第九章 非正弦周期信号作用下电
路的稳态分析
上海交通大学本科学位课程
2003年 9月
周期函数的频谱
如果以谐波振幅（包括直流分量）和角频率构
一个平面，并以平面上横轴为角频率轴，纵轴
为振幅轴，上式中每项的振幅和角频率便构成
平面上的点。由这些点各作垂线并终止于横轴
的相应的频率点上，便得到一种由长短不同但
间距相同的线段组成的图像。这种图像称振幅
频谱图；同理有相位频谱图。
0 1( ) c o s ( )k m kkf t F F k t??
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km
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km
AF A F A B
B? ?? ? ? ?
求右图所示三角波信号
的振幅和相位频谱图。
例
波形既是原点对称又是半波横轴对称。因此，其
傅里叶级数仅由正弦奇次谐波分量组成。
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4 0
4
4 2
42
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A T Tt A t
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可算出 22
22
8 1,5,9,
8 3,7,11km
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kB
A k
k
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所求傅里叶级数
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相位频谱图
k?0/2? /2?? k?
求右图所示信号的振幅
和相位频谱图。
例
信号原点对称为奇函数，
且又是半波横轴对称，所
以其傅里叶级数仅是正弦
奇次谐波分量组成 。
所求 傅里叶 级数
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0
2
2
TAt
ft
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0
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所求傅里叶级数
kF4/A ?0?
3?5?7?9?k?振幅频谱图
相位频谱图
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k? k?0/2??/2?
三角波信号 方波信号
三角波和方波的谱线衰减的快慢程度不同。表
明信号波形不同，其傅里叶级数的收敛速度也
不同。三角波和方波的谐波幅度分别按 1/k2 和
1/k的速度收敛。
kF 28/A?0
7?3?5??9?k?k?0/2? /2?? k?
kF4/A?0
357?9?k?k? k?0/2??/2?
三角波信号 方波信号
在工程计算中允许在规定误差下作适当的近似。
一个信号的傅里叶级数按理说应有无穷多项，实
际上只能在不超过规定误差下取有限项数。由于
三角波比方波的傅里叶级数衰减得快，所以在相
同的误差下前者可取较少的项数。
kF 28/A?0
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kF4/A?0
357?9?k?k? k?0/2??/2?
方波信号的傅里叶级数比三角波信号收敛得慢，
其原因是方波信号本身有间断点，而三角波信号
本身无间断点，但其一阶导数有间断点。
通常，信号出现间断点的导数的阶数越高，它的
傅里叶级数收敛的越快。像抛物线波信号，因其
二阶导数才出现间断点，所以所展成的级数收敛
得更快，收敛速度是 1/k3。
总之，信号曲线越光滑，其级数收敛便越快，高
次谐波的幅度便越小。正弦信号曲线最光滑，所
以不含任何高次谐波。
非正弦周期信号的有效值
非正弦周期信号的有效值的定义同正弦信号的
有效值，也称方均根值。
2
0
1 ()TF f t d t
T? ?
其中 f(t)可以是电压或电流，将它们展开成傅氏
级数
0
1
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k
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直流分量的平方在一周内的平均值
2200
0
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2 2 2 2
0
11sin ( )
2
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直流分量与各次谐波乘积的 2倍在一周内的平均值等
于零
00
1 2 sin( ) 0T
k m kF F k t d tT ?????
两个不同频率谐波分量乘积的 2倍在一周内的平均值，
根据三角函数的正交性，其结果为零
0
1 2 [ sin ( ) sin ( ) 0 ( )T
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因此，非正弦周期信号的有效值
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0
k
k
F F F F F?
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非正弦周期信号的有效值等于直流分量和各次
谐波分量有效值的平方和开根号。
用最大值表示的公式中
22
2 12
0 22
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? ? ? ?
而不是
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20
2
1
222
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非正弦周期信号的平均值
按平均值的一般定义，非正弦周期信号的平均
值就是直流分量
00
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在电路中遇到的非正弦周期信号，若正半周和
负半周相等，则平均值为零。为此，定义非正
弦周期信号绝对值在一周内的平均值。
2
0
2 ()T
avF f t d tT? ?
称为绝对值的平均值，简
称平均值。
若非正弦周期信号在一周期内前半周波形与后
半周的波形相同，则
0
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路的稳态分析
上海交通大学本科学位课程
2003年 9月
周期函数的频谱
如果以谐波振幅（包括直流分量）和角频率构
一个平面，并以平面上横轴为角频率轴，纵轴
为振幅轴，上式中每项的振幅和角频率便构成
平面上的点。由这些点各作垂线并终止于横轴
的相应的频率点上，便得到一种由长短不同但
间距相同的线段组成的图像。这种图像称振幅
频谱图；同理有相位频谱图。
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例
波形既是原点对称又是半波横轴对称。因此，其
傅里叶级数仅由正弦奇次谐波分量组成。
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求右图所示信号的振幅
和相位频谱图。
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信号原点对称为奇函数，
且又是半波横轴对称，所
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三角波信号 方波信号
三角波和方波的谱线衰减的快慢程度不同。表
明信号波形不同，其傅里叶级数的收敛速度也
不同。三角波和方波的谐波幅度分别按 1/k2 和
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方波信号的傅里叶级数比三角波信号收敛得慢，
其原因是方波信号本身有间断点，而三角波信号
本身无间断点，但其一阶导数有间断点。
通常，信号出现间断点的导数的阶数越高，它的
傅里叶级数收敛的越快。像抛物线波信号，因其
二阶导数才出现间断点，所以所展成的级数收敛
得更快，收敛速度是 1/k3。
总之，信号曲线越光滑，其级数收敛便越快，高
次谐波的幅度便越小。正弦信号曲线最光滑，所
以不含任何高次谐波。
非正弦周期信号的有效值
非正弦周期信号的有效值的定义同正弦信号的
有效值，也称方均根值。
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因此，非正弦周期信号的有效值
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