在日常生活中所用的就是单相正弦交流电，简称交流电。本章主要介绍交流电的相量表示法及电阻、电感、电容元件在交流电路中的电流、电压和功率的分析法。
第 3章 单相正弦交流电路幅值、频率和初相
3.1.1 幅值交流电的瞬时值表达式为
u＝ Umsin(ωt＋ ψ) (3.1)
Um幅值,又称最大值。
有效值 U与幅值的关系为
（ 3.2）
3.1 交流电的三要素
UU 2m?
每秒内交流电变化的次数，称为频率 f（ Hz）。交流电变化一次所需要的时间称为周期 T（ s）。频率与周期的关系为
（ 3.3）
f ＝ 50Hz 称为工频。
ω （ red／ s） 称为角频率。
ω＝ 2πf ＝ (3.4)
Tf
1?
T
2
3.1.2 频率已知我国的交流电 f ＝ 50 Hz,试求 T
和 ω 。
解：
ω＝ 2πf ＝ 2× 3.14× 50＝ 314rad/ s
sfT 02.05011
【 例 3.1】
u＝ Umsin(ωt＋ ψ)
(ωt＋ ψ)称为相位。它表示交流电在某一时刻所处的变化状态，决定该时刻瞬时值的大小、方向和变化趋势。
ψ 称为初相，它表示计时开始时交流电所处的变化状态幅值、频率和初相分别表示交流电变化的幅度、快慢和起始状态。称为交流电的三要素。
3.1.3 初相交流电的相量表示法是为了便于分析和计算。 用复数的运算方法进行交流电的分析和计算，称为交流电的相量表示法。
3.2 交流电的相量表示法图 3.2称为复平面图,A为复数，横轴为实轴 +1,a是 A的实部，
A与实轴的夹角 ψ称为辐角，纵轴为虚轴 j = 。 b是 A的虚部,r为 A的模。这些量之间的关系为
3.2.1 复数的二种表示形式
1?
a
b
bar
rb
ra
ar c t an
s in
c o s
22
交流电的相量交流电的有效值 I ＝ r
交流电的初相 ψ＝ ψ
3.2.2 相量与复数
a
b
ba
b
a
I
I
III
II
II
a r c ta n
s in
c o s
22
相量只是正弦交流电的一种表示方法和运算的工具,
只有同频率的正弦交流电才能进行相量运算,所以相量运算只含有交流电的有效值 （ 或幅值 ） 和初相两个要素 。
3.2.3 相量的运算已知 u1,u2的有效值分别为 U1＝ 100V,U2＝
60V,u1 超前于 u2 600，求 (1)总电压 u＝ u1＋ u2 的有效值
，并画出相量图； (2)总电压 u 与 u1 及 u2 的相位差。
解,只有同频率的交流电才能进行相量运算,所以
= =ψ1－ ψ2＝ 600，如选 ψ1＝ 00，则
【 例 3.2】
单一参数是指在电路中只有电阻 R、电感 L或电容 C其中的一种元件。掌握了单一参数在电路中的作用，混合参数电路的分析就很容易掌握了。
3.3 单一参数的交流电路
1,R上电压与电流关系如选择 i＝ Imsinωt
则 u＝ Ri＝ RImsinωt＝ Umsinωt
u与 i同频同相。其有效值及相量的关系分别为
U＝ RI
3.3.1电阻电路
p＝ ui＝ UmImsin2ωt＝ U I (1－ cos2ωt)
＝ U I－ U Icos2ωt
平均功率为 P ＝ UI＝ I2R＝
P为正值,R 吸收功率为耗能元件
P又称有功功率
2.R上 功率
R
U2
1,L上电压与电流关系如 i＝ Imsinωt 则电感电路 u超前 i 900,有效值的关系为 U＝ XL I
XL＝ ωL＝ 2πf L,XL （ Ω）称为感抗,f愈高 XL愈大。
3.3.2电感电路
)90s i n (c o ss i n 0 tUtLIdt tdILdtdiLu mmm
p＝ ui＝ UmImsin(ωt＋ 900)sinωt
＝ UmImcosωtsinωt＝ UIsin2ωt
在 0-π/2区间 p为正值，电感吸收功率，在 π/2-π区间 p为负值，电感发出功率，不消耗功率，为储能元件。
电感的平均功率 P＝ 0。电感与电源之间能量的互换用无功功率 Q来计量。
Q＝ UI＝ I2XL＝ (var)
2,L上功率
LX
U2
在功放机的电路中，有一个高频扼流线圈，用来阻挡高频而让音频信号通过，已知扼流圈的电感 L＝ 10mH，求它对电压为
5伏，频率为 f1＝ 500kHz的高频信号及对 f2＝ 1kHz的音频信号的感抗及无功功率分别是多少？
解,XL1＝ 2πf1 L＝ 2× 3.14× 500k× 10m＝ 31.4kΩ
Q1＝ I1U＝ 0.16m× 5＝ 0.8mvar
XL2＝ 2πf2 L＝ 2× 3.14× 1k× 10 m＝ 62.8Ω
Q＝ I2U＝ 79.62 m× 5＝ 398mvar
【 例 3.3】
mA16.0k4.31 51
LX
UI
mA62.798.62 5
2
2
LX
UI
1,C上电压与电流关系如 u＝ Umsinωt 则电容 i 超前 u900，有效值 U＝ XC I （ Ω）
XC称为容抗，与频率 f成反比,f愈高 XC愈小。电容有隔直通交作用。
电容两端的电压与电流的相量关系为
3.3.3 电容电路
)90s i n (c o ss i n 0 tItCUdt tdUCdtduCi mmmC
fCCX C 2 11
p＝ ui＝ UmImsinωtsin(ωt＋ 900)
＝ UmImsinωtcosωt＝ UIsin2ωt
在 0-π/2区间 p为正值，电容吸收功率，在 π/2-
π区间 p为负值，电容发出功率，不消耗功率，也为储能元件。
P＝ 0,电容与电源之间互换的能量用无功功率 Q来计量，单位是乏（ var）
2,C上功率
C
C X
UXIUIQ 22
在收录机的输出电路中，常利用电容来短掉高频干扰信号，保留音频信号。如高频滤波的电容为 0.1μF，干扰信号的频率 f1＝ 1000KHz，音频信号的频率 f2＝ 1kHz，求容抗分别为多少？
解：
【 例 3.4】
6.10,1 μk100014.32 12 1
1
1 CfX C?
k6.10,1 μk114.32 12 1
2
2 CfX C?
3.4.1 阻抗三角形
R,L,C串联后对电流的阻碍作用称为阻抗，用字母 Z （ Ω）表示，复数式为
Z＝ R＋ jXL＋ (－ jXC)＝ R＋ j(XL－ XC)＝ R＋ jX
X （ Ω）称为电抗 X＝ XL－ XC
阻抗值为
|Z|,R,X三者之间符合直角三角形的关系，称其为阻抗三角形。
阻抗角 ＝ arctan
3.4 电阻、电感、电容串联的电
2222 )( CL XXRXRZ
R
X?
与 之间的相位差 ＝ ψu－ ψi＝ arctan ＝ arctan?U?I?
R
X
U
U
R
X
3.4.2 电压三角形
2222 )( CLRXR UUUUUU ZUI?
将电压三角形的各个边乘以电流 I,就可得到功率三角形 。
P＝ UR I＝ S cos （ W）
Q＝ QL－ QC=S sin （ var）
S＝ U I＝ ＝ （ VA）
阻抗三角形、电压三角形和功率三角形是分析计算 R,L、
C串联或其中两种元件串联的重要依据。
22 QP?
cos
P
3.4.3 功率三角形功率因数：
在只有电感或电容元件的电路中,P＝ 0,S＝ Q,＝ 0；
在只有电阻元件的电路中，
Q＝ 0,S＝ P,＝ 1 ；
当 L很大时，并接电容提高功率因数
3.5功率因数的提高
c o s SP
)t a n( t a n 12 UPC
某供电设备输出 220V，额定视在功率为 220kVA，如果向额定功率为 33kW，功率因数为 0.8的 工厂供电，能供给几个工厂？若把功率因数提高到 0.95，又能供给几个工厂？每个工厂应并接多大的电容？
解,供电设备输出的额定电流为当 1＝ 0.8时，每个工厂取用的电流为可供给的工厂数为 个厂当 ＝ 0.95时，每个工厂取用的电流为可供给的工厂数为 1 个厂应并接的电容式中 1＝ arccos0.8＝ 36.90 ＝ arccos0.95＝ 18.20
916μF
【 例 3.5】
kA1220 k220 USI N
1
A5.1870,8220 k33
11
U PI
55.1871000
1
II N
A9.157
0,9 5220
k33?
U
PI
69.1 5 71 0 0 0II N
)t a n( t a n 12 UPC
)2.18t a n9.36( t a n2 205014.32 1 00 033 002C
所谓谐振，是指在含有电容和电感的电路中，当调节电路的参数或电源的频率，使电路的总电压和总电流相位相同时，整个电路的负载呈电阻性。这时电路就发生了谐振。谐振分为串联谐振和并联谐振。
3.6 电路中的谐振
R,L,C串联当 与 同相时,
即 ＝ 0，
电路产生串联谐振。
串联谐振的条件是
XL＝ XC 即
3.6.1串联谐振
U?I
CfLf 00 2
12
LCf?2
1
0?
（ 1）电路的阻抗最小并呈电阻性，根据阻抗三角形
（ 2）电路中的电流最大，谐振时的电流为
（ 3）当 XL＝ XC＞＞ R时,UL＝ UC＞＞ U 故又称其为电压谐。
串联谐振电路的品质因数串联谐振的特点：
RXXRZ CL 220 )(
R
U
Z
UI
0
0
R
L
CRU
U
U
UQ LC 0
0
1?
某收音机的输入电路，各地电台发射的无线电波在天线线圈中分别产生感应电动势 e1、,e2,e3等。如果线圈的电阻为 16Ω，电感为 0.3mH，今欲收听中央人民广播电台
560kHz的广播，应将调谐的可变电容 C调到多少？如果调谐回路中感应电压为 2μV，求谐振电流及谐振线圈上的电压 UL及谐振电路的品质因数 Q。
【 例 3.6】
解,串联谐振频率电容谐振时
XL ＝ 2πf0L＝ 2× 3.14× 560k× 0.3m ＝ 1kΩ
UL＝ I0XL＝ 0.13μ× 1k＝ 130μV
LCf?2
1
0?
pFLfC 2 6 9m3.0k)5 6 014.32( 1)2( 1 22
0
A13.01620 RUI
652130 UUQ L
当 R＜＜ ωL,同相时，即 ＝ 0，电路产生并联谐振。并联谐振 的条件是 XL＝ XC。 谐振频率 。
并联谐振的特点：
（ 1）阻抗最大，呈电阻性，
（ 2）电路的总电流量小，
（ 3）谐振总电流 和 支路电流的相量关系如图。
并联谐振各支路电流大于总电流，所以并联谐振又称其为电流谐振。
3.6.2并联谐振
LCf?2
1
0?
RC
LZ?
0
0
0 Z
UI?
1.幅值、频率和初相是正弦交流电的三要素 。
2.正弦交流电主要有瞬时表达式,波形图和相量表示法三种形式 。 相量表示法是利用复数的运算方法对正弦交流电进行分析和运算 。
3.电阻电路电压与电流同相,电感电路电压超前电流 900,电容电路电压滞后电流 900.电阻为耗能元件,电感,电容均为储能元件 。 利用相量图可得出 R,L,C串联电路的阻抗三角形,电压三角形和功率三角形 。
4.串联谐振的条件是 XL＝ XC,同相 。 特点是阻抗最小 |Z0|＝ R
,电流最大,如果 XL＝ XC ＞＞ R,则 UL＝ UC＞＞ U,所以串联谐振又称电压谐振 。
并联谐振在 R＜＜ XL时,（ 一般情况都能满足 ）,其谐振条件也为 XL＝
XC,同相 。 特点是阻抗最大,总电流 I0最小,IL≈IC＞＞ I0所以并联谐振又称电流谐振 。
本章小结
第 3章 单相正弦交流电路幅值、频率和初相
3.1.1 幅值交流电的瞬时值表达式为
u＝ Umsin(ωt＋ ψ) (3.1)
Um幅值,又称最大值。
有效值 U与幅值的关系为
（ 3.2）
3.1 交流电的三要素
UU 2m?
每秒内交流电变化的次数，称为频率 f（ Hz）。交流电变化一次所需要的时间称为周期 T（ s）。频率与周期的关系为
（ 3.3）
f ＝ 50Hz 称为工频。
ω （ red／ s） 称为角频率。
ω＝ 2πf ＝ (3.4)
Tf
1?
T
2
3.1.2 频率已知我国的交流电 f ＝ 50 Hz,试求 T
和 ω 。
解：
ω＝ 2πf ＝ 2× 3.14× 50＝ 314rad/ s
sfT 02.05011
【 例 3.1】
u＝ Umsin(ωt＋ ψ)
(ωt＋ ψ)称为相位。它表示交流电在某一时刻所处的变化状态，决定该时刻瞬时值的大小、方向和变化趋势。
ψ 称为初相，它表示计时开始时交流电所处的变化状态幅值、频率和初相分别表示交流电变化的幅度、快慢和起始状态。称为交流电的三要素。
3.1.3 初相交流电的相量表示法是为了便于分析和计算。 用复数的运算方法进行交流电的分析和计算，称为交流电的相量表示法。
3.2 交流电的相量表示法图 3.2称为复平面图,A为复数，横轴为实轴 +1,a是 A的实部，
A与实轴的夹角 ψ称为辐角，纵轴为虚轴 j = 。 b是 A的虚部,r为 A的模。这些量之间的关系为
3.2.1 复数的二种表示形式
1?
a
b
bar
rb
ra
ar c t an
s in
c o s
22
交流电的相量交流电的有效值 I ＝ r
交流电的初相 ψ＝ ψ
3.2.2 相量与复数
a
b
ba
b
a
I
I
III
II
II
a r c ta n
s in
c o s
22
相量只是正弦交流电的一种表示方法和运算的工具,
只有同频率的正弦交流电才能进行相量运算,所以相量运算只含有交流电的有效值 （ 或幅值 ） 和初相两个要素 。
3.2.3 相量的运算已知 u1,u2的有效值分别为 U1＝ 100V,U2＝
60V,u1 超前于 u2 600，求 (1)总电压 u＝ u1＋ u2 的有效值
，并画出相量图； (2)总电压 u 与 u1 及 u2 的相位差。
解,只有同频率的交流电才能进行相量运算,所以
= =ψ1－ ψ2＝ 600，如选 ψ1＝ 00，则
【 例 3.2】
单一参数是指在电路中只有电阻 R、电感 L或电容 C其中的一种元件。掌握了单一参数在电路中的作用，混合参数电路的分析就很容易掌握了。
3.3 单一参数的交流电路
1,R上电压与电流关系如选择 i＝ Imsinωt
则 u＝ Ri＝ RImsinωt＝ Umsinωt
u与 i同频同相。其有效值及相量的关系分别为
U＝ RI
3.3.1电阻电路
p＝ ui＝ UmImsin2ωt＝ U I (1－ cos2ωt)
＝ U I－ U Icos2ωt
平均功率为 P ＝ UI＝ I2R＝
P为正值,R 吸收功率为耗能元件
P又称有功功率
2.R上 功率
R
U2
1,L上电压与电流关系如 i＝ Imsinωt 则电感电路 u超前 i 900,有效值的关系为 U＝ XL I
XL＝ ωL＝ 2πf L,XL （ Ω）称为感抗,f愈高 XL愈大。
3.3.2电感电路
)90s i n (c o ss i n 0 tUtLIdt tdILdtdiLu mmm
p＝ ui＝ UmImsin(ωt＋ 900)sinωt
＝ UmImcosωtsinωt＝ UIsin2ωt
在 0-π/2区间 p为正值，电感吸收功率，在 π/2-π区间 p为负值，电感发出功率，不消耗功率，为储能元件。
电感的平均功率 P＝ 0。电感与电源之间能量的互换用无功功率 Q来计量。
Q＝ UI＝ I2XL＝ (var)
2,L上功率
LX
U2
在功放机的电路中，有一个高频扼流线圈，用来阻挡高频而让音频信号通过，已知扼流圈的电感 L＝ 10mH，求它对电压为
5伏，频率为 f1＝ 500kHz的高频信号及对 f2＝ 1kHz的音频信号的感抗及无功功率分别是多少？
解,XL1＝ 2πf1 L＝ 2× 3.14× 500k× 10m＝ 31.4kΩ
Q1＝ I1U＝ 0.16m× 5＝ 0.8mvar
XL2＝ 2πf2 L＝ 2× 3.14× 1k× 10 m＝ 62.8Ω
Q＝ I2U＝ 79.62 m× 5＝ 398mvar
【 例 3.3】
mA16.0k4.31 51
LX
UI
mA62.798.62 5
2
2
LX
UI
1,C上电压与电流关系如 u＝ Umsinωt 则电容 i 超前 u900，有效值 U＝ XC I （ Ω）
XC称为容抗，与频率 f成反比,f愈高 XC愈小。电容有隔直通交作用。
电容两端的电压与电流的相量关系为
3.3.3 电容电路
)90s i n (c o ss i n 0 tItCUdt tdUCdtduCi mmmC
fCCX C 2 11
p＝ ui＝ UmImsinωtsin(ωt＋ 900)
＝ UmImsinωtcosωt＝ UIsin2ωt
在 0-π/2区间 p为正值，电容吸收功率，在 π/2-
π区间 p为负值，电容发出功率，不消耗功率，也为储能元件。
P＝ 0,电容与电源之间互换的能量用无功功率 Q来计量，单位是乏（ var）
2,C上功率
C
C X
UXIUIQ 22
在收录机的输出电路中，常利用电容来短掉高频干扰信号，保留音频信号。如高频滤波的电容为 0.1μF，干扰信号的频率 f1＝ 1000KHz，音频信号的频率 f2＝ 1kHz，求容抗分别为多少？
解：
【 例 3.4】
6.10,1 μk100014.32 12 1
1
1 CfX C?
k6.10,1 μk114.32 12 1
2
2 CfX C?
3.4.1 阻抗三角形
R,L,C串联后对电流的阻碍作用称为阻抗，用字母 Z （ Ω）表示，复数式为
Z＝ R＋ jXL＋ (－ jXC)＝ R＋ j(XL－ XC)＝ R＋ jX
X （ Ω）称为电抗 X＝ XL－ XC
阻抗值为
|Z|,R,X三者之间符合直角三角形的关系，称其为阻抗三角形。
阻抗角 ＝ arctan
3.4 电阻、电感、电容串联的电
2222 )( CL XXRXRZ
R
X?
与 之间的相位差 ＝ ψu－ ψi＝ arctan ＝ arctan?U?I?
R
X
U
U
R
X
3.4.2 电压三角形
2222 )( CLRXR UUUUUU ZUI?
将电压三角形的各个边乘以电流 I,就可得到功率三角形 。
P＝ UR I＝ S cos （ W）
Q＝ QL－ QC=S sin （ var）
S＝ U I＝ ＝ （ VA）
阻抗三角形、电压三角形和功率三角形是分析计算 R,L、
C串联或其中两种元件串联的重要依据。
22 QP?
cos
P
3.4.3 功率三角形功率因数：
在只有电感或电容元件的电路中,P＝ 0,S＝ Q,＝ 0；
在只有电阻元件的电路中，
Q＝ 0,S＝ P,＝ 1 ；
当 L很大时，并接电容提高功率因数
3.5功率因数的提高
c o s SP
)t a n( t a n 12 UPC
某供电设备输出 220V，额定视在功率为 220kVA，如果向额定功率为 33kW，功率因数为 0.8的 工厂供电，能供给几个工厂？若把功率因数提高到 0.95，又能供给几个工厂？每个工厂应并接多大的电容？
解,供电设备输出的额定电流为当 1＝ 0.8时，每个工厂取用的电流为可供给的工厂数为 个厂当 ＝ 0.95时，每个工厂取用的电流为可供给的工厂数为 1 个厂应并接的电容式中 1＝ arccos0.8＝ 36.90 ＝ arccos0.95＝ 18.20
916μF
【 例 3.5】
kA1220 k220 USI N
1
A5.1870,8220 k33
11
U PI
55.1871000
1
II N
A9.157
0,9 5220
k33?
U
PI
69.1 5 71 0 0 0II N
)t a n( t a n 12 UPC
)2.18t a n9.36( t a n2 205014.32 1 00 033 002C
所谓谐振，是指在含有电容和电感的电路中，当调节电路的参数或电源的频率，使电路的总电压和总电流相位相同时，整个电路的负载呈电阻性。这时电路就发生了谐振。谐振分为串联谐振和并联谐振。
3.6 电路中的谐振
R,L,C串联当 与 同相时,
即 ＝ 0，
电路产生串联谐振。
串联谐振的条件是
XL＝ XC 即
3.6.1串联谐振
U?I
CfLf 00 2
12
LCf?2
1
0?
（ 1）电路的阻抗最小并呈电阻性，根据阻抗三角形
（ 2）电路中的电流最大，谐振时的电流为
（ 3）当 XL＝ XC＞＞ R时,UL＝ UC＞＞ U 故又称其为电压谐。
串联谐振电路的品质因数串联谐振的特点：
RXXRZ CL 220 )(
R
U
Z
UI
0
0
R
L
CRU
U
U
UQ LC 0
0
1?
某收音机的输入电路，各地电台发射的无线电波在天线线圈中分别产生感应电动势 e1、,e2,e3等。如果线圈的电阻为 16Ω，电感为 0.3mH，今欲收听中央人民广播电台
560kHz的广播，应将调谐的可变电容 C调到多少？如果调谐回路中感应电压为 2μV，求谐振电流及谐振线圈上的电压 UL及谐振电路的品质因数 Q。
【 例 3.6】
解,串联谐振频率电容谐振时
XL ＝ 2πf0L＝ 2× 3.14× 560k× 0.3m ＝ 1kΩ
UL＝ I0XL＝ 0.13μ× 1k＝ 130μV
LCf?2
1
0?
pFLfC 2 6 9m3.0k)5 6 014.32( 1)2( 1 22
0
A13.01620 RUI
652130 UUQ L
当 R＜＜ ωL,同相时，即 ＝ 0，电路产生并联谐振。并联谐振 的条件是 XL＝ XC。 谐振频率 。
并联谐振的特点：
（ 1）阻抗最大，呈电阻性，
（ 2）电路的总电流量小，
（ 3）谐振总电流 和 支路电流的相量关系如图。
并联谐振各支路电流大于总电流，所以并联谐振又称其为电流谐振。
3.6.2并联谐振
LCf?2
1
0?
RC
LZ?
0
0
0 Z
UI?
1.幅值、频率和初相是正弦交流电的三要素 。
2.正弦交流电主要有瞬时表达式,波形图和相量表示法三种形式 。 相量表示法是利用复数的运算方法对正弦交流电进行分析和运算 。
3.电阻电路电压与电流同相,电感电路电压超前电流 900,电容电路电压滞后电流 900.电阻为耗能元件,电感,电容均为储能元件 。 利用相量图可得出 R,L,C串联电路的阻抗三角形,电压三角形和功率三角形 。
4.串联谐振的条件是 XL＝ XC,同相 。 特点是阻抗最小 |Z0|＝ R
,电流最大,如果 XL＝ XC ＞＞ R,则 UL＝ UC＞＞ U,所以串联谐振又称电压谐振 。
并联谐振在 R＜＜ XL时,（ 一般情况都能满足 ）,其谐振条件也为 XL＝
XC,同相 。 特点是阻抗最大,总电流 I0最小,IL≈IC＞＞ I0所以并联谐振又称电流谐振 。
本章小结
