数列极限
本章的教学目的及要求
正确掌握并理解数列极限的概念；
能够应用“”语言处理数列极限的一些问题；
能运用定义、四则运算、两边夹、海因定理及单调有界性定理等，判别数列极限的存在性；并熟练求出数列极限；
能够正确叙述和证明数列极限的唯一性、有界性、保号性、不等式性和柯西收敛准则
本章的基本教学内容
§1 数列极限的概念
[本节的教学目的及要求]
1、正确掌握并理解数列极限的概念；
2、能够应用“”语言处理数列极限的一些问题；
[本节的基本教学内容]
数列极限的概念[注意从一串有顺序的数，过渡到值列函数的形式]
定义1 称一串有顺序的数为数列.若一串有顺序的数为：
则记该数列为，其中为通项.
定义2 若的定义域为N+，则当自变量从小到大排列时，相应函数值的排列称之为数列，记为.
注：当时，两定义一致.
2、通过对数列的观察，得出收敛数列和不是收敛数列的概念.
同时，还要得出收敛数列的特征：随着n的无限增大，无限地接近某个数a，并进一步分析收敛数列的特征.
3、通过以上分析得出：当n充分大时，可以任意小是收敛数列的本质，从而得出收敛数列的精确定义：（定义）.
定义3 对于数列，设a为常数，若对当时，有成立，则称收敛于a，并称a为的极限，记为，或者，
举若干（3～5个）例子，来应用、运用定义求和验证数列的极限[参考教材上例2、
例3、例4、例5]
进一步诠释数列极限的定义中(i)的任意性；(ii)N的相应存在性；(iii)几何意义及的正面叙述.
[注意几何意义的R和R2的分析表述].
介绍无穷小数列.
定义4 若，则称为无穷小数列.
定理2.1 为无穷小数列.
[证明略]
注：本节计划2学时.
§2 收敛数列的性质
[本节的教学目的及要求]
利用“”定义证明收敛数列的6个性质及海因定理.从而使学生能更好地判定数列的收敛与发散；能更快捷地求收敛数列的极限；同时，能使学生更熟练地使用“”语言.
[本节的基本教学内容]
证明收敛数列的唯一性、有界性、保号性、不等式性、两边夹定理及四则运算法则.
定理2.2(唯一性) 若收敛，则它只有一个极限.
[证明用反证法，略]
定理2.3（有界性） 若收敛，则有界.
[证明中注意,其它略]
定理2.4(保号性) 若则对
当时,有
[证明略]
定理2.5(不等式性) 若当时, 则.
[证明略.注意即使]
定理2.6(两边夹定理) 若当时,则.
[证明略]
定理2.7(四则运算法则) 若则
;
[证明略]
介绍子列的概念及证明海因定理.
定义5 若N+.则称为的子列,简记为.
定理2.8(海因定理) 收敛的任何非平凡子列均收敛.
[证明略]
注：本节计划3学时.
§3 数列极限存在的条件
[本节的教学目的及要求]
能够掌握并运用单调有界性定理及柯西收敛准则.
[本节的基本教学内容]
介绍单调数列的概念,并证明单调有界性定理.
定义6 若,则称为单增(不减)数列;
若,则称为单增(不增)数列.
定理2.9(单调有界性定理) 单调有界数列必有极限.
[证明略]
介绍柯西收敛准则及应用它证明某些数列的收敛性与发散.
定理2.10(柯西收敛准则) 收敛的充分必要条件是对当时，有.
[证明略]
举3～5个例子来运用柯西收敛准则.
注：本节计划2学时.
