第三章 函数极限 教学目标： 1. 掌握各种情形下的函数极限的基本概念与性质。 2. 掌握极限存在性的判定及应用。 3. 熟练掌握求函数极限的基本方法；熟练掌握重要极限，及其应用。 4. 掌握无穷小(大)量及其阶的概念，并将它们运用到求极限中。 重点：函数极限的概念、性质及计算。 难点：Heine定理与Cauchy准则的应用。 教学内容： §3.1 函数极限概念 一、x趋于∞时函数的极限 定义1 设f为定义在[a, +∞)上的函数，A为定数。若对＞0，正数M(≥a)，使得当x＞M时有 ＜ε， 则称函数f当x趋于+∞时以A为极限，记作 或f(x)→A(x→+∞). 注1. 可看作数列极限的直接推广。它们不同之处在于，这里所考虑的是所有大于M的实数（连续），而不仅仅是正整数(跳跃性的)。 注2. 的几何意义。 注3. ＞0，对＞a，＞M使得≥. 例1. 证明：(1)； (2) ； (3)  定义1' (i)设f是定义在U（-∞）(即(-∞,b])上的函数，A为定数. 若对＞0，正数M(-M≤b)，使得当x＜-M时有 ＜ε, 则称f当x趋于-∞时以A为极限，记作 或f(x)→A(x→-∞). (ii)设f是定义在U(∞)(即|x|≥a)上的函数，A为定数. 若对＞0，正数M(≥a)，使得当|x|＞M时有 ＜ε, 则称f当x趋于∞时以A为极限，记作 或f(x)→A(x→∞). 思考题：①用“ε-M”语言叙述及. ②它们的几何意义？ 例2. 证明：(1) ； (2) (a＞1)； (3) . 例3. 证明：(1) ； (2) . 命题 设f为定义在U(∞)上的函数，则 . 注：不存在. 二、x趋于x0时函数的极限 定义2(函数极限的定义) 设函数f在点x0的某空心邻域U0(x0；)内有定义，A为定数. 若对＞0，＞0(＜)，使得当0＜|x-x0|＜δ时有 ＜ε, 则称函数f当x趋于x0时以A为极限，记作 或f(x)→A(x→x0). 例4. 证明：(1) ； (2) ； (3) . 例5. 证明：(1) ； (2) . 例6. 证明： 例7. 证明：(1) ； (2) (|xo|＜1). 由ε-δ定义立得 ，(c为常数，x0为定实数) 注1. 定义2中的δ，相当于数列极限ε-N定义中的N，它依赖于ε，但也不是由ε所唯一确定. 一般，ε愈小，δ相应也小一些. 注2. 研究的只是x→x0这一过程中函数值f(x)的变化趋势，它与f(x)在点x0是否有定义或取什么值无关. 因此，只需在x0的空心邻域中考虑. 注3. 0＜|x-x0|＜δx∈U0(x0;δ); |f(x)-A|＜εf(x)∈U(A;ε). 于是, ＞0，＞0，当x∈U0(x0; δ)时有f(x)∈U(A; ε). ＞0，＞0，使得f(U0(x0; δ))U(A; ε). 注4. ε-δ定义的几何意义. 定义3 设函数f在(x0; δ')=(x0, x0+δ'）（或(x0; δ')=(x0-δ', x0）)内有定义，A为定数. 若对＞0，＞0(δ＜δ'），使得当x0＜x＜x0+δ(或x0-δ＜x＜x0)时有 |f(x)-A|＜ε, 则称数A为函数f当x趋于x(或x）时的右(左）极限，记作 （） 或 f(x)→A(x→x)（f(x)→A(x→x)） 右极限与左极限统称为单侧极限。常把f在点x0的右、左极限记作f(x0+0)、f(x0-0)，即f(x0+0)= ，f(x0-0)= . 例8. 求下列函数在指定点的单侧极限： (1)f(x)=； (2)f(x)=sgnx在x=0点； (3)f(x)=在x=±1点. 例9. 证明. 定理3.1 =. 注1. ≠A或. 注2. 与至少有一个不； 或与均，但不相等. eg：. §3.2 函数极限的性质 下面以为代表叙述函数极限的性质，这些性质对其余5种类型的函数极限也成立. 定理3.2 (唯一性) 若存在，则此极限是唯一的. 定理3.3 (局部有界性) 若存在，则f在x0的某空心邻域U0(x0)内有界. 定理3.4 (局部保号性) 若=A＞0(或＜0），则对(0＜r＜A)(或0＜r＜-A)，U0(x0)，使得对一切x∈U0(x0)有 f(x)＞r＞0（或f(x)＜-r＜0) 注. 在应用局部保号性时，常取r=. 定理3.5 (保不等式性) 设与都存在，且在某邻域U0(x0; δ')内有f(x)≤g(x)，则 ≤. 注. 即使将条件中不等号改为严格不等号，但结论中不等号不能改为严格不等号！ 定理3.6. (迫敛性) 设==A，且在某U0(x0; δ')内有 f(x)≤h(x)≤g(x)， 则=A. 例1. 求下列极限： (1) ； (2))； (3). 定理3.7 (四则运算法则) 设与都存在，则函数f±g，f·g，(若≠0)当x→x0时极限也存在，且 1) =±； 2) =； 3) =. 例2. 求下列极限： (1) ； (2) (a≥0, n∈N+)； (3) . 例3. 求(1) ； (2) ； (3) ). 例4. 证明(a＞1). §3.3 函数极限存在的条件 定理3.8 (归结原则·Heine定理) 设f在U0(x0; δ')内有定义。则存在对任何点列且xn→x0(n→∞)，极限都存在且相等. 注1. 归结原则可简述为： =A对任何xn→x0(n→∞)有=A. 注2. 证明极限不存在的两种方法： (1)：xn→x0(n→∞)，使不存在； (2)：→x0(n→∞)，→x0(n→∞). 但≠. 注3. 归结原则的意义. 例1. 证明及不存在. 对于四种类型的单侧极限，归结原则可表为更强的形式，以x→x为例. 定理3.9 设f在U(x0)有定义. 则=A对任何以x0为极限的递减数列U(x0)，有=A. 相应于数列极限的单调有界定理，四类单侧极限也有相应的定理. 仍以x→x为例. 定理3.10 设f为定义在U(x0)上的单调有界函数，则右极限存在. 定理3.11(Cauchy准则) 设f在U(x0; δ')内有定义. 则存在＞0，＞0(δ＜δ')，使得对、∈U0(x0; δ)有|f()-f(x")|＜ε. 注. 不存在＞0，对＞0，、x"∈U0(x0; δ), 使得|f()-f(x")|≥ε0. §3.4 两个重要的极限 一、 例1. 求(1) ； (2) ； (3) . 二、 例2. 求(1) (k≠0)； (2) ； (3) . 例3. 求(1) ； (2) . §3.5 无穷小量与无穷大量 一、大穷小量 定义1 设f在某U0(x0)内有定义. 若 =0 则称f为当x→x0时的无穷小量. 若g在某U0(x0)内有界，则称g为当x→x0时的有界量. 特别, 任何无穷小量必是有界量. 注1. 类似可定义当x→x，x→x，x→+∞，x→-∞，x→∞时的无穷小量与有界量. 注2. 无穷小量的性质： (i)两个(相同类型的)无穷小量之和、差、积仍为无穷小量. (ii)无穷小量与有界量的乘积为无穷小量. 注3. =Af(x)-A是当x→x0时的无穷小量. 二、无穷小量阶的比较 1. 高阶无穷小量 2. 同阶无穷小量 3. 等价无穷小量 注意：并不是任何两个无穷小量都可进行这种阶的比较！ 定理3.12 设f、g、h在U0(x0)内有定义，且有 f(x)~g(x) （x→x0） (1)若，则； (2)若，则. 例1. 确定k值，使与xk当x→0时是同阶无穷小量. 例2. 利用等价无穷小量代换求下列极限： (1) ； (2) . 注. 在利用等价无穷小量代换求极限时，只能对所求极限式中积或商的因式进行替换，而对极限式中相加或相减部分则不能随意替换. 三、无穷大量 定义2 设f在某U0(x0)内有定义. 若对＞0，＞0，使得当x∈U0(x0; δ)(U0(x0))时有 |f(x)|＞G （*） 则称函数f当x→x0时有非正常极限∞，记作 =∞. 若(*)式换成“f(x)＞G”或“f(x)＜-G”，则分别称f当x→x0时有非正常极限+∞或-∞，记作 =+∞或=-∞. 注. 其它情形类似定义. 定义3 对于自变量x的某种趋向(或n→∞时)，所有以∞，+∞或-∞为非正常极限的函数(包括数列)，都称为无穷大量. 例3. 证明: (1) =+∞; (2) 当a＞1时，=+∞. 注1. 无穷大量不是很大的数，而是具有非正常极限的函数. 注2. 无穷大量是无界函数，但无界函数却不一定是无穷大量. 定理3.13 (i)设f在U0(x0)内有定义且不等于0。若f为当x→x0时的无穷小量， 则为x→x0时的无穷大量. (ii)若g为x→x0时的无穷大量，则为x→x0时的无穷小量. 四、曲线的渐近线 定义4 若曲线C上的动点P沿着曲线无限地远离原点时，点P与某定直线L的距离趋于0，则称直线L为曲线C的渐近线. 1. 若=k，又. 则y=kx+b为曲线y=f(x)的斜渐近线. 2. 若（或). 则x=x0为曲线y=f(x)的垂直渐近线. 例4. 求曲线f(x)=的渐近线.