第五章 基于状态窨模型的
控制系统设计
5.1 概述
5.2 极点配置
5.3 线性二次型最优控制
5.4 解耦控制
5.5 状态观测器设计
5.6 包含状态观测器的状态
反馈控制系统
5.1 概述
考虑线性、定常、连续控制系统，其状态空间描述为：
0 0 0( ),
x A x B u x t x t t
y C x
? ? ? ?? ???
???
+
+B ∫ C
A
x yu x
系统设计问题就是寻找一个控制作用 u(t),使得在其作用下系统运动的行为满足预先
所给出的期望性能指标 。 设计问题中的性能指标可分为非优化型性能指标和优化型性
能指标两种类型 。
o非优化型指标是一类不等式型的指标, 即只要性能指标值达到或好于期望性能指
标就算实现了设计目标 。
?以一组期望的闭环极点作为性能指标，相应的设计问题称为极点配置问题；
?以使一个多输入 — 多输出系统实现“一个输入只控制一个输出”作为性能指标，相应的设计
问题称为解耦控制问题；
o优化型指标则是一类极值型的指标，设计目标是要使性能指标在所有可能值中取得
极小（或极大）值；
? 性能指标常取为一个相对于状态 x(t)和控制 u(t)的二次型积分性能指标, 其形式为：
? ?? ????????? ftt TTffT dttuRtutxQtxtxFtxJ
0
)()()()(21)()(21
? 设计的任务是确定一个控制 u*(t),使得相应的性能指标 J[u*(t)]取得极小值 。
从线性系统理论可知, 许多设计问题所得到的控制规律常具有状态反馈的
形式 。 但是由于状态变量为系统的内部变量, 通常并不是每一个状态变量
都是可以直接量测的 。 这一矛盾的解决途径是：利用可量测变量构造出不
能量测的状态, 相应的理论问题称为状态重构问题, 即状态观测器问题 。
? 以使系统的输出 y(t)无静差地跟踪一个外部信号 yr(t)作为性能指标, 相应的设计问题称为跟踪
（ 或伺服 ） 问题；
? 以使系统的状态 x(t)或输出 y(t)） 在外部扰动或其他因素影响下保持其设定值作为性能指标,
相应的设计问题称为调节问题 。
5.2极点配置
在状态反馈律 作用下的闭环系统为,vGxKu ?????
0 0 0( ),
cc
c
x A x B v x t x t t
y C x
? ? ? ?? ???
???
,,c c cA A B K B B G C C? ? ? ? ? ?
-
+Gv u B
+
+ ∫
A
Cx y
K
x
状态反馈极点配置：通过状态反馈矩阵 K的选取, 使闭环系统的极点, 即
的特征值 恰好处于所希望的一组给定闭环极点的位置上 。
)( KBA ??
),,2,1( nii ???
线性定常系统可以用状态反馈任意配置极点的充分必要条件是：该系统必须是完全
能控的。所以，在实现极点的任意配置之前，必须判别受控系统的能控性。
5.2.1单输入系统的极点配置
Bass-Gura算法,设受控系统的闭环特征多项式分别为：
nnnnn asasasAsIs ??????? ?? 111)d et ()( ??
nnnnn sssssss ??????? ????????? ?? 11121 )())(()( ??
则状态反馈阵 K为：
11111 ],,,[ ??? ????? TaaaK nnnn ??? ?
? ?
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?
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?
????
??
??
?
0001
001
01
1
1
32
121
1
?
?
?????
?
?
?
a
aa
aaa
bAbAbT
nn
nn
n
函数 bass_pp( ) 调用格式为,
K=bass_pp(A,b,p)
其中,(A,b)为状态方程模型,
p为包含期望闭环极点位置的列向量
返回变量 K为状态反馈行向量,? ?Tn???,,,21 ?
Ackermann算法,状态反馈阵为
? ?? ? )(100 11 AbAbAbK n ????? ????
nnnnn IAAAA ???? ????? ?? 111)( ?
控制系统工具箱中 acker( )函数的调用格式为：
K=acker(A,b,p)
acker( )函数可以求解多重极点配置的问题，但不能求解多输入系统的问题。
5.2.2多输入系统的极点配置
疋田算法,设, 表示闭环系统的极点及其相对应的特征向量 。1,( 1,2,,)niiv C i n? ???
?假定 与 A阵的特征值相异, 且
有 即
则
i? ( ),1,2,,ij i j i j n??? ? ?
x A x B u
u K x
? ? ? ??
? ? ? ??
0)( ????? ini vKBAI? iini vKBvAI ?????? )( ?
inii vKBIAv ????? ? 1)( ?
令,, 于是, 对于给定, 可以求出BIAV
nii ??? ? 1)( ? ii vK ??? iii Vv ??? i? iv
? ? ? ?nn vvvK ?? 2121 ?????
一般说来 可逆，否则重新选择 。? ?
nvvv ?21 ? ?n??? ?21
? ? ? ?
? ? ? ? 1221121
1
2121
?
?
?????
??
nnn
nn
VVV
vvvK
??????
???
??
??
疋田算法的具体步骤,首先，适当选择,从而计算特征向量
再确定状态反馈阵
1?? ri R?
11( ),1,2,,ni i n iv A I B C i n?? ??? ? ? ? ? ?
? ? ? ? 12121 ??? nn vvvK ?? ???
说明了多输入系统极点配置问题中),,2,1( nii ??? 的选择有较大的任意性。
确定状态反馈阵 K的非唯一性。
pitian( ) 函数的调用格式：
K=pitian(A,B,p)
的选取方法是：选取 中每前 r列构成 r阶单位阵，直至到第 n列? ?
n???? ?21? ?
? 若假定 与 A的特征值有相同的, 或 中有重根时,
则可以对特征值相同的一个或几个加上一定的微小偏量, 使之满足上面第一种
情形的条件 。 然后, 再重新进行极点配置 。 如果效果不够理想, 那么还可重新选择
i?i? ni,,2,1 ??
? ?n???? ?21? 阵来进行配置。
place( )函数调用格式为：
K=place(A,B,p)
[K,prec,message]=place(A,B,p)
)*( KBAe i gp ??
控制系统工具箱中 place( )函数是基于鲁棒极点配置的算法，用来求取状态反馈
阵 K，使得多输入系统具有指定的闭环极点 P，即 。
prec为闭环系统的实际极点与期望极点 P的接近程度, prec中的每个量的值为匹配的
位数 。 如果闭环系统的实际极点偏离期望极点 10%以上, 那么 message将给出警告信息 。
函数 place( )不适用于含有多重期望极点的配置问题 。
例 5-1：
5.2.3 用极点配置设计调节系统
例 5-2,已知一个倒立摆系统的数学模型为：
u
M
lM
x
x
x
x
Mgm
lMgMm
x
x
x
x
?
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?
/1
0
)/(1
0
000/
1000
000)/()(
0010
4
3
2
1
4
3
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
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??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
4
3
2
1
2
1
0100
0001
x
x
x
x
y
y
其中, 状态变量为, 输出变量为, 摆的质
量, 小车的质量, 摆的长度 。
xxxxxx ?? ???? 4321,,,?? xyy ?? 21,?
kgm 1.0? kgM 2? ml 5.0?
???
5.0?? 2sts?
设计要求：对于任意给定的角度 和（或 ）角速度的初始条件，设计一个使倒立
摆保持在垂直位置的控制系统。同时要求在每一控制过程结束时，小车返回到参考位
置 x=0。而指标要求为：闭环主导极点的阻尼,调整时间秒 。
解,1、将给定 的的值代入 上 式，得到：lmM,,
x A x B u
y C x
? ? ? ??
? ??
?
0 1 0 0 0
20.601 0 0 0 1 1 0 0 0
,,
0 0 0 1 0 0 0 1 0
0.4905 0 0 0 0.5
A b C
? ? ? ?
? ? ? ?? ??
? ? ? ?? ? ? ??
? ? ? ? ??
? ? ? ??
? ? ? ?
2,状态反馈阵 K的求取：
?检验该系统是否状态完全能控。
系统是完全能控的
?根据性能指标选择所期望的闭环极点位置。
1 2 3 42 2 3,2 2 3,1 0,1 0jj? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
3、求闭环系统对初始条件的响应：
假设初始条件为,而闭环系统的状态空间描述为,? ??? 0001.0)0(x ()x A b K x? ? ? ?
摆将返回到参考位置，其结果是令人满意的。
5.2.4 用极点配置设计伺服系统
?含有积分器的 I型伺服系统设计
-
+v uk1
-
+ y=x1
x Ax bu??
K2
Kn
y=cx
假定,r=m=1；前馈通道含有一个积分器；参考输入 v是阶跃信号
状态反馈控制系统：
vkxKu ????? 1
该闭环系统的动态特性由 vkbxKbAx ????????
1)(
来描述 。
设计 I型伺服系统, 使得闭环极点配置到所期望的位置上 。 所设计的将是一个
渐近稳定系统, 将趋于常值, 将趋于零 。)(?y )(?u
在稳态时
)()()()( 1 ??????????? rkbxKbAx
0,( ) ( )t v v t v? ? ? ?
( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ]x t x A b K x t x? ? ? ? ? ? ?
)()()( ??? xtxte
( ) ( ) ( )e t A b K e t? ? ? ?
I型伺服系统的设计转化为：对于给定的任意初始条件 e(0)，设计一个渐近稳定
的调节系统，使得 e(t)趋于零。
如果受控系统是状态完全能控的，则通过指定的所期望的特征值
对 阵采用极点配置的方法来确定 K 阵。 n???,,,21 ?
)( KbA ??
x(t)和 u(t)的稳态值求法,
在稳态时，有
1( ) 0 ( ) ( )x A b K x b k v? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
所期望的特征值均在 [s]复平面的左半部，所以 阵可逆。从而，)( KbA ??
vkbKbAx ???????? ? 11)()(
)( KbA ??
同理,
0)()( 1 ???????? vkxKu
pp_sifuI( )函数的调用格式为：
[K,x_ss,y_ss,u_ss]=pp_sifuI(A,b,c,p,v)
其中,v为参考阶跃输入信号的幅值。而返回的变量 K为反馈增益阵，
x_ss,y_ss,u_ss分别为稳态值 )(),(),( ??? uyx
例 5-3,设系统的传递函数为：
设计一个 I型伺服系统使得闭环极点为, 设参考输入 。
)2)(1(
1
)(
)(
??? ssssU
sY
10,322 ??? j )(110 tv ??
?不含有积分器的 I型伺服系统设计
如果系统是 0型系统，则 I型伺服系统设计的基本原则是在误差比较器和系统间的
前馈通道中插入一个积分器
-
+ u
-
+∫ C y
K
v K
I b ∫
A
? ? x
-
假定,r=m=1；前馈通道不含积分器；受控系统是完全能控的，且其传递函数在
原点处没有零点 。且
10 ????????? nc bAr ank
状态反馈控制方案：
Iu K x k
v y v c x
?
?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
( ) 0 ( ) 0
( ) ( ) 0
0 ( ) 0 1()
x t A x t b
u t v t t
ctt ??
?
?
?? ? ? ? ? ? ? ? ?
?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?
?? ?? ? ? ? ? ? ? ?
??
设计一个渐近稳定系统，使得 分别趋于常值。因此，在稳态时( ),( ),( )xu?? ? ?
( ) 0,( )t y v? ? ? ?
)(10)(0)( )(00
)(
)( ??
??
?
??
????
??
?
??
??
??
?
??
?
?
??
??
?
??
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
vubxcAx ?
?
当稳态时
1 1 1 1 1( ) ( ) ( ),( ) ( ) ( ),( ) ( ) ( )ne e ex t x t x R t t R u t u t u R? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
1)1(
)(
)()( ????
?
??
?
?? n
e
e R
t
txte
?
)(?)(?)( tubteAte e?????
)(?)( teKtu e ???
由定义：
( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 1 1 ( 1 )0 ?? ?,,[,]
00
n n n n
I
AbA R b R K K k R
c
? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?
?? ? ? ?
设计 I型伺服系统的基本思想：设计一个稳定的 (n+1)阶调节系统，对于给定的任
意初始条件 e(0)，将使 e(t)趋于零。
的稳态值的求取：)(),(),( tuttx ?
由于在稳态时,0)(,0)( ???? ?? ?x
??
?
??
?
????
?
??
?
????
?
??
?
?
? ?
vc
bA
u
x 0
0)(
)( 1
vxcy ????? )()(
IkxKu /)]()([)( ???????
pp_sifu0( ) 函数的调用格式为：
[K,kI,x,y,t,x_ss,y_ss,u_ss,zeta_ss]=pp_sifu0(A,b,c,p,v,t)
t为时间向量,KI为积分增益常数,x,y分别为所设计系统的状态、输出响应向量，
zeta_ss为稳态值 )(??
例 5-4,考虑例 5-2所示的倒立摆系统,
设计要求：希望尽可能地保持倒立摆垂直, 并控制小车的位置 。
指标要求：在小车的阶跃响应中, 约有 4~5秒的调整时间和 15%~16%的最大超调量 。
解,为控制小车的位置, 需建造一个 I型伺服系统 。 由于安装在小车上的倒立摆系
统没有积分器, 因此将位置信号 x反馈到输入端, 并且在前馈通道中插入一个积分
器, 并将小车的位置作为系统的输出, 即 。]0,1,0,0[?c
1,根据指标要求确定闭环主导极点：
选择期望的闭环极点为：
1 2 3 4 51 3,1 3,5,5,5jj? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
2,确定倒立摆伺服系统的设计参数,
在任意的设计问题中，如果响应速度和阻尼不十分满意，则必须修改所期望的闭环
极点，并确定一个新的矩阵 。必须反复进行计算机仿真，直到获得满意的结果为止。K?
5.3 线性二次型最优控制
考虑受控系统，其性能指标为：
? ?? ????????? ftt TTffT dttuRtutxQtxtxFtxJ
0
)()()()(21)()(21
线性二次型最优控制问题，简称为 LQ（ Linear Quadratic）问题。就是寻找一个控制
u*(t)，使得系统沿着由指定初态 x0出发的相应轨线 x*(t),其性能指标 J取得极小值。
?有限时间 LQ问题,终端时刻 tf是固定的,且为有限值
?无限时间 LQ问题, tf=∞
，
?调节问题
?状态调节问题
设计最优控制 u*(t),使在其作用下把系统由初始状态 x0驱动到零平衡状态 xe=∞,同
时性能指标 J取得极小值。
?输出调节问题
?跟踪问题
要求在使系统的输出 y(t)跟踪已知的或未知的参考信号 yr(t)的同时，使某个相应的二
次型性能指标 J为极小。
5.3.1无限时间 LQ状态调节问题
对于受控系统,其无限时间 LQ状态调节问题中的性能指标为：
? ?? ? ??????
0
)()()()(21 t TT dttuRtutxQtxJ
为能控的},{ BA },{ 21QA 为能观测 +
+B ∫
A
xu
R-1BTP
对于无限时间 LQ状态调节问题,u*(t)为
其最优控制的充分必要条件是其具有形式：
)()( *** txKtu ??? nrT RPBRK ?? ???? 1* 是唯一的常数阵。
最优轨线 x*(t)为 * * * *
00( ) ( ) ( ),( )x t A x t B u t x t x? ? ? ? ?
的解，最优性能指标为,
*
0 0 0
1,0
2
TJ x P x x? ? ? ? ?
为下述 Riccati矩阵代数方程的正定对称解阵：nnRP ??
01 ?????????? ? PBRBPQPAAP TT
设计所得到的闭环控制系统是渐近稳定的。
关于无限时间 LQ状态调节问题的鲁棒性有以下结论：
对于无限时间定常 LQ状态调节问题的最优调节系统, 取加权阵
则系统的每一个反馈控制回路均具有,（ 1） 至少的相角裕度 ； （ 2）
从 0.5到无穷大的幅值裕度 。
},,,{ 21 rdi agR ??? ??
rii,,2,1,0 ???? o60?
控制系统工具箱函数 lqr( )的调用格式为：
[K,P,e]=lqr(A,B,Q,R) 或 [K,P,e]=lqr(A,B,Q,R,N)
其中,[K,P,e]=lqr(A,B,Q,R,N)设计线性定常, 连续时间系统的最优反馈增益矩阵 K,使
性能指标 ? ?
????????? 0 )2( dtuNxuRuxQxJ TTT 达到极小。
返回 Riccati矩阵代数方程 0)()( 1 ???????????? ? QNPBRNBPAPPA TTT
的解 P及闭环系统的特征值 e。
)(1 TT NPBRK ???? ?, 当 N缺省时, 默认取 N=0
控制系统工具箱还提供了使用 Schur法的线性二次型调节问题设计的函数 lqr2( )
例 5-5,考虑例 5-2所示的倒立摆系统，按不含积分器的 I型伺服系统设计的方法，
倒立摆系统就变成了一个闭环系统，其误差方程为：
?? ?,eee A e b u u K e? ? ? ? ? ? ? ?
? ?
0 1 0 0 0 0
2 0, 6 0 1 0 0 0 0 1
0 ??
,,00 0 0 1 0 0
00
0, 4 9 0 5 0 0 0 0 0, 5
0 0 1 0 0 0
Ab
A b d
c
? ? ? ?
? ? ? ?
?
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ? ?? ? ? ?
?? ? ? ?
? ? ? ??? ? ? ?
K? ? ? ??????
0 )( dtuRueQeJ
TT
( 1 0 0,1,1,1 ),0, 0 1Q d i a g R??
要求：试确定反馈增益阵,使得性能指标
取得极小。式中选取：
对于受控系统,其无限时间 LQ输出调节问题中的性能指标为：
? ?? ? ??????
0
)()()()(21 t TT dttuRtutyQtyJ
},{ BA },{ CA },{ CDA ? DDQ T ??完全能控 完全能观测 完全能观测
+
+B ∫
A
xu
— R-1BTP
x C y
x(0)
对于无限时间 LQ输出调节问题,u*(t)为其最优控制的条件是其具有形式：
)()( *** txKtu ??? nrT RPBRK ?? ???? 1* 是唯一的常数阵。
最优轨线 x*(t)为 * * * *
00( ) ( ) ( ),( )x t A x t B u t x t x? ? ? ? ?
的解，最优性能指标为,
*
0 0 0
1,0
2
TJ x P x x? ? ? ? ?
5.3.2无限时间 LQ输出调节问题
为下述 Riccati矩阵代数方程的正定对称解阵：nnRP ??
01 ???????????? ? PBRBPCQCPAAP TTT
设计所得到的闭环控制系统是渐近稳定的。
控制系统工具箱函数 lqry( )的调用格式为：
[K,P,e]=lqry(sys,Q,R) 或 [K,P,e]=lqry(sys,Q,R,N)
其中,[K,P,e]=lqry(sys,Q,R,N)设计线性定常, 连续时间系统的最优反馈增益矩阵 K，
使性能指标 达到极小。? ?
????????? 0 )2( dtuNyuRuyQyJ TTT
的解 P及闭环系统的特征值 e。
返回 Riccati矩阵代数方程 0)()( 1 ???????????? ? QNPBRNBPAPPA TTT
)(1 TT NPBRK ???? ?, 当 N缺省时, 默认取 N=0
例 5-6,设受控系统的状态空间表达式为：
而性能指标为：
试求使系统的性能指标 J为极小值时的最优反馈增益矩阵 K。
? ?0 1 0( ) ( ) ( ),( ) 1 0 ( )0 0 1x t x t u t y t x t? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?
? ? ??? 0 22 )](4)([21 dttutyJ
5.3.3 最优跟踪问题
设 },{ BA 为完全能控的,},{ CA 为完全能观测的，并定义误差向量为
1)()( ???? m
r Rtyyte 。其中，
1?? m
r Ry 为预期输出的常数向量。试寻求一个
最优控制 )(* tu,使系统的实际输出向量 )( ty 跟踪预期的输出常向量 ry,并
使下面的二次型性能指标 J 取得极小。
? ?? ?????? ft
t
TT dttuRtuteQteJ
0
)()()()(
2
1
yr x+
+
+ ∫
A
g
—P
x C y(PB R-1BT—AT) –1CTQ BR-1BT
+
得到次最优控制律：
111*
)()(
???
?????????
rTT
RgBRtxPBRtu
此时，最优轨线 )(* tx 应满足,gBRBtxPBRBAtx
TT
??????????
??
?
1*1*
)()()(
考虑到 ft 足够大，此时 )( tP 趋于常数阵
nn
RP
?
?,它是 Riccati 矩阵代数方程的正定解阵：
0
1
????????????
?
PBRBPCQCPAAP
TTT
而常数向量
111
)(
???
?????????
n
r
TTT
RyQCABRBPg
lqr_c( )函数的调用格式为：
[P,g,K1,K2]=lqr_c(A,B,C,Q,R,yr)
其中 {A,B,C}为受控系统的状态空间描述, Q,R为加权阵, yr为参考输出向量
例 5 - 7, 已知二阶系统的状态空间表达式为,
? ?
0 1 0
( ) ( ) ( ),( ) 1 0 ( )
0 2 20
x t x t u t y t x t
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? ? ?
?? ? ? ?
而性能指标为：
?
?
???
0
22
)}()]({[ dttutyyJ
r
，给定的预期输出
)(1 ty
r
?
。试确
定 J 为极小时的控制律。
5.4 解耦控制
考虑受控系统，控制律采用状态反馈结合输入变换，即
vLxKu ?????
其中
nmRK ??
为反馈增益阵，
mmRL ??
为输入变换阵，
1?? mRv
为外部参考
输入 。
-
+Lv u B
+
+ ∫
A
Cx y
K
x
状态空间描述为,
()x A B K x B L v
y C x
? ? ? ? ? ? ??
?
???
而其传递函数阵
mm
nKL
RLBKBAsICsG
??
????????
1
)()( 是有理分式矩阵。
系统的输入 — 输出解耦有静态与动态之分。所谓动态解耦控制问题就是：对于给
定受控系统，寻找一个输入变换和状态反馈矩阵对 },{ LK,使得传递函数矩阵 )( sG KL 为
非奇异对角线有理分式矩阵。如若 )0(KLG 为对角线非奇异常数矩阵，且闭环系统为渐
近稳定的，那么称该系统是静态解 耦的。
decoupling( ) 函数实现动态解耦控制算法, decoupling_s ( )函数实现静态解耦控
制算法, 其调用格式为：
[G,K,L]=decoupling(A,B,C),
[vv,K,L]= decoupling_s(A,B,C,p,dd)
},,{ CBA 为受控系统的状态空间表达式。 返回的 K,L 分别为反馈增益阵、输入
变换阵，而 n
)1()( ???? nmmR
,d
)1( ??? nmR
分别为 系统的各传递函数的分子、分母降幂
排列系数，按列排列所得的矩阵,p 为系统的所有极点的列向量,dd 为包含各
单输入 — 单输出自治系统的稳态增益的列向量,vv 为满足静态解耦的标志（当
值为 1 时即满 足，反之为 0 ）。
例 5 - 8, 考虑给出的双输入双输出系统,
uxx ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
10
00
01
00
0020
1000
2003
0010
xy ??
?
?
?
?
?
?
0100
0001
求系统的传递函数矩阵。
即系统的变换传递函数矩阵为,?
?
?
??
???
?
?
??
???
10
011
0
01)(
22
2
4 ss
s
ss
例 5 - 9, 已知受控系统,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
100
100
010
A,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
01
10
00
B, ?
?
?
?
?
?
?
100
001
C
所要求的闭环极点为 - 1, - 2, - 3 。 ? ?
T
dd 11? 。
5.5 状态观测器设计
5.5.1 全维状态观测器设计
所谓全维状态观测器，就是以 )( ty 和 )( tu 为输入的一个 n 维线性定常系统，
且不论该系统和受控系统的初值如何，该系统的输出 )(? tx 总满足如下关系式,
)(li m)(?li m txtx
tt ????
?
若采用如下线性定常系统作为全维状态观测器,
)?(?? xCyLuBxAx ????????
?
,00
?)(? xtx ?
其中，
1
?
?
?
n
Rx 为
x
的估计状态。那么，必可通过选择增益阵
mn
RL
?
?
来任意配
置 )( CLA ?? 阵的全部特征值，即不管初值 0
?x
为何值，当矩阵 )( CLA ?? 的特征
值均具有负实部时，就可实现渐近重构状态的目的。
设计的全维状态观测器的一组期望极点为
n
???,,,
21
? 的 算法为,
首先，利用极点配置问题的算法，对矩阵对 },{
TT
CA 来确定使
i
TT
i
KCA ?? ??? )(, ni,,2,1 ?? 的反馈增益阵
nm
RK
?
? 。
其次，确定增益阵
T
KL ?
和所要设计的全维状态观测器,
yLuBxCLAx ????????
?
?)(?
u B
A
C y
∑
∫
+ + ∫
A-LC
B
L
?x
x
u
+
+
+
对于单输入 — 单输出系统,s i m o b s v ( ) 函数仿真受控系统的全维状态观测器
所观测到的状态 )(? tx,其调用格式为,
[ xh,x,t ] =s i m obs v( A,B,C,L ),
其中 { A,B,C } 为受控系统的状态空间模型,L 为全维观测器设计中的增益列向
量,xh 和 x 分别为重构状态和受控系统的阶跃响应矩阵,t 为时间向量。
例 5-10,同例 5-2的状态空间模型,并将 两个极点配置到 s=-1,s=-2。
5.5.2降维状态观测器设计
给定受控系统,假定 },{ CA 为能观测,C 为满秩阵即 mra n k C ?,那么降维状态观
测器的最小维数可为 mn ? 。 受控系统 的 mn ? 维降维状态观测器（也称最小维状态
观测器）的戈平纳斯（ Go pinath ）设计方法,
第一步：选取常数阵
nmn
RR
??
?
)(
，使得矩阵 nnR
R
C
P
?
??
?
?
?
?
?
? 为非奇异的，并求取
? ?
21
1
QQPQ ??
?
，其中
mn
RQ
?
?
1,
)(
2
mnn
RQ
??
? ；
第二步：确定受控系统 在非奇异变换 xPx ?? 下所得的代数等价系统,
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
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?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
2
1
2
1
2
1
2221
1211
2
1
0 x
x
x
Iy
u
B
B
x
x
AA
AA
x
x
m
其中，
nn
R
AA
AA
PAPA
??
?
?
?
?
?
?
?
????
2221
12111
，
rn
R
B
B
BPB
?
?
?
?
?
?
?
?
???
2
1
,
? ?
nm
m
RIPCC
??
???? 0
1
，而
1
1
?
?
m
Rx,
1)(
2
??
?
mn
Rx,
mm
RA
?
?
11,
)(
12
mnm
RA
??
?,
mmn
RA
??
?
)(
21,
)()(
22
mnmn
RA
???
?
,
rm
RB
?
?
1,
rmn
RB
??
?
)(
2 ；
第三步：选取
mmn
RL
??
?
)(
，使得矩阵
)(
1222
ALA ??
稳定或具有希望的稳定特征值；
第四步：按照如下形式构成受控系统 的一个最小维状态观测器，即对于
任何的 )0(),0( zx 和 )( tu,均满足关系式
0)](?)([lim ??
??
txtx
t 。
?
?
?
?
?
????????????
????????????????
?
yLQQzQyLzQyQx
uBLByLALAALAzALAz
)()(?
)(])()[()(
21221
12122211211222
+ -
+
+B ∫ Q2u ?xz
12Q Q L?
22 12A LA?
21 11 22 12( ) ( )A L A A L A L? ? ?
z
y
jiaweiguanceqi()函数实现上述降维状态观测器的设计, 其调用格式为：
[L,Az,By,Bu,Cz,Dy]=jiangweiguanceqi(A,B,C,R,p)
},,{ CBA 为受控系统的状态空间模型,p 为包含降维观测器的所期望的极点
位置的列向量，
nmnRR ??? )(
为所选的常数矩阵,L 为配置降维观测器期望极点所
需的增益阵，而 Az,By,Bu,Cz,Dy 则是方程的各个常数阵,例 5 - 11, 给定受控系统为,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
131413
121211
444
A,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
0
1
1
B, ? ?111?C
确定其降维状态观测器。
5.6 包含状态观测器的
状态反馈控制系统考虑受控系统式 (5.1),假定 },{ BA 为能控,},{ CA 为能观测，且按照性能指标（如极点配置、二次型最优、解耦等）的要求，可确定出状态反馈控制,vxKu ????,其中,nrRK ?? 为常
数阵,1?? rRv 为参考输入。
为了实现状态反馈，还需要引入状态观测器以重构系统的状态，最后就构成了包
含状态观测器的状态反馈控制系统 。
-
+
K
yv
?x
受控系统
状态观测器
u
该闭环系统的闭环极点由受控系统在状态反馈控制作用下的闭环系统极点
)( KBAi ??? 和状态观测器的极点 )( CLAj ??? （或 )( 1222 ALAk ??? ）组成。
根据分离性原理，即状态反馈控制律的设计和状态观测器的设计可
以独立分开进行，所以包含状态观测器的状态反馈控制系统的设计
过程分为两个阶段：第一个阶段是确定状态反馈增益阵 K,以产生
其期望的闭环极点；第二个阶段是不需要考虑状态反馈的存在，而
确定状态观测器的增益阵
L
或
L
，以产生所期望的状态观测器的 极
点。 需要注意的是：由状态反馈增益阵
K
的选取所产 生的期望闭环
极点，应使系统能满足性能指标要求，而状态观测器极点的选取通
常使其响应比系统的响应快得多，即状态观测器的极点位于所期望
的闭环极点的左边。 通常，在考虑状态观测器的极点时，一条可供
参考的选择原则是,
)](R e [)3~2()](R e [ KBACLA
ij
????? ??
或
)](R e [)3~2()](R e [
1222
KBAALA
ik
????? ??
nji,,2,1,??, mnk ??,,2,1 ? 。
包含状态观测器的状态反馈控制系统的设计分两步走 。
第一步：按照系统性能指标要求 （ 如：极点配置, 线性二次型最优控制, 解耦控
制等要求 ）, 有选择地采用前面几节所讨论的各种方法加以设计, 从而满足其系统
要求；
第二步：在不考虑第一步设计的存在的情况下, 独立地设计状态观测器, 使之满
足其所期望的极点位置要求 。
在第二步中, 可以采用 5-5节所介绍的方法加以设计与实现状态观测器 。
5.6.1 基于全维状态观测器的控制器
考虑到 ylubxclAxcylubxAx ????????????????
?
?)()?(??,所以可以将状态反
馈中的 xk ?? 写成两个子系统 )(
1
sG 与 )(
2
sG 的形式，这两个子系统分别由信号 )( tu
与 )( ty 单独作用，使得 )(
1
sG 可以写成,
??
?
?
?
??
??????
?
11
11
?
?)(?
xky
ubxclAx
其中，
1
1
?
?
?
n
Rx,
11
1
?
? Ry 。而 )(
2
sG 可以写成,
??
?
?
?
??
??????
?
22
22
?
?)(?
xky
ylxclAx
其中，
1
2
?
?
?
n
Rx,
11
2
?
? Ry,
21
yyv ?? 。
5.6.2 基于全维状态观测器的调节器
-
+ yr=0 G
c(S) G(S)
u
)(
)()(
sY
sUsG
c ? 为 0)( ?tr 时控制器的传递函数
? ? ?()
?()
? ?( ) ( )
?()
x A x b u l y c x
A l c x b u l y
A l c x b k x l y
A l c b k x l y
?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
控制系统工具箱中的函数 reg( ),用来设计基于全维状态观测器的调节器, 其调用格式为：
Gc=reg(G,k,l)
其中 G为受控系统的状态空间表示,k,l分别表示状态反馈的行向量 k和全维状态观测器
的列向量 l。 Gc为基于全维状态观测器的调节器的状态空间表示。
例 5 - 12, 考虑下面的对象模型,
我们采用这样的设计方案：系统由线性二次型最优状态调节器和全维状态观测器所
组成。而性能指标的具体参数为,}0,0,0,0,1{d i a gQ ?,
1?R
，观测器的极点位置为：
- 9.4716+0.5284i,- 9.4716 - 0.5284i,- 10.0000,
- 10.5284+0.5284i,- 10.5284 - 0.5284i 。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
100000
1003.33000
08.853.1400
006.15.00
0005.02.0
A
? ?00001?c
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
30
0
0
0
0
b
控制系统设计
5.1 概述
5.2 极点配置
5.3 线性二次型最优控制
5.4 解耦控制
5.5 状态观测器设计
5.6 包含状态观测器的状态
反馈控制系统
5.1 概述
考虑线性、定常、连续控制系统，其状态空间描述为：
0 0 0( ),
x A x B u x t x t t
y C x
? ? ? ?? ???
???
+
+B ∫ C
A
x yu x
系统设计问题就是寻找一个控制作用 u(t),使得在其作用下系统运动的行为满足预先
所给出的期望性能指标 。 设计问题中的性能指标可分为非优化型性能指标和优化型性
能指标两种类型 。
o非优化型指标是一类不等式型的指标, 即只要性能指标值达到或好于期望性能指
标就算实现了设计目标 。
?以一组期望的闭环极点作为性能指标，相应的设计问题称为极点配置问题；
?以使一个多输入 — 多输出系统实现“一个输入只控制一个输出”作为性能指标，相应的设计
问题称为解耦控制问题；
o优化型指标则是一类极值型的指标，设计目标是要使性能指标在所有可能值中取得
极小（或极大）值；
? 性能指标常取为一个相对于状态 x(t)和控制 u(t)的二次型积分性能指标, 其形式为：
? ?? ????????? ftt TTffT dttuRtutxQtxtxFtxJ
0
)()()()(21)()(21
? 设计的任务是确定一个控制 u*(t),使得相应的性能指标 J[u*(t)]取得极小值 。
从线性系统理论可知, 许多设计问题所得到的控制规律常具有状态反馈的
形式 。 但是由于状态变量为系统的内部变量, 通常并不是每一个状态变量
都是可以直接量测的 。 这一矛盾的解决途径是：利用可量测变量构造出不
能量测的状态, 相应的理论问题称为状态重构问题, 即状态观测器问题 。
? 以使系统的输出 y(t)无静差地跟踪一个外部信号 yr(t)作为性能指标, 相应的设计问题称为跟踪
（ 或伺服 ） 问题；
? 以使系统的状态 x(t)或输出 y(t)） 在外部扰动或其他因素影响下保持其设定值作为性能指标,
相应的设计问题称为调节问题 。
5.2极点配置
在状态反馈律 作用下的闭环系统为,vGxKu ?????
0 0 0( ),
cc
c
x A x B v x t x t t
y C x
? ? ? ?? ???
???
,,c c cA A B K B B G C C? ? ? ? ? ?
-
+Gv u B
+
+ ∫
A
Cx y
K
x
状态反馈极点配置：通过状态反馈矩阵 K的选取, 使闭环系统的极点, 即
的特征值 恰好处于所希望的一组给定闭环极点的位置上 。
)( KBA ??
),,2,1( nii ???
线性定常系统可以用状态反馈任意配置极点的充分必要条件是：该系统必须是完全
能控的。所以，在实现极点的任意配置之前，必须判别受控系统的能控性。
5.2.1单输入系统的极点配置
Bass-Gura算法,设受控系统的闭环特征多项式分别为：
nnnnn asasasAsIs ??????? ?? 111)d et ()( ??
nnnnn sssssss ??????? ????????? ?? 11121 )())(()( ??
则状态反馈阵 K为：
11111 ],,,[ ??? ????? TaaaK nnnn ??? ?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
??
??
?
0001
001
01
1
1
32
121
1
?
?
?????
?
?
?
a
aa
aaa
bAbAbT
nn
nn
n
函数 bass_pp( ) 调用格式为,
K=bass_pp(A,b,p)
其中,(A,b)为状态方程模型,
p为包含期望闭环极点位置的列向量
返回变量 K为状态反馈行向量,? ?Tn???,,,21 ?
Ackermann算法,状态反馈阵为
? ?? ? )(100 11 AbAbAbK n ????? ????
nnnnn IAAAA ???? ????? ?? 111)( ?
控制系统工具箱中 acker( )函数的调用格式为：
K=acker(A,b,p)
acker( )函数可以求解多重极点配置的问题，但不能求解多输入系统的问题。
5.2.2多输入系统的极点配置
疋田算法,设, 表示闭环系统的极点及其相对应的特征向量 。1,( 1,2,,)niiv C i n? ???
?假定 与 A阵的特征值相异, 且
有 即
则
i? ( ),1,2,,ij i j i j n??? ? ?
x A x B u
u K x
? ? ? ??
? ? ? ??
0)( ????? ini vKBAI? iini vKBvAI ?????? )( ?
inii vKBIAv ????? ? 1)( ?
令,, 于是, 对于给定, 可以求出BIAV
nii ??? ? 1)( ? ii vK ??? iii Vv ??? i? iv
? ? ? ?nn vvvK ?? 2121 ?????
一般说来 可逆，否则重新选择 。? ?
nvvv ?21 ? ?n??? ?21
? ? ? ?
? ? ? ? 1221121
1
2121
?
?
?????
??
nnn
nn
VVV
vvvK
??????
???
??
??
疋田算法的具体步骤,首先，适当选择,从而计算特征向量
再确定状态反馈阵
1?? ri R?
11( ),1,2,,ni i n iv A I B C i n?? ??? ? ? ? ? ?
? ? ? ? 12121 ??? nn vvvK ?? ???
说明了多输入系统极点配置问题中),,2,1( nii ??? 的选择有较大的任意性。
确定状态反馈阵 K的非唯一性。
pitian( ) 函数的调用格式：
K=pitian(A,B,p)
的选取方法是：选取 中每前 r列构成 r阶单位阵，直至到第 n列? ?
n???? ?21? ?
? 若假定 与 A的特征值有相同的, 或 中有重根时,
则可以对特征值相同的一个或几个加上一定的微小偏量, 使之满足上面第一种
情形的条件 。 然后, 再重新进行极点配置 。 如果效果不够理想, 那么还可重新选择
i?i? ni,,2,1 ??
? ?n???? ?21? 阵来进行配置。
place( )函数调用格式为：
K=place(A,B,p)
[K,prec,message]=place(A,B,p)
)*( KBAe i gp ??
控制系统工具箱中 place( )函数是基于鲁棒极点配置的算法，用来求取状态反馈
阵 K，使得多输入系统具有指定的闭环极点 P，即 。
prec为闭环系统的实际极点与期望极点 P的接近程度, prec中的每个量的值为匹配的
位数 。 如果闭环系统的实际极点偏离期望极点 10%以上, 那么 message将给出警告信息 。
函数 place( )不适用于含有多重期望极点的配置问题 。
例 5-1：
5.2.3 用极点配置设计调节系统
例 5-2,已知一个倒立摆系统的数学模型为：
u
M
lM
x
x
x
x
Mgm
lMgMm
x
x
x
x
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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???
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?
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?
?
?
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?
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?
?
/1
0
)/(1
0
000/
1000
000)/()(
0010
4
3
2
1
4
3
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
4
3
2
1
2
1
0100
0001
x
x
x
x
y
y
其中, 状态变量为, 输出变量为, 摆的质
量, 小车的质量, 摆的长度 。
xxxxxx ?? ???? 4321,,,?? xyy ?? 21,?
kgm 1.0? kgM 2? ml 5.0?
???
5.0?? 2sts?
设计要求：对于任意给定的角度 和（或 ）角速度的初始条件，设计一个使倒立
摆保持在垂直位置的控制系统。同时要求在每一控制过程结束时，小车返回到参考位
置 x=0。而指标要求为：闭环主导极点的阻尼,调整时间秒 。
解,1、将给定 的的值代入 上 式，得到：lmM,,
x A x B u
y C x
? ? ? ??
? ??
?
0 1 0 0 0
20.601 0 0 0 1 1 0 0 0
,,
0 0 0 1 0 0 0 1 0
0.4905 0 0 0 0.5
A b C
? ? ? ?
? ? ? ?? ??
? ? ? ?? ? ? ??
? ? ? ? ??
? ? ? ??
? ? ? ?
2,状态反馈阵 K的求取：
?检验该系统是否状态完全能控。
系统是完全能控的
?根据性能指标选择所期望的闭环极点位置。
1 2 3 42 2 3,2 2 3,1 0,1 0jj? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
3、求闭环系统对初始条件的响应：
假设初始条件为,而闭环系统的状态空间描述为,? ??? 0001.0)0(x ()x A b K x? ? ? ?
摆将返回到参考位置，其结果是令人满意的。
5.2.4 用极点配置设计伺服系统
?含有积分器的 I型伺服系统设计
-
+v uk1
-
+ y=x1
x Ax bu??
K2
Kn
y=cx
假定,r=m=1；前馈通道含有一个积分器；参考输入 v是阶跃信号
状态反馈控制系统：
vkxKu ????? 1
该闭环系统的动态特性由 vkbxKbAx ????????
1)(
来描述 。
设计 I型伺服系统, 使得闭环极点配置到所期望的位置上 。 所设计的将是一个
渐近稳定系统, 将趋于常值, 将趋于零 。)(?y )(?u
在稳态时
)()()()( 1 ??????????? rkbxKbAx
0,( ) ( )t v v t v? ? ? ?
( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ]x t x A b K x t x? ? ? ? ? ? ?
)()()( ??? xtxte
( ) ( ) ( )e t A b K e t? ? ? ?
I型伺服系统的设计转化为：对于给定的任意初始条件 e(0)，设计一个渐近稳定
的调节系统，使得 e(t)趋于零。
如果受控系统是状态完全能控的，则通过指定的所期望的特征值
对 阵采用极点配置的方法来确定 K 阵。 n???,,,21 ?
)( KbA ??
x(t)和 u(t)的稳态值求法,
在稳态时，有
1( ) 0 ( ) ( )x A b K x b k v? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
所期望的特征值均在 [s]复平面的左半部，所以 阵可逆。从而，)( KbA ??
vkbKbAx ???????? ? 11)()(
)( KbA ??
同理,
0)()( 1 ???????? vkxKu
pp_sifuI( )函数的调用格式为：
[K,x_ss,y_ss,u_ss]=pp_sifuI(A,b,c,p,v)
其中,v为参考阶跃输入信号的幅值。而返回的变量 K为反馈增益阵，
x_ss,y_ss,u_ss分别为稳态值 )(),(),( ??? uyx
例 5-3,设系统的传递函数为：
设计一个 I型伺服系统使得闭环极点为, 设参考输入 。
)2)(1(
1
)(
)(
??? ssssU
sY
10,322 ??? j )(110 tv ??
?不含有积分器的 I型伺服系统设计
如果系统是 0型系统，则 I型伺服系统设计的基本原则是在误差比较器和系统间的
前馈通道中插入一个积分器
-
+ u
-
+∫ C y
K
v K
I b ∫
A
? ? x
-
假定,r=m=1；前馈通道不含积分器；受控系统是完全能控的，且其传递函数在
原点处没有零点 。且
10 ????????? nc bAr ank
状态反馈控制方案：
Iu K x k
v y v c x
?
?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
( ) 0 ( ) 0
( ) ( ) 0
0 ( ) 0 1()
x t A x t b
u t v t t
ctt ??
?
?
?? ? ? ? ? ? ? ? ?
?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?
?? ?? ? ? ? ? ? ? ?
??
设计一个渐近稳定系统，使得 分别趋于常值。因此，在稳态时( ),( ),( )xu?? ? ?
( ) 0,( )t y v? ? ? ?
)(10)(0)( )(00
)(
)( ??
??
?
??
????
??
?
??
??
??
?
??
?
?
??
??
?
??
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
vubxcAx ?
?
当稳态时
1 1 1 1 1( ) ( ) ( ),( ) ( ) ( ),( ) ( ) ( )ne e ex t x t x R t t R u t u t u R? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
1)1(
)(
)()( ????
?
??
?
?? n
e
e R
t
txte
?
)(?)(?)( tubteAte e?????
)(?)( teKtu e ???
由定义：
( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 1 1 ( 1 )0 ?? ?,,[,]
00
n n n n
I
AbA R b R K K k R
c
? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?
?? ? ? ?
设计 I型伺服系统的基本思想：设计一个稳定的 (n+1)阶调节系统，对于给定的任
意初始条件 e(0)，将使 e(t)趋于零。
的稳态值的求取：)(),(),( tuttx ?
由于在稳态时,0)(,0)( ???? ?? ?x
??
?
??
?
????
?
??
?
????
?
??
?
?
? ?
vc
bA
u
x 0
0)(
)( 1
vxcy ????? )()(
IkxKu /)]()([)( ???????
pp_sifu0( ) 函数的调用格式为：
[K,kI,x,y,t,x_ss,y_ss,u_ss,zeta_ss]=pp_sifu0(A,b,c,p,v,t)
t为时间向量,KI为积分增益常数,x,y分别为所设计系统的状态、输出响应向量，
zeta_ss为稳态值 )(??
例 5-4,考虑例 5-2所示的倒立摆系统,
设计要求：希望尽可能地保持倒立摆垂直, 并控制小车的位置 。
指标要求：在小车的阶跃响应中, 约有 4~5秒的调整时间和 15%~16%的最大超调量 。
解,为控制小车的位置, 需建造一个 I型伺服系统 。 由于安装在小车上的倒立摆系
统没有积分器, 因此将位置信号 x反馈到输入端, 并且在前馈通道中插入一个积分
器, 并将小车的位置作为系统的输出, 即 。]0,1,0,0[?c
1,根据指标要求确定闭环主导极点：
选择期望的闭环极点为：
1 2 3 4 51 3,1 3,5,5,5jj? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
2,确定倒立摆伺服系统的设计参数,
在任意的设计问题中，如果响应速度和阻尼不十分满意，则必须修改所期望的闭环
极点，并确定一个新的矩阵 。必须反复进行计算机仿真，直到获得满意的结果为止。K?
5.3 线性二次型最优控制
考虑受控系统，其性能指标为：
? ?? ????????? ftt TTffT dttuRtutxQtxtxFtxJ
0
)()()()(21)()(21
线性二次型最优控制问题，简称为 LQ（ Linear Quadratic）问题。就是寻找一个控制
u*(t)，使得系统沿着由指定初态 x0出发的相应轨线 x*(t),其性能指标 J取得极小值。
?有限时间 LQ问题,终端时刻 tf是固定的,且为有限值
?无限时间 LQ问题, tf=∞
，
?调节问题
?状态调节问题
设计最优控制 u*(t),使在其作用下把系统由初始状态 x0驱动到零平衡状态 xe=∞,同
时性能指标 J取得极小值。
?输出调节问题
?跟踪问题
要求在使系统的输出 y(t)跟踪已知的或未知的参考信号 yr(t)的同时，使某个相应的二
次型性能指标 J为极小。
5.3.1无限时间 LQ状态调节问题
对于受控系统,其无限时间 LQ状态调节问题中的性能指标为：
? ?? ? ??????
0
)()()()(21 t TT dttuRtutxQtxJ
为能控的},{ BA },{ 21QA 为能观测 +
+B ∫
A
xu
R-1BTP
对于无限时间 LQ状态调节问题,u*(t)为
其最优控制的充分必要条件是其具有形式：
)()( *** txKtu ??? nrT RPBRK ?? ???? 1* 是唯一的常数阵。
最优轨线 x*(t)为 * * * *
00( ) ( ) ( ),( )x t A x t B u t x t x? ? ? ? ?
的解，最优性能指标为,
*
0 0 0
1,0
2
TJ x P x x? ? ? ? ?
为下述 Riccati矩阵代数方程的正定对称解阵：nnRP ??
01 ?????????? ? PBRBPQPAAP TT
设计所得到的闭环控制系统是渐近稳定的。
关于无限时间 LQ状态调节问题的鲁棒性有以下结论：
对于无限时间定常 LQ状态调节问题的最优调节系统, 取加权阵
则系统的每一个反馈控制回路均具有,（ 1） 至少的相角裕度 ； （ 2）
从 0.5到无穷大的幅值裕度 。
},,,{ 21 rdi agR ??? ??
rii,,2,1,0 ???? o60?
控制系统工具箱函数 lqr( )的调用格式为：
[K,P,e]=lqr(A,B,Q,R) 或 [K,P,e]=lqr(A,B,Q,R,N)
其中,[K,P,e]=lqr(A,B,Q,R,N)设计线性定常, 连续时间系统的最优反馈增益矩阵 K,使
性能指标 ? ?
????????? 0 )2( dtuNxuRuxQxJ TTT 达到极小。
返回 Riccati矩阵代数方程 0)()( 1 ???????????? ? QNPBRNBPAPPA TTT
的解 P及闭环系统的特征值 e。
)(1 TT NPBRK ???? ?, 当 N缺省时, 默认取 N=0
控制系统工具箱还提供了使用 Schur法的线性二次型调节问题设计的函数 lqr2( )
例 5-5,考虑例 5-2所示的倒立摆系统，按不含积分器的 I型伺服系统设计的方法，
倒立摆系统就变成了一个闭环系统，其误差方程为：
?? ?,eee A e b u u K e? ? ? ? ? ? ? ?
? ?
0 1 0 0 0 0
2 0, 6 0 1 0 0 0 0 1
0 ??
,,00 0 0 1 0 0
00
0, 4 9 0 5 0 0 0 0 0, 5
0 0 1 0 0 0
Ab
A b d
c
? ? ? ?
? ? ? ?
?
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ? ?? ? ? ?
?? ? ? ?
? ? ? ??? ? ? ?
K? ? ? ??????
0 )( dtuRueQeJ
TT
( 1 0 0,1,1,1 ),0, 0 1Q d i a g R??
要求：试确定反馈增益阵,使得性能指标
取得极小。式中选取：
对于受控系统,其无限时间 LQ输出调节问题中的性能指标为：
? ?? ? ??????
0
)()()()(21 t TT dttuRtutyQtyJ
},{ BA },{ CA },{ CDA ? DDQ T ??完全能控 完全能观测 完全能观测
+
+B ∫
A
xu
— R-1BTP
x C y
x(0)
对于无限时间 LQ输出调节问题,u*(t)为其最优控制的条件是其具有形式：
)()( *** txKtu ??? nrT RPBRK ?? ???? 1* 是唯一的常数阵。
最优轨线 x*(t)为 * * * *
00( ) ( ) ( ),( )x t A x t B u t x t x? ? ? ? ?
的解，最优性能指标为,
*
0 0 0
1,0
2
TJ x P x x? ? ? ? ?
5.3.2无限时间 LQ输出调节问题
为下述 Riccati矩阵代数方程的正定对称解阵：nnRP ??
01 ???????????? ? PBRBPCQCPAAP TTT
设计所得到的闭环控制系统是渐近稳定的。
控制系统工具箱函数 lqry( )的调用格式为：
[K,P,e]=lqry(sys,Q,R) 或 [K,P,e]=lqry(sys,Q,R,N)
其中,[K,P,e]=lqry(sys,Q,R,N)设计线性定常, 连续时间系统的最优反馈增益矩阵 K，
使性能指标 达到极小。? ?
????????? 0 )2( dtuNyuRuyQyJ TTT
的解 P及闭环系统的特征值 e。
返回 Riccati矩阵代数方程 0)()( 1 ???????????? ? QNPBRNBPAPPA TTT
)(1 TT NPBRK ???? ?, 当 N缺省时, 默认取 N=0
例 5-6,设受控系统的状态空间表达式为：
而性能指标为：
试求使系统的性能指标 J为极小值时的最优反馈增益矩阵 K。
? ?0 1 0( ) ( ) ( ),( ) 1 0 ( )0 0 1x t x t u t y t x t? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?
? ? ??? 0 22 )](4)([21 dttutyJ
5.3.3 最优跟踪问题
设 },{ BA 为完全能控的,},{ CA 为完全能观测的，并定义误差向量为
1)()( ???? m
r Rtyyte 。其中，
1?? m
r Ry 为预期输出的常数向量。试寻求一个
最优控制 )(* tu,使系统的实际输出向量 )( ty 跟踪预期的输出常向量 ry,并
使下面的二次型性能指标 J 取得极小。
? ?? ?????? ft
t
TT dttuRtuteQteJ
0
)()()()(
2
1
yr x+
+
+ ∫
A
g
—P
x C y(PB R-1BT—AT) –1CTQ BR-1BT
+
得到次最优控制律：
111*
)()(
???
?????????
rTT
RgBRtxPBRtu
此时，最优轨线 )(* tx 应满足,gBRBtxPBRBAtx
TT
??????????
??
?
1*1*
)()()(
考虑到 ft 足够大，此时 )( tP 趋于常数阵
nn
RP
?
?,它是 Riccati 矩阵代数方程的正定解阵：
0
1
????????????
?
PBRBPCQCPAAP
TTT
而常数向量
111
)(
???
?????????
n
r
TTT
RyQCABRBPg
lqr_c( )函数的调用格式为：
[P,g,K1,K2]=lqr_c(A,B,C,Q,R,yr)
其中 {A,B,C}为受控系统的状态空间描述, Q,R为加权阵, yr为参考输出向量
例 5 - 7, 已知二阶系统的状态空间表达式为,
? ?
0 1 0
( ) ( ) ( ),( ) 1 0 ( )
0 2 20
x t x t u t y t x t
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? ? ?
?? ? ? ?
而性能指标为：
?
?
???
0
22
)}()]({[ dttutyyJ
r
，给定的预期输出
)(1 ty
r
?
。试确
定 J 为极小时的控制律。
5.4 解耦控制
考虑受控系统，控制律采用状态反馈结合输入变换，即
vLxKu ?????
其中
nmRK ??
为反馈增益阵，
mmRL ??
为输入变换阵，
1?? mRv
为外部参考
输入 。
-
+Lv u B
+
+ ∫
A
Cx y
K
x
状态空间描述为,
()x A B K x B L v
y C x
? ? ? ? ? ? ??
?
???
而其传递函数阵
mm
nKL
RLBKBAsICsG
??
????????
1
)()( 是有理分式矩阵。
系统的输入 — 输出解耦有静态与动态之分。所谓动态解耦控制问题就是：对于给
定受控系统，寻找一个输入变换和状态反馈矩阵对 },{ LK,使得传递函数矩阵 )( sG KL 为
非奇异对角线有理分式矩阵。如若 )0(KLG 为对角线非奇异常数矩阵，且闭环系统为渐
近稳定的，那么称该系统是静态解 耦的。
decoupling( ) 函数实现动态解耦控制算法, decoupling_s ( )函数实现静态解耦控
制算法, 其调用格式为：
[G,K,L]=decoupling(A,B,C),
[vv,K,L]= decoupling_s(A,B,C,p,dd)
},,{ CBA 为受控系统的状态空间表达式。 返回的 K,L 分别为反馈增益阵、输入
变换阵，而 n
)1()( ???? nmmR
,d
)1( ??? nmR
分别为 系统的各传递函数的分子、分母降幂
排列系数，按列排列所得的矩阵,p 为系统的所有极点的列向量,dd 为包含各
单输入 — 单输出自治系统的稳态增益的列向量,vv 为满足静态解耦的标志（当
值为 1 时即满 足，反之为 0 ）。
例 5 - 8, 考虑给出的双输入双输出系统,
uxx ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
10
00
01
00
0020
1000
2003
0010
xy ??
?
?
?
?
?
?
0100
0001
求系统的传递函数矩阵。
即系统的变换传递函数矩阵为,?
?
?
??
???
?
?
??
???
10
011
0
01)(
22
2
4 ss
s
ss
例 5 - 9, 已知受控系统,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
100
100
010
A,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
01
10
00
B, ?
?
?
?
?
?
?
100
001
C
所要求的闭环极点为 - 1, - 2, - 3 。 ? ?
T
dd 11? 。
5.5 状态观测器设计
5.5.1 全维状态观测器设计
所谓全维状态观测器，就是以 )( ty 和 )( tu 为输入的一个 n 维线性定常系统，
且不论该系统和受控系统的初值如何，该系统的输出 )(? tx 总满足如下关系式,
)(li m)(?li m txtx
tt ????
?
若采用如下线性定常系统作为全维状态观测器,
)?(?? xCyLuBxAx ????????
?
,00
?)(? xtx ?
其中，
1
?
?
?
n
Rx 为
x
的估计状态。那么，必可通过选择增益阵
mn
RL
?
?
来任意配
置 )( CLA ?? 阵的全部特征值，即不管初值 0
?x
为何值，当矩阵 )( CLA ?? 的特征
值均具有负实部时，就可实现渐近重构状态的目的。
设计的全维状态观测器的一组期望极点为
n
???,,,
21
? 的 算法为,
首先，利用极点配置问题的算法，对矩阵对 },{
TT
CA 来确定使
i
TT
i
KCA ?? ??? )(, ni,,2,1 ?? 的反馈增益阵
nm
RK
?
? 。
其次，确定增益阵
T
KL ?
和所要设计的全维状态观测器,
yLuBxCLAx ????????
?
?)(?
u B
A
C y
∑
∫
+ + ∫
A-LC
B
L
?x
x
u
+
+
+
对于单输入 — 单输出系统,s i m o b s v ( ) 函数仿真受控系统的全维状态观测器
所观测到的状态 )(? tx,其调用格式为,
[ xh,x,t ] =s i m obs v( A,B,C,L ),
其中 { A,B,C } 为受控系统的状态空间模型,L 为全维观测器设计中的增益列向
量,xh 和 x 分别为重构状态和受控系统的阶跃响应矩阵,t 为时间向量。
例 5-10,同例 5-2的状态空间模型,并将 两个极点配置到 s=-1,s=-2。
5.5.2降维状态观测器设计
给定受控系统,假定 },{ CA 为能观测,C 为满秩阵即 mra n k C ?,那么降维状态观
测器的最小维数可为 mn ? 。 受控系统 的 mn ? 维降维状态观测器（也称最小维状态
观测器）的戈平纳斯（ Go pinath ）设计方法,
第一步：选取常数阵
nmn
RR
??
?
)(
，使得矩阵 nnR
R
C
P
?
??
?
?
?
?
?
? 为非奇异的，并求取
? ?
21
1
QQPQ ??
?
，其中
mn
RQ
?
?
1,
)(
2
mnn
RQ
??
? ；
第二步：确定受控系统 在非奇异变换 xPx ?? 下所得的代数等价系统,
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
2
1
2
1
2
1
2221
1211
2
1
0 x
x
x
Iy
u
B
B
x
x
AA
AA
x
x
m
其中，
nn
R
AA
AA
PAPA
??
?
?
?
?
?
?
?
????
2221
12111
，
rn
R
B
B
BPB
?
?
?
?
?
?
?
?
???
2
1
,
? ?
nm
m
RIPCC
??
???? 0
1
，而
1
1
?
?
m
Rx,
1)(
2
??
?
mn
Rx,
mm
RA
?
?
11,
)(
12
mnm
RA
??
?,
mmn
RA
??
?
)(
21,
)()(
22
mnmn
RA
???
?
,
rm
RB
?
?
1,
rmn
RB
??
?
)(
2 ；
第三步：选取
mmn
RL
??
?
)(
，使得矩阵
)(
1222
ALA ??
稳定或具有希望的稳定特征值；
第四步：按照如下形式构成受控系统 的一个最小维状态观测器，即对于
任何的 )0(),0( zx 和 )( tu,均满足关系式
0)](?)([lim ??
??
txtx
t 。
?
?
?
?
?
????????????
????????????????
?
yLQQzQyLzQyQx
uBLByLALAALAzALAz
)()(?
)(])()[()(
21221
12122211211222
+ -
+
+B ∫ Q2u ?xz
12Q Q L?
22 12A LA?
21 11 22 12( ) ( )A L A A L A L? ? ?
z
y
jiaweiguanceqi()函数实现上述降维状态观测器的设计, 其调用格式为：
[L,Az,By,Bu,Cz,Dy]=jiangweiguanceqi(A,B,C,R,p)
},,{ CBA 为受控系统的状态空间模型,p 为包含降维观测器的所期望的极点
位置的列向量，
nmnRR ??? )(
为所选的常数矩阵,L 为配置降维观测器期望极点所
需的增益阵，而 Az,By,Bu,Cz,Dy 则是方程的各个常数阵,例 5 - 11, 给定受控系统为,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
131413
121211
444
A,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
0
1
1
B, ? ?111?C
确定其降维状态观测器。
5.6 包含状态观测器的
状态反馈控制系统考虑受控系统式 (5.1),假定 },{ BA 为能控,},{ CA 为能观测，且按照性能指标（如极点配置、二次型最优、解耦等）的要求，可确定出状态反馈控制,vxKu ????,其中,nrRK ?? 为常
数阵,1?? rRv 为参考输入。
为了实现状态反馈，还需要引入状态观测器以重构系统的状态，最后就构成了包
含状态观测器的状态反馈控制系统 。
-
+
K
yv
?x
受控系统
状态观测器
u
该闭环系统的闭环极点由受控系统在状态反馈控制作用下的闭环系统极点
)( KBAi ??? 和状态观测器的极点 )( CLAj ??? （或 )( 1222 ALAk ??? ）组成。
根据分离性原理，即状态反馈控制律的设计和状态观测器的设计可
以独立分开进行，所以包含状态观测器的状态反馈控制系统的设计
过程分为两个阶段：第一个阶段是确定状态反馈增益阵 K,以产生
其期望的闭环极点；第二个阶段是不需要考虑状态反馈的存在，而
确定状态观测器的增益阵
L
或
L
，以产生所期望的状态观测器的 极
点。 需要注意的是：由状态反馈增益阵
K
的选取所产 生的期望闭环
极点，应使系统能满足性能指标要求，而状态观测器极点的选取通
常使其响应比系统的响应快得多，即状态观测器的极点位于所期望
的闭环极点的左边。 通常，在考虑状态观测器的极点时，一条可供
参考的选择原则是,
)](R e [)3~2()](R e [ KBACLA
ij
????? ??
或
)](R e [)3~2()](R e [
1222
KBAALA
ik
????? ??
nji,,2,1,??, mnk ??,,2,1 ? 。
包含状态观测器的状态反馈控制系统的设计分两步走 。
第一步：按照系统性能指标要求 （ 如：极点配置, 线性二次型最优控制, 解耦控
制等要求 ）, 有选择地采用前面几节所讨论的各种方法加以设计, 从而满足其系统
要求；
第二步：在不考虑第一步设计的存在的情况下, 独立地设计状态观测器, 使之满
足其所期望的极点位置要求 。
在第二步中, 可以采用 5-5节所介绍的方法加以设计与实现状态观测器 。
5.6.1 基于全维状态观测器的控制器
考虑到 ylubxclAxcylubxAx ????????????????
?
?)()?(??,所以可以将状态反
馈中的 xk ?? 写成两个子系统 )(
1
sG 与 )(
2
sG 的形式，这两个子系统分别由信号 )( tu
与 )( ty 单独作用，使得 )(
1
sG 可以写成,
??
?
?
?
??
??????
?
11
11
?
?)(?
xky
ubxclAx
其中，
1
1
?
?
?
n
Rx,
11
1
?
? Ry 。而 )(
2
sG 可以写成,
??
?
?
?
??
??????
?
22
22
?
?)(?
xky
ylxclAx
其中，
1
2
?
?
?
n
Rx,
11
2
?
? Ry,
21
yyv ?? 。
5.6.2 基于全维状态观测器的调节器
-
+ yr=0 G
c(S) G(S)
u
)(
)()(
sY
sUsG
c ? 为 0)( ?tr 时控制器的传递函数
? ? ?()
?()
? ?( ) ( )
?()
x A x b u l y c x
A l c x b u l y
A l c x b k x l y
A l c b k x l y
?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
控制系统工具箱中的函数 reg( ),用来设计基于全维状态观测器的调节器, 其调用格式为：
Gc=reg(G,k,l)
其中 G为受控系统的状态空间表示,k,l分别表示状态反馈的行向量 k和全维状态观测器
的列向量 l。 Gc为基于全维状态观测器的调节器的状态空间表示。
例 5 - 12, 考虑下面的对象模型,
我们采用这样的设计方案：系统由线性二次型最优状态调节器和全维状态观测器所
组成。而性能指标的具体参数为,}0,0,0,0,1{d i a gQ ?,
1?R
，观测器的极点位置为：
- 9.4716+0.5284i,- 9.4716 - 0.5284i,- 10.0000,
- 10.5284+0.5284i,- 10.5284 - 0.5284i 。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
100000
1003.33000
08.853.1400
006.15.00
0005.02.0
A
? ?00001?c
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
30
0
0
0
0
b
