程将得以将它们组合构成复杂系
果熟知各单元性能，解为若干基本单元，如系统的模拟是将系统分
、模拟图用基本单元
法二、线性系统的模拟方
1
)(
)(
2
)(2
1
)(1
sX
x
sX
x
t
t
?
)()()(
)(
21
)(2)(1
sXsXY
xxty
s
tt
??
? ?
① 加法器,
)(
)(
sY
y t
③ 初始条件为零的积分器
时域形式
?? t dxty 0 )()( ??
复频域形式
)(1)( sXssY ?
② 乘法器,
)(
)(
sX
x t a
)(
)(
sY
y t
)()(
)()(
saXsY
taxty
?
?
?
)(tx )(ty
s1
)(sX )(sY
初始条件不为零的积分器
?
)(tx
?
)0(y
)(ty
??? t dxyty 0 )()0()( ??
s1 ?
sy)0(
)(sX )(sY
s
sX
s
ysY )()0()( ??
、一阶微分方程的模拟2
xyay ?? 0' yaxy 0' ??
?x ?
0a?
y'y ?
0a?
)(sX
s
1
)(sY
条件，故是零状态响应以上模拟图都未计初始
)(ssY
、二阶系统的模拟3
xyayay ??? 01 ''' )()()()( 012 sYassYasXsYs ???
? s1
0a?
1a?
)(sX )(2 sYs
)(ssY )(sY
页规则
阶系统的模拟可以推出由一、二阶系统的模拟
329P
n
s1
xbxbyayay
x
0101
4
????????
拟的导数的二阶系统的模、含有
qbqbyy
xqaqaqqq
01
01
2
)1(1,
???
??????
）式满足（则
）满足方程（使引入一辅助函数
方程即可证明
代入原、将 )2()1(
称为直接模拟框图。系统函数作出的，一般
根据系统的微分方程或以上讨论的框图是直接
)(sX
? ?s1
1a?
0a?
1b
0b
)(sY
)(sqs2 )(ssq )(sq
s1
阶系统的方程为一般
、并联模拟框图
n
5
)('...'..,01)(01)1(1)( nmxbxbxbyayayay mmnnn ????????? ??
)()()(
.,,
)),,, ()((
),,, ()((
)(
)(
.,,
.,,
)(
21
2
2
1
1
21
)
01
1
1
01
1
1
sHsHsH
ps
k
ps
k
ps
k
pspsps
zszszs
b
sX
sY
asasas
bsbsbsb
sH
n
n
n
n
m
m
n
n
n
m
mm
m
????
?
??
?
?
?
?
???
???
?
?
???
??
?
??
?
?
?
??
?
则
?
)(1 sH
)(2 sH
)(sx )(sY
…
对其他子系统无影响。
平面上的位置，而的极点或零点在
响该子系统某一子系统的参数仅影
并联，调整将大系统分解为子系统
s
级一阶子系统的并联n
)(sHn
、级联模拟框图6 )(),,,()()( 21 sHsHsHsH r?
联级一阶或二阶子系统级r
)(2 sH )(sHr...)(
1 sH
)(Xs )(Ys
7、反馈系统
? ?1Hs? ?
2Hs
? ?Fs?? ? ?Ys
? ? ? ?? ? ? ?1
121
HsHs
H s H s? ?
整个反馈系统的系统函数为
图。试画出该系统的模拟框
统函数：已知某连续系统的系例
123
1)(1
23 ???? ssssH
统模拟框图于是可得零状态下的系
解：
)()(2)(3)()(
)()()(2)(3)(
123
1
)(
)(
)(
23
23
23
sYssYsYssXsYs
sXsYssYsYssYs
ssssX
sY
sH
????
?????
???
???
)(sX
? s1
3?
2?
)(3 sYs )(ssY)(2 sYs )(sY
s1s1
1?
?
?
?
?
)()()()3(
)2(
);()1(
)(2
3
tytetx
th
a
t
，求零状态响应若输入
写出系统的微分方程；
系统函数和冲激响应试求
统的模拟框图。为某线性时不变连续系：图例
?
?
?
中所标。，各积分器的输出如图输入端加法器的输出为
图右边所示。设域模拟框图如图假设零状态，画解：
)(
)()()1(
sq
bbs
)(tX
? ?? ?
3?
2?
1
)(ty
?
?
?
?
?
)(a
)1()(
231
1
)(
)(2)(3)()()(
21
21
sX
ss
sq
sqssqssXsqb
??
??
??
?
???
由上式解得
可知由
)(
231
)()1(
)()()()()(
21
21
2121
sX
ss
ss
sY
sqsssqssqssY
??
??
????
??
?
?
????
式代入上式，得将
输出端的加法器输出为
)(sX
? ?s1
3?
2?
1
)(sy
?
?
?
?
?
)(sq
)(1 sqs?
)(2 sqs?
)(b
s1
)()23()]([)(
2
3
1
2
23
1
231)(
)(
)(
21
221
21
teesHLth
ssss
s
ss
ss
sX
sY
sH
tt ????
??
??
???
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
???
故
)()()(2)(3)(
)()()()23()()2( 2
txtxtytyty
sXssXsYsssH
?????????
????
系统的微分方程为
得由
)()32()(
3
2
2
3
1
1
3
1
)2)(1(
1
)()()(
3
1
)]([)()3(
23
teeety
ssssss
s
sXsHsY
s
txLsX
ttt
?
???
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
??
故系统的零状态响应
4.9 系统的稳定性
、定义
件一、系统的稳定及其条
1 )(te
)(th
)(tr
???? tMte e 0|)(|,如果
为实数。其中：
则称系统是稳定的。且
re
r
MM
tMtr
,
,0|)(|,????
、系统稳定的充要条件2
??? ?0 ?? dh |)(| 0)(lim ?
?? tht或
???? tMth 0|)(|或
称为临界稳定。为等幅振荡或常数时，当
渐进稳定。满足以上条件的，称为
)( th
381P证明见书
孤立冲激函数
处可有在 0)( ?tth
环系统。引起输出本身变化的闭
，从而出反过来馈送到输入处指系统的输出或部分输
二、反馈系统
)()(
)(
)(
)(
)(
)()()]()()([
sHsG
sG
sR
sY
sT
sYsGsYsHsR
?
???
??
1
由反馈系统框图得
? )(sG
)(sH
)(sE)(sR )(sY?
?
—前向转移函数—
的开环转移函数—是系统中的环开路时—
统函数—是整个反馈系统的系—
)(
)()(
)(
sG
sHsG
sT
实部是否全部为负。
的根的看系统特征方程是否全在左半平面，或
的极点数渐进稳定，要看系统函判别一个反馈系统是否
01 ?? )()(
)(
sHsG
sT
判据霍维茨—罗斯—三,)(H u r w i t zR ou t h
导出类似方法。年的根和零实部根，
部包含有多少个具有正实不必解方程就可知道它
根的方法，提出一种判别代数方程年
H u r w i t z
R o u t h
1 8 9 5
1 8 7 7
霍维茨判别法—罗斯
。具有的正实部根的个数
所符号改变的次数就是列数符号不全相同，则
的符号相同。若第一霍维茨阵列中第一列数—③罗斯
②无缺项；
符号相同；①多项式的全部系数
平面上的充要条件是：的根全部位于左半要使
程为的分母即系统的特征方
0)(
0)(
0...)(
)(
01
1
1
?
?
???? ?
?
?
?
sD
a
ssD
asasasasD
sT
i
n
nn
n
第一步 把 的所有系数按如下顺序排成两行)(sD
1?n
n
a
a
3
2
?
?
n
n
a
a
5
4
?
?
n
n
a
a
构筑 Houth---Hurwitz阵列的步骤为
为止依次类推，排列 0a
第二步：排列 R— H 阵列规则如下：
??,
,,
,,
4
312
11
?
???
??
?
??
??
nn
nnnn
nnnn
aC
aBaB
aAaA
0
1
2
3
2
1
A
A
A
A
A
A
A
n
n
n
n
?
?
?
0
0
2
3
2
1
B
B
B
B
B
n
n
n
n
?
?
?
0
0
0
3
2
1
?
?
?
n
n
n
n
C
C
C
C
??
?
?
?
1?n
n
D
D
7
6
?
?
n
n
a
a
22
11
2
3
22
11
2
3
111
2
111
2
111
2
11
111
??
??
???
??
?
?????????
????
??????
nn
nn
n
n
nn
nn
n
n
nn
nn
n
n
nn
nn
n
n
nn
nn
n
n
CA
CA
A
B
BA
BA
A
A
DA
DA
A
C
CA
CA
A
B
BA
BA
A
A
－－
－－－
0
1
2
3
2
1
A
A
A
A
A
A
A
n
n
n
n
?
?
?
0
0
2
3
2
1
B
B
B
B
B
n
n
n
n
?
?
?
0
0
0
3
2
1
?
?
?
n
n
n
n
C
C
C
C
??
?
?
?
1?n
n
D
D
各行按下列公式计算
式阵列中通项的一般式为 ).( 1084
例 1,试判别特征方程 的系统是否稳定 062 23 ???? sss
0
1
2
3
A
A
A
A
0
0
6
1
有符号变化,系统不稳定
解：罗斯－霍维茨排列
0
0
6
1
1
2
6
11
1
2
?
?
?
045 23 ???? kSSS
k
k
5
20
5
1
?
0
0
4
k
系统稳定条件为
??
?
?
?
?
??
0
0
5
20
k
k
200 ?? k故
kk
kk
??
?
5
20
5
20
例 2,K何值时系统稳定
03223 234 ????? ssss、例
3
3
2
)0(
1
1
?
?
?
3
2
2
0
0
3
0
0
—正无穷小量—
故系统不稳定
?
?
? 0
3
2,0 ????
问号是开启任何一门科学的钥匙。
---巴甫洛夫（前苏联）
本章目录
F
F
F
F
F
F
F
F
F 拉普拉斯变换
拉普拉斯变换的性质
拉普拉斯反变换
连续时间系统的复频域分析
系统函数
系统函数的零、极点分布与系统的时域和频域特性
双边拉普拉斯变换
连续时间系统的 s域模拟
系统的稳定性
引言
)()()()()(
)]([)]([
trjRjHjEte
jRte ?
???
1?
????
FF
系统的零状态响应
时间系统的频域分析为由第四章学习，知连续
的过程比较繁琐。、付里叶分析求逆变换
的付里叶变换不存在。、有些
频域分析法缺点：
2
1 )( te
4.1 拉普拉斯变换
的付里叶变换存在。我们说信号
收敛。
其付里叶变换积分式
)(
)()(
tf
dtetfjF tj?? ?
?
???
?
时，
满足绝对可积条件当函数
边拉普拉斯变换一、从付里叶积分到双
???
?
??
dttf
tf
)(
)(
收敛。为实数但若
不存在付里叶变换时，当
或
或
)()(l i m
)(0)(l i m
?? t
t
t
t
t
etf
tftf
?
???
??
???
??
?
laplace transform
称为收敛因子—
即
t
t
e
dtetf
?
?
?
?
??
? ??? )(
)()()(])([
)(
)( ???????
?
jFdtetfdteetfetfF
etf
tjtjtt
t
???? ??
?
??
????
??
??
? 的付里叶变换为：满足绝对可积条件，它则
?
?
??
??
??
dtetfsF
js
st
b )()(
,则上式为令 ??
也称象函数。的双边拉普拉斯变换，为信号
轴的左右两边，故称因积分区间包含着时间
)(
)(
tf
sF b
—振荡因子—
—衰减因子—
?
?
的逆变换——
由
)()(
2
1
)(
.
)(
2
1
)(
)(
2
1
)(
sFdsesF
j
tf
jddsjs
desFtf
desFetf
b
j
j
st
b
st
b
tj
b
t
?
?
?
??
??
?
??
?
??
?
?
???
?
?
?
?
??
?
???
?
?
?
?
? ?
间，用来展开信号。
为基底构成函数空衰减振荡函数集
的基底，以变换重新选取函数空间
tje
L a p l a c e
)( ?? ??
函数。而电信号中大都为有始
为有始信号。则称时，若 )(,0)(0 tftft ??
0)(
2
1
)(
)()(
1
0
??
?
?
?
?
?
?
?
tdsesF
j
tf
dtetfsF
j
j
st
st
??
???
拉氏反变换
拉氏正变换
、定义
－
二、单边拉普拉斯变换 the unilateral Laplace transform
为自变量的复变函数是以
是复参量，①
说明：
ssF
jss
)(
?? ??
通常在电路分析
中所遇到的时间
函数都满足上述
条件
)()()]([)(
)()()]([)(
1 tfsFsFLtf
sFtftfLsF
??
??
? 或
或
形式⑤拉氏正反变换的简记
??
?
?
? ?
?
dtetf
ttftf
t
0
)(
0)()(
?分段连续，且满足下式
时在件：拉氏变换存在的充分条④
是有始函数。③ )( tf
。，是为了包括②积分下线定为 )(0 t??
s
e
s
dtedtettL
tL
st
stst
11
)()]([
)]([1
0
00
???
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?? ??
?
解：
、求例
1)()]([
)]([2
0
?? ?
? ?
?
dtettL
tL
st??
?
解：
、求例
]lim1[
1
)(
1
)()]([
)()(
0
)(
0
0
ts
t
ts
tssttt
e
s
e
s
dtedteteteL
??
???
??
??
??
??
??
?
??
?
???
?
?
?
??
?
??
?
?
?? ??
解：
tjt
t
ts
t
ee
e
???
?
???
??
??
??
?? )(
)(
lim
lim
0 ?
收敛轴
?
?j
右半平面
收敛坐标的
0 ?
?
?j
右半平面
收敛坐标的
??
?
?? ?
??
?
?
??? ?
? ???
?? ?
]R e[1)(
)()(,0lim
0
)(
s
s
sF
dtetfsFe stts
t
收敛域
积分收敛则此时时，当
，并讨论收敛域。、求例 )]([3 teL t???
拉普拉氏变换的收敛区
不存在。
拉氏变换区外，拉氏变换存在，在收敛在收敛区内，
值的范围称为收敛区，满足绝对可积条件的收敛区：使
)()(
)(
tftf
etf t ???
换存在。
，其拉斯变分段连续性质的通常指数阶函数且具有 )( tf
收敛条件。为质有关，
的性与的拉氏变换存在。那么
满足指数阶函数：若
)]([
)()(
,0)(l i m)(
0
0
tfL
tftf
etftf t
t
??
?
?
?
??
??
)( 0?? ?
ROC(region of convergence) of the Laplace transform
划分为两个区域：
平面的数值可将由以上分析可知，由 s0?
0 ?
收敛轴
?j
0?
收敛区
平面。，收敛区为全部其收敛坐标为
满足
在信号的拉氏变换一定存讨论：①有界的非周期
对于单边拉氏变换
s
dtetf
t
???
???
?
??
?
0
)(
?
?
平面的右半平面。收敛区为
②单位阶跃信号
s
00])([l i m
t
?
???
??
?? ? tet
收敛的问题。存在，故不再讨论是否
变换，其收敛区必定本书主要讨论单边拉氏
微分方程
的)(tf
的代数方程
)]([)( tfLsF ?
)0( ?f
起始条件
)(tf )(sF
时域法
逆变换
查表
拉氏变换
代数求解
?
?
?
?
?
?
?
?
?
s
e
t
s
t
t 1
1)(
1
)(记三对关系
4.2 拉普拉斯变换的性质
为实常数、其中
则
，若
一、线性性质
BA
sBFsAFtBftAfL
sFtfLsFtfL
)()()]()([
)()]([)()]([
2121
2211
???
??
22
1
2
11
2
1
][
2
1
][
2
1
)](
2
1
[][ c o s
][ c o s1
???
?
?
??
??
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
s
s
jsjs
eLeL
eeLtL
tL
tjtj
tjtj
解：
、求例
properties of laplace transform
? ?? ? ? ?
0
0
]R e [,0)(
1
)]([
]R e [
2
?
?
asa
a
s
F
a
atfL
ssFtfL
???
??
则
若
、尺度变换
)()]()([
)()]([
3
0
00 sFettttfL
sFtfL
st????
?
?则
若
、时移性质
换、求图示波形的拉氏变例 2
T
E
0 t
)(tf
)]([)]([)]([
)]()([)(:
TttL
T
E
ttL
T
E
tfL
Tttt
T
E
tf
???
???
??
??解
])1(1[
111
)]()()[(
1
)]([
2
22
2
sT
sTsT
eTs
Ts
E
e
s
E
s
e
T
E
sT
E
TtTTtTtL
T
E
sT
E
tfL
?
??
???
????
?????? ??
)()(
)()(
00
0
ttttf
tttf
???
?
?
?
注意
? ?? ?
)()]([
)(
?? ??
?
? sFtfeL
sFtfL
t则
若
、频域平移性质4
? ?
? ?
22
22
22
]s i n[
s i n
]co s[
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
??
?
?
?
??
?
?
?
?
s
teL
s
t
s
s
teL
t
t
得
同理由
解
]c os[3 teL t ???、求例
)()()()()]([
)()(]
)(
[
)()]([
?
?
?
?
?
?
?
??????
??
?
000
0
5
121 nnnnn
ffsfssFstfL
fssf
dt
tdf
L
sFtfL
?
则
若
、时域微分性质
2222
)1(
1
])( c o s
1
[][ s i n:
?
?
??
?
?
?
?
??
?
???
???
ss
s
s
tLtL解
][ s i n4 tL ?、求例
串联电路的电流响应。、求图示例 RL5
)(ti
H2
Vt)(3? ?4
?
?
Ai 5)0( ??
s
s
s
ssI
s
sIissI
ti
dt
di
103
10
3
)42)((
3
)(4)]0()([2
)(342
?
????
???
??
?
整理
方程两边取拉氏变换
解：列回路方程 ?
2
25.475.0
2
5
2
75.075.0
2
5
)2(
5.1
)2(2
103
)(
?
??
?
?
?
??
?
?
?
?
??
?
??
sssss
sssss
s
sI
)(25.4)(75.0)]([)( 21 tetsILti t?? ?? ???故
nn st
st
st
t
?
???
??
?
)(
)(
)(
1)(
2
?
?
?
?
?
?
?
?
t
s
sF
dttfL
sFtfL
0
6
)(
])([
)()]([
则
若
、时域积分性质
20
1
])([)]([
1
)()]([6
s
dttLttL
s
tttL
t
??
?
?
?
??
??
解：
、求例
)()()]()([
)()]([),()]([
7
2121
2211
sFsFtftfL
sFtfLsFtfL
???
??
则
若
、时域卷积定理
)(
)(
)(
)()()(
)()()(
7
sE
sR
sH
sHsEsR
thtetr
?
??
??
态响应、线性时不变系统零状例
)]()([
2
1
)]()([
)()]([),()]([
8
2121
2211
sFsF
j
tftfL
sFtfLsFtfL
??
??
?
则
若
、复卷积定理
)(l i m)(l i m)0(
)(
)()(
9
0
ssFtff
tf
tftf
st ???
? ??
?
?
的初值为则
存在，存在，并有及其导数设函数
、初值定理
LT
为真分式)( sF
)(l i m)(l i m)(
)()()(
10
0
ssFtff
s
sFtftf
st ???
???
?
则
处的单极点）左半平面内（包括原点位于
的所有极点都，且存在，并有及设
、终值定理
LT
能用此定理。存在，只有终值存在才
保证极点的限制主要是为了注意：对 )()( tfsF
t ??
lim
的初值和终值。所对应的、试求下列例 )()(8 tfsF
))(1(
32
)()3(
)3)(2)(1(
12
)()2(
)3)(2)(1(
12
)()1(
2
0
2
2
232
???
??
?
???
???
?
???
??
?
ss
ss
sF
sss
sss
sF
sss
ss
sF
终值不存在，故平面有极点在右半由于
解
)(1)(
1
)3)(2)(1(
12
lim)0()1(:
2
tfsssF
sss
ss
sf
s
?
?
???
??
??
??
?
32
2
23
23
0
0
23
2
6116
1
59
5
6116
595
)(
)(1
6116
595
1)()2(
sss
ss
sss
sss
ssF
sF
sss
ss
sF
???
??
??
???
??
??
??
???
??
??
先化为真分式
不为真分式，)( sF
终值不存在故
轴上有一对共轭极点在由于,
)(
)(
1)(lim)0()3(
0
tf
jsjsF
ssFf
s
?? ??
??
??
?
0
)3)(2)(1(
12
lim)(
5)(lim)0(
23
0
0
?
???
???
???
???
?
??
?
sss
sss
sf
ssFf
s
s
存在的和条件是：
，
或则
若
域微分与积分、
LT
11
t
tf
ttf
ds
sFd
tftLdssF
t
tf
L
ds
sdF
ttfL
ds
sdF
ttfL
sFtfL
s
n
n
s
n
)(
)(
)(
)]()[()(]
)(
[
)(
)]([
)(
)]([
)()]([
???
????
?
?
?
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?
?
?
?
?
2
1
2
1
),(]),([,][
),()],([
12
a
a
a
a
daasFdaatfL
a
F
a
f
L
asFatfL
则
若
、时参量微分积分
4.3 拉普拉斯反变换
01
1
1
01
1
1
.,,
.,,
)(
)(
)(
s
bsbsbsb
asasasa
sD
sN
sF n
n
n
n
m
m
m
m
????
???
?? ?
?
?
??
的有理函数拉氏变换一般是在线性电路中，响应的
2
3
,1
0)
2
3
)(1(2352)(
]
352
4
[1
21
2
2
1
????
???????
??
??
ss
sssssD
ss
s
L
有两个单实根
解：由
、求例
3
154
4
)(
)(
3
1
)
2
3
)(1(2
4
)1(
2
31352
4
1
11
21
2
?
???
?
?
?
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??
??
?
???
?
?
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?
??
?
?
ss
s
sssD
sN
k
s
ss
s
sk
s
k
s
k
ss
s
或
inverse laplace transform
0
2
5
3]
352
4
[
2
5
54
4
)(
)(
lim
2
3
2
1
2
3
2
2
???
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
??
?
tee
ss
s
L
s
s
sD
sN
k
t
t
s
ss
21
052)(
]
52
[2
21
2
2
2
1
jS
sssD
ss
se
L
s
???
????
??
?
?
、
解：令
、求例
?j
js
e
j
j
s
s
sssD
sN
k
ss
k
ss
k
ss
s
4
5
242
21
22)(
)(
52
21
1
1
2
2
1
1
2
?
???
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
?
?
jekk
tg
??
?
??
?
4
5
2
1
12
1
可以证明
)2(])2(2co s [
2
5
]
52
[
)co s (2
)2co s (
4
5
2]
52
[
)2(
2
2
1
1
2
1
????
??
?
??
???
??
??
?
?
??
tte
ss
se
L
tek
te
ss
s
L
t
s
t
t
??
??
?
?
)c o s (2
][
2
1
2
1
)()(
1
11
2
1
21
??
??
??
?
?????
??
??
?
?
?
?
?
?
??
?
??
??
???
?
tek
eeek
eekeek
js
js
t
tjtjt
tsjtsj
由时域平移性质
（重根）得解：
、求例
、,1,3,0,0)(
]
)3()1(
2
[3
4321
2
1
??????
??
??
ssssD
sss
s
L
12
1
)1(
2
3
2
)3()1(
2
)1()1(3)3()1(
2
3
22
0
21
32
2
3121
2
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
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??
??
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??
?
s
s
ss
s
k
ss
s
k
s
k
s
k
s
k
s
k
sss
s
0
12
1
]
2
3
[
2
1
3
2
]
)3()1(
2
[
4
3
]
)3(
2
[
2
1
)1(
)3()1(
2
3
2
1
1
32
1
2
2
31
?????
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
??
?
?
???
??
??
teet
sss
s
L
ss
s
ds
d
k
s
sss
s
k
tt
s
s
3
7
2
3
1
65
54
1)(
)(
:
]
65
11156
[4
2
2
23
1
?
?
?
?
???
??
?
???
?
??
???
?
ss
s
ss
s
ssF
sF
mn
ss
sss
L
项式相除，得中分子多项式与分母多将
。不能直接用部分分式法解
、求例
?
提出整式 真分式
037)()()]([ 231 ?????? ??? teettsFL tt??故
的展开时，当 )( )()( sD sNsFmn ??
ts
n
tsts
n
n
ssss
nn
n
n
k
k
n
n
n
ekekektf
sD
sN
sD
sN
ss
sD
sN
k
ss
k
ss
k
ss
k
sFsD
????
?
?
?
????
?
??
?
??
?
??
??
?21
21
1
1
)(
)(
)(
)(
)(
lim)(
)(
)(
.,,.,,)(,0)(1 有单实根，、
)c o s (2)(
)(
)(
)(
,0)(2
1
2
2
1
1
1
1
1211
21
1
??
????
?
??
??
?
?
?
?
?
???
?????
?
tektf
ss
k
ss
k
sF
sD
sN
kekkekk
jsjssD
t
jj
有一对共轭复根、
ts
p
pp
p
m
m
m
p
pp
ekt
p
kt
p
ktf
ss
sssF
ds
d
m
k
ss
k
ss
k
ss
k
sF
psD
1
]
)!2(
1
)!1(
1
[)(
]))(([
)!1(
1
...
)()(
)(
0)(3
1
2
12
1
11
1
11
1
1
1
1
1
1
12
1
11
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
重根有、
4.4 连续时间系统的复频域分析
式类约束关系的复频域形一、线性定常电路中两
??
??
??
??
??
??
m
k
k
m
k
k
m
k
k
m
k
k
sUsI
tuti
11
11
0)(0)(
0)(0)(
1
两边取拉氏变换得
由
域形式（运算形式）、基尔霍夫定律的复频
域模型元件的、、,sCLR2
i R
u
时域关系
Riu ?
R)(sI
)(sU
复频域关系
RsIsU )()( ?
i C
u
)(sU
)(sI
CS1
)0( ?cu
s
u )0( ?)(sI CS1
)(sU
? ?
)0()()(
)0()(][
?
?
??
??
?
cusc s UsI
cusc s UiL
dt
du
ci
—复频域阻抗—CS1
)(ti L
)(tu
)0()(][
)()(
???
?
LisL sIsU
dt
tdiLtu
LS)(sI
)(sU
)0( ?Li
? ?
)(sU
LS
)(sI si )0( ?
抗—电感元件的复频域阻—SL
。和全响应
，零状态响应的零输入响应试求输出电压
”，”到“由“时开关，：如图示电路已处稳态例
)(
)()()(
2101
0
000
tu
tututu
kt
zszi
?
K
"1"
"2"
?
?
? ?V9 V6
F2
H1
?2
Li
)(0tu
?1
Vu
Ai
L
69
21
2
)0(
3
21
9
)0(
)1(
0
??
?
?
?
?
?
?
?
据题意求电路初始状态解：
s
tL
6
)](6[
)2(
??
求输入信号象函数
域模型电路画 s)3(
)(0 sU ?
?
)(b
)(0 sU zs
)(c
?
??
?
s
6 ?
?s
6
V3
?2
Ss21
?1
)(a
?
?
?
?s
6
V3
?2
Ss21
?1
)(0 sU zi
?
?s
6
?2
Ss21
?1
2
3
3
1
9
)32)(1(
2112
)(
2
3
12)()
2
1
2
1
1
(
)(
)4(
0
0
?
?
?
?
??
?
?
?
??
?
??
s
sss
s
sU
s
sU
s
s
b
zi
zi
解得：
列节点方程图
求响应象函数
2
3
2
1
64
)32)(1(
)2(6
)(
6
)()
2
1
21(
)(
0
0
?
?
?
??
??
?
?
?
?
??
s
sssss
s
sU
s
sU
s
s
c
zs
zs
解得：
列节点方程图
2
3
1
1
34
)32)(1(
122712
)(
2
3
12
6
)()
2
1
21(
)(
2
0
0
?
?
?
??
??
??
?
?
???
?
??
s
sssss
ss
sU
ss
sU
s
s
a
解得：
列节点方程图
)(]34[)()()(
)(]264[)]([)(
)(]39[)]([)(
)5(
5.1
000
5.1
0
1
0
5.1
0
1
0
teetututu
teesULtu
teesULtu
tt
zszi
tt
zszs
tt
zizi
?
?
?
??
???
???
??????
????
???
全响应
求拉氏逆变换，得
)(
)()(1
sE
sRsH ??
输入的象函数
零状态响应的象函数、定义
数）一、系统函数（网络函
系统的固有特性
反映了线性定常
网络函数全面地
在同一端口。和响应对于一端口网络，激励
的分类、
)()(
)(
trte
sH2
)(sH
)(sI
)(sU
—策动点导纳函数—②
—策动点阻抗函数—①
)(
)(
)(
)(
)(
)(
sU
sI
sH
sI
sU
sH
?
?
4.5 系统函数
)(sH
)(1 sI
)(1 sU
)(2 sU
)(2 sI
—转移电流比—⑥
—转移电压比—⑤
—转移导纳—④
—转移阻抗—③
不在同一端口。与对双口网络，当
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)()(
1
2
1
2
1
2
1
2
sI
sI
sH
sU
sU
sH
sU
sI
sH
sI
sU
sH
trte
?
?
?
?
始条件为零。电路为单电源作用，初
为响应象函数，，设函数：试求图示电路的网络例 )()(2 2 sIsH
)(sUs
?
?
1 2 SL
)(1 sI )(
2 sI2R
1R
)2(0)()()(2
)1()()()()
1
(1
22111
2111
?????
???
sISLRRsIR
sUsIRsIR
sc
s
：回路
：回路
解：列回路方程
2121
2
1
12
2121
2
1
1
2
)()(
)(
)(
)(
)(
)(
RRSLCRRL CSR
CSR
sU
sI
sH
RRSLCRRL CSR
sCS UR
sI
s
s
????
???
????
?
联立求解得
转移导纳函数
由网络结构和参数决定
无关，与 )()( sUsH s
sc1
)]([)()(
)()(),()(
1)(
)(
)(
)(:
)]([)()1(
)(3
1
1
sHLthtr
sHsRtte
sE
sE
sR
sH
sHLth
sH
?
?
??
??
??
?
故
此时
时当证
的一般性质。、
?
?
。响应、试求图示电路的冲激例 )(3 1 tu
)(tis
?
?
)(1 tu
F1 C
?2
1R
2R?2
H2
L
)(sIs
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1
1R
2R
SL
2
1
1
2
1
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)(
)(
)(
)(
2
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SS
S
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RLS
CS
RLS
RsH
sI
sU
sE
sR
sH
s
—策动点阻抗—解：
0)45
2
1
c o s ()(2)]([)(
45
2
1
12
1
)(
1
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2
1
2
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,0
2
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2
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2
11
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???
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ttetsHLtu
S
S
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S
k
SS
k
SS
k
sH
jSSSsD
o
t
o
SSSS
?冲激响应
令
、
。求该系统的冲激响应
统的输入输出方程为、描述某线性时不变系例
)(
)(6)(6)(2)(6)(11)(6)(
4
th
tetetetrtrtrtr ???????????????
)(6)(6)(2)(6)(11)(6)(
0)0()0()0(
223 sEsSEsESsRsSRsRSsRS
rrr
??????
?????? ???
，得对方程两边取拉氏变换
即解：假设零状态条件，
)()32()]([)(
3
3
2
2
1
1
)3)(2)(1(
662
6116
662
)(
)(
)(
)(
)(
6116
662
)(
321
2
23
2
23
2
teeesHLth
SSS
SSS
SS
SSS
SS
sE
sR
sH
sH
sE
SSS
SS
sR
ttt
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?
?
?
?
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???
??
?
???
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??
???
??
?
故
定义，得由
解得
。或固有频率频率征根也称为系统的自然微分方程的特征根。特
出点就是对应系统输入输称为系统的极点，且极的根
称为系统的零点，的根的有理分式，为
)(
0)(
0)(
)(
)(
)()2(
j
i
psD
zsNs
sD
sN
sH
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L T I
0
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0
)( ??
??
?
n
j
j
j
n
i
i
i tebtra
程的一般形式为系统的输入输出微分方证：描述
)1,0(0)0(0)(
0)0()0()0(
)(
)2()1(
mjette
rrr
j
nn
?
?
???
????
?
?????
时接入，在
若系统处于零状态
0
1
1
0
1
1
0
0
00
)(
)(
)(
)(][)(][
)1(
asasa
bsbsb
sa
sb
sE
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sH
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n
n
n
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j
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i
i
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??
?
?
??
?
?
式取拉氏变换得：对
分方程的特征根。的极点就是对应系统微故
的特征方程为微分方程
极点满足方程令
)(
0)1(
0,0)(
0
0
sH
a
pasD
n
i
i
n
i
i
i
i
?
??
?
?
?
?
?
求网络的全响应。
分别为应及其一阶导数的初值点如图所示。零输入响输入信号、系统的零极
，为常数、、，移函数、某线性定常网络的转例
.8)0(
,4)0(
)()(5 010
01
2
0
???
??
??
??
zi
zi
r
r
aab
asas
bssH
j
1?
0
4?8?12?
)(a
24)]3()2([)1(4)( ??????? tttte ???
24
0 1 2 3 )(st
)(b
(4)
)()(5.0)]([)(
)12)(4(
8)(
1241 teesHLth
ss
ssH
tt ???? ????
??
??知解：由零、极点分布可
)(]
24
1
8
1
6
1
[
]
)12)(4(
8
[]
1
)([)(
1
)()()()(
124
11
tee
sss
s
L
s
sHLtr
s
sHsEsHsR
tt
?
??
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???
??
?
???
????单位阶跃响应为
)3(]
8
24
6
24
[
)2(]
8
24
6
24
[
)1(][2)(
)3(12)3(4
)2(12)2(4
)1(12)1(4
????
????
???
????
????
????
tee
tee
teetr
tt
tt
tt
zs
?
?
?零状态响应
)()()(
)()5()(
1,58)0(4)0(
)(
124
124
trtrtr
teetr
BArr
BeAetr
zszi
tt
zi
zizi
tt
zi
??
????
????????
??
??
??
全响应
，求得，由
零输入响应
?
具有相同的形式。子与时域分析中的转移算 )()()3( pHsH
阶跃信号作用于 RLC串联电路的响应（自学）
R
?
?)(t?
L
0)0( ??i
)(ti C
0)0( ??cu
R
?
?s
1
SL )(sI
SC
1
?
???????
??
????
21
2
2
21
2
2
1
42
,0
1
1
1
)(
1
]
1
)[(
、
、
令
S
LCL
R
L
R
S
CL
S
L
R
S
CL
S
L
R
S
L
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SSC
SLRsI
C
L
R
C
L
R
C
L
R
2
2)(
2
?
?
?
共轭极点
二阶极点重根
不等实根
4.6 系统函数的零、极点分布与系统的时域和频域特性
的求解方法学习了
函数第五节我们定义了系统
)(
)(
)(
)(
sH
sE
sR
sH ?
)(
)(
)(
sH
sH
sH
、已知网络的方框图求
求、已知网络的微分方程
、已知网络结构参数求
3
2
1
)(
)(
sH
sH
由
：来分析线性系统的性质本节我们将学习如何由
确定系统的稳定性
确定系统的频率响应 容系统分析理论的主要内
综合打下基础。本节的学习是为了系统
适当的元件加以实现。
究如何用统函数的性质出发来研系统综合理论则是从系
一,系统函数极点和零点的分布
定对实轴成镜像对称。的极点和零点的分布必,)(1 sH
的根也是故
即
则
，若
设
由证：
0)(
0)()(
0)(
0)(
)(
)(
00
0
0
0
???
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???
???
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sa
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k
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i
kk
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i
i
n
j
j
j
m
i
i
i
k
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极点、零点典
型的分布图
?
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?
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?
??
n
i
tp
i
n
i
i i
i
ek
ps
kLsHLth
01
11 ][)]([)(
2 应、极点、零点与冲激响
? ?
?
?
?
?
t
)(th
0
减幅的自由振荡
位于左半平面ip
为负实根ip 为正实根ip
位于虚轴上ip
?
?
t
)(th
0
)(等幅正弦振荡
?j
?
t
)(th
0
增幅的自由振荡
)c o s (2 1 ??? ?tek t
)(th
增长的指数函数
0 t
)(th
t
衰减的指数函数
0
Pi位于右半平面
0
则称该网络为稳定。逐渐衰减并趋向于零，过程随着时间的推移，
影响下，其过渡若电网络在初始条件的电网络稳定性的定义：
定。生有界响应，则系统稳稳定系统：有界激励产
位于左半面。
点一定系统，其系统函数的极结论：一个稳定的线性
。决定了电网络是否稳定
质决定了零输入响应的性自然频率的极点
?
??)( sH
二、系统函数的极点、零点与系统频率特性的关系
的变化情况。
应随信号频率弦信号激励之下稳态响频率特性是指系统在正
、频率特性1
相幅特性
幅频特性
率特性串联谐振电路的电流频例如 R L C
U
?
?
I
?
?
R Lj?
cj?
1
1?
o
0I
I
0?
?
1
2?
的选择性和通频带宽
频率特性决定了电路
频率特性
—转移电压比—
响应决定了系统变量的频率、
入
出
U
U
ejHjH
jH
j
?
?
?? )()()(
)(2
????
?
)](s i n [)(
2
)()(
2
)s i n (
)(
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??
tUjHU
e
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e
U
U
tUu
m
j
m
j
m
m
j
出
入出
入
则
设
?
??
?
也就确定了。
变化的曲线随，的幅、相频特性确定了故 ?? )()( 2 tujH
?
?
?
js
sHjHthF
jHsHsH
?
?? )()()]([
)()()(3
如下关系：
有与极点时，在虚轴上及右半平面无、当
)(246p 上册页
证明见郑君里书
)()(4 ??? 和、用零极点法分析 jH
))((
)(
)()(
))((
)(
)(
)()(
21
10
21
10
)(
pjpj
zjH
sHjH
psps
zsH
sH
ejHjH
js
j
??
?
??
??
?
?
?
?
??
?
?
??
?
??
设
由
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32
10
1
32
10
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11
0
1
111
)()(
))((
)(
)(
)()(
32
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MH
jH
eMeM
eMH
pjpj
zjH
jH
jH
jj
j
和，用作图法确定令
3
2
1
321
211
111
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j
j
j
eMpj
eMpj
eMzj
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??令
的大小了结论：零极点分布决定 )( ?jH
?j
3M
2M
1M
3? 2? 1
?
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2p
1p 1z
1?j
低通网络、一阶例 RC1
1u 2u
Rc
s
Rc
sc
R
sc
sU
sU
sH
1
1
1
1
)(
)(
)(
1
2
?
?
?
??
Rcp
1
1 ??极点：
零点：无
析。
响特性入手分
研究需要从频
而滤波网络的
件是滤波网络，
重要的组成部
系统中，一种
在通信、控制
)(th
tRce
Rc
11 ?
t
时域特性
0
?j
?js?
零极点图
0
?
M
?
Rc1?
R
C
)( ?jH
?
频域特性
0
1
21
Rcc
1??
)(??
?
c?
o90?
o45?
内在联系。
具有率越低。由此可见：而其幅频特性的截至频
减越慢，虚轴，则其时域响应衰极点越靠近零极点图的
??,,c1p
全通网络、例 RC2
R
C C
R
1u 2u
cu
Rc
s
Rc
s
s R c
s R c
sc
R
R
sc
R
sc
sU
sU
sH
sU
sc
R
R
sU
sc
R
sc
sU
uuu
Rc
1
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1
(
1
1
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1
)(
)(
)(
)(
1
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1
1
)(
1
2
112
2
?
??
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
??
Rc
1?
Rc
1
?
M N
? ?
?j
零极点分布图
M
NjH ?)( ?
1
0 ?
幅频特性
???? ??)(
0180
0 ?
相频特性
090
c?
产生幅度失真。常用来作相位校正而不
络。这种网络—幅频特性为常数的网—全通网络
?
?
?
?
0
01(
bs
asa
sH ）
一般形式为
一阶网络函数的
0
1
0
0
01
0
1
0
0
)(
b
a
a
bs
bsa
bs
sa
bs
a
??
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?
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?j
?
p
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?
p
z
?j
?
p
z
低通
高通
全通
)( ?jH
0 ?
)( ?jH
0 ?
)( ?jH
0 ?
通网络还是全通网络。
网络，高零点决定了网络是低通总位于负实数轴上，其
络该极点一个极点，对于无源网由此可见一阶网络具有
F
?
??
??
?
01
2
01
2
2(
bsbs
asasa
sH ）
二阶网络函数
同理可推得
01
2
01
2
2
01
2
0
2
2
01
2
1
01
2
2
2
01
2
0
bsbs
asasa
bsbs
asa
bsbs
sa
bsbs
sa
bsbs
a
??
??
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?
??
??
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1p
2p
21 zz、
?j
?1p
2p
z
?j
?1p
2p
1z
?j
?1p
2p
2z
1z
?1p
2p 2
z
?j
低通
)( ?jH
0 ?
高通
)( ?jH
0 ?)( ?jH
0 ?
带通
)( ?jH
0 ?
带阻
0w
全通
)( ?jH
0 ?轴互为镜像零点与极点对于 ?j
可由实验测得
确定系统结构参数求求零极点分布系统综合过程：依据
求频率特性求零极点分布系统分析过程：已知
)(
)()(
)()(
?
?
?
jH
sHjH
jHsH
???
??
F
4.7 双边拉普拉斯变换
在某些情况下，有时还要考虑双边时间函数，如周期信号、平稳随机过程等，或是
不符合因果律的理想系统，这时就需要用双边拉普拉斯变换来分析。
一、双边拉普拉斯变换
1、双边拉普拉斯变换的定义
? ? ? ? ? ? stddF s L f t f t e d t?? ????????? ?
??ft ? ?aft ??bft是一个双边函数，可将其分解为右边函数 和左边函数 之和，即
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?abf t f t t f t t??? ? ?
将 f(t)代入双边拉普拉斯变换的定义式，则有
? ? ? ? ? ? ? ?0 0s t s td d b aF s L f t f t e d t f t e d t??????? ? ????? ??
? ? ? ?baF s F s??
? ?aFs ? ?bFs ??ft若, 同时存在，且二者有公共收敛域，则 的双边拉氏变换为
??aft ? ?aFs ? ?bft ? ?bFs右边函数 的拉氏变换 和左边函数 拉氏变换 之和。
? ? ? ?baF s F s??)(sFd
? ?aFs ? ?bFs ??ft如 与 没有公共收敛域，则 的双边拉氏变换就不存在。
2、如何求左边函数的拉氏变换 ? ?
bFs
? ? ? ?0 stbbF s f t e d t???? ?
令 ???t,则上式成为 ? ? ? ?
0
??????? s
bbF s f e d
再令 ??sP,则上式成为 ? ? ? ?
0
???? ???? PbbF p f e d
综上所述，求取左边函数的拉氏变换 ? ?
bFs
可按下列三个步骤进行：
t ??? ? ???bf（ 1）令,构成右边函数 ；
? ???bf ? ?bFp（ 2）对 求单边拉氏变换得 ；
p ps?? ? ?bFs（ 3）对复变量 取反，即,就求得 。
? ? ? ? ? ????? ?? ? ?ttf t e t e t0??例 4.28 求双边指数函数, 的双边拉普拉斯变换。
解：首先求右边函数的拉氏变换 ? ?
aFs ? ? 1,aaFs s ??????
左边函数的拉氏变换 ? ?
bFs
求取如下：
（ 1） ? ? ? ? ? ?0??
?????? ? ? ?,b b tf f t e；
（ 2） ? ? ? ? 1???
?????? ? ? ??? ?? ?bbF p L f L e p
? ? ? ? 1 ?????? ? ? ? ??,p s bbbF s F p s（ 3）
0?? ? ?aFs ? ?
bFs ? ? ???<
因为,所以 和 有公共收敛域,
?j
???0
故 ? ?
dFs
存在并为
? ? ? ? ? ? 221 1 2,d a bF s F s F s s s s ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? <
二, 双边拉普拉斯反变换
例 4.29 求 ? ?
? ?? ?246?? ??dFs ss
，的时间原函数。收敛域分别为
46???（ 1） 6??（ 2） 4? ?（ 3）
1 4?p
2 6?p
解：（ 1）由极点分布和给定收敛域作下图。可见，左侧极点为,右侧极点为
。
??j 640??
0t? ? ?aft左侧的极点对应于 的右边函数
将 ? ?
dFs
展开成部分分式有 ? ? 11
46
???
??dFs ss
? ? ? ?141 4 taf t L e ts ?? ?????????
0t? ? ?
bft
右侧的极点对应于 的左边函数
1
6
?
?s ? ?bft ? ?bft
对应于 的是左边函数, 的求取如下
??sp 1166??? ? ???() sPFp sp① 令,得 ；
② 对 ()Fp 求单边拉氏反变换，得 ? ? ? ? ? ?16 ?? ? ????? ()
bf L F p e
③ 令 ?=-t,即 ? ? ? ? ? ?
6?????? ? ?tb b tf t f e t
最后得其解为
? ? ? ? ? ?46ttf t e t e t??? ? ?
三, 双边信号作用下线性系统的响应
? ? ? ? ? ?3 ttf t e t e t????? ? ? ? ? ? ?2 th t e t???例 4.30 已知激励信号,系统冲激响应为
，求系统的响应。
解：由双边拉氏变换有 ? ? ? ? ? ? ? ? 11 31
31 ???? ? ? ? ? ? ? ? ??? ??,d d a bF s L f t F s F s ss
? ? ? ? 1,22H s L h t s ?? ? ? ????? ?而
? ?dFs ? ?Hs 21?? ? ? ?可见,与 有公共收敛域, 故 ? ?Rs 存在，则有
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?21 2 3dR s F s H s s s s??? ? ? ?1 2 1,2 1s 1 s 2 s 3??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?
1s??由收敛域可知,为右侧极点，对应的左边时间函数为
? ? ? ?1 1 1 tbdr t L e ts ?? ????? ? ??????
23s,s? ? ? ?
? ? ? ? ? ?1 2321 223 ttadr t L e e tss ?? ?????? ? ? ???????
均为右侧极点，对应的右边时间函数为
故系统的响应
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 32 t t td a br t L R s r t r t e e t e t??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?????
4.8 连续时间系统的 s域模拟
则着重控制工程。计初步原理。应用背景系统性能分析或系统设
。从这节内容转向时域法和变换域方法基本求解方法
线性时不变系统的性能分析以及信号通过前面内容侧重讨论信号
)(
系统模型。
框图组合建立之一：即利用基本的方②解决上述矛盾的方法
得要领。
十分繁琐或不法是不行的，研究过程在实际中只依赖这种方
统分析，方法方程或差分方程）的系①建立数学模型（微分
为什么要模拟？
。或仿真的方法称为系统模拟
图运算单元给出系统方框利用线性微分方程基本
一、何谓系统的模拟
)(
到系统设计（综合）。有助于从系统分析过渡
与互联的研究方法也特征的实质，系统分解这种方法容易理解性能
简化。统时，分析过程将得以将它们组合构成复杂系
果熟知各单元性能，解为若干基本单元，如系统的模拟是将系统分
、模拟图用基本单元
法二、线性系统的模拟方
1
)(
)(
2
)(2
1
)(1
sX
x
sX
x
t
t
?
)()()(
)(
21
)(2)(1
sXsXY
xxty
s
tt
??
? ?
① 加法器,
)(
)(
sY
y t
③ 初始条件为零的积分器
时域形式
?? t dxty 0 )()( ??
复频域形式
)(1)( sXssY ?
② 乘法器,
)(
)(
sX
x t a
)(
)(
sY
y t
)()(
)()(
saXsY
taxty
?
?
?
)(tx )(ty
s1
)(sX )(sY
初始条件不为零的积分器
?
)(tx
?
)0(y
)(ty
??? t dxyty 0 )()0()( ??
s1 ?
sy)0(
)(sX )(sY
s
sX
s
ysY )()0()( ??
、一阶微分方程的模拟2
xyay ?? 0' yaxy 0' ??
?x ?
0a?
y'y ?
0a?
)(sX
s
1
)(sY
条件，故是零状态响应以上模拟图都未计初始
)(ssY
、二阶系统的模拟3
xyayay ??? 01 ''' )()()()( 012 sYassYasXsYs ???
? s1
0a?
1a?
)(sX )(2 sYs
)(ssY )(sY
页规则
阶系统的模拟可以推出由一、二阶系统的模拟
329P
n
s1
xbxbyayay
x
0101
4
????????
拟的导数的二阶系统的模、含有
qbqbyy
xqaqaqqq
01
01
2
)1(1,
???
??????
）式满足（则
）满足方程（使引入一辅助函数
方程即可证明
代入原、将 )2()1(
称为直接模拟框图。系统函数作出的，一般
根据系统的微分方程或以上讨论的框图是直接
)(sX
? ?s1
1a?
0a?
1b
0b
)(sY
)(sqs2 )(ssq )(sq
s1
阶系统的方程为一般
、并联模拟框图
n
5
)('...'..,01)(01)1(1)( nmxbxbxbyayayay mmnnn ????????? ??
)()()(
.,,
)),,, ()((
),,, ()((
)(
)(
.,,
.,,
)(
21
2
2
1
1
21
)
01
1
1
01
1
1
sHsHsH
ps
k
ps
k
ps
k
pspsps
zszszs
b
sX
sY
asasas
bsbsbsb
sH
n
n
n
n
m
m
n
n
n
m
mm
m
????
?
??
?
?
?
?
???
???
?
?
???
??
?
??
?
?
?
??
?
则
?
)(1 sH
)(2 sH
)(sx )(sY
…
对其他子系统无影响。
平面上的位置，而的极点或零点在
响该子系统某一子系统的参数仅影
并联，调整将大系统分解为子系统
s
级一阶子系统的并联n
)(sHn
、级联模拟框图6 )(),,,()()( 21 sHsHsHsH r?
联级一阶或二阶子系统级r
)(2 sH )(sHr...)(
1 sH
)(Xs )(Ys
7、反馈系统
? ?1Hs? ?
2Hs
? ?Fs?? ? ?Ys
? ? ? ?? ? ? ?1
121
HsHs
H s H s? ?
整个反馈系统的系统函数为
图。试画出该系统的模拟框
统函数：已知某连续系统的系例
123
1)(1
23 ???? ssssH
统模拟框图于是可得零状态下的系
解：
)()(2)(3)()(
)()()(2)(3)(
123
1
)(
)(
)(
23
23
23
sYssYsYssXsYs
sXsYssYsYssYs
ssssX
sY
sH
????
?????
???
???
)(sX
? s1
3?
2?
)(3 sYs )(ssY)(2 sYs )(sY
s1s1
1?
?
?
?
?
)()()()3(
)2(
);()1(
)(2
3
tytetx
th
a
t
，求零状态响应若输入
写出系统的微分方程；
系统函数和冲激响应试求
统的模拟框图。为某线性时不变连续系：图例
?
?
?
中所标。，各积分器的输出如图输入端加法器的输出为
图右边所示。设域模拟框图如图假设零状态，画解：
)(
)()()1(
sq
bbs
)(tX
? ?? ?
3?
2?
1
)(ty
?
?
?
?
?
)(a
)1()(
231
1
)(
)(2)(3)()()(
21
21
sX
ss
sq
sqssqssXsqb
??
??
??
?
???
由上式解得
可知由
)(
231
)()1(
)()()()()(
21
21
2121
sX
ss
ss
sY
sqsssqssqssY
??
??
????
??
?
?
????
式代入上式，得将
输出端的加法器输出为
)(sX
? ?s1
3?
2?
1
)(sy
?
?
?
?
?
)(sq
)(1 sqs?
)(2 sqs?
)(b
s1
)()23()]([)(
2
3
1
2
23
1
231)(
)(
)(
21
221
21
teesHLth
ssss
s
ss
ss
sX
sY
sH
tt ????
??
??
???
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
???
故
)()()(2)(3)(
)()()()23()()2( 2
txtxtytyty
sXssXsYsssH
?????????
????
系统的微分方程为
得由
)()32()(
3
2
2
3
1
1
3
1
)2)(1(
1
)()()(
3
1
)]([)()3(
23
teeety
ssssss
s
sXsHsY
s
txLsX
ttt
?
???
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
??
故系统的零状态响应
4.9 系统的稳定性
、定义
件一、系统的稳定及其条
1 )(te
)(th
)(tr
???? tMte e 0|)(|,如果
为实数。其中：
则称系统是稳定的。且
re
r
MM
tMtr
,
,0|)(|,????
、系统稳定的充要条件2
??? ?0 ?? dh |)(| 0)(lim ?
?? tht或
???? tMth 0|)(|或
称为临界稳定。为等幅振荡或常数时，当
渐进稳定。满足以上条件的，称为
)( th
381P证明见书
孤立冲激函数
处可有在 0)( ?tth
环系统。引起输出本身变化的闭
，从而出反过来馈送到输入处指系统的输出或部分输
二、反馈系统
)()(
)(
)(
)(
)(
)()()]()()([
sHsG
sG
sR
sY
sT
sYsGsYsHsR
?
???
??
1
由反馈系统框图得
? )(sG
)(sH
)(sE)(sR )(sY?
?
—前向转移函数—
的开环转移函数—是系统中的环开路时—
统函数—是整个反馈系统的系—
)(
)()(
)(
sG
sHsG
sT
实部是否全部为负。
的根的看系统特征方程是否全在左半平面，或
的极点数渐进稳定，要看系统函判别一个反馈系统是否
01 ?? )()(
)(
sHsG
sT
判据霍维茨—罗斯—三,)(H u r w i t zR ou t h
导出类似方法。年的根和零实部根，
部包含有多少个具有正实不必解方程就可知道它
根的方法，提出一种判别代数方程年
H u r w i t z
R o u t h
1 8 9 5
1 8 7 7
霍维茨判别法—罗斯
。具有的正实部根的个数
所符号改变的次数就是列数符号不全相同，则
的符号相同。若第一霍维茨阵列中第一列数—③罗斯
②无缺项；
符号相同；①多项式的全部系数
平面上的充要条件是：的根全部位于左半要使
程为的分母即系统的特征方
0)(
0)(
0...)(
)(
01
1
1
?
?
???? ?
?
?
?
sD
a
ssD
asasasasD
sT
i
n
nn
n
第一步 把 的所有系数按如下顺序排成两行)(sD
1?n
n
a
a
3
2
?
?
n
n
a
a
5
4
?
?
n
n
a
a
构筑 Houth---Hurwitz阵列的步骤为
为止依次类推，排列 0a
第二步：排列 R— H 阵列规则如下：
??,
,,
,,
4
312
11
?
???
??
?
??
??
nn
nnnn
nnnn
aC
aBaB
aAaA
0
1
2
3
2
1
A
A
A
A
A
A
A
n
n
n
n
?
?
?
0
0
2
3
2
1
B
B
B
B
B
n
n
n
n
?
?
?
0
0
0
3
2
1
?
?
?
n
n
n
n
C
C
C
C
??
?
?
?
1?n
n
D
D
7
6
?
?
n
n
a
a
22
11
2
3
22
11
2
3
111
2
111
2
111
2
11
111
??
??
???
??
?
?????????
????
??????
nn
nn
n
n
nn
nn
n
n
nn
nn
n
n
nn
nn
n
n
nn
nn
n
n
CA
CA
A
B
BA
BA
A
A
DA
DA
A
C
CA
CA
A
B
BA
BA
A
A
－－
－－－
0
1
2
3
2
1
A
A
A
A
A
A
A
n
n
n
n
?
?
?
0
0
2
3
2
1
B
B
B
B
B
n
n
n
n
?
?
?
0
0
0
3
2
1
?
?
?
n
n
n
n
C
C
C
C
??
?
?
?
1?n
n
D
D
各行按下列公式计算
式阵列中通项的一般式为 ).( 1084
例 1,试判别特征方程 的系统是否稳定 062 23 ???? sss
0
1
2
3
A
A
A
A
0
0
6
1
有符号变化,系统不稳定
解：罗斯－霍维茨排列
0
0
6
1
1
2
6
11
1
2
?
?
?
045 23 ???? kSSS
k
k
5
20
5
1
?
0
0
4
k
系统稳定条件为
??
?
?
?
?
??
0
0
5
20
k
k
200 ?? k故
kk
kk
??
?
5
20
5
20
例 2,K何值时系统稳定
03223 234 ????? ssss、例
3
3
2
)0(
1
1
?
?
?
3
2
2
0
0
3
0
0
—正无穷小量—
故系统不稳定
?
?
? 0
3
2,0 ????
问号是开启任何一门科学的钥匙。
---巴甫洛夫（前苏联）
