模糊控制的基本原理和方法
● 模糊逻辑控制器的基本结构
● 模糊控制系统的设计
● PID 控制器模糊增益调节
● 模糊系统的稳定性分析
● 利用 MATLAB设计模糊控制器
● 模糊逻辑控制器的基本结构
决策逻辑
去
模
糊
化
知识
库
过程
模
糊
化
模糊控制器
ee ?和计算
+
-
模糊推理单元
精
确
值
模
糊
值
模
糊
值
精
确
值
ry
ky
1
,
????
??
kkk
krk
eee
yye
k 为：误差和误差的变化定义在采样时刻
输出设定值
▲ 模糊化部件
▲ 知识库
▲ 决策逻辑 — 模糊控制系统的核心
▲ 去模糊化部件
模糊控制中，模糊系统行为按专家知识，以语言规则描述：
多输入多输出（ MIMO）转化为多输入单输出（ MISO）。
一般规则表示如下：
n
n
nn
nn
n
nn
nn
Cyt h enAxAxAxifR
Cyt h enAxAxAxifR
Cyt h enAxAxAxifR
,,,:
,,,:
,,,:
2211
2
22
22
2
112
1
11
22
1
111
是是，是是
是是，是是
是是，是是
??????
??????
??????
??????
)()(? ? yxCAR
VUyx
iii B
j
iARi
j
j
ii
ii
??? ?? ???? 或
，用模糊隐含表示：和的论域分别为和
● 模糊控制系统的设计
1,模糊化的策略
▲ 采用单点模糊化
▲ 选择合适的模糊函数
☆ 考虑噪声的概率密度函数。使
nfW ?5?
)( u?
U
f
W
n
?2
)( uP
1
0
(b)
U
)( uP
1
0
(a)
)(u?
n?2
fW
☆ 对应于输入测量（确定的）的范围，语言变量域中
应取多少元素,即 xi 中,i 取何值？一般 5~30。
☆ 模糊变量术语集合的数目选取。在细分和粗分之间进
行折中。一般为 2~10。
2,模糊规则的合理调整
按照系统的动态行为可以合理地选择和确定模糊规则：
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
m
i ii iii iv v vi vii viii ix x x i xii 8
根据 e和△ e的方向和大小，选择控制量的增量△ u的
大小和方向。
有四种情况：
); x i iv i i iiv( 0 0,4
);xi v i iiii( 0 0,3
);x viii( 0 0,2
);ixv i( 0 0,1
区、、相当于
区、、相当于
区、、相当于
区、、相当于
???
???
???
???
ee
ee
ee
ee
有交叉点和峰、谷点。
),,( 0 0
),,( 0 0
),,( 0,00 2,
),,( 0,00,1
mieee
kgcee
lhdeee
jfbeee
???
???
?????
?????
，谷点：
，峰点：
交叉点：
控制 元 规则：
1。如果 e和△ e二者都为零，△ u=0,保持现状。
2。如果 e以满意的速率趋向零,△ u=0,保持现状。
3。如果 e不是自校正,△ u不为零，取决于 e和△ e的符号和大小。
● 对交叉点,△ u符号和△ e符号一样。
0,,?? ujfb,对
0,,?? ulhd,对
0,,?? ukgc,对
0,,?? umie,对
● 对峰、谷点，△ u符号和 e符号一样。
6
。或当接近设定值时，；，大时，要缩短上升时间区，当、、对
00
0ixv i
???
??
u
ue
0xviii ?? u区，应防止超调，、、对
●
●
。或当接近设定值时，；，大时，要缩短上升时间区，当、、对
00
0xi v i iiii
???
??
u
ue
●
。谷点的峰值，区，应防止超调，减小、、对 0x i ivi i iiv ?? u●
根据以上规则，我们可以选择和设计模糊控制器
的规则表
6
规则号 e △ e △ u 参 考 点
1 PB ZE PB a
2 PM ZE PM e
3 PS ZE PS i
4 ZE NB NB b
5 ZE NM NM f
6 ZE NS NS j
7 NB ZE NB c
8 NS ZE NM g
9 ZE ZE NS k
10 ZE PB PB d
11 ZE PM PM h
12 ZE PS PS i
13 ZE ZE ZE 设置点
关于语言相平面方法调整规则
线性或非线性。表示模糊关系，可以是
可以写成：控制规则为是和误差导数是误差
F
keKkeKFkuK
Ct h e nBeAeifR iiii
)](),([)]([
,:
213 ??
?
调节 K1,K2,K3 可以修正规则。
什么叫语言相平面？
按误差 e(E) 和误差变化 △ e(△ E)语言值和相应的规则，构成语言
相平面 E × △ E,
什么叫语言轨迹？
在相平面中，隶属函数为最大的点的连线，
改变 K1,K2,K3 改变相应 语言轨迹，就可调节系统的动
态行为（品质）。
13
13
E E
△ E △ E △ E
合适太大,21 KK太小合适,21 KK 合适合适,21 KK
举例：
K3是由 K1,K2 决定的，增加模糊输出语言值，就
应增加 K3。
EE
举例：一阶系统的调节。
PBPMPMPSZEZEZE
PBPMPMPSZEZEZE
PBPSPSZEZEZENS
PMPSPSZENSNSNM
PSZEZEZENSNSNB
ZEZEZENSNMNMNB
ZEZEZENSNMNMNB
△ E
E
△ E
E
上升时间慢，超调量大。
11
PBPMPMPSZEZEZE
PBPMPBPMZEZEZE
PBPMPSZEZEZENM
PMPMPSZENSNMNB
PMZEZEZENSNMNB
ZEZEZENMNMNMNB
ZEZEZENSNMNMNB
E
△ E
△ E
E
少了一个 NS减少超调。 PM与前图相同。
PBPMPMPSZEZEZE
PBPMPBPBZEZEZE
PBPSPSZENSZENM
PBPMPSZENSNMNB
PBPMPSZENBNB
ZEZEZENBNBNMNB
ZEZEZENSNMNMNB
NB
△ E
△ E
E E
3, 模糊规则的完整性、一致性和交换性
● 对过程的每一状态，都能推导出一个合适的控制规则，
—— 控制规则的完整性。
● 子集的并，应该以一定程度 ?覆盖有关论域 —— 控制
规则的 ?完整性。 ? 0.5.?
5.0??
● 规则之间不存在矛盾,
● PID 控制器模糊增益调节
模糊控制器应用的模式
过程
+
-
k
y
k
y
r
y
P I D 控制器
模糊规则与推理
控制信号
● 模糊 PID调节器
过程
推
理
机
Z / Z - 1
1
K
2
K
1?
Z
+
-
+
-
e
e?
E
u?U ?
模糊量
?? ???
m
j
m
j
UKu
11
3
/ ??
精确量
连续量
k
y
k
y
r
y
3
K
E?
?模糊控制在 MATLAB中的实现
? 设计一模糊控制器使其超调量不超过 1%，输出的上升时间 <0.3。
? 步骤
1,确定 e,de和 u的论域
2,e,de和 u语言变量的选取
3,规则的制定
4,推理方法的确定
? ?? ?4 5 6.864.15.0 2 2 8.422 ???? sssG
假定被控对象的传递函数为：
? 1,根据系统实际情况，选择 e,de和 u的论域
e range, [-1 1]
de range,[-0.1 0.1]
u range,[0 2]
? 2,e,de和 u语言变量的选取
e 8个,NB,NM,NS,NZ,PZ,PS,PM,PB
de 7个,NB,NM,NS,Z,PS,PM,PB
U 7个,NB,NM,NS,Z,PS,PM,PB
利用 MATLAB的 Toolbox工具
e
U NB NM NS NZ PZ PS PM PB
PB PL PM NM NM NM NL NL NB
PM PL PM NM NM NM NS NS NB
PS PL
PM
NS NS NS NS NM NB
Z
PL PM PS
Z Z
NS NM NB
NS PL PM PS PS PS PS NM NB
NM PL PL PS PS PM PM NM NB
de
NB PL PL PL PM PM PM NM NB
3.模糊规则确定
4,隐含和推理方法的制定
? 隐含采用 ‘ mamdani’方法, ‘max-min‘
? 推理方法,即 ‘ min‘ 方法
? 去模糊方法：面积中心法。
? 选择隶属函数的形式,三角型
MATLAB
0.11 -0.1-1 0 2
也可以用 viewsurf菜单命令看模糊控制器的输出量
Scope 2Scope 1
Scope 3
● 模糊系统的稳定性分析
.,...2,1
..,
,...,,,
110
2211
ni
xpxppyT h e n
AxAxAxIf
k
i
k
ii
i
kk
ii
?
????
是是是Ri:
这是 Takagi— Sugeno一阶模型。改写为：
为了分析模糊系统的稳定性，把常用的一阶模糊系统改写：
.,.,,2,1
)(.,, )( )1(
,)1(.,,,,)1(,)(
1
21
li
kxakxakxT h e n
AnkxAkxAkxIf
i
n
i
i
n
ii
?
????
??? 是是是Ri:
进一步，写成矩阵形式：
x(k+1)= Ai x(k)
推理得到的模糊输出：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
???
???
???
???
???
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????????
???
?
0100
0000
0000
0010
0001
)]1(,),1(),([)1(
,)(
121
i
n
i
n
ii
i
T
nn
i
n
aaaa
A
nkxkxkxkx
RRARkx
?? ???? li iili i wkxAwkx 11 /)()1(
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?
n
p
i
p
i pkxAw
l
1
)]1([
是模糊隐含的数目，
?? ???? li iili i wkxAwkx 11 /)()1(
这是一个模糊系统，可以看成是一个离散系统，它由许多
子系统组成。
这系统在什么条件下能够稳定呢？
根据 Lyapunov稳定理论，只要存在一个 公共的正定矩阵 P,使：
0?? PAA iTi
则该系统必定全局渐近稳定。
可以证明，此结论是正确的。证明见书本。
举例：
是权值。和
模型的输出
是
是
型：考虑一个过程的模糊模
21
222
111
)(120.1)1(361.0)(256.2)1(,)(,
)(603.0)1(588.0)(178.2)1(,)(,
ww
kukxkxkxt h enAkxifR
kukxkxkxt h enAkxifR
?????
?????
模糊控制器为：
)1(0 5 3.0)(2 0 5.1(,)(,
)1(4 7 5.0)(1 0 9.2(,)(,
222
111
????
????
kxkxkut h e nAkxifR
kxkxkut h e nAkxifR
）是
）是
)/()]1()1([)1( 212211 wwkxwkxwkx ??????
合成的模糊控制器为：
)/()]()([)( 212211 wwkuwkuwku ???
合成的总系统
])(2) / [ (
) ] }1()(3 0 2.0)()(9 0 6.0{[
)]1()(3 8 5.0)()(3 4 5.1[
)]1()(3 0 2.0)()(9 0 6.0{[)1(
222121
2222
2121
2121
wwww
kxwkxw
kxwwkxww
kxwkxwkx
??
???
???
????
??
??
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l
i
i
i
l
i
i wkxAwkx
11
/)()1(
对照下式：
合成的总系统可以分解如下：
??
?
??
? ??
??
?
??
? ???
01
1 9 3.06 7 2.0,
01
3 0 2.09 0 6.0
122211 AAA
)()1( ),()(,
)()1( ),()(,
)()1( ),()(,
22
222211
12
122112
11
111111
kxAkxt h enAAkxifR
kxAkxt h enAAkxifR
kxAkxt h enAAkxifR
??
??
??
和是
和是
和是
= 0.906 x(k) － 0.302 x(k－ 1)
= 0.672 x(k) － 0.193 x(k－ 1)
= 0.906 x(k) － 0.302 x(k－ 1)
形式上，一个模糊大系统，分成三个模糊子系统。为了保证
此系统稳定，必须存在一个正定矩阵 P满足一定的条件。
?
?
?
?
?
?
?
??
38.188.0
88.019.4P
0
0
0
2222
1212
1111
??
??
??
PPAA
PPAA
PPAA
T
T
T
目前情况下，我们可以找到正定矩阵 P，
满足：
所以，该系统是可以稳定的。
要注意：这个条件是比较严格的，一般情况下很
难予以满足！
要注意：各个模糊子系统稳定，并不能保证整个
模糊系统稳定！
举例：
有二个子系统：
)1(5.0)()1( )1(, 11 ????? kxkxkxt h e niskxifR
)1(5.0)()1( )1(, 22 ?????? kxkxkxt h e niskxifR
???
?
???
? ??
01
5.01
1A ??
?
?
???
? ???
01
5.01
2A
该二个子系统分别是稳定的。但合成的总系统却是不稳定的。
因为：
???
?
???
?
??
??
5.01
5.01A
是不稳定的。
如果 Ai是 稳定非奇异矩阵,i=1,2,● ● ●,l,如果存在
公共正定矩阵 P,使得：
0?? PPAA iTi
则 Ai A j是稳定矩阵，就能保证整个系统的稳定。
由于要找的依然是全局正定矩阵，因此其条件
仍然是十分苛刻的！
—— 模糊控制完 ——
第一章习题
1,
4,
9,
15.1,
16
● 模糊逻辑控制器的基本结构
● 模糊控制系统的设计
● PID 控制器模糊增益调节
● 模糊系统的稳定性分析
● 利用 MATLAB设计模糊控制器
● 模糊逻辑控制器的基本结构
决策逻辑
去
模
糊
化
知识
库
过程
模
糊
化
模糊控制器
ee ?和计算
+
-
模糊推理单元
精
确
值
模
糊
值
模
糊
值
精
确
值
ry
ky
1
,
????
??
kkk
krk
eee
yye
k 为：误差和误差的变化定义在采样时刻
输出设定值
▲ 模糊化部件
▲ 知识库
▲ 决策逻辑 — 模糊控制系统的核心
▲ 去模糊化部件
模糊控制中，模糊系统行为按专家知识，以语言规则描述：
多输入多输出（ MIMO）转化为多输入单输出（ MISO）。
一般规则表示如下：
n
n
nn
nn
n
nn
nn
Cyt h enAxAxAxifR
Cyt h enAxAxAxifR
Cyt h enAxAxAxifR
,,,:
,,,:
,,,:
2211
2
22
22
2
112
1
11
22
1
111
是是，是是
是是，是是
是是，是是
??????
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??????
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)()(? ? yxCAR
VUyx
iii B
j
iARi
j
j
ii
ii
??? ?? ???? 或
，用模糊隐含表示：和的论域分别为和
● 模糊控制系统的设计
1,模糊化的策略
▲ 采用单点模糊化
▲ 选择合适的模糊函数
☆ 考虑噪声的概率密度函数。使
nfW ?5?
)( u?
U
f
W
n
?2
)( uP
1
0
(b)
U
)( uP
1
0
(a)
)(u?
n?2
fW
☆ 对应于输入测量（确定的）的范围，语言变量域中
应取多少元素,即 xi 中,i 取何值？一般 5~30。
☆ 模糊变量术语集合的数目选取。在细分和粗分之间进
行折中。一般为 2~10。
2,模糊规则的合理调整
按照系统的动态行为可以合理地选择和确定模糊规则：
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
m
i ii iii iv v vi vii viii ix x x i xii 8
根据 e和△ e的方向和大小，选择控制量的增量△ u的
大小和方向。
有四种情况：
); x i iv i i iiv( 0 0,4
);xi v i iiii( 0 0,3
);x viii( 0 0,2
);ixv i( 0 0,1
区、、相当于
区、、相当于
区、、相当于
区、、相当于
???
???
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???
ee
ee
ee
ee
有交叉点和峰、谷点。
),,( 0 0
),,( 0 0
),,( 0,00 2,
),,( 0,00,1
mieee
kgcee
lhdeee
jfbeee
???
???
?????
?????
，谷点：
，峰点：
交叉点：
控制 元 规则：
1。如果 e和△ e二者都为零，△ u=0,保持现状。
2。如果 e以满意的速率趋向零,△ u=0,保持现状。
3。如果 e不是自校正,△ u不为零，取决于 e和△ e的符号和大小。
● 对交叉点,△ u符号和△ e符号一样。
0,,?? ujfb,对
0,,?? ulhd,对
0,,?? ukgc,对
0,,?? umie,对
● 对峰、谷点，△ u符号和 e符号一样。
6
。或当接近设定值时，；，大时，要缩短上升时间区，当、、对
00
0ixv i
???
??
u
ue
0xviii ?? u区，应防止超调，、、对
●
●
。或当接近设定值时，；，大时，要缩短上升时间区，当、、对
00
0xi v i iiii
???
??
u
ue
●
。谷点的峰值，区，应防止超调，减小、、对 0x i ivi i iiv ?? u●
根据以上规则，我们可以选择和设计模糊控制器
的规则表
6
规则号 e △ e △ u 参 考 点
1 PB ZE PB a
2 PM ZE PM e
3 PS ZE PS i
4 ZE NB NB b
5 ZE NM NM f
6 ZE NS NS j
7 NB ZE NB c
8 NS ZE NM g
9 ZE ZE NS k
10 ZE PB PB d
11 ZE PM PM h
12 ZE PS PS i
13 ZE ZE ZE 设置点
关于语言相平面方法调整规则
线性或非线性。表示模糊关系，可以是
可以写成：控制规则为是和误差导数是误差
F
keKkeKFkuK
Ct h e nBeAeifR iiii
)](),([)]([
,:
213 ??
?
调节 K1,K2,K3 可以修正规则。
什么叫语言相平面？
按误差 e(E) 和误差变化 △ e(△ E)语言值和相应的规则，构成语言
相平面 E × △ E,
什么叫语言轨迹？
在相平面中，隶属函数为最大的点的连线，
改变 K1,K2,K3 改变相应 语言轨迹，就可调节系统的动
态行为（品质）。
13
13
E E
△ E △ E △ E
合适太大,21 KK太小合适,21 KK 合适合适,21 KK
举例：
K3是由 K1,K2 决定的，增加模糊输出语言值，就
应增加 K3。
EE
举例：一阶系统的调节。
PBPMPMPSZEZEZE
PBPMPMPSZEZEZE
PBPSPSZEZEZENS
PMPSPSZENSNSNM
PSZEZEZENSNSNB
ZEZEZENSNMNMNB
ZEZEZENSNMNMNB
△ E
E
△ E
E
上升时间慢，超调量大。
11
PBPMPMPSZEZEZE
PBPMPBPMZEZEZE
PBPMPSZEZEZENM
PMPMPSZENSNMNB
PMZEZEZENSNMNB
ZEZEZENMNMNMNB
ZEZEZENSNMNMNB
E
△ E
△ E
E
少了一个 NS减少超调。 PM与前图相同。
PBPMPMPSZEZEZE
PBPMPBPBZEZEZE
PBPSPSZENSZENM
PBPMPSZENSNMNB
PBPMPSZENBNB
ZEZEZENBNBNMNB
ZEZEZENSNMNMNB
NB
△ E
△ E
E E
3, 模糊规则的完整性、一致性和交换性
● 对过程的每一状态，都能推导出一个合适的控制规则，
—— 控制规则的完整性。
● 子集的并，应该以一定程度 ?覆盖有关论域 —— 控制
规则的 ?完整性。 ? 0.5.?
5.0??
● 规则之间不存在矛盾,
● PID 控制器模糊增益调节
模糊控制器应用的模式
过程
+
-
k
y
k
y
r
y
P I D 控制器
模糊规则与推理
控制信号
● 模糊 PID调节器
过程
推
理
机
Z / Z - 1
1
K
2
K
1?
Z
+
-
+
-
e
e?
E
u?U ?
模糊量
?? ???
m
j
m
j
UKu
11
3
/ ??
精确量
连续量
k
y
k
y
r
y
3
K
E?
?模糊控制在 MATLAB中的实现
? 设计一模糊控制器使其超调量不超过 1%，输出的上升时间 <0.3。
? 步骤
1,确定 e,de和 u的论域
2,e,de和 u语言变量的选取
3,规则的制定
4,推理方法的确定
? ?? ?4 5 6.864.15.0 2 2 8.422 ???? sssG
假定被控对象的传递函数为：
? 1,根据系统实际情况，选择 e,de和 u的论域
e range, [-1 1]
de range,[-0.1 0.1]
u range,[0 2]
? 2,e,de和 u语言变量的选取
e 8个,NB,NM,NS,NZ,PZ,PS,PM,PB
de 7个,NB,NM,NS,Z,PS,PM,PB
U 7个,NB,NM,NS,Z,PS,PM,PB
利用 MATLAB的 Toolbox工具
e
U NB NM NS NZ PZ PS PM PB
PB PL PM NM NM NM NL NL NB
PM PL PM NM NM NM NS NS NB
PS PL
PM
NS NS NS NS NM NB
Z
PL PM PS
Z Z
NS NM NB
NS PL PM PS PS PS PS NM NB
NM PL PL PS PS PM PM NM NB
de
NB PL PL PL PM PM PM NM NB
3.模糊规则确定
4,隐含和推理方法的制定
? 隐含采用 ‘ mamdani’方法, ‘max-min‘
? 推理方法,即 ‘ min‘ 方法
? 去模糊方法：面积中心法。
? 选择隶属函数的形式,三角型
MATLAB
0.11 -0.1-1 0 2
也可以用 viewsurf菜单命令看模糊控制器的输出量
Scope 2Scope 1
Scope 3
● 模糊系统的稳定性分析
.,...2,1
..,
,...,,,
110
2211
ni
xpxppyT h e n
AxAxAxIf
k
i
k
ii
i
kk
ii
?
????
是是是Ri:
这是 Takagi— Sugeno一阶模型。改写为：
为了分析模糊系统的稳定性，把常用的一阶模糊系统改写：
.,.,,2,1
)(.,, )( )1(
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1
21
li
kxakxakxT h e n
AnkxAkxAkxIf
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进一步，写成矩阵形式：
x(k+1)= Ai x(k)
推理得到的模糊输出：
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i
p
i pkxAw
l
1
)]1([
是模糊隐含的数目，
?? ???? li iili i wkxAwkx 11 /)()1(
这是一个模糊系统，可以看成是一个离散系统，它由许多
子系统组成。
这系统在什么条件下能够稳定呢？
根据 Lyapunov稳定理论，只要存在一个 公共的正定矩阵 P,使：
0?? PAA iTi
则该系统必定全局渐近稳定。
可以证明，此结论是正确的。证明见书本。
举例：
是权值。和
模型的输出
是
是
型：考虑一个过程的模糊模
21
222
111
)(120.1)1(361.0)(256.2)1(,)(,
)(603.0)1(588.0)(178.2)1(,)(,
ww
kukxkxkxt h enAkxifR
kukxkxkxt h enAkxifR
?????
?????
模糊控制器为：
)1(0 5 3.0)(2 0 5.1(,)(,
)1(4 7 5.0)(1 0 9.2(,)(,
222
111
????
????
kxkxkut h e nAkxifR
kxkxkut h e nAkxifR
）是
）是
)/()]1()1([)1( 212211 wwkxwkxwkx ??????
合成的模糊控制器为：
)/()]()([)( 212211 wwkuwkuwku ???
合成的总系统
])(2) / [ (
) ] }1()(3 0 2.0)()(9 0 6.0{[
)]1()(3 8 5.0)()(3 4 5.1[
)]1()(3 0 2.0)()(9 0 6.0{[)1(
222121
2222
2121
2121
wwww
kxwkxw
kxwwkxww
kxwkxwkx
??
???
???
????
??
??
??
l
i
i
i
l
i
i wkxAwkx
11
/)()1(
对照下式：
合成的总系统可以分解如下：
??
?
??
? ??
??
?
??
? ???
01
1 9 3.06 7 2.0,
01
3 0 2.09 0 6.0
122211 AAA
)()1( ),()(,
)()1( ),()(,
)()1( ),()(,
22
222211
12
122112
11
111111
kxAkxt h enAAkxifR
kxAkxt h enAAkxifR
kxAkxt h enAAkxifR
??
??
??
和是
和是
和是
= 0.906 x(k) － 0.302 x(k－ 1)
= 0.672 x(k) － 0.193 x(k－ 1)
= 0.906 x(k) － 0.302 x(k－ 1)
形式上，一个模糊大系统，分成三个模糊子系统。为了保证
此系统稳定，必须存在一个正定矩阵 P满足一定的条件。
?
?
?
?
?
?
?
??
38.188.0
88.019.4P
0
0
0
2222
1212
1111
??
??
??
PPAA
PPAA
PPAA
T
T
T
目前情况下，我们可以找到正定矩阵 P，
满足：
所以，该系统是可以稳定的。
要注意：这个条件是比较严格的，一般情况下很
难予以满足！
要注意：各个模糊子系统稳定，并不能保证整个
模糊系统稳定！
举例：
有二个子系统：
)1(5.0)()1( )1(, 11 ????? kxkxkxt h e niskxifR
)1(5.0)()1( )1(, 22 ?????? kxkxkxt h e niskxifR
???
?
???
? ??
01
5.01
1A ??
?
?
???
? ???
01
5.01
2A
该二个子系统分别是稳定的。但合成的总系统却是不稳定的。
因为：
???
?
???
?
??
??
5.01
5.01A
是不稳定的。
如果 Ai是 稳定非奇异矩阵,i=1,2,● ● ●,l,如果存在
公共正定矩阵 P,使得：
0?? PPAA iTi
则 Ai A j是稳定矩阵，就能保证整个系统的稳定。
由于要找的依然是全局正定矩阵，因此其条件
仍然是十分苛刻的！
—— 模糊控制完 ——
第一章习题
1,
4,
9,
15.1,
16
