引 言
一、什么是高等数学?
初等数学 — 研究对象为 常量,以静止观点研究问题,
高等数学 — 研究对象为 变量,运动 和 辩证法 进入了数学,
数学中的 转折点 是 笛卡儿 的 变数,
有了变数,运动 进入了数学,
有了变数,辩证法 进入了数学,
有了变数,微分和积分 也就立刻成
为必要的了,而它们也就立刻产生, 恩格斯
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引 言
一、什么是高等数学?
初等数学 — 研究对象为 常量,以静止观点研究问题,
高等数学 — 研究对象为 变量,运动 和 辩证法 进入了数学,
数学中的 转折点 是 笛卡儿 的 变数,
有了变数,运动 进入了数学,
有了变数,辩证法 进入了数学,
有了变数,微分和积分 也就立刻成
为必要的了,而它们也就立刻产生, 恩格斯
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1,分析基础, 函数,极限,连续
2,微积分学, 一元微积分 (上册 )
(下册 )
3,向量代数与空间解析几何
4,无穷级数
5,常微分方程
主要内容
多元微积分
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二、如何学习高等数学?
1,认识高等数学的重要性,培养浓厚的学习兴趣,
2,学数学最好的方式是做数学,
聪明在于学习,天才在于积累,
学而优则用,学而优则创,
由薄到厚,由厚到薄,
马克思
恩格斯
要辨证而又唯物地了解自然,
就必须熟悉数学,
一门科学,只有当它成功地运用数学时,
才能达到真正完善的地步,
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华罗庚
第一章
分析基础
函数
极限
连续
— 研究对象
— 研究方法
— 研究桥梁
函数与极限
第一章
二、映射
三、函数
一、集合
第一节
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映射与函数
元素 a 属于集合 M,记作
元素 a 不属于集合 M,记作
一,集合
1,定义及表示法
定义 1,具有某种特定性质的事物的总体称为 集合,
组成集合的事物称为 元素,
不含任何元素的集合称为 空集,记作 ?,
Ma ? ( 或 Ma? ),
.Ma?
注, M 为数集
*M 表示 M 中排除 0 的集 ;
?M 表示 M 中排除 0 与负数的集,
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表示法,
(1) 列举法,按某种方式列出集合中的全体元素,
例, 有限集合 ? ?naaaA,,,21 ?? ? ? niia 1??
自然数集 ? ???,,,2,1,0N n? ? ?n?
(2) 描述法,? ? xM ? x 所具有的特征
例, 整数集合 ? ? Z x?N?x 或 ??? Nx
有理数集 q
p
??
??Q,N,Z ??? qp
p 与 q 互质
实数集合 ? ? R x? x 为有理数或无理数
开区间 ? ? ),( xba ?bxa ??
闭区间 ? ? ],[ xba ?bxa ??
??
?
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)(
??a??a
无限区间
点的 ? 邻域
a
其中,a 称为邻域中心,? 称为邻域半径,
半开区间
去心 ? 邻域
左 ? 邻域, 右 ? 邻域,
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是 B 的 子集,或称 B 包含 A,
2,集合之间的关系及运算
定义 2, 则称 A
.BA ?
若 且 则称 A 与 B 相等,.BA ?
例如,
显然有下列关系,
,,
?
若 Ax?,Bx?设有集合,,BA
记作
记作
必有
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Ac
AB
B
定义 3, 给定两个集合 A,B,
并集 ? ? xBA ??
交集 ? ? xBA ??且
差集 ? ? \ xBA ?Bx?且
定义下列运算,
A
B BA?
余集 )(\ ABBAB cA ?? 其中
直积 ? ? ),( yxBA ??,Ax? y?
特例, RR? 记 2R
为平面上的全体点集
A
BA\
B
BA?
BA?
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二,映射
1,映射的概念
某校学生的集合 学号的集合
按一定规则查号
某班学生的集合
某教室座位
的集合
按一定规则入座
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引例 1,
引例 2,
引例 3,(点集 )
(点集 )
向 y 轴投影
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定义 4,设 X,Y 是两个非空集合,若存在一个对应规
则 f,使得 有唯一确定的 与之对应,则
称 f 为从 X 到 Y 的 映射,记作,,YXf ?
元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像,记作 ).( xfy ?
元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像,
集合 X 称为映射 f 的 定义域 ;
Y 的子集 ?)( Xf ? ?Xxxf ?)( 称为 f 的 值域,
注意, 1) 映射的三要素 — 定义域,对应规则,值域,
2) 元素 x 的像 y 是唯一的,但 y 的原像不一定唯一,
X Yf
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对映射
若 YXf ?)(,则称 f 为 满射 ;
X Yf )( Xf?
若 有
则称 f 为 单射 ;
若 f 既是满射又是单射,则称 f 为 双射 或 一一映射,
X Y
引例 2,3
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引例 2
引例 2
例 1,
海伦公式
例 2,如图所示,
对应阴影部分的面积
则在数集 自身之间定义