基于模糊推理的智能控制
1） 模糊集合与模糊推理
2）模糊推理系统
3）模糊建模与辨识
4）模糊控制系统
5）模糊控制系统的稳定性
0,模糊概念
天气冷热 雨的大小 风的强弱
人的胖瘦 年龄大小 个子高低
常用术语
1）模糊集合和模糊推理
① 模糊集合和隶属函数
精确集合 （非此即彼）,A={X|X>6}
精确集合的隶属函数：
A 0
A 1
?
?
?
?
??
X
X
A 如果
如果?
模糊集合：
如果 是对象 x的集合，则 的模糊集合,X X A
}|))(,{( XxxxA A ?? ?
) )( MFAxA 的隶属函数（简写为称为模糊集合?
论域的二种形式：
1）离散形式 （ 有序或无序）：
举例,X={上海 北京 天津 西安 }为城市的集合。
模糊集合 C =,对城市的爱好”可以表示为：
C = {(上海,0.8),(北京,0.9),(天津,0.7),(西安,0.6)}
隶属函数的性质：
a) 定义为有序对；
b) 隶属函数在 0和 1之间；
c) 其值的确定具有主观性和个人的偏好。
X 称为论域或域
又,X = {0 1 2 3 4 5 6}为一个家庭可拥有自行车数目的集合
模糊集合 C =,合适的可拥有的自行车数目”
C = {(0,0.1),(1,0.3),(2,0.7),(3,1.0),(4,0.7),(5,0.3),(6,0.1)}
6?X
6?X6?X
1?A?0?A?
1 13
1] 0[)( ?xA?
精确集合
模糊集合
1)( ?xA?
1 13
6
2) 连续形式,
令 X = R+ 为人类年龄的集合,
模糊集合 B =,年龄在 50岁左右”则表示为,
4)
10
50
(1
1
)(
}|)(,{
?
?
?
??
x
x
XxxxB
B
B
?
?
式中：
图示,
模糊集合的公式表示
?
?
?
?
?
?
?
? ?
X
iA
Xx iiA
Xxx
Xxx
A
i
轴）为连续空间（通常为实
为离散对象集合
/)(
/)(
?
?
注意, ? ? 和 并非求和和积分符号,
上述三个例子分别可写为
C = 0.8 /上海 +0.9 /北京 +0.7 /天津 +0.6 /西安
C = 0.1/0+0.3/1+0.7/2+1.0/4+0.3/5+0.1/6
x
x
B
R
/
)
10
50(1
1
4
?
? ??
?
/ 不是除法运算
② 支集
支集
核
交叉点
??
}0)(|{)( ?? xxA A?支集
截集?
③ 核
}1)(|{)( ?? xxA A?核
④ ? 截集 } )(|{ ??? ?? xxA
A）截集（
⑤ 交叉点
}5.0)(|{ ?? xxA A?）交叉点（
⑥ 模糊单点 的单点支集 1)( ?x
A?
年龄
隶
属
函
数
1.0
0.5
45 90
⑦ 凸性
满足：，，和任何
当仅当任何一个模糊集合是凸的，
]1 0 [
,21
?
?
?
Xxx
)}(),(m i n{))1(( 22121 xxxx AA ????? ???
普通函数凸的定义,
)()1()()1(( 2121 xfxfxxf ???? ????? ）
它的定义比模糊凸的定义严格
不符合凸
函数条件
1x
2x
⑧ 语言变量
5元组为特征
?
?
?
?
?
?
?
?
?
规则与各值含义有关的语法
值名称的句法规则产生
论域
术语的集合
变量的名称
）（
,
,
,
,)(
,
,,),(,
M
xG
X
xxT
x
MGXxTx
模糊集合的运算和隶属函数的参数化
包含或子集：
并（析取）
交（合取）
补（负）
)()( xxBA BA ?? ???
)()())(),(m ax ( xxxx
BAC
BABAC ????? ???
??
BABAC xx
BAC
????? ???
??
))(),(m i n (
)(1)(
,
xx
AAA
AA ?? ??
? 或非
隶属函数参数化
三角形隶属函数
梯形隶属函数
高斯形隶属函数
一般钟形隶属函数
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
?
?
?
xc
cxb
bxa
ax
cbaxt r i g
bc
xc
ab
ax
0
0
),,;(
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
?
?
?
?
?
?
xd
dxc
cxb
bxa
ax
dcbaxT r a p
cd
xd
ab
ax
0
1
0
),,,,(
的宽度。决定的中心；代表 MFMFc
ecxg
cx
),;(
2)(
2
1
?
? ?
??
?
b
a
cx
cbaxb e l l 2
1
1),,;(
??
?
Trig(x;20,60,80) Trap(x;10,20,60,90)
g(x;50,20) bell(x:20,4,50)
cc-a c+a
斜率 =-b/2a
隶属函数的参数化：
以钟形函数为例，
b
a
cx
cbaxb e l l 2
1
1),,;(
??
?
a,b,c,的几何意义如图所示。
改变 a,b,c,即可改变隶属函数的形状。
二维模糊隶属函数
1）一维模糊集合的圆柱扩展
? ?? YX A yxxAC ),/()()( ?
中的圆柱扩展：在论域中的模糊集合 YXAX ?,
2）模糊集合的投影
的投影：和在中二维模糊集合在 YXRYX ?
xyxR
X RyX
/]),(m a x[?? ?
?? Y RxY yyxR /]),(m ax[ ?
二维的隶属函数可以进行 max(OR) 和 min(AND)运算：
梯形 Trap(x,-6,-2,2,6)和 Trap(y,-6,-2,2,6)的 min和 max运算
钟形 bell(x,4,3,0)和 bell(y,4,3,0)的 min和 max运算 22
更一般化的二个模糊集合的运算
1）三角范式运算：
二个模糊集合 A和 B的“交”用函数
来确定。 ]1,0[]1,0[]1,0[,??T
)(~)())(),(()( xxxxTx BABABA ????? ????
4个最常用的 T范式算子：
1,0
1a
1
),(
}1,0m a x {),(
),(
),m i n (),(
m i n
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?????
???
???
ba
b
ba
babaT
bababaT
abbabaT
bababaT
dp
bp
ap
如
如
如
强积：
有界积：
代数积：
交（极小）：
?
20
2）协三角运算 S—范式
1,0
0a
0
),(
},1m i n {),(
?),(
),m ax (),(
m ax
?
?
?
?
?
?
?
?
???
????
????
???
ba
b
ba
babaS
bababaS
ababbabaS
bababaS
ds
bs
as
如
如
如
强和：
有界和：
代数和：
并（极大）：
?
二个模糊集合 A和 B的“并”用函数
来确定。 ]1,0[]1,0[]1,0[,??S
)(~)())(),(()( xxxxSx BABABA ????? ????
4个最常用的 S范式算子：
模糊与概率的差别：
C A
91.0)( ?CL? 91.0][ ?? LAP r
}{ 可饮液体的集合?L
口极渴的人饮用哪杯液体？
C A
啤酒 盐酸
91.0)( ?CL? 0][ ?? LAPr
1）模糊隶属函数表示物体（对象）对不精确定义性质
的相似程度。
2）概率把信息转变为事件发生或出现的频度。
模糊关系与复合运算
精确关系 模糊关系
同
一
空
间
表示二个或二个以上集合
元素之间关联、交互、互
连是否存在。
表示二个或二个以上集合
元素之间关联、交互、互
连是否 存在或不存在的程度 。
是二个精确的集合。,
},|),{(),(
VU
YyXxyxVUR ???
是二个论域。,
}),(|)),(,,{(),(
VU
VUyxyxyxVUR R ??? ?
??
? ???
其它。
当只当（
0
)(),1 VURyx
R? ]1,0[),( ?yxR?
举例
???
?
???
?
011
000
321 yyy
2
1
x
x
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
8.07.00.19.0
008.00
7.01.00.18.0
4321 yyyy
3
2
1
x
x
x
同一空间模糊关系复合运算：
取极小运算
（三角范式运算）
),(),(),( yxyxyx SRSR ??? ???
取极大运算
协三角范式运算）
( ),(),(),( yxyxyx SRSR ??? ???
或
举例
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
8.07.019.0
008.00
7.01.018.0
),( yxM?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
5.08.003.0
7.05.04.09.0
6.09.004.0
),( yxL?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
5.07.003.0
004.00
6.01.004.0
),( yxLM?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
8.08.019.0
7.05.08.09.0
7.09.018.0
),( yxLM?
非同一空间模糊关系复合运算：
精确关系 模糊关系
不同乘积空间，但有一个公
共集合的二个关系复合定义为：
,),(,),(
,
),(
),(),(),(
为复合算子
使当仅当至少有一个
的子集，是
?
?
QwyPyx
Vy
RwxWUR
WVQVUPWUR
??
?
??
?
) ) },(),([(m a x),,{(),(
-m a x )2
) ) },(),,([ m i n (m a x),,{(),(
m i nm a x 1
wyyxwxwx
wyyxwxwx
QP
y
QP
QP
y
QP
???
???
??
?
?
?
?
乘积复合运算
复合运算）
常用的复合运算：
不同乘积空间，但有一个公
共集合的二个模糊关系 R(U,V)
和 S(V,Z)定义为：
SRP ??
) ) },(),([(s u p),,{(),(
-m ax )2
) ) },(),,([ m i n (s u p),,{(),(
m i nm ax 1
zyyxwxzx
zyyxzxzx
SP
Vy
SP
SP
Vy
SP
???
???
??
?
?
?
?
?
?
乘积复合运算
复合运算）
常用的模糊复合运算：
当 U,V,W是离散论域时，
Sup(取上界 )变成取极大运算
非同一空间模糊关系复合运算举例与图示：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
2.07.0
6.05.0
3.02.0
1.09.0
),(
2.03.08.06.0
9.08.02.04.0
7.05.03.01.0
),
},{,},,,{ },3,2,1{
ZYSYXR
baZYX
（
令 ????举例
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3.06.0
6.07.0
5.07.0
m i nm ax
SR ?
复合：采用
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
24.054.0
48.063.0
30.049.0
:m a x
SR ?
乘积复合采用
0, 6 30, 6 3 ) 0, 4,0, 0 4,( 0, 3 6,m ax
)7.09.0,5.08.0,2.02.0,9.04.0( m ax),2(
0, 70, 7 ) 0, 5,0, 2,( 0, 4,m ax
)7.09.0,5.08.0,2.02.0,9.04.0( m ax),2(
??
?????
??
?????
a
a
SR
SR
?
?
?
?
1
2
3
a
b
X R
Y
S Z
?
?
?
?0.4
0.2
0.8
0.9
0.9
0.2
0.5
0.7
X中元素 2和 Z中元素 a通过二二连接建立的路径，选择
连接强度最大者，其强度由子路径强度乘积或取极小计
算而得。
图示：
Ux?
Ux?
Ux?
Ux?
),( yxR?
),( yxR?
Vy?
Vy?
),( zyS?
),( zyS?
Wz?
Wz?
Wz?
),( azT?
),( azT?
),( zxSR ??
),( zxSR ??
),( axTSR ???
),( axTSR ???
Xa?
Xa?
),( zyS?)( xR?
R
VU ?
),( zxSR ??
模糊关系隶属函数的计算
),( zxSR ??
),( axTSR ???
)),(),(s u p ( zyyx SR ?? ??
)),(),(),(s u p ( azzyyx TSR ??? ???
为离散域时：当 WVU,,
) ) ],(),(),([(m ax),(
-m ax )2
) ) ],(),,(),,([ m i n (m ax),(
m i nm ax 1
azzyyxax
azzyyxax
TSR
Vy
TSR
TSR
Vy
TSR
????
????
???
?
?
?
?
??
??
乘积复合运算
复合运算）
),( zxSR ?? ) ) ],(),(m a x [ m i n ( zyx SR ???
),( zxSR ?? ) ) ],()(m a x [ ( zyx SR ?? ??
或
模糊隶属函数的修正（ Hedges)
75.0
m i n u s
25.1
p l u s
5.0
dilA
2
co n A
)]([)(
)]([)(
m i n u s ) p l u s( )3
)]([)(
( D i l at i o n ) )2
)]([)(
i o n )C o n c en t r at( 1
xx
xx
xx
xx
A
A
A
A
??
??
??
??
?
?
?
?
或人为修正
扩展
压缩）
)(xA?
)(co n A x?
)(dilA x?
1） 模糊集合与模糊推理
2）模糊推理系统
3）模糊建模与辨识
4）模糊控制系统
5）模糊控制系统的稳定性
0,模糊概念
天气冷热 雨的大小 风的强弱
人的胖瘦 年龄大小 个子高低
常用术语
1）模糊集合和模糊推理
① 模糊集合和隶属函数
精确集合 （非此即彼）,A={X|X>6}
精确集合的隶属函数：
A 0
A 1
?
?
?
?
??
X
X
A 如果
如果?
模糊集合：
如果 是对象 x的集合，则 的模糊集合,X X A
}|))(,{( XxxxA A ?? ?
) )( MFAxA 的隶属函数（简写为称为模糊集合?
论域的二种形式：
1）离散形式 （ 有序或无序）：
举例,X={上海 北京 天津 西安 }为城市的集合。
模糊集合 C =,对城市的爱好”可以表示为：
C = {(上海,0.8),(北京,0.9),(天津,0.7),(西安,0.6)}
隶属函数的性质：
a) 定义为有序对；
b) 隶属函数在 0和 1之间；
c) 其值的确定具有主观性和个人的偏好。
X 称为论域或域
又,X = {0 1 2 3 4 5 6}为一个家庭可拥有自行车数目的集合
模糊集合 C =,合适的可拥有的自行车数目”
C = {(0,0.1),(1,0.3),(2,0.7),(3,1.0),(4,0.7),(5,0.3),(6,0.1)}
6?X
6?X6?X
1?A?0?A?
1 13
1] 0[)( ?xA?
精确集合
模糊集合
1)( ?xA?
1 13
6
2) 连续形式,
令 X = R+ 为人类年龄的集合,
模糊集合 B =,年龄在 50岁左右”则表示为,
4)
10
50
(1
1
)(
}|)(,{
?
?
?
??
x
x
XxxxB
B
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?
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式中：
图示,
模糊集合的公式表示
?
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?
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X
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Xx iiA
Xxx
Xxx
A
i
轴）为连续空间（通常为实
为离散对象集合
/)(
/)(
?
?
注意, ? ? 和 并非求和和积分符号,
上述三个例子分别可写为
C = 0.8 /上海 +0.9 /北京 +0.7 /天津 +0.6 /西安
C = 0.1/0+0.3/1+0.7/2+1.0/4+0.3/5+0.1/6
x
x
B
R
/
)
10
50(1
1
4
?
? ??
?
/ 不是除法运算
② 支集
支集
核
交叉点
??
}0)(|{)( ?? xxA A?支集
截集?
③ 核
}1)(|{)( ?? xxA A?核
④ ? 截集 } )(|{ ??? ?? xxA
A）截集（
⑤ 交叉点
}5.0)(|{ ?? xxA A?）交叉点（
⑥ 模糊单点 的单点支集 1)( ?x
A?
年龄
隶
属
函
数
1.0
0.5
45 90
⑦ 凸性
满足：，，和任何
当仅当任何一个模糊集合是凸的，
]1 0 [
,21
?
?
?
Xxx
)}(),(m i n{))1(( 22121 xxxx AA ????? ???
普通函数凸的定义,
)()1()()1(( 2121 xfxfxxf ???? ????? ）
它的定义比模糊凸的定义严格
不符合凸
函数条件
1x
2x
⑧ 语言变量
5元组为特征
?
?
?
?
?
?
?
?
?
规则与各值含义有关的语法
值名称的句法规则产生
论域
术语的集合
变量的名称
）（
,
,
,
,)(
,
,,),(,
M
xG
X
xxT
x
MGXxTx
模糊集合的运算和隶属函数的参数化
包含或子集：
并（析取）
交（合取）
补（负）
)()( xxBA BA ?? ???
)()())(),(m ax ( xxxx
BAC
BABAC ????? ???
??
BABAC xx
BAC
????? ???
??
))(),(m i n (
)(1)(
,
xx
AAA
AA ?? ??
? 或非
隶属函数参数化
三角形隶属函数
梯形隶属函数
高斯形隶属函数
一般钟形隶属函数
?
?
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的宽度。决定的中心；代表 MFMFc
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b
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cx
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1
1),,;(
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Trig(x;20,60,80) Trap(x;10,20,60,90)
g(x;50,20) bell(x:20,4,50)
cc-a c+a
斜率 =-b/2a
隶属函数的参数化：
以钟形函数为例，
b
a
cx
cbaxb e l l 2
1
1),,;(
??
?
a,b,c,的几何意义如图所示。
改变 a,b,c,即可改变隶属函数的形状。
二维模糊隶属函数
1）一维模糊集合的圆柱扩展
? ?? YX A yxxAC ),/()()( ?
中的圆柱扩展：在论域中的模糊集合 YXAX ?,
2）模糊集合的投影
的投影：和在中二维模糊集合在 YXRYX ?
xyxR
X RyX
/]),(m a x[?? ?
?? Y RxY yyxR /]),(m ax[ ?
二维的隶属函数可以进行 max(OR) 和 min(AND)运算：
梯形 Trap(x,-6,-2,2,6)和 Trap(y,-6,-2,2,6)的 min和 max运算
钟形 bell(x,4,3,0)和 bell(y,4,3,0)的 min和 max运算 22
更一般化的二个模糊集合的运算
1）三角范式运算：
二个模糊集合 A和 B的“交”用函数
来确定。 ]1,0[]1,0[]1,0[,??T
)(~)())(),(()( xxxxTx BABABA ????? ????
4个最常用的 T范式算子：
1,0
1a
1
),(
}1,0m a x {),(
),(
),m i n (),(
m i n
?
?
?
?
?
?
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?????
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???
ba
b
ba
babaT
bababaT
abbabaT
bababaT
dp
bp
ap
如
如
如
强积：
有界积：
代数积：
交（极小）：
?
20
2）协三角运算 S—范式
1,0
0a
0
),(
},1m i n {),(
?),(
),m ax (),(
m ax
?
?
?
?
?
?
?
?
???
????
????
???
ba
b
ba
babaS
bababaS
ababbabaS
bababaS
ds
bs
as
如
如
如
强和：
有界和：
代数和：
并（极大）：
?
二个模糊集合 A和 B的“并”用函数
来确定。 ]1,0[]1,0[]1,0[,??S
)(~)())(),(()( xxxxSx BABABA ????? ????
4个最常用的 S范式算子：
模糊与概率的差别：
C A
91.0)( ?CL? 91.0][ ?? LAP r
}{ 可饮液体的集合?L
口极渴的人饮用哪杯液体？
C A
啤酒 盐酸
91.0)( ?CL? 0][ ?? LAPr
1）模糊隶属函数表示物体（对象）对不精确定义性质
的相似程度。
2）概率把信息转变为事件发生或出现的频度。
模糊关系与复合运算
精确关系 模糊关系
同
一
空
间
表示二个或二个以上集合
元素之间关联、交互、互
连是否存在。
表示二个或二个以上集合
元素之间关联、交互、互
连是否 存在或不存在的程度 。
是二个精确的集合。,
},|),{(),(
VU
YyXxyxVUR ???
是二个论域。,
}),(|)),(,,{(),(
VU
VUyxyxyxVUR R ??? ?
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? ???
其它。
当只当（
0
)(),1 VURyx
R? ]1,0[),( ?yxR?
举例
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011
000
321 yyy
2
1
x
x
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
8.07.00.19.0
008.00
7.01.00.18.0
4321 yyyy
3
2
1
x
x
x
同一空间模糊关系复合运算：
取极小运算
（三角范式运算）
),(),(),( yxyxyx SRSR ??? ???
取极大运算
协三角范式运算）
( ),(),(),( yxyxyx SRSR ??? ???
或
举例
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
8.07.019.0
008.00
7.01.018.0
),( yxM?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
5.08.003.0
7.05.04.09.0
6.09.004.0
),( yxL?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
5.07.003.0
004.00
6.01.004.0
),( yxLM?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
8.08.019.0
7.05.08.09.0
7.09.018.0
),( yxLM?
非同一空间模糊关系复合运算：
精确关系 模糊关系
不同乘积空间，但有一个公
共集合的二个关系复合定义为：
,),(,),(
,
),(
),(),(),(
为复合算子
使当仅当至少有一个
的子集，是
?
?
QwyPyx
Vy
RwxWUR
WVQVUPWUR
??
?
??
?
) ) },(),([(m a x),,{(),(
-m a x )2
) ) },(),,([ m i n (m a x),,{(),(
m i nm a x 1
wyyxwxwx
wyyxwxwx
QP
y
QP
QP
y
QP
???
???
??
?
?
?
?
乘积复合运算
复合运算）
常用的复合运算：
不同乘积空间，但有一个公
共集合的二个模糊关系 R(U,V)
和 S(V,Z)定义为：
SRP ??
) ) },(),([(s u p),,{(),(
-m ax )2
) ) },(),,([ m i n (s u p),,{(),(
m i nm ax 1
zyyxwxzx
zyyxzxzx
SP
Vy
SP
SP
Vy
SP
???
???
??
?
?
?
?
?
?
乘积复合运算
复合运算）
常用的模糊复合运算：
当 U,V,W是离散论域时，
Sup(取上界 )变成取极大运算
非同一空间模糊关系复合运算举例与图示：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
2.07.0
6.05.0
3.02.0
1.09.0
),(
2.03.08.06.0
9.08.02.04.0
7.05.03.01.0
),
},{,},,,{ },3,2,1{
ZYSYXR
baZYX
（
令 ????举例
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3.06.0
6.07.0
5.07.0
m i nm ax
SR ?
复合：采用
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
24.054.0
48.063.0
30.049.0
:m a x
SR ?
乘积复合采用
0, 6 30, 6 3 ) 0, 4,0, 0 4,( 0, 3 6,m ax
)7.09.0,5.08.0,2.02.0,9.04.0( m ax),2(
0, 70, 7 ) 0, 5,0, 2,( 0, 4,m ax
)7.09.0,5.08.0,2.02.0,9.04.0( m ax),2(
??
?????
??
?????
a
a
SR
SR
?
?
?
?
1
2
3
a
b
X R
Y
S Z
?
?
?
?0.4
0.2
0.8
0.9
0.9
0.2
0.5
0.7
X中元素 2和 Z中元素 a通过二二连接建立的路径，选择
连接强度最大者，其强度由子路径强度乘积或取极小计
算而得。
图示：
Ux?
Ux?
Ux?
Ux?
),( yxR?
),( yxR?
Vy?
Vy?
),( zyS?
),( zyS?
Wz?
Wz?
Wz?
),( azT?
),( azT?
),( zxSR ??
),( zxSR ??
),( axTSR ???
),( axTSR ???
Xa?
Xa?
),( zyS?)( xR?
R
VU ?
),( zxSR ??
模糊关系隶属函数的计算
),( zxSR ??
),( axTSR ???
)),(),(s u p ( zyyx SR ?? ??
)),(),(),(s u p ( azzyyx TSR ??? ???
为离散域时：当 WVU,,
) ) ],(),(),([(m ax),(
-m ax )2
) ) ],(),,(),,([ m i n (m ax),(
m i nm ax 1
azzyyxax
azzyyxax
TSR
Vy
TSR
TSR
Vy
TSR
????
????
???
?
?
?
?
??
??
乘积复合运算
复合运算）
),( zxSR ?? ) ) ],(),(m a x [ m i n ( zyx SR ???
),( zxSR ?? ) ) ],()(m a x [ ( zyx SR ?? ??
或
模糊隶属函数的修正（ Hedges)
75.0
m i n u s
25.1
p l u s
5.0
dilA
2
co n A
)]([)(
)]([)(
m i n u s ) p l u s( )3
)]([)(
( D i l at i o n ) )2
)]([)(
i o n )C o n c en t r at( 1
xx
xx
xx
xx
A
A
A
A
??
??
??
??
?
?
?
?
或人为修正
扩展
压缩）
)(xA?
)(co n A x?
)(dilA x?
