第九章 非正弦周期信号作用下电
路的稳态分析
上海交通大学本科学位课程
2003年 9月
在实践中，人们经常遇到一些不按正弦规律变
化的周期或非周期电信号。
电力系统中发电机发出的电压波形，严格说是
“非正弦”波形 。
在电子技术、自动控制、计算机等领域中，电
信号（电压或电流）往往是一些“非正弦”的
周期或非周期的脉冲波形 。 ()ftA0T2T4T3T5Tt()ftA0 /2TT2T3t3 / 2
即使是, 理想, 正弦波形，经过二极管、铁芯
线圈等非线性元件后也要变成非正弦波形，如
常见的半波整流或全波整流波形。 mA0 ()ft 2TtT
半波整流
全波整流
若能将非正弦信号分解成一系列信号之和，则
总可对其中每一正弦信号应用以前的分析方法
求出稳态响应，再用迭加定理求取所需响应。
tmA0 ()ftT 2T
非正弦周期函数展开为付里叶级数 (傅氏级数 )
数学上已知，任何一个周期为 T的函数 f(t)=f(T+t)，
如果满足狄里赫利 (Dirichlet)条件，即函数 f(t)在一
周期时间内连续，或具有有限个第一类间断点 (间
断点两恻函数有极限存在 )，并且函数只有有限个
极大值和极小值，则函数便可展开为傅氏级数。
0
1
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k
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上述傅氏级数形式也称三角级数，电路中经常遇到
的非正弦周期函数，都能满足以上条件，并展开成
傅氏级数。
傅氏级数中各项的系数称傅氏系数，利用三角
函数的正交性，可确定傅氏系数。
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电路理论中称 A0为周期函
数 f(t)的恒定分量 (直流分量
或零次谐波 )，其余各项称
谐波分量。
T为原周期函数 f(t)的周期,2
T
??? 为角频率。
谐波分量中频率同原信号频率 ?的称基波分量，
其余称高次谐波，并按其对基波频率之倍数称
二次谐波、三次谐波,?, k次谐波等。
求非正弦周期信号信号的傅氏级数，主要是求
傅氏系数，并应充分利用周期函数的对称性。
求周期内波形面积代数和为 0
如果函数 f(t)在一周期内的平均值为零，即
0 0
1 ( ) 0TA f t d t
T???
则傅氏级数中就不存在恒定分量。若函数是电
信号，则该信号中就不存在直流分量。具体可
根据波形判断，只要在一周期内，函数波形正
半周面积等于负半周面积，其平均值就为零。
奇函数 — 波形对称于原点（原点对称）
如果函数 f(t)=-f(-t),即 f(t)的波形对称于坐标原
点，称奇函数，则其傅氏系数为
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2
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0
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T
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当非正弦周期函数为奇函数时，傅氏级数中只
含正弦项（正弦谐波分量）。
T()ftAT? t/2T/2T?0A
偶函数 — 波形对称于纵轴（纵轴对称）
如果函数 f(t)=f(-t)即 f(t)的波形对称于纵轴，称
偶函数 (如半波，全波整流波形 )，则其傅氏系
数为
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当非正弦周期函数为偶函数时，傅氏级数中不
含正弦项 (正弦谐波分量 )，只含常数项 (直流分
量 )和余弦项 (余弦谐波分量 )。
t0()ftTT?
奇谐波函数 — 半波横轴对称
如果函数,即 f(t)前半个周期的波形 ( ) ( )
2
Tf t f t? ? ?
向后平移半个周期，便和后半个周期的波形对
横轴成镜象对称，则其傅氏系数为
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为偶数
为奇数
为偶数
为奇数
该函数的傅氏展开式中，只含奇次谐波而不含偶
次谐波，故称奇谐波函数。该函数中，不含直流
分量和偶次谐波分量，只含奇次谐波分量。
T? /2?0A?ATt()ft
上图中画出了三个谐波的波形，其中绿线是将
前半周后移半个周期的波形，可见，基波和三
次谐波满足
tT/2T0
( ) ( )2Tf t f t? ? ?
二次谐波则没有这种性质。
至于偶谐波函数 ( ) ( )
2Tf t f t??
函数前半个周期的波形向后平移半个周期，便与
后半个周期的波形重合，这种函数的周期实际上
已不是 T，仅是 T/2 。 相当于将角频率 ?扩大了一
倍，即使是奇次谐波也变成偶次谐波 (上中图 )。
t0 /2TTt0/2T
移动坐标原点 tmV0()vt/2TT
3 / 2T 将一非正弦周期函数分解成奇函数，偶函数，常量等组合之和的方法可简化求解傅氏系数。 例 右图为半波整流后的工频电源的电压波形求其傅氏级数。
如按右图坐标计算 A0,Akm和 Bkm就较复杂。
若将坐标原点右移
T/4，如右图蓝色坐
标，便成偶函数,t
mV03 /4T()vt/4T /2T
当 k=1时
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当 k=3,5,7,…, 时 Akm=0
tmV03 /4T()vt/4T /2T
若以黑色坐标为 t’，则 t’=t+T/4或 t=t’-T/4
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tmV0 3 /4T()vt/4T /2T
例 右图所示为锯齿波，不具
备前述任何一种对称性。
如令 f(t)=f1(t)+f2(t)
其中 f1(t)=?Vm 则 f2(t)就是一个奇函数。
2 ( ) 022mm
VV Tf t t t
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()ftmVT?02T3Tt
非正弦周期函数展开为傅氏级数除表示为三角
形式外，还可表示为复数形式。
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上海交通大学本科学位课程
2003年 9月
在实践中，人们经常遇到一些不按正弦规律变
化的周期或非周期电信号。
电力系统中发电机发出的电压波形，严格说是
“非正弦”波形 。
在电子技术、自动控制、计算机等领域中，电
信号（电压或电流）往往是一些“非正弦”的
周期或非周期的脉冲波形 。 ()ftA0T2T4T3T5Tt()ftA0 /2TT2T3t3 / 2
即使是, 理想, 正弦波形，经过二极管、铁芯
线圈等非线性元件后也要变成非正弦波形，如
常见的半波整流或全波整流波形。 mA0 ()ft 2TtT
半波整流
全波整流
若能将非正弦信号分解成一系列信号之和，则
总可对其中每一正弦信号应用以前的分析方法
求出稳态响应，再用迭加定理求取所需响应。
tmA0 ()ftT 2T
非正弦周期函数展开为付里叶级数 (傅氏级数 )
数学上已知，任何一个周期为 T的函数 f(t)=f(T+t)，
如果满足狄里赫利 (Dirichlet)条件，即函数 f(t)在一
周期时间内连续，或具有有限个第一类间断点 (间
断点两恻函数有极限存在 )，并且函数只有有限个
极大值和极小值，则函数便可展开为傅氏级数。
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上述傅氏级数形式也称三角级数，电路中经常遇到
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傅氏级数中各项的系数称傅氏系数，利用三角
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其余称高次谐波，并按其对基波频率之倍数称
二次谐波、三次谐波,?, k次谐波等。
求非正弦周期信号信号的傅氏级数，主要是求
傅氏系数，并应充分利用周期函数的对称性。
求周期内波形面积代数和为 0
如果函数 f(t)在一周期内的平均值为零，即
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则傅氏级数中就不存在恒定分量。若函数是电
信号，则该信号中就不存在直流分量。具体可
根据波形判断，只要在一周期内，函数波形正
半周面积等于负半周面积，其平均值就为零。
奇函数 — 波形对称于原点（原点对称）
如果函数 f(t)=-f(-t),即 f(t)的波形对称于坐标原
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奇谐波函数 — 半波横轴对称
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该函数的傅氏展开式中，只含奇次谐波而不含偶
次谐波，故称奇谐波函数。该函数中，不含直流
分量和偶次谐波分量，只含奇次谐波分量。
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上图中画出了三个谐波的波形，其中绿线是将
前半周后移半个周期的波形，可见，基波和三
次谐波满足
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二次谐波则没有这种性质。
至于偶谐波函数 ( ) ( )
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函数前半个周期的波形向后平移半个周期，便与
后半个周期的波形重合，这种函数的周期实际上
已不是 T，仅是 T/2 。 相当于将角频率 ?扩大了一
倍，即使是奇次谐波也变成偶次谐波 (上中图 )。
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移动坐标原点 tmV0()vt/2TT
3 / 2T 将一非正弦周期函数分解成奇函数，偶函数，常量等组合之和的方法可简化求解傅氏系数。 例 右图为半波整流后的工频电源的电压波形求其傅氏级数。
如按右图坐标计算 A0,Akm和 Bkm就较复杂。
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T/4，如右图蓝色坐
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备前述任何一种对称性。
如令 f(t)=f1(t)+f2(t)
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非正弦周期函数展开为傅氏级数除表示为三角
形式外，还可表示为复数形式。
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