第六章 微分中值定理及其应用
微分中值定理(包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理)是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的有力工具。中值定理名称的由来是因为在定理中出现了中值“”，虽然我们对中值“”缺乏定量的了解，但一般来说这并不影响中值定理的广泛应用.
1．教学目的与要求：掌握微分中值定理与函数的Taylor公式并应用于函数性质的研究，熟练应用L＇Hospital法则求不定式极限，熟练应用导数于求解函数的极值问题与函数作图问题.
2．教学重点与难点：
重点是中值定理与函数的Taylor公式，利用导数研究函数的单调性、极值与凸性.
难点是用辅助函数解决有关中值问题，函数的凸性.
3．教学内容：
§1 拉格朗日定理和函数的单调性
本节首先介绍拉格朗日定理以及它的预备知识—罗尔定理，并由此来讨论函数的单调性.
一 罗尔定理与拉格朗日定理
定理6.1(罗尔(Rolle)中值定理)设满足
(ⅰ)在上连续;
(ⅱ)在内可导;
(ⅲ)
则使
(1)
注 (ⅰ)定理6.1中三条件缺一不可.
如: 1o , (ⅱ),(ⅲ)满足, (ⅰ)不满足,结论不成立.
2o , (ⅰ),(ⅲ)满足, (ⅱ)不满足,结论不成立.
3o , (ⅰ), (ⅱ)满足, (ⅲ)不满足,结论不成立.
(ⅱ) 定理6.1中条件仅为充分条件.
如:, 不满足(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)中任一条,但.
(ⅲ)罗尔定理的几何意义是:在每一点都可导的一段连续曲线上,若曲线两端点高度相等,则至少存在一条水平切线.
例1 设在上可导,证明:若无实根,则最多只有一个实根.
证 (反证法,利用Rolle定理)
例 2 证明勒让德(Legendre)多项式
在内有个互不相同的零点.
将Rolle定理的条件(ⅲ)去掉加以推广,就得到下面应用更为广泛的Lagrange中值定理.
定理6.2(拉格朗日(Lagrange中值定理)设满足
(ⅰ)在上连续;
(ⅱ)在内可导
则使
(2)
[分析]（图见上册教材121页图6-3） 割线AB的方程为
问题是证明,使与割线在处导数相等
即证
证 作辅助函数
注 (ⅰ)Lagrange中值定理的几何意义是:在满足定理条件的曲线上至少存在一点使得曲线在该点处的切线平行于曲线两端点连线.
(ⅱ)(2)式称为Lagrange(中值)公式,它还有以下几种等价形式
另外,无论,还是, Lagrange(中值)公式都成立.此公式将由自变量的变化而引起的因变量的增量与导数联系起来,而且比上一章中有限增量公式前进了一大步,这也是Lagrange中值定理应用更为广泛的原因之一.
(ⅲ) Lagrange中值定理是Rolle中值定理的推广.
(ⅳ) Lagrange中值定理的证明方法是用辅助函数法.在教材中首先构造辅助函数
然后验证在[上满足Rolle定理的三个条件,从而由Rolle定理推出存在零点而使定理得到证明.推而广之,许多中值命题常常使用这种构造辅助函数的方法.我们用框图示意如下:
当然辅助函数构造的方法不是唯一的.针对本定理,教材是从Lagrange中值定理的几何意义出发构造辅助函数.我们也可以构造以下两个辅助函数来证明该定理.
1o 注意到(2)式成立使得
在内存在零点
在内存在零点
根据以上分析我们作辅助函数(注意这种构造辅助函数的方法是常见的).
2o 辅助函数
例3 证明对有
证 [法一]令在或上利用Lagrange中值定理可证之.
[法二]令在或上利用Lagrange中值定理可证之.
推论1 若在区间上可导, ,则在上为常数.
推论2 若,都在区间上可导, 且,则在上, 与仅相差一个常数,即存在常数,使对有
推论3 (导数极限定理) 设在的某邻域内连续,在内可导,且存在,则存在,且
注 (ⅰ)由导数极限定理不难得出区间上导函数不会有第一类间断点.
(ⅱ) 导数极限定理可以用来求分段函数在分段点处的导数.
例4 证明恒等式
例5 求 的导数
解 (ⅰ)先求;
(ⅱ)利用推论3(先验证在处连续)求.
二 单调函数
函数的单调性是函数在区间上变化的整体性态之一.下面我们利用导数给出判定函数单调性的新的有效方法.
定理6.3 设在区间上可导,则
在区间上单调递增(减)
定理6.4 设在区间内可导,则在区间内严格单调递增(减)的充要条件是(ⅰ)
(ⅱ)在的任何子区间上, 不恒等于0
推论 设在区间上可导,若,在区间上严格单调递增(减).
注 (ⅰ)若 在区间内(严格)单调递增(减),且在点右连续,则在区间内(严格)单调递增(减).对上的函数有类似结论.
(ⅱ)讨论可导函数的严格单调性只须求出,再判定其符号.为此,需求出使得取得正负值区间的分界点.当连续时,这些分界点必须满足.
例6 求的单调区间.
例7 证明.
证 令考察函数的严格单调性.
§2 柯西中值定理与不定式极限
本节介绍更为一般的微分中值定理并由此证明求不定式极限的L＇Hospital法则.
一 柯西中值定理
定理6.5 (柯西(Cauchy)中值定理) 设,满足
(ⅰ)在上都连续;
(ⅱ)在内都可导;
(ⅲ) 与不同时为零;
(ⅳ)
则,使
(1)
[分析] 欲证(1),只须证且.
令由Rolle定理证之.
注 (ⅰ) Cauchy中值定理是Lagrange中值定理的推广(当情形).
(ⅱ) Cauchy中值定理的几何意义（图见上册教材126页图6-5）:
令
它表示平面上的一段曲线AB.弦AB的斜率即为(1)式右边,而(1)式左边
表示与相对应的点处的切线斜率,因此(1)式表示上述切线与弦AB平行.
(ⅲ)研究下列函数可否作为证明Cauchy中值定理的辅助函数
1);
2);
3);
4)
例1设在(上都连续, 在内都可导,则,使
证 取,对,利用Cauchy中值定理即证之.
二 不定式极限－两个无穷小量或无穷大量之比的极限
1. 型不定式极限
定理6.6(L＇Hospital法则Ⅰ)设
(ⅰ);
(ⅱ) ,在的某空心邻域内可导且;
(ⅲ) (或).则
存在且
注 (ⅰ)定理6.6中可换为,此时条件(ⅱ)作相应修改即可.
(ⅱ)若当时仍属型,且分别满足定理中，的条件,则可继续施用L＇Hospital法则Ⅰ,从而确定,即
且可以依次类推.
(ⅲ)“一花独秀不是春”，L＇Hospital法则虽是计算极限的强有力工具，但在使用中要注意与以前所学过的求极限方法结合使用才有更好的效果.
例2 求
例3 求(提示:先令)
例4 求(利用等价于原式转化为)
例5 求(提示:先令)
2. 型不定式极限
定理6.7(L＇Hospital法则Ⅱ)设
(ⅰ);
(ⅱ) ,在的某空心邻域内可导且;
(ⅲ) (或).则
存在且
注 定理6.7中可换为 等情形,此时条件(ⅱ)作相应修改即可.
例6 求
例7 求
例8 求
例9 求(提示:先证)
注 (ⅰ)当或不存在时, L＇Hospital法则不能用.如:
1o 不能用L＇Hospital法则(=
)
2o 不能用L＇Hospital法则(=
)
(ⅱ)只有不定式极限且满足L＇Hospital法则条件才能使用L＇Hospital法则求极限.
3.其他类型不定式极限
还有五种类型不定式极限,其形式转化方法为
(通分或提取公因式转化);
例10 求
例11 求
例12 求
例13 求
例14 求
例15 求数列极限
(注意此题先求极限)
例16 设,求.
注 ,对否?
§3 泰勒公式
本节包含两个泰勒(Taylor)公式,即分别带有皮亚诺(Peano)型余项的泰勒公式和带有拉格朗日型余项的泰勒公式,统称为泰勒定理.它们分别是上一章的有限增量公式和本章中的Lagrange中值定理的推广.两个公式所要解决的问题是用多项式函数(各类函数中最简单的函数)去逼近一个函数,而这种逼近思想在近似计算和理论分析中有着重要意义.
一 带有皮亚诺型余项的泰勒公式
设在点存在阶导数,称次多项式
(1)
为在点处的泰勒多项式,的各项系数称为的泰勒系数.
定理6.8(Taylor) 设在点存在直到阶的导数,则
(2)
注 (ⅰ) (2)式称为在点处的Taylor公式,
称为Taylor公式的余项,形如的余项称为Peano型余项,于是(2)式也称为带有Peano型余项的Taylor公式.
(ⅱ) 若在点附近满足
(3)
其中为形如次多项式,这时并不意味着就是的Taylor多项式
例如
其中为Dirichlet函数.易知仅在点处连续,可导且,从而对皆不存在.故在点处的Taylor多项式是不存在的.然而
即,从而若取=,则(3)式对皆成立.
(ⅲ)满足(3)式要求(带有Peano型误差)的次逼近多项式是唯一的,从而若满足定理6.8的条件,则满足(3)式要求的逼近多项式只能是的Taylor多项式.
当时, Taylor公式(2)成为
(4)
(4)式称为(带有皮亚诺型余项的)马克劳林(Maclaurin)公式.
例1 验证下列函数的马克劳林公式
(ⅰ) ;
(ⅱ) ;
(ⅲ) ;
(ⅳ) ;
(ⅴ) ;
(ⅵ) .
上述几个简单函数的马克劳林公式是通过直接求出在点处的各阶导数,代入公式(4)得到的.这种方法叫做马克劳林(或泰勒)公式的直接求法.利用这些公式,可以间接求得一些函数的马克劳林(或泰勒)公式,还可用来求某些类型的极限.
例2 求的马克劳林公式,并求与.
例3 求在处的Taylor公式.
例4 求下列极限
(ⅰ); (ⅱ)
[提示] ;.
定理6.8告诉我们, 若在点处具有直到阶导数,我们可用一个次多项式去逼近而且这样产生的误差当时是比更高阶的无穷小量.但这只是定性的估计,并不能提供误差的定量估计.下面给出的第二个Taylor公式余项有确定的表达式(尽管出现了不确定的“中值”)从而给误差估计提供了理论依据.
二 带有拉格朗日型余项的泰勒公式
定理6.9 若在上有直到阶的连续导函数,在
内存在阶导函数,则对,使
(5)
注 (ⅰ)(5)式也称为Taylor公式,其余项为
称其为拉格朗日型余项,(5)式也称为带Lagrange型余项的Taylor公式.
(ⅱ)若,则(5)式即Lagrange中值公式
故定理6.9是Lagrange中值定理的推广.
当时, Taylor公式(5)成为
(6)
称(6)式为带Lagrange型余项的马克劳林公式.
例5 把例1中六个马克劳林公式改写为带Lagrange型余项的形式.
Taylor公式是一元微分学的顶峰,它可以解决很多数学问题.本节最后一部分介绍其在近似计算上的应用,后面几节将会介绍在其它方面上的应用.
三 在近似计算上的应用
例6 (1)计算的值,使其误差不超过
(2)证明是无理数
[提示] (1)由例5(1)的结果有
(7)
(2)由(7)式得
,用反证法证之.
例7 用Taylor多项式逼近正弦函数,要求误差不超过.试以和两种情形分别讨论的取值范围.
§4 函数的极值与最大(小)值
函数在一区间上的极值是函数局部性态的重要特征.利用极值确定函数的整体性态－最大值和最小值在实际问题中有着广泛的应用.
一 极值判别
费马定理(定理5.3)已经告诉我们极值的必要条件－函数在点可导且为的极值点则必有.
下面给出极值的三个充分条件.
定理6.10(极值的第一充分条件) 设在连续,在某邻域内可导.
(ⅰ)若当时,当时,则在取得极小值;
(ⅱ) 若当时,当时,则在取得极大值.
若是二阶可导函数,则有如下判别极值定理.
定理6.11(极值的第二充分条件) 设在某邻域内一阶可导,在处二阶可导,且,.
(ⅰ)若,则在取得极大值;
(ⅱ)若,则在取得极小值.
例1 求的极值点与极值.
例2 求的极值点与极值.
对于应用二阶导数无法判别的问题,可借助更高阶的导数来判别.
定理6.12(极值的第三充分条件) 设在某邻域内直到阶导函数, 在处阶可导, 且,则
(ⅰ)当为偶数时, 在取得极值,且当时取得极大值, 当时取得极小值;
(ⅱ)当为奇数时, 在不取得极值.
例3求的极值.
注 定理6.12仅是判定极值的充分条件.如函数
显然它在处取得极小值,但此时.
二 最大值与最小值
极值是局部性概念,而最值是全局概念.极值是函数在极值点的某邻域内的最大值或最小值.最值是函数在所考察的区间上全部函数值中的最大值或最小值.若最值在区间内部取得则最值必是极值.
在第四章中我们知道,闭区间上连续函数一定存在最大值与最小值.下面我们给出求闭区间上连续函数且不可导点和驻点个数为有限个的函数的最大值和最小值的方法:
(1)求出导函数;
(2)求在内的驻点和不可导点;
(3)计算、及函数在所有驻点和不可导点处的函数值;
(4)比较上述各值大小从而确定最大值和最小值.
例4 求函数在闭区间上的最大值与最小值.
在实际问题中,求函数的最大值或最小值往往碰到如下两种特殊情形,此时最值的求法可不必按照上述四个步骤.
情形1 函数在一个区间上可导且只有一个极值点,则此极值点即为最值点.
例5 一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比.已知当速度为10(km/h),燃料费为每小时6元,而其他与速度无关的费用为每小时96元.问轮船的速度为多少时,每航行1 km所消耗的费用最小?
情形2 如果由实际问题的性质可判定可导函数确有最大值或最小值,而且一定在定义区间内部取得,这时若在定义区间内部只有一个驻点,那么不必讨论是不是极值就可以断定是最大值或最小值.
例6 一张1.4米高的图片挂在墙上,它的底边高于观察者的眼睛1.8米,问观察者应站在距墙多远处看图最清楚?(即视角最大)
下面我们再看两个“最值应用”的例题.
例7 用最值方法证明不等式
[提示] 令,可求出在上的最大值为1,最小值为,从而得所证不等式.
例8 求数列的最大项.
[提示] 令可求出在点取得最大值,进一步地分析可知数列的最大项应是第三项.
§5 函数的凸性与拐点
凸函数是有着广泛应用的一类函数.本节将介绍凸函数的基本性质并以凸函数为工具来证明一些不等式.
一 函数的凸性
定义1 设为定义在区间上的函数,若对
总有
(1)
则称为上的凸函数.反之,若总有
(2)
则称为上的凹函数.
若(1),(2)中的不等式改为严格不等式,则相应的函数称为严格凸函数和严格凹函数.
不难证明:若为上的凸函数, 则为上的凹函数.故今后只需讨论凸函数及其性质.
引理1 为上的凸函数对总有
(3)
引理2 为上的凸函数对总有
(4)
(仿引理1可证)
对于可导函数,有
定理6.13 设为区间上的可导函数,则下述论断互相等价:
(ⅰ) 为上的凸函数;
(ⅱ) 为上的增函数;
(ⅲ) ,有
(5)
注 论断(ⅲ)的几何意义是:曲线总是在它的任一条切线的上方.这是可导凸函数的几何特征.
定理6.14 设为区间上的二阶可导函数,则为上的凸(凹)函数的充要条件是.
证 由定理6.3和定理6.13得.
例1 讨论的凸性.
例2 若为定义在开区间内的可导凸(凹)函数,则为的极大(小)值的充要条件是为的稳定点,即.
下面的例子是定义1的一般情况.
例3 (詹森(Jensen)不等式)若为上的凸函数,则对,有
(6)
证 应用数学归纳法并结合凸函数的性质证之.
注 以Jensen不等式为工具可以证明H?lder不等式、Minkowski不等式等经典不等式.
例4 证明
证明 令应用Jensen不等式证之.
例5 设为开区间内的凸(凹)函数,则在内任一点都存在左、右导数.
二 拐点
定义2 设曲线在点有穿过曲线的切线,且在切点附近,曲线在切线的两侧分别是严格凸的和严格凹的,则称点为曲线的拐点.
注 (ⅰ)拐点是曲线凸凹性的分界点.
(ⅱ)拐点是曲线上的点.
例6 正弦曲线,其拐点为.
定理6.15 若在点二阶可导,则为曲线的拐点的必要条件是.
定理6.16 设在点可导, 在内二阶可导,若在
和上的符号相反,则为的拐点.
注 拐点的的可疑点为两类:一类是相应的点,另一类是二阶导数不存在的点.
例7 求的拐点
例8.函数上点(0,0)是其拐点,但不存在(在点(0,0)处有垂直切线).由此可见,若点为的拐点, 在点的导数未必存在.
§6 函数图像的讨论
在中学里,我们主要依赖描点作图法画出一些简单函数的图像.一般来说,这样得到的图像比较粗糙,无法确切反映函数的性态(如单调区间,极值点,凸性区间,拐点等).这一节里,我们将综合应用在本章前几节学过的方法,再综合周期性、奇偶性、渐近线等知识,较完善地作出函数地图像.
作出函数图像的一般程序是:
1.求函数地定义域;
2.考察函数的奇偶性、周期性;
3.求函数的某些特殊点,如与两个坐标轴的交点,不连续点,不可导点等;
4.确定函数的单调区间,极值点,凸性区间以及拐点;
5.考察渐近线;
6.综合以上讨论结果画出函数的图像.
例 作出函数的图像
