引 言
一、什么是高等数学?
初等数学 — 研究对象为 常量,以静止观点研究问题,
高等数学 — 研究对象为 变量,运动 和 辩证法 进入了数学,
数学中的 转折点 是 笛卡儿 的 变数,
有了变数,运动 进入了数学,
有了变数,辩证法 进入了数学,
有了变数,微分和积分 也就立刻成
为必要的了,而它们也就立刻产生, 恩格斯
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引 言
一、什么是高等数学?
初等数学 — 研究对象为 常量,以静止观点研究问题,
高等数学 — 研究对象为 变量,运动 和 辩证法 进入了数学,
数学中的 转折点 是 笛卡儿 的 变数,
有了变数,运动 进入了数学,
有了变数,辩证法 进入了数学,
有了变数,微分和积分 也就立刻成
为必要的了,而它们也就立刻产生, 恩格斯
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1,分析基础, 函数,极限,连续
2,微积分学, 一元微积分 (上册 )
(下册 )
3,向量代数与空间解析几何
4,无穷级数
5,常微分方程
主要内容
多元微积分
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二、如何学习高等数学?
1,认识高等数学的重要性,培养浓厚的学习兴趣,
2,学数学最好的方式是做数学,
聪明在于学习,天才在于积累,
学而优则用,学而优则创,
由薄到厚,由厚到薄,
马克思
恩格斯
要辨证而又唯物地了解自然,
就必须熟悉数学,
一门科学,只有当它成功地运用数学时,
才能达到真正完善的地步,
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华罗庚
第一章
分析基础
函数
极限
连续
— 研究对象
— 研究方法
— 研究桥梁
函数与极限
第一章
二、映射
三、函数
一、集合
第一节
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映射与函数
元素 a 属于集合 M,记作
元素 a 不属于集合 M,记作
一,集合
1,定义及表示法
定义 1,具有某种特定性质的事物的总体称为 集合,
组成集合的事物称为 元素,
不含任何元素的集合称为 空集,记作 ?,
Ma ? ( 或 Ma? ),
.Ma?
注, M 为数集
*M 表示 M 中排除 0 的集 ;
?M 表示 M 中排除 0 与负数的集,
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表示法,
(1) 列举法,按某种方式列出集合中的全体元素,
例, 有限集合 ? ?naaaA,,,21 ?? ? ? niia 1??
自然数集 ? ???,,,2,1,0N n? ? ?n?
(2) 描述法,? ? xM ? x 所具有的特征
例, 整数集合 ? ? Z x?N?x 或 ??? Nx
有理数集 q
p
??
??Q,N,Z ??? qp
p 与 q 互质
实数集合 ? ? R x? x 为有理数或无理数
开区间 ? ? ),( xba ?bxa ??
闭区间 ? ? ],[ xba ?bxa ??
??
?
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)(
??a??a
无限区间
点的 ? 邻域
a
其中,a 称为邻域中心,? 称为邻域半径,
半开区间
去心 ? 邻域
左 ? 邻域, 右 ? 邻域,
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是 B 的 子集,或称 B 包含 A,
2,集合之间的关系及运算
定义 2, 则称 A
.BA ?
若 且 则称 A 与 B 相等,.BA ?
例如,
显然有下列关系,
,,
?
若 Ax?,Bx?设有集合,,BA
记作
记作
必有
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Ac
AB
B
定义 3, 给定两个集合 A,B,
并集 ? ? xBA ??
交集 ? ? xBA ??且
差集 ? ? \ xBA ?Bx?且
定义下列运算,
A
B BA?
余集 )(\ ABBAB cA ?? 其中
直积 ? ? ),( yxBA ??,Ax? y?
特例, RR? 记 2R
为平面上的全体点集
A
BA\
B
BA?
BA?
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或
二,映射
1,映射的概念
某校学生的集合 学号的集合
按一定规则查号
某班学生的集合
某教室座位
的集合
按一定规则入座
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引例 1,
引例 2,
引例 3,(点集 )
(点集 )
向 y 轴投影
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定义 4,设 X,Y 是两个非空集合,若存在一个对应规
则 f,使得 有唯一确定的 与之对应,则
称 f 为从 X 到 Y 的 映射,记作,,YXf ?
元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像,记作 ).( xfy ?
元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像,
集合 X 称为映射 f 的 定义域 ;
Y 的子集 ?)( Xf ? ?Xxxf ?)( 称为 f 的 值域,
注意, 1) 映射的三要素 — 定义域,对应规则,值域,
2) 元素 x 的像 y 是唯一的,但 y 的原像不一定唯一,
X Yf
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对映射
若 YXf ?)(,则称 f 为 满射 ;
X Yf )( Xf?
若 有
则称 f 为 单射 ;
若 f 既是满射又是单射,则称 f 为 双射 或 一一映射,
X Y
引例 2,3
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引例 2
引例 2
例 1,
海伦公式
例 2,如图所示,
对应阴影部分的面积
则在数集 自身之间定义了一种映射 (满射 )
例 3,如图所示,
r
则有
(满射 )
(满射 )
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X (数集 或点集 )
说明,
在不同数学分支中有不同的惯用
X (≠ ? ) Y (数集 )
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f f 称为 X 上的 泛函
X (≠ ? ) X f f 称为 X 上的 变换
R f
f 称为定义在 X 上的 为 函数
映射又称为 算子,
名称, 例如,
2,逆映射与复合映射
(1) 逆映射的定义
定义, 若映射 为单射,则存在一新映射
使
习惯上,Dxxfy ??,)(
的逆映射记成
)(,)(1 Dfxxfy ?? ?
例如,映射 其逆映射为
)(DfD
f
1?f
其中
称此映射 1?f 为 f 的逆映射,
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(2) 复合映射
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1D
手电筒
D
D
2D
引例,
复合映射
定义,
Dx ?? g )()( Dgxgu ??
1Du ?? f
则当 1)( DDg ?由上述映射链可定义由 D 到 Y 的 复
.),( Dxxgf ??
设有映射链
记作 合映射,
时,
或
)(Dg
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注意, 构成复合映射的条件 1)( DDg ?不可少,
以上定义也可推广到多个映射的情形,
定义域
三、函数
1,函数的概念
定义 4,设数集,R?D 则称映射 为定义在
D 上的函数,记为
Dxxfy ??,)(
f ( D ) 称为值域
函数图形, ? ?
),( yxC ? Dx?,)( xfy x
y
)],[( baD ?a bx
y
)( DfD ??
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自变量 因变量
Dx ??
f ? ?DxxfyyDfy ???? ),()(
(对应规则 ) (值域 ) (定义域 )
例如,反正弦主值
? 定义域
? 对应规律 的表示方法, 解析法,图象法,列表法
使表达式及实际问题都有意义的自变量
集合,
定义域 值域
又如,绝对值函数
定义域
值 域
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例 4,已知函数 ??
?
??
????
1,1
10,2)(
xx
xxxfy
求 )(21f 及,)(1tf
解, 2121 2)( ?f 2?
?)( 1tf
10 ?? t,11 t?
1?t,2t
时0?t
函数无定义
并写出定义域及值域,
定义域 ),0[ ???D
值 域 ),0[)( ???Df
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2,函数的几种特性
设函数,,)( Dxxfy ?? 且有区间,DI ?
(1) 有界性
,Dx ??,0?? M 使,)( Mxf ?称 )(xf
,Ix ??,0?? M 使,)( Mxf ?称 )(xf
说明, 还可定义有上界、有下界、无界 (见上册 P11 )
(2) 单调性
为 有界函数,
在 I 上有界,
,Dx ? 使 若对任意正数 M,均存在,)( Mxf ?
则称 f ( x ) 无界,
称 为 有上界
称 为 有下界
,)(,Mxf ??
),(,xfM ??
当,,21 Ixx ?? 21 xx ?时,,)()(
21 xfxf ?若 称 )(f 为 I 上的
,)()( 21 xfxf ?若 称 )(f 为 I 上的
单调增函数 ;
单调减函数,
x
y
1x 2x
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x
y
o xx?
(3) 奇偶性
,Dx ?? 且有,Dx ??
若 则称 f (x) 为 偶函数 ;
若 则称 f (x) 为 奇函数,
说明, 若 )(xf 在 x = 0 有定义,
.0)0( ?f)(xf 为 奇函数 时,
则当
必有
例如,
2)(
xx ee
xfy
??
??
xch?
偶函数
x
y
o
xexe?
xy ch?
双曲余弦 记
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x
y
o
又如,2)(
xx ee
xfy
??
?? 奇函数 xexe? xy sh?
xsh? 双曲正弦 记
再如,
x
xy
ch
sh? xx
xx
ee
ee
?
?
?
??
奇函数
o
y
x
1
1?
xth? 双曲正切 记 xy th?
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(4) 周期性
,0,???? lDx 且,Dlx ??
则称 )(xf 为 周期函数,
? ? x? o?2 ?
y
2?
若
称 l 为 周期 ( 一般指 最小正周期 ),
周期为 ? 周期为
注, 周期函数不一定存在最小正周期,
例如,常量函数 Cxf ?)(
狄里克雷函数
x 为有理数
x 为无理数
,1
,0
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3,反函数与复合函数
(1) 反函数的概念及性质
若函数 为单射,则存在逆映射
习惯上,Dxxfy ??,)(的反函数记成
)(,)(1 Dfxxfy ?? ?
称此映射 1?f 为 f 的 反函数,
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其反函数 (减 )
(减 ),
1) y＝ f (x) 单调递增
且也单调递增
性质,
2) 函数 与其反函数
的图形关于直线
对称,
例如,
),(,?????? xey x
对数函数 互为反函数,
它们都单调递增,其图形关于直线 对称,
)(xfy ?
xy?
),( abQ
x
y
o
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指数函数
(2) 复合函数
1),( Duufy ??
1)( DDg ?且
则
设有函数链
称为由①,② 确定的 复合函数,
①
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— 复合映射的特例
②
u 称为 中间变量,
注意, 构成复合函数的条件 1)( DDg ?不可少,
例如,函数链,,a r c s in uy ?
函数
但函数链 22,a rc s i n xuuy ??? 不能构成复合函数,
可定义复合
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两个以上函数也可构成复合函数, 例如,
0,?? uuy
可定义复合函数,
Zn?
02c o t,22 ???? xkxk 时???
),2,1,0(,c o t ?????? kkvvu ?),(,
2 ?????? x
xv
4,初等函数
(1) 基本初等函数
幂函数,指数函数,对数函数,三角函数,反三角函数
(2) 初等函数
由常数及基本初等函数
否则称为 非初等函数,
例如,,2xy ???
??y 0,?xx
0,?? xx
并可用 一个式子 表示的函数,
经过 有限次 四则运算和复合步
骤所构成,称为 初等函数,
可表为 故为初等函数,
又如,双曲函数与反双曲函数也是初等函数,
( 自学,P17 – P21 )
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非初等函数举例,
符号函数 当 x > 0
当 x = 0
当 x < 0 x
y
o
1
1?
取整函数
当
x
y
o 1 3 421?2?
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例 5,求 ?y 的反函数及其定义域,
解, 01 ??? x当 时,2xy ?
则 ]1,0(,??? yyx
10 ?? x当 时,xy ln?
则 ]0,(,???? yex y
21 ?? x当 时,12 ?? xey
则 ]2,2(,ln1 2 eyx y ???
反函数 ?y 定义域为 ]2,2(]1,( e???
21,2
10,ln
01,
1
2
??
??
???
? xe
xx
xx
x
2
1 2
e2
1?
y
o x
1
,]1,0(?
,]0,( ???
,]2,2( e?
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内容小结
1,集合及映射的概念
定义域
对应规律
3,函数的特性 有界性,单调性,
奇偶性,周期性
4,初等函数的结构
作业
P21 6 (5),(8),(10); 8; 10; 11;
15 ; 18; 19; 20
2,函数的定义及函数的二要素
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且
备用题
证明
证, 令,1xt ? 则,1tx ? tctfbfa t ?? )()( 1
由 xcxfbfa
x ?? )()( 1
消去 ),(1xf 得
时 其中
a,b,c 为常数,且 为奇函数,
为奇函数,
1,设
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2, 设函数 ),(,)( ?????? xxfy 的图形与,ax ?
均对称,求证 )( xfy ? 是周期函数, )( baby ??
证, 由
?? )( xaf
)(xf 的对称性知
),( xaf ? ?? )( xbf )( xbf ?
于是 ?)(xf ? ?)( axaf ??
)2( xaf ??
故 )(xf 是周期函数,周期为
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第一章
二,收敛数列的性质
三,极限存在准则
一、数列极限的定义
第二节
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数列的极限
数学语言描述,
r
一,数列极限的定义
引例, 设有半径为 r 的圆,
逼近圆面积 S,
?
n如图所示,可知
当 n 无限增大时,无限逼近 S (刘徽割圆术 ),
,0?? ?,N正整数? 当 n > N 时,
??? SA n
用其内接正 n 边形的面积
总有
刘徽 目录 上页 下页 返回 结束
定义, 自变量取正整数的函数称为 数列,记作
或 称为 通项 (一般项 ),
若数列 及常数 a 有下列关系,
当 n > N 时,总有
记作
此时也称数列 收敛,否则称数列 发散,
几何解释,
??a??a
)(
?? ???? axa n)( Nn ?
即 ),( ?ax n ?? )( Nn ?
ax nn ???li m 或 )( ??? nax n
1?Nx 2?Nx
则称该数列 的极限为 a,
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例如,??,1,,4
3,
3
2,
2
1
?n
n
1?? n
nx
n )(1 ??? n
n
nx n
n
1)1( ???
? )(1 ??? n
??,2,,8,4,2 nn
nx 2? )( ???? n
1)1( ??? nnx 趋势不定
收
敛
发
散
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例 1,已知 证明数列 的极限为 1,
证, ?? 1nx
1)1( ???
n
n n
,0??? 欲使 即 只要 ?1?n
因此,取,]
1[
??N 则当 Nn ? 时,就有 ????? 1)1(
n
n n
故 1
)1(limlim ????
???? n
nx n
nnn
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例 2,已知 证明
证, ?? 0nx 2)1(
1
?? n 1
1
?? n
,)1,0(?? ? 欲使 只要,11 ???n 即 ?n
取,]1
1[ ??
?N 则当 Nn ? 时,就有,0 ???nx
故
0
)1(
)1(limlim
2 ??
??
???? n
x
n
nnn
故也可取 ][ 1??N
也可由 2)1( 10 ??? nnx
.11??
N 与 ? 有关,但不唯一,
不一定取最小的 N,
说明, 取 ? ?11 ?? ?N
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例 3,设,1?q 证明等比数列
证, 0?nx
欲使 只要 即
亦即
因此,取 ??
??
??
??
qN ln
ln1 ?
,则当 n > N 时,就有
???? 01nq
故 0l i m 1 ???? nn q
.lnln1 qn ???
的极限为 0,
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??23 ba 22 abnab ax ?? ????
二、收敛数列的性质
证, 用反证法, 及 且,ba?
取 因,lim ax nn ??? 故存在 N1,
从而 2 banx ??
同理,因,l i m bx nn ??? 故存在 N2,使当 n > N2 时,有
2 ban ??
1,收敛数列的极限唯一,
使当 n > N1 时,
假设
2 abn b ??na x? 23 ab??
从而 2 banx ??
矛盾, 因此收敛数列的极限必唯一,
则当 n > N 时,? ?,,m a x 21 NNN ?取
故假设不真 !
nx
满足的不等式
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例 4,证明数列 是发散的,
证, 用反证法,
假设数列 ? ?
nx
收敛,则有唯一极限 a 存在,
取,
2
1?? 则存在 N,
2
1
2
1 ???? axa n
但因
nx
交替取值 1 与－ 1,
),( 2121 ?? aa 内,
而此二数不可能同时落在
长度为 1 的开区间
使当 n > N 时,有
因此该数列发散,
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2,收敛数列一定有界,
证, 设 取,1??,N?则 当 Nn ? 时,
从而有
aax n ??? ?? 1
取 ? ?,,,,m a x
21 NxxxM ?? a?1
则有,),2,1( ??? nMx
n
由此证明收敛数列必有界,
说明, 此性质反过来不一定成立, 例如,
? ?1)1( ?? n 虽有界但不收敛,
,1?? ax n
有
数列
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3,收敛数列的保号性,
若 且
时,有
,)0(?
.)0(?
证, 对 a > 0,取
推论, 若数列从某项起 )0(?
.)0(? (用反证法证明 )
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*********************
,??? ax kn
4,收敛数列的任一子数列收敛于同一极限,
证, 设数列 是数列 的任一子数列,
若 则,0?? ?
,N? 当 时,有
现取正整数 K,使 于是当 Kk ? 时,有
?kn N?
从而有 由此证明
.lim ax knk ???
********************
N
Nx
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三、极限存在准则
由此性质可知,若数列有两个子数列收敛于不同的极
限,
例如,
1l i m 2 ???? kk x
发散 !
夹逼准则 ; 单调有界准则 ; 柯西审敛准则,
则原数列一定发散,
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说明,
azy nnnn ?? ???? limlim)2(
1,夹逼准则 (准则 1) (P49)
),2,1()1( ???? nzxy nnn ax
nn ???lim
证, 由条件 (2),,0???,1N?
当 时,
当 时,
令 ? ?,,m a x 21 NNN ? 则当 Nn ? 时,有
由条件 (1) nnn zxy ?????a ??? a
即,??? ax n 故,l i m ax nn ???
,2N
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例 5,证明
证, 利用夹逼准则,
?????? ?????? ??? nnnnn 222 1211 ???? 2
2
n
n
且
???? 2
2
l i m n n
n 21
1lim
n
n ??
?
?? 1?
nn ??? lim ?????? ?????? ??? nnnn 222
1
2
11 ?
1?
由
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2,单调有界数列必有极限 ( 准则 2 ) ( P52 )
)(l i m Max nn ????
)(l i m mbx nn ????
( 证明略 )
a
b
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例 6,设 证明数列
极限存在, (P52～ P54)
证, 利用二项式公式,有
nnnx )1( 1??
??1 n
n1!1
2
1!2 )1(
n
nn ??
3
1!3 )2)(1(
n
nnn ??? ??
nnn
nnnn 1
!
)1()1( ???? ?
??? 11
) 1( 1!1 nn ?? ) ( 2n? ) 1( 1nn ???
)1( 1!21 n? ?? )1( 1!31 n?? )1( 2n?
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??? 11nx
) 1( 1!1 nn ?? ) ( 2n? ) 1( 1nn ???
)1( 1!21 n? ?? )1( 1!31 n?? )1( 2n?
???? 111nx )1( 11!21 ?? n )1)(1( 1211!31 ?? ??? nn??
)1()1)(1( 11211!)1( 1 ???? ???? n nnnn ?
大 大
正
),2,1(1 ??? ? nxx nn
????? 11)1( 1 nnnx又
比较可知
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根据准则 2 可知数列 ? ?nx
记此极限为 e,
ennn ???? )1(l i m 1
e 为无理数,其值为
?5 9 0 4 57 1 8 2 8 1 8 2 8 4.2?e
即
有极限,
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????? 11)1( 1 nnnx
??? 11
又
3? 12 13 ??? n
*3,柯西极限存在准则 (柯西审敛原理 ) (P55)
数列 极限存在的充要条件是,
,0??? 存在正整数 N,使当 NnNm ??,时,
??? mn xx
证, ―必要性”, 设,lim ax nn ??? 则
时,有
使当
,2??? ax n 2??? ax m
因此 ?? mn xx
??? ax n axm ???
―充分性” 证明从略,
有
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内容小结
1,数列极限的, ? – N ‖ 定义及应用
2,收敛数列的性质,
唯一性 ; 有界性 ; 保号性 ;
任一子数列收敛于同一极限
3,极限存在准则,
夹逼准则 ; 单调有界准则 ; 柯西准则
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思考与练习
1,如何判断极限不存在?
方法 1,找一个趋于 ∞的子数列 ;
方法 2,找两个收敛于不同极限的子数列,
2,已知 ),2,1(21,1 11 ????? ? nxxx nn,求
nn x??lim
时,下述作法是否正确? 说明理由,
设,lim ax
nn ???
由递推式两边取极限得
aa 21 ?? 1??a
不对 ! 此处 ??
?? nn xlim
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作业
P30 3 (2),(3),4,6
P56 4 (1),(3)
4 (3) 提示,
可用数学归纳法证
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故极限存在,
备用题
1.设 )(2
1
1
n
nn x
axx ??
? ),2,1( ??n
,0?a
,01 ?x,且
求,lim nn x??
解,
设 Ax nn ???lim
则由递推公式有 )(2
1
A
aAA ?? aA ??
)(211
n
nn x
axx ??
?? ? nx
nx
a?
a?
n
n
x
x 1? )1(
2
1
2
nx
a?? )1(
2
1
a
a?? 1?
∴ 数列单调递减有下界,
,01 ?x? 故 ax nn ???lim
利用极限存在准则
,0?? nx
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2,设
证, 显然,1?? nn xx
证明下述数列有极限,
即 单调增,又
?1( 1)?
??
?
??? )1()1(
1
1 kaa ?
存在
“拆项相消” 法
一、什么是高等数学?
初等数学 — 研究对象为 常量,以静止观点研究问题,
高等数学 — 研究对象为 变量,运动 和 辩证法 进入了数学,
数学中的 转折点 是 笛卡儿 的 变数,
有了变数,运动 进入了数学,
有了变数,辩证法 进入了数学,
有了变数,微分和积分 也就立刻成
为必要的了,而它们也就立刻产生, 恩格斯
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引 言
一、什么是高等数学?
初等数学 — 研究对象为 常量,以静止观点研究问题,
高等数学 — 研究对象为 变量,运动 和 辩证法 进入了数学,
数学中的 转折点 是 笛卡儿 的 变数,
有了变数,运动 进入了数学,
有了变数,辩证法 进入了数学,
有了变数,微分和积分 也就立刻成
为必要的了,而它们也就立刻产生, 恩格斯
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1,分析基础, 函数,极限,连续
2,微积分学, 一元微积分 (上册 )
(下册 )
3,向量代数与空间解析几何
4,无穷级数
5,常微分方程
主要内容
多元微积分
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二、如何学习高等数学?
1,认识高等数学的重要性,培养浓厚的学习兴趣,
2,学数学最好的方式是做数学,
聪明在于学习,天才在于积累,
学而优则用,学而优则创,
由薄到厚,由厚到薄,
马克思
恩格斯
要辨证而又唯物地了解自然,
就必须熟悉数学,
一门科学,只有当它成功地运用数学时,
才能达到真正完善的地步,
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华罗庚
第一章
分析基础
函数
极限
连续
— 研究对象
— 研究方法
— 研究桥梁
函数与极限
第一章
二、映射
三、函数
一、集合
第一节
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映射与函数
元素 a 属于集合 M,记作
元素 a 不属于集合 M,记作
一,集合
1,定义及表示法
定义 1,具有某种特定性质的事物的总体称为 集合,
组成集合的事物称为 元素,
不含任何元素的集合称为 空集,记作 ?,
Ma ? ( 或 Ma? ),
.Ma?
注, M 为数集
*M 表示 M 中排除 0 的集 ;
?M 表示 M 中排除 0 与负数的集,
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表示法,
(1) 列举法,按某种方式列出集合中的全体元素,
例, 有限集合 ? ?naaaA,,,21 ?? ? ? niia 1??
自然数集 ? ???,,,2,1,0N n? ? ?n?
(2) 描述法,? ? xM ? x 所具有的特征
例, 整数集合 ? ? Z x?N?x 或 ??? Nx
有理数集 q
p
??
??Q,N,Z ??? qp
p 与 q 互质
实数集合 ? ? R x? x 为有理数或无理数
开区间 ? ? ),( xba ?bxa ??
闭区间 ? ? ],[ xba ?bxa ??
??
?
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)(
??a??a
无限区间
点的 ? 邻域
a
其中,a 称为邻域中心,? 称为邻域半径,
半开区间
去心 ? 邻域
左 ? 邻域, 右 ? 邻域,
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是 B 的 子集,或称 B 包含 A,
2,集合之间的关系及运算
定义 2, 则称 A
.BA ?
若 且 则称 A 与 B 相等,.BA ?
例如,
显然有下列关系,
,,
?
若 Ax?,Bx?设有集合,,BA
记作
记作
必有
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Ac
AB
B
定义 3, 给定两个集合 A,B,
并集 ? ? xBA ??
交集 ? ? xBA ??且
差集 ? ? \ xBA ?Bx?且
定义下列运算,
A
B BA?
余集 )(\ ABBAB cA ?? 其中
直积 ? ? ),( yxBA ??,Ax? y?
特例, RR? 记 2R
为平面上的全体点集
A
BA\
B
BA?
BA?
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或
二,映射
1,映射的概念
某校学生的集合 学号的集合
按一定规则查号
某班学生的集合
某教室座位
的集合
按一定规则入座
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引例 1,
引例 2,
引例 3,(点集 )
(点集 )
向 y 轴投影
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定义 4,设 X,Y 是两个非空集合,若存在一个对应规
则 f,使得 有唯一确定的 与之对应,则
称 f 为从 X 到 Y 的 映射,记作,,YXf ?
元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像,记作 ).( xfy ?
元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像,
集合 X 称为映射 f 的 定义域 ;
Y 的子集 ?)( Xf ? ?Xxxf ?)( 称为 f 的 值域,
注意, 1) 映射的三要素 — 定义域,对应规则,值域,
2) 元素 x 的像 y 是唯一的,但 y 的原像不一定唯一,
X Yf
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对映射
若 YXf ?)(,则称 f 为 满射 ;
X Yf )( Xf?
若 有
则称 f 为 单射 ;
若 f 既是满射又是单射,则称 f 为 双射 或 一一映射,
X Y
引例 2,3
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引例 2
引例 2
例 1,
海伦公式
例 2,如图所示,
对应阴影部分的面积
则在数集 自身之间定义了一种映射 (满射 )
例 3,如图所示,
r
则有
(满射 )
(满射 )
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X (数集 或点集 )
说明,
在不同数学分支中有不同的惯用
X (≠ ? ) Y (数集 )
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f f 称为 X 上的 泛函
X (≠ ? ) X f f 称为 X 上的 变换
R f
f 称为定义在 X 上的 为 函数
映射又称为 算子,
名称, 例如,
2,逆映射与复合映射
(1) 逆映射的定义
定义, 若映射 为单射,则存在一新映射
使
习惯上,Dxxfy ??,)(
的逆映射记成
)(,)(1 Dfxxfy ?? ?
例如,映射 其逆映射为
)(DfD
f
1?f
其中
称此映射 1?f 为 f 的逆映射,
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(2) 复合映射
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1D
手电筒
D
D
2D
引例,
复合映射
定义,
Dx ?? g )()( Dgxgu ??
1Du ?? f
则当 1)( DDg ?由上述映射链可定义由 D 到 Y 的 复
.),( Dxxgf ??
设有映射链
记作 合映射,
时,
或
)(Dg
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注意, 构成复合映射的条件 1)( DDg ?不可少,
以上定义也可推广到多个映射的情形,
定义域
三、函数
1,函数的概念
定义 4,设数集,R?D 则称映射 为定义在
D 上的函数,记为
Dxxfy ??,)(
f ( D ) 称为值域
函数图形, ? ?
),( yxC ? Dx?,)( xfy x
y
)],[( baD ?a bx
y
)( DfD ??
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自变量 因变量
Dx ??
f ? ?DxxfyyDfy ???? ),()(
(对应规则 ) (值域 ) (定义域 )
例如,反正弦主值
? 定义域
? 对应规律 的表示方法, 解析法,图象法,列表法
使表达式及实际问题都有意义的自变量
集合,
定义域 值域
又如,绝对值函数
定义域
值 域
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例 4,已知函数 ??
?
??
????
1,1
10,2)(
xx
xxxfy
求 )(21f 及,)(1tf
解, 2121 2)( ?f 2?
?)( 1tf
10 ?? t,11 t?
1?t,2t
时0?t
函数无定义
并写出定义域及值域,
定义域 ),0[ ???D
值 域 ),0[)( ???Df
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2,函数的几种特性
设函数,,)( Dxxfy ?? 且有区间,DI ?
(1) 有界性
,Dx ??,0?? M 使,)( Mxf ?称 )(xf
,Ix ??,0?? M 使,)( Mxf ?称 )(xf
说明, 还可定义有上界、有下界、无界 (见上册 P11 )
(2) 单调性
为 有界函数,
在 I 上有界,
,Dx ? 使 若对任意正数 M,均存在,)( Mxf ?
则称 f ( x ) 无界,
称 为 有上界
称 为 有下界
,)(,Mxf ??
),(,xfM ??
当,,21 Ixx ?? 21 xx ?时,,)()(
21 xfxf ?若 称 )(f 为 I 上的
,)()( 21 xfxf ?若 称 )(f 为 I 上的
单调增函数 ;
单调减函数,
x
y
1x 2x
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x
y
o xx?
(3) 奇偶性
,Dx ?? 且有,Dx ??
若 则称 f (x) 为 偶函数 ;
若 则称 f (x) 为 奇函数,
说明, 若 )(xf 在 x = 0 有定义,
.0)0( ?f)(xf 为 奇函数 时,
则当
必有
例如,
2)(
xx ee
xfy
??
??
xch?
偶函数
x
y
o
xexe?
xy ch?
双曲余弦 记
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x
y
o
又如,2)(
xx ee
xfy
??
?? 奇函数 xexe? xy sh?
xsh? 双曲正弦 记
再如,
x
xy
ch
sh? xx
xx
ee
ee
?
?
?
??
奇函数
o
y
x
1
1?
xth? 双曲正切 记 xy th?
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(4) 周期性
,0,???? lDx 且,Dlx ??
则称 )(xf 为 周期函数,
? ? x? o?2 ?
y
2?
若
称 l 为 周期 ( 一般指 最小正周期 ),
周期为 ? 周期为
注, 周期函数不一定存在最小正周期,
例如,常量函数 Cxf ?)(
狄里克雷函数
x 为有理数
x 为无理数
,1
,0
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3,反函数与复合函数
(1) 反函数的概念及性质
若函数 为单射,则存在逆映射
习惯上,Dxxfy ??,)(的反函数记成
)(,)(1 Dfxxfy ?? ?
称此映射 1?f 为 f 的 反函数,
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其反函数 (减 )
(减 ),
1) y＝ f (x) 单调递增
且也单调递增
性质,
2) 函数 与其反函数
的图形关于直线
对称,
例如,
),(,?????? xey x
对数函数 互为反函数,
它们都单调递增,其图形关于直线 对称,
)(xfy ?
xy?
),( abQ
x
y
o
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指数函数
(2) 复合函数
1),( Duufy ??
1)( DDg ?且
则
设有函数链
称为由①,② 确定的 复合函数,
①
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— 复合映射的特例
②
u 称为 中间变量,
注意, 构成复合函数的条件 1)( DDg ?不可少,
例如,函数链,,a r c s in uy ?
函数
但函数链 22,a rc s i n xuuy ??? 不能构成复合函数,
可定义复合
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两个以上函数也可构成复合函数, 例如,
0,?? uuy
可定义复合函数,
Zn?
02c o t,22 ???? xkxk 时???
),2,1,0(,c o t ?????? kkvvu ?),(,
2 ?????? x
xv
4,初等函数
(1) 基本初等函数
幂函数,指数函数,对数函数,三角函数,反三角函数
(2) 初等函数
由常数及基本初等函数
否则称为 非初等函数,
例如,,2xy ???
??y 0,?xx
0,?? xx
并可用 一个式子 表示的函数,
经过 有限次 四则运算和复合步
骤所构成,称为 初等函数,
可表为 故为初等函数,
又如,双曲函数与反双曲函数也是初等函数,
( 自学,P17 – P21 )
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非初等函数举例,
符号函数 当 x > 0
当 x = 0
当 x < 0 x
y
o
1
1?
取整函数
当
x
y
o 1 3 421?2?
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例 5,求 ?y 的反函数及其定义域,
解, 01 ??? x当 时,2xy ?
则 ]1,0(,??? yyx
10 ?? x当 时,xy ln?
则 ]0,(,???? yex y
21 ?? x当 时,12 ?? xey
则 ]2,2(,ln1 2 eyx y ???
反函数 ?y 定义域为 ]2,2(]1,( e???
21,2
10,ln
01,
1
2
??
??
???
? xe
xx
xx
x
2
1 2
e2
1?
y
o x
1
,]1,0(?
,]0,( ???
,]2,2( e?
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内容小结
1,集合及映射的概念
定义域
对应规律
3,函数的特性 有界性,单调性,
奇偶性,周期性
4,初等函数的结构
作业
P21 6 (5),(8),(10); 8; 10; 11;
15 ; 18; 19; 20
2,函数的定义及函数的二要素
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且
备用题
证明
证, 令,1xt ? 则,1tx ? tctfbfa t ?? )()( 1
由 xcxfbfa
x ?? )()( 1
消去 ),(1xf 得
时 其中
a,b,c 为常数,且 为奇函数,
为奇函数,
1,设
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2, 设函数 ),(,)( ?????? xxfy 的图形与,ax ?
均对称,求证 )( xfy ? 是周期函数, )( baby ??
证, 由
?? )( xaf
)(xf 的对称性知
),( xaf ? ?? )( xbf )( xbf ?
于是 ?)(xf ? ?)( axaf ??
)2( xaf ??
故 )(xf 是周期函数,周期为
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第一章
二,收敛数列的性质
三,极限存在准则
一、数列极限的定义
第二节
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数列的极限
数学语言描述,
r
一,数列极限的定义
引例, 设有半径为 r 的圆,
逼近圆面积 S,
?
n如图所示,可知
当 n 无限增大时,无限逼近 S (刘徽割圆术 ),
,0?? ?,N正整数? 当 n > N 时,
??? SA n
用其内接正 n 边形的面积
总有
刘徽 目录 上页 下页 返回 结束
定义, 自变量取正整数的函数称为 数列,记作
或 称为 通项 (一般项 ),
若数列 及常数 a 有下列关系,
当 n > N 时,总有
记作
此时也称数列 收敛,否则称数列 发散,
几何解释,
??a??a
)(
?? ???? axa n)( Nn ?
即 ),( ?ax n ?? )( Nn ?
ax nn ???li m 或 )( ??? nax n
1?Nx 2?Nx
则称该数列 的极限为 a,
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例如,??,1,,4
3,
3
2,
2
1
?n
n
1?? n
nx
n )(1 ??? n
n
nx n
n
1)1( ???
? )(1 ??? n
??,2,,8,4,2 nn
nx 2? )( ???? n
1)1( ??? nnx 趋势不定
收
敛
发
散
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例 1,已知 证明数列 的极限为 1,
证, ?? 1nx
1)1( ???
n
n n
,0??? 欲使 即 只要 ?1?n
因此,取,]
1[
??N 则当 Nn ? 时,就有 ????? 1)1(
n
n n
故 1
)1(limlim ????
???? n
nx n
nnn
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例 2,已知 证明
证, ?? 0nx 2)1(
1
?? n 1
1
?? n
,)1,0(?? ? 欲使 只要,11 ???n 即 ?n
取,]1
1[ ??
?N 则当 Nn ? 时,就有,0 ???nx
故
0
)1(
)1(limlim
2 ??
??
???? n
x
n
nnn
故也可取 ][ 1??N
也可由 2)1( 10 ??? nnx
.11??
N 与 ? 有关,但不唯一,
不一定取最小的 N,
说明, 取 ? ?11 ?? ?N
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例 3,设,1?q 证明等比数列
证, 0?nx
欲使 只要 即
亦即
因此,取 ??
??
??
??
qN ln
ln1 ?
,则当 n > N 时,就有
???? 01nq
故 0l i m 1 ???? nn q
.lnln1 qn ???
的极限为 0,
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??23 ba 22 abnab ax ?? ????
二、收敛数列的性质
证, 用反证法, 及 且,ba?
取 因,lim ax nn ??? 故存在 N1,
从而 2 banx ??
同理,因,l i m bx nn ??? 故存在 N2,使当 n > N2 时,有
2 ban ??
1,收敛数列的极限唯一,
使当 n > N1 时,
假设
2 abn b ??na x? 23 ab??
从而 2 banx ??
矛盾, 因此收敛数列的极限必唯一,
则当 n > N 时,? ?,,m a x 21 NNN ?取
故假设不真 !
nx
满足的不等式
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例 4,证明数列 是发散的,
证, 用反证法,
假设数列 ? ?
nx
收敛,则有唯一极限 a 存在,
取,
2
1?? 则存在 N,
2
1
2
1 ???? axa n
但因
nx
交替取值 1 与－ 1,
),( 2121 ?? aa 内,
而此二数不可能同时落在
长度为 1 的开区间
使当 n > N 时,有
因此该数列发散,
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2,收敛数列一定有界,
证, 设 取,1??,N?则 当 Nn ? 时,
从而有
aax n ??? ?? 1
取 ? ?,,,,m a x
21 NxxxM ?? a?1
则有,),2,1( ??? nMx
n
由此证明收敛数列必有界,
说明, 此性质反过来不一定成立, 例如,
? ?1)1( ?? n 虽有界但不收敛,
,1?? ax n
有
数列
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3,收敛数列的保号性,
若 且
时,有
,)0(?
.)0(?
证, 对 a > 0,取
推论, 若数列从某项起 )0(?
.)0(? (用反证法证明 )
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*********************
,??? ax kn
4,收敛数列的任一子数列收敛于同一极限,
证, 设数列 是数列 的任一子数列,
若 则,0?? ?
,N? 当 时,有
现取正整数 K,使 于是当 Kk ? 时,有
?kn N?
从而有 由此证明
.lim ax knk ???
********************
N
Nx
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三、极限存在准则
由此性质可知,若数列有两个子数列收敛于不同的极
限,
例如,
1l i m 2 ???? kk x
发散 !
夹逼准则 ; 单调有界准则 ; 柯西审敛准则,
则原数列一定发散,
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说明,
azy nnnn ?? ???? limlim)2(
1,夹逼准则 (准则 1) (P49)
),2,1()1( ???? nzxy nnn ax
nn ???lim
证, 由条件 (2),,0???,1N?
当 时,
当 时,
令 ? ?,,m a x 21 NNN ? 则当 Nn ? 时,有
由条件 (1) nnn zxy ?????a ??? a
即,??? ax n 故,l i m ax nn ???
,2N
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例 5,证明
证, 利用夹逼准则,
?????? ?????? ??? nnnnn 222 1211 ???? 2
2
n
n
且
???? 2
2
l i m n n
n 21
1lim
n
n ??
?
?? 1?
nn ??? lim ?????? ?????? ??? nnnn 222
1
2
11 ?
1?
由
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2,单调有界数列必有极限 ( 准则 2 ) ( P52 )
)(l i m Max nn ????
)(l i m mbx nn ????
( 证明略 )
a
b
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例 6,设 证明数列
极限存在, (P52～ P54)
证, 利用二项式公式,有
nnnx )1( 1??
??1 n
n1!1
2
1!2 )1(
n
nn ??
3
1!3 )2)(1(
n
nnn ??? ??
nnn
nnnn 1
!
)1()1( ???? ?
??? 11
) 1( 1!1 nn ?? ) ( 2n? ) 1( 1nn ???
)1( 1!21 n? ?? )1( 1!31 n?? )1( 2n?
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??? 11nx
) 1( 1!1 nn ?? ) ( 2n? ) 1( 1nn ???
)1( 1!21 n? ?? )1( 1!31 n?? )1( 2n?
???? 111nx )1( 11!21 ?? n )1)(1( 1211!31 ?? ??? nn??
)1()1)(1( 11211!)1( 1 ???? ???? n nnnn ?
大 大
正
),2,1(1 ??? ? nxx nn
????? 11)1( 1 nnnx又
比较可知
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根据准则 2 可知数列 ? ?nx
记此极限为 e,
ennn ???? )1(l i m 1
e 为无理数,其值为
?5 9 0 4 57 1 8 2 8 1 8 2 8 4.2?e
即
有极限,
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????? 11)1( 1 nnnx
??? 11
又
3? 12 13 ??? n
*3,柯西极限存在准则 (柯西审敛原理 ) (P55)
数列 极限存在的充要条件是,
,0??? 存在正整数 N,使当 NnNm ??,时,
??? mn xx
证, ―必要性”, 设,lim ax nn ??? 则
时,有
使当
,2??? ax n 2??? ax m
因此 ?? mn xx
??? ax n axm ???
―充分性” 证明从略,
有
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内容小结
1,数列极限的, ? – N ‖ 定义及应用
2,收敛数列的性质,
唯一性 ; 有界性 ; 保号性 ;
任一子数列收敛于同一极限
3,极限存在准则,
夹逼准则 ; 单调有界准则 ; 柯西准则
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思考与练习
1,如何判断极限不存在?
方法 1,找一个趋于 ∞的子数列 ;
方法 2,找两个收敛于不同极限的子数列,
2,已知 ),2,1(21,1 11 ????? ? nxxx nn,求
nn x??lim
时,下述作法是否正确? 说明理由,
设,lim ax
nn ???
由递推式两边取极限得
aa 21 ?? 1??a
不对 ! 此处 ??
?? nn xlim
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作业
P30 3 (2),(3),4,6
P56 4 (1),(3)
4 (3) 提示,
可用数学归纳法证
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故极限存在,
备用题
1.设 )(2
1
1
n
nn x
axx ??
? ),2,1( ??n
,0?a
,01 ?x,且
求,lim nn x??
解,
设 Ax nn ???lim
则由递推公式有 )(2
1
A
aAA ?? aA ??
)(211
n
nn x
axx ??
?? ? nx
nx
a?
a?
n
n
x
x 1? )1(
2
1
2
nx
a?? )1(
2
1
a
a?? 1?
∴ 数列单调递减有下界,
,01 ?x? 故 ax nn ???lim
利用极限存在准则
,0?? nx
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2,设
证, 显然,1?? nn xx
证明下述数列有极限,
即 单调增,又
?1( 1)?
??
?
??? )1()1(
1
1 kaa ?
存在
“拆项相消” 法
