第三章 反馈控制系统的分析
3.1 系统的数学模型
3.2 系统的时域分析
3.3 系统的根轨迹分析
3.4 系统的频域分析
3.5 系统的性质分析
3.6 离散系统的分析
3.1 反馈控制系统的数学模型
控制系统的分析是系统设计的重要步骤之一
?在设计控制器前要分析系统的不可变部分，确定原系统在哪
些方面的性能指标不满足设计要求，有针对性的设计控制器；
?控制器设计完成后要验证整个闭环系统的性能指标是否满足
设计要求。
在控制系统基本理论和控制系统工具箱函数的基础上，
利用 MATLAB语言及其工具箱来解决控制系统的分析问题，包
括 系统模型的建立, 模型的转换 以及 线性系统的时域
分析, 频域分析, 根轨迹分析 和 系统的稳定性分析,
为系统的仿真和设计做准备
为了对系统的性能进行分析首先要建立其数学模
型, 在 MATLAB中提供了 3种数学模型形描述的式：
（ 1） 传递函数模型 tf(）
（ 2） 零极点形式的数学模型 zpk ()
（ 3） 状态空间模型 ss()
本节首先介绍利用 MATLAB提供的 3个函数来建立
系统的数学 模型, 然后在此基础上介绍各种数学模
型之间的相互转换 。
3.1.1 系统的数学模型
格式,sys＝ tf（ num,den）
功能,建立系统的传递函数模型
说明,假设系统是单输入单输出系统 （ 简称 SISO）, 其输
入输出分别用 u（ t）, y（ t） 来表示, 则得到线性
系统的传递函数模型：
01
1
1
01
1
1
.,,
.,,
)(
)()(
asasas
bsbsbsb
sU
SYsG
n
n
n
m
m
m
m
????
??????
?
?
?
?
在 MATLAB语言中，可以利用传递函数分子、分母多项式的系数
向量进行描述。分子 num、分母 den多项式的系数向量分别为,
? ?01,.,,,,bbbn u m mm ?? ? ?01,.,,,,1 aad e n n ??
这里分子、分母多项式系数按 s的降幂排列。
1,tf 传递函数模型
例 3-1：已知系统的传递函数为,
6423
92)(
234 ????
??
ssss
ssG
试建立系统的传递函数模型。
例 3-2：已知系统传递函数如下
)835()2)(13(
)32(7)(
322 ????
??
sssss
sSG
应用 Matlab语言建立系统的传递函数模型 。
2,zpk 零极点形式的数学模型模型
格式,sys＝ zpk([z],[p],[k])
功能,建立零极点形式的数学模型
说明,系统的传递函数还可以表示成零极点形式，零极点模
型一般表示为：
)),,, ()((
)),,, ()(()(
21
21
n
m
pspsps
zszszsKsG
???
????
其中 Zi（ i＝ 1,2…,m） 和 Pi（ i＝ 1,2…,n） 分别为系
统的零点和极点,K为系统的增益。 [z],[p],[k]分别
为系统的 零极点和增益向量。
例 3-3：已知系统传递函数如下
)3)(2)(1(
)4(5)(
???
??
sss
sSG
应用 Matlab语言建立系统的 零极点形式 模型 。
3,SS 状态空间模型
格式,sys＝ ss（ A,B,C,D）,sys＝ ss（ A,B,C,D,T）
功能,建立系统的状态空间模型
说明,状态方程是研究系统的最为有效的系统数学描
述，在引进相应的状态变量后，可将一组一阶微分方
程表示成状态方程的形式。
DUCXY
BUAXX
??
???
X为 n维状态向量,U为 m维输入矩阵； Y为 维输出向量；
A为 n× n的系统状态阵，由系统参数决定,B为 n× m维系统
输入阵； C为 × n维输出阵； D为 × m维直接传输阵。l
l
l
3.1.2 系统的 组合和连接
所谓系统组合, 就是将两个或多个子系统按一定方式加以
连接形成新的系统 。 这种连接组合方式主要有串联, 并联, 反
馈等形式 。 MATLAB提供了进行这类组合连接的相关函数 。
1.series 系统的串联
格式 1,sys＝ series（ sys1,sys2）,
格式 2,sys＝ series（ sys1,sys2,outputs1,inputs2）
功能,用于将两个线性模型串联形成新的系统即 sys＝ sys1*sys2
说明,格式 1：对应于 SISO系统的串联连接 。
格式 2：对应于 MIMO系统的串联连接；
其中 sys1的输出向量为 outputs1
sys2的输入向量为 inputs2
2,parallel
格式 1,sys=parallel(sys1,sys2)
格式 2,sys=parallel(sys1,sys2,in1,in2,out1,out2)
功能,将两个系统以并联方式连接成新的系统,
即 sys=sys1+sys2。
说明,并联连接时, 输入信号相同, 并联后其输出为 sys1和
sys2这两个系统的输出之和 。 若用传递函数来描述, 系
统输出,Y(S)=Y1(S)+Y2(S)=G1(S)U(S)+G2(S)U(S)
=[G1(S)+G2(S)]U(S)
所以总的传递函数为 G(s)=G1(s)+G2(s)。
格式 1,对应于 SISO系统的并联连接 。 其并联后其输出为 sys1和
sys2这两个系统的输出之和 。
格式 2,对应于 MIMO系统的并联连接 。 in1与 in2指定了相连接的
输入端, out1和 out2指定了进行信号相加的输出端 。
例 3.3a已知两个线性系统
，
分别应用 series和 parallel函数进行系统的串并联连接 。
25
412)(
21 ??
??
ss
ssG
17
6)(
22 ??
??
ss
ssG
3,feedback 系统的反馈连接。
格式 1,sys=feedback(sys1,sys2,sign)
格式 2,sys=feedback(sys1,sys2,feedin,feedout,sign)
功能,实现两个系统的反馈连接。
说明,格式 1,对于 SISO系统,sys1表示前向通道传函，
sys2表示反馈通道,sign=1,正反馈,
sign=-1,负反馈 (默认值,可省略 )
格式 2,在已确立的 MIMO系统 sys1中,由 sys2做为反馈
构成输出反馈系统。其中 feedin和 feedout分
别指定了 sys1的输入、输出端口号。最终实现
的反馈系统与 sys1具有相同的输入、输出端。
sign含义同格式 1
例 3.4已知前向环节和反馈环节的状态空间表达式的系数阵分别为
试将前向环节的输入 1和输出 2与反馈环节构成负反馈系统 。
??????? 10 011A ??
??
?
??
10
11
1B ?
?
??
?
??
02
31
1C ??
??
?
??
52
01
1D
???????? 01 022A ??
??
?
??
0
1
2B
? ?102 ?C 02 ?D
y1
y2
SYS2
u2
u1 _ SYS1
u3y3
3.1.3 模型的转换
在进行系统分析时，往往根据不同的要求选择不同形式的数
学模型，因此经常要在不同形式数学模型之间相互转换，下面
介绍三种模型之间的相互转换函数。
1 ss2tf 将状态空间形式转换为传递函数形式
格式,[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,iu)
说明,ss2tf函数可以将状态空间表示通过
DBAsICsd e n sn u msG ???? ? 1)()( )()(
转换为传递函数形式，其中,iu用于指定变换所使用的输
入量,num和 den分别为传递函数的分子、分母多项式系数
向量。 ss2tf还可以应用离散时间系统，这时得到的是 Z变
换表示。
例 3-5：已知系统 Σ(A,B,C,D) 的系数矩阵是
求取该系统相应的传递函数模型。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
400
140
002
A
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
0
1
B
C＝ [1 1 0],D=0
2.ss2zp 将系统的状态空间模型转换为零极点增益模型
格式,[z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D,iu)
3.tf2ss 将系统的传递函数模型转换为状态空间模型 。
格式,[A,B,C,D]=tf2ss（ num,den）
例 3-6：已知系统的传递函数为
应用 MATLAB的模型转换函数将其转换为状态方程形式的模型。
1503914.40
3618)(
23 ???
??
sss
ssG
4.tf2zp 将系统的传递函数模型转换为零极点增益模型
格式,[z,p,k]=tf2zp(num,den)
5.zp2ss 将系统的零极点增益模型转换为状态空间模型 。
格式,[A,B,C,D]=zp2ss(z,p,k)
6.zp2tf 将系统零极点增益模型转换为传递函数模型 。
格式,[num,den]=zp2tf(z,p,k)
应用 MATLAB的模型转换函数将其转换为零极点形式的模型 。
1 5 03 9 14.40
3618)(
23 ???
??
sss
ssG
例 3-7：已知系统的传递函数为
3.2 线性系统的时域分析
系统的时域分析是指输入信号采用单位阶跃或单位冲激
函数, 其响应是时间 t的函数, 称为时域响应 。 从时域响应可
以获得系统的各个方面的性能 。
1 impulse 求连续系统的单位冲激响应 。
格式 1,impulse(sys) [Y,X,T]=impulse(sys)
格式 2,impulse(sys,t) [Y,X]=impulse(sys,t)
格式 3,impulse(sys,iu) [Y,X,T]=impulse(sys,iu)
格式 4,impulse(sys,iu,t) [Y,X]=impulse(sys,iu,t)
说 明,sys为 tf(),zpk(),ss()中任一种模型 。
对于不带返回参数的该 函数在当前窗口中绘制出响应曲线 。 对
于带有返回参数的将不 绘制曲线,其中 Y是输出向量 X是状态向量,
T是时间向量 。 t为 用户 设 定的时间向量 。 对于 MIMO系统,iu表
示 第 iu个输入到所有输出的冲激响应曲线
例 3-8：考虑如图所示的典型反馈控制系统结构, 已知
H(S)
G(S) Gc(S)
432
4)(
23 ???? ssssG
3
3)(
?
??
s
ssG
c 101.0 1)( ?? ssH
其中，
求系统的开环和闭环单位脉冲响应 。
_
2 step 求连续系统的单位阶跃响应。
格式 1,step (sys) [Y,X,T]=step(sys)
格式 2,step (sys,t) [Y,X]=step(sys,t)
格式 3,step (sys,iu) [Y,X,T]=step(sys,iu)
格式 4,step (sys,iu,t) [Y,X]=step(sys,iu,t)
说 明,step()中的参数意义和 implse()函数相同 。 如果
用户在调用 step()函数时不返回任何向量, 则将自动地绘
出阶跃响应输出曲线 。
例 3.9 考虑下面传递函数模型：
24503510
24247)(
234
23
????
????
ssss
ssssG
试绘制其单位阶跃响应曲线 。
例 3-10：求下面的阶零极点模型的单位阶跃响应曲线 。
)5)(4)(3)(5.1)(5.0(
)2)(1(6)(
?????
???
sssss
sssG
解,1、假设将自然频率固定为 ＝ 1,ζ ＝ 0,0.1,… 1,2,3,5。
n?
22
2
2
)(
nn
n
c sssG ???
?
??
?
例 3-11：典型二阶系统传递函数为：
试分析不同参数下的系统单位阶跃响应
2、将阻尼比 ζ 的值固定在 ζ ＝ 0.55,自然频率 变化范
围为 0.1-1 n?
3.initial 求连续系统的零输入响应 。
格式 1,initial(sys,x0) [Y,X,T]= initial(sys,x0)
格式 2,initial(sys,x0,t) [Y,X,T]= initial(sys,x0,t)
说明,initial函数可计算出连续时间线性系统由于初始状
态所引起的响应（故而称为零输入响应）。
例 3-12：二阶系统
? ?xyuxx 4 49 3.69 69 1.1,0107 81 4.0 7 81 4.05 57 2.0 ?????????????? ????
当初始状态为 x0＝ [1;0]时, 求系统的零输入响应 。
4 lsim 求任意输入信号时系统的响应
格式 1,lsim(sys1,u,t) [Y,X]=lsim(sys1,u,t)
格式 2,lsim(sys2,u,t,x0) [Y,X]=lsim(sys2,u,t,x0)
说明,u为输入信号,t为等间隔时间向量,
sys1为 tf( )或 zpk( )模型 。
sys2为 ss( )模型 。其中 x0为初始条件
3,3 线性系统的根轨迹
1 pzmap 绘制系统的零极点图 。
格式 1,pzmap(A,B,C,D) [p,z]=pzmap(A,B,C,D)
格式 2,pzmap(num,den) [p,z]=pzmap(num,den)
格式 3,pzmap(p,z)
说明,极点用, ×,表示, 零点用, o”表示 。
对于不带返回参数的将 绘制零极点图 。
对于带有返回参数的将不作图,其中 返回参数 P为极点的
列向量, z为零点的列向量 。
格式 3是将已知的零点 z极点 p绘制在 复平面上 。
根轨迹是指当 系统 开环的某一个（或几个）参数 (一般取系
统的开环放大倍数 K)从 0到＋ ∞ 时,闭环特征方程的根在复平面
上轨迹 。利用根轨迹可以分析系统的暂态和稳态性能。
MATLAB专门提供了绘制根轨迹的函数,rlocus()绘制根
轨迹,rlocfind()计算根轨迹的增益,pzmap()绘制零极点图
例 3.13有连续系统
要求绘制出零极点图 。 )65)(9.08.1(
0 4 5.005.0)(
22 ????
??
ssss
ssG
2 rlocus 求系统根轨迹 。
格式 1,rlocus(num,den) rlocus(num,den,k)
[R,K]=rlocus(num,den) [R,K]=rlocus(num,den,k)
格式 2,rlocus(A,B,C,D) rlocus(A,B,C,D,k)
[R,K]=rlocus(A,B,C,D) [R,K]=rlocus(A,B,C,D,k)
说明,k为用户设定的值绘制根轨迹, 若省略机器自动生成 。
对于不带返回参数的将 绘制 根轨迹 。
对于带有返回参数的将不作图,其中 返回参数 R对应 K增益
的 闭 极 点 的 位 置 。 开 环 增 益 K 对 应 的 闭 环 特 征 方 程 为,
1+kG(S)H(S)=1+k num/den=0
3 rlocfind 计算根轨迹上给定一组极点所对应的
增益 。
格式 1,[K,poles]=rlocfind(A,B,C,D)
[K,poles]=rlocfind(A,B,C,D,P)
格式 2,[K,poles]=rlocfind(num,den)
[K,poles]=rlocfind(num,den,P)
说明,由 rlocfind()绘制的根轨迹图形窗口中将显示十
字光标, 当用户选择其中一点时, 该 极点所 对应的增益由 K
记录, 与增益有关的所有极点记录在 poles中 。 也 可通过指
定极点 p得到增益的向量 。 向量 K的第 m项是根据极点位置 P（
m） 计算的增益, 矩阵 poles的第 m列是相应的闭环极点 。
例 3-14：绘制系统的根轨迹图
)65)(9.08.1(
0 4 5.005.0)(
22 ????
??
ssss
ssG
3.4 频 域 响 应
频域分析法是利用系统开环的奈氏图, 波特图, 尼氏图分析系
统的性能, 如系统的稳态性能, 动态性能, 稳定性 。
系统稳定的充要条件：如果开环系统有 P个极点在右半平面相
应于频率 ω 从 -∞→+∞ 变化时, 开环频率特性 G(jω)H(jω) 曲线逆
时针方向环绕 （ － 1,j0） 点的次数 N等于右半根平面内的开环系统
的极点数 P,那么闭环系统就是稳定的, 否则是不稳定的 。
1 nyquist 求连续系统的 Nyquist曲线
格式 1,nyquist(sys) [re,im,w]=nyquist(sys)
格式 2,nyquist(sys,w) [re,im,w]=nyquist(sys,w)
格式 3,nyquist(sys,iu,w) [re,im,w]=nyquist(sys,iu w)
说明,sys为 tf(),zpk(),ss()中任一种模型 。 w设定频率范围
省略时由机器自动产生 。 对于不带返回参数的将 绘制 Nyquist曲
线 。 对于带有返回参数的将不 绘制 曲线,返回参数 re im为 开环
G(jw)在各 频率点的实部和虚部即,re=Re(G(jw)),
im=Im(G(jw)).
对于 MIMO系统,iu表示用第 iu个输入变量来绘制 系统的
Nyquist曲线。返回参数为 第 i个输出变量针对第 j个输入变量的频
率响应实部和虚部即 re(i,j,:)和 im(i,j,:)。
例 3-15:系统开环传递函数
)5)(23(
1 0 0 0)(
2 ???? ssssG
绘制系统的 Nyquist图，并讨论其稳定性
Nyquist图逆时针包围 （ － 1,j0） 点 2次, 而原开环系统中没有
不稳定极点, 从而可以得出结论, 闭环系统有 2个不稳定极点 。
由运行结果可知，系统有三个根，其中有两个根位于右半 s平
面，由此可见该系统是不稳定的。
2 nichols 求连续系统的 Nichols（ 尼克尔斯 ） 频率响应曲线 。
格式 1,nichols(sys) [re,im,w]= nichols(sys)
格式 2,nichols(sys,w) [re,im,w]= nichols(sys,w)
格式 3,nichols(sys,iu,w) [re,im,w]= nichols(sys,iu w)
说明,nicholsh函数的输入变量定义与 nyquist相同
3 bode 求连续系统的 Bode（ 伯德 ） 频率响应 。
格式 1,bode(sys) [mag,phase,w]= bode(sys)
格式 2,bode(sys,w) [mag,phase,w]= bode(sys,w)
格式 3,bode(sys,iu,w) [mag,phase,w]= bode(sys,iu w)
说明,bode函数的输入变量定义与 nyquist相同
Bode图可用于分析系统的增益裕度, 相位裕度, 增益, 带宽以
及稳定性等特性 。 mag和 phase分别是幅值和相位数组 。 iu表示 从
系统第 iu个输入到所有输出的 Bode图
试用 MATLAB绘制出不同 和 的伯德图 。
例 3-16：考虑二阶系统传递函数模型
22
2
2)( nn
n
sssG ???
?
???
?
n?
解,1,为固定值,变化时
n?
?
?当阻尼比 比较小时，则系统的频域响应在自然频率附
近将表现出比较强的振荡，该现象称为谐振。
2,为固定值,变化时?
n?
当自然频率 的值增加时, 伯德图的带宽将增加, 该
现象使得系统的时域响应速度变快 。
n?
4 margin 求取给定线性定常系统的幅值裕量和相角的裕量 。
格式 1,margin（ sys）
格式 2,margin（ mag,phase,w）
格式 3,[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin（ sys）
[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin（ mag,phase,w）
说明,margin函数可从频率响应数据中计算出幅值裕度 (不
是 db),相角裕度和剪切频率 。
格式 1 画出 bode图, 并标注幅值裕度和对应频率, 相角裕
度和对应频率 。
格式 2 由给定的幅值 mag,相位 phase及频率 w画出 bode图
格式 3：不画图, 返回幅值裕度 Gm和对应频率 Wcg,相角裕
度 Pm和对应频率 Wcp 。
例 3-17：考虑如下系统模型：
232
5.3)(
23 ???? ssssG
求它的幅值裕度和相角裕度, 并求其闭环阶跃响应 。
例 3-18系统的数学模型为：
求出系统的幅值裕度与相角裕度 。
)9)(1(
)5(1 0 0)(
2
2
???
??
sss
ssG
3.5 线性系统的性质分析
3.5.1线性系统稳定性分析
1.直接判定方法
首先求出系统的所有极点, 当其实部大于零, 则系统为不
稳定系统, 否则称为稳定系统 。 若极点的实部等于 0的, 则系
统称为临界稳定系统 。
对于传递函数模型 tf（ num,den）,利用求根函数
roots（ den） 来求极点 。 对于状态方程模型 SS（ A,B,C,D） 利
用求特征值函数 eig（ A） 来求特征值 。 这样根据极点或特征值
直接判定系统的稳定性了 。
24503510
24247)(
234
23
????
????
ssss
ssssG
例 3-19 假设系统的传递函数模型为
判断系统的稳定性。
1) routh 构造系统的 Routh表
格式, [rtab,msg]=routh(den)
说明,其中 den是系统的分母多项式向量,rtab是构造的 Routh表
矩阵,msg变量为字符串型变量，返回有关信息。系统不稳定极
点的数目等于所产生的 Routh表中第一列元素的符号变化次数。
Routh（）函数
2 间接判定方法
直接求取高阶代数方程的根是一件很困难的工作，所以出
现了一些判定给定系统稳定性的间接方法，本节介绍其中两种方
法，即 Routh-Hurwitz判定方法和 Lyapunov判定方法，它们分别
适用于传递函数模型和状态空间模型。
例 3-20：同例 3.19，应用的 Routh表判断系统的稳定性。
从运行结果可知 Routh表第一列没有符号的变化，所
以系统是稳定的。
2） hurwitz 构造 Hurwitz矩阵。
格式, H＝ hurwitz（ den）
说明,H为构造的 Hurwitz矩阵,den为系统的分母多项式 D(S)，
D(S)=a0Sn+ a1Sn-1 + a2Sn-2+ ……+ a n-1S1 + an
H 矩阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?????
?
?
?
? ?
?
?
n
32n31
22n420
12n531
a0000
aaa0
aaaa
aaaa
H
hurwitz()函数
3) posdef 判定矩阵的正定性
格式,[key,sdet]=posdef(A)
说明,其中 key返回矩阵 A正定性的标记, 若 key＝ 1则表示该
矩阵 A为正定矩阵, 否则矩阵 A为非正定矩阵 。 sdet返
回各个左上角子矩阵的行列式值 。
posdef（ ） 函数
例 3-21：考虑例 3.19中的系统模型使用 Hurwitz判据判定系
统的稳定性。
由运行结果可知 Hurwitz阵是正定的，因此系统稳定。
4) Lyap 解 Lyapunov方程
格式,X＝ lyap（ A,B,C） X＝ lyap（ A,w）
说明,lyap(A,B,C)求解矩阵方程 AX+XB=－ C的解 X；
lyap(A,C)求解矩阵方程 AX + XA' = -C的解 X。
例 3-22,考虑一个状态方程模型
uxx
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
??
?
4.0
1.0
2.0
1
2.70 7 7 2.11 2 2 8.12 6 3 2.1
8.16 4 2 1.01 5 7 9.10 5 2 6.0
2.44 6 3 2.07 3 6 8.05 7 8 9.0
203 1 5 8.26 8 4 2.61 0 5 3.4
?
]x2-800[y ?
利用 Lyapunov判据判定出系统的稳定性 。
解：选定一个正定的对角矩阵 w=diag（ 1,2,3,4）
Lyapunov方程的解 V不是正定矩阵，因为其左上角子矩阵的行
列式值都为负，故而由 Lyapunov判据可知，系统不稳定。
3.5.2线性系统的能控性和能观性
1,能控性
n阶系统的完全能控性只取决于状态方程中的 （ A,B） 矩阵, 系
统完全能控的充要条件是能控矩阵 Tc满秩即：
rank(Tc)=n,
Tc=[B,AB,… An-1B]
能控矩阵 Tc由 ctrb（ ） 函数自动产生出来,
其调用格式为,Tc＝ ctrb（ A,B）
2能观性
n阶 系统的可观测性只取决于状态方程的 （ A,C） 矩阵, 系统完
全能观的充要条件是能观控矩阵 To满秩即：
rank(To)=n,
To=[C CA CA2 CA3 … CAn-1]T
能观 阵 To由 obsv（ ） 函数直接得出,
该函数的调用格式为,To＝ obsv(A,C)
例 3-23：考虑系统的状态方程模型
u
2
0
1
0
x
0500
1000
0100
0010
x
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
? ?xy 0001?
分析系统的可控性 的和可观性 。
3.6 离散系统的分析
1 连续系统的离散化
格式,[Ad,Bd]=c2d(A,B,ts)
[Ad,Bd,Cd,Dd]=c2dm(A,B,ts,’method’)，
[numz,denz]=c2dm(num,den,ts,’method’)
说明：
1)c2d命令使用离散化的零阶保持器方法, 它只有状态空间形
式 2)c2dm既有状态空间形式, 又有传递函数形式；
3)参数 ts是采样周期 T；
4)method指定转换方式, 其中, zoh”表示采用零阶保持器；
,foh”表示采用三角形近似；, tustin”表示采用双线性变换；
,prewarp”表示采用指定转折频率的双线性变换 ; 系统默认为
零阶保持器法 。
例 3.25：已知系统的被控对象传递函数为：
采样周期 T＝ 0.1秒,试将其进行离散化处理 。
)5)(2(
10)(
??? sssG
2 离散系统单位阶跃响应
格式,[y,x]=dstep(A,B,C,D,ui,n)
[y,x]=dstep(num,den,n)
功能,对离散系统进行阶单位跃响应分析, 给出一组阶跃响应
的数据, 并绘制其响应曲线 。
说明：
1)若无左边的输出参数, 则自动地绘制出响应曲线；
2)参数 ui和 n为可选项, 对于多输入系统是用于指定哪个输入
通道, n是指采样数；
3)和连续系统中 step命令有关的所有命令都可以在离散系统中
应用；
4 其它时间响应命令是 dimpulse,dinitial,dlsim。
例 3-26：同例 3-25,求取 G（ s） 和 G（ z） 的阶跃响应,
并绘制 G（ z） 的脉冲响应曲线 。
staris()函数是绘制离散系统的时域响应曲线，其调用格
式为：
staris(y) [xs,ys]= staris(y)
staris(x,y) [xs,ys]= staris(x,y)
其中：（ x y)绘图坐标。带参数返回的不绘图。
zgrid命令在单位圆内设置了阻尼系数和固有频率线, 设置
‘ hold’命令, 以便在保持图形的重叠 。 其调用格式为：
zgrid(‘new’)
3 离散系统的根轨迹绘制
例 3-27：已知系统如图所示
采样周期 T=0.25s,试绘制离散系统的根轨迹图和阶跃响
应曲线 。
+
-
y(t)r(t) 零阶
保持器
PID
控制器
)2(
10
?ss
功能,绘制离散系统的频域响应曲线。
格式,[mag,phase]=dbode(A,B,C,D,ts,ui,w)，
[mag,phase]=dbode(num,den,ts,ui,w)
说明：
1 参数 ts是采样周期 T；
2 参数 ui,w与连续系统的 bode函数相同；
3 dbode（ ） 函数 与连续系统中 bode（ ） 用法相同, 其它离
散系统的频域响应函数如 dnyquist,dnichols也 与连续系统
的 用法相同 。
4 离散系统的频域响应
)2(
10)(
?? sssG
例 3-28：已知被控对象的传递函数为：
采样周期为 1秒，试绘制零阶保持器法系统的频率响应。
综合分析
1,编写求典型二阶系统闭环传函的函数文件 (tt.m)，其输入参数
为 （ ω,ζ），并求 参数分别为（ 1,0）,（ 1,0.1）,（ 1,0.5）
（ 1,1）时的阶跃响应。 (exe1.m)
2.接上题,求 参数 （ ω,ζ） 分别为（ 0.5,0）,（ 0.8,0.5）,（ 1,1）
时的阶跃响应。 (exe1a.m)
3,已知单位负反馈前向通道传函为：
试作出其单位阶跃响应曲线与误差响应曲线 （ exe2.m）
SSSG 2
80)(
2 ??
4,已知系统开环传函为：
试绘制该单位负反馈系统的单位响应曲线，并计算系统的性
能指标。 （ exe4.m）
SSSG ?? 2
25.1)(
解：计算系统的性能指标函数 stepchar
5,考虑下面传递函数模型
1）画出 ρ=0.1时的 Nichols曲线 （ exe5.m）
2）画出 ρ=0.1,0.5,1.2时的 Nichols曲线 （ exe5a.m）
3）画出 bode图 （ exe5b.m）。 并对系统进行分析。
)5.0)(1(
1)(
???? sssSG
解,1） ρ=0.1时，频率特性 φ（ w） =-180° 时，幅频 (db)为负，
闭环系统不稳定。
函数 ngrid(‘new’)画出等 M（ w）圆,等 N（ w）圆网格线。
2）增加 ρ值可使系统稳定，但系统性能变差。
作业
习题 1,2,3,4,5,6,7
3.1 系统的数学模型
3.2 系统的时域分析
3.3 系统的根轨迹分析
3.4 系统的频域分析
3.5 系统的性质分析
3.6 离散系统的分析
3.1 反馈控制系统的数学模型
控制系统的分析是系统设计的重要步骤之一
?在设计控制器前要分析系统的不可变部分，确定原系统在哪
些方面的性能指标不满足设计要求，有针对性的设计控制器；
?控制器设计完成后要验证整个闭环系统的性能指标是否满足
设计要求。
在控制系统基本理论和控制系统工具箱函数的基础上，
利用 MATLAB语言及其工具箱来解决控制系统的分析问题，包
括 系统模型的建立, 模型的转换 以及 线性系统的时域
分析, 频域分析, 根轨迹分析 和 系统的稳定性分析,
为系统的仿真和设计做准备
为了对系统的性能进行分析首先要建立其数学模
型, 在 MATLAB中提供了 3种数学模型形描述的式：
（ 1） 传递函数模型 tf(）
（ 2） 零极点形式的数学模型 zpk ()
（ 3） 状态空间模型 ss()
本节首先介绍利用 MATLAB提供的 3个函数来建立
系统的数学 模型, 然后在此基础上介绍各种数学模
型之间的相互转换 。
3.1.1 系统的数学模型
格式,sys＝ tf（ num,den）
功能,建立系统的传递函数模型
说明,假设系统是单输入单输出系统 （ 简称 SISO）, 其输
入输出分别用 u（ t）, y（ t） 来表示, 则得到线性
系统的传递函数模型：
01
1
1
01
1
1
.,,
.,,
)(
)()(
asasas
bsbsbsb
sU
SYsG
n
n
n
m
m
m
m
????
??????
?
?
?
?
在 MATLAB语言中，可以利用传递函数分子、分母多项式的系数
向量进行描述。分子 num、分母 den多项式的系数向量分别为,
? ?01,.,,,,bbbn u m mm ?? ? ?01,.,,,,1 aad e n n ??
这里分子、分母多项式系数按 s的降幂排列。
1,tf 传递函数模型
例 3-1：已知系统的传递函数为,
6423
92)(
234 ????
??
ssss
ssG
试建立系统的传递函数模型。
例 3-2：已知系统传递函数如下
)835()2)(13(
)32(7)(
322 ????
??
sssss
sSG
应用 Matlab语言建立系统的传递函数模型 。
2,zpk 零极点形式的数学模型模型
格式,sys＝ zpk([z],[p],[k])
功能,建立零极点形式的数学模型
说明,系统的传递函数还可以表示成零极点形式，零极点模
型一般表示为：
)),,, ()((
)),,, ()(()(
21
21
n
m
pspsps
zszszsKsG
???
????
其中 Zi（ i＝ 1,2…,m） 和 Pi（ i＝ 1,2…,n） 分别为系
统的零点和极点,K为系统的增益。 [z],[p],[k]分别
为系统的 零极点和增益向量。
例 3-3：已知系统传递函数如下
)3)(2)(1(
)4(5)(
???
??
sss
sSG
应用 Matlab语言建立系统的 零极点形式 模型 。
3,SS 状态空间模型
格式,sys＝ ss（ A,B,C,D）,sys＝ ss（ A,B,C,D,T）
功能,建立系统的状态空间模型
说明,状态方程是研究系统的最为有效的系统数学描
述，在引进相应的状态变量后，可将一组一阶微分方
程表示成状态方程的形式。
DUCXY
BUAXX
??
???
X为 n维状态向量,U为 m维输入矩阵； Y为 维输出向量；
A为 n× n的系统状态阵，由系统参数决定,B为 n× m维系统
输入阵； C为 × n维输出阵； D为 × m维直接传输阵。l
l
l
3.1.2 系统的 组合和连接
所谓系统组合, 就是将两个或多个子系统按一定方式加以
连接形成新的系统 。 这种连接组合方式主要有串联, 并联, 反
馈等形式 。 MATLAB提供了进行这类组合连接的相关函数 。
1.series 系统的串联
格式 1,sys＝ series（ sys1,sys2）,
格式 2,sys＝ series（ sys1,sys2,outputs1,inputs2）
功能,用于将两个线性模型串联形成新的系统即 sys＝ sys1*sys2
说明,格式 1：对应于 SISO系统的串联连接 。
格式 2：对应于 MIMO系统的串联连接；
其中 sys1的输出向量为 outputs1
sys2的输入向量为 inputs2
2,parallel
格式 1,sys=parallel(sys1,sys2)
格式 2,sys=parallel(sys1,sys2,in1,in2,out1,out2)
功能,将两个系统以并联方式连接成新的系统,
即 sys=sys1+sys2。
说明,并联连接时, 输入信号相同, 并联后其输出为 sys1和
sys2这两个系统的输出之和 。 若用传递函数来描述, 系
统输出,Y(S)=Y1(S)+Y2(S)=G1(S)U(S)+G2(S)U(S)
=[G1(S)+G2(S)]U(S)
所以总的传递函数为 G(s)=G1(s)+G2(s)。
格式 1,对应于 SISO系统的并联连接 。 其并联后其输出为 sys1和
sys2这两个系统的输出之和 。
格式 2,对应于 MIMO系统的并联连接 。 in1与 in2指定了相连接的
输入端, out1和 out2指定了进行信号相加的输出端 。
例 3.3a已知两个线性系统
，
分别应用 series和 parallel函数进行系统的串并联连接 。
25
412)(
21 ??
??
ss
ssG
17
6)(
22 ??
??
ss
ssG
3,feedback 系统的反馈连接。
格式 1,sys=feedback(sys1,sys2,sign)
格式 2,sys=feedback(sys1,sys2,feedin,feedout,sign)
功能,实现两个系统的反馈连接。
说明,格式 1,对于 SISO系统,sys1表示前向通道传函，
sys2表示反馈通道,sign=1,正反馈,
sign=-1,负反馈 (默认值,可省略 )
格式 2,在已确立的 MIMO系统 sys1中,由 sys2做为反馈
构成输出反馈系统。其中 feedin和 feedout分
别指定了 sys1的输入、输出端口号。最终实现
的反馈系统与 sys1具有相同的输入、输出端。
sign含义同格式 1
例 3.4已知前向环节和反馈环节的状态空间表达式的系数阵分别为
试将前向环节的输入 1和输出 2与反馈环节构成负反馈系统 。
??????? 10 011A ??
??
?
??
10
11
1B ?
?
??
?
??
02
31
1C ??
??
?
??
52
01
1D
???????? 01 022A ??
??
?
??
0
1
2B
? ?102 ?C 02 ?D
y1
y2
SYS2
u2
u1 _ SYS1
u3y3
3.1.3 模型的转换
在进行系统分析时，往往根据不同的要求选择不同形式的数
学模型，因此经常要在不同形式数学模型之间相互转换，下面
介绍三种模型之间的相互转换函数。
1 ss2tf 将状态空间形式转换为传递函数形式
格式,[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,iu)
说明,ss2tf函数可以将状态空间表示通过
DBAsICsd e n sn u msG ???? ? 1)()( )()(
转换为传递函数形式，其中,iu用于指定变换所使用的输
入量,num和 den分别为传递函数的分子、分母多项式系数
向量。 ss2tf还可以应用离散时间系统，这时得到的是 Z变
换表示。
例 3-5：已知系统 Σ(A,B,C,D) 的系数矩阵是
求取该系统相应的传递函数模型。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
400
140
002
A
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
0
1
B
C＝ [1 1 0],D=0
2.ss2zp 将系统的状态空间模型转换为零极点增益模型
格式,[z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D,iu)
3.tf2ss 将系统的传递函数模型转换为状态空间模型 。
格式,[A,B,C,D]=tf2ss（ num,den）
例 3-6：已知系统的传递函数为
应用 MATLAB的模型转换函数将其转换为状态方程形式的模型。
1503914.40
3618)(
23 ???
??
sss
ssG
4.tf2zp 将系统的传递函数模型转换为零极点增益模型
格式,[z,p,k]=tf2zp(num,den)
5.zp2ss 将系统的零极点增益模型转换为状态空间模型 。
格式,[A,B,C,D]=zp2ss(z,p,k)
6.zp2tf 将系统零极点增益模型转换为传递函数模型 。
格式,[num,den]=zp2tf(z,p,k)
应用 MATLAB的模型转换函数将其转换为零极点形式的模型 。
1 5 03 9 14.40
3618)(
23 ???
??
sss
ssG
例 3-7：已知系统的传递函数为
3.2 线性系统的时域分析
系统的时域分析是指输入信号采用单位阶跃或单位冲激
函数, 其响应是时间 t的函数, 称为时域响应 。 从时域响应可
以获得系统的各个方面的性能 。
1 impulse 求连续系统的单位冲激响应 。
格式 1,impulse(sys) [Y,X,T]=impulse(sys)
格式 2,impulse(sys,t) [Y,X]=impulse(sys,t)
格式 3,impulse(sys,iu) [Y,X,T]=impulse(sys,iu)
格式 4,impulse(sys,iu,t) [Y,X]=impulse(sys,iu,t)
说 明,sys为 tf(),zpk(),ss()中任一种模型 。
对于不带返回参数的该 函数在当前窗口中绘制出响应曲线 。 对
于带有返回参数的将不 绘制曲线,其中 Y是输出向量 X是状态向量,
T是时间向量 。 t为 用户 设 定的时间向量 。 对于 MIMO系统,iu表
示 第 iu个输入到所有输出的冲激响应曲线
例 3-8：考虑如图所示的典型反馈控制系统结构, 已知
H(S)
G(S) Gc(S)
432
4)(
23 ???? ssssG
3
3)(
?
??
s
ssG
c 101.0 1)( ?? ssH
其中，
求系统的开环和闭环单位脉冲响应 。
_
2 step 求连续系统的单位阶跃响应。
格式 1,step (sys) [Y,X,T]=step(sys)
格式 2,step (sys,t) [Y,X]=step(sys,t)
格式 3,step (sys,iu) [Y,X,T]=step(sys,iu)
格式 4,step (sys,iu,t) [Y,X]=step(sys,iu,t)
说 明,step()中的参数意义和 implse()函数相同 。 如果
用户在调用 step()函数时不返回任何向量, 则将自动地绘
出阶跃响应输出曲线 。
例 3.9 考虑下面传递函数模型：
24503510
24247)(
234
23
????
????
ssss
ssssG
试绘制其单位阶跃响应曲线 。
例 3-10：求下面的阶零极点模型的单位阶跃响应曲线 。
)5)(4)(3)(5.1)(5.0(
)2)(1(6)(
?????
???
sssss
sssG
解,1、假设将自然频率固定为 ＝ 1,ζ ＝ 0,0.1,… 1,2,3,5。
n?
22
2
2
)(
nn
n
c sssG ???
?
??
?
例 3-11：典型二阶系统传递函数为：
试分析不同参数下的系统单位阶跃响应
2、将阻尼比 ζ 的值固定在 ζ ＝ 0.55,自然频率 变化范
围为 0.1-1 n?
3.initial 求连续系统的零输入响应 。
格式 1,initial(sys,x0) [Y,X,T]= initial(sys,x0)
格式 2,initial(sys,x0,t) [Y,X,T]= initial(sys,x0,t)
说明,initial函数可计算出连续时间线性系统由于初始状
态所引起的响应（故而称为零输入响应）。
例 3-12：二阶系统
? ?xyuxx 4 49 3.69 69 1.1,0107 81 4.0 7 81 4.05 57 2.0 ?????????????? ????
当初始状态为 x0＝ [1;0]时, 求系统的零输入响应 。
4 lsim 求任意输入信号时系统的响应
格式 1,lsim(sys1,u,t) [Y,X]=lsim(sys1,u,t)
格式 2,lsim(sys2,u,t,x0) [Y,X]=lsim(sys2,u,t,x0)
说明,u为输入信号,t为等间隔时间向量,
sys1为 tf( )或 zpk( )模型 。
sys2为 ss( )模型 。其中 x0为初始条件
3,3 线性系统的根轨迹
1 pzmap 绘制系统的零极点图 。
格式 1,pzmap(A,B,C,D) [p,z]=pzmap(A,B,C,D)
格式 2,pzmap(num,den) [p,z]=pzmap(num,den)
格式 3,pzmap(p,z)
说明,极点用, ×,表示, 零点用, o”表示 。
对于不带返回参数的将 绘制零极点图 。
对于带有返回参数的将不作图,其中 返回参数 P为极点的
列向量, z为零点的列向量 。
格式 3是将已知的零点 z极点 p绘制在 复平面上 。
根轨迹是指当 系统 开环的某一个（或几个）参数 (一般取系
统的开环放大倍数 K)从 0到＋ ∞ 时,闭环特征方程的根在复平面
上轨迹 。利用根轨迹可以分析系统的暂态和稳态性能。
MATLAB专门提供了绘制根轨迹的函数,rlocus()绘制根
轨迹,rlocfind()计算根轨迹的增益,pzmap()绘制零极点图
例 3.13有连续系统
要求绘制出零极点图 。 )65)(9.08.1(
0 4 5.005.0)(
22 ????
??
ssss
ssG
2 rlocus 求系统根轨迹 。
格式 1,rlocus(num,den) rlocus(num,den,k)
[R,K]=rlocus(num,den) [R,K]=rlocus(num,den,k)
格式 2,rlocus(A,B,C,D) rlocus(A,B,C,D,k)
[R,K]=rlocus(A,B,C,D) [R,K]=rlocus(A,B,C,D,k)
说明,k为用户设定的值绘制根轨迹, 若省略机器自动生成 。
对于不带返回参数的将 绘制 根轨迹 。
对于带有返回参数的将不作图,其中 返回参数 R对应 K增益
的 闭 极 点 的 位 置 。 开 环 增 益 K 对 应 的 闭 环 特 征 方 程 为,
1+kG(S)H(S)=1+k num/den=0
3 rlocfind 计算根轨迹上给定一组极点所对应的
增益 。
格式 1,[K,poles]=rlocfind(A,B,C,D)
[K,poles]=rlocfind(A,B,C,D,P)
格式 2,[K,poles]=rlocfind(num,den)
[K,poles]=rlocfind(num,den,P)
说明,由 rlocfind()绘制的根轨迹图形窗口中将显示十
字光标, 当用户选择其中一点时, 该 极点所 对应的增益由 K
记录, 与增益有关的所有极点记录在 poles中 。 也 可通过指
定极点 p得到增益的向量 。 向量 K的第 m项是根据极点位置 P（
m） 计算的增益, 矩阵 poles的第 m列是相应的闭环极点 。
例 3-14：绘制系统的根轨迹图
)65)(9.08.1(
0 4 5.005.0)(
22 ????
??
ssss
ssG
3.4 频 域 响 应
频域分析法是利用系统开环的奈氏图, 波特图, 尼氏图分析系
统的性能, 如系统的稳态性能, 动态性能, 稳定性 。
系统稳定的充要条件：如果开环系统有 P个极点在右半平面相
应于频率 ω 从 -∞→+∞ 变化时, 开环频率特性 G(jω)H(jω) 曲线逆
时针方向环绕 （ － 1,j0） 点的次数 N等于右半根平面内的开环系统
的极点数 P,那么闭环系统就是稳定的, 否则是不稳定的 。
1 nyquist 求连续系统的 Nyquist曲线
格式 1,nyquist(sys) [re,im,w]=nyquist(sys)
格式 2,nyquist(sys,w) [re,im,w]=nyquist(sys,w)
格式 3,nyquist(sys,iu,w) [re,im,w]=nyquist(sys,iu w)
说明,sys为 tf(),zpk(),ss()中任一种模型 。 w设定频率范围
省略时由机器自动产生 。 对于不带返回参数的将 绘制 Nyquist曲
线 。 对于带有返回参数的将不 绘制 曲线,返回参数 re im为 开环
G(jw)在各 频率点的实部和虚部即,re=Re(G(jw)),
im=Im(G(jw)).
对于 MIMO系统,iu表示用第 iu个输入变量来绘制 系统的
Nyquist曲线。返回参数为 第 i个输出变量针对第 j个输入变量的频
率响应实部和虚部即 re(i,j,:)和 im(i,j,:)。
例 3-15:系统开环传递函数
)5)(23(
1 0 0 0)(
2 ???? ssssG
绘制系统的 Nyquist图，并讨论其稳定性
Nyquist图逆时针包围 （ － 1,j0） 点 2次, 而原开环系统中没有
不稳定极点, 从而可以得出结论, 闭环系统有 2个不稳定极点 。
由运行结果可知，系统有三个根，其中有两个根位于右半 s平
面，由此可见该系统是不稳定的。
2 nichols 求连续系统的 Nichols（ 尼克尔斯 ） 频率响应曲线 。
格式 1,nichols(sys) [re,im,w]= nichols(sys)
格式 2,nichols(sys,w) [re,im,w]= nichols(sys,w)
格式 3,nichols(sys,iu,w) [re,im,w]= nichols(sys,iu w)
说明,nicholsh函数的输入变量定义与 nyquist相同
3 bode 求连续系统的 Bode（ 伯德 ） 频率响应 。
格式 1,bode(sys) [mag,phase,w]= bode(sys)
格式 2,bode(sys,w) [mag,phase,w]= bode(sys,w)
格式 3,bode(sys,iu,w) [mag,phase,w]= bode(sys,iu w)
说明,bode函数的输入变量定义与 nyquist相同
Bode图可用于分析系统的增益裕度, 相位裕度, 增益, 带宽以
及稳定性等特性 。 mag和 phase分别是幅值和相位数组 。 iu表示 从
系统第 iu个输入到所有输出的 Bode图
试用 MATLAB绘制出不同 和 的伯德图 。
例 3-16：考虑二阶系统传递函数模型
22
2
2)( nn
n
sssG ???
?
???
?
n?
解,1,为固定值,变化时
n?
?
?当阻尼比 比较小时，则系统的频域响应在自然频率附
近将表现出比较强的振荡，该现象称为谐振。
2,为固定值,变化时?
n?
当自然频率 的值增加时, 伯德图的带宽将增加, 该
现象使得系统的时域响应速度变快 。
n?
4 margin 求取给定线性定常系统的幅值裕量和相角的裕量 。
格式 1,margin（ sys）
格式 2,margin（ mag,phase,w）
格式 3,[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin（ sys）
[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin（ mag,phase,w）
说明,margin函数可从频率响应数据中计算出幅值裕度 (不
是 db),相角裕度和剪切频率 。
格式 1 画出 bode图, 并标注幅值裕度和对应频率, 相角裕
度和对应频率 。
格式 2 由给定的幅值 mag,相位 phase及频率 w画出 bode图
格式 3：不画图, 返回幅值裕度 Gm和对应频率 Wcg,相角裕
度 Pm和对应频率 Wcp 。
例 3-17：考虑如下系统模型：
232
5.3)(
23 ???? ssssG
求它的幅值裕度和相角裕度, 并求其闭环阶跃响应 。
例 3-18系统的数学模型为：
求出系统的幅值裕度与相角裕度 。
)9)(1(
)5(1 0 0)(
2
2
???
??
sss
ssG
3.5 线性系统的性质分析
3.5.1线性系统稳定性分析
1.直接判定方法
首先求出系统的所有极点, 当其实部大于零, 则系统为不
稳定系统, 否则称为稳定系统 。 若极点的实部等于 0的, 则系
统称为临界稳定系统 。
对于传递函数模型 tf（ num,den）,利用求根函数
roots（ den） 来求极点 。 对于状态方程模型 SS（ A,B,C,D） 利
用求特征值函数 eig（ A） 来求特征值 。 这样根据极点或特征值
直接判定系统的稳定性了 。
24503510
24247)(
234
23
????
????
ssss
ssssG
例 3-19 假设系统的传递函数模型为
判断系统的稳定性。
1) routh 构造系统的 Routh表
格式, [rtab,msg]=routh(den)
说明,其中 den是系统的分母多项式向量,rtab是构造的 Routh表
矩阵,msg变量为字符串型变量，返回有关信息。系统不稳定极
点的数目等于所产生的 Routh表中第一列元素的符号变化次数。
Routh（）函数
2 间接判定方法
直接求取高阶代数方程的根是一件很困难的工作，所以出
现了一些判定给定系统稳定性的间接方法，本节介绍其中两种方
法，即 Routh-Hurwitz判定方法和 Lyapunov判定方法，它们分别
适用于传递函数模型和状态空间模型。
例 3-20：同例 3.19，应用的 Routh表判断系统的稳定性。
从运行结果可知 Routh表第一列没有符号的变化，所
以系统是稳定的。
2） hurwitz 构造 Hurwitz矩阵。
格式, H＝ hurwitz（ den）
说明,H为构造的 Hurwitz矩阵,den为系统的分母多项式 D(S)，
D(S)=a0Sn+ a1Sn-1 + a2Sn-2+ ……+ a n-1S1 + an
H 矩阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?????
?
?
?
? ?
?
?
n
32n31
22n420
12n531
a0000
aaa0
aaaa
aaaa
H
hurwitz()函数
3) posdef 判定矩阵的正定性
格式,[key,sdet]=posdef(A)
说明,其中 key返回矩阵 A正定性的标记, 若 key＝ 1则表示该
矩阵 A为正定矩阵, 否则矩阵 A为非正定矩阵 。 sdet返
回各个左上角子矩阵的行列式值 。
posdef（ ） 函数
例 3-21：考虑例 3.19中的系统模型使用 Hurwitz判据判定系
统的稳定性。
由运行结果可知 Hurwitz阵是正定的，因此系统稳定。
4) Lyap 解 Lyapunov方程
格式,X＝ lyap（ A,B,C） X＝ lyap（ A,w）
说明,lyap(A,B,C)求解矩阵方程 AX+XB=－ C的解 X；
lyap(A,C)求解矩阵方程 AX + XA' = -C的解 X。
例 3-22,考虑一个状态方程模型
uxx
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
??
?
4.0
1.0
2.0
1
2.70 7 7 2.11 2 2 8.12 6 3 2.1
8.16 4 2 1.01 5 7 9.10 5 2 6.0
2.44 6 3 2.07 3 6 8.05 7 8 9.0
203 1 5 8.26 8 4 2.61 0 5 3.4
?
]x2-800[y ?
利用 Lyapunov判据判定出系统的稳定性 。
解：选定一个正定的对角矩阵 w=diag（ 1,2,3,4）
Lyapunov方程的解 V不是正定矩阵，因为其左上角子矩阵的行
列式值都为负，故而由 Lyapunov判据可知，系统不稳定。
3.5.2线性系统的能控性和能观性
1,能控性
n阶系统的完全能控性只取决于状态方程中的 （ A,B） 矩阵, 系
统完全能控的充要条件是能控矩阵 Tc满秩即：
rank(Tc)=n,
Tc=[B,AB,… An-1B]
能控矩阵 Tc由 ctrb（ ） 函数自动产生出来,
其调用格式为,Tc＝ ctrb（ A,B）
2能观性
n阶 系统的可观测性只取决于状态方程的 （ A,C） 矩阵, 系统完
全能观的充要条件是能观控矩阵 To满秩即：
rank(To)=n,
To=[C CA CA2 CA3 … CAn-1]T
能观 阵 To由 obsv（ ） 函数直接得出,
该函数的调用格式为,To＝ obsv(A,C)
例 3-23：考虑系统的状态方程模型
u
2
0
1
0
x
0500
1000
0100
0010
x
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
? ?xy 0001?
分析系统的可控性 的和可观性 。
3.6 离散系统的分析
1 连续系统的离散化
格式,[Ad,Bd]=c2d(A,B,ts)
[Ad,Bd,Cd,Dd]=c2dm(A,B,ts,’method’)，
[numz,denz]=c2dm(num,den,ts,’method’)
说明：
1)c2d命令使用离散化的零阶保持器方法, 它只有状态空间形
式 2)c2dm既有状态空间形式, 又有传递函数形式；
3)参数 ts是采样周期 T；
4)method指定转换方式, 其中, zoh”表示采用零阶保持器；
,foh”表示采用三角形近似；, tustin”表示采用双线性变换；
,prewarp”表示采用指定转折频率的双线性变换 ; 系统默认为
零阶保持器法 。
例 3.25：已知系统的被控对象传递函数为：
采样周期 T＝ 0.1秒,试将其进行离散化处理 。
)5)(2(
10)(
??? sssG
2 离散系统单位阶跃响应
格式,[y,x]=dstep(A,B,C,D,ui,n)
[y,x]=dstep(num,den,n)
功能,对离散系统进行阶单位跃响应分析, 给出一组阶跃响应
的数据, 并绘制其响应曲线 。
说明：
1)若无左边的输出参数, 则自动地绘制出响应曲线；
2)参数 ui和 n为可选项, 对于多输入系统是用于指定哪个输入
通道, n是指采样数；
3)和连续系统中 step命令有关的所有命令都可以在离散系统中
应用；
4 其它时间响应命令是 dimpulse,dinitial,dlsim。
例 3-26：同例 3-25,求取 G（ s） 和 G（ z） 的阶跃响应,
并绘制 G（ z） 的脉冲响应曲线 。
staris()函数是绘制离散系统的时域响应曲线，其调用格
式为：
staris(y) [xs,ys]= staris(y)
staris(x,y) [xs,ys]= staris(x,y)
其中：（ x y)绘图坐标。带参数返回的不绘图。
zgrid命令在单位圆内设置了阻尼系数和固有频率线, 设置
‘ hold’命令, 以便在保持图形的重叠 。 其调用格式为：
zgrid(‘new’)
3 离散系统的根轨迹绘制
例 3-27：已知系统如图所示
采样周期 T=0.25s,试绘制离散系统的根轨迹图和阶跃响
应曲线 。
+
-
y(t)r(t) 零阶
保持器
PID
控制器
)2(
10
?ss
功能,绘制离散系统的频域响应曲线。
格式,[mag,phase]=dbode(A,B,C,D,ts,ui,w)，
[mag,phase]=dbode(num,den,ts,ui,w)
说明：
1 参数 ts是采样周期 T；
2 参数 ui,w与连续系统的 bode函数相同；
3 dbode（ ） 函数 与连续系统中 bode（ ） 用法相同, 其它离
散系统的频域响应函数如 dnyquist,dnichols也 与连续系统
的 用法相同 。
4 离散系统的频域响应
)2(
10)(
?? sssG
例 3-28：已知被控对象的传递函数为：
采样周期为 1秒，试绘制零阶保持器法系统的频率响应。
综合分析
1,编写求典型二阶系统闭环传函的函数文件 (tt.m)，其输入参数
为 （ ω,ζ），并求 参数分别为（ 1,0）,（ 1,0.1）,（ 1,0.5）
（ 1,1）时的阶跃响应。 (exe1.m)
2.接上题,求 参数 （ ω,ζ） 分别为（ 0.5,0）,（ 0.8,0.5）,（ 1,1）
时的阶跃响应。 (exe1a.m)
3,已知单位负反馈前向通道传函为：
试作出其单位阶跃响应曲线与误差响应曲线 （ exe2.m）
SSSG 2
80)(
2 ??
4,已知系统开环传函为：
试绘制该单位负反馈系统的单位响应曲线，并计算系统的性
能指标。 （ exe4.m）
SSSG ?? 2
25.1)(
解：计算系统的性能指标函数 stepchar
5,考虑下面传递函数模型
1）画出 ρ=0.1时的 Nichols曲线 （ exe5.m）
2）画出 ρ=0.1,0.5,1.2时的 Nichols曲线 （ exe5a.m）
3）画出 bode图 （ exe5b.m）。 并对系统进行分析。
)5.0)(1(
1)(
???? sssSG
解,1） ρ=0.1时，频率特性 φ（ w） =-180° 时，幅频 (db)为负，
闭环系统不稳定。
函数 ngrid(‘new’)画出等 M（ w）圆,等 N（ w）圆网格线。
2）增加 ρ值可使系统稳定，但系统性能变差。
作业
习题 1,2,3,4,5,6,7
