—— 赠 2004级同学
任课教师,李金玉
电 话,3885761
天才 在 于 勤 奋,
知识 在 于 积 累,
概率论与数理统计
引 言
一、内容与学时
第一章 概率论的基本概念 8 学时
第二章 随机变量及其分布 8 学时
第三章 多维随机变量及其分布 6 学时
第四章 随机变量的数字特征 7 学时
第五章 大数定理及中心极限定理 3 学时
第六章 样本及抽样分布 3 学时
第七章 参数估计 学时
第八章 假设检验 8 学时
合计,48 学时
概
率
论
数
理
统
计
总复习 4 学时
二、研究内容
分析现象,
向上抛一石子
相同条件下，抛同一枚硬币
(必然下落 )
(可正可负 )
确定性现象
大量实验后,具有规律性 (随机现象 )
概率论与数理统计是研究与揭示 随机现象
统计规律性 的一门数学学科。
请看,福尔摩斯破译密码
三,如何学习概率统计?
1.认识其重要性,培养浓厚的学习兴趣
2,学数学最好的方式是做数学 读、听、作
在科学上没有平坦的大道,
只有不畏劳苦沿着陡峭山路攀登
的人,才有希望到达光辉的顶点, 马克思
3,学习要求,
予习 听课 (记笔记 ) 复习、巩固
第一节 基 本 概 念
一、引例
1,相同的条件下，抛同一枚硬币,观察结果
(1) 抛一次 (3) 抛三次,(2) 抛三次 出现正的次数
结果, ??S)1( 正,反 ?
??S)2( 正正正,??正正反,正反正,
??S)3( ?3,2,1,0
2,抛一枚骰子，观察出现的点数
3,在一批灯泡中任意的抽取一只，测试它的寿命
4,记录某一地区一昼夜的最高温度和最低温度
5,记录电话交换台一分钟内接到的呼唤次数
?? 6,5,4,3,2,1?S
样本空间, 所有可能结果组成的集合
样本点, 样本空间中的元素
随机试验, (1) 可以相同情况下重复的进行
(2) 试验结果具有多种可能性
(3) 试验前不确定会出现哪种情况,
但可以知 道出现的所有可能结果
(记作 E )
(记作 S)
随机事件, 试验 E 的样本空间 S 的子集
基本事件, 由一个样本点组成的单点集合
必然事件, 在每次试验中总是发生
事件发生, 在试验中,事件中的一个样本点出现
不可能事件, 在每次试验中都不发生, (记作 ) ?
SSS
二、事件间的关系及事件的运算
B
A
A
BA?
B
A
B
BA?
1,BA ?
Ax? Bx?
即事件 A 发生 必
导致事件 B 发生
2,积运算 BA?
Ax?
即事件 A 与事件
B 同时 发生
Bx?且
3,和运算 BA?
Ax?
即事件 A 与事件
B 至少一个 发生
Bx?或
SS
二、事件间的关系及事件的运算
S
A
B
B
A
4,差事件 BA?
Ax?
即事件 A 发生
且事件 B 不发生
5.互不相容 (互斥 )
??BA ?
即事件 A 与事件
B 不能 同时 发生
6.对立事件 (互逆 )
SBA ??Bx?且
B
A
ABABA ???
BA?
基本事件互斥
且 ??BA ?
事件 AB 必有且
仅有一个发生
事件运算规律
1,交换律 ABBA ?? ? ABBA ?? ?
2,结合律 )( CBA ?? CBA ?? )(?
)( CBA ?? CBA ?? )(?
3,分配律 )( CBA ?? )()( CABA ????
)( CBA ?? )()( CABA ????
4,德摩根律 BA ? BA ??
BA ? BA ??
例 1,设 A,B,C 表示三个事件,试表示下列事件
(1) A 发生,B 与 C 不发生
(2) A 与 B 发生,C 不发生
(3) A,B 与 C 都发生
(4) A,B 与 C 至少有一个发生
(5) A,B 与 C 全不发生
(6) A,B 与 C 至少有两个发生
思考, 判断
??AB(1) 若 且,AC ? 则 ??BC
,AB ?(2) 若 则 BBA ??
)( CBA
)( CAB
)( A BC
)( CBA ??
)( CBA
?A B C( )CABCBABCA ??
思考题,
1873年，英国学者沈克士公布了一个 π 的数值，
它的数目在小数点后一共有 707 位之多 ! 但是,经
你能猜出他怀疑的理由吗?
过了几十年后,曼彻斯特的费树生对它产生了怀疑
原因是他统计了 π 的 608 位小数，得到下面的表,
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
出现次数 60 62 67 68 64 56 62 44 58 67
数字
答, 各数码出现的频率应都接近于 0.1,或者说它
们出现的次数应近似相等,
44
但是 7出现的次数过少
第二节 频率与概率
一、频率
E S设随机试验 的样本空间为, 在相同条件下,
An n进行 次重复独立试验，要在这 次试验中事件
An发生了 次,n
nA则比值 称为事件发生的频率，记
)( Af n作
性质,1)(0)1 ?? Af
n 1)()2 ?Sf n
则两两不相容若,,)3 21 kAAA ?
?)( 21 kn AAAf ???? )( 1Af n )( 2Af n? )( kn Af?? ?
下面引出概率的定义
历史上著名的统计学家蒲丰和皮尔逊曾进行过
大量掷硬币的试验，所得结果如下,
试验者
蒲丰
皮尔逊
皮尔逊
次数 正面的次数 正面的频率
4040 2048 0.5069
12000 6019 0.5016
24000 12012 0.5005
)( Afn
增大n 常数 P (0.5) (统计规律性 )
揭示了事件发生的可能性
请看, 掷骰子试验 高尔顿订板试验
街头赌博
二、概率
E S设随机试验 的样本空间为, 1,定义 对于 E 中
的每一个事件 A 赋予一个实数,记为 P(A),称为事
件 A 的概率
2,性质
0)()1 ?A P 1)()2 ?S P
则是两两互不相容的事件若,,)3 21 ?AA
?)( 21 ??? AAP )( 1AP )( 2AP? ?? (可列可加性 )
,)4 BA ?若 )()()( APBPABP ???则有
证, BA ?? )( ABAB ??? ?
0)( ??P
有限可加性
?? )( BP )()( ABPAP ?? )()( APBP ?
可推广到多个事件的情形, 如三个事件
5)
SAA ??? ??AA
)(SP
)(1)( APAP ??有A对于任一事件,
证,
可证 ?1 )( AAP ?? )()( APAP ??
6) BA,对于任意的事件,都有
)()()()( ABPBPAPBAP ????
证, )( ABBABA ?? ???
??? )( ABBA BAB ?
?? )( BAP ?
)( AP? )()( ABPBP ??
)()( ABBPAP ??
)()()()( 321321 APAPAPAAAP ?????
)()()()( 321323121 AAAPAAPAAPAAP ????
例 1,已知 )()(,5.0)()( BAPABPBPAP ??? 证明
?)( BAP证明, )( BAP ? )(1 BAP ???
)()()(1 ABPBPAP ???? )( ABP?
例 2,已知,25.0)()()( ??? CPBPAP 1 2 5.0)( ?ACP
,0)()( ?? BCPABP 求 ABC 中至少有一个发生
解, ?)( CBAP ?? )()()( CPBPAP ??
)()()( BCPACPABP ??? )( AB CP?
ABAB C ?? )()( ABPA B CP ?? 0?
0)( ?? AB CP
?? )( CBAP ?? 125.075.0 ? 625.0?
例 3.,6.0)( ?AP 7.0)( ?BP设 AB 是两个事件,且
问, )( ABP(1) 在什么条件下 取得最大值,并求出
)( ABP(2) 在什么条件下 取得最小值,并求出
)()()()( ABPBPAPBAP ????
)()()()( BAPBPAPABP ????
解, 由
得
)( BAP ? )( ABP
?)( BAP ?
?? )( ABP
1) 当 最小时,达到最大值
BA ?当 时,7.0)( ?BP 最小
7.07.06.0 ?? 6.0? 最大
)( BAP ? )( ABP
1)( ?BAP ?
?? )( ABP
2) 当 最大时,达到最小值
,时当 SBA ?? 最大
17.06.0 ?? 3.0? 最小
,1)()( ?? BPAP
例 4,CBA,,某地发行 三种报纸,A已知订阅 报的
45％,订阅 B 报的 35%,订阅 C 报的 30%,同时订
阅 AB 报的 10％,AC 报的 8％,BC 报的 5%,ABC
报的 3％,现任取一市民，试求下列事件的概率,
(1) 只订 A 报 (2) 只订 AB 报
(3) 至少订一种报
(4) 不订任何报
,45.0)( ?AP,35.0)( ?BP 30.0)( ?CP
10.0)( ?ABP 08.0)( ?ACP 05.0)( ?BCP
03.0)( ?AB CP
解：设 分别用 ABC表示市民订 A报,B报,C报的事件
由题意
)( CBAP )( CABP
)( CBAP ??
)( CBAP 或 )( CBAP ??
已知,,45.0)( ?AP,35.0)( ?BP 30.0)( ?CP
10.0)( ?ABP08.0)( ?ACP 05.0)( ?BCP
03.0)( ?AB CP
1) )( CBAP )( CBAP ?? ))(( CBAP ???
)()( ACABPAP ???
)()()()( AB CPACPABPAP ???? 30.0?
))(( CBAAP ???
?)( CABP )( AB CABP ? )()( AB CPABP ??2) 07.0?
)( CBAP ?? )()()( CPBPAP ???3)
)()()( BCPACPABP ??? )( AB CP?
4) ?)( CBAP )(1 CBAP ????)(1 CBAP? 10.0?
或 ?)( CBAP ?? )(1 CBAP ???
第三节 等 可 能 概 型
1,定义：设随机试验 E 满足如下两个条件
1) 样本空间 S 中样本点的总数有限
2) 每个样本点出现的可能性相同
2,计算公式 由于每个基本事件是互不相容的
?1
})({})({})({ 21 nePePeP ???? ?
)(SP }){}{}({ 21 neeeP ?????
neP i
1})({ ??
事件 A 中含有 k 个基本事件 }{}{}{ 21 keeeA ?????
故有
)(AP }){}{}({ 21 keeeP ????
n
k? ?
A中样本点的个数
S中样本点的个数
例 1,
?S 55P 120?
?)( AP
一部五卷本的手册按任意次序放到书架上,
问按顺序放的概率是多少？
解,
则样本空间包含的样本点数为
设事件 A =,按顺序排放”
60
1?
120
2
例 2,在 1 到 100 的整数中任取一数,
求 1) 它即能被 2 又能被 5 整除的概率 ;
2) 它能被 2 或者能被 5 整除的概率 ;
解, 设 A =,能被 2 整除” B =,能被 5 整除”
100?S nmABP ?)()1 ?
100
10
1.0?
)()2 BAP ? )()()( ABPBPAP ??? 6.0?
例 3,某教研室共有 11 名教师,其中男教师 7 人,现
在要选 3 名优秀教师,问其中至少有一女教师概率
解, (方法一 )
设 A =, 3 名优秀教师中至少有一名女教师”
=, 3 名优秀教师中恰有 名女教师” iA i
则 ?A
321 AAA ?? 两两互不相容且 321,,AAA
?)( AP )()()( 321 APAPAP ??
方法二 设 A =, 3 名优秀教师全是男教师”
?)( AP )(1 AP?
?
311C
2714CC
?
311C
1724 CC
?
311C
0734CC
?? 1 311C
37C
788.0?
788.0?
例 4,将两封信随机的投入四个邮筒,
求, 1) 前两个邮筒中没有信的概率
2) 第一个邮筒中只有一封信的概率
解, 设 A =,前两个邮筒中没有信”
B =,第一个邮筒中只有一封信”
思考题, 平分赌金的问题
?)( AP1)
44?
22?
4
1?
2) ?)( BP
44?
12C
8
3?13C?
例 5,一口袋中装有 10只球,其中 6只蓝球,4 只红球
现从袋中取球两次,每次随机的取一只,分别按有
放回和无放回两种方式取球,就以上两种情况求,
1) 取到的两只都是蓝球的概率 ;
2) 取到两只球颜色相同的概率
3) 取到的两只球中至少有一只是蓝球的概率
解, 设 A=,两只球都是蓝球” B=,两只球都是红
球” C =,取到的两只球中至少有一只是蓝球”
a) 有放回的抽样
?)( AP 259?
1010 ?
66?
?)( BP 254?
1010 ?
44?
)(AP
)( BAP ? )(BP
??AB? 0)( ?? ABP
25
9)( ?AP
25
4)( ?BP 0)( ?ABP
?)( BAP ?2) )()()( ABPBPAP ??
25
13?
?)( AP
)(1 BP???)(CP3) )(BP
25
21?
b) 无放回的抽样
?)( BP
910?
56?
910?
34?1)
3
1?
15
2?
?)( BAP ?2) )()()( ABPBPAP ??
15
7?
)(1 BP???)(CP3) )(BP
15
13?
例 6,
思考与练习,
一、选择题
1,设 BA,,为任意的两个随机事件
)()()( BPA PA ?
解, )( ABAP ??)( BAP ?
A AB ??
)()()( ABPAPBA P ????
C)( BA P )()( ??有
)()()()( ABPBPA PB ??
)()()( ABPA PC ?
)()()()( BAPBPA PD ??
2.,,??ABBA 即互斥与事件设
)()()()()( ABPBAPBPBA PA ??
解,
)( AP ?又
0)( ?? AB P
D)(则下列结论正确的是 ( )
)()()()()( APBAPBPBA PB ??
)()()()()( APBAPBPBA PC ??
)()()()()( APBAPBPBA PD ??
,,??ABBA 即互斥与?
)( ABBAP ?? )()( ABPBAP ??
)( BAP? )()( BPBAP?
))(1)(( BPBAP ??
3.,0)( ?AP事件设
)()()()()( BPAPAPAB PA ??
解, )( ABP?
C)(则下列结论正确的是 ( )
)()()( BAPBPAP ????
)()()()()( BPAPAPAB PB ??
)()()()()( BPAPAPAB PC ??
)()()()()( BPAPAPAB PD ??
)()( APAB P?
由于 1)(0 ?? BAP ?
)()( APAB P? 1)()( ??? BPAP
)( BP?
)()( BPAP ??
任课教师,李金玉
电 话,3885761
天才 在 于 勤 奋,
知识 在 于 积 累,
概率论与数理统计
引 言
一、内容与学时
第一章 概率论的基本概念 8 学时
第二章 随机变量及其分布 8 学时
第三章 多维随机变量及其分布 6 学时
第四章 随机变量的数字特征 7 学时
第五章 大数定理及中心极限定理 3 学时
第六章 样本及抽样分布 3 学时
第七章 参数估计 学时
第八章 假设检验 8 学时
合计,48 学时
概
率
论
数
理
统
计
总复习 4 学时
二、研究内容
分析现象,
向上抛一石子
相同条件下，抛同一枚硬币
(必然下落 )
(可正可负 )
确定性现象
大量实验后,具有规律性 (随机现象 )
概率论与数理统计是研究与揭示 随机现象
统计规律性 的一门数学学科。
请看,福尔摩斯破译密码
三,如何学习概率统计?
1.认识其重要性,培养浓厚的学习兴趣
2,学数学最好的方式是做数学 读、听、作
在科学上没有平坦的大道,
只有不畏劳苦沿着陡峭山路攀登
的人,才有希望到达光辉的顶点, 马克思
3,学习要求,
予习 听课 (记笔记 ) 复习、巩固
第一节 基 本 概 念
一、引例
1,相同的条件下，抛同一枚硬币,观察结果
(1) 抛一次 (3) 抛三次,(2) 抛三次 出现正的次数
结果, ??S)1( 正,反 ?
??S)2( 正正正,??正正反,正反正,
??S)3( ?3,2,1,0
2,抛一枚骰子，观察出现的点数
3,在一批灯泡中任意的抽取一只，测试它的寿命
4,记录某一地区一昼夜的最高温度和最低温度
5,记录电话交换台一分钟内接到的呼唤次数
?? 6,5,4,3,2,1?S
样本空间, 所有可能结果组成的集合
样本点, 样本空间中的元素
随机试验, (1) 可以相同情况下重复的进行
(2) 试验结果具有多种可能性
(3) 试验前不确定会出现哪种情况,
但可以知 道出现的所有可能结果
(记作 E )
(记作 S)
随机事件, 试验 E 的样本空间 S 的子集
基本事件, 由一个样本点组成的单点集合
必然事件, 在每次试验中总是发生
事件发生, 在试验中,事件中的一个样本点出现
不可能事件, 在每次试验中都不发生, (记作 ) ?
SSS
二、事件间的关系及事件的运算
B
A
A
BA?
B
A
B
BA?
1,BA ?
Ax? Bx?
即事件 A 发生 必
导致事件 B 发生
2,积运算 BA?
Ax?
即事件 A 与事件
B 同时 发生
Bx?且
3,和运算 BA?
Ax?
即事件 A 与事件
B 至少一个 发生
Bx?或
SS
二、事件间的关系及事件的运算
S
A
B
B
A
4,差事件 BA?
Ax?
即事件 A 发生
且事件 B 不发生
5.互不相容 (互斥 )
??BA ?
即事件 A 与事件
B 不能 同时 发生
6.对立事件 (互逆 )
SBA ??Bx?且
B
A
ABABA ???
BA?
基本事件互斥
且 ??BA ?
事件 AB 必有且
仅有一个发生
事件运算规律
1,交换律 ABBA ?? ? ABBA ?? ?
2,结合律 )( CBA ?? CBA ?? )(?
)( CBA ?? CBA ?? )(?
3,分配律 )( CBA ?? )()( CABA ????
)( CBA ?? )()( CABA ????
4,德摩根律 BA ? BA ??
BA ? BA ??
例 1,设 A,B,C 表示三个事件,试表示下列事件
(1) A 发生,B 与 C 不发生
(2) A 与 B 发生,C 不发生
(3) A,B 与 C 都发生
(4) A,B 与 C 至少有一个发生
(5) A,B 与 C 全不发生
(6) A,B 与 C 至少有两个发生
思考, 判断
??AB(1) 若 且,AC ? 则 ??BC
,AB ?(2) 若 则 BBA ??
)( CBA
)( CAB
)( A BC
)( CBA ??
)( CBA
?A B C( )CABCBABCA ??
思考题,
1873年，英国学者沈克士公布了一个 π 的数值，
它的数目在小数点后一共有 707 位之多 ! 但是,经
你能猜出他怀疑的理由吗?
过了几十年后,曼彻斯特的费树生对它产生了怀疑
原因是他统计了 π 的 608 位小数，得到下面的表,
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
出现次数 60 62 67 68 64 56 62 44 58 67
数字
答, 各数码出现的频率应都接近于 0.1,或者说它
们出现的次数应近似相等,
44
但是 7出现的次数过少
第二节 频率与概率
一、频率
E S设随机试验 的样本空间为, 在相同条件下,
An n进行 次重复独立试验，要在这 次试验中事件
An发生了 次,n
nA则比值 称为事件发生的频率，记
)( Af n作
性质,1)(0)1 ?? Af
n 1)()2 ?Sf n
则两两不相容若,,)3 21 kAAA ?
?)( 21 kn AAAf ???? )( 1Af n )( 2Af n? )( kn Af?? ?
下面引出概率的定义
历史上著名的统计学家蒲丰和皮尔逊曾进行过
大量掷硬币的试验，所得结果如下,
试验者
蒲丰
皮尔逊
皮尔逊
次数 正面的次数 正面的频率
4040 2048 0.5069
12000 6019 0.5016
24000 12012 0.5005
)( Afn
增大n 常数 P (0.5) (统计规律性 )
揭示了事件发生的可能性
请看, 掷骰子试验 高尔顿订板试验
街头赌博
二、概率
E S设随机试验 的样本空间为, 1,定义 对于 E 中
的每一个事件 A 赋予一个实数,记为 P(A),称为事
件 A 的概率
2,性质
0)()1 ?A P 1)()2 ?S P
则是两两互不相容的事件若,,)3 21 ?AA
?)( 21 ??? AAP )( 1AP )( 2AP? ?? (可列可加性 )
,)4 BA ?若 )()()( APBPABP ???则有
证, BA ?? )( ABAB ??? ?
0)( ??P
有限可加性
?? )( BP )()( ABPAP ?? )()( APBP ?
可推广到多个事件的情形, 如三个事件
5)
SAA ??? ??AA
)(SP
)(1)( APAP ??有A对于任一事件,
证,
可证 ?1 )( AAP ?? )()( APAP ??
6) BA,对于任意的事件,都有
)()()()( ABPBPAPBAP ????
证, )( ABBABA ?? ???
??? )( ABBA BAB ?
?? )( BAP ?
)( AP? )()( ABPBP ??
)()( ABBPAP ??
)()()()( 321321 APAPAPAAAP ?????
)()()()( 321323121 AAAPAAPAAPAAP ????
例 1,已知 )()(,5.0)()( BAPABPBPAP ??? 证明
?)( BAP证明, )( BAP ? )(1 BAP ???
)()()(1 ABPBPAP ???? )( ABP?
例 2,已知,25.0)()()( ??? CPBPAP 1 2 5.0)( ?ACP
,0)()( ?? BCPABP 求 ABC 中至少有一个发生
解, ?)( CBAP ?? )()()( CPBPAP ??
)()()( BCPACPABP ??? )( AB CP?
ABAB C ?? )()( ABPA B CP ?? 0?
0)( ?? AB CP
?? )( CBAP ?? 125.075.0 ? 625.0?
例 3.,6.0)( ?AP 7.0)( ?BP设 AB 是两个事件,且
问, )( ABP(1) 在什么条件下 取得最大值,并求出
)( ABP(2) 在什么条件下 取得最小值,并求出
)()()()( ABPBPAPBAP ????
)()()()( BAPBPAPABP ????
解, 由
得
)( BAP ? )( ABP
?)( BAP ?
?? )( ABP
1) 当 最小时,达到最大值
BA ?当 时,7.0)( ?BP 最小
7.07.06.0 ?? 6.0? 最大
)( BAP ? )( ABP
1)( ?BAP ?
?? )( ABP
2) 当 最大时,达到最小值
,时当 SBA ?? 最大
17.06.0 ?? 3.0? 最小
,1)()( ?? BPAP
例 4,CBA,,某地发行 三种报纸,A已知订阅 报的
45％,订阅 B 报的 35%,订阅 C 报的 30%,同时订
阅 AB 报的 10％,AC 报的 8％,BC 报的 5%,ABC
报的 3％,现任取一市民，试求下列事件的概率,
(1) 只订 A 报 (2) 只订 AB 报
(3) 至少订一种报
(4) 不订任何报
,45.0)( ?AP,35.0)( ?BP 30.0)( ?CP
10.0)( ?ABP 08.0)( ?ACP 05.0)( ?BCP
03.0)( ?AB CP
解：设 分别用 ABC表示市民订 A报,B报,C报的事件
由题意
)( CBAP )( CABP
)( CBAP ??
)( CBAP 或 )( CBAP ??
已知,,45.0)( ?AP,35.0)( ?BP 30.0)( ?CP
10.0)( ?ABP08.0)( ?ACP 05.0)( ?BCP
03.0)( ?AB CP
1) )( CBAP )( CBAP ?? ))(( CBAP ???
)()( ACABPAP ???
)()()()( AB CPACPABPAP ???? 30.0?
))(( CBAAP ???
?)( CABP )( AB CABP ? )()( AB CPABP ??2) 07.0?
)( CBAP ?? )()()( CPBPAP ???3)
)()()( BCPACPABP ??? )( AB CP?
4) ?)( CBAP )(1 CBAP ????)(1 CBAP? 10.0?
或 ?)( CBAP ?? )(1 CBAP ???
第三节 等 可 能 概 型
1,定义：设随机试验 E 满足如下两个条件
1) 样本空间 S 中样本点的总数有限
2) 每个样本点出现的可能性相同
2,计算公式 由于每个基本事件是互不相容的
?1
})({})({})({ 21 nePePeP ???? ?
)(SP }){}{}({ 21 neeeP ?????
neP i
1})({ ??
事件 A 中含有 k 个基本事件 }{}{}{ 21 keeeA ?????
故有
)(AP }){}{}({ 21 keeeP ????
n
k? ?
A中样本点的个数
S中样本点的个数
例 1,
?S 55P 120?
?)( AP
一部五卷本的手册按任意次序放到书架上,
问按顺序放的概率是多少？
解,
则样本空间包含的样本点数为
设事件 A =,按顺序排放”
60
1?
120
2
例 2,在 1 到 100 的整数中任取一数,
求 1) 它即能被 2 又能被 5 整除的概率 ;
2) 它能被 2 或者能被 5 整除的概率 ;
解, 设 A =,能被 2 整除” B =,能被 5 整除”
100?S nmABP ?)()1 ?
100
10
1.0?
)()2 BAP ? )()()( ABPBPAP ??? 6.0?
例 3,某教研室共有 11 名教师,其中男教师 7 人,现
在要选 3 名优秀教师,问其中至少有一女教师概率
解, (方法一 )
设 A =, 3 名优秀教师中至少有一名女教师”
=, 3 名优秀教师中恰有 名女教师” iA i
则 ?A
321 AAA ?? 两两互不相容且 321,,AAA
?)( AP )()()( 321 APAPAP ??
方法二 设 A =, 3 名优秀教师全是男教师”
?)( AP )(1 AP?
?
311C
2714CC
?
311C
1724 CC
?
311C
0734CC
?? 1 311C
37C
788.0?
788.0?
例 4,将两封信随机的投入四个邮筒,
求, 1) 前两个邮筒中没有信的概率
2) 第一个邮筒中只有一封信的概率
解, 设 A =,前两个邮筒中没有信”
B =,第一个邮筒中只有一封信”
思考题, 平分赌金的问题
?)( AP1)
44?
22?
4
1?
2) ?)( BP
44?
12C
8
3?13C?
例 5,一口袋中装有 10只球,其中 6只蓝球,4 只红球
现从袋中取球两次,每次随机的取一只,分别按有
放回和无放回两种方式取球,就以上两种情况求,
1) 取到的两只都是蓝球的概率 ;
2) 取到两只球颜色相同的概率
3) 取到的两只球中至少有一只是蓝球的概率
解, 设 A=,两只球都是蓝球” B=,两只球都是红
球” C =,取到的两只球中至少有一只是蓝球”
a) 有放回的抽样
?)( AP 259?
1010 ?
66?
?)( BP 254?
1010 ?
44?
)(AP
)( BAP ? )(BP
??AB? 0)( ?? ABP
25
9)( ?AP
25
4)( ?BP 0)( ?ABP
?)( BAP ?2) )()()( ABPBPAP ??
25
13?
?)( AP
)(1 BP???)(CP3) )(BP
25
21?
b) 无放回的抽样
?)( BP
910?
56?
910?
34?1)
3
1?
15
2?
?)( BAP ?2) )()()( ABPBPAP ??
15
7?
)(1 BP???)(CP3) )(BP
15
13?
例 6,
思考与练习,
一、选择题
1,设 BA,,为任意的两个随机事件
)()()( BPA PA ?
解, )( ABAP ??)( BAP ?
A AB ??
)()()( ABPAPBA P ????
C)( BA P )()( ??有
)()()()( ABPBPA PB ??
)()()( ABPA PC ?
)()()()( BAPBPA PD ??
2.,,??ABBA 即互斥与事件设
)()()()()( ABPBAPBPBA PA ??
解,
)( AP ?又
0)( ?? AB P
D)(则下列结论正确的是 ( )
)()()()()( APBAPBPBA PB ??
)()()()()( APBAPBPBA PC ??
)()()()()( APBAPBPBA PD ??
,,??ABBA 即互斥与?
)( ABBAP ?? )()( ABPBAP ??
)( BAP? )()( BPBAP?
))(1)(( BPBAP ??
3.,0)( ?AP事件设
)()()()()( BPAPAPAB PA ??
解, )( ABP?
C)(则下列结论正确的是 ( )
)()()( BAPBPAP ????
)()()()()( BPAPAPAB PB ??
)()()()()( BPAPAPAB PC ??
)()()()()( BPAPAPAB PD ??
)()( APAB P?
由于 1)(0 ?? BAP ?
)()( APAB P? 1)()( ??? BPAP
)( BP?
)()( BPAP ??
