线性代数
讲课教师, 理学院数学系 李金玉
电话, 3885761
第一章 消元法
1 矩阵及其初等变换
2 消元法
第一节 矩阵及其初等变换
引例 A,B,C,D四地有直航班如图
A C
D
B
两地有航班用 1表示,
无航班用 0表示。
一、基本概念
0 1 1 0
1 0 1 0
1 0 0 1
0 1 1 0
A
B
C
D
A B C D
1.矩阵的定义
定义 1 由 m× n个数
ija
(I=1,2,…,m ; j=1,2,…,n)
排成的 m行 n列数表
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mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
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???
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?
21
22221
11211
称为 m行 n列矩阵,简称为 m× n矩阵,记为 ? ?
nmija ?
矩阵通常用大写的英文字母 A,B,C等表示。 称
ija
为矩阵 A的第 i行第 j列元素。
（ 1）当 m=1时，矩阵只有一行，称为行矩阵，即
? ?naaaA 11211 ??
（ 2）当 n=1时，矩阵只有一列，称为列矩阵，即
?
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1
21
11
n
a
a
a
A
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（ 3）当 m=n时，称 A为 n阶矩阵或 n阶方阵。
例 1,设 ??
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???
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143
712
A ??
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???
??
87
53
B
则 A是一个 2× 3矩阵,B是一个 2阶方阵,
A的（ 2,3）元是 1。
下面介绍几种常用的特殊矩阵,
（ 1） 元素全为零的矩阵称为零矩阵，记作 O；
以外元素全为零的方阵，即形如
（ 2）主对角线上的元素不全为零，而主对角线
的矩阵称为 对角矩阵 记为
).,,,(d i a g n???? ?21?
例如
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???
300
000
005
305 ),,(d i ag?
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n
2
1
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（ 3）对角线上元素全为 1的 n阶对角矩阵,
nn
1
1
1
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称为 n阶单位矩阵。 记为 E
（ 4）形如
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nn
n222
n11211
a
aa
aaa
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的方阵,称为上三角阵,
(5)形如
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nn2n1n
2221
11
aaa
aa
a
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???
的方阵,
称为下三角矩阵。
2.两个矩阵相等
定义 2.若矩阵 ? ?
nmijaA ??
与 ? ?
nmijbB ??
的所有对应
即 ijij ba ? （ I=1,2,…, m； j=1,2,…, n）,
则称这两个 矩阵相等，记作 A=B。
元素相等
3.矩阵的初等变换
定义 3 下列三种变换称为矩阵的 初等变换
1.对调矩阵的任意两行元素，记作
ji rr ? ??
2.用数 k )0k( ? 乘矩阵的某行所有元素，记作
kri ?
3.用数 k 乘矩阵中某行的每个元素后加到
另一行的对应元素上去,记作
ji krr ?
将定义中的,行”换成“列”,就得到矩阵的初等列
变 换的定义,将,r”换成,c”,就得到列变换的表示方
法, 矩阵的初等行变换与初等列变换,统称为 矩阵的初
等变换,
如果矩阵 A经过有限次初等变换变成矩阵 B,则称
矩阵 A与 B等价,记作,BA ?
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0000
1000
2030
7532
A
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5000
4210
3623
B
上述两个矩阵具有如下特点,
（ 1）每个台阶上只有一行；
（ 2）每个台阶的第一个数不等于零；
（ 3）台阶左下方的元素全为零。
具有以上三个特点的矩阵称为 行阶梯形矩阵。
再观察以下两个阶梯形矩阵,
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0000
1000
0100
0021
A
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00000
21000
30310
10201
B
这两个阶梯形矩阵都具有如下特点,
（ 4）每个台阶上的第一个数都是 1,并且这些 1
所在列的其它元素全为零。
具有特点（ 4）的行阶梯形矩阵称为 行最简阶
梯形矩阵。
定理 1.1.1 每个矩阵都可以经过有限次初等行变
换化为行阶梯形矩阵,进而化为行最简阶梯形矩阵。
例 2试用初等行变换将
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46333
34012
21121
26000
A
化为行阶梯形,进而化为行最 简阶梯形矩阵。
解
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46333
34012
26000
21121
A
21
rr
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23690
12230
26000
21121
14
13
r3r
r2r
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23690
26000
12230
21121
32 rr
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13000
26000
12230
21121
24 r3r
B
00000
26000
12230
21121
34
r
2
1
r
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继续使用初等行变换，将 B化为行最简阶梯形矩阵,
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00000
1000
12230
21121
B
3
1
r
6
1
3
?
?
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?
?
?
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?
?
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??
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00000
1000
0230
0121
3
1
3
1
3
7
rr
r2r
31
32
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?
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??
? ??
00000
1000
010
0121
3
1
9
1
3
2
3
7
r
3
1
2
?
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?
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?? ??
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00000
1000
010
001
3
1
9
1
3
2
9
19
3
1
r2r 21
注,矩阵的初等变换是可逆的
BA ji rr ?? ?? ?
?? ?? ? ji rr
BA )0k(kr i ??? ?? ??
?? ??
? k1r i
BA ji krr ?? ?? ?
?? ?? ? ji krr
作业,
P17 1; 2; 4 (1); (2)
第二节 消元法
设有 n个未知量
nx,,x,x ?21
的线性方程组
?
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?
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????
????
????
mnmn22m11m
2nn2222121
1nn1212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
?
????
?
?
（ 1.1）
当右端 不全为零时,称为 非齐次线性方程组 。
若存在
nn2211 cx,,cx,cx ??? ?使每个方程成为恒等式，称（ 1.1） 有解或相容,
否则称为 无解或不相容 。
当右端全为 0时称为 齐次线性方程组 。
如果给定的方程组（ 1.1）为非齐次线性方程组,
把右端常数全换为 0得到的齐次线性方程组,
?
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????
????
????
0xaxaxa
0xaxaxa
0xaxaxa
nmn22m11m
nn2222121
nn1212111
?
???
?
?
（ 1.2）
称之为（ 1.1）的 导出齐次线性方程组 。
由线性方程组（ 1.1）的系数组成的矩阵
?
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?
?
?
?
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?
?
?
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mn2m1m
n22221
n11211
aaa
aaa
aaa
A
?
???
?
?
称之为方程组（ 1.1）的
系数矩阵。
由方程组（ 1.1）的系数与常数项组成的矩阵
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
mmn2m1m
2n22221
1n11211
baaa
baaa
baaa
B
?
???
?
?
称之为方程组（ 1.1）的
增广矩阵。
线性方程组与它的增广矩阵是一一对应的。
?
?
?
?
?
???
???
???
2x4xx4
1x2xx
4x2xx2
321
321
321
例如 是非齐次方程组,
它的系数矩阵和增广矩阵分别为
?
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?
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?
?
?
?
? ?
414
211
212
?
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?
?
?
?
?
?
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2414
1211
4212
导出方程组为
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?
?
???
???
???
044
02
022
321
321
321
xxx
xxx
xxx
下列三种变换称为方程组的三种 初等变换,
（ 1）两个方程互换位置；
（ 2）用一个非零数 k乘某个方程；
（ 3）某个方程的 k倍加到另一个方程上去。
例 1 解线性方程组
?
?
?
?
?
???
???
???
)3(244
)2(12
)1(422
321
321
321
xxx
xxx
xxx
解 注意方程组的初等变换与增广矩阵的联系。
?
?
?
?
?
???
???
???
2x4xx4
1x2xx
4x2xx2
321
321
321
?
?
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?
?
?
?
? ?
2414
1211
4212
互换（ 1）与（ 2）的位置得
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???
???
???
2x4xx4
4x2xx2
1x2xx
321
321
321
?
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?
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?
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??? ?? ?
2414
4212
1211
21 rr
（ 2） —（ 1） × 2，（ 3） —（ 1） × 4
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????
???
???
2x4x3
2x2x3
1x2xx
32
32
321
?
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???
???? ??
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2430
2230
1211
13
12
r4r
r2r
?
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???
???
???
4x2
2x2x3
1x2xx
3
32
321
?
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???? ?? ?
4200
2230
1211
23 rr
（阶梯形方程组） （行阶梯形矩阵）
消元过程结束，以下过程称为,回代过程”。
（ 3） × （ -1/2）
?
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???
???
2x
2x2x3
1x2xx
3
32
321
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????? ??
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2100
2230
1211
)
2
1
(r 3
(3)-(2)
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???
2
2
3
3
2
21
x
x
xx
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??? ??
??
2100
2010
3011
3
1
2 )(r
(2) × (-1/3)
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???
2
63
3
3
2
21
x
x
xx
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2100
6030
3011
32
31
r2r
r2r
（ 1） —（ 3） × 2，（ 2） +（ 3） × 2
.x,x,x 221 321 ?????
(1) -(2)
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??
2
2
1
3
2
1
x
x
x
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?? ?? ?
2100
2010
1001
21 rr
回代过程结束,原方程组的解为,
(1)方程组的初等变换与其增广矩阵
的行初等变换一一对应 ;
(2)原方程组与最后一个阶梯形方程
组同解,
注,
(行最简形 )
例 2 解线性方程组
?
?
?
?
?
???
???
???
6x6xx4
1x2xx
2x2x3
321
321
32
解,对增广矩阵 B进行初等行变换
?
?
?
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? ??
?
6614
1211
2230
B
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?
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???? ??
?
6614
2230
1211
21 rr
?
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??
???? ??
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2230
2230
1211
13 r4r
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???? ??
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0000
2230
1211
23 rr
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???? ??
??
0000
10
1211
3
2
3
2
)
3
1
(r 2
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??? ??
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0000
10
01
3
2
3
2
3
5
3
4
rr 21
同解线性方程组为
?
?
?
??
?
?
???
??
3
2
x
3
2
x
3
5
x
3
4
x
32
31
即
?
?
?
??
?
?
???
???
3
2
x
3
2
x
3
5
x
3
4
x
32
31
取,
3 kx ?
则原方程组的所有解为
（ k为任意实数）
?
?
?
?
?
?
???
???
kx
kx
kx
3
3
2
3
2
2
3
5
3
4
1
例 3
?
?
?
?
?
???
??
???
7x2x2x4
6x2x2
1x3xx2
321
31
321
解线性方程组
解,对增广矩阵 B进行初等行变换
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
7224
6202
1312
B
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??? ?? ?
7224
1312
6202
21 rr
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???? ??
?
?
5220
5110
6202
13
12
r2r
rr
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???? ?? ?
15000
5110
620
23 r2r
同解方程组为
?
?
?
?
?
??
????
??
150
5xx
3xx
32
31
出现了矛盾方程,0=-15”,原方程组无解。
小结,线性方程组 ? 增广矩阵
??? ?? 初等行变换
行阶梯形矩阵 ? 同解方程组为,
?
?
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???
?????
??????
?
00
00
d0
dxcxc
dxcxcxc
dxcxcxcxc
1r
rnrnrrr
2nn2rr2222
1nn1rr1212111
???
?
???
??
??
（ 1.3)
其中,0c ii ? 方程组中方程,0=0”表示恒等式。
由 (1.3）可以看出,
（ 1）当 0d 1r ?? 时，方程 组（ 1.1）无解；
（ 2）当 0d 1r ?? 时,方程 组有解，并且此时
1）当 r=n时，方程组（ 1.3）为,
?
?
?
?
?
?
?
?
???
????
nnnn
2nn2222
1nn1212111
dxc
dxcxc
dxcxcxc
???
?
?
故方程组（ 1.1）有唯一解。
2）当 r<n时，方程组（ 1.1）有无穷多解，此时
对方程组（ 1.3）适当移项,得
?
?
?
?
?
?
?
?????
???????
????????
??
??
??
rnrn1r1r,rrrr
2nn21r1r,2rr2222
1nn11r1r,1rr1212111
dxcxcxc
dxcxcxcxc
dxcxcxcxcxc
?
???
??
??
(1.4)
称
n2r1r x,x,x ??? 为自由未知量，给定
n2r1r x,,x,x ??? 一组值，代入（ 1.4）可
唯一得出一组
r21 x,,x,x ?
的值。
这样便得到一组解
nr xxx ??,,,1
由于自由未
知量
n2r1r x,,x,x ???
的取值是任意的,所以方
程组（ 1.1）有无穷多解。
下面是线性方程组（ 1.1）解的判别定理,
定理 1.2.1 设方程组（ 1.1）的增广矩阵 B 经过初
等行变换化为行阶梯形矩阵 T,系数矩阵 A化为
行阶梯形矩阵,
0T 0T
的阶梯数记为 r,
（ 1）当 T的台阶数＞ r时，方程组 无解；
（ 2）当
T的台阶数 =
当方程组（ 1.1）有解时,
1）当 r=n（未知量个数）时，方程组有唯一解；
2）当 r<n时，方程组有无穷多解。
当方程组有解时，继续用初等行变换 将阶梯形
矩阵 T化为行最简形矩阵,然后写出与行最简形
矩阵相对应的同解方程组,
r时，方程组有解,
将行最简阶梯形矩阵每个台阶上的 第一个数所
对应的未知量留在方程的左边,其余的自由未知量
（如果存在的话）移到方程的右边,此时，任给自由
未知量的一组数，代入同解方程组 即得到方程组
的 全部解,又称 通解 。
例 4 解线性方程组
?
?
?
?
?
??????
????
????
4xx3x2x
5xx2x4x2
1x2xx2x
4321
4321
4321
解,对方程组的增广矩阵 B进行初等行变换
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
?
41321
51242
12121
B
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?? ??
?
?
33400
33400
12121
13
12
rr
r2r
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
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?? ??
?
00000
33400
12121
23 rr
?
?
?
?
?
?
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?? ??
?
00000
100
12121
4
3
4
34
1
r 2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??? ??
?
00000
100
021
4
3
4
3
4
7
4
5
rr 21
与最后一个行最简阶梯形矩阵 相对应的同解方程
组为,
?
?
?
??
?
?
??
???
4
3
x
4
3
x
4
7
x
4
5
x2x
43
421
移项得,
?
?
?
??
?
?
??
????
4
3
x
4
3
x
4
7
x
4
5
x2x
43
421
所以原方程组的通解为,
?
?
?
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?
?
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??
?
????
24
23
12
211
kx
4
3
k
4
3
x
kx
4
7
k
4
5
k2x
其中
21 k,k
为任意实数。
由于齐次方程组（ 1.2）总有解 0xxx n21 ???? ?
这个解称为 零解或称为平凡解 。 我们关心的是（ 1.2）
是否有非零解以及解的求法。 由于齐次线性方程组
的常数项全为零,我们只要对其系数矩阵进行初等
行变换即可。由定理 1.2.1可得,
定理 1.2.2 设齐次线性方程组 (1.2)的系数矩阵 A
经过初等行变换化为行阶梯形矩阵
0T
,
0T
的台阶
数记为 r，则
（ 1）当 r=n（ n为未知量个数）时,方程组（ 1.2）只
有零解；
（ 2）当 r<n时，方程组（ 1.2）有无穷多解。
方程组（ 1.2）的无穷多解又称为 非零解 。
例 5 解齐次线性方程组
?
?
?
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????
????
????
0x3xx4x
0x2xx2x2
0xx2x2x
4321
4321
4321
解,对系数矩阵进行初等行变换
?
?
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?
?
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???
???
3141
2122
1221
A
?
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?
?
?
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???
????? ??
?
4360
4360
1221
12 r2r
?
?
?
?
?
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????? ??
?
0000
4360
1221
23 rr
?
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??? ??
??
000
10
1221
3
2
2
1
)
6
1
(r 2
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?? ?? ?
0000
10
101
3
2
2
1
3
1
r2r 21
（行最简阶梯形矩阵）
与行最简阶梯形矩阵相对应的同解方程组为,
?
?
?
??
?
?
???
???
0x
3
2
x
2
1
x
0x
3
1
xx
432
431
移项，得
?
?
?
??
?
?
???
???
432
431
x
3
2
x
2
1
x
x
3
1
xx
原方程组的通解为,
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
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???
???
24
13
212
211
kx
kx
k
3
2
k
2
1
x
k
3
1
kx
21 k,k
为任意实数
例 5 ba,满足什么条件时，下列线性方程组
?
?
?
?
?
???
???
???
0xbx2x
0xbxx
0xxax
321
321
321
有唯一零解？非零解？
解,
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
1b21
1b1
11a
A
?
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?
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?? ?? ?
1b21
11a
1b1
21 rr
?
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???? ?? ?
?
0b0
a1ab10
1b1
13
12
rr
arr
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010
a1ab10
1b1
0b当
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010
a100
101
?
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?
?
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?? ?? ?
a100
010
101
32 rr
所以，当 1a,0b ?? 且 时方程组有唯一零解；
当 1a,0b ?? 或 时方程组有非零解。
作业,
P18 6 (2); (3)
P18 5 (1); (2)
讲课教师, 理学院数学系 李金玉
电话, 3885761
第一章 消元法
1 矩阵及其初等变换
2 消元法
第一节 矩阵及其初等变换
引例 A,B,C,D四地有直航班如图
A C
D
B
两地有航班用 1表示,
无航班用 0表示。
一、基本概念
0 1 1 0
1 0 1 0
1 0 0 1
0 1 1 0
A
B
C
D
A B C D
1.矩阵的定义
定义 1 由 m× n个数
ija
(I=1,2,…,m ; j=1,2,…,n)
排成的 m行 n列数表
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
?
???
?
?
21
22221
11211
称为 m行 n列矩阵,简称为 m× n矩阵,记为 ? ?
nmija ?
矩阵通常用大写的英文字母 A,B,C等表示。 称
ija
为矩阵 A的第 i行第 j列元素。
（ 1）当 m=1时，矩阵只有一行，称为行矩阵，即
? ?naaaA 11211 ??
（ 2）当 n=1时，矩阵只有一列，称为列矩阵，即
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
21
11
n
a
a
a
A
?
（ 3）当 m=n时，称 A为 n阶矩阵或 n阶方阵。
例 1,设 ??
?
?
???
?
?
?
143
712
A ??
?
?
???
??
87
53
B
则 A是一个 2× 3矩阵,B是一个 2阶方阵,
A的（ 2,3）元是 1。
下面介绍几种常用的特殊矩阵,
（ 1） 元素全为零的矩阵称为零矩阵，记作 O；
以外元素全为零的方阵，即形如
（ 2）主对角线上的元素不全为零，而主对角线
的矩阵称为 对角矩阵 记为
).,,,(d i a g n???? ?21?
例如
?
?
?
?
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?
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???
300
000
005
305 ),,(d i ag?
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?
?
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n
2
1
?
?
?
?
（ 3）对角线上元素全为 1的 n阶对角矩阵,
nn
1
1
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
称为 n阶单位矩阵。 记为 E
（ 4）形如
?
?
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?
?
?
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?
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?
?
?
nn
n222
n11211
a
aa
aaa
??
?
?
的方阵,称为上三角阵,
(5)形如
?
?
?
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?
?
?
?
?
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?
nn2n1n
2221
11
aaa
aa
a
?
???
的方阵,
称为下三角矩阵。
2.两个矩阵相等
定义 2.若矩阵 ? ?
nmijaA ??
与 ? ?
nmijbB ??
的所有对应
即 ijij ba ? （ I=1,2,…, m； j=1,2,…, n）,
则称这两个 矩阵相等，记作 A=B。
元素相等
3.矩阵的初等变换
定义 3 下列三种变换称为矩阵的 初等变换
1.对调矩阵的任意两行元素，记作
ji rr ? ??
2.用数 k )0k( ? 乘矩阵的某行所有元素，记作
kri ?
3.用数 k 乘矩阵中某行的每个元素后加到
另一行的对应元素上去,记作
ji krr ?
将定义中的,行”换成“列”,就得到矩阵的初等列
变 换的定义,将,r”换成,c”,就得到列变换的表示方
法, 矩阵的初等行变换与初等列变换,统称为 矩阵的初
等变换,
如果矩阵 A经过有限次初等变换变成矩阵 B,则称
矩阵 A与 B等价,记作,BA ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0000
1000
2030
7532
A
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
5000
4210
3623
B
上述两个矩阵具有如下特点,
（ 1）每个台阶上只有一行；
（ 2）每个台阶的第一个数不等于零；
（ 3）台阶左下方的元素全为零。
具有以上三个特点的矩阵称为 行阶梯形矩阵。
再观察以下两个阶梯形矩阵,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0000
1000
0100
0021
A
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
00000
21000
30310
10201
B
这两个阶梯形矩阵都具有如下特点,
（ 4）每个台阶上的第一个数都是 1,并且这些 1
所在列的其它元素全为零。
具有特点（ 4）的行阶梯形矩阵称为 行最简阶
梯形矩阵。
定理 1.1.1 每个矩阵都可以经过有限次初等行变
换化为行阶梯形矩阵,进而化为行最简阶梯形矩阵。
例 2试用初等行变换将
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
46333
34012
21121
26000
A
化为行阶梯形,进而化为行最 简阶梯形矩阵。
解
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??? ??
? ??
46333
34012
26000
21121
A
21
rr
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?? ??
?
?
23690
12230
26000
21121
14
13
r3r
r2r
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?? ??
?
23690
26000
12230
21121
32 rr
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?? ??
?
13000
26000
12230
21121
24 r3r
B
00000
26000
12230
21121
34
r
2
1
r
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?? ??
?
继续使用初等行变换，将 B化为行最简阶梯形矩阵,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
? ??
00000
1000
12230
21121
B
3
1
r
6
1
3
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?? ??
?
?
00000
1000
0230
0121
3
1
3
1
3
7
rr
r2r
31
32
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
? ??
00000
1000
010
0121
3
1
9
1
3
2
3
7
r
3
1
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?? ??
?
00000
1000
010
001
3
1
9
1
3
2
9
19
3
1
r2r 21
注,矩阵的初等变换是可逆的
BA ji rr ?? ?? ?
?? ?? ? ji rr
BA )0k(kr i ??? ?? ??
?? ??
? k1r i
BA ji krr ?? ?? ?
?? ?? ? ji krr
作业,
P17 1; 2; 4 (1); (2)
第二节 消元法
设有 n个未知量
nx,,x,x ?21
的线性方程组
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
mnmn22m11m
2nn2222121
1nn1212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
?
????
?
?
（ 1.1）
当右端 不全为零时,称为 非齐次线性方程组 。
若存在
nn2211 cx,,cx,cx ??? ?使每个方程成为恒等式，称（ 1.1） 有解或相容,
否则称为 无解或不相容 。
当右端全为 0时称为 齐次线性方程组 。
如果给定的方程组（ 1.1）为非齐次线性方程组,
把右端常数全换为 0得到的齐次线性方程组,
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
0xaxaxa
0xaxaxa
0xaxaxa
nmn22m11m
nn2222121
nn1212111
?
???
?
?
（ 1.2）
称之为（ 1.1）的 导出齐次线性方程组 。
由线性方程组（ 1.1）的系数组成的矩阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mn2m1m
n22221
n11211
aaa
aaa
aaa
A
?
???
?
?
称之为方程组（ 1.1）的
系数矩阵。
由方程组（ 1.1）的系数与常数项组成的矩阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mmn2m1m
2n22221
1n11211
baaa
baaa
baaa
B
?
???
?
?
称之为方程组（ 1.1）的
增广矩阵。
线性方程组与它的增广矩阵是一一对应的。
?
?
?
?
?
???
???
???
2x4xx4
1x2xx
4x2xx2
321
321
321
例如 是非齐次方程组,
它的系数矩阵和增广矩阵分别为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
414
211
212
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
2414
1211
4212
导出方程组为
?
?
?
?
?
???
???
???
044
02
022
321
321
321
xxx
xxx
xxx
下列三种变换称为方程组的三种 初等变换,
（ 1）两个方程互换位置；
（ 2）用一个非零数 k乘某个方程；
（ 3）某个方程的 k倍加到另一个方程上去。
例 1 解线性方程组
?
?
?
?
?
???
???
???
)3(244
)2(12
)1(422
321
321
321
xxx
xxx
xxx
解 注意方程组的初等变换与增广矩阵的联系。
?
?
?
?
?
???
???
???
2x4xx4
1x2xx
4x2xx2
321
321
321
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
2414
1211
4212
互换（ 1）与（ 2）的位置得
?
?
?
?
?
???
???
???
2x4xx4
4x2xx2
1x2xx
321
321
321
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??? ?? ?
2414
4212
1211
21 rr
（ 2） —（ 1） × 2，（ 3） —（ 1） × 4
?
?
?
?
?
????
???
???
2x4x3
2x2x3
1x2xx
32
32
321
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???? ??
?
?
2430
2230
1211
13
12
r4r
r2r
?
?
?
?
?
???
???
???
4x2
2x2x3
1x2xx
3
32
321
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???? ?? ?
4200
2230
1211
23 rr
（阶梯形方程组） （行阶梯形矩阵）
消元过程结束，以下过程称为,回代过程”。
（ 3） × （ -1/2）
?
?
?
?
?
?
???
???
2x
2x2x3
1x2xx
3
32
321
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????? ??
??
2100
2230
1211
)
2
1
(r 3
(3)-(2)
?
?
?
?
?
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??
???
2
2
3
3
2
21
x
x
xx
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??? ??
??
2100
2010
3011
3
1
2 )(r
(2) × (-1/3)
?
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???
2
63
3
3
2
21
x
x
xx
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?
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?
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?? ?? ?
?
2100
6030
3011
32
31
r2r
r2r
（ 1） —（ 3） × 2，（ 2） +（ 3） × 2
.x,x,x 221 321 ?????
(1) -(2)
?
?
?
?
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??
??
2
2
1
3
2
1
x
x
x
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?
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?
?
?
?
?? ?? ?
2100
2010
1001
21 rr
回代过程结束,原方程组的解为,
(1)方程组的初等变换与其增广矩阵
的行初等变换一一对应 ;
(2)原方程组与最后一个阶梯形方程
组同解,
注,
(行最简形 )
例 2 解线性方程组
?
?
?
?
?
???
???
???
6x6xx4
1x2xx
2x2x3
321
321
32
解,对增广矩阵 B进行初等行变换
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ??
?
6614
1211
2230
B
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???? ??
?
6614
2230
1211
21 rr
?
?
?
?
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?
?
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?
??
???? ??
?
2230
2230
1211
13 r4r
?
?
?
?
?
?
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???? ??
?
0000
2230
1211
23 rr
?
?
?
?
?
?
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???? ??
??
0000
10
1211
3
2
3
2
)
3
1
(r 2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??? ??
?
0000
10
01
3
2
3
2
3
5
3
4
rr 21
同解线性方程组为
?
?
?
??
?
?
???
??
3
2
x
3
2
x
3
5
x
3
4
x
32
31
即
?
?
?
??
?
?
???
???
3
2
x
3
2
x
3
5
x
3
4
x
32
31
取,
3 kx ?
则原方程组的所有解为
（ k为任意实数）
?
?
?
?
?
?
???
???
kx
kx
kx
3
3
2
3
2
2
3
5
3
4
1
例 3
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?
?
?
???
??
???
7x2x2x4
6x2x2
1x3xx2
321
31
321
解线性方程组
解,对增广矩阵 B进行初等行变换
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
7224
6202
1312
B
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?
?
?
?
?
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?
?
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??? ?? ?
7224
1312
6202
21 rr
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?
?
?
?
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???? ??
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5220
5110
6202
13
12
r2r
rr
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
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???? ?? ?
15000
5110
620
23 r2r
同解方程组为
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?
?
?
?
??
????
??
150
5xx
3xx
32
31
出现了矛盾方程,0=-15”,原方程组无解。
小结,线性方程组 ? 增广矩阵
??? ?? 初等行变换
行阶梯形矩阵 ? 同解方程组为,
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???
?????
??????
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00
00
d0
dxcxc
dxcxcxc
dxcxcxcxc
1r
rnrnrrr
2nn2rr2222
1nn1rr1212111
???
?
???
??
??
（ 1.3)
其中,0c ii ? 方程组中方程,0=0”表示恒等式。
由 (1.3）可以看出,
（ 1）当 0d 1r ?? 时，方程 组（ 1.1）无解；
（ 2）当 0d 1r ?? 时,方程 组有解，并且此时
1）当 r=n时，方程组（ 1.3）为,
?
?
?
?
?
?
?
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???
????
nnnn
2nn2222
1nn1212111
dxc
dxcxc
dxcxcxc
???
?
?
故方程组（ 1.1）有唯一解。
2）当 r<n时，方程组（ 1.1）有无穷多解，此时
对方程组（ 1.3）适当移项,得
?
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?
?
?
?
?
?????
???????
????????
??
??
??
rnrn1r1r,rrrr
2nn21r1r,2rr2222
1nn11r1r,1rr1212111
dxcxcxc
dxcxcxcxc
dxcxcxcxcxc
?
???
??
??
(1.4)
称
n2r1r x,x,x ??? 为自由未知量，给定
n2r1r x,,x,x ??? 一组值，代入（ 1.4）可
唯一得出一组
r21 x,,x,x ?
的值。
这样便得到一组解
nr xxx ??,,,1
由于自由未
知量
n2r1r x,,x,x ???
的取值是任意的,所以方
程组（ 1.1）有无穷多解。
下面是线性方程组（ 1.1）解的判别定理,
定理 1.2.1 设方程组（ 1.1）的增广矩阵 B 经过初
等行变换化为行阶梯形矩阵 T,系数矩阵 A化为
行阶梯形矩阵,
0T 0T
的阶梯数记为 r,
（ 1）当 T的台阶数＞ r时，方程组 无解；
（ 2）当
T的台阶数 =
当方程组（ 1.1）有解时,
1）当 r=n（未知量个数）时，方程组有唯一解；
2）当 r<n时，方程组有无穷多解。
当方程组有解时，继续用初等行变换 将阶梯形
矩阵 T化为行最简形矩阵,然后写出与行最简形
矩阵相对应的同解方程组,
r时，方程组有解,
将行最简阶梯形矩阵每个台阶上的 第一个数所
对应的未知量留在方程的左边,其余的自由未知量
（如果存在的话）移到方程的右边,此时，任给自由
未知量的一组数，代入同解方程组 即得到方程组
的 全部解,又称 通解 。
例 4 解线性方程组
?
?
?
?
?
??????
????
????
4xx3x2x
5xx2x4x2
1x2xx2x
4321
4321
4321
解,对方程组的增广矩阵 B进行初等行变换
?
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?
?
?
?
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????
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41321
51242
12121
B
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?? ??
?
?
33400
33400
12121
13
12
rr
r2r
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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00000
33400
12121
23 rr
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?? ??
?
00000
100
12121
4
3
4
34
1
r 2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??? ??
?
00000
100
021
4
3
4
3
4
7
4
5
rr 21
与最后一个行最简阶梯形矩阵 相对应的同解方程
组为,
?
?
?
??
?
?
??
???
4
3
x
4
3
x
4
7
x
4
5
x2x
43
421
移项得,
?
?
?
??
?
?
??
????
4
3
x
4
3
x
4
7
x
4
5
x2x
43
421
所以原方程组的通解为,
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?
?
?
?
?
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??
?
????
24
23
12
211
kx
4
3
k
4
3
x
kx
4
7
k
4
5
k2x
其中
21 k,k
为任意实数。
由于齐次方程组（ 1.2）总有解 0xxx n21 ???? ?
这个解称为 零解或称为平凡解 。 我们关心的是（ 1.2）
是否有非零解以及解的求法。 由于齐次线性方程组
的常数项全为零,我们只要对其系数矩阵进行初等
行变换即可。由定理 1.2.1可得,
定理 1.2.2 设齐次线性方程组 (1.2)的系数矩阵 A
经过初等行变换化为行阶梯形矩阵
0T
,
0T
的台阶
数记为 r，则
（ 1）当 r=n（ n为未知量个数）时,方程组（ 1.2）只
有零解；
（ 2）当 r<n时，方程组（ 1.2）有无穷多解。
方程组（ 1.2）的无穷多解又称为 非零解 。
例 5 解齐次线性方程组
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?
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????
????
????
0x3xx4x
0x2xx2x2
0xx2x2x
4321
4321
4321
解,对系数矩阵进行初等行变换
?
?
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?
?
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?
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???
???
3141
2122
1221
A
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?
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???
????? ??
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4360
4360
1221
12 r2r
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0000
4360
1221
23 rr
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000
10
1221
3
2
2
1
)
6
1
(r 2
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?? ?? ?
0000
10
101
3
2
2
1
3
1
r2r 21
（行最简阶梯形矩阵）
与行最简阶梯形矩阵相对应的同解方程组为,
?
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??
?
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???
???
0x
3
2
x
2
1
x
0x
3
1
xx
432
431
移项，得
?
?
?
??
?
?
???
???
432
431
x
3
2
x
2
1
x
x
3
1
xx
原方程组的通解为,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
24
13
212
211
kx
kx
k
3
2
k
2
1
x
k
3
1
kx
21 k,k
为任意实数
例 5 ba,满足什么条件时，下列线性方程组
?
?
?
?
?
???
???
???
0xbx2x
0xbxx
0xxax
321
321
321
有唯一零解？非零解？
解,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1b21
1b1
11a
A
?
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?
?
?
?
?
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?
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?? ?? ?
1b21
11a
1b1
21 rr
?
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???? ?? ?
?
0b0
a1ab10
1b1
13
12
rr
arr
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?
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???? ?? ?
010
a1ab10
1b1
0b当
?
?
?
?
?
?
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?
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??
010
a100
101
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?? ?? ?
a100
010
101
32 rr
所以，当 1a,0b ?? 且 时方程组有唯一零解；
当 1a,0b ?? 或 时方程组有非零解。
作业,
P18 6 (2); (3)
P18 5 (1); (2)
