13:01:44 1
三、转矩方程式
22
1 1 2 2 1 22
SS SR R S RR
e
dL dL dL dLpT i i i i i i
d d d d? ? ? ?
??? ? ? ???
??
矩阵形式：
? ? ? ?
2
S S S R
T
e
RS RR
d L d L
p dd
T i i
dL dL
dd
??
??
??
??
?
??
??? ? ? ?12 Ti i i?
将 (7-31)推广到三相
相应的电感阵如 P144/145 。,,SS SR RRL L L RSL
(7-30)
(7-31)
TcbaCBA iiiiiii ][ ??????
13:01:44 2
三、转矩方程式
可以证明电磁转矩为：
展开,
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?12
sin sin 1 2 0
sin 1 2 0
A a B b C c A b B c C a
e
A c B a C b
i i i i i i i i i i i i
T p L
i i i i i i
??
?
??? ? ? ? ? ?
????
? ? ? ???
(7-33)
(7-32)
0
1
2
0
SR
T
RS
L
Tp
L
?
?
???
?? ?
? ??
???
???
ii
13:01:44 3
三、转矩方程式
2.作用在电机轴上的转矩与转速关系用运动方
程式表示,
2
2
mm
e L m
ddT T J R K
d t d t ?
?? ?
?? ? ? ?
式中 — 机械负载转矩；
— 转动惯量；
— 旋转阻力系数；
— 扭转弹性常数；
— 转子转动的机械角度。
LT
J
R?
K?
m p?? ?
(7-34)
13:01:44 4
★ A,B,C 坐标系中异步电动机的基本方程式 7-16.21.31.34
S S S RSS
R S R RRR
LL i
LL i
?
?
??? ? ? ??
??? ? ? ?? ? ? ???
LU R i LP i i?
?
?? ? ?
?
0
1
2
0
SR
T
RS
L
Tp
L
?
?
???
???
?
???
???
ii 2
2
mm
e L m
ddT T J R K
d t d t ?
?? ?
?? ? ? ?
(7-32)
(7-34)
(7-16)
(7-21)
13:01:44 5
? ABC坐标系数学模型的性质,
? 1.多变量的输入输出系统 (三相电压 /流 ;n
磁通 )
? 2.高阶系统 (7阶 )
? 3.非线性 (互感为余弦函数 [7-16])
? 4.强耦合系统
? 综上异步电机在三相坐标系下的动态数
学模型的求解相当困难,因此引入空间矢
量的概念对其进行简化和解耦
13:01:44 6
第二节 空间矢量的概念
一、空间矢量的定义
二、极坐标变换
三, 空间矢量的逆变换
13:01:44 7
一、空间矢量的定义
? 在 ABC三相坐标系下，在垂直于电动机轴的一个平面
上，取三相绕组的轴线（互差 电角度），把三相
系统中的三个时间变量 看成是三个矢
量的模，这三个矢量分别位于三相绕组的轴线上； 当
时间变量为正时，矢量的方向与各自轴线的方向一致，
反之则取相反方向,然后把三个矢量相加并取合成矢
量的 k倍，所得合成矢量即为三个时间变量的空间矢量。
其中 k为任取的比例系数，例如 等
120
? ? ? ? ? ?,,A B Cx t x t x t
221,,3 33k k k? ? ?
13:01:44 8
以定子 A相绕组轴线为参考轴
(+1)
A
B
C
j
图 7-5空间复平面及单位矢量
定子 A相绕组轴线
_ 01 1 0Aje? ? ?120 13
22ja e j? ? ? ?
2 2 4 0 1322ja e j? ? ? ?
210aa? ? ?
120 jae?令,三个单位矢量之和为
13:01:44 9
将三相电磁量用一个空间矢量表示,
取定子 A轴为参考轴，根据空间矢量的定义三相时间变
量 的空间矢量为? ? ? ? ? ?,,
A B Cx t x t x t
? ? ? ? ? ?_ 2A A B Cx k x t a x t a x t??? ? ???
异步电动机定子磁势的空间矢量 。_1Af
1AAf N i? 1BBf N i? 1CCf N i?
? ?_ 21 A A B Cf k f a f a f? ? ?
取定子 A轴为参考轴，定子磁势的空间矢量为
? ? _21 1 1AA B CN k i a i a i N i? ? ? ?
定子电流空间矢量 （ 7-38）
（ 7-37）
13:01:44 10
幅值为 的 倍，
空间相位与 相同
B
C
j
(+1)
A
Baf
_1
Af
Baf
2 Caf
_
1Ai
2 Caf
? ?_ 21 A A B Cf k f a f a f? ? ?
图 7-6 空间矢量 及_1Af _1Ai
_
1Af 1
1N
_
1Af
? ?_ 21 A A B Cf k f a f a f? ? ?
定子磁势和定子电流空间矢量的图示如下：
? ?_ 21A A B Ci k i a i a i??＝
13:01:44 11
磁势空间矢量的物理意义,
设定子电流为三相稳态平衡正弦电流，由欧拉公式有：
Am
Bm
Cm
iI
iI
iI
?
?
?
? ?
? ?
? ?
1 10
1 10
1 10
c o s
c o s 1 2 0
c o s 2 4 0
t
t
t
??
??
??
?
??
??
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
1 10 1 10
1 10 1 10
1 10 1 10
2
2
1
2
1
2
1
2
j t j t
j t j t
j t j t
ee
a e ae
ae a e
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
???
??
???
??
???
??
将上式代入 得（ 7-38）
? ? ? ?1 1 0 10 1_
1 1 1 1 1
3
2
jt j jtA
mf k N I e F e e F t
?? ? ? ??? ? ? ?
? ? _21 1 1AA B CN k i a i a i N i? ? ? ?
13:01:44 12
磁势空间矢量的物理意义,
? 上式说明：
① 三相电流为稳态平衡正弦电流时定子磁势空间矢量
的幅值是常数，其值为单相磁势幅值的 倍，
② 该空间矢量对定子 A轴的空间相角为,对
A轴的角速度为,
③ 因稳态下 都是常数，故空间矢量 端点的
轨迹是一个圆,是圆旋转磁势。
3
2k
1 10t???
112 f???
1,mI ?
_
1Af
_
1Af
同理：按空间矢量的定义可写出定、转子磁链和电
压的空间矢量
? ? ? ?1 1 0 10 1_
1 1 1 1 1
3
2
jt j jtA
mf k N I e F e e F t
?? ? ? ??? ? ? ?
13:01:44 13
二、极坐标变换
_x
x
a
A
1参 考 轴
参考轴 1是可
以任选的?x
?a
0?
?A
Aa?
ax?
Ax?
图 7-7 极坐标变换的角度
A为参考轴
a为参考轴
角矩
__
AajAax x e ??
AjA exx ?
?? ?
aja exx ?
?? ?
x为参考轴
AxAxAx jAjjx exexexx ???? ??
??
??? )(
13:01:44 14
二、极坐标变换
__
AajaAx x e ???
同理可得以下极坐标变换式：
__
AxjxAx x e ???
? ?_ _ _ A x A aax jjx a ax x e x e ??? ?????
aAaA jajaA exexx ???
???? ?? )(
用极坐标表示的空间矢量 =
空间矢量 X空间矢量与参考轴 e旋转角
13:01:44 15
二、极坐标变换
? 先取定子 A轴为参考，列出定子空间矢量方
程式；
? 取转子 a轴为参考列出转子空间矢量方程式；
? 把得到的方程式利用极坐标变换公式 变换到
以任意轴 x为参考轴的坐标系统中,得到一
般化空间矢量方程式。
一般化的异步电动机空间矢量基本方程式和
等值电路的求法如下：
13:01:44 16
以任意 x为参考轴的定,转子空间矢量
Axj
CBA
x etxataxtxkx ????? )]()()([ 2
1
axj
cba
x etxataxtxkx ????? )]()()([ 2
2
13:01:44 17
三、空间矢量的逆变换
? ?__ 211 A X A XjjXA A B Cx x e k x a x a x e????? ? ? ?
? 一个以 x轴为参考轴的定子空间矢量,如果知
道三相电磁量的瞬时值 并且确
定 k值和夹角,就可以唯一的求出空间矢量,
)(),(),( txtxtx CBA
用一个复变量来描述三个时间变量,通过这种
变换可以简化异步电动机的动态数学模型,
但空间矢量的求解仍然是一个复变量,还需要
变换成实际物理量去控制电机,这种变换就是
空间矢量的逆变换,
13:01:44 18
三、空间矢量的逆变换
若以引前定子 A轴 电角度的 x轴为参考：AX?
? ?__ 211 A X A XjjXA A B Cx x e k x a x a x e????? ? ? ?
? 将根据空间矢量方程式求得的是复变量，进
行相反的变换，即把空间矢量变换为实际的变
量。这种变换称为空间矢量的反变换。
仅以此式求解三相电磁量有无数组解,必须
补充两个方程式,
13:01:44 19
三、空间矢量的逆变换
定义 的共轭值：_1xx ? ?2
1 * AX
X j
A B Cx k x a x a x e
?? ? ?
定义一个, 零轴分量,, ? ?
00S A B Cx k k x x x? ? ?
将以上三式写成矩阵形式：
? ?
21
2
1
0 0 0 0
*
A X A X A X
A X A X A X
X
j j j
A
X T
j j j
B z A B C
SC
x e a e a e x
x k e a e a e x C x x x
x k k k x
? ? ?
? ? ?
? ? ?
??
?? ????
?? ????
??
????
?? ????
????
??
空间矢量的
正变换矩阵
13:01:44 20
三、空间矢量的逆变换
空间矢量的反变换矩阵为
0
12
0
2
0
1
11
3
1
A X A X
A X A X
A X A X
jj
jj
FZ
jj
ee
k
C C a e a e
kk
a e a e
k
??
??
??
?
??
?
??
??
??
??
?? ??
??
??
??
??
（ 7-50）
13:01:44 21
三、空间矢量的逆变换
因而 1
1
1
0
*
X
A
X
BZ
CS
x
x
x C x
xx
?
??
?? ??
?? ??
?
?? ??
?? ????
??
取 则可证明有
0
1,1
3kk??
1* TZZCC? ?
共轭转置矩阵
称为功率
不变约束
（ 7-51）
（ 7-52）
13:01:44 22
三、空间矢量的逆变换
? 对于三相转子，空间矢量变换矩阵与用定子
求出的变换矩阵 具有相同的形式，只是把
矩阵中含有指数函数各元素中的 应换
成 。
ZC
AX?
a x A X? ? ???
所谓功率不变是指变换前用瞬时值表
示的功率与变换后用空间矢量表示的功率具
有相同的形式,
测
13:01:44 23
这三个矢量分别位于三相绕组的轴线上；当时间变量为正时，
矢量的方向与各自轴线的方向一致，反之则取相反方向
时间变量为正时
矢量方向与轴线
方向一致也为正
时间变量为负时
矢量方向与轴线
方向相反为负
13:01:44 24
1.写出在功率不变约束下,以 A轴为参考轴的
空间矢量正,反变换矩阵
_
x
A
?
2.若取 x轴为参考轴，上式有何变化
13:01:44 25
? ?*21 A A B Cx k x a x a x? ? ?
2
2
1
1
1
3
1 1 1
Z
aa
C a a
??
??
? ??
??
??
2
2
1 1 1
1
1
3
1
FC a a
aa
??
??
??
??
? ?21 A A B Cx k x a x a x? ? ?
三、转矩方程式
22
1 1 2 2 1 22
SS SR R S RR
e
dL dL dL dLpT i i i i i i
d d d d? ? ? ?
??? ? ? ???
??
矩阵形式：
? ? ? ?
2
S S S R
T
e
RS RR
d L d L
p dd
T i i
dL dL
dd
??
??
??
??
?
??
??? ? ? ?12 Ti i i?
将 (7-31)推广到三相
相应的电感阵如 P144/145 。,,SS SR RRL L L RSL
(7-30)
(7-31)
TcbaCBA iiiiiii ][ ??????
13:01:44 2
三、转矩方程式
可以证明电磁转矩为：
展开,
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?12
sin sin 1 2 0
sin 1 2 0
A a B b C c A b B c C a
e
A c B a C b
i i i i i i i i i i i i
T p L
i i i i i i
??
?
??? ? ? ? ? ?
????
? ? ? ???
(7-33)
(7-32)
0
1
2
0
SR
T
RS
L
Tp
L
?
?
???
?? ?
? ??
???
???
ii
13:01:44 3
三、转矩方程式
2.作用在电机轴上的转矩与转速关系用运动方
程式表示,
2
2
mm
e L m
ddT T J R K
d t d t ?
?? ?
?? ? ? ?
式中 — 机械负载转矩；
— 转动惯量；
— 旋转阻力系数；
— 扭转弹性常数；
— 转子转动的机械角度。
LT
J
R?
K?
m p?? ?
(7-34)
13:01:44 4
★ A,B,C 坐标系中异步电动机的基本方程式 7-16.21.31.34
S S S RSS
R S R RRR
LL i
LL i
?
?
??? ? ? ??
??? ? ? ?? ? ? ???
LU R i LP i i?
?
?? ? ?
?
0
1
2
0
SR
T
RS
L
Tp
L
?
?
???
???
?
???
???
ii 2
2
mm
e L m
ddT T J R K
d t d t ?
?? ?
?? ? ? ?
(7-32)
(7-34)
(7-16)
(7-21)
13:01:44 5
? ABC坐标系数学模型的性质,
? 1.多变量的输入输出系统 (三相电压 /流 ;n
磁通 )
? 2.高阶系统 (7阶 )
? 3.非线性 (互感为余弦函数 [7-16])
? 4.强耦合系统
? 综上异步电机在三相坐标系下的动态数
学模型的求解相当困难,因此引入空间矢
量的概念对其进行简化和解耦
13:01:44 6
第二节 空间矢量的概念
一、空间矢量的定义
二、极坐标变换
三, 空间矢量的逆变换
13:01:44 7
一、空间矢量的定义
? 在 ABC三相坐标系下，在垂直于电动机轴的一个平面
上，取三相绕组的轴线（互差 电角度），把三相
系统中的三个时间变量 看成是三个矢
量的模，这三个矢量分别位于三相绕组的轴线上； 当
时间变量为正时，矢量的方向与各自轴线的方向一致，
反之则取相反方向,然后把三个矢量相加并取合成矢
量的 k倍，所得合成矢量即为三个时间变量的空间矢量。
其中 k为任取的比例系数，例如 等
120
? ? ? ? ? ?,,A B Cx t x t x t
221,,3 33k k k? ? ?
13:01:44 8
以定子 A相绕组轴线为参考轴
(+1)
A
B
C
j
图 7-5空间复平面及单位矢量
定子 A相绕组轴线
_ 01 1 0Aje? ? ?120 13
22ja e j? ? ? ?
2 2 4 0 1322ja e j? ? ? ?
210aa? ? ?
120 jae?令,三个单位矢量之和为
13:01:44 9
将三相电磁量用一个空间矢量表示,
取定子 A轴为参考轴，根据空间矢量的定义三相时间变
量 的空间矢量为? ? ? ? ? ?,,
A B Cx t x t x t
? ? ? ? ? ?_ 2A A B Cx k x t a x t a x t??? ? ???
异步电动机定子磁势的空间矢量 。_1Af
1AAf N i? 1BBf N i? 1CCf N i?
? ?_ 21 A A B Cf k f a f a f? ? ?
取定子 A轴为参考轴，定子磁势的空间矢量为
? ? _21 1 1AA B CN k i a i a i N i? ? ? ?
定子电流空间矢量 （ 7-38）
（ 7-37）
13:01:44 10
幅值为 的 倍，
空间相位与 相同
B
C
j
(+1)
A
Baf
_1
Af
Baf
2 Caf
_
1Ai
2 Caf
? ?_ 21 A A B Cf k f a f a f? ? ?
图 7-6 空间矢量 及_1Af _1Ai
_
1Af 1
1N
_
1Af
? ?_ 21 A A B Cf k f a f a f? ? ?
定子磁势和定子电流空间矢量的图示如下：
? ?_ 21A A B Ci k i a i a i??＝
13:01:44 11
磁势空间矢量的物理意义,
设定子电流为三相稳态平衡正弦电流，由欧拉公式有：
Am
Bm
Cm
iI
iI
iI
?
?
?
? ?
? ?
? ?
1 10
1 10
1 10
c o s
c o s 1 2 0
c o s 2 4 0
t
t
t
??
??
??
?
??
??
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
1 10 1 10
1 10 1 10
1 10 1 10
2
2
1
2
1
2
1
2
j t j t
j t j t
j t j t
ee
a e ae
ae a e
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
???
??
???
??
???
??
将上式代入 得（ 7-38）
? ? ? ?1 1 0 10 1_
1 1 1 1 1
3
2
jt j jtA
mf k N I e F e e F t
?? ? ? ??? ? ? ?
? ? _21 1 1AA B CN k i a i a i N i? ? ? ?
13:01:44 12
磁势空间矢量的物理意义,
? 上式说明：
① 三相电流为稳态平衡正弦电流时定子磁势空间矢量
的幅值是常数，其值为单相磁势幅值的 倍，
② 该空间矢量对定子 A轴的空间相角为,对
A轴的角速度为,
③ 因稳态下 都是常数，故空间矢量 端点的
轨迹是一个圆,是圆旋转磁势。
3
2k
1 10t???
112 f???
1,mI ?
_
1Af
_
1Af
同理：按空间矢量的定义可写出定、转子磁链和电
压的空间矢量
? ? ? ?1 1 0 10 1_
1 1 1 1 1
3
2
jt j jtA
mf k N I e F e e F t
?? ? ? ??? ? ? ?
13:01:44 13
二、极坐标变换
_x
x
a
A
1参 考 轴
参考轴 1是可
以任选的?x
?a
0?
?A
Aa?
ax?
Ax?
图 7-7 极坐标变换的角度
A为参考轴
a为参考轴
角矩
__
AajAax x e ??
AjA exx ?
?? ?
aja exx ?
?? ?
x为参考轴
AxAxAx jAjjx exexexx ???? ??
??
??? )(
13:01:44 14
二、极坐标变换
__
AajaAx x e ???
同理可得以下极坐标变换式：
__
AxjxAx x e ???
? ?_ _ _ A x A aax jjx a ax x e x e ??? ?????
aAaA jajaA exexx ???
???? ?? )(
用极坐标表示的空间矢量 =
空间矢量 X空间矢量与参考轴 e旋转角
13:01:44 15
二、极坐标变换
? 先取定子 A轴为参考，列出定子空间矢量方
程式；
? 取转子 a轴为参考列出转子空间矢量方程式；
? 把得到的方程式利用极坐标变换公式 变换到
以任意轴 x为参考轴的坐标系统中,得到一
般化空间矢量方程式。
一般化的异步电动机空间矢量基本方程式和
等值电路的求法如下：
13:01:44 16
以任意 x为参考轴的定,转子空间矢量
Axj
CBA
x etxataxtxkx ????? )]()()([ 2
1
axj
cba
x etxataxtxkx ????? )]()()([ 2
2
13:01:44 17
三、空间矢量的逆变换
? ?__ 211 A X A XjjXA A B Cx x e k x a x a x e????? ? ? ?
? 一个以 x轴为参考轴的定子空间矢量,如果知
道三相电磁量的瞬时值 并且确
定 k值和夹角,就可以唯一的求出空间矢量,
)(),(),( txtxtx CBA
用一个复变量来描述三个时间变量,通过这种
变换可以简化异步电动机的动态数学模型,
但空间矢量的求解仍然是一个复变量,还需要
变换成实际物理量去控制电机,这种变换就是
空间矢量的逆变换,
13:01:44 18
三、空间矢量的逆变换
若以引前定子 A轴 电角度的 x轴为参考：AX?
? ?__ 211 A X A XjjXA A B Cx x e k x a x a x e????? ? ? ?
? 将根据空间矢量方程式求得的是复变量，进
行相反的变换，即把空间矢量变换为实际的变
量。这种变换称为空间矢量的反变换。
仅以此式求解三相电磁量有无数组解,必须
补充两个方程式,
13:01:44 19
三、空间矢量的逆变换
定义 的共轭值：_1xx ? ?2
1 * AX
X j
A B Cx k x a x a x e
?? ? ?
定义一个, 零轴分量,, ? ?
00S A B Cx k k x x x? ? ?
将以上三式写成矩阵形式：
? ?
21
2
1
0 0 0 0
*
A X A X A X
A X A X A X
X
j j j
A
X T
j j j
B z A B C
SC
x e a e a e x
x k e a e a e x C x x x
x k k k x
? ? ?
? ? ?
? ? ?
??
?? ????
?? ????
??
????
?? ????
????
??
空间矢量的
正变换矩阵
13:01:44 20
三、空间矢量的逆变换
空间矢量的反变换矩阵为
0
12
0
2
0
1
11
3
1
A X A X
A X A X
A X A X
jj
jj
FZ
jj
ee
k
C C a e a e
kk
a e a e
k
??
??
??
?
??
?
??
??
??
??
?? ??
??
??
??
??
（ 7-50）
13:01:44 21
三、空间矢量的逆变换
因而 1
1
1
0
*
X
A
X
BZ
CS
x
x
x C x
xx
?
??
?? ??
?? ??
?
?? ??
?? ????
??
取 则可证明有
0
1,1
3kk??
1* TZZCC? ?
共轭转置矩阵
称为功率
不变约束
（ 7-51）
（ 7-52）
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三、空间矢量的逆变换
? 对于三相转子，空间矢量变换矩阵与用定子
求出的变换矩阵 具有相同的形式，只是把
矩阵中含有指数函数各元素中的 应换
成 。
ZC
AX?
a x A X? ? ???
所谓功率不变是指变换前用瞬时值表
示的功率与变换后用空间矢量表示的功率具
有相同的形式,
测
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这三个矢量分别位于三相绕组的轴线上；当时间变量为正时，
矢量的方向与各自轴线的方向一致，反之则取相反方向
时间变量为正时
矢量方向与轴线
方向一致也为正
时间变量为负时
矢量方向与轴线
方向相反为负
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1.写出在功率不变约束下,以 A轴为参考轴的
空间矢量正,反变换矩阵
_
x
A
?
2.若取 x轴为参考轴，上式有何变化
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? ?*21 A A B Cx k x a x a x? ? ?
2
2
1
1
1
3
1 1 1
Z
aa
C a a
??
??
? ??
??
??
2
2
1 1 1
1
1
3
1
FC a a
aa
??
??
??
??
? ?21 A A B Cx k x a x a x? ? ?
