第九章 非正弦周期信号作用下电
路的稳态分析
上海交通大学本科学位课程
2003年 9月
非正弦周期信号作用下的
线性定常电路的稳态响应
非正弦周期信号展开成傅氏级数，分解成直流
分量和各谐波分量之和，根据线性电路的迭加
性，求解稳态响应便归结为求解直流响应和正
弦稳态响应。
现以 RLC串联电路在非正弦电压源 v(t) 作用下
求解电流 i(t)为例进行说明。
求解电路稳态响应的具体步骤
将非正弦周期信号展开成傅氏级数
0 1 1 2 2
0 1 2
( ) s i n ( ) s i n ( 2 )
( ) ( )
mmv t V V t V t
V v t v t
? ? ? ?? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
原电路用直流电路和一系列正弦稳态电路来代替，
所求电流为各电路电流之和 i(t)=I0+i1(t)+i2(t)+…
RLC()vt()it RLC1v1i RLC2v2i?RLC0V 0I ? ??
求直流响应和用相量法求各谐波分量的正弦稳
态响应
① 求 I0 直流作用,L→ 短路,C→ 开路,∴ I0=0
② 求 i1,i2,… ∵ v1,v2,… 是一系列不同频率的正弦量
∴ i1,i2,… 是一系列不同频率的稳态响
应，要对每一种频率应用相量法求解
? 求 i1(t) ∵ v1=V1msin(?t+?1)
1 1 1 1 1 1 1 1
11,( )
2 mV V V Z R j L ZC? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?
11
1 1 1 1 1 1
11
VVII
ZZ ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?
1 1 1 1( ) 2 s in ( )i t I t? ? ?? ? ?
? 求 i2(t) ∵ v2=V2msin(2?t+?2)
2 2 2 2 2 2 2 2
11,( 2 )
22 mV V V Z R j L ZC? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?
22
2 2 2 2 2 2
22
VVII
ZZ ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?
2 2 2 2( ) 2 s in ( )i t I t? ? ?? ? ?
注意,不能
12I I I? ? ? 然后
根据迭加性，将各分响应迭加后得出总响应
1 1 1 2 2 2( ) 2 s i n ( ) 2 s i n ( )i t I t I t? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?
( ) 2 s in ( )i t I k t????
1I 的频率 ?与 2I 的频率 2?是不同的。
谐波阻抗
在求解非正弦周期信号稳态响应中，由于各次
谐波的频率不同，电路中的电感和电容对各次
谐波呈现的感抗和容抗是不同的，因此，对非
正弦周期信号电路，笼统地讲阻抗是没有意义
的，必须说明是对哪次谐波的阻抗，这些阻抗
统称为谐波阻抗。
对基波来说，角频率为 ?，故基波感抗 XL1=?L
基波容抗 XC1=1/?C
对 k次谐波，角频率为 k?,故 k次谐波感抗 XLk=
k?L=kXL1,k次谐波容抗 XCk=1/k?C= XC1/k
RLC串联电路的 k次谐波阻抗为
从 k次谐波的感抗 XLk=k?L=kXL1可见，谐波的
次数越高，感抗越大，因此电感线圈有抑制高
次谐波电流的作用。如果一个非正弦电压作用
于含有电感元件的支路上，支路电流波形较电
压波形更接近于正弦波形。
11
11( ) ( )
k L CZ R j k L R j k X Xk C k? ?? ? ? ? ? ?
从 k次谐波的容抗 XCk=1/k?C=XC1/k可见，谐波
次数越高，容抗越小，电流越易通过，所以电
容器具有增强高次谐波电流的作用。若一个非
正弦电压作用于电容元件的支路上，支路电流
波形较电压波形的差别更大，即畸变更严重。
例 RLCab cdi整 流
电 路
图示 LC滤波电路中,L=5H,C=10?F,输入为正
弦全波整流电压,电压的振幅 Vmab=150V,角频率
?=314弧度 /秒,负载电阻 R=2000?。 求负载端
电压 vcd及电感中的电流 i。
① 所示正弦全波整流电压
vab的傅氏级数展开为
4 1 1 1c os 2 c os 4
2 3 15
30 0 20 0 40c os 2 c os 4
m ab
ab
Vv t t
tt
??
?
??
? ? ?
??? ? ? ?
????
? ? ? ?
说明电压源 vab中含有直
流分量和偶次谐波分量 t?2?
abvmV0
② 计算电源电压恒定分量和各次谐波分量的作用
? 恒定分量的作用，电感 → 短路，电容 → 断路
00 0 03 0 0 3 0 00,0 4 8,9 62000AB ad c dVI A V V VR ??? ? ? ? ? ?
? 二次谐波分量的作用,RC并联电路的阻抗
2
1
20002 15 8 85,4
1 1 2 1 4
2
cd
R
RjCZ
j C R jR
jC
?
??
?
? ? ? ? ? ?
???
全电路阻抗
22 2 1 0 0 0 1 2, 6 1 5 8 2 9 8 0 9 0a b c dZ j L Z j j??? ? ? ? ? ? ?
2
2
2
200
0.0 214 90298 0 90m abm
ab
VIA
Z
?? ? ? ? ?
?
22 2 3, 3 9 1 7 5, 4mm c d cdV Z I V? ? ? ?
? 四次谐波分量的作用,方法同上,将 2?换成 4?
4
2000 7 9 8 7, 7
1 4 1 8cd
RZ
j C R j??? ? ? ? ???
44 4 2 0 0 0 7 9 8 7, 7 6 2 8 0 9 0a b c dZ j L Z j??? ? ? ? ? ? ? ?
4
4
4
40
0,0 0 2 0 4 9 06 2 8 0 9 0m a bm
ab
VIA
Z
?? ? ? ? ?
?
44 4 0, 1 6 1 1 7 7, 7mm c d cdV Z I V? ? ? ?
可见负载上的四次谐波电压只占直流电压的
0.161/96=0.17%,四次以上谐波分量所占百
分比则更小，可不再计算更高次谐波的影响。
③ 将直流分量和各谐波分量相迭加，先将相量转
换成瞬时值 2 2
2 2
4 4
4 4
0.0214 90 0.0214 c os( 2 90 )
3.39 175.4 3.39 c os( 2 175.4 )
0.00204 90 0.00204 c os( 4 90 )
0.161 177.7 0.161 c os( 4 177.7 )
m
m c d cd
m
m c d cd
I i t
V v t
I i t
V v t
?
?
?
?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
考虑到电源电压 vab的各谐波分量前均为负号，
所以电压 vcd和电流 i各分量也应带有负号，即瞬
时值
024
024
0, 0 4 8 0, 0 2 1 4 c o s ( 2 9 0 ) 0, 0 0 2 0 4 c o s ( 4 9 0 )
9 6 3, 3 9 c o s ( 2 1 7 5, 4 ) 0, 1 6 1 c o s ( 4 1 7 7, 7 )c d c d c d c d
i I i i t t
v V v v t t
??
??
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
负载电压的有效值
2 2 2119 6 ( 3, 3 9 ) (0, 1 6 1 ) 9 6
22cdVV? ? ? ?
负载电压 vcd中最大的谐波，即二次谐波，电压
的振幅占恒定分量的 3.5%,这表明电路具有滤
掉各谐波分量的作用。利用电感、电容对各种
谐波具有不同电抗的特点，还可组成其它类型
的滤波电路。
非正弦周期信号作用下电路的功率
设被测端口的电压 v(t),电流 i(t)均为非正弦周期波形，
其傅氏级数为
0 1( ) s i n ( )k m k vkv t V V k t??
?
?
? ? ?? 0
1
( ) s in ( )k m k i
k
i t I I k t???
?
? ? ??
瞬时功率
00
11
00
11
00
11
00
( ) ( ) ( ) sin( ) sin( )
sin( ) sin( )
sin( ) sin( )
sin(
k m k v k m k i
kk
k m k v k m k i
kk
k m k i k m k v
kk
km
p t v t i t V V k t I I k t
V I V k t I k t
V I k t I V k t
V I V k t
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
?
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??
??
??
??
??
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
??
??
??
??
1
1 ( ) 1
00
11
) sin( )
sin( ) sin( )
sin( ) sin( )
k v k m k i
k
qm qv s m s i
q q s s
k m k i k m k v
kk
I k t
V q t I s t
V I k t I V k t
? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
?
?
??
? ? ?
??
??
??
? ? ?
? ? ? ?
?
??
??
00
11
00
11
00
11
00
( ) ( ) ( ) sin( ) sin( )
sin( ) sin( )
sin( ) sin( )
sin(
k m k v k m k i
kk
k m k v k m k i
kk
k m k i k m k v
kk
km
p t v t i t V V k t I I k t
V I V k t I k t
V I k t I V k t
V I V k t
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
?
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??
??
??
??
??
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
??
??
??
??
1
1 ( ) 1
00
11
) sin( )
sin( ) sin( )
sin( ) sin( )
k v k m k i
k
qm qv s m s i
q q s s
k m k i k m k v
kk
I k t
V q t I s t
V I k t I V k t
? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
?
?
??
? ? ?
??
??
??
? ? ?
? ? ? ?
?
??
??
瞬时功率表达式中有四种情况
1 电压和电流的直流分量的乘积
2 电压和电流同次谐波的乘积
3 不同次谐波的电压和电流的乘积
4 电压恒定分量与电流各次谐波的乘积和电流恒定
分量与电压各次谐波的乘积
00
1
1 ( ) 1
00
11
( ) sin ( ) sin ( )
sin ( ) sin ( )
sin ( ) sin ( )
k m k v k m k i
k
q m q v s m s i
q q s s
k m k i k m k v
kk
p t V I V k t I k t
V q t I s t
V I k t I V k t
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
?
?
??
? ? ?
??
??
? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ?
?
??
??
平均功率（有功功率）
00
000
11
11 ( ) ( ) ( )
1 s in ( ) s in ( )
TT
T
k m k v k m k i
kk
P p t d t v t i t d t
TT
V V k t I I k t d t
T
? ? ? ?
??
??
??
? ? ? ?? ? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?
??
???
在瞬时功率展开表达式中已知有四种情况，各项
在一周内的平均值为
1电压和电流的直流分量的乘积
0 0 0 0 00
1 TP V I d t V I
T???
2电压和电流同次谐波的乘积
0
1 si n( ) si n( )
1 c os( ) c os( ) c os
2
T
k k m k v k m k i
k m k m k v k i k k k v k i k k k
P V k t I k t dt
T
V I V I V I
? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ?
?
3同次谐波的电压和电流的乘积，根据三角函数的正交性
0
1 sin( ) sin( ) 0 ( )T
q m q v s m s iV q t I s t d t q sT ? ? ? ?? ? ? ??
4电压 (电流 )恒定分量和电流 (电压 )各次谐波的乘积
0000
11 s in ( ) 0,s in ( ) 0TT
k m k i k m k vV I k t d t I V k t d tTT ? ? ? ?? ? ? ???
因此
0 0 0
11
0 0 1 1 1 2 2 2
c o s
c o s c o s
k k k k
kk
P P P V I V I
V I V I V I
?
??
??
??
? ? ? ?
? ? ? ?
??
非正弦电路中的平均功率等于直流分量的平均功率和各
次谐波的平均功率之和。
注意：非同频率的电压谐波和电流谐波只形成于瞬时功
率之中，而不出现在平均功率中。
无功功率
1 1 1 2 2 2 1s i n s i n s i nk k kkQ V I V I V I? ? ?
?
?
? ? ? ? ?
视在功率
2 2 2 2
00
11
kk
kk
S V I V V I I??
??
? ? ? ? ???
功率因数
cos PS? ?
畸变功率
在非正弦电路中，电压和电流波形中含有多次谐波波
形，一般情况下，由于电路中元件参数的不同，如电
感电容等，它们对高次谐波的响应有所不同，因此两
波形 (指电压和电流 )会有差别，而造成 22S P Q??
2 2 2 2S T P Q? ? ? 2 2 2()T S P Q? ? ?
称 T为畸变功率
在电力系统中，畸变功率 T 的出现说明系统内的电
压和电流已由正弦波畸变为非正弦波，并且电压和
电流两者的波形也不相同。
在出现畸变功率的系统中,则功率因数 22S P Q??
cos PS? ? 必然降低,(较 22S P Q?? 时 )使电力系统
的效率降低，所以在电力系统中，应尽量避免出现
高次谐波。
非正弦电路的功率因数中的 ?角，并不能象正弦稳态
电路中表示电压与电流间的相位差,因为两个波形不
同的非正弦周期波形间涉及不到相位差。
等效正弦波
两周期相同的非正弦周期电压和电流用等效正弦
波替代后,?便能表示电压与电流间的相位差。
采用等效正弦波的概念，电路转化为正弦电路，
便能用相量法进行简化计算。其等效条件是,
① 等效正弦波的频率取非正弦波基波频率 ?eq=?1
② 等效正弦波有效值等于原非正弦电压和电流的
有效值，即等于各次谐波有效值的平方和再开平
方。
22
11
,kk
kk
I I V V??
??
????
③ 等效正弦波和非正弦波所产生的有功功率，即
平均功率相等。
非正弦周期信号下的谐振滤波器
非正弦周期信号下的电路的谐振
在非正弦周期电压和电流作用
下电路的谐振要更复杂一些。
现有一非正弦周期电压作用在
RLC串联电路上,
由第 k次谐波分量引起的第 k次
电流谐波分量的有效值为
2
2 1
k
k
VI
R k L
kC
?
?
?
????
????
若 L可调节，则当
22
1
kL kC??
时发生 k次
谐波谐振，且
kk VI R?
1kL
kC? ??
C?()vt?LR()it
谐振时 L的值与谐波次数 k的平方成正比
2
2 1
k
k
VI
R k L kC? ?
?
????
????
22
1
kL kC?? kk VI R?0
3L 2L 1L L
I
1I2I3I
3
3
VI
R
? 22
VI
R
?
1
1
VI
R
?
右图的虚线表达了
三个电流谐波分量
的谐振曲线。
右图的红线表达了
总的电流有效值
2221 2 3I I I I? ? ?
C?()vt?LRit
03L 2L 1L L
I
1I2I3I
3
3
VI
R?
2
2
VI
R?
1
1
VI
R?
右图的虚线表示三
个电流谐波分量的
谐振曲线。
右图的红线表示总
的电流有效值
2221 2 3I I I I? ? ?
两个极端情况 ① L=0
0
2
2 2 2
1
k
k L
VI
R
kC?
? ?
?
② L=? 0
k LI ?? ?
谐振滤波器
利用调谐到一定频率上的 LC串联支路和并联支
路，可构成谐振滤波器。谐振滤波器可用来滤
除信号中的某个或某些谐波分量，使某个或某
些谐波分量不能进入负载；谐振滤波器也可用
来选择信号中某个或某些谐波分量，以允许某
个或某些谐波分量进入负载。
右图所示滤波器为可以
使某个单一频率的谐波
分量进入负载的谐振滤
波器。
1C1L 2L2C1'1 '
右图所示滤波器为可以
使某个单一频率的谐波
分量进入负载的谐振滤
波器。
该滤波器中串联谐振电路和并联谐振电路的谐
振频率均为某 k次谐波频率 ?k，那么,k次谐波
电流可畅通无阻地通过 L1C1串联谐振电路，而
不能通过 L2C2并联谐振电路。因此该谐波电流
流经负载，其它频率的谐波电流则在 L1C1上造
成较大的电压。而电流则大部分被电感 L2 (低
频 )和电容 C2(高频 )分流，致使负载上主要保留
了 k次谐波。
1C1L 2L2C1'1 '2
右图所示滤波器,L1C1
调谐到对 p次谐波发生
谐振,L2C2调到 q次谐
波发生谐振。
那么,p次谐波电流不能通过 L1C1并联谐振电
路，而 q次谐振电流又从 L2C2串联谐振电路分
流，因此，上右图滤波器能滤除信号中的 p次
和 q次谐波。
1'1 2'22LC1C
路的稳态分析
上海交通大学本科学位课程
2003年 9月
非正弦周期信号作用下的
线性定常电路的稳态响应
非正弦周期信号展开成傅氏级数，分解成直流
分量和各谐波分量之和，根据线性电路的迭加
性，求解稳态响应便归结为求解直流响应和正
弦稳态响应。
现以 RLC串联电路在非正弦电压源 v(t) 作用下
求解电流 i(t)为例进行说明。
求解电路稳态响应的具体步骤
将非正弦周期信号展开成傅氏级数
0 1 1 2 2
0 1 2
( ) s i n ( ) s i n ( 2 )
( ) ( )
mmv t V V t V t
V v t v t
? ? ? ?? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
原电路用直流电路和一系列正弦稳态电路来代替，
所求电流为各电路电流之和 i(t)=I0+i1(t)+i2(t)+…
RLC()vt()it RLC1v1i RLC2v2i?RLC0V 0I ? ??
求直流响应和用相量法求各谐波分量的正弦稳
态响应
① 求 I0 直流作用,L→ 短路,C→ 开路,∴ I0=0
② 求 i1,i2,… ∵ v1,v2,… 是一系列不同频率的正弦量
∴ i1,i2,… 是一系列不同频率的稳态响
应，要对每一种频率应用相量法求解
? 求 i1(t) ∵ v1=V1msin(?t+?1)
1 1 1 1 1 1 1 1
11,( )
2 mV V V Z R j L ZC? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?
11
1 1 1 1 1 1
11
VVII
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1 1 1 1( ) 2 s in ( )i t I t? ? ?? ? ?
? 求 i2(t) ∵ v2=V2msin(2?t+?2)
2 2 2 2 2 2 2 2
11,( 2 )
22 mV V V Z R j L ZC? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?
22
2 2 2 2 2 2
22
VVII
ZZ ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?
2 2 2 2( ) 2 s in ( )i t I t? ? ?? ? ?
注意,不能
12I I I? ? ? 然后
根据迭加性，将各分响应迭加后得出总响应
1 1 1 2 2 2( ) 2 s i n ( ) 2 s i n ( )i t I t I t? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?
( ) 2 s in ( )i t I k t????
1I 的频率 ?与 2I 的频率 2?是不同的。
谐波阻抗
在求解非正弦周期信号稳态响应中，由于各次
谐波的频率不同，电路中的电感和电容对各次
谐波呈现的感抗和容抗是不同的，因此，对非
正弦周期信号电路，笼统地讲阻抗是没有意义
的，必须说明是对哪次谐波的阻抗，这些阻抗
统称为谐波阻抗。
对基波来说，角频率为 ?，故基波感抗 XL1=?L
基波容抗 XC1=1/?C
对 k次谐波，角频率为 k?,故 k次谐波感抗 XLk=
k?L=kXL1,k次谐波容抗 XCk=1/k?C= XC1/k
RLC串联电路的 k次谐波阻抗为
从 k次谐波的感抗 XLk=k?L=kXL1可见，谐波的
次数越高，感抗越大，因此电感线圈有抑制高
次谐波电流的作用。如果一个非正弦电压作用
于含有电感元件的支路上，支路电流波形较电
压波形更接近于正弦波形。
11
11( ) ( )
k L CZ R j k L R j k X Xk C k? ?? ? ? ? ? ?
从 k次谐波的容抗 XCk=1/k?C=XC1/k可见，谐波
次数越高，容抗越小，电流越易通过，所以电
容器具有增强高次谐波电流的作用。若一个非
正弦电压作用于电容元件的支路上，支路电流
波形较电压波形的差别更大，即畸变更严重。
例 RLCab cdi整 流
电 路
图示 LC滤波电路中,L=5H,C=10?F,输入为正
弦全波整流电压,电压的振幅 Vmab=150V,角频率
?=314弧度 /秒,负载电阻 R=2000?。 求负载端
电压 vcd及电感中的电流 i。
① 所示正弦全波整流电压
vab的傅氏级数展开为
4 1 1 1c os 2 c os 4
2 3 15
30 0 20 0 40c os 2 c os 4
m ab
ab
Vv t t
tt
??
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? ? ?
??? ? ? ?
????
? ? ? ?
说明电压源 vab中含有直
流分量和偶次谐波分量 t?2?
abvmV0
② 计算电源电压恒定分量和各次谐波分量的作用
? 恒定分量的作用，电感 → 短路，电容 → 断路
00 0 03 0 0 3 0 00,0 4 8,9 62000AB ad c dVI A V V VR ??? ? ? ? ? ?
? 二次谐波分量的作用,RC并联电路的阻抗
2
1
20002 15 8 85,4
1 1 2 1 4
2
cd
R
RjCZ
j C R jR
jC
?
??
?
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全电路阻抗
22 2 1 0 0 0 1 2, 6 1 5 8 2 9 8 0 9 0a b c dZ j L Z j j??? ? ? ? ? ? ?
2
2
2
200
0.0 214 90298 0 90m abm
ab
VIA
Z
?? ? ? ? ?
?
22 2 3, 3 9 1 7 5, 4mm c d cdV Z I V? ? ? ?
? 四次谐波分量的作用,方法同上,将 2?换成 4?
4
2000 7 9 8 7, 7
1 4 1 8cd
RZ
j C R j??? ? ? ? ???
44 4 2 0 0 0 7 9 8 7, 7 6 2 8 0 9 0a b c dZ j L Z j??? ? ? ? ? ? ? ?
4
4
4
40
0,0 0 2 0 4 9 06 2 8 0 9 0m a bm
ab
VIA
Z
?? ? ? ? ?
?
44 4 0, 1 6 1 1 7 7, 7mm c d cdV Z I V? ? ? ?
可见负载上的四次谐波电压只占直流电压的
0.161/96=0.17%,四次以上谐波分量所占百
分比则更小，可不再计算更高次谐波的影响。
③ 将直流分量和各谐波分量相迭加，先将相量转
换成瞬时值 2 2
2 2
4 4
4 4
0.0214 90 0.0214 c os( 2 90 )
3.39 175.4 3.39 c os( 2 175.4 )
0.00204 90 0.00204 c os( 4 90 )
0.161 177.7 0.161 c os( 4 177.7 )
m
m c d cd
m
m c d cd
I i t
V v t
I i t
V v t
?
?
?
?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
考虑到电源电压 vab的各谐波分量前均为负号，
所以电压 vcd和电流 i各分量也应带有负号，即瞬
时值
024
024
0, 0 4 8 0, 0 2 1 4 c o s ( 2 9 0 ) 0, 0 0 2 0 4 c o s ( 4 9 0 )
9 6 3, 3 9 c o s ( 2 1 7 5, 4 ) 0, 1 6 1 c o s ( 4 1 7 7, 7 )c d c d c d c d
i I i i t t
v V v v t t
??
??
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
负载电压的有效值
2 2 2119 6 ( 3, 3 9 ) (0, 1 6 1 ) 9 6
22cdVV? ? ? ?
负载电压 vcd中最大的谐波，即二次谐波，电压
的振幅占恒定分量的 3.5%,这表明电路具有滤
掉各谐波分量的作用。利用电感、电容对各种
谐波具有不同电抗的特点，还可组成其它类型
的滤波电路。
非正弦周期信号作用下电路的功率
设被测端口的电压 v(t),电流 i(t)均为非正弦周期波形，
其傅氏级数为
0 1( ) s i n ( )k m k vkv t V V k t??
?
?
? ? ?? 0
1
( ) s in ( )k m k i
k
i t I I k t???
?
? ? ??
瞬时功率
00
11
00
11
00
11
00
( ) ( ) ( ) sin( ) sin( )
sin( ) sin( )
sin( ) sin( )
sin(
k m k v k m k i
kk
k m k v k m k i
kk
k m k i k m k v
kk
km
p t v t i t V V k t I I k t
V I V k t I k t
V I k t I V k t
V I V k t
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??
1
1 ( ) 1
00
11
) sin( )
sin( ) sin( )
sin( ) sin( )
k v k m k i
k
qm qv s m s i
q q s s
k m k i k m k v
kk
I k t
V q t I s t
V I k t I V k t
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?
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??
00
11
00
11
00
11
00
( ) ( ) ( ) sin( ) sin( )
sin( ) sin( )
sin( ) sin( )
sin(
k m k v k m k i
kk
k m k v k m k i
kk
k m k i k m k v
kk
km
p t v t i t V V k t I I k t
V I V k t I k t
V I k t I V k t
V I V k t
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1
1 ( ) 1
00
11
) sin( )
sin( ) sin( )
sin( ) sin( )
k v k m k i
k
qm qv s m s i
q q s s
k m k i k m k v
kk
I k t
V q t I s t
V I k t I V k t
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??
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瞬时功率表达式中有四种情况
1 电压和电流的直流分量的乘积
2 电压和电流同次谐波的乘积
3 不同次谐波的电压和电流的乘积
4 电压恒定分量与电流各次谐波的乘积和电流恒定
分量与电压各次谐波的乘积
00
1
1 ( ) 1
00
11
( ) sin ( ) sin ( )
sin ( ) sin ( )
sin ( ) sin ( )
k m k v k m k i
k
q m q v s m s i
q q s s
k m k i k m k v
kk
p t V I V k t I k t
V q t I s t
V I k t I V k t
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? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ?
?
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平均功率（有功功率）
00
000
11
11 ( ) ( ) ( )
1 s in ( ) s in ( )
TT
T
k m k v k m k i
kk
P p t d t v t i t d t
TT
V V k t I I k t d t
T
? ? ? ?
??
??
??
? ? ? ?? ? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?
??
???
在瞬时功率展开表达式中已知有四种情况，各项
在一周内的平均值为
1电压和电流的直流分量的乘积
0 0 0 0 00
1 TP V I d t V I
T???
2电压和电流同次谐波的乘积
0
1 si n( ) si n( )
1 c os( ) c os( ) c os
2
T
k k m k v k m k i
k m k m k v k i k k k v k i k k k
P V k t I k t dt
T
V I V I V I
? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ?
?
3同次谐波的电压和电流的乘积，根据三角函数的正交性
0
1 sin( ) sin( ) 0 ( )T
q m q v s m s iV q t I s t d t q sT ? ? ? ?? ? ? ??
4电压 (电流 )恒定分量和电流 (电压 )各次谐波的乘积
0000
11 s in ( ) 0,s in ( ) 0TT
k m k i k m k vV I k t d t I V k t d tTT ? ? ? ?? ? ? ???
因此
0 0 0
11
0 0 1 1 1 2 2 2
c o s
c o s c o s
k k k k
kk
P P P V I V I
V I V I V I
?
??
??
??
? ? ? ?
? ? ? ?
??
非正弦电路中的平均功率等于直流分量的平均功率和各
次谐波的平均功率之和。
注意：非同频率的电压谐波和电流谐波只形成于瞬时功
率之中，而不出现在平均功率中。
无功功率
1 1 1 2 2 2 1s i n s i n s i nk k kkQ V I V I V I? ? ?
?
?
? ? ? ? ?
视在功率
2 2 2 2
00
11
kk
kk
S V I V V I I??
??
? ? ? ? ???
功率因数
cos PS? ?
畸变功率
在非正弦电路中，电压和电流波形中含有多次谐波波
形，一般情况下，由于电路中元件参数的不同，如电
感电容等，它们对高次谐波的响应有所不同，因此两
波形 (指电压和电流 )会有差别，而造成 22S P Q??
2 2 2 2S T P Q? ? ? 2 2 2()T S P Q? ? ?
称 T为畸变功率
在电力系统中，畸变功率 T 的出现说明系统内的电
压和电流已由正弦波畸变为非正弦波，并且电压和
电流两者的波形也不相同。
在出现畸变功率的系统中,则功率因数 22S P Q??
cos PS? ? 必然降低,(较 22S P Q?? 时 )使电力系统
的效率降低，所以在电力系统中，应尽量避免出现
高次谐波。
非正弦电路的功率因数中的 ?角，并不能象正弦稳态
电路中表示电压与电流间的相位差,因为两个波形不
同的非正弦周期波形间涉及不到相位差。
等效正弦波
两周期相同的非正弦周期电压和电流用等效正弦
波替代后,?便能表示电压与电流间的相位差。
采用等效正弦波的概念，电路转化为正弦电路，
便能用相量法进行简化计算。其等效条件是,
① 等效正弦波的频率取非正弦波基波频率 ?eq=?1
② 等效正弦波有效值等于原非正弦电压和电流的
有效值，即等于各次谐波有效值的平方和再开平
方。
22
11
,kk
kk
I I V V??
??
????
③ 等效正弦波和非正弦波所产生的有功功率，即
平均功率相等。
非正弦周期信号下的谐振滤波器
非正弦周期信号下的电路的谐振
在非正弦周期电压和电流作用
下电路的谐振要更复杂一些。
现有一非正弦周期电压作用在
RLC串联电路上,
由第 k次谐波分量引起的第 k次
电流谐波分量的有效值为
2
2 1
k
k
VI
R k L
kC
?
?
?
????
????
若 L可调节，则当
22
1
kL kC??
时发生 k次
谐波谐振，且
kk VI R?
1kL
kC? ??
C?()vt?LR()it
谐振时 L的值与谐波次数 k的平方成正比
2
2 1
k
k
VI
R k L kC? ?
?
????
????
22
1
kL kC?? kk VI R?0
3L 2L 1L L
I
1I2I3I
3
3
VI
R
? 22
VI
R
?
1
1
VI
R
?
右图的虚线表达了
三个电流谐波分量
的谐振曲线。
右图的红线表达了
总的电流有效值
2221 2 3I I I I? ? ?
C?()vt?LRit
03L 2L 1L L
I
1I2I3I
3
3
VI
R?
2
2
VI
R?
1
1
VI
R?
右图的虚线表示三
个电流谐波分量的
谐振曲线。
右图的红线表示总
的电流有效值
2221 2 3I I I I? ? ?
两个极端情况 ① L=0
0
2
2 2 2
1
k
k L
VI
R
kC?
? ?
?
② L=? 0
k LI ?? ?
谐振滤波器
利用调谐到一定频率上的 LC串联支路和并联支
路，可构成谐振滤波器。谐振滤波器可用来滤
除信号中的某个或某些谐波分量，使某个或某
些谐波分量不能进入负载；谐振滤波器也可用
来选择信号中某个或某些谐波分量，以允许某
个或某些谐波分量进入负载。
右图所示滤波器为可以
使某个单一频率的谐波
分量进入负载的谐振滤
波器。
1C1L 2L2C1'1 '
右图所示滤波器为可以
使某个单一频率的谐波
分量进入负载的谐振滤
波器。
该滤波器中串联谐振电路和并联谐振电路的谐
振频率均为某 k次谐波频率 ?k，那么,k次谐波
电流可畅通无阻地通过 L1C1串联谐振电路，而
不能通过 L2C2并联谐振电路。因此该谐波电流
流经负载，其它频率的谐波电流则在 L1C1上造
成较大的电压。而电流则大部分被电感 L2 (低
频 )和电容 C2(高频 )分流，致使负载上主要保留
了 k次谐波。
1C1L 2L2C1'1 '2
右图所示滤波器,L1C1
调谐到对 p次谐波发生
谐振,L2C2调到 q次谐
波发生谐振。
那么,p次谐波电流不能通过 L1C1并联谐振电
路，而 q次谐振电流又从 L2C2串联谐振电路分
流，因此，上右图滤波器能滤除信号中的 p次
和 q次谐波。
1'1 2'22LC1C
