2010年 2月 1日 1时 1分 1
前面讲的异步电动机变频调速的根据
是异步电动机在稳定状态下的等值电路和
转矩公式，不考虑磁通在动态下的变化。
另外对电压、电流的控制也只是控制幅值
而不控制相位。因此不可能有很好的动态
性能。对一些动态性能要求较高的生产机
械来说，不能满足其工艺要求。
第七章 异步电动机的动态数学
模型及矢量控制
2010年 2月 1日 1时 1分 2
矢量控制（ Transvector control）理论
是 1971年由德国学者首先提出的，它的 基
本思想是：把交流电动机的动态数学模型
经过变换，将强耦和的磁场分量和转矩分
量分离开，模拟直流电动机控制方式 。它
具有直流电动机调速的全部优点。
根据电机学知识,已知对称三相绕组通
入对称的三相交流电会产生旋转磁场；
矢量控制的基本思想
3 2 =
2010年 2月 1日 1时 1分 3
? 三相静止绕组产生旋转磁势
? 两相静止绕组产生旋转磁势
? 随两相绕组旋转的静止磁势
? M轴与三相旋转磁场方向一致,则通入 M
绕组的电流就相当于直流机的励磁电流,
2010年 2月 1日 1时 1分 4
? 第一节 A,B,C 坐标系统异步电动机的动态
数学模型
? 第二节 空间矢量的概念
? 第三节 异步电动机的空间矢量方程式
? 第四节 空间矢量分解为 x,y分量
? 第五节 坐标变换及坐标变换电路
? 第六节 异步电动机的矢量控制
? 第七节 异步电动机矢量控制系统举例
2010年 2月 1日 1时 1分 5
第一节 ABC 坐标系下的
异步电动机动态数学模型
三相异步电动机的动态数学模型包括,
一、磁链方程式
二、电压方程式
三、转矩方程式
2010年 2月 1日 1时 1分 6
一、磁链方程式
? 1.假定条件
⑴ 无论笼型转子或绕线转子，都被等效成三相绕
线转子；
⑵ 三相定子绕组 A,B,C及三相转子绕组 a,b,c在
空间对称分布，各相电流产生的磁势在气隙中
呈正弦分布；
⑶ 不计磁路饱和及铁心损耗的影响；
⑷ 不计温度和频率变化对电机参数的影响。
波形不发生畸变
电阻 r为常数
2010年 2月 1日 1时 1分 7
以定子 A轴为参考轴，
B.C轴与互其差 120空
间角度；转子坐标与定
子坐标差 角
一、磁链方程式
?
A
B
C
a
b
c
u e L
i
r
de
dt
???
?
?
i
图 7-1 A,B,C坐标系统
磁链与产生它的
电流和磁势有关
磁链＝ Li
磁链的变化在绕
组中产生电势 e
Li? ?
2010年 2月 1日 1时 1分 8
一、磁链方程式
? 2.两线圈的主磁链
以两个线圈的磁链为例,设三相异步电动机定
子和转子各有一个等效的 整距、集中 线圈 1和
2，他们产生的 基波磁势 分别与实际定、转子
一相 绕组产生的基波磁势相等。
2010年 2月 1日 1时 1分 9
有效匝数,
式中 W1,W2－定, 转子绕组每相串联匝数；
kw1,kw2 －定, 转子绕组的基波绕组系数；
p －电动机的极对数。
? 假定两线圈轴线 重合,
①在线圈 2中通入电流 （图 7-2）
一、磁链方程式
11
1
22
2
2
2
w
w
Wk
N
p
Wk
N
p
?
?
?
?
(7 1)?
2i
2010年 2月 1日 1时 1分 10
一、磁链方程式
2 2 2F N i?
2220 NiB? ? ??
l
线圈 2产生的基波磁势幅值为
气隙磁密为正弦波，磁感强度为
线圈 2每极平均磁通为
式中 －气隙磁导。
2 / 2rp???
222 0 2 22 mNil N i? ? ?
??
??? ? ???
??
02
22
2
m
rl
N i p
??
?? ? ?
设 为铁心长度,r 为气隙平均半径,为空气磁导率，
极距为
0?
（图 7-2）
2010年 2月 1日 1时 1分 11
一、磁链方程式
磁通 与线圈 1交链的磁链为
式中 为 1.2两线圈轴线重合时的主互感：
②同理，当两线圈轴线重合时，线圈 1中通电流
在线圈 2中产生的磁链为
由于磁路对称，不计磁路饱和时 常数。
2?
? ?1 2 1 2 1 2 2 1 2 2mN N N i L i??? ? ? ?
12L
12
1 2 1 2
2
mL N Ni
?? ? ?
1i
? ?2 1 2 1 2 1 1 2 1 1mN N N i L i??? ? ? ?
12 21LL??
2010年 2月 1日 1时 1分 12
一、磁链方程式
?
2i
1N
2N
1轴
2轴
12 0? ?
图 7-2 两线圈的磁链
线圈 2中产生的基波磁
势幅值为 F2=N2i2
极距
2010年 2月 1日 1时 1分 13
运行中的转子与定子之间的夹角是
不断变化的,
? 两线圈轴线夹角为任意值：
参见 图（ 7-3）
或 （ 7-6）
★ 即主互感为两线圈轴线夹角 的函数，它等于两线
圈轴线重合时的主互感 乘以两轴线夹角
（电角度）的余弦。
12?
? ?1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2c o s c o s c o smmN N F N N i L i? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?
12
12 12
2
c osLi? ??
12?
12L 12?
2010年 2月 1日 1时 1分 14
一、磁链方程式
? ?
2i
1轴 2轴
12?
90 ( )电
2 2 2F N i?
2 1 2sinF ?
2 12cosF ?
1轴
2轴
12?
2F
2 12cosF ?
2 1 2sinF ?
图（ 7-3）磁势的分解及主磁链
2010年 2月 1日 1时 1分 15
一、磁链方程式
上述关系虽然是以定子和转子 两个线圈 为
例得出的，但对异步电动机定子 A,B,C和转子 a,
b,c共六个等效的整距集中线圈中的任何两个
线圈都适用，取 为该两线圈轴线的夹角即
可。
? 3.漏磁链
式中 为漏磁路的磁导,为线圈的漏感。
12?
l l lN N F N Ni l i???? ? ? ? ? ? ?
?? 2llN ???
2010年 2月 1日 1时 1分 16
一、磁链方程式
? 定子三相绕组的磁链
A相总磁链 的组成：
⑴ 漏磁链
⑵ 定子三相电流产生的主
磁链
⑶ 转子三相电流产生的主
磁链
? 转子三相绕组的磁链
a相总磁链 的组成：
⑴ 漏磁链
⑵ 转子三相电流产生的主
磁链
⑶ 定子三相电流产生的主
磁链
A? a?
Al? al?
,,;AA AB AC? ? ?,,;aa ab ac? ? ?
,,;A a A b A c? ? ?,,;aA aB aC? ? ?
? ?
? ?
A A l A A A B A C
A a A b A c
? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
? ?
? ?
a a l a a a b a c
a A a B a C
? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
4.
2010年 2月 1日 1时 1分 17
一、磁链方程式
根据 图 7-1及式 （ 7-6） 得
同理：
? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 1 2 1 2
1 1 1 1 2
c o s 0 c o s 1 2 0 c o s 2 4 0
c o s c o s 1 2 0 c o s 2 4 0
11
c o s c o s 1 2 0 c o s 2 4 0
22
A m A m B m C
m a m b m c
l A A B C a b c
A N N i N N i N N i N N i
N N i N N i N N i
L i L i i i L i i i
?
? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ?
??? ? ? ? ? ? ? ?
??
?? ??
? ? ? ? ? ? ? ? ??? ??
??
? ? ? ?1 1 1 1 211 c os 120 c os c os 12022l B A B C a b cB L i L i i i L i i i? ? ?? ?? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ????
? ? ? ?1 1 1 1 211 c o s 1 2 0 c o s 2 4 0 c o s22l C A B C a b cC L i L i i i L i i i? ? ?? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????
①
2010年 2月 1日 1时 1分 18
一、磁链方程式
? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 1 2 1 2 1
2 2 2 2 1
c o s 0 c o s 1 2 0 c o s 2 4 0
c o s c o s 1 2 0 c o s 2 4 0
11
c o s c o s 1 2 0 c o s 1 2 0
22
a m a m b m c
m A m B m C
l a a b c A B C
a
N N i N N i N N i N N i
N N i N N i N N i
L i L i i i L i i i
?
? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ?
??? ? ? ? ? ? ? ?
??
??
??? ? ? ? ? ? ? ? ???
??
??
同理：
? ? ? ?2 2 2 2 111 c os 120 c os c os 12022l b a b c A B Cb L i L i i i L i i i? ? ?? ?? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ????
? ? ? ?2 2 2 2 111 c os 120 c os 120 c os22l c a b c A B Cc L i L i i i L i i i? ? ?? ?? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ????
②
2010年 2月 1日 1时 1分 19
一、磁链方程式
定子绕组 转子绕组
漏感
主电感
主互感
21 1 1lLN ??? 22 2 2lLN ???
211 1 mLN?? 22 2 2 mLN??
1 2 2 1 1 2 mL L N N? ? ? 2 1 1 2 1 2 mL L N N? ? ?
5.三相异步电动机磁链的矩阵方程式
把 ① 和 ② 中的六个磁链方程式合起来写成矩阵形式
如下：
2010年 2月 1日 1时 1分 20
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
11
22
11
22
11
22
l
l
l
L L L L
L L L L
L L L L
? ? ?
? ? ?
? ? ?
一、磁链方程式
2 22 22 22
22 2 22 22
22 22 2 22
11
22
11
22
11
22
l
l
l
L L L L
L L L L
L L L L
? ? ?
? ? ?
? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
c o s c o s 1 2 0 c o s 1 2 0
c o s 1 2 0 c o s c o s 1 2 0
c o s 1 2 0 c o s 1 2 0 c o s
L L L
L L L
L L L
? ? ?
? ? ?
? ? ?
??
??
??
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
c o s c o s 1 2 0 c o s 1 2 0
c o s 1 2 0 c o s c o s 1 2 0
c o s 1 2 0 c o s 1 2 0 c o s
L L L
L L L
L L L
? ? ?
? ? ?
? ? ?
??
??
??
A
B
C
i
i
i
a
b
c
i
i
i
A
B
C
?
?
?
a
b
c
?
?
?
= SS
L SRL
RSL RR
L
S?
R?
Si
Ri
转置
定、转子的 主 电 感 子矩阵是 常数阵,
定、转子的 主 互 感 子矩阵是 时变阵 。
（ 7-16）
2010年 2月 1日 1时 1分 21
二、电压方程式
? 三相定子绕组电压方
程式：
? 三相转子绕组电压方
程式：1
1
1
A
AA
B
BB
C
CC
d
u r i
dt
d
u r i
dt
d
u r i
dt
?
?
?
??
??
??
2
2
2
a
aa
b
bb
c
cc
d
u r i
dt
d
u r i
dt
d
u r i
dt
?
?
?
??
??
??
将以上二式写成矩阵形式，用微分算子
代替微分运算符号则有
dP
dt?
定子绕
组电阻
转子绕
组电阻
2010年 2月 1日 1时 1分 22
二、电压方程式
1
1
1
2
2
2
0
0
r
r
r
r
r
r
=
A
B
C
a
b
c
u
u
u
u
u
u
A
B
C
a
b
c
i
i
i
i
i
i
+ P
A
B
C
a
b
c
?
?
?
?
?
?
U R i ?
（ 7-20）
把 （ 7-16） 代入式（ 7-20）：
LU R i LP i i?
?
?? ? ?
?
(7-21)
2010年 2月 1日 1时 1分 23
二、电压方程式
式中
S S S R
R S R R
LLL
LL
???
????
－ 电感矩阵；
d
dt
?? ? － 电角速度；
Ri － 绕组电阻压降矩阵；
LPi － 变压器电势矩阵；
由电流变化引起
由转子旋转而产生
L i?
?
?
? － 运动（旋转）电势矩阵。
2010年 2月 1日 1时 1分 24
三、转矩方程式
1e
1u
?
?
1i
1r
2i 2r
2u 2e
?
?
图 7-4 定转子电路
?
2010年 2月 1日 1时 1分 25
三、转矩方程式
1.电磁转矩公式
⑴ 能量平衡方程式 e M m e cW W W??
输出的有效机械能量与
机械损耗的能量之和
t 时间内输入到各绕组的净能量 t时间内磁场能量的增
量
微分形式,e M m e cd W d W d W??
以下对三个微增量进行分析，以求出电磁转矩公式,图 7-4
⑵ 机械能增量
m e c e
dd W T
p
??
电磁转矩
极对数
2010年 2月 1日 1时 1分 26
三、转矩方程式
⑶ 电能增量
? ? ? ?
? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
1 1 1 1 2 2 2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
1 1 2 2 2 1
22
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
2
S S S R R R R S
S S S R S R R R S R S S R R
e
i u i r i u i r d t
i e i e d t
i d i d
i d L i L i i d L i L i
L i L i d i L i L i d i i i d L i d L i d L
dW
??
? ? ? ???
??
? ? ?
??
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
定子漏感与主电感之和
转子漏感与主电感之和
定,转子绕组
之间的互感
12 cosL ?
(7-25)
2010年 2月 1日 1时 1分 27
三、转矩方程式
⑷ 磁能增量 由公式 知,当
() 0
MedW dW
dL ?
? ?
?
?
常 数,
磁能增量为 ? ?1 1 1 2 2 2M S S S R R Rd W L i d i L d i i L i d i? ? ?
将上式积分得 22
1 1 2 2
11
22M S S S R R RW L i L i i L i? ? ?
m ec e
ddW T
p
??
转子不转 输入的电能全部转化为磁能
(7-26)
(7-27)
2010年 2月 1日 1时 1分 28
三、转矩方程式
转子转动,则磁场储能因电流及角位移发生变化而变化。
设在 内电流变化 及,角位移变化,1didt 2di d?
? ? ? ? 221 2 1 1 2 2 1 2 1 21122M S S S R R S R R S R S S R Rd W L i L i d i L i L i d i i i d L i d L i d L? ? ? ? ? ? ?
磁场储能增量为
⑸ 电磁转矩公式
e
eM
T d d W d W
p ? ??
edW MdW
把 代入得, (绿线部分 )
(7-28)
(7-25) - (7-28) 整理后,
2010年 2月 1日 1时 1分 29
三、转矩方程式
22
1 1 2 2 1 22
SS SR R S RR
e
dL dL dL dLpT i i i i i i
d d d d? ? ? ?
??? ? ? ???
??
矩阵形式：
? ? ? ?
2
S S S R
T
e
RS RR
d L d L
p dd
T i i
dL dL
dd
??
??
??
??
?
??
??? ? ? ?12 Ti i i?
将 (7-31)推广到三相
相应的电感阵如 P144/145 。,,SS SR RRL L L RSL
(7-30)
(7-31)
TcbaCBA iiiiiii ][ ??????
2010年 2月 1日 1时 1分 30
三、转矩方程式
可以证明电磁转矩为：
0
1
2
0
SR
T
RS
L
M p i i
L
?
?
???
?? ?
?
???
???
展开,
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?12
sin sin 1 2 0
sin 1 2 0
A a B b C c A b B c C a
e
A c B a C b
i i i i i i i i i i i i
T p L
i i i i i i
??
?
??? ? ? ? ? ?
????
? ? ? ???
(7-33)
(7-32)
2010年 2月 1日 1时 1分 31
三、转矩方程式
2.作用在电机轴上的转矩与转速关系用运动方
程式表示,
2
2
mm
e L m
ddT T J R K
d t d t ?
?? ?
?? ? ? ?
式中 — 机械负载转矩；
— 转动惯量；
— 旋转阻力系数；
— 扭转弹性常数；
— 转子转动的机械角度。
LT
J
R?
K?
m p?? ?
(7-34)
2010年 2月 1日 1时 1分 32
★ A,B,C 坐标系中异步电动机的基本方程式 7-16.21.31.34
S S S RSS
R S R RRR
LL i
LL i
?
?
??? ? ? ??
??? ? ? ?? ? ? ???
LU R i LP i i?
?
?? ? ?
?
0
1
2
0
SR
T
RS
L
M p i i
L
?
?
???
?? ?
?
???
???
2
2
mm
e L m
ddT T J R K
d t d t ?
?? ?
?? ? ? ?
(7-32)
(7-34)
(7-16)
(7-21)
2010年 2月 1日 1时 1分 33
? ABC坐标系数学模型的性质,
? 1.多变量的输入输出系统 (三相电压 /
流 ;n磁通 )
? 2.高阶系统 (7阶 )
? 3.非线性 (互感为余弦函数 )
? 4.强耦合系统
? 求解相当困难,因此引入空间矢量的概念
前面讲的异步电动机变频调速的根据
是异步电动机在稳定状态下的等值电路和
转矩公式，不考虑磁通在动态下的变化。
另外对电压、电流的控制也只是控制幅值
而不控制相位。因此不可能有很好的动态
性能。对一些动态性能要求较高的生产机
械来说，不能满足其工艺要求。
第七章 异步电动机的动态数学
模型及矢量控制
2010年 2月 1日 1时 1分 2
矢量控制（ Transvector control）理论
是 1971年由德国学者首先提出的，它的 基
本思想是：把交流电动机的动态数学模型
经过变换，将强耦和的磁场分量和转矩分
量分离开，模拟直流电动机控制方式 。它
具有直流电动机调速的全部优点。
根据电机学知识,已知对称三相绕组通
入对称的三相交流电会产生旋转磁场；
矢量控制的基本思想
3 2 =
2010年 2月 1日 1时 1分 3
? 三相静止绕组产生旋转磁势
? 两相静止绕组产生旋转磁势
? 随两相绕组旋转的静止磁势
? M轴与三相旋转磁场方向一致,则通入 M
绕组的电流就相当于直流机的励磁电流,
2010年 2月 1日 1时 1分 4
? 第一节 A,B,C 坐标系统异步电动机的动态
数学模型
? 第二节 空间矢量的概念
? 第三节 异步电动机的空间矢量方程式
? 第四节 空间矢量分解为 x,y分量
? 第五节 坐标变换及坐标变换电路
? 第六节 异步电动机的矢量控制
? 第七节 异步电动机矢量控制系统举例
2010年 2月 1日 1时 1分 5
第一节 ABC 坐标系下的
异步电动机动态数学模型
三相异步电动机的动态数学模型包括,
一、磁链方程式
二、电压方程式
三、转矩方程式
2010年 2月 1日 1时 1分 6
一、磁链方程式
? 1.假定条件
⑴ 无论笼型转子或绕线转子，都被等效成三相绕
线转子；
⑵ 三相定子绕组 A,B,C及三相转子绕组 a,b,c在
空间对称分布，各相电流产生的磁势在气隙中
呈正弦分布；
⑶ 不计磁路饱和及铁心损耗的影响；
⑷ 不计温度和频率变化对电机参数的影响。
波形不发生畸变
电阻 r为常数
2010年 2月 1日 1时 1分 7
以定子 A轴为参考轴，
B.C轴与互其差 120空
间角度；转子坐标与定
子坐标差 角
一、磁链方程式
?
A
B
C
a
b
c
u e L
i
r
de
dt
???
?
?
i
图 7-1 A,B,C坐标系统
磁链与产生它的
电流和磁势有关
磁链＝ Li
磁链的变化在绕
组中产生电势 e
Li? ?
2010年 2月 1日 1时 1分 8
一、磁链方程式
? 2.两线圈的主磁链
以两个线圈的磁链为例,设三相异步电动机定
子和转子各有一个等效的 整距、集中 线圈 1和
2，他们产生的 基波磁势 分别与实际定、转子
一相 绕组产生的基波磁势相等。
2010年 2月 1日 1时 1分 9
有效匝数,
式中 W1,W2－定, 转子绕组每相串联匝数；
kw1,kw2 －定, 转子绕组的基波绕组系数；
p －电动机的极对数。
? 假定两线圈轴线 重合,
①在线圈 2中通入电流 （图 7-2）
一、磁链方程式
11
1
22
2
2
2
w
w
Wk
N
p
Wk
N
p
?
?
?
?
(7 1)?
2i
2010年 2月 1日 1时 1分 10
一、磁链方程式
2 2 2F N i?
2220 NiB? ? ??
l
线圈 2产生的基波磁势幅值为
气隙磁密为正弦波，磁感强度为
线圈 2每极平均磁通为
式中 －气隙磁导。
2 / 2rp???
222 0 2 22 mNil N i? ? ?
??
??? ? ???
??
02
22
2
m
rl
N i p
??
?? ? ?
设 为铁心长度,r 为气隙平均半径,为空气磁导率，
极距为
0?
（图 7-2）
2010年 2月 1日 1时 1分 11
一、磁链方程式
磁通 与线圈 1交链的磁链为
式中 为 1.2两线圈轴线重合时的主互感：
②同理，当两线圈轴线重合时，线圈 1中通电流
在线圈 2中产生的磁链为
由于磁路对称，不计磁路饱和时 常数。
2?
? ?1 2 1 2 1 2 2 1 2 2mN N N i L i??? ? ? ?
12L
12
1 2 1 2
2
mL N Ni
?? ? ?
1i
? ?2 1 2 1 2 1 1 2 1 1mN N N i L i??? ? ? ?
12 21LL??
2010年 2月 1日 1时 1分 12
一、磁链方程式
?
2i
1N
2N
1轴
2轴
12 0? ?
图 7-2 两线圈的磁链
线圈 2中产生的基波磁
势幅值为 F2=N2i2
极距
2010年 2月 1日 1时 1分 13
运行中的转子与定子之间的夹角是
不断变化的,
? 两线圈轴线夹角为任意值：
参见 图（ 7-3）
或 （ 7-6）
★ 即主互感为两线圈轴线夹角 的函数，它等于两线
圈轴线重合时的主互感 乘以两轴线夹角
（电角度）的余弦。
12?
? ?1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2c o s c o s c o smmN N F N N i L i? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?
12
12 12
2
c osLi? ??
12?
12L 12?
2010年 2月 1日 1时 1分 14
一、磁链方程式
? ?
2i
1轴 2轴
12?
90 ( )电
2 2 2F N i?
2 1 2sinF ?
2 12cosF ?
1轴
2轴
12?
2F
2 12cosF ?
2 1 2sinF ?
图（ 7-3）磁势的分解及主磁链
2010年 2月 1日 1时 1分 15
一、磁链方程式
上述关系虽然是以定子和转子 两个线圈 为
例得出的，但对异步电动机定子 A,B,C和转子 a,
b,c共六个等效的整距集中线圈中的任何两个
线圈都适用，取 为该两线圈轴线的夹角即
可。
? 3.漏磁链
式中 为漏磁路的磁导,为线圈的漏感。
12?
l l lN N F N Ni l i???? ? ? ? ? ? ?
?? 2llN ???
2010年 2月 1日 1时 1分 16
一、磁链方程式
? 定子三相绕组的磁链
A相总磁链 的组成：
⑴ 漏磁链
⑵ 定子三相电流产生的主
磁链
⑶ 转子三相电流产生的主
磁链
? 转子三相绕组的磁链
a相总磁链 的组成：
⑴ 漏磁链
⑵ 转子三相电流产生的主
磁链
⑶ 定子三相电流产生的主
磁链
A? a?
Al? al?
,,;AA AB AC? ? ?,,;aa ab ac? ? ?
,,;A a A b A c? ? ?,,;aA aB aC? ? ?
? ?
? ?
A A l A A A B A C
A a A b A c
? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
? ?
? ?
a a l a a a b a c
a A a B a C
? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
4.
2010年 2月 1日 1时 1分 17
一、磁链方程式
根据 图 7-1及式 （ 7-6） 得
同理：
? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 1 2 1 2
1 1 1 1 2
c o s 0 c o s 1 2 0 c o s 2 4 0
c o s c o s 1 2 0 c o s 2 4 0
11
c o s c o s 1 2 0 c o s 2 4 0
22
A m A m B m C
m a m b m c
l A A B C a b c
A N N i N N i N N i N N i
N N i N N i N N i
L i L i i i L i i i
?
? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ?
??? ? ? ? ? ? ? ?
??
?? ??
? ? ? ? ? ? ? ? ??? ??
??
? ? ? ?1 1 1 1 211 c os 120 c os c os 12022l B A B C a b cB L i L i i i L i i i? ? ?? ?? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ????
? ? ? ?1 1 1 1 211 c o s 1 2 0 c o s 2 4 0 c o s22l C A B C a b cC L i L i i i L i i i? ? ?? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????
①
2010年 2月 1日 1时 1分 18
一、磁链方程式
? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 1 2 1 2 1
2 2 2 2 1
c o s 0 c o s 1 2 0 c o s 2 4 0
c o s c o s 1 2 0 c o s 2 4 0
11
c o s c o s 1 2 0 c o s 1 2 0
22
a m a m b m c
m A m B m C
l a a b c A B C
a
N N i N N i N N i N N i
N N i N N i N N i
L i L i i i L i i i
?
? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ?
??? ? ? ? ? ? ? ?
??
??
??? ? ? ? ? ? ? ? ???
??
??
同理：
? ? ? ?2 2 2 2 111 c os 120 c os c os 12022l b a b c A B Cb L i L i i i L i i i? ? ?? ?? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ????
? ? ? ?2 2 2 2 111 c os 120 c os 120 c os22l c a b c A B Cc L i L i i i L i i i? ? ?? ?? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ????
②
2010年 2月 1日 1时 1分 19
一、磁链方程式
定子绕组 转子绕组
漏感
主电感
主互感
21 1 1lLN ??? 22 2 2lLN ???
211 1 mLN?? 22 2 2 mLN??
1 2 2 1 1 2 mL L N N? ? ? 2 1 1 2 1 2 mL L N N? ? ?
5.三相异步电动机磁链的矩阵方程式
把 ① 和 ② 中的六个磁链方程式合起来写成矩阵形式
如下：
2010年 2月 1日 1时 1分 20
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
11
22
11
22
11
22
l
l
l
L L L L
L L L L
L L L L
? ? ?
? ? ?
? ? ?
一、磁链方程式
2 22 22 22
22 2 22 22
22 22 2 22
11
22
11
22
11
22
l
l
l
L L L L
L L L L
L L L L
? ? ?
? ? ?
? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
c o s c o s 1 2 0 c o s 1 2 0
c o s 1 2 0 c o s c o s 1 2 0
c o s 1 2 0 c o s 1 2 0 c o s
L L L
L L L
L L L
? ? ?
? ? ?
? ? ?
??
??
??
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
c o s c o s 1 2 0 c o s 1 2 0
c o s 1 2 0 c o s c o s 1 2 0
c o s 1 2 0 c o s 1 2 0 c o s
L L L
L L L
L L L
? ? ?
? ? ?
? ? ?
??
??
??
A
B
C
i
i
i
a
b
c
i
i
i
A
B
C
?
?
?
a
b
c
?
?
?
= SS
L SRL
RSL RR
L
S?
R?
Si
Ri
转置
定、转子的 主 电 感 子矩阵是 常数阵,
定、转子的 主 互 感 子矩阵是 时变阵 。
（ 7-16）
2010年 2月 1日 1时 1分 21
二、电压方程式
? 三相定子绕组电压方
程式：
? 三相转子绕组电压方
程式：1
1
1
A
AA
B
BB
C
CC
d
u r i
dt
d
u r i
dt
d
u r i
dt
?
?
?
??
??
??
2
2
2
a
aa
b
bb
c
cc
d
u r i
dt
d
u r i
dt
d
u r i
dt
?
?
?
??
??
??
将以上二式写成矩阵形式，用微分算子
代替微分运算符号则有
dP
dt?
定子绕
组电阻
转子绕
组电阻
2010年 2月 1日 1时 1分 22
二、电压方程式
1
1
1
2
2
2
0
0
r
r
r
r
r
r
=
A
B
C
a
b
c
u
u
u
u
u
u
A
B
C
a
b
c
i
i
i
i
i
i
+ P
A
B
C
a
b
c
?
?
?
?
?
?
U R i ?
（ 7-20）
把 （ 7-16） 代入式（ 7-20）：
LU R i LP i i?
?
?? ? ?
?
(7-21)
2010年 2月 1日 1时 1分 23
二、电压方程式
式中
S S S R
R S R R
LLL
LL
???
????
－ 电感矩阵；
d
dt
?? ? － 电角速度；
Ri － 绕组电阻压降矩阵；
LPi － 变压器电势矩阵；
由电流变化引起
由转子旋转而产生
L i?
?
?
? － 运动（旋转）电势矩阵。
2010年 2月 1日 1时 1分 24
三、转矩方程式
1e
1u
?
?
1i
1r
2i 2r
2u 2e
?
?
图 7-4 定转子电路
?
2010年 2月 1日 1时 1分 25
三、转矩方程式
1.电磁转矩公式
⑴ 能量平衡方程式 e M m e cW W W??
输出的有效机械能量与
机械损耗的能量之和
t 时间内输入到各绕组的净能量 t时间内磁场能量的增
量
微分形式,e M m e cd W d W d W??
以下对三个微增量进行分析，以求出电磁转矩公式,图 7-4
⑵ 机械能增量
m e c e
dd W T
p
??
电磁转矩
极对数
2010年 2月 1日 1时 1分 26
三、转矩方程式
⑶ 电能增量
? ? ? ?
? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
1 1 1 1 2 2 2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
1 1 2 2 2 1
22
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
2
S S S R R R R S
S S S R S R R R S R S S R R
e
i u i r i u i r d t
i e i e d t
i d i d
i d L i L i i d L i L i
L i L i d i L i L i d i i i d L i d L i d L
dW
??
? ? ? ???
??
? ? ?
??
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
定子漏感与主电感之和
转子漏感与主电感之和
定,转子绕组
之间的互感
12 cosL ?
(7-25)
2010年 2月 1日 1时 1分 27
三、转矩方程式
⑷ 磁能增量 由公式 知,当
() 0
MedW dW
dL ?
? ?
?
?
常 数,
磁能增量为 ? ?1 1 1 2 2 2M S S S R R Rd W L i d i L d i i L i d i? ? ?
将上式积分得 22
1 1 2 2
11
22M S S S R R RW L i L i i L i? ? ?
m ec e
ddW T
p
??
转子不转 输入的电能全部转化为磁能
(7-26)
(7-27)
2010年 2月 1日 1时 1分 28
三、转矩方程式
转子转动,则磁场储能因电流及角位移发生变化而变化。
设在 内电流变化 及,角位移变化,1didt 2di d?
? ? ? ? 221 2 1 1 2 2 1 2 1 21122M S S S R R S R R S R S S R Rd W L i L i d i L i L i d i i i d L i d L i d L? ? ? ? ? ? ?
磁场储能增量为
⑸ 电磁转矩公式
e
eM
T d d W d W
p ? ??
edW MdW
把 代入得, (绿线部分 )
(7-28)
(7-25) - (7-28) 整理后,
2010年 2月 1日 1时 1分 29
三、转矩方程式
22
1 1 2 2 1 22
SS SR R S RR
e
dL dL dL dLpT i i i i i i
d d d d? ? ? ?
??? ? ? ???
??
矩阵形式：
? ? ? ?
2
S S S R
T
e
RS RR
d L d L
p dd
T i i
dL dL
dd
??
??
??
??
?
??
??? ? ? ?12 Ti i i?
将 (7-31)推广到三相
相应的电感阵如 P144/145 。,,SS SR RRL L L RSL
(7-30)
(7-31)
TcbaCBA iiiiiii ][ ??????
2010年 2月 1日 1时 1分 30
三、转矩方程式
可以证明电磁转矩为：
0
1
2
0
SR
T
RS
L
M p i i
L
?
?
???
?? ?
?
???
???
展开,
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?12
sin sin 1 2 0
sin 1 2 0
A a B b C c A b B c C a
e
A c B a C b
i i i i i i i i i i i i
T p L
i i i i i i
??
?
??? ? ? ? ? ?
????
? ? ? ???
(7-33)
(7-32)
2010年 2月 1日 1时 1分 31
三、转矩方程式
2.作用在电机轴上的转矩与转速关系用运动方
程式表示,
2
2
mm
e L m
ddT T J R K
d t d t ?
?? ?
?? ? ? ?
式中 — 机械负载转矩；
— 转动惯量；
— 旋转阻力系数；
— 扭转弹性常数；
— 转子转动的机械角度。
LT
J
R?
K?
m p?? ?
(7-34)
2010年 2月 1日 1时 1分 32
★ A,B,C 坐标系中异步电动机的基本方程式 7-16.21.31.34
S S S RSS
R S R RRR
LL i
LL i
?
?
??? ? ? ??
??? ? ? ?? ? ? ???
LU R i LP i i?
?
?? ? ?
?
0
1
2
0
SR
T
RS
L
M p i i
L
?
?
???
?? ?
?
???
???
2
2
mm
e L m
ddT T J R K
d t d t ?
?? ?
?? ? ? ?
(7-32)
(7-34)
(7-16)
(7-21)
2010年 2月 1日 1时 1分 33
? ABC坐标系数学模型的性质,
? 1.多变量的输入输出系统 (三相电压 /
流 ;n磁通 )
? 2.高阶系统 (7阶 )
? 3.非线性 (互感为余弦函数 )
? 4.强耦合系统
? 求解相当困难,因此引入空间矢量的概念
